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Anima Educação
Matemática Financeira Básica
Disciplina na modalidade a distância
Minas Gerais 2012
2
Gislene Garcia Nora de Oliveira
Matemática Financeira Básica
Livro Virtual
Minas Gerais
2012
3
APRESENTAÇÃO
Esse material apresenta uma discussão em torno dos conceitos da chamada
“matemática financeira básica”. A mesma foi subdivida em oito unidades. Na primeira
unidade apresenta-se um panorama geral da disciplina e os principais conceitos. Na
unidade dois apresenta-se o regime de juros simples: capitalização. A unidade três foi
dedicada ao regime de juros compostos: capitalização; essa unidade foi subdivida em
dois momentos, o primeiro com foco mais algébrico e o segundo mais tecnológico e
para isso utilizamos as funcionalidades da HP-12c. A quarta unidade foi destinada para
a discussão do conceito de desconto, no regime de juros simples e composto. Na
quinta unidade você encontra uma discussão em torno das taxas, a saber: nominal e
efetiva/ aparente e real. A sexta unidade discute o conceito de equivalência de
capitais, no regime de juros simples e composto. Na unidade sete apresenta-se a
classificação das séries e foca nas rendas certas ou anuidades. Finalizamos esse livro
virtual com a apresentação dos dois sistemas de amortização mais utilizados: PRICE e
SAC. Nessa última unidade tais sistemas foram apresentados por meio de cálculos
realizados na HP-12c.
Espera-se que ao final do estudo desse livro o aluno tenha uma visão geral da
importância e da aplicação da matemática financeira em seu dia a dia.
4
Sumário UNIDADE 1: O QUE É A MATEMÁTICA FINANCEIRA ........ .......................................................... 7
1.1. OBJETIVO DA MATEMÁTICA FINANCEIRA ................. ................................................... 7
1.2. FUNDAMENTOS BÁSICOS ...................................................................................................... 9
1.3. PANORAMA GERAL DA MATEMÁTICA FINANCEIRA ........... ..................................... 14
1.4. RESUMO DA UNIDADE .......................................................................................................... 16
1.5. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ................................................................................................. 18
UNIDADE 2: CAPITALIZAÇÃO NO REGIME DE JUROS SIMPLES ........................................... 25
2.1. CARACTERÍSTICAS DO REGIME DE JUROS SIMPLES ...................................................... 25
2.1.1. DEDUÇÃO DA FÓRMULA DE JUROS ..................................................................................... 26
2.1.2. DEDUÇÃO DA FÓRMULA DO MONTANTE .......................................................................... 28
2.1.3. TAXA PROPORCIONAL ............................................................................................................. 29
2.2. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ................................................................................................. 31
2.3. RESUMO DA UNIDADE .......................................................................................................... 34
2.4. QUADRO DE FÓRMULAS ...................................................................................................... 34
UNIDADE 3: CAPITALIZAÇÃO NO REGIME DE JUROS COMPOST OS ................................... 35
3.1. CAPITALIZAÇÃO NO REGIME DE JUROS COMPOSTOS ........ .................................... 35
3.1.1. DEDUÇÃO DA FÓRMULA DO MONTANTE ...................................................................... 37
3.1.2. DEDUÇÃO DA FÓRMULA DE JUROS ................................................................................. 38
3.1.3. TAXA EQUIVALENTE ............................................................................................................ 43
3.2. FUNCIONALIDADES FINANCEIRAS DA CALCULADORA HP- 12C ........................... 46
3.2.1. FUNÇÕES BÁSICAS DA HP-12C ........................................................................................... 46
3.2.1.1. FUNÇÕES SECUNDÁRIAS F E G ..................................................................................... 46
3.2.1.2. SEPARADORES DE DÍGITOS ........................................................................................... 47
3.2.1.3. NÚMEROS NEGATIVOS .................................................................................................... 47
3.2.1.4. NÚMERO DE CASAS DECIMAIS ..................................................................................... 47
3.2.1.5. INSERINDO NÚMEROS ..................................................................................................... 48
3.2.1.6. AS TECLAS “CLEAR” (APAGAR)/ LIMPAR REGISTROS E MEMÓ RIAS .............. 48
3.2.1.7. SIGLAS E NOMENCLATURAS DAS FUNÇÕES FINANCEIRAS BÁSI CAS ............. 49
3.2.2. INICIANDO O CÁLCULO FINANCEIRO .................... ........................................................ 49
3.2.3. TAXA EQUIVALENTE NA HP ............................................................................................... 51
3.3. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ................................................................................................. 53
3.4. RESUMO DA UNIDADE .......................................................................................................... 57
3.5. QUADRO DE FÓRMULAS ...................................................................................................... 58
UNIDADE 4: DESCONTO ...................................................................................................................... 59
4.1. O DESCONTO DE TÍTULOS .................................................................................................. 59
4.2. SIGLAS E NOMENCLATURAS ............................................................................................. 61
4.3. DESCONTO COMERCIAL SIMPLES ................................................................................... 63
5
4.4. DESCONTO RACIONAL SIMPLES ...................................................................................... 65
4.5. DESCONTO RACIONAL COMPOSTO ................................................................................ 67
4.6. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ................................................................................................. 70
4.7. RESUMO DA UNIDADE .......................................................................................................... 78
4.8. QUADRO DE FÓRMULAS ...................................................................................................... 79
UNIDADE 5: TAXAS .............................................................................................................................. 80
5.1. TAXA NOMINAL E EFETIVA ............................................................................................... 80
5.2. TAXA APARENTE E REAL .................................................................................................... 85
5.3. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ................................................................................................. 86
5.4. RESUMO DA UNIDADE .......................................................................................................... 91
5.5. QUADRO DE FÓRMULAS ...................................................................................................... 92
UNIDADE 6: EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS ............... ................................................................... 93
6.1. COMPREENDENDO O CONCEITO DE EQUIVALÊNCIA .......... .................................... 93
6.2. EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO REGIME DE JUROS SIMPLES ............................ 94
6.3. EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO REGIME DE JUROS COMPOST OS .................... 96
6.4. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ................................................................................................. 98
6.5. RESUMO DA UNIDADE ........................................................................................................ 106
6.6. QUADRO DE FÓRMULAS .................................................................................................... 107
UNIDADE 7: SÉRIE DE PAGAMENTOS .......................................................................................... 108
7.1. RENDAS CERTAS OU ANUIDADES................................................................................... 108
7.1.1. CÁLCULO DO VALOR ATUAL DE UMA RENDA CERTA OU ANUIDA DE FINITA 111
7.1.2. CÁLCULO DO VALOR ATUAL DE UMA RENDA CERTA OU ANUIDA DE INFINITA 113
7.1.3. CÁLCULO DO VALOR FUTURO DE UMA RENDA CERTA OU ANUID ADE FINITA 114
7.2. TRABALHANDO COM A HP 12-C ...................................................................................... 115
7.3. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ............................................................................................... 118
7.4. RESUMO DA UNIDADE ........................................................................................................ 126
7.5. QUADRO DE FÓRMULAS .................................................................................................... 127
UNIDADE 8: SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO ............................................................................... 128
8.1. COMPREENDENDO ALGUNS CONCEITOS .................................................................... 128
8.2. O SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO PRICE (FRANCÊS OU SAF) ... ................................. 130
8.2.1. TABELA DO FINANCIAMENTO ........................................................................................ 131
8.3. O SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO SAC .............................................................................. 137
8.3.1. TABELA DO FINANCIAMENTO ........................................................................................ 139
8.4. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ............................................................................................... 141
8.5. RESUMO .................................................................................................................................. 147
8.6. QUADRO DE FÓRMULAS .................................................................................................... 148
REFERÊNCIAS ..................................................................................................................................... 149
6
Palavras do professor
Prezado aluno esse livro procura estabelecer um diálogo com você estudante. Para
isso as unidades foram construídas da seguinte forma: apresentação teórica, seguida
de exemplos. Essa discussão é complementada por exercícios resolvidos e um resumo
das discussões apresentadas. Ao final de cada unidade as fórmulas deduzidas ou
apresentadas foram resumidas em um quadro de fórmulas facilitando assim sua
utilização e localização.
Em alguns momentos é solicitado que você realize um exercício já resolvido de outra
maneira. Possibilitando, assim uma interação maior e consequentemente um
aprendizado mais efetivo. Esses momentos são facilmente identificados pelo símbolo
Não deixe de realizar essas interações propostas, pois, elas serão muito importantes
para seu efetivo aprendizado.
É importante destacar, também, que esse material não é o único objeto disponível
para sua aprendizagem. É necessária a exploração do ambiente virtual, bem como a
exploração de todas as suas potencialidades. Complemente seu estudo com as aulas
virtuais e não deixe de realizar as atividades propostas, tanto as de fixação quanto as
avaliativas.
Bons estudos!
7
UNIDADE 1: O QUE É A MATEMÁTICA FINANCEIRA
Essa unidade aborda um panorama geral da disciplina Matemática Financeira Básica.
Para isso, a unidade foi organizada em quatro tópicos. O primeiro discute e apresenta
o objetivo da Matemática Financeira, no segundo são apresentados alguns
fundamentos essenciais para o bom entendimento da matemática financeira como um
todo, o terceiro destina-se a exploração da estrutura geral da disciplina e, por fim o
último item apresenta alguns exercícios resolvidos para uma visualização mais prática
da discussão apresentada.
1.1. Objetivo da Matemática Financeira
Para iniciar uma discussão sobre o objetivo da matemática financeira, analise o
seguinte contexto; uma pessoa possui hoje determinada quantia em dinheiro
guardada em sua casa. O que se pode dizer sobre a valorização dessa quantia ao longo
do tempo? Hipoteticamente, têm-se três situações possíveis:
1) a valorização dessa quantia;
2) a estabilidade do valor; e,
3) a desvalorização da quantia obtida.
É fato que essas três situações dependem das oscilações do mercado e por este motivo
a matemática financeira parte do pressuposto que o dinheiro sempre vai desvalorizar
em função do tempo, pois não é possível ter um controle desse mercado, além disso,
nas duas primeiras situações não existe perda para as partes e por este motivo ambas
não são levadas em consideração.
Se a matemática financeira parte do pressuposto que o dinheiro vai desvalorizar em
função do tempo, então, é necessário utilizar algum parâmetro de atualização dessa
quantia para que essa desvalorização seja recompensada de alguma forma. É nesse
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contexto que entram em ação as taxas de juros. Na composição dessas taxas, muitas
vezes são levados em consideração:
o prazo: como o dinheiro desvaloriza em função do tempo, quanto maior o
tempo menor será o valor (poder de compra) da quantia em questão;
a inflação: refletirá na velocidade da desvalorização da quantia obtida.
Portanto é necessário conhecer e analisar o histórico da inflação ao longo dos
últimos anos;
o risco associado à operação: quanto maior o risco da operação maior será a
taxa cobrada;
o ganho: quem disponibiliza uma quantia em dinheiro está deixando de utilizá-
la para objetivos próprios e por esse motivo é cobrada uma taxa para
recompensar o proprietário por essa disponibilização da quantia monetária.
É nesse cenário que o mercado financeiro está alicerçado possibilitando inúmeras
operações financeiras, tais como:
� investimentos: poupança, títulos de capitalização, CDB’s, aposentadorias
privadas, dentre outros;
� financiamentos: de veículos, de utensílios domésticos, de eletrodomésticos, de
eletro portáteis, de imóveis, etc;
� descontos: títulos de crédito e antecipação de pagamentos.
De um modo geral, pode-se afirmar que a Matemática Financeira investiga relações
entre finanças, circulação e gestão do dinheiro e de outros recursos líquidos.
A partir dessa discussão define-se como objetivo fundamental da matemática
financeira: trabalhar o dinheiro ao longo do tempo.
É importante destacar que a forma como esse dinheiro será trabalhado ao longo do
tempo, dependerá não só dos pontos supracitados, mas, também pelo tipo de regime
de juros utilizado. Tem-se dois tipos de regime de juros: simples e composto. Ambos
serão aprofundados ao longo desse livro. Antes, porém, vamos compreender alguns
9
fundamentos importantes para o bom desempenho na disciplina de matemática
financeira.
1.2. Fundamentos Básicos
A seguir serão apresentados alguns fundamentos básicos que orientarão a discussão
da matemática financeira como um todo, são eles: capital, juros, taxa de juros,
período, montante, capitalizar, desconto, prestação, diagrama de fluxo de caixa,
calendário e símbolos utilizados.
Capital (principal ou valor presente): entende-se por capital, do ponto de vista
da matemática financeira, qualquer valor expresso em moeda e disponível em
determinada época, denominada data zero.
