Quando um bebé começa a crescer, será que lhe vão crescer novas pernas? crescer outra cabeça? ...

Quando um bebé começa a crescer, será que lhe vãocrescer novas pernas?

crescer outra cabeça?

Será que quando crescer torna-se assim?

Se uma árvore pequena tiver a seguinte forma:

A sociedade evoluiu de tal forma, que muitas vezes não temos tempopara parar, e dar uma olhadela para o mundo que nos rodeia!

Vamos estudar alguns conceitos matemáticos, e o modo como estes se associam, muitas vezes à vida real:

- Fórmula de Binet;- Números de Fibonacci;- Sequência de Fibonacci;- Gnomons;- Crescimento Gnomático;- Razão de ouro;- Rectângulos de ouro;- Triângulos de ouro;- Semelhanças;

1

3

58

13

2134

55

……………………….

Esta sequência de números é a chamada Sequência de Fibonacci, em que o primeiro e o segundo termo são um, e os restantes termos são a soma dos dois termos anteriores

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …………..

Fazendo uso desta definição podemos calcular todos os números de Fibonacci!...

Então vamos calcular F31?!

F1 = 1 , F2 = 1,

Fn = Fn-1 + Fn-2 , n > 2

Isto é:

Sabendo o F30 e o F29 é fácil, mas, para saber qual o valor desses números,dá muito trabalho!

F31= F30 + F29 F31 = 832040 + 514229 F31= 1346269

As definições recursivas têm uma teoria elegante e simples, mas na prática são muito limitadas, como vimos no exemplo anterior. Imaginemos então o que é calcular o F1000 …

Existirá outra maneira de o calcular?

? ? ?

Existem outras maneiras!

Embora tenham um aspecto bem mais complicado!

A chamada Fórmula de Binet calcula directamente o número de Fibonacci de determinada ordem!

Fórmula de Binet

1 5 1 52 2( ) ( )

5

n n

nF

Ao utilizarmos esta fórmula vamos ter que usar números aproximados de:

5 2.236067977...(1 5 )

2 0.6180339887... (1 5)

2 1.6180339887... Este último número vai ser particularmente importante…

Consideremos a seguinte equação

As soluções da equação são

Prestemos atenção à solução positiva

Vamos então exemplificar um dos raciocínios que se usava para explicar estenúmero:

2 1x x

(1 5 )2

(1 5)2

(1 5 )2

Este número é suficientemente importante, para lhe ser atribuído um símbolo e um nome. A este número é chamado número de ouro e é representado pela letra grega (Phi)

e

- Considere-se um segmento de recta, de extremidades A e C

- Coloque-se o ponto B entre A e C de modo a que razão do segmento de recta mais pequeno (AB) para o maior (BC) seja igual à razão do maior segmento (BC)para o segmento todo (AC):

2 2( 1) 1 0x x x x

Equacionalmente tem-se: |AB| / |BC| = |BC| / |AC|

Se se fizer: |AB| = y |BC| = x |AC| = x + y

Vemy / x = x / (x+y)

Considerando y = 1

obtém-se:

Que tem as seguintes soluções: (1 5 )1 2x (1 5)

2 2x

Chega-se então ao que se pretende, isto é, encontrou-se o tão esperadonúmero de ouro (Phi) :

Então é solução da equação

Usando este facto repetidamente podemos calcular outras potências de

Esta fórmula é o inverso da fórmula de Binet, na fórmula de Binet usamospotências de para calcular números de Fibonacci, aqui usamos númerosde Fibonacci para calcular potências de

2 1x x 2 1

( Os comprimentos dos segmentos, são positivos,logo, a razão entre esses segmentos é positiva )

o que significa

2

3 2 3

4 3 2 4 4

5

6

1

2 1

2 1 1 3 2

5 3

8 5

1n

n nF F

(1 5 )2

Na Antiguidade o número de ouro era explicado como : "Para que um todo dividido em duas partes desiguais pareça belo do ponto de vista da forma, deveapresentar entre a parte menor e a maior a mesma relação que entre estae o todo."

