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Álgebra das Proposições
Ciência da Computação
Lógica Matemática
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LÓGICA MATEMÁTICA - CONTEÚDO
Álgebra das Proposições
Propriedades da Disjunção Propriedades da Conjunção e Disjunção
Propriedades da Conjunção
Negação da Condicional
Negação da Bicondicional
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PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃOLÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições
Sejam p, q, r proposições simples.Sejam t, c proposições simples e
V(t) = V e V(c) = F.Propriedade IDEMPOTENTE:
p ^ p pAssim, temos:X < 0 ^ X < 0 X < 0
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PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃOLÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições
Sejam p, q, r proposições simples.Sejam t, c proposições simples e
V(t) = V e V(c) = F.Propriedade COMUTATIVA:
p ^ q q ^ pAssim, temos:X < 0 ^ X 1 X 1 ^ X < 0
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PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃOLÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições
Sejam p, q, r proposições simples.Sejam t, c proposições simples e
V(t) = V e V(c) = F.Propriedade ASSOCIATIVA:
(p ^ q) ^ r p ^ (q ^ r)Assim, temos:(a>=b ^ bc) ^ (c<d) (a>=b)^ (b c ^ c < d)
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PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃOLÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições
Sejam p, q, r proposições simples.Sejam t, c proposições simples e
V(t) = V e V(c) = F.Propriedade IDENTIDADE:
p ^ t p e p ^ c cAssim, temos:(x 1)^|x|>=0 (x 1) e (x1)^|x|<0 |x|<0
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PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃOLÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições
Propriedade IDENTIDADE:
p ^ t p e p ^ c c
p t c p ^ t p ^ c p^t <-> c p^c <-> cV V F V F V VF V F F F V V
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PROPRIEDADES DA DISJUNÇÃOLÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições
Sejam p, q, r proposições simples.Sejam t, c proposições simples e
V(t) = V e V(c) = F.Propriedade IDEMPOTENTE:
p v p pAssim, temos:X < 0 v X < 0 X < 0
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PROPRIEDADES DA DISJUNÇÃOLÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições
Sejam p, q, r proposições simples.Sejam t, c proposições simples e
V(t) = V e V(c) = F.Propriedade COMUTATIVA:
p v q q v pAssim, temos:X < 0 v X 1 X 1 v X < 0
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PROPRIEDADES DA DISJUNÇÃOLÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições
Sejam p, q, r proposições simples.Sejam t, c proposições simples e
V(t) = V e V(c) = F.Propriedade ASSOCIATIVA:
(p v q) v r p v (q v r)Assim, temos:(a>=b v bc) v (c<d) (a>=b) v (b c v c < d)
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PROPRIEDADES DA DISJUNÇÃOLÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições
Sejam p, q, r proposições simples.Sejam t, c proposições simples e
V(t) = V e V(c) = F.Propriedade IDENTIDADE:
p v t t e p v c pAssim, temos:(x 1)v|x|>=0 (x 1) e (x1)v|x|<0 |x|<0
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PROPRIEDADES DA DISJUNÇÃOLÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições
Propriedade IDENTIDADE:
p v t t e p v c p
p t c p v t p v c pvt <-> t pvc <-> pV V F V V V VF V F V F V V
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PROP.DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃOLÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições
Propriedade DISTRIBUTIVA:
p ^ (q v r) (p ^ q) v (p ^ r)
p v (q ^ r) (p v q) ^ (p v r)
Sejam p, q, r proposições simples.
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PROP. DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃOLÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições
Propriedade DISTRIBUTIVA:p ^ (q v r) (p ^ q) v (p ^ r)
p q r q v r p^(q v r) p ^ q p ^ r (p^q)v(p^r)V V V V V V V VV V F V V V F V V F V V V F V VV F F F F F F F F V V V F F F FF V F V F F F F F F V V F F F FF F F F F F F F
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PROP.DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃOLÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições
Propriedade DISTRIBUTIVA:Por exemplo: “Carlos estuda e Jorge
ouve música ou lê”.
É EQUIVALENTE A:
“Carlos estuda e Jorge ouve música ou Carlos estuda e Jorge lê”.
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PROP.DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃOLÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições
Propriedade ABSORÇÃO:
p ^ (p v q) p
p v (p ^ q) p
Sejam p, q, r proposições simples.
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PROP. DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃOLÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições
Propriedade ABSORÇÃO:p ^ (p v q) p
p q p v q p^(p v q) p^ (p v q) <-> pV V V V VV F V V VF V V F VF F F F V
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PROP.DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃOLÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições
Propriedade REGRAS DE MORGAN:
~ (p ^ q) ~ p v ~ q
~ (p v q) ~ p ^ ~q
Sejam p, q, r proposições simples.
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PROP. DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃOLÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições
Propriedade REGRAS DE MORGAN:~ (p ^ q) ~ p v ~ q
p q p ^ q ~ (p^q) ~p ~q ~p v ~qV V V F F F FV F F V F V VF V F V V F VF F F V V V V
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PROP.DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃOLÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições
Exemplo REGRAS DE MORGAN :
“É inteligente e estuda”, por Morgan:“Não é inteligente ou não estuda”.
“É médico ou professor”, por Morgan:“Não é médico e não é professor”.
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PROP.DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃOLÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições
As REGRAS DE MORGAN:Mostram como é possível definir a disjunção a partir da conjunção e
da negação,ou a conjunção a partir da disjunção e da negação:
p v q ~ (~p ^ ~ q)
p ^ q ~(~ p v ~q)
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PROP.DA NEGAÇÃO DA CONDICIONALLÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições
Como p -> q ~ p v q, temos:
~ (p -> q) ~ (~p v q) ~~p ^ ~q
Ou seja: ~ (p -> q) p ^ ~qp q p -> q ~ (p->q) ~q p^ ~qV V V F F F V F F V V V F V V F F F F F V F V F
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PROPRIEDADES DA CONDICIONALLÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições
A condicional p -> q NÃO tem as propriedades IDEMPOTENTE,
COMUTATIVA E ASSOCIATIVA.
As tabelas-verdade das proposições:p -> p e p, p -> q e q->p, (p -> q) -> r
e p-> (q -> r) não são idênticas.
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PROP.DA NEGAÇÃO DA BICONDICIONALLÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições
Como p <-> q (p->q) ^(q->p), temos:
p <-> q (~p v q) ^ (~q v p)
Portanto, ~(p <-> q) ~(~p v q) v ~(~q v p)
Daí: ~(p <-> q)(~~p ^ ~q) v (~~q ^ ~p)
Por fim: ~(p <-> q) (p ^ ~q) v (q ^ ~p)
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PROPRIEDADES DA BICONDICIONALLÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições
A bicondicional p <-> q NÃO tem a propriedade IDEMPOTENTE.
As tabelas-verdade das proposições:p -> p e p.
A bicondicional tem as propriedadesCOMUTATIVA e ASSOCIATIVA.
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