03 Conjuntos Fuzzy IC

ENGK37 - INTELIGÊNCIA COMPUTACIONALConjuntos Fuzzy

Prof. Bernardo Ordoñez

Curso de Engenharia ElétricaDEE – Departamento de Engenharia Elétrica

Escola Politécnica - UFBA1

Conjuntos Fuzzy

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Conjuntos Fuzzy Representação da Incerteza

Por que essa necessidade de expressare lidar com informações imprecisas?

Modelagem

Representação

Raciocínio

Processamento

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Conjuntos Fuzzy Representação da Incerteza

Seres humanos processam informaçãoe raciocinam utilizando termoslinguísticos Imprecisão!

“Se a velocidade é alta e existe uma curva

acentuada, então frear forte até que a velocidade

seja adequada para fazer a curva com segurança.”

Como fazer que os computadoresprocessem esse tipo de informação?

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Conjuntos Fuzzy Representação da Incerteza

Imperfeição da informação: incerteza, imprecisão,conflito, ignorância parcial, etc.

A que horas começa a aula de I.C.?Informação perfeita:Informação imprecisa:Informação incerta:Informação vaga:Informação probabilista:Informação possibilista:Informação inconsistente:Informação incompleta:Ignorância total:

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Conjuntos Fuzzy Representação da Incerteza

Imperfeição da informação: incerteza, imprecisão,conflito, ignorância parcial, etc.

A que horas começa a aula de I.C.?Informação perfeita: a aula começa às 8h 15min.Informação imprecisa: a aula começa entre 8h e 9h.Informação incerta: eu acho que a aula começa às 8h (masnão tenho certeza).Informação vaga: a aula começa lá pelas 8h.Informação probabilista: é provável que a aula comece às 8h.Informação possibilista: é possível que a aula comece às 8h.Informação inconsistente: Maria disse que a aula começa às8h, mas João disse que ele começa às 10h.Informação incompleta: eu não sei a que horas começa aaula, mas usualmente as aulas nesta faculdade começam às 8h.Ignorância total: eu não faço a menor idéia do horário daaula. 6

Conjuntos Fuzzy Representação da Incerteza

“Não se imagina como tudo é vago até que se tentefazê-lo de modo preciso”.

Bertrand Russel

Mundo real: as informações variam de perfeitas acompletamente imperfeitas.

Comportamento racional: tomar decisões razoáveismesmo diante de informações imperfeitas.

Metodologia: encontrar um modelo adequado pararepresentar a informação imperfeita obtida deacordo com seu tipo de imperfeição.

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Conjuntos Fuzzy Representação da Incerteza

Modelos formais para tratamento de imperfeiçõesna informação:

Informação imprecisa e/ou vaga: teoria dos conjuntos nebulosos eteoria dos conjuntos de aproximação.

Informação probabilista: teoria de probabilidades ou teoria daevidência (ou de Dempster-Shafer).

Informação possibilista: teoria de possibilidades.

Informação incerta: teorias de probabilidades, possibilidades ouevidência.

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Conjuntos Fuzzy

Princípio da Incompatibilidade

“A medida que a complexidade de um sistemaaumenta, nossa habilidade para fazer afirmaçõesprecisas e que sejam significativas acerca destesistema diminui até que um limiar é atingido além doqual precisão e significância (ou relevância) tornam-se quase que características mutuamente exclusivas.”

Lofti ZadehFuzzy Sets, Information and Control, 1965

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Conjuntos Fuzzy

Teorema da Aproximação

“ É sempre possível aproximar uma curva com umnúmero finito de remendos.”

Bart Kosko

Remendos são pedaços de conhecimento sobre oproblema

Cada remendo corresponde a uma regra, ou proposiçãoda forma: Se velocidade é alta então pise forte no freio. Se a terra está muito seca e a temperatura muito alta então reguebastante.

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Conjuntos Fuzzy

Teorema da Aproximação

“ É sempre possível aproximar uma curva com umnúmero finito de remendos.”

Bart Kosko

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Conjuntos Fuzzy

Vantagens

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Conjuntos Fuzzy

Utilizam regras que expressam as imprecisões eaproximações do mundo real.

Mais fáceis de entender, manter e testar.

Podem ser prototipados em menos tempo.

Podem operar com falta de regras ou regrasdefeituosas.