O que será que acontece quando dividimos dois números de Fibonacci consecutivos?

A terceira ligação entre os números de Fibonacci e o número de ouro épossivelmente a mais surpreendente

?

Ordem dos termos da Sucessão Números fn / f n-1

de Fibonacci de Fibonacci  

1 1 1

2 1 1

3 2 2

4 3 1,5

5 5 1,666666667

6 8 1,6

7 13 1,625

8 21 1,615384615

9 34 1,619047619

10 55 1,617647059

… … …

20 6765 1,618033963

21 10946 1,618033999

22 17711 1,618033985

23 28657 1,61803399

24 46368 1,618033988

25 75025 1,618033989

… … …

O que acontece? Parece que depois de uma oscilação na razão dos primeiros termos,a razão assenta no valor aproximado 1,61803…

Razão f n / f n-1

0

0,5

1

1,5

2

2,5

ordem dos termos

f n /

f n-1

Série1

1.618033988749894848204586834365638117720309179805762862135448622705260462818902449707207204189391137484754088075386891752126633862223536931793180060766726354433389086595939582905638322661319928290267880675208766892501711696207032221043216269548626296313614438149758701220340805887954454749246185695364864449241044320771344947049565846788509874339442212544877066478091588460749988712400765217057517978834166256249407589069704000281210427621771117778053153171410117046665991466979873176135600670874807101317952368942752194843530567830022878569978297783478458782289110976250030269615617002504643382437764861028383126833037242926752631165339247316711121158818638513316203840052221657912866752946549068113171599343235973494985090409476213222981017261070596116456299098162905552085247903524060201727997471753427775927786256194320827505131218156285512224809394712341451702237358057727861600868838295230459264787801788992199027077690389532196819861514378031499741106926088674296226757560523172777520353613936

Mas, se estudarmos a razão entre dois números de Fibonacci maiores, obtemos um número com mais casas decimais, o exemplo seguinte tem 1000 casasdecimais…

O número mágico de qual a razão se aproxima é o nosso número de ouro, equanto maior forem os números de Fibonacci usados na razão maior será a aproximação a .

Números de Fibonacci

Plantas:- O número de pétalas das margaridas é constantemente, um númerode Fibonacci:

Margaridas Azuis – 13 pétalasMargaridas Inglesas – 21 pétalasMargaridas Africanas – 55 pétalas

-Existem ainda outras flores onde isto também acontece

Algumas plantas apresentam os números de Fibonacci no crescimento dosseus galhos:

Animais- Reprodução dos coelhos, e abelhas

Este exemplo é usado, muitas vezes, como exemplo, para a sequência de Fibonacci, mas crê-se que não é real

Anatomia do Homem- Temos cabeça, tronco e membros;- Nos nossos membros superiores, temos:

- 2 braços;- 2 mãos;

- Numa mão temos:- 5 dedos;

- Em cada dedo temos:- 3 partes separadas por duas ( 2 ) articulaçõesou 2 partes separadas por uma ( 1 ) articulação

Triângulo de Pascal

Divisões Contínuas

1 1 11 1 1 11 11 1 11 1 1

1 1 1 11 1 1 1 1

3 51 22 3 5 8

1, , , , ,...

1, , , , ,...

Razão de ouro

Pintura - Razão entre as medidas dos lados dos quadros

Arquitectura

Dimensões áureas do Homem

Indústria, Comércio e Publicidade- Cartazes publicitários;- Cartões de Crédito;- Revistas, jornais;- Títulos de livros;

+

=

Em Geometria, um gnomon é uma figura geométrica (G) que quando “ligada” Convenientemente (sem partes separadas) a outra figura geométrica (A) resulta numa figura (G&A) semelhante no sentido geométrico à figura (A).