Quando entendemos o capital como um valor presente, ele também pode
representar o valor à vista de determinado bem, ou ainda, o valor de um
empréstimo (data zero).
O capital é representado em moeda corrente; no caso do Brasil em reais (R$);
Juros: é a remuneração do capital emprestado, podendo ser entendido, de
forma simplificada, como sendo o aluguel pago pelo uso do dinheiro no tempo.
Nas palavras de Samanez (2002)
Se aplicarmos um capital durante um determinado período de tempo, ao final do prazo o capital se transformará em um valor (montante) que será igual ao capital aplicado, acrescido da remuneração obtida durante o período de aplicação. A diferença entre o montante e a aplicação denomina-se remuneração, rendimento ou juros ganhos: juros = montante – aplicação. (SAMANEZ, 2002: 13)
O juro também é representado em moeda corrente (R$);
10
Taxa de Juros: está diretamente relacionada aos juros, pois é ela quem
determina a forma de composição/ crescimento dos juros obtidos em
determinada operação financeira. Normalmente, a taxa de juros é expressa em
porcentagem (%), considerada como uma simbologia de mercado, isso porque,
toda porcentagem é uma razão em que o denominador (consequente) é 100
podendo, portanto, ser representada da seguinte forma:
100%
xx =
Em outras palavras, a taxa de juros pode ser obtida pela razão entre o juro
recebido (ou pago) no fim de um período de tempo e o capital inicialmente
empregado. Nesse contexto, temos:
100
c
b
a =
Desta maneira, chamamos o a de juros, o b de principal (capital) e o cde taxa
percentual. Substituindo temos:
100100
i
p
jtaxa
principal
juros =⇒=
Dessa expressão, resulta:
100×=p
ji
A taxa de juros pode ser representada na forma percentual1 e/ou unitária
(fracionária). A forma unitária consiste em transformar a taxa de juros na
forma fracionária e realizar a divisão, obtendo, assim um resultado decimal.
1 Toda razão da forma
b
a, na qual o denominador é 100=b , é chamada razão centesimal. Uma
forma diferente de representar uma razão centesimal, muito utilizada, é a que substitui o consequente (denominador) 100 pelo símbolo % (por cento). O termo por cento é proveniente do Latim per centum e quer dizer por cem. Historicamente, a expressão por cento aparece nas principais obras de aritmética de autores italianos do século XV. O símbolo % surgiu como uma abreviatura da palavra cento utilizada nas operações mercantis. Em nosso dia a dia é comum observarmos expressões do tipo:
“Liquidação do Lápis Vermelho, descontos de até 70%”.
“A caderneta de poupança em 2007 rendeu 7,7%”.
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Veja um exemplo:
Porcentagem Fracionária Decimal
(unitária)
%25 100
25 25,0
É importante destacar que quando substituimos porcentagens em fórmulas
matemáticas deve-se utilizar as formas: fracionária ou decimal. Já a percentual
é utilizada quando os cálculos são realizados por meio de calculadoras
financeiras, como por exemplo a HP 12-c, ou do Excel;
Período: é a quantidade de tempo acordada entre as partes. O período pode
ser representado em diferentes unidades de tempo; dias, meses, anos,
bimestres, trimestres, etc. No entanto, as unidades de tempo praticadas no
mercado são a mensal e também a anual.
Cabe destacar que como a matemática financeira, parte do pressuposto que o
dinheiro vai desvalorizar em função do tempo, então quanto maior o tempo,
maior será o grau de risco da operação e por este motivo poderão ser adotadas
diferentes taxas de juros, dependendo dos prazos acordados.
Montante (valor futuro): é o capital inicialmente investido acrescido da
remuneração do período. Em outras palavras, jPF += .
Todas estas expressões envolvem um tipo especial de cálculo chamado usualmente de percentagem ou porcentagem. Essa simbologia é muito utilizada em operações financeiras.
12
O montante, também pode ser entendido como um valor que seja
representado em uma data futura em relação à data zero (momento da
negociação), ou ainda o valor de uma dívida.
Capitalizar: segundo o dicionário de língua portuguesa, edição poliglota, pág.90,
capitalizar significa: 1. ajuntar ao capital; 2. Ajuntar, reunir; 3. acumular-se de
modo que forme um capital. Portanto, capitalizar nada mais é do que a
operação de adição dos juros ao principal.
Desconto: nas palavras de Samanez (2002)
Desconto é a denominação dada a um abatimento que se faz quando um título de crédito é resgatado antes de seu vencimento. É uma operação tradicional no mercado financeiro e no setor comercial, em que o portador de títulos de crédito, tais como letras de câmbio, notas promissórias, etc., pode levantar fundos em um banco descontando o título antes da data de vencimento. (SAMANEZ, 2002: 75)
Prestação: consiste na quantia paga de forma parcelada para amortização
(abatimento) de uma dívida. A prestação é composta por:
jurosoamortizaçãprestação += .
Diagrama de fluxo de caixa: é utilizado para retratar, de forma gráfica,
determinado contexto financeiro. Em outras palavras, o diagrama de fluxo de
caixa pode ser entendido como uma fotografia da situação financeira que se
deseja analisar.
Num diagrama de fluxo de caixa utiliza-se de setas indicativas para cima,
quando se desejar representar uma entrada de dinheiro ou para baixo quando
essa for utilizada para representar uma saída de dinheiro. Essas entradas e
saídas são representadas em uma seta horizontal que indica a linha do tempo.
13
Veja as ilustrações a seguir:
Calendário: como o objetivo principal da matemática financeira é a valorização
do dinheiro em função do tempo, é necessário conhecer os tipos de calendário
que podem ser considerados nas operações financeiras.
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Calendário Característica
Comercial ano tem 360 dias; consideram-se todos os meses com 30 dias.
Cível ou Exato ano tem 365 ou 366 (se bissexto) dias e os meses com a contagem exata de dias.
Exato (dias úteis) considera a contagem regular dos dias, porém considera somente os dias úteis, somando-se 252 dias no ano.
É importante destacar que será considerado o calendário comercial, exceto se no
problema for solicitado outro tipo de calendário.
Símbolos utilizados: nesse tópico apresentaremos uma tabela contemplando a
simbologia básica que será demandada na disciplina de matemática financeira.
Termos
Simbologia
Livro Calculadora HP –
12c Excel
Capital/ Principal/ Valor Presente P PV VP Montante/ Valor Futuro F FV VF Juros J - - Taxa de Juros i i TAXA Desconto D - - Período n n NPER Prestação PMT PMT PGTO
1.3. Panorama geral da matemática financeira
A matemática financeira básica é subdividida em quatro grandes áreas, a saber:
capitalização, desconto, equivalência de capitais e série de pagamentos.
A capitalização é abordada em ambos os regimes de juros: simples e composto. Nesse
tópico envolve, também, os conceitos de taxa proporcional (regime de juros simples) e
taxa equivalente (regime de juros compostos), ainda no regime de juros compostos
abordam-se os conceitos de taxa efetiva e nominal, aparente e real.
O desconto, também é abordado em ambos os regimes. No regime de juros simples
são abordados os conceitos de desconto comercial e racional. Já no regime de juros
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compostos é abordado somente o desconto racional. As operações de desconto são
destinadas para antecipação de um título de crédito ou para a antecipação do
pagamento de uma dívida.
O conceito de equivalência de capitais, no regime de juros simples e composto, é
essencial para o entendimento do objetivo da matemática financeira; trabalhar o
dinheiro ao longo do tempo.
Já na série de pagamentos aborda-se como se dão os pagamentos ou acúmulo de
capital de forma parcelada. No Brasil, operações financeiras desse tipo ocorrem no
regime de juros compostos. Além de compreender a classificação da série serão
abordados dois sistemas de amortização: Price e SAC. Os sistemas de amortização
consistem em quitar uma dívida negociada de forma parcelada.
A seguir uma ilustração desse contexto:
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1.4. Resumo da Unidade Por se tratar de uma unidade extremamete teórica o resumo da unidade deverá ser
construido por você. Para viabilizar essa construção, propõem-se a palavra cruzada a
seguir. A proposta é que você retome os principais fundamentos da matemática
financeira, discutidos nessa unidade.
Cabe destacar, também, que em especial nessa unidade o resumo antecederá aos
exercícios resolvidos, por entender que essa atividade contribuirá para um melhor
entendimento das atividades propostas para reflexão.
Então, mãos a obra!
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1.5. Exercícios Resolvidos
A seguir alguns exercícios inseridos num contexto financeiro. Leia atentamente cada
exercício, e faça o que se pede:
� Indique os dados fornecidos e o valor que se deseja determinar;
� Indique o regime de juros;
� Construa o diagrama de fluxo de caixa.
O montante de uma aplicação de R$2.500,00, no regime de juros simples, à taxa
de 3,5% ao mês, por 4 meses é de?
Resolução
O valor a ser determinado é o montante, também chamado de valor futuro, como
pode ser observado pela frase: “O montante [...] é de?”
Para determinar o montante foram fornecidos:
O capital (valor presente ou principal) uma vez que foi mencionado que o valor da
aplicação foi de R$2.500,00, a taxa de juros (3,5% ao mês) e o período (4 meses).
Em resumo temos:
Descrição Valor
VALOR A SER DETERMINADO Montante ou Valor Futuro (F) ? VALORES FORNECIDOS Capital/ Valor Presente ou Principal (P) R$2.500,00 Taxa de Juros (i) 3,5% ao mês Período (n) 4 meses
O regime de juros sempre será fornecido no problema, nesse caso o regime de juros
utilizado foi o simples.
Considerando o diagrama de fluxo de caixa de quem realizou a aplicação, temos:
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Que quantia aplicada durante meio ano, à taxa simples de 2,75% ao mês,
produz um montante de R$307.343,75?
Resolução
Como a proposta é determinar a quantia que deve ser aplicada, entende-se que o
valor a ser determinado é o capital, também chamado de valor presente ou principal.
Para determinar esse valor, foram fornecidos: a taxa de juros (2,75% ao mês) o período
de meio ano que é o mesmo que seis meses e o montante, também chamado de valor
futuro de R$307.343,75.
Em resumo:
Descrição Valor
VALOR A SER DETERMINADO Capital/ Valor Presente ou Principal (P) ? VALORES FORNECIDOS Montante ou Valor Futuro (F) R$307.343,75 Taxa de Juros (i) 2,75% ao mês Período (n) 6 meses
O regime de juros utilizado foi o simples e o mesmo foi identificado a partir da frase
“[...] à taxa simples de [...] ”
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A seguir o diagrama do fluxo de caixa de quem realizou a aplicação:
Uma pessoa solicita um empréstimo de R$300,00 a juros compostos de
1,75% ao mês, pelo prazo de 02 meses. O montante a ser devolvido é de...?
Resolução
Nesse exercício o que se deseja determinar é o montante ou valor futuro e neste caso,
analisando o contexto, podemos considerá-lo, também, como valor da dívida.
Como mencionado no tópico 1.2 o empréstimo, é considerado como um valor
presente (P), que nesse caso consiste em R$300,00. Foram fornecidos, também, a taxa
de juros (1,75% ao mês) e o período de 02 meses.
Em resumo:
Descrição Valor
VALOR A SER DETERMINADO Montante ou Valor Futuro (F) ? VALORES FORNECIDOS Capital/ Valor Presente ou Principal (P) R$300,00 Taxa de Juros (i) 1,75% ao mês Período (n) 2 meses
O regime de juros utilizado foi o composto.
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A seguir o diagrama do fluxo de caixa de quem recebeu o empréstimo:
Uma pessoa compra uma geladeira que será paga em 10 prestações
mensais de R$167,00. Se a taxa de juros compostos for de 2% ao mês,
calcule o preço inicial desta geladeira.
Resolução
Nesse exercício o que se deseja determinar é o valor da geladeira. Cabe destacar que o
valor à vista de um bem é sempre o valor na data zero (data em que ocorreu a
negociação) e por este motivo o valor que se deseja determinar é o valor presente (P).
Para esse cálculo foram fornecidos o valor das prestações (R$167,00), a taxa de juros
(2% ao mês) e o período que neste caso está sendo representado pelo total de
prestações que serão pagas e sua periodicidade (10 meses).
Em resumo:
Descrição Valor
VALOR A SER DETERMINADO Valor Presente (P) ? VALORES FORNECIDOS Prestação (PMT) R$167,00 Taxa de Juros (i) 2% ao mês Período (n) 10 meses
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O regime de juros utilizado é o composto, uma vez que no Brasil, operações realizadas
de forma parcelada, sempre serão realizadas no regime de juros compostos.