Vantagens

Necessitam menos regras.

Avaliam regras paralelamente.

Acumulam evidências contra e a favor.

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Conjuntos Fuzzy

Desvantagens

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Conjuntos Fuzzy

Validação e verificação: Embora sejam mais fáceis deconstruir e prototipar que sistemas convencionais, elesnecessitam que sejam executadas mais simulações enecessitam de mais sintonia antes de serem definitivamenteaprovados.

Formalismo: Não tem uma definição matemática precisa enítida como os sistemas tradicionais.

Desvantagens

Capacidade de aprendizado: Não aprendem com aexperiência. Sistemas híbridos são utilizados para diminuíremesta desvantagem.

Determinação das funções e regras: É díficil oestabelecimento de regras nebulosas corretas.

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Conjuntos Fuzzy

“Lógica Nebulosa é errada. O que precisamo é maispensamento lógico, não menos. O perigo da lógicanebulosa é que ela irá encorajar aquele tipo depensamento impreciso que nos trouxe tantasdificuldades. Lógica nebulosa é a cocaína da ciência.”

Prof. William Kahan, U. California - Berkeley

“Nebulização é uma espécie de permissividadecientífica. Ela tende a resultar em sloganssocialmente atrativos desamconhados da duradisciplina do trabalho científico e da observaçãopaciente.”

Prof. Rudof Kalman, U. Da Flórida - Gainesville

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Conjuntos Fuzzy

Produtos comerciais

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Conjuntos Fuzzy

Produtos comerciais

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Conjuntos Fuzzy

Produtos comerciais

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Conjuntos Fuzzy

Produtos comerciais

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Conjuntos Fuzzy Conjuntos tradicionais

Classificam elementos em conceitos: números pares cidades que são capitais na América do Sul carros esportes números impares times de futebol…

Na realidade existem situações como estas: grandes cidades da América do Sul baixa temperatura alta taxa de inflação

Termos como os seguintes: pequeno erro de aproximação rápida resposta de um sistema dinâmicomal condicionamento de um sistema de equações lineares

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Conjuntos Fuzzy Conjuntos tradicionais

Um conjunto é qualquer coleção de objetos quepodem ser tratados como um todo.

Cantor descreveu um conjunto por meio de seusmembros um item de um certo universo émembro ou não do conjunto.

Os termos “conjunto”, “coleção” e “classe” sãousados como sinônimos, da mesma forma que“item”, “elemento” e “membro” se referem à mesmaentidade.

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Conjuntos Fuzzy Conjuntos tradicionais

Um conjunto pode ser especificado por seuselementos caracterização completa.

A lista de membros define um conjunto finito.

Não é possível listar todos os elementos de umconjunto infinito.

Deve-se encontrar uma propriedade que caracterizatodos os elementos do conjunto, por exemplo, todosos números reais pares.

Há duas maneiras de descrever um conjunto: Explicitamente: por meio de uma lista. Implicitamente: por meio de um predicado que deve sersatisfeito pelos membros.

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Conjuntos Fuzzy

Muitos conjuntos encontrados no mundo não são definidos por uma fronteira clara.

Lofti Zadeh

Conjuntos podem ter mais de um critério depertinência além de estar contido ou não.

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Conjuntos Fuzzy

Embora conjuntos clássicos sejam a base de todateoria matemática moderna, eles apresentamproblemas quando aplicados à uma enorme classe deproblemas do mundo real. O problema da escolha dolimiar entre dois conjuntos (alto/não alto) édenominado de paradoxo Sorites, atribuído aodialético, Eubulides de Mileto, adversário deAristóteles.

O paradoxo se enuncia com os seguintes termos:

Quando um monte de areia deixa de ser um montede areia, caso retiremos um grão de areia de cadavez?

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Conjuntos Fuzzy

Tome como exemplo o “conjunto das pessoasjovens”.

Exemplos:

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Conjuntos Fuzzy

Tome como exemplo o “conjunto das pessoasjovens”.

Um bebê com um ano de idade certamente pertence aeste conjunto, e uma pessoa de 100 anos certamente nãoestá presente no conjunto, mas o que podemos dizersobre as pessoas de 20, 30 e 40 anos de idade?

Exemplos:

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Conjuntos Fuzzy

Zadeh propôs um “grau de pertinência”, de formaque a transição entre pertinência e não-pertinência égradual e não abrupta.