Na Grécia antiga, o significado da palavra gnomone é “Aquele que sabe”,por isso, não é surpresa que a palavra tenha um significado no vocabuláriodos matemáticos.

Os gnomons vão desempenhar um papel importante no crescimento espiral.

Antes de aprofundarmos o conceito de gnomon vamos aprofundar o conceitode semelhança geométrica. Sabemos que em geometria dois objectos sãosemelhantes se um for obtido à escala de outro (redução, ampliação, igual).

Por exemplo, quando projectamos a imagem de um slide numa tela, criamos umaimagem semelhante mas maior. Outro exemplo é uma redução, ou ampliação deuma imagem numa fotocopiadora.

- Dois triângulos são semelhantes se os seus lados, são proporcionais, alternativamente dois triângulos são semelhantes se a medida dos seus respectivos ângulos for a mesma;

- Dois quadrados são sempre semelhantes;

- Dois rectângulos são semelhantes se os seus lados são proporcionais, isto é,

- Duas circunferências são sempre semelhantes;

- Dois anéis circulares são semelhantes se os seus raios interiores e exteriores São proporcionais, isto é

Aqui ficam alguns resultados básicos de semelhança de figuras geométricas,que vamos utilizar:

1 12 2

ladomaior ladomenorladomaior ladomenor

1 int 12 int 2

raioexterior raio eriorraioexterior raio erior

Exemplo 1:

O quadrado A tem a figura em forma de L, G como gnomon porque quando G é encaixado com A formam outro quadrado, e portanto A e A’ são semelhantes, pois dois quadrados são sempre semelhantes.

Os gnomons para uma figura geométrica não são reversíveis e não são unicos

Uma figura tem sempre ela própria por gnomon

Considerando agora a figura original G

E o seu possível gnomon A

A figura obtida nunca é semelhante à figura original

Observação:

Portanto:

Exemplo 2 A circunferência C tem como gnomon o anel G (não sendo o único), o raio interior de G tem de ser r, e o raio exterior de G pode ser qualquer número R maior que r. Quando encaixamos o anel G na circunferência C, obtemos uma nova circunferência C’ que é semelhante a C, pois todas as circunferências são semelhantes.

Exemplo 3

Considerando agora o anel C com o raio exterior r e outro anel H com raio interior r e raio exterior R (qualquer). Será que H é um gnomon para o anel C ?

Qualquer pessoa é tentada a pensar que com uma escolha apropriada para o raio exterior talvez funcione, mas nunca vai dar. Não importa o valor que escolhemos para o raio exterior do anel H, quando encaixamos os dois anéis, C e H, o anel resultante C’ nunca vai ser semelhante a C, pois o raio interior de C’ continua o mesmo de C, mas o raio exterior é muito maior, e portanto a nova figura não é proporcional à primeira

Exemplo4

Suponhamos que temos um rectângulo R de altura h e base b. A figura geométrica com a forma do L ( G ), é um gnomon para o rectângulo R se a razãoentre b/h e y/x for igual. Neste caso G pode ser “encostada” a R, de modo a quejuntas formem um rectângulo R’ semelhante a R.

Uma maneira muito simples de construir o gnomon em forma de L (G) é notando que a diagonal do rectângulo original R é também a diagonal do canto de G.

Exemplo 5No exemplo seguinte vamos fazer as coisas de modo inverso.Consideremos um triângulo isósceles T, com as seguintes medidas de ângulos72º, 72º e 36º

No lado DC, marcamos o ponto A, de modo que BA seja congruente com BC.O triângulo T’ cujos vértices são C, B e A é também um triângulo isósceles, em que os ângulos em C e A são congruentes.Deste modo, T’ vai ter ângulos de medidas 72º, 36º e 72º. Assim T’ vai ser semelhante ao nosso triângulo original T.

E daí? Podem perguntar!!!!!! Onde está o gnomon para o triângulo T?