A seguir o diagrama do fluxo de caixa de quem comprou a geladeira:
Uma caderneta de poupança oferece uma taxa efetiva de
rentabilidade de 0,75% ao mês, no regime de juros compostos. O valor do
depósito mensal necessário para acumular um montante de R$2.100,00 no
final de seis meses é de...?
Resolução
Neste caso está sendo solicitado o valor do depósito mensal. Como esse valor nos
remete a ideia de uma série de depósitos que serão realizados, o mesmo constitui-se
uma prestação. Portanto, se deseja determinar a PMT.
Para esse cálculo foram fornecidos o valor ao final dos depósitos, sendo, portanto, um
valor futuro/ montante (R$2.100,00), o prazo de seis meses e a taxa de juros de 0,75%
ao mês.
Em resumo:
Descrição Valor
VALOR A SER DETERMINADO Prestação (PMT) ? VALORES FORNECIDOS
23
Valor Futuro/ Montante (F) R$2.100,00 Taxa de Juros (i) 0,75% ao mês Período (n) 6 meses
O regime de juros utilizado é o composto.
A seguir o diagrama do fluxo de caixa de quem realizou os depósitos:
O preço à vista de uma moto é de R$7.500,00, mas pode ser vendida a prazo em 12
prestações mensais de R$509,80, com 27% de entrada. Nessas condições, qual a taxa
de juros mensal cobrada nessa operação?
Resolução
O que se deseja determinar é a taxa de juros para a condição de pagamento de forma
parcelada (i). Para esse cálculo foram fornecidos: o valor à vista (valor presente) de
R$7.500,00, o período (n) de 12 meses, a quantidade de prestações (PMT) de R$509,80
e também a entrada, que consiste em se determinar 27% do valor à vista, ou seja, 27%
de R$7.500,00. Portanto, a entrada é de R$2.025,00.
Em resumo:
Descrição Valor
VALOR A SER DETERMINADO Taxa de Juros (i) ? VALORES FORNECIDOS Valor Presente (à vista) (P) R$7.500,00 Entrada R$2.025,00 Prestação (PMT) R$509,80 Período (n) 12 meses
24
O regime de juros utilizado é o composto.
A seguir o diagrama do fluxo de caixa de quem realizou a compra da moto na condição
parcelada:
Agora que já compreendem a estrutura geral da matemática financeira, vamos ver
detalhadamente cada um destes conceitos?
25
UNIDADE 2: CAPITALIZAÇÃO NO REGIME DE JUROS SIMPLES
Como discutido na unidade I a capitalização pode ocorrer no regime de juros simples
ou no regime de juros compostos. Nessa unidade será apresentado o conceito de
capitalização no regime de juros simples. O objetivo da unidade é fazer com que o
aluno seja capaz de identificar e operar com os fundamentos básicos desse regime. A
unidade foi estruturada da seguinte forma: características do regime, discussão do
conceito e aplicação da taxa proporcional, exercícios resolvidos, resumo da unidade e
Quadro de Fórmulas.
2.1. Características do Regime de Juros Simples A capitalização, no regime de juros simples, consiste em somar os juros ao capital uma
única vez no final do prazo contratado. Esse tipo de capitalização resulta em um
crescimento da quantia de forma proporcional, ou seja, em cada período o valor
adicionado será sempre o mesmo.
Uma vez que o cálculo sempre será realizado sobre o capital inicial, o montante será a
soma do capital inicial com as várias parcelas de juros obtidas ao longo do período
contratado.
Para melhor entendimento acompanhe o exemplo:
Um capital de R$1.000,00 foi aplicado, no regime de juros simples, a uma taxa de
1,35% ao mês, por 10 meses. Acompanhe a evolução do montante ao longo do
período contratado.
26
Como, no regime de juros simples, a taxa de juros é sempre aplicada sobre o principal
(capital), temos:
CAPITAL TAXA DE JUROS
JUROS MONTANTE
R$1.000,00 1,35% R$13,50 R$1.013,50 R$1.000,00 1,35% R$13,50 R$1.027,00 R$1.000,00 1,35% R$13,50 R$1.040,50 R$1.000,00 1,35% R$13,50 R$1.054,00 R$1.000,00 1,35% R$13,50 R$1.067,50 R$1.000,00 1,35% R$13,50 R$1.081,00 R$1.000,00 1,35% R$13,50 R$1.094,50 R$1.000,00 1,35% R$13,50 R$1.108,00 R$1.000,00 1,35% R$13,50 R$1.121,50 R$1.000,00 1,35% R$13,50 R$1.135,00
Nesse exemplo, fica evidente que o montante está sendo construído a partir de um
crescimento mensal de R$13,50 e por esse motivo afirma-se que no regime de juros
simples a quantia monetária cresce de forma proporcional, ou seja, parcelas de mesmo
valor durante todo o período.
2.1.1. Dedução da fórmula de Juros Na unidade 1, no tópico “taxa de juros” foi apresentada, como possibilidade de cálculo
da taxa de juros, a seguinte expressão:
P
ji =
Dessa expressão, deduz que iPjP
ji ⋅=⇒= . Como a taxa de juros é sempre aplicada
sobre o mesmo capital, obtemos valores iguais para o juro auferido no período, ou
seja:
PinJ
temosdosubstituin
iPjmasnjjjjjJ
iPjjjj
n
n
=
⋅=⋅=+⋅⋅⋅+++=⋅==⋅⋅⋅===
:,
,,321
321
Para o cálculo da taxa de juros você pode utilizar uma calculadora (porcentagem %), ou, transformar a
taxa para o formato decimal e, então, realizar a multiplicação da taxa pelo capital
27
Retomando o exemplo 1, temos:
50,13
0135,0000.1100
35,1000.1
=⋅=
⋅=
=
j
j
j
Pij
Como a quantia ficou aplicada durante 10 meses e a taxa de juros é sempre aplicada
sobre o capital, então:
50,13$... 1054321 Rjjjjjj =======
Para determinar o valor total de juros obtidos ao final do período, no caso, 10 meses,
pode-se somar as dez quantias encontradas, ou como, todos os valores são iguais,
basta multiplicar a quantia encontrada (juros do período) pela quantidade de períodos
contratados, obtendo:
00,135
50,13...50,1350,1350,13
...
10
10321
=
++++=++++=
J
J
jjjjJ
vezes444444 3444444 21
OU
00,135
1050,13
=⋅=
J
J
Retomando as expressões de juros, temos que:
Pij
e
jnJ
=
=
Substituindo a equação dois, na primeira equação, obtemos, para o juro total a
expressão PinJ = . Voltando ao exemplo:
00,135
100135,0000.1
=⋅⋅=
=
J
J
PinJ
Equação 02
Equação 01
28
2.1.2. Dedução da fórmula do Montante O montante é o resultado final do valor principal capitalizado, ou seja, acrescido dos
juros, então, matematicamente, temos que JPF += .
É possível relacionar a fórmula do montante à fórmula de juros deduzida no item 2.1.1,
obtendo, assim, uma fórmula alternativa para o cálculo do montante, fórmula essa que
envolve as variáveis: taxa, período e capital. Retomando as equações envolvidas,
temos:
PinJ =
JPF +=
Substituindo a Equação 01, na equação 02, obtém-se:
PinPF +=
Colocando P em evidência
)1( inPF +=
Retomando o exemplo 1, vamos determinar o valor do montante, não mais por meio
da tabela, mas, sim pela fórmula. Inicialmente, vamos organizar as informações
fornecidas.
Descrição Valor
VALOR A SER DETERMINADO Montante (F) ? VALORES FORNECIDOS Valor Presente (P) R$1.000,00 Taxa de Juros (i) 1,35% ao mês Período (n) 10 meses
Ao substituir taxas de juros em fórmulas matemáticas devemos utilizar o formato
unitário ou decimal (divisão por 100), portanto,
( )( )
00,135.1
135,1000.1
135,01000.1
100135,01000.1
=⋅=
+=⋅+=
M
M
M
M
É importante destacar que tanto a taxa de juros, quanto o período são grandezas que
obrigatoriamente devem vir acompanhadas da unidade de tempo a ser considerada.
Equação 02
Equação 01
Para resolver essa expressão deve-se primeiramente eliminar os parênteses. Dentro dos parênteses a
operação que deve ser priorizada é a de multiplicação em detrimento à soma.
29
No exemplo apresentado, ambas foram expressas na unidade de tempo mensal. No
entanto, nem sempre serão fornecidos taxa e período na mesma unidade de tempo e
nesse caso, antes de realizar os cálculos será necessário fazer uma adequação,
alterando, ou o período para a unidade de tempo da taxa ou a taxa para a unidade de
tempo do período.
Ao fazer a alteração no prazo, o procedimento utilizado é uma regra de três, uma vez
que estamos trabalhando com grandezas proporcionais. Já quando a alteração é
realizada na taxa de juros essa recebe uma conceituação diferenciada e a forma de se
fazer essa adequação dependerá do tipo de regime de juros utilizado. Em especial, no
regime de juros simples, essa alteração recebe o nome de “Taxa Proporcional”, a qual
será discutida de forma mais criteriosa no tópico seguinte.
2.1.3. Taxa Proporcional A transformação de taxas é uma operação bastante utilizada em operações
financeiras, mas, não basta saber operá-las, é necessário compreender o que significa
essa adequação aos prazos, igualando-os a uma mesma unidade de tempo.
A proposta é que essa adequação não interfira no resultado final obtido. Sabe-se que a
principal característica do regime de juros simples é a proporcionalidade. Por este
motivo, ao adequar unidades de tempo de taxas no regime de juros simples utiliza-se a
chamada “taxa proporcional” e o procedimento que possibilita essa adequação, nada
mais é do que uma regra de três simples.
Desse modo, pode-se definir taxas proporcionais como sendo àquelas que, aplicadas a
um mesmo valor presente (principal), geram um mesmo valor futuro (montante), para
um mesmo intervalo de tempo. Como ilustrado no exemplo a seguir:
Considere um capital de R$2.753,00, um período de 24 meses e uma taxa mensal de
0,75% ao mês. Nesse contexto, o valor do montante é de?
30
Descrição Valor
VALOR A SER DETERMINADO Montante (F) ? VALORES FORNECIDOS Valor Presente (P) R$2.753,00 Taxa de Juros (i) 0,75% ao mês Período (n) 24 meses
Substituindo na fórmula, temos:
54,248.3
)18,01(753.2
)240075,01(753.2
)1(
=+=
⋅+=+=
F
F
F
inPF
Agora, determine a taxa semestral, proporcional à taxa mensal fornecida no problema.
Como mencionado, para se determinar uma taxa proporcional, basta fazer uma regra
de três simples. Sabe-se, também, que no processo de resolução de uma regra de três,
uma relação entre as grandezas já é conhecida, bastando determinar a outra, da
seguinte forma:
Taxa Mês
0,75% 1 x 6
%5,4=x ao semestre.
A taxa de 4,5% ao semestre será proporcional a 0,75% ao mês se aplicada ao mesmo
capital, pelo mesmo período de tempo resultar em montantes iguais, portanto,
retomando ao enunciado, temos:
Descrição Valor
VALOR A SER DETERMINADO Montante (F) ? VALORES FORNECIDOS Valor Presente (P) R$2.753,00 Taxa de Juros (i) 4,5% ao semestre Período (n) 24 meses = 4 semestres
31
54,248.3
)18,01(753.2
)4045,01(753.2
)1(
=+=
⋅+=+=
F
F
F
inPF
Portanto, conclui-se que 4,5% ao semestre é proporcional a 0,75% ao mês.
2.2. Exercícios Resolvidos
Dada uma aplicação com um rendimento de 10% ao mês, qual será o valor
dos juros simples recebidos em função do investimento de R$1.000,00, durante um
mês?
Resolução
Descrição Valor
VALOR A SER DETERMINADO Juros (j) ? VALORES FORNECIDOS Valor Presente (P) R$1.000,00 Taxa de Juros (i) 10% a.m. Período (n) 1 mês
Colocando a taxa na representação unitária: 10,0100
10.%10 =⇒=⇒= iimai
Calculando os juros:
00,100$110,0000.1 RJJPinJ =⇒××=⇒=
Resposta: Os juros recebidos serão de R$100,00.
Se você fizer uma aplicação de R$100,00, a uma taxa de juros de 3% ao
mês, durante 2 anos qual será o montante a que terá direito no final do seu
investimento?