Proposta de Zadeh:

Grau de pertinência:O grau de pertinência para todos os seus membros descreveum conjunto fuzzy.

O grau de pertinência de um elemento é um número entre 0e 1, frequentemente denotado pela letra grega μ.

Quanto mais alto o número, maior o grau de pertinência.

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Conjuntos Fuzzy

Gráfico de pertinência com função “S”

Zadeh não dá uma base formal para determinar o grau depertinência.

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Conjuntos Fuzzy

Gráfico de pertinência com função “S”

Zadeh não dá uma base formal para determinar o grau depertinência. O grau de pertinência de uma pessoa de 50 anos ao conjuntode pessoas jovens depende da visão de cada um. O grau de pertinência é uma noção precisa mas subjetiva quedepende do contexto.

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Conjuntos Fuzzy Grau de pertinência × probabilidade

O grau de pertinência fuzzy difere da noção estatísticade distribuição de probabilidade.

Podemos ver a função de pertinência fuzzy como umadistribuição pessoal, em contraste com a distribuiçãoestatística que é baseada em observações.

Tecnicamente: fuzzy representa imprecisão ouincerteza baseada na intuição humana e não nateoria de probabilidade.

Não é probabilidade! Lógica nebulosa não é probabilidade.

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Conjuntos Fuzzy Grau de pertinência × probabilidade

O fato de pertencer ao conjunto das pessoas altas, comum grau de inclusão de 0,25, indica estar afastado doideal de altura por uma diferença de 0,75.

O grau 0,25 não significa que uma pessoa com a minhaaltura possa ser encontrada com probabilidade 0,25 noconjunto das pessoas altas.

Eu posso ser a única pessoa com a minha altura noconjunto das pessoas altas, ou todas podem ter aminha altura e mesmo assim o grau se mantém.

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Conjuntos Fuzzy Universo

Definição de Universo:

Elementos de um conjunto fuzzy são tomados apartir de um universo. O universo contém todos os elementos que podemser considerados.

Contexto:

Até mesmo o universo depende do contexto.

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Conjuntos Fuzzy Universo

O conjunto das pessoas jovens poderia ter todas aspessoas do mundo como universo. Por outro lado, ouniverso poderia ser a faixa de 0 a 100, querepresentariam a idade.

Função pertinência para o conjunto fuzzy de pessoas jovens34

Conjuntos Fuzzy Universo

O emprego do universo visa suprimir o uso de dadosincorretos, por exemplo medições negativas de umnível de tanque.

Quando lidamos com quantidades não numéricascomo, por exemplo, “sabor” que não pode ser medidoem uma escala numérica, não podemos fazer uso deum universo numérico.

Os elementos são tomados a partir de um conjunto denoções psicológicas: por exemplo, o universo poderiaser {amargo, doce, azedo, salgado, quente,...}.

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Inteligência computacional Funções de pertinência

Cada elemento do universo tem um grau depertinência ao conjunto fuzzy, talvez nulo.

O conjunto de elementos que têm grau de pertinêncianão nulo é dito “conjunto suporte” do conjunto fuzzy.

A função que associa um número a cada elemento x douniverso é dita função de pertinência, sendo denotadapor μ(x).

Sobre pertinência

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Inteligência computacional Funções de pertinência

Funções de pertinência representadas em computadorpodem ser: Contínuas. Discretas.

No caso contínuo, a função de pertinência é uma função matemática,possivelmente um programa. Exemplos de funções de pertinência são a curva s, a curva z, atriangular e a trapezoidal.

No caso discreto, a função de pertinência e o universo são pontos deuma lista (vetor), e algumas vezes pode ser conveniente representá-lapor meio de amostras.

Em geral, a forma contínua demanda mais CPU, mas requermenos memória do que a forma discreta.

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Inteligência computacional Pares Fuzzy

Um conjunto fuzzy A é uma coleção de pares:A = {(x, μ(x))}

O item x pertence ao universo e μ(x) é o grau de pertinência a A.

Um par (x, μ(x)) é dito “par fuzzy”, logo o conjunto pode servisto como a união de “pares fuzzy”.

Pode ser conveniente pensar em A como um vetor:

a = (μ(x1), μ(x2), . . . , μ(xn))

em que se entende que cada posição i(1,2,..., n) corresponde aum ponto do universo.