Ainda não temos nenhum, por enquanto…

Mas já temos um gnomon para o triângulo T’, que é o triângulo G’, cujos vérticessão A, B e D.

Depois deste processo, quando o triângulo G’ é ligado ao triângulo T’, obtemoso triângulo T

O gnomon G’ é também um triângulo isósceles, cujos ângulos têm por medidas36º, 36º e 108º.

Agora já sabemos como encontrar um gnomon, não só para o triângulo T’, mas também para qualquer triângulo cujos medidas dos ângulos sejam 72º - 72º - 36º : ligando um triângulo de medidas de ângulos 36º- 36º - 108ºa um dos lados maiores do triângulo original

Este exemplo tem um interesse especial por duas razões.

Primeiro, porque pela primeira vez temos um exemplo onde a figura original e o seu gnomone são do mesmo tipo ( triângulos isósceles )

Segundo, porque os triângulos isósceles desta história (72º - 72º - 36º e 36º- 36º - 108º ) têm uma propriedade que os torna únicos: em ambos os casos a razão dos seus lados (o lado maior sobre o lado menor) é o número de ouro. Estes são os únicos triângulos isósceles que têm esta propriedade e por esta razão são chamados triângulos de ouro.

Se repetirmos este processo indefinidamente, obtemos uma série emespiral de triângulos que vão ter sempre as medidas de ângulos72º - 72º - 36º

Para além dos triângulos de ouro, existem também os rectângulos de ouro, que são rectângulos que satisfazem a seguinte condição:

A razão entre o lado maior e o lado menor do rectângulo têm de serigual ao número de ouro

Na arte, um dos quadros que ficou bastante conhecido e onde se encontra o rectângulo de ouro, é na Gioconda (em 1505) de Leonardo Da Vinci. Se reparar, noseu rosto está inscrito um rectângulo de ouro. Naaltura, este quadro foi uma inovação, que se desenvolveu também com a ajuda de Luca Pacioli, autorda Divina Proporção.

Uma das mais maravilhosas construções da antiguidade, O Parthenon de Atenas, Grécia , já tema forma de um rectângulo de ouro

Qualquer rectângulo de ouro tem um gnomon quadrado, este resultadoleva-nos a mais um resultado interessante, como vamos ver de seguida:

Primeiro colocamos um quadrado de lado 1;Associamos a esse quadrado, outro quadrado com lado1; Obtemos um rectângulo de dimensões 2, 1; ( rectângulo de ouro )Então tem por gnomone um quadrado de lado 2 (maior lado do rectângulo anterior)Então temos um novo rectângulo de ouro de dimeñsões 3, 2;………………………………………………………………Então tem por gnomone um quadrado de lado 3Então temos um novo rectângulo de ouro de dimeñsões 5, 3;

Reparemos que os quadrados que aparecem têm por dimensões 1, 1, 2, 3, 5, 8, …..

E os rectângulos que se obtêm têm por medidas de lados estes números!1º rectângulo a aparecer tem por dimensões 2 – 1;2º rectângulo aparecer tem por dimensões 3 – 2;3º rectângulo a aparecer tem por dimensões 5 – 3;…

Estes números são os nossos conhecidos, números de Fibonacci.Os rectângulos que aparecem têm por medidas sempre dois númerosconsecutivos de Fibonacci, e por isso também são chamados por rectângulosde Finonacci.

Por cada um dos quadrados, passarmos, um quarto de círculo seguindo umadeterminada ordem vamos formar “A espiral dos rectângulos de Fibonacci”

Se nesta figura,

Neste trabalho, estudámos um tipo de crescimento especial – crescimentoGnomático – onde, certas formas crescem, pela adição de gnomons, preservando a sua forma original, mesmo quando estão a crescer.

O Náutilus Marinho, segue, este tipo de crescimento,

Gnomon

Outros exemplos:

Pinha

Vegetais (couve flor)

Plantas (Girassóis)