32
Resolução
Descrição Valor
VALOR A SER DETERMINADO Montante (F) ? VALORES FORNECIDOS Valor Presente (P) R$100,00 Taxa de Juros (i) 3% a.m. Período (n) 2 anos
Colocando o prazo e a taxa de juros na mesma unidade de tempo:
mesesx
mês
12
1%3
−−
, multiplicando cruzado obtemos: aaxx .%363121 =⇒⋅=⋅ .
Colocando a taxa na representação unitária: 36,0100
36.%36 =⇒=⇒= iimai
Calculando o valor futuro:
00,172$)236,01(100)1( RFFinPF =⇒×+=⇒+=
Resposta: Ao fim de dois anos você terá direito a receber R$172,00.
Nesse exercício utilizamos taxa proporcional na adequação da
unidade de tempo da taxa ao período. Refaça o exercício
transformando o período e compare os resultados.
A taxa proporcional bimestral que produz um montante de R$3.756,00,
resultante de uma aplicação de R$1.500,00, durante 36 meses, no regime de
juros simples, é de?
33
Resolução
Organizando os dados fornecidos do problema.
Descrição Valor
VALOR A SER DETERMINADO Taxa bimestral proporcional à taxa encontrada no problema
?
VALORES FORNECIDOS Valor Presente (P) R$1.500,00 Valor Futuro (F) R$3.756,00 Período (n) 36 meses
Inicialmente, vamos encontrar a taxa na mesma unidade de tempo do período, ou
seja, mensal. Para isso basta substituir os valores fornecidos direto na fórmula.
0417777778,036
504,1
36504,1
361504,2
361504,2
3611500
3756
)361(15003756
)1(
=
=
==−+=
+=
×+=+=
i
i
i
i
i
i
i
inPF
No entanto, o problema está solicitando uma taxa na unidade de tempo bimestral, por
este motivo vamos fazer uma regra de três.
Taxa Mês
0,0417777778 1 x 2
bax
x
x
.%36,8
100083555556,0
083555556,0
=×=
=
Resposta: Portanto, a taxa bimestral da operação em questão é de 8,36%.
34
2.3. Resumo da Unidade
Principal Característica → taxa de juros é aplicada sobre o capital, resultando,
assim em um crescimento proporcional;
Taxas de juros → apesar das taxas de juros, normalmente, serem apresentadas
na forma percentual, no momento de efetuar os cálculos, a partir de fórmulas
matemáticas, deve-se utilizar a taxa na forma unitária/decimal, ou seja,
dividida por 100;
Unidades de tempo compatíveis → na realização dos cálculos, a taxa de juros e
o prazo da operação devem estar representados em unidades de tempo
compatíveis, ou seja, a taxa deve ser expressa em períodos iguais ao período de
capitalização;
Tratando-se de juros simples, tanto se pode compatibilizar o período (n) ou a
taxa (i), alterando uma ou outra variável, uma vez que as relações são
proporcionais;
Problemas envolvendo taxas proporcionais podem ser resolvidos por meio de
“regra de três”.
2.4. Quadro de Fórmulas
DESCRIÇÃO FÓRMULA
Juros PinJ
PFJ
=−=
Montante )1( inPF
JPF
+=+=
35
UNIDADE 3: CAPITALIZAÇÃO NO REGIME DE JUROS COMPOSTOS
O objetivo dessa unidade é apresentar o conceito de capitalização no regime de juros
compostos. Espera-se que ao final dessa unidade o aluno seja capaz de realizar um
paralelo entre o juro simples e o composto, sabendo traçar suas principais
características e diferenças, bem como realizar cálculos diversos que apresentem tais
conteúdos em situações do dia a dia.
A proposta dessa unidade é apresentar o regime de capitalização composta sob dois
aspectos, a saber: 1) operacional: todas os cálculos deverão ser realizados por meio de
fórmulas, reforçando, assim, suas habilidades algébricas e, 2) tecnológica: com a
utilização de uma calculadora financeira, no caso, da HP-12c.
3.1. Capitalização no regime de juros compostos
O regime de juro composto cresce mais rapidamente se comparado ao regime de juro
simples. Esse regime de juros é muito utilizado em situações cotidianas das empresas e
de todas as pessoas que realizam operações financeiras no Brasil.
O capital aplicado ou emprestado cresce mais rapidamente nesse regime porque os
juros do período presente são incorporados ao capital, passando a render juros, no
período seguinte, juntamente com o capital aplicado. Ou seja, no final de cada período
os juros serão capitalizados e o montante assim constituído passa a render juros
durante o período seguinte.
Para melhor entendimento vamos retomar o exemplo I, da unidade 2, porém
alterando o regime de juros para o composto.
36
Um capital de R$1.000,00 foi aplicado, no regime de juros compostos, a uma taxa de
1,35% ao mês, por 10 meses. Acompanhe a evolução do montante ao longo do
período contratado.
Como, no regime de juros compostos, a taxa de juros é sempre aplicada sobre o
montante do período anterior, temos:
CAPITAL TAXA DE JUROS
JUROS MONTANTE
R$1.000,00 1,35% R$13,50 R$1.013,50 R$1.000,00 1,35% R$13,68 R$1.027,18 R$1.000,00 1,35% R$13,87 R$1.041,05 R$1.000,00 1,35% R$14,05 R$1.055,10 R$1.000,00 1,35% R$14,24 R$1.069,35 R$1.000,00 1,35% R$14,44 R$1.083,78 R$1.000,00 1,35% R$14,63 R$1.098,41 R$1.000,00 1,35% R$14,83 R$1.113,24 R$1.000,00 1,35% R$15,03 R$1.128,27 R$1.000,00 1,35% R$15,23 R$1.143,50
Observe que os juros foram aumentando em cada período e consequentemente, o
montante, foi maior que o montante obtido no regime de juros simples. Isso, porque,
uma vez aplicada a taxa de juros sobre um valor que aumenta, esse aumento refletirá
na variação periódica dos juros, fazendo com que o montante dessa aplicação cresça
de forma exponencial e não mais proporcional.
Para o cálculo da taxa de juros você pode utilizar uma calculadora (porcentagem %), ou, transformar a
taxa para o formato decimal e, então, realizar a multiplicação da taxa pelo montante obtido no
período anterior.
37
3.1.1. Dedução da fórmula do Montante No primeiro período a taxa é aplicada apenas sobre o capital, conforme ilustrado a
seguir:
1º PERÍODO
JUROS Pij =1
MONTANTE ( ) ( )iPFiPPiPjPF +=⇒+=+=+= 11 111
No segundo período, o valor a ser capitalizado (valor que será incidida a taxa de juros)
será o montante obtido no período anterior ( )1F e não mais sobre o capital ( )P .
2º PERÍODO
JUROS iFj 12 =
MONTANTE ( ) ( )( ) 222111212 )1(111 iPFiiPFiFiFFjFF +=⇒++=⇒+=+=+=
Da mesma forma, no terceiro período será considerado como base de cálculo o
montante obtido no período anterior ( )2F
3º PERÍODO
JUROS iFj 23 =
MONTANTE ( ) ( ) ( ) ( )33
2222323 1111 iPFiiPiFiFFjFF +=⇒++⇒+=+=+=
Acompanhando os resultados obtidos é possível perceber que:
( )iPFn +=⇒= 11 1
( )22 12 iPFn +=⇒=
( )33 13 iPFn +=⇒=
Portanto, generalizando para o enésimo período, temos:
Enésimo Período
JUROS iFj nn )1( −=
MONTANTE ( )nn iPF += 1
O fator ni)1( + é chamado de Fator de Capitalização. Pois, são essas variáveis (taxa e
período) que irão interferir no resultado final, uma vez que o capital é um valor fixo e o
montante será determinado pela variação destas duas variáveis (taxa e período).
38
3.1.2. Dedução da fórmula de Juros O montante é o resultado final do valor principal capitalizado, ou seja, acrescido dos
juros, então matematicamente, temos: JPF += , porém, no tópico anterior, vimos
que niPF )1( += , dessa forma:
[ ]1)1(
)1(
−+=−+=
−=+=
n
n
iPJ
PiPJ
PFJ
JPF
Apesar da taxa de juro, normalmente, ser representada na forma percentual, ao
substituí-la em fórmulas matemáticas é necessário utilizar a forma unitária ou decimal.
Por outro lado, quando utiliza-se calculadoras financeiras ou mesmo o Excel deve ser
utilizada a forma percentual, uma vez que tais recursos foram programados para
“receber” taxas nesse formato.
Camila aplicou R$2375,00 na caderneta de poupança, que rende juros compostos de
0,75% ao mês. Sabendo que Camila resgatou a quantia depositada 24 meses após a
aplicação, qual foi a quantia resgatada?
Resolução
Inicialmente, vamos retirar os dados do problema.
Descrição Valor
VALOR A SER DETERMINADO Montante (F) ? VALORES FORNECIDOS Valor Presente (P) R$2.375,00 Taxa de Juros (i) 0,75% ao mês Período (n) 24 meses
Lembrando que, como utilizaremos a fórmula do montante, será necessário dividir a
taxa de juros por 100, adequando-a para o formato decimal (unitário).
39
( )( )
48,841.2
196413529,12375
0075,12375
0075,012375
1
24
24
=⋅=⋅=
+=
+=
F
F
F
F
iPF n
Portanto, a quantia resgatada por Camila, após 24 meses da aplicação será de
R$2.841,48.
Um capital de R$16.500,00 foi aplicado por 36 meses. Ao final desse período foi
resgatada a quantia de R$28.200,80. Qual a taxa de juros mensal dessa operação?
Resolução
Inicialmente, vamos retirar os dados do problema.
Descrição Valor
VALOR A SER DETERMINADO Taxa de juros (mensal) (i) ? VALORES FORNECIDOS Valor Presente (P) R$16.500,00 Valor Futuro (F) R$28.200,80 Período (n) 36 meses
( )
( )
( )36
36
36
1709139394,1
116500
80,28200
)1(500.1680,200.28
1
i
i
i
iPF n
+=
+=
+×=
+=
Quando chega nesse ponto da igualdade, é necessário eliminar o 36 que está no
expoente, nesse caso, a operação que eliminará esse valor será uma divisão por 36 (no
expoente), que é o mesmo que multiplicar por 36
1. Mas, como temos uma igualdade,
qualquer alteração realizada em um lado deve, também, ser realizada do outro para
manter o equilíbrio. Deste modo,
Para resolver essa expressão deve-se primeiramente eliminar os parênteses (somar
1+0,0075). Em seguida tem-se uma multiplicação e uma potência. Respeitando a regra das operações fundamentais, deve-se
resolver primeiramente a potência para depois multiplicar o resultado.
Para resolver essa equação é necessário isolar a incógnita que se deseja determinar (i). Para isso, utilizamos
operações inversas, ou seja, vamos transferindo os valores que acompanham a incógnita para o outro lado
da igualdade, com a operação inversa.
40
( )
( )( )
014999998,0
1014999998,1
1014999998,1
1709139394,1
1709139394,1
1709139394,1
1027777778,0
36
3636
1
36
==−+=
+=
+=
+=
i
i
i
i
i
i
A taxa encontrada está no formato decimal (unitário). Para determinarmos a taxa em
porcentagem é necessário multiplicar a resposta por 100, obtendo 1,4999998%, ou
ainda, 1,5% ao mês.
Sempre que desejar determinar a taxa de juros, será necessário utilizar o
procedimento, acima, ou seja:
( )( )
( )
1
1
1
1
1
1
−
=
=+
+=
+=
n
n
n
n
P
Fi
P
Fi
iP
F
iPF
Cleiton adquiriu um empréstimo de R$23.800,00 para pagar R$28.171,03. Sabendo
que foi cobrada uma taxa de juros de 2,85% ao mês. Determinar o prazo dessa
operação financeira.
Inicialmente, multiplicamos ambos os expoentes da equação por 1/36. Como toda fração é uma divisão, basta fazer as respectivas divisões: 361÷ e 3636 ÷ .
Em seguida, utilizando uma calculadora científica resolvemos as potências. É necessário trabalhar com todas as casas decimais, pois arredondamentos são
realizados apenas na resposta final.
41
Resolução
Inicialmente, vamos retirar os dados do problema.
Descrição Valor
VALOR A SER DETERMINADO Prazo (n) ? VALORES FORNECIDOS Valor Presente (P) R$23.800,00 Valor Futuro (F) R$28.171,03 Taxa de Juros (i) 2,85% ao mês
( )( )
n
n
n
niPF
0285,1183656723,1
0285,123800
03,28171
0285,012380003,171.28
1
=
=
+=
+=
Quando chega nesse ponto da igualdade, é necessário isolar a incógnita n (período), no
entanto, esse valor está no expoente. Como proceder para retirar esse valor do
expoente? A operação utilizada será a de logaritmos, uma vez que essa possui uma
propriedade que possibilita retirar determinado valor do expoente sem alterar o
equilíbrio da equação.