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Inteligência computacional Variáveis linguísticas

Da mesma forma que variáveis algébricas assumemvalores numéricos, uma “variável linguística” pode terpalavras ou sentenças como valores.

Interpretação:

O conjunto de valores que ela pode assumir é dito “conjunto determos”. Cada valor no conjunto de termos é uma “variável fuzzy”definida sobre a “variável base”. A “variável base” define o universo do discurso para todos asvariáveis fuzzy no conjunto de termos. A hierarquia é dada por: variável linguística variável fuzzy

variável base.

Terminologia:

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Inteligência computacional Variáveis linguísticas

Seja x uma variável linguística sobre idade.

Alguns termos desta variável linguística, que são conjuntos fuzzy,podem ser: “idoso”, “jovem” e “muito jovem”.

O conjunto de termos pode ser colocado como:

T = {idoso, não tão velho, meio jovem, jovem, muito jovem}

Cada termo do conjunto de termos T é uma variável fuzzy sobre avariável base, a qual pode ter como escala valores entre 0 e 100anos.

Exemplo:

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Inteligência computacional

A variável base está definida no universo paratodas as variáveis fuzzy no conjunto de termos

Valores como palavras ou sentenças

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Inteligência computacional

Exercício em sala de aula:

1. Identificar um problema qualquer para abordar. Controle de processo. Valor da apólice de seguro de vida.

Usem a criatividade...

2. Definir o sistema com: Variável linguística. Variável fuzzy. Variável base. Universo. Função de pertinência.

42

Inteligência computacional

Exercício em sala de aula:

Exemplo 1 - Tanque de Cimento em pó

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Inteligência computacional

Exercício em sala de aula:

Exemplo 2 - Estacionamento

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Inteligência computacional

Exercício em sala de aula:

Uma universidade resolveu mudar o seu método de avaliação,principalmente influenciada pelo motivo de que um aluno com média 5é aprovado, e outro com média 4,9 é reprovado. A universidade entãoresolveu, que, além da média anual na disciplina, outros méritos devemser avaliados para a aprovação ou não de um aluno. Desta forma,formule um sistema fuzzy que leve em consideração outros méritos, e dêcomo resposta se o aluno deve ser aprovado, reprovado ou fazer umcurso de férias para tentar melhorar o seu aproveitamento.

Determine a seguinte ação:

Os conjuntos fuzzy (no mínimo 3) e suas relações de pertinência para asvariáveis de entrada que você escolheu, além da média anual.

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Inteligência computacional

Exercício em sala de aula:

Utilizando apenas o senso comum, defina algumasfunções de pertinência para os seguintes conjuntosnebulosos. Pode ser gráfico ou tabela, seja claro.

N é pequeno. x é muito maior do que y. O vento está forte. x está entre -5 e 2.

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Inteligência computacional Operações sobre conjuntos Fuzzy

A função de pertinência é obviamente um componentecrucial de um conjunto fuzzy.

Naturalmente, espera-se definir algumas operaçõessobre conjuntos fuzzy através de suas funções depertinência.

Estas operações sobre os conjuntos fuzzy deveriamcriam um novo conjunto fuzzy, ou vários conjuntos.

47

Inteligência computacional Operações sobre conjuntos Fuzzy

Estas operações sobre os conjuntos fuzzy deveriam criamum novo conjunto fuzzy, ou vários conjuntos.No exemplo a partir de A e B temos...

As operações:

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Inteligência computacional Operações sobre conjuntos Fuzzy

Estas operações sobre os conjuntos fuzzy deveriam criamum novo conjunto fuzzy, ou vários conjuntos.No exemplo a partir de A e B temos...

As operações:

49

Inteligência computacional Definição

Sejam e dois conjuntos fuzzy em um mesmouniverso. A interseção de e é definida por:

ou seja o grau de pertinência de um elemento emrelação a é dado por:

baBA min≡∩

)).(),(min()( xxx BABA µµµ =∩

BA∩

BA B

A

x

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Inteligência computacional Definição

Sejam e dois conjuntos fuzzy em um mesmouniverso. A união de e é definida por:

ou seja o grau de pertinência de um elemento emrelação a é dado por:

baBA max≡∪

)).(),(max()( xxx BABA µµµ =∪

BA∪

BA B

A

x

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Inteligência computacional Definição

O conjunto completo de é definido por:

ou seja o grau de pertinência de um elemento emrelação ao conjunto é dado por:

aA −=1

).(1)( xx AA µµ −=

A

)(AA

x

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Inteligência computacional Definição

)()( xx yx µµ ≤

YX ⊆YUm conjunto fuzzy é um subconjunto fuzzy de ,

escrito , se sua função de pertinência for menorou igual à função de pertinência de para todos oselementos do universo em comum.

X

Y

)()( BABA ∪⊆∩

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Inteligência computacional

Exemplo – Comprando uma casa:

Uma família com quatro integrantes deseja compraruma casa. Uma indicação de conforto se refere ao número de quartos de dormir. Eles também desejam comprar uma casa grande.

Seja u = (1, 2,..., 10) o conjunto de casas disponíveisdescritas pelo número de quartos de dormir.

Que conjuntos fuzzy seriam apropriados utilizar?

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Inteligência computacional

Exemplo – Comprando uma casa:

Podemos definir um conjunto fuzzy que caracteriza oconforto descrito como:

]0 0 0 0 0,3 0,7 1 0,8 0,5 0,2[=c

E ainda deveríamos definir um outro conjunto fuzzyque caracteriza a noção de grandeza da casa, que podeser descrito como:

]1 1 1 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0[=g

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Inteligência computacional

Exemplo – Comprando uma casa:

A interseção entre confortável e grande é dado por:

Interpretando o conjunto fuzzy , concluímos que:

]0 0 0 0 0,3 0,6 0,4 0,2 0 0[=∩ gc

gc∩

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Inteligência computacional

Exemplo – Comprando uma casa:

A interseção entre confortável e grande é dado por:

Interpretando o conjunto fuzzy , concluímos que:

Uma casa com 5 quartos é ótima, mas satisfatória com grau 0,6.

A segunda melhor solução é a casa com 4 quartos.

]0 0 0 0 0,3 0,6 0,4 0,2 0 0[=∩ gc

gc∩

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Inteligência computacional

Exemplo – Comprando uma casa:

A união entre confortável e grande é dado por:

Interpretando o conjunto fuzzy , concluímos que:

]1 1 1 1 0,8 0,7 1 0,8 0,5 0,2[=∪ gc

gc∪

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Inteligência computacional Operações sobre conjuntos Fuzzy

Exemplo – Comprando uma casa:

A união entre confortável e grande é dado por:

Interpretando o conjunto fuzzy , concluímos que:

Uma casa com 4 quartos é totalmente satisfatória porque éconfortável.

As casas 7, 8, 9 e 10 também são totalmente satisfatóriasporque são grandes.

]1 1 1 1 0,8 0,7 1 0,8 0,5 0,2[=∪ gc

gc∪

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Inteligência computacional

As operações e são associativas e comutativas.∪ ∩

Estas propriedades são importantes, pois nos ajudam apredizer o resultado de sentenças longas.

ABBAABBA

∩=∩∪=∪

)()()()(

CBACBACBACBA

∩∩=∩∩∪∪=∪∪

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Inteligência computacional

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Inteligência computacional Modificadores

Um modificador linguístico é uma operação quemodifica o significado de um termo.

Por exemplo, na sentença “muito próximo de 0”, apalavra muito modifica a sentença “próximo de 0” queé um conjunto fuzzy.

Um modificador é portanto uma operação sobre umconjunto fuzzy.

Exemplos de outros modificadores são “pouco”, “maisou menos”, “possivelmente” e “com certeza”.

Que efeito produz o modificador?

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Inteligência computacional Modificadores

Embora seja difícil deixar preciso o significado do efeitodo modificador “muito”, com certeza ele produz umefeito Intensificador.

O modificador “mais ou menos” tem o efeito oposto.

Os modificadores são muitas vezes aproximados pelasoperações:

)(teligeiramen)(teextremamen

)(menosou mais

)(muito

3/1

3

2

aaaa

aa

aa

→≡

→≡

→≡

→≡

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Inteligência computacional Modificadores

Exemplo para um conjunto discreto de idades em umuniverso tal:

U = [10 20 30 50 60 70 80 90]

Como seria um provável conjunto jovem com arespectiva função de pertinência?

E as derivações das funções de pertinência para osconjuntos: Muito_jovem; Muitíssimo_jovem; Pouco_jovem.