“Em qualquer base a ( 0>a e 1≠a ), o logaritmo de uma potência de base real e
positiva e expoente real é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da
potência.”
bb aa log.log αα =
Como a calculadora financeira (HP – 12c) só possui o logaritmo na base e2, sempre
que utilizarmos a operação de logaritmos será considerada essa base, que, também é
2 Atribui-se a John Napier a descoberta do número de Neper. É um número irracional e surge como limite, para
valores muito grandes de n, da sucessão
n
n
+ 11 e representa-se pelo valor e = 2,7182818284590452353602874...
É um número irracional e transcendente (não podem ser raízes de polinômios de coeficientes racionais) e é estreitamente aparentado com o número π . Este número e é importante em quase todas as áreas do conhecimento: economia, engenharia, biologia, sociologia. A função exponencial, cuja base é o número de Neper modela fenômenos de importância vital, nos mais variados campos da ciência: físico-químicas, biológicas, econômicas, agronômicas, geográficas, médicas, sociais.
Para resolver essa equação é necessário isolar a incógnita que se deseja determinar (n). Para isso,
utilizamos operações inversas, ou seja, vamos transferindo os valores que acompanham a incógnita
para o outro lado da igualdade, com a operação inversa.
42
uma base comum às calculadoras científicas. Reescrevendo a propriedade na base e,
temos:
bLNbLN aa .αα =
Retomando o exercício;
n0285,1183656723,1 = → Aplicando a operação em ambos os lados da igualdade
nLNLN 0285,1183656723,1 = → Aplicando a propriedade da potência
0285,1183656723,1 nLNLN = → Utilizando uma calculadora financeira ou científica
determinamos o valor de ambos os logaritmos
02810143,0168608565,0 ⋅= n → Isolando n, obtemos o valor solicitado
999999443,5
02810143,0
168608565,0
=
=
n
n
Deste modo, o prazo da operação foi de 6 meses.
Numa aplicação financeira Keila aplicou R$3.725,00 durante 07 meses à uma taxa
mensal de juros de 0,78%. Qual o rendimento obtido?
Resolução
Inicialmente, vamos retirar os dados do problema.
Descrição Valor
VALOR A SER DETERMINADO Rendimento (j) ? VALORES FORNECIDOS Valor Presente (P) R$3.725,00 Período (n) 07 meses Taxa de Juros (i) 0,78% ao mês
Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/numeroe.htm> Acesso em: 15/11/2011 às 21:41h
43
( )[ ]( )[ ][ ][ ]
21,208
055894379,03725
1055894379,13725
10078,13725
10078,013725
11
7
7
=×=
−=−=
−+=
−+=
J
J
J
J
J
iPJ n
Esse exercício pode ser resolvido pela fórmula do montante. Ou seja, primeiro
determina-se o montante e ao final subtrai o valor encontrado pelo capital investido.
Agora é com você! Refaça o exemplo 4 pela fórmula do montante e veja como ficariam
os cálculos.
É importante destacar que se for solicitado o período ou a taxa de juros pela fórmula
de juros ( )[ ]( )11 −+= niPJ , deverão ser seguidos os mesmos procedimentos já
explicados nos exemplos anteriores.
Outro ponto a ser destacado é em relação à unidade de tempo da taxa e do período.
Nos exemplos abordados até aqui ambos foram fornecidos na mesma unidade de
tempo. No entanto, podem surgir situações em que essas grandezas não respeitem
essa condição. Nesse caso, é necessário fazer a adequação.
Para adequação da unidade de tempo é possível alterar o período, utilizando o
procedimento de regra de três ou alterar a taxa de juros. Como o juro composto é uma
grandeza exponencial, não é possível transformar a taxa por meio de uma regra de
três; o procedimento utilizado é denominado “Taxa Equivalente”.
3.1.3. Taxa Equivalente Conforme mencionado no item anterior, na realização de cálculos financeiros é
imprescindível que a unidade de tempo da taxa e do período sejam iguais. Mas, e se
isso não acontecer? No regime de juros simples, sabemos que basta aplicar uma regra
Para resolver essa equação é necessário eliminar os parênteses, em seguida resolver a potência. O
próximo passo é eliminar os colchetes subtraindo a unidade para ao final fazer a multiplicação pelo
capital aplicado.
44
de três, ou seja, uma taxa proporcional e o problema está resolvido. E na capitalização
composta, como devemos proceder?
Devido ao juro composto, não ser uma grandeza linear, ou seja, não existir uma
proporcionalidade entre as variáveis envolvidas, não podemos aplicar “regra de três”
na taxa; o recurso utilizado é o que chamamos de Taxa Equivalente, definida por Juer
(1984) como
[...] taxas diferentes entre si, expressas em períodos de tempo diferentes, mas que conduzem um capital a um mesmo resultado final no fim de determinado período de tempo. (JUER, 1984: 53)
Existem diferentes formas de se obter taxas equivalentes, no entanto, nesse material
utilizaremos
( ) 10011 ×
−
+= tenho
quero
eii
Onde,
→ei taxa equivalente (taxa que se deseja determinar);
→i taxa fornecida no problema (dividida por 100);
→quero unidade de tempo da taxa que se deseja determinar;
→tenho unidade de tempo da taxa fornecida no problema.
Antônio aplicou a quantia de R$2.532,00 na caderneta de poupança que rende juros
compostos de 8,084981% ao ano. Após 25 meses Antônio resgatou a quantia de?
Resolução
Inicialmente, vamos retirar os dados do problema.
Descrição Valor
VALOR A SER DETERMINADO Montante (F) ? VALORES FORNECIDOS Valor Presente (P) R$2.532,00 Período (n) 25 meses Taxa de Juros (i) 8,084981% ao ano
45
Como taxa e período não estão na mesma unidade de tempo, devemos fazer a
adequação. Optando por adequar a taxa, devemos utilizar o conceito de taxa
equivalente.
� Quero → mês
� Tenho → ano
Em seguida, devemos representar essas unidades em blocos de dias (sempre utilizando
o calendário comercial)
� Quero → mês → 30
� Tenho → ano→ 360
Substitui-se na fórmula de taxa equivalente obtemos:
( )
( )
( )[ ]{ }{ }
..%65,0
10010065,1
100108084981,1
100108084981,1
1001108084981,0
308,0
360
30
360
30
mai
i
i
i
i
e
e
e
e
e
=×−=
×−=
×
−
=
×
−
+=
Uma vez adequada a unidade de tempo da taxa ao período, basta substituir os valores
na fórmula do montante
( )( )
20,977.2
175829849,1532.2
0065,1532.2
0065,01532.2
1
25
25
=×=×=
+=
+=
F
F
F
F
iPF n
Resposta: ao final de 25 meses, Antônio resgatou a quantia de R$2.977,20.
Os problemas financeiros inseridos no contexto dos juros compostos podem ser
resolvidos algebricamente, ou seja, pelas fórmulas apresentadas. Porém, além desse
procedimento é possível obter soluções imediatas na resolução de tais problemas por
meio de outros recursos, como por exemplo, das calculadoras financeiras.
Representação da dízima periódica 0,083333...
46
A seguir será apresentada uma breve explanação sobre as funcionalidades financeiras
da HP-12c.
3.2. Funcionalidades Financeiras da Calculadora HP- 12c
A calculadora financeira HP-12c é uma das calculadoras financeiras mais utilizadas
na disciplina de Matemática Financeira de cursos diversos. Isso porque a mesma
possibilita soluções imediatas a questões que envolvem juros compostos.
Ao iniciar a utilização da HP-12c algumas informações são importantes, a saber:
3.2.1. Funções Básicas da HP-12c
3.2.1.1. Funções Secundárias F e G
As teclas da HP-12c podem possuir até 03 funções: primária (representada pela cor
branca), 1ª secundária (representada pela cor laranja) e 2ª secundária (representada
pela cor azul).
47
Observe que acima de algumas teclas existem funções representadas pela cor laranja e
abaixo de algumas teclas existem funções representadas pela cor azul. Para armazená-
las utilizamos, respectivamente, as teclas F e G.
3.2.1.2. Separadores de Dígitos
Ao digitar um número, cada grupo de três dígitos no lado esquerdo do ponto decimal é
automaticamente separado no mostrador. Esse separador pode estar no formato
americano, ou seja, separando as unidades de milhar com vírgula, ou no formato
brasileiro, separando as unidades de milhar com ponto.
Você pode alterar a configuração para o formato brasileiro ou americano realizando o
seguinte comando:
Desligue a calculadora. Depois, aperte e segure as teclas • e ON
simultaneamente. Em seguida, solte a tecla ON e depois a tecla
• ; Siga este mesmo procedimento para retornar à configuração
anterior.
3.2.1.3. Números Negativos
Muitas vezes, em cálculos financeiros é necessária a representação de um número na
forma negativa. A tecla que troca o sinal de um número que acabou de ser digitado, ou
até mesmo o resultado de um cálculo é a CHS . Essa tecla, também, pode ser
utilizada para positivar o resultado negativo de determinado cálculo.
3.2.1.4. Número de Casas Decimais
Você pode visualizar até nove casas decimais depois da vírgula. Para alterar o número
de casas decimais que deseja visualizar, basta pressionar a tecla f e número de casas
que deseja visualizar. Exemplo: 4f , 9f .
48
Você pode optar, também por visualizar os números em notação científica, ou seja, em
potência de 10 pressionando •f , para retornar basta realizar, novamente o comando
supracitado, ou seja, f e a quantidade de casas que deseja visualizar.
3.2.1.5. Inserindo números
Para inserir números na calculadora, devemos armazená-los em sequência.
É importante, ressaltar também, que a forma como realizamos cálculos na HP é
diferente daqueles realizados nas demais calculadoras, pois, lançamos:
NÚMERO NÚMERO
OPERAÇÃO
CUIDADO! A tecla • é utilizada para separar números decimais e não o separador de
unidades de milhar. Portanto, ao digitar, o número: 5.000, não devemos pressionar a
tecla • , mas sim, digitar o número direto, pois a calculadora irá separar
automaticamente as unidades de milhar. Já a digitação do número 0,525 deve ser da
seguinte forma: 5250 • e será exibido no visor 525,0 ou 525.0 dependendo do
formato que a mesma estiver programada.
3.2.1.6. As teclas “CLEAR” (apagar)/ Limpar
registros e memórias
Veja abaixo a função e como devem ser utilizados cada comando:
49
TECLAS COMANDO
CLx
f CLEAR REG
f CLEAR FIN
f ∑
f CLEAR PRGM
Apaga valores no visor ainda não armazenados, ou seja,
antes de se pressionar a tecla ENTER. Essa tecla,
também zero o visor. Apaga todos os registros Apaga somente os registros financeiros Apaga registros estatísticos Apaga programações realizadas
3.2.1.7. Siglas e nomenclaturas das funções
financeiras básicas
COMANDO
FUNÇÃO
n Período (dia, mês, ano, trimestre, ...)
i Taxa de Juros (%)
PV Valor Presente, Capital ou Principal
PMT Valor das prestações (iguais e consecutivas)
FV Valor Futuro ou Montante
7g Aciona a tecla BEGIN (início), indica a antecipação da 1ª parcela
8g Aciona a tecla END (fim), indica pagamentos postecipados.
3.2.2. Iniciando o cálculo financeiro Antes de iniciar os cálculos com a HP é necessário ativar a função “c”, que é uma
função específica para o cálculo de juros compostos. Vocês, certamente, devem estar
se perguntando; mas, a calculadora financeira foi “programada” para realizar cálculos
no regime de juros compostos, porque, então, devemos ativar a função “c”? A
resposta é simples, pois caso contrário, quando realizamos cálculos com período
fracionário, a mesma utilizará o método de regressão linear e não o exponencial.
50
Para ativar tal comando, basta pressionar: STO EEX . Aparecerá no canto inferior
do visor um “c”.
Para o cálculo envolvendo o regime de juros compostos utilizamos as teclas:
Onde:
→n Período;
→i Taxa de Juros (em %);
→PV Valor presente ou principal (present value);
→PMT Valor de uma parcela de pagamento, quando uma dívida é paga em
parcelas fixas;
→FV Valor Futuro ou Montante (future value).
Para realizar cálculos financeiros, utilizando a HP, basta fornecer três valores e solicitar
o cálculo do quarto. É importante, no entanto, atentar-se para que taxa de juros e
período estejam na mesma unidade de tempo, caso contrário, devemos fazer a
adequação.
Calcular os juros de uma aplicação financeira de R$12.500,00 pelo prazo de 5 meses, à
taxa de 3,1%a.m, considerando o regime de juros compostos.
Resolução
Inicialmente, vamos retirar os dados do problema.
Descrição Valor
VALOR A SER DETERMINADO Rendimento/ juros (j) ? VALORES FORNECIDOS Valor Presente (P) R$12.500,00 Período (n) 05 meses Taxa de Juros (i) 3,1% ao mês
51
Precisamos determinar o valor dos juros, porém, nas teclas de atalho da HP não tem
uma específica para o cálculo dos juros, no entanto, sabemos que PFj −= , ou seja,
montante menos o capital. Então, devemos, inicialmente, encontrar o valor do
montante, conforme abaixo:
TECLA VISOR
f CLx 0,00
12.500 12.500,00
5 5,00
3,1 3,10
-14.561,41
O sinal negativo apresentado para o valor futuro resulta do fato de que a calculadora
trabalha com a ideia de fluxo de caixa, ou seja, o que é entrada armazena-se
positivamente e o que for saída armazena-se negativamente. Na prática, despreze o
sinal, utilize somente o valor absoluto. A não ser quando, na entrada de dados, tiver
dois valores monetários (por exemplo, o capital, o montante ou o valor das parcelas),
nesses casos, deve-se atribuir a um deles o sinal negativo, o que é viabilizado pela tecla
CHS que significa “mudar sinal”, do inglês change sign.
Retomando o exercício, precisamos determinar de fato o que foi solicitado que é o
valor dos juros. Deste modo, vamos inicialmente alterar o sinal da resposta anterior
pressionando a tecla CHS e por fim subtrair o resultado encontrado de 12.500
obtendo, assim a quantia de 2.061,41. Logo, o juro dessa operação é de R$2.061,41.
3.2.3. Taxa Equivalente na HP A fórmula utilizada para o cálculo de taxa equivalente é:
( ) 10011 ×
−
+= tenho
quero
e ii
52
Os comandos na HP ficam:
COMANDOS HP
f CLx 0,00
Taxa dada ENTER
100 ÷ 1 +
quero ENTER
tenho ÷ xy
1 -
100 ×
Para uma visualização mais precisa desses comandos acompanhe a resolução do
exemplo 8.
Qual a taxa mensal equivalente a 15%a.a.?
Resolução
Para resolver esse exercício é necessário identificar a unidade de tempo da taxa que se
deseja transformar, bem como a unidade de tempo da taxa fornecida.
� Quero → mês
� Tenho → ano
Em seguida, devemos representar essas unidades em blocos de dias (sempre utilizando
o calendário comercial)
� Quero → mês → 30
� Tenho → ano→ 360
Substitui-se na fórmula os dados fornecidos para em seguida determinar o valor com o
auxílio da HP.
( ) 1001115,0 360
30
×
−
+=ei
53
Resolvendo essa expressão com a HP, obtemos:
COMANDOS HP VISOR
f CLx 0,0000
15 ENTER 15,0000
100 ÷ 0,1500
1 + 1,1500
30 ENTER 30,0000
360 ÷ xy 1,0117
1 - 0,0117
100 × 1,1715
Outra forma de se calcular taxa equivalente pela HP-12c é gravando um programa dos
comandos que se repetem, agilizando, assim a obtenção do resultado. O comando a
seguir é realizado uma única vez e em seguida utilizamos apenas o comando para
obtenção da taxa.
f RP / f PRGM ENTER100 ÷ 1 + 0RCL xy 1 – 100 × f RP /
Uma vez armazenado o programa, para determinar a taxa solicitada devemos dar o
seguinte comando:
quero ENTER tenho÷ 0STO dadai SR/
Retomando o exemplo 8 e determinando a taxa pelo programa armazenado, temos:
SRSTOENTER /01536030 ÷
Logo, a taxa mensal será de 1,715%, como já determinado pela fórmula.
3.3. Exercícios Resolvidos
01) Imagine que você tenha pegado um empréstimo no valor de R$100,00. O
regime da capitalização é composto, a uma taxa de 10% ao ano. Após um ano,
qual será o valor da sua dívida?
Resolução
Descrição Valor
VALOR A SER DETERMINADO Montante (F) ? VALORES FORNECIDOS Valor Presente (P) R$100,00 Período (n) 01 ano Taxa de Juros (i) 10% ao ano
54
Resolvendo pela fórmula faz-se necessária a transformação da taxa percentual em taxa
unitária, ou seja, 10,0100
10.%10 =⇒=⇒= iimai .
Substituindo os valores na equação de juros compostos, temos:
00,110$1,1100)10,01(100)1( 1 RMxMMiPM n =⇒=⇒+=⇒+=
Pela HP-12c:
Digitar Visor f CLEAR FIN
100 PV 100,00
10 i 10,00
1 n 1,00
FV -110,00
Resposta: Após o período de um ano a sua dívida será de R$110,00.
02) Qual a taxa mensal equivalente a 33,1% ao trimestre?
Resolução
� Quero → mês → 30
� Tenho → trimestre → 90
Substituindo os valores na equação de taxa equivalente, temos:
( )
( )
..%10
100111001,33
10011100
90
30
mai
xi
xi
e
e
tenho
quero
dadaei
=
−
+÷=
−
+÷=
Sugiro utilizar sempre o período que quero e o período que tenho em dias
considerando o calendário comercial.
Substituindo os dados na HP-12c:
55
Digitar Visor f CLEAR FIN
33,1 ENTER 33,1000
100 ÷ 0,3310
1 + 1,3310
ENTER 1,3310
30 ENTER 30,0000
90 ÷ 0,33333
YX 1,1000
1 - 0,1000
100 x 10,0000
Ou ainda, utilizando o programa, temos:
09030 STOENTER ÷ SR/1,33 , obtendo, 10% ao mês.
Resposta: A taxa mensal equivalente a 33,1%a.t. é 10%.
03) Em uma aplicação de R$4.300,00 a juros compostos de 5% ao mês, durante 6
dias, quanto se ganha de juros?
Resolução
Descrição Valor
VALOR A SER DETERMINADO Rendimento/juros (j) ? VALORES FORNECIDOS Valor Presente (P) R$4.300,00 Período (n) 06 dias Taxa de Juros (i) 5% ao mês
Nesse exercício é necessário atentar-se, pois, taxa e período não estão na mesma
unidade de tempo. Desse modo, é necessário adequá-las. É possível determinar o
período (regra de três) ou a taxa (taxa equivalente). Utilizaremos a adequação pela
transformação da taxa.
( ) ( ) 1001105,010011 30
1
xxi tenho
quero
ei −
+⇒−
+=
Utilizando a HP para os cálculos, obtemos:
56
Digitar Visor f CLEAR FIN
5 ENTER 5,0000
100 ÷ 0,0500
1 + 1,0500
ENTER 1,0500
1 ENTER 1,0000
30 ÷ 0,3333
YX 1,0016
1 - 0,0016
100 x 0,1628
Após o término desse cálculo não limpe a memória da calculadora, pois iremos
armazená-lo diretamente na memória financeira e posteriormente lançaremos o
demais dados. Esse procedimento é importante, pois dessa forma será considerado
para o cálculo todas as casas decimais, caso contrário, poderá dar diferença no
resultado.
Resolvendo pela HP, temos:
Digitar Visor f CLEAR FIN 0,1628
i 0,1628
4.300 PV 4.300,0000
6 n 6,0000
FV -4.342,1649
Como o problema está pedindo o valor dos juros e não do montante, devemos subtrair
o valor absoluto (positivo) do montante pelo capital:
16,42$00,300.416,342.4 RJJPFJ =⇒−=⇒−= .
Resolvendo pela fórmula de juros, temos:
( )[ ]( )[ ][ ][ ]
17,42
009807842,04300
1009807842,14300
1001628,14300
1001628,014300
11
6
6
=⋅=
−=−=
−+=
−+=
J
J
J
J
J
iPJ n
57
Agora é com você! Resolva esse mesmo exercício, porém, ao invés de transformar a
taxa de juros transforme o período e compare os resultados.
3.4. Resumo da Unidade � Principal Característica → taxa de juros é aplicada sobre o montante do período
anterior, resultando, assim em um crescimento exponencial; em outras
palavras, temos que, os juros compostos, acumulados ou capitalizados são os
juros produzidos no 1º período que, somados ao capital que o produziu, passam
a produzir juntos, juros no período seguinte;
� Taxas de juros → apesar das taxas de juros, normalmente, serem apresentadas
na forma percentual, no momento de efetuar os cálculos, a partir de fórmulas
matemáticas, deve-se utilizar a taxa na forma unitária/decimal, ou seja,
dividida por 100. No entanto, ao resolver um problema pela HP-12c, utiliza-se a
taxa no formato percentual;
� Unidades de tempo → Para realização dos cálculos, taxa de juros e período
devem ser representados na mesma unidade de tempo;
� Tratando-se de juros compostos, ao transformar o período utiliza-se regra de
três para compatibilizar o período (n). No entanto, ao compatibilizar a taxa (i) é
necessário utilizar “Taxas Equivalentes”;
� Problemas envolvendo taxas equivalentes devem ser resolvidos pela fórmula
de “taxa equivalente”, nunca por uma “regra de três”, uma vez que o regime
de juros compostos cresce de forma exponencial e não proporcional.
58
3.5. Quadro de Fórmulas
DESCRIÇÃO FÓRMULA
Juros ( )[ ]11 −+=
−=niPJ
PFJ
Montante niPF
JPF
)1( +=
+=
Taxa Equivalente ( ) 10011100 ×
−
+÷= tenho
quero
e ii
59
UNIDADE 4: DESCONTO
Esse tópico foi destinado para a discussão do conceito de Desconto. Serão
apresentadas duas operações de desconto, a saber: comercial e racional, ambas serão
abordadas no regime de juros simples. Já no regime de juro composto será
apresentada, apenas, a operação de desconto Racional. A unidade foi organizada em:
discussão do conteúdo acompanhada de exemplos, exercícios resolvidos, resumo da
unidade e Quadro de Fórmulas.
4.1. O desconto de títulos Neste tópico, abordaremos o tema: Desconto. Certamente, você deve ter presenciado
diversas negociações comerciais que oferecem descontos em pagamentos à vista. No
entanto, o desconto não se restringe a essa conceituação. No mercado financeiro é
comum empresas, e até mesmo pessoa física, realizar o desconto de títulos a curto
prazo3, transformando um pagamento futuro em capital de giro.
Assim como os juros, o desconto também pode ser regido pelo juro simples ou
composto, porém, como os descontos de títulos e duplicatas são realizados quase que
em sua totalidade no curto prazo, o mercado opera normalmente no regime de juros
simples.
O desconto é muito semelhante aos juros; a moeda é o “ator” principal, uma vez que o
mercado está realizando a “troca” de um título, que nada mais é do que uma
promessa de pagamento, por moeda corrente. Pela antecipação deste dinheiro será
aplicada sobre o valor nominal, ou atual do título uma taxa de desconto praticada pela
instituição financeira. O detentor do título receberá o valor líquido, ou seja, já
deduzido dos juros cobrados antecipadamente.
3 O mercado considera como curto prazo negociações inferiores há um ano.
60
Você deve estar se perguntando: “Mas, que tipo de documento pode ser trocado no
mercado financeiro, o que vem a ser estes títulos de crédito?”
Chama-se título de crédito o documento comprobatório de uma dívida. Exemplos de
título de crédito são: promissórias, duplicatas, letras de câmbio, dentre outros.
Cabe ressaltar que, apesar do cheque (pré-datado) não ser um título de crédito; o
mercado o considera como tal em operações financeiras.
Esses títulos têm um valor declarado chamado valor nominal (F), que corresponde ao
valor que pode ser recebido pelo título na data do vencimento, que também vem ali
declarado.
Quando o portador de um título de crédito precisa de dinheiro, pode resgatá-lo antes
do seu vencimento, mediante endosso, numa corretora de valores ou banco que
procede a operação de desconto. Mas, ao resgatar o título ANTES do vencimento, o
portador não recebe o valor ali declarado. O valor nominal do título sofre um desconto
que será tanto maior quanto maior for a antecipação do pagamento em relação à data
de vencimento e também em relação ao risco na negociação.
O valor recebido pelo portador chama-se valor atual (P) do título e representa a
diferença entre o valor nominal e o desconto realizado.
DFP −=
O desconto corresponde, assim, aos juros cobrados pela instituição pela antecipação
do pagamento.
Existem duas formas para se calcular o desconto de um título:
61
Apesar de existir dois tipos de operação de desconto (Racional e Comercial), estudadas
em ambos os regimes de juros (simples e composto), no regime de juros compostos,
será abordada apenas a operação de Desconto Racional, por não ter aplicação no
Brasil do Desconto Comercial Composto.
4.2. Siglas e Nomenclaturas
Várias são as siglas utilizadas para representar os principais conceitos que permeiam o
tema “desconto”. No entanto, para facilitar seu entendimento utilizaremos as mesmas
siglas, já apresentadas no contexto da capitalização, resumidas no quadro a seguir:
62
Nomenclatura Sigla
Descrição Fórmula HP - 12c
Valor Nominal ou Valor Futuro F FV
É o valor expresso no título de crédito. Como o título de crédito é um valor que ainda vai vencer utiliza-se, também o termo, valor futuro. Outra interpretação para o valor nominal ou valor futuro, no contexto de desconto, é a de dívida, ou seja, valor já acrescido dos juros em determinada época.
Valor Atual/ Líquido ou Valor Presente P PV
Como um dos objetivos da operação de desconto é a antecipação de um título de crédito, ao realizar essa antecipação, recebe-se um valor menor do que o valor indicado no título. Pode-se dizer que esse desconto é o juro cobrado pela instituição financeira pela antecipação dessa quantia monetária ao cliente. O valor líquido recebido pelo cliente é chamado de valor atual, valor líquido ou valor presente. Já no contexto de antecipação de um pagamento o valor atual consiste no valor descapitalizado, ou seja, retirado o valor dos juros previamente estabelecidos.
Taxa de Desconto i i É a taxa de juros praticada na operação de desconto.
Tempo de Antecipação n n
É o tempo de antecipação do título de crédito ou o tempo de antecipação do pagamento de uma dívida. É importante destacar que esse tempo de antecipação, nem sempre consistirá no prazo acordado previamente, mas, sim na quantidade de períodos que foram antecipados.
Desconto D -
Como mencionado no tópico “valor atual”, o desconto é o juro cobrado pela instituição financeira pela antecipação do título ou do pagamento de uma dívida. Portanto, D = F – P
63
4.3. Desconto Comercial Simples O desconto comercial simples (também conhecido por Desconto Bancário, por ser uma
operação amplamente utilizada por instituições bancárias) é uma operação financeira
voltada para a antecipação de um título de crédito. Sua principal característica é a taxa
de juros incidir sobre o valor nominal do título.
FinD = Equação I
Para o cálculo do desconto, utiliza-se:
PFD −= Equação II
Substituindo a primeira equação na segunda, obtemos:
� isolando P
� colocando F em evidência
Desse modo, a fórmula )1( inFP −= possibilita determinar o valor atual do título
recebido quando forem fornecidos o valor nominal, a taxa e o período de antecipação.
Um cheque4, no valor de R$10.000,00, pré-datado para 50 dias foi descontado a uma
taxa de desconto simples de 2,95% ao mês. Determine o valor do desconto e o valor
atual recebido pelo cliente.
4 O cheque pré-datado, legalmente, não é considerado um título de crédito, no entanto, o mercado o
considera como tal, sendo possível realizar operações de desconto.
64
Primeiramente, devemos retirar os dados fornecidos no problema:
DESCRIÇÃO VALOR
VALOR A SER DETERMINADO
Desconto (D) ?
Valor Atual (P) ?
VALORES FORNECIDOS
Valor Nominal (F) R$10.000,00
Tempo de Antecipação (n) 50 dias
Taxa de Desconto (i) 2,95% ao mês
Após retirar os dados do problema é necessário verificar se taxa e período estão na
mesma unidade de tempo. Como a taxa está expressa na unidade de tempo mensal e
o período na unidade de tempo diário, deve-se fazer a adequação. Uma vez que o
regime de desconto utilizado é o simples, é possível alterar a taxa ou o período por
meio de uma regra de três.
Alterando o período, temos como variáveis envolvidas, mês e dia, que consiste,
respectivamente, na unidade de tempo que se deseja determinar e na unidade de
tempo fornecida no problema.
Mês Dia
1 30
x 50
mesesx
x
x
x
...66666,13
530
50
5030
=
=
=
=
Para determinar o valor do desconto utiliza-se a fórmula:
Lembrando que em fórmula matemática é necessário utilizar a taxa no formato
decimal (dividida por 100), temos:
666666666,10295,0000.10 ××=D
65
É importante destacar que como o período é uma dízima periódica é necessário
utilizar, pelo menos nove casas após a vírgula, pois, em matemática financeira os
arredondamentos são realizados apenas no resultado final e não ao longo do processo.
Desse modo, o valor do desconto concedido foi de R$491,67.
Para o cálculo do valor atual, temos duas diferentes maneiras para a resolução, a
saber:
1ª)
33,508.9
67,491000.10
000.1067,491
=−=
−=−=
P
P
P
PFD
2ª)
)1( inFP −=
)666666666,10295,01(000.10 ×−=P � primeiro é necessário resolver a multiplicação
)049166667,01(000.10 −=P � resolve a subtração para eliminar os parênteses
950833333,0000.10 ×=P � é necessário considerar todas as casas após a vírgula
33,508.9=P
4.4. Desconto Racional Simples O desconto Racional simples é uma operação financeira voltada para a antecipação do
pagamento de uma dívida, também conhecido por descapitalização da dívida. Essa
descapitalização consiste na retirada dos juros previamente calculados pelo
financiamento de determinado valor. Sua principal característica é a taxa de juros
incidir sobre o valor atual da dívida.
Para o cálculo desse desconto, utiliza-se:
PinD = Equação 01
Ou ainda,
66
PFD −= Equação 02
Substituindo a primeira equação na segunda, obtemos:
� isolando F
� colocando P em evidência
� isolando P
Joaquim adquiriu uma dívida de R$29.500,00 para ser quitada ao final de sete meses.
Desejando antecipar o pagamento para o quarto mês determine o novo valor a ser
pago, considerando uma taxa de desconto racional simples de 6% ao mês.
Primeiramente, devemos retirar os dados fornecidos no problema:
DESCRIÇÃO VALOR
VALOR A SER DETERMINADO
Valor Atual (P) ?
VALORES FORNECIDOS
Valor Nominal (F) R$29.500,00
Tempo de Antecipação (n) 7 – 4 = 3meses
Taxa de Desconto (i) 6% ao mês
Como taxa e período estão na mesma unidade de tempo basta dividir a taxa por 100 e
substituir na fórmula:
in
FP
+=
1
306,01
29500
×+=P � Lembrando que primeiro multiplica, para depois somar, temos:
Lembrando que deve ser considerado o tempo de
antecipação, é necessário subtrair o tempo total
negociado pela nova data de pagamento.
67
18,01
29500
+=P
18,1
29500=P
000.25=P
Portanto, a quantia que deverá ser paga ao final do quarto mês para quitar a dívida é
de R$25.000,00.
4.5. Desconto Racional Composto O desconto racional composto, assim como o desconto racional simples, é uma
operação financeira voltada para a antecipação do pagamento de uma dívida, ou ainda
para a descapitalização de determinada quantia monetária; a única diferença é o tipo
de regime utilizado. Quando a dívida for contratada pelo regime de juros simples a
descapitalização deve ocorrer seguindo o mesmo regime de juros, quando for no
composto, utiliza-se desse último para a operação de descapitalização.
Para o cálculo do desconto, utiliza-se:
( )[ ]11 −+= niPD ou ainda PFD −=
Já para determinar o valor atual, basta utilizar a fórmula:
( )ni
FP
+=
1
Um título, com 90 dias a vencer, foi descontado à taxa de 1,5% ao mês, produzindo um
desconto no valor de R$1.379,77. Calcular o valor nominal do título considerando o
desconto racional composto.
Primeiramente, devemos retirar os dados fornecidos no problema:
68
DESCRIÇÃO VALOR
VALOR A SER DETERMINADO
Valor Nominal (F) ?
VALORES FORNECIDOS
Desconto (D) R$1.379,77
Tempo de Antecipação (n) 90 dias
Taxa de Desconto (i) 1,5% ao mês
Após retirar os dados do problema é necessário verificar se taxa e período estão na
mesma unidade de tempo. Como a taxa foi expressa na unidade de tempo mensal e o
período na unidade de tempo diária, deve-se fazer a adequação. Como o regime de
desconto utilizado é o composto deve-se:
• Fazer regra de três caso necessite transformar o período; ou,
• Fazer taxa equivalente se desejar transformar a taxa.
Para um melhor entendimento esse exercício será realizado pelos dois possíveis
caminhos. Cabe destacar, que nas atividades propostas, basta utilizar apenas aquele
que julgar mais apropriado para o seu aprendizado.
1º Procedimento: transformando o período
Mês Dia
1 30
x 90
mesesx
x
x
x
33
930
90
9030
=
=
=
=
Para determinar o valor nominal do título basta utilizar a fórmula:
( )[ ]11 −+= niPD
69
Lembrando que em fórmulas matemáticas é necessário utilizar a taxa no formato
decimal (dividida por 100), temos:
( )[ ]( )[ ][ ]
20,206.30
04567875,0
77,379.1
045678375,077,379.1
1045678375,177,379.1
1015,177,379.1
1015,0177,379.13
3
=
=
×=−=
−=
−+=
P
P
P
P
P
P
2º Procedimento: transformando a taxa de juros
Como estamos trabalhando no regime de juros compostos a transformação de taxas
deve ser realizada pela fórmula de taxa equivalente.
� Quero → diária → 1
� Tenho → mensal → 30
Substituindo os valores na equação de taxa equivalente, temos:
( )
( )
( )[ ]{ }{ }
..%049641,0
100100049641,1
1001015,1
10011015,0
10011
03333333,0
30
1
dai
i
i
i
ii
e
e
e
e
tenho
quero
e
=×−=
×−=
×
−
+
×
−
+=
=
Substituindo na fórmula do desconto, temos:
( )[ ]11 −+= niPD
Lembrando que em fórmulas matemáticas é necessário utilizar a taxa no formato
decimal (dividida por 100), temos:
Para resolver essa equação é necessário primeiro eliminar os parênteses, resolvendo a soma
entre 1+0,015, em seguida deve-se resolver a potência para
depois subtrair.
70
( )[ ]( )[ ][ ]
20,206.30
045678351,0
77,379.1
045678351,077,379.1
1045678351,177,379.1
100049641,177,379.1
100049641,0177,379.190
90
=
=
×=−=
−=
−+=
P
P
P
P
P
P
4.6. Exercícios Resolvidos
01) Suponha que você tenha vendido hoje um lote de mercadorias no valor de
R$15.000,00. O pagamento referente a tal venda deverá ser efetuado num
prazo de 125 dias. Porém, necessitando cumprir alguns compromissos de
ordem financeira, você decide ir ao banco descontar a duplicata relativa a esta
venda. A informação que você recebe do gerente do banco é que a taxa de
desconto comercial simples praticada pela instituição é de 4% ao mês. Sendo
assim, que valor receberá se descontar a duplicata?
Resolução
Inicialmente, vamos retirar os dados do problema
DESCRIÇÃO VALOR
VALOR A SER DETERMINADO
Valor Atual ou Presente (P) ?
VALORES FORNECIDOS
Valor Nominal ou Futuro (F) R$15.000,00
Tempo de Antecipação (n) 125 dias
Taxa de Desconto (i) 4% ao mês
Como taxa e período não estão na mesma unidade de tempo, devemos adequar. Pode-
se transformar a taxa ou o período. Transformando a taxa (taxa proporcional) temos:
Taxa Dia
4% 30
x 01
Para resolver essa equação é necessário primeiro eliminar os parênteses, resolvendo a soma
entre 1+0,00049641, em seguida deve-se resolver a potência para
depois subtrair.
71
..%133333333,030
4
%430
dax
x
x
=
=
=
É importante destacar que a taxa deve ser dividida por 100 para substituir na fórmula.
Substituindo, temos:
( )
00,500.12
833333333,0000.15
166666667,01000.15
)125001333333,01(000.15
)1(
=×=
−=×−=
−=
P
P
P
P
inFP
Resposta: Você receberá hoje R$12.500,00.
02) Uma nota promissória de R$18.600,00, vencendo em 272 dias, sofreu um
desconto bancário de R$3.600,00. A taxa mensal de desconto comercial
simples foi de?
Resolução
Retirando os dados do problema.
DESCRIÇÃO VALOR
VALOR A SER DETERMINADO
Taxa de Desconto (i) ?
VALORES FORNECIDOS
Valor Nominal ou Futuro (F) R$18.600,00
Tempo de Antecipação (n) 272 dias
Desconto (D) R$3.600,00
Substituindo os valores na fórmula do desconto, tem-se:
000711575,0200.059.5
600.3
200.059.5600.3
272600.18600.3
=
=
=××=
=
i
i
i
i
FinD
Para determinar a taxa em porcentagem deve-se multiplicar o resultado por 100,
obtendo: 0,071157495% ao dia. Porém, o problema solicitou uma taxa mensal, deste
72
modo, é necessário fazer uma regra de três para a adequação da unidade de tempo
solicitada.
Taxa Dia
0,071157495% 01
x 30
..%134724858,2
30%071157495,0
max
x
=×=
03) Em uma operação financeira, o valor nominal do título é igual a 12 vezes o
desconto comercial simples concedido. Sendo a taxa de desconto simples de
2% ao dia, o prazo de antecipação em dias é de?
Resolução
Nesse exercício não foram fornecidos exatamente o valor do título, bem como o valor
do desconto, somente uma relação entre eles. Nestes casos, temos duas formas de
resolver o problema.
1º) Utilizar as próprias variáveis;
2º) Atribuir um valor para uma das variáveis e a outra será determinada por
meio da relação apresentada.
Utilizando a primeira opção, temos:
DESCRIÇÃO VALOR
VALOR A SER DETERMINADO
Tempo de antecipação (n) ?dias
VALORES FORNECIDOS
Desconto (D) D
Valor Nominal ou Futuro (F) 12D
Taxa de Desconto (i) 2% ao mês
Substituindo na fórmula do desconto.
73
mesesn
n
n
nDD
FinD
166666667,424
1
24,01
02,012
=
=
=××=
=
Porém, o exercício solicitou o período em dias, portanto, aplicando a regra de três.
Meses Dias
01 30
4,166666667 x
diasx
x
125
30166666667,4
=×=
Pelo segundo método, que consiste na atribuição de um valor, podemos atribuir o
valor do desconto como sendo R$100,00. Portanto, se o valor do título é 12 vezes o
valor do desconto temos que 200.1=F . Organizando os dados em uma tabela, tem-
se:
DESCRIÇÃO VALOR
VALOR A SER DETERMINADO
Tempo de antecipação (n) ?dias
VALORES FORNECIDOS
Desconto (D) R$100,00
Valor Nominal ou Futuro (F) R$1.200,00
Taxa de Desconto (i) 2% ao mês
Substituindo na fórmula do desconto.
mesesn
n
n
n
FinD
166666667,424
100
24100
02,01200100
=
=
=××=
=
Adequando o prazo para a unidade de tempo solicitado no problema, obtemos 125
dias.
74
Outra forma de fazer esse exercício seria transformando a taxa para a unidade de
tempo diária, antes de substituir na fórmula. Faça essa substituição e resolva
novamente o exercício pelos dois métodos apresentados.
04) Calcular o desconto racional e o valor atual do título considerando um valor
nominal de R$70.000,00, um prazo de antecipação de três meses e uma taxa
de juros de simples de 2,85% ao mês.
Resolução
Retirando os dados do problema.
DESCRIÇÃO VALOR
VALOR A SER DETERMINADO
Desconto (D) ?
Valor atual ou presente (P) ?
VALORES FORNECIDOS
Valor Nominal ou Futuro (F) R$70.000,00
Prazo de antecipação (n) 3 meses
Taxa de Desconto (i) 2,85% ao mês
Substituindo da fórmula do desconto racional, temos:
41,486.64
0855,1
000.70
0855,01
000.70
30285,01
000.701
=
=
+=
×+=
+=
P
P
P
P
in
FP
Desse modo, o valor liquido recebido será de R$64.486,41. Para determinar o valor do
desconto, basta subtrair 70.000 pelo valor encontrado (atual), obtendo:
59,513.5
41,486.64000.70
=−=
D
D
75
05) Um título no valor nominal de R$1.873,20 foi resgatado dois meses e meio
antes de seu vencimento e foi contratado à taxa de 30% ao ano. O desconto
racional composto concedido foi de:
Resolução
Retirando os dados do problema.
DESCRIÇÃO VALOR
VALOR A SER DETERMINADO
Desconto (D) ?
VALORES FORNECIDOS
Valor Nominal ou Futuro (F) R$1.873,20
Prazo de antecipação (n) 2,5 meses
Taxa de Desconto (i) 30% ao ano
Como taxa e período não estão na mesma unidade de tempo é necessário fazer a
adequação transformando ou o período (regra de três) ou a taxa (taxa equivalente).
Transformando o período temos:
Ano Meses
01 12
x 2,5
anosx
x
x
208333333,012
5,2
5,212
=
=
=
Primeiro devemos determinar o valor Atual do título, pois, na fórmula do desconto,
não é possível substituir direto os dados fornecidos. Deste modo, utilizando
( )niPF += 1 , temos:
( )( )
56,773.1
05618063,1
20,873.1
05618063,120,873.1
30,120,873.1
30,0120,873.1208333333,0
208333333,0
=
=
==
+=
P
P
P
P
P
76
Para determinar o valor do desconto podemos utilizar AFD −= ou
( )[ ]11 −+= niPD .
64,99
56,773.120,873.1
=−=
−=
D
D
AFD
Outro método para resolução desse exercício é utilizando a HP-12c, uma vez que trata-
se de um problema de desconto no regime de juros compostos.
Digitar Visor f CLEAR FIN 0,000000000
30 i 30,00000000
1.873,20 FV 1.873,20000
0,208333333 n 0,208333333
PV -1.773,56000
Como o problema está pedindo o valor do desconto e não o valor atual devemos
subtrair o valor absoluto (positivo) do valor encontrado:
64,99$56,773.120,873.1 RDDPFD =⇒−=⇒−= .
Outra forma de fazer esse exercício seria transformando a taxa para a
unidade de tempo mensal, antes de substituir na fórmula ou na HP.
Faça essa substituição e resolva novamente o exercício pelos dois
métodos apresentados.
06) Uma firma realiza um empréstimo em um banco no valor de R$20.000,00, por
um prazo de 10 meses, à taxa de 3,0% ao mês, em regime de juros compostos.
Sabendo-se que a taxa de desconto racional composto é de 2,0% ao mês, e
desejando antecipar para 4 meses o pagamento, essa firma pagaria ao banco:
Resolução
Esse problema envolve tanto o conceito de capitalização quanto o de desconto. Num
primeiro momento deve-se determinar qual o valor da dívida (valor futuro) e num
segundo momento realizar a antecipação desse pagamento.
77
Cálculo do valor futuro –
DESCRIÇÃO VALOR
VALOR A SER DETERMINADO
Valor Futuro (F) ?
VALORES FORNECIDOS
Valor Presente (P) R$20.000,00
Prazo (n) 10 meses
Taxa de Desconto (i) 3% ao mês
Substituindo na fórmula temos:
( )
33,878.26
343916379,1000.20
03,1000.20
03,01000.20
)1(
10
10
=×=×=
+=
+=
F
F
F
F
iPF n
Porém, a empresa deseja antecipar a dívida de 10 para 4 meses pela operação de
desconto racional composto. Desse modo,
DESCRIÇÃO VALOR
VALOR A SER DETERMINADO
Valor Presente (P) ?
VALORES FORNECIDOS
Valor Futuro (F) R$26.878,33
Prazo (n) 10 – 4 = 6m
Taxa de Desconto (i) 2% ao mês
( )
( )
19,867.23
126162419,1
33,878.26
02,1
33,878.26
02,01
33,878.26
1
6
6
=
=
=
+=
+=
P
P
P
P
i
FP
n
78
Portanto, o valor a ser pago no quarto mês para quitar a dívida será de R$23.867,19.
Agora é com você, refaça o exercício anterior utilizando a HP-12c.
Vamos lá?
4.7. Resumo da Unidade
� Temos duas modalidades para o desconto de títulos: racional e comercial,
também chamado de bancário. O desconto racional é calculado tanto no
regime de juros simples quanto no composto. Já o desconto comercial é
determinado apenas no regime de juros simples;
� Nas operações de desconto quando taxa e período não estão na mesma
unidade deve-se fazer as adequações. Nas operações de desconto simples
(racional e comercial) para adequar a unidade de tempo é necessário fazer uma
regra de três no período ou na taxa, quando a alteração é na taxa essa recebe o
nome de taxa proporcional. Por outro lado, nas operações de desconto
composto, para as adequações deve-se fazer regra de três no período ou se
preferir adequar a taxa utiliza-se o conceito de taxa equivalente;
� Quando a resolução do exercício acontece por meio de fórmulas matemáticas é
necessário dividir a taxa por 100, ou seja, utilizar a taxa no formato decimal ou
unitário. Já quando utiliza-se uma calculadora financeira, no caso, a HP-12c
essa divisão não é necessária.
79
4.8. Quadro de Fórmulas
DESCRIÇÃO FÓRMULA
Desconto de um modo geral PFD −=
Desconto Racional Simples PinD =
Desconto Comercial Simples FinD =
Desconto Racional Composto ( )[ ]11 −+= niPD
Desconto Racional Simples – Valor Atual in
FP
+=
1
Desconto Comercial Simples – Valor Atual
( )inFP −= 1
Desconto Racional Composto – Valor Atual ( )ni
FP
+=
1
80
UNIDADE 5: TAXAS
Nessa unidade serão apresentadas as diferentes taxas de juros praticadas no mercado
financeiro. As taxas normalmente são classificadas em nominal ou efetiva, aparente ou
real. Todas elas são abordadas no contexto do regime de juros compostos, uma vez
que no regime de juros simples as taxas de juros são sempre efetivas. Inicialmente,
serão apresentadas tais taxas conceitualmente em paralelo com a apresentação de
exemplos; em seguida serão abordados alguns exercícios resolvidos, seguidos de um
resumo da unidade e um quadro de fórmulas.
5.1. Taxa Nominal e Efetiva Como mencionado o conceito de Taxa Nominal e Efetiva só faz sentido quando
estudados no regime de juros compostos, pois nesse regime “os juros são capitalizados
mais de uma vez”, como afirma Samanez (2002: 49)
A Taxa Nominal é considerada como uma taxa de juros simples, uma vez que ela não
representa o ganho real da operação financeira, isso porque a mesma desconsidera as
várias capitalizações dos juros. Desse modo, essa taxa pode ser entendida como uma
taxa aproximada, uma vez que ela é calculada com base no valor nominal do título de
crédito ou da operação financeira realizada. (DUTRA, 2006)
Normalmente, as taxas nominais são identificadas pela comparação entre a unidade
de tempo da taxa e a unidade de tempo de seu período de capitalização. Uma taxa é
dita nominal quando sua unidade de tempo for expressa em uma unidade de tempo
diferente do período de capitalização. Como por exemplo, 12% ao ano capitalizada
mensalmente. Nesse exemplo a capitalização é mensal, porém, a taxa foi apresentada
ao ano, e para essa representação, não levou em consideração a capitalização dos
juros. Outro exemplo de taxas nominais são as chamadas taxas de overnight, que são
taxas expressas na unidade de tempo mensal, porém, a capitalização é diária.
81
Por outro lado, uma taxa é dita efetiva quando “representa o custo ou remuneração
efetiva da operação financeira em pauta, tomando-se como base de cálculo o valor do
capital que realmente foi recebido ou desembolsado na data da contratação”. (TOSI,
2007: 129)
Além disso, outra forma de identificarmos uma taxa efetiva é quando a unidade de
tempo da taxa coincide com a unidade de tempo da capitalização. Normalmente,
quando não menciona-se a unidade de tempo da capitalização é por que está sendo
levado em consideração uma taxa efetiva.
E qual a relação entre ambas?
Como a taxa nominal não representa um ganho real, para realizar cálculos é necessário
transformá-la em uma taxa efetiva. Mas, o que é uma taxa efetiva? Como mencionado,
uma taxa efetiva é aquela em que a unidade de tempo da taxa coincide com o período
de capitalização. Desse modo, devemos, então, utilizar algum procedimento que
possibilite adequar a unidade de tempo da taxa à unidade de tempo de seu período de
capitalização. Como a taxa nominal é considerada uma taxa simples para fazer essa
adequação da unidade de tempo basta fazer uma regra de três, e nessa regra de três é
necessário que seja realizada a adequação para o período de capitalização