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Inteligência computacional Relações entre conjuntos

Em um controlador fuzzy, relações entre objetosdesempenham um papel relevante.

Algumas relações se referem a elementos de um mesmouniverso:uma medida é maior que outra.um evento ocorreu antes de outro.um elemento se assemelha a outro.Outras relações se referem a elementos de universosdisjuntos: a medida é grande e a taxa de variação é positiva. o valor de x é grande enquanto o de y é pequeno.

Estes são exemplos de relações entre dois objetos, masem princípio podemos ter relações entre um númeroqualquer de objetos.

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Inteligência computacional Relações entre conjuntos

Formalmente, uma “relação binária” ou simplesmente“relação R” de um conjunto A para um conjunto Bdesigna para cada par precisamenteuma das sentenças:

i) a está relacionado a b.ii) a não está relacionado a b.

Relação binária:

BAba ×∈),(

O produto cartesiano é o conjunto de todas aspossibilidades de combinarmos itens de A com os de B.

BA×

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Inteligência computacional Relações entre conjuntos

Suponha que José tem um sobrinho João que separece com o sobrinho Pedro com um grau de 0,8, masJoão também se assemelha ao sobrinho Marcos comum grau de 0,9 (relação R1).

Exemplo:

José

João Pedro Marcos67

Inteligência computacional Relações entre conjuntos

0,6 Marcos 0,5 PedroR2José

=

Para ilustramos a composição de duas relações,considere a relação entre o tio José e os sobrinhosPedro e Marcos (relação R2):

José

João Pedro Marcos

???

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Inteligência computacional Relações entre conjuntos

Podemos tentar descobrir o quanto João se parececom o tio José combinando as informações nasrelações R1 e R2:i) João se parece com Pedro com um grau de 0,8, enquanto Pedrose parece com o tio José com um grau de 0,5.ii) João se parece com Marcos com um grau de 0,9, enquantoMarcos se parece com o tio José com um grau de 0,6.

Observações: A declaração (i) consiste de uma cadeia de relações e parecerazoável encadeá-la através da operação de interseção. Isto corresponde a escolher o valor de pertinência menor para arelação transitiva João José, ou seja, 0,5. Podemos proceder de maneira similar na situação (ii).

69

Inteligência computacional Relações entre conjuntos

Realizando a operação nas cadeias (i) e (ii) obtemos:

iii) João se parece com o tio José com um grau de 0,5. iv) João se parece com o tio José com um grau de 0,6.

O resultado final:

As declarações (iii) e (iv) são igualmente válidas, entãoé razoável aplicarmos o operador de união.

Isto corresponde a escolhermos a relação mais forte, ouseja, o valor máximo das relações.

v) João se parece com o tio José com um grau de 0,6.

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Inteligência computacional Relações entre conjuntos

A regra geral para composição de relações fuzzyconsiste em tomarmos o mínimo em uma série deconexões, e tomarmos o máximo em conexõesparalelas.

Composições:

É conveniente realizarmos isto por meio do “produtointerno”.

O produto interno é similar ao produto interno dematrizes, exceto que a multiplicação é substituída pelainterseção e a soma é substituída pela união .)(∪)(∩

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Inteligência computacional Relações entre conjuntos

Suponha que R é uma matriz e S é uma matriz.

pm×np×

Então o produto interno é uma matriz

em que a entrada é obtida combinando a i-ésimalinha de R com a j-ésima coluna de S, tal que:

∩⋅∪

][ jitTnm ==×

ij

p

kkjik

pjipjijiji

sr

srsrsrt

1

2211

)(

)()()(

=

∩=

∩∪∩∪∩=

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Inteligência computacional Relações entre conjuntos

De acordo com as definições adotadas para interseçãoe união (min e max), a composição de duas relações sereduz ao que é conhecido na literatura por“composição max-min”.

Se R é uma relação de a para b e S é uma relação de bpara c, então a composição de R e S é uma relação de apara c (lei transitiva).

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Inteligência computacional Relações entre conjuntos

Seja o exemplo do tio José e seus sobrinhos e asrelações R1 e R2.

Exemplo:

6,0

]6,05,0[

6,05,0

]9,08,0[21

=

=

∩⋅∪=∩⋅∪

RR

74

Inteligência computacional

Fim de Aula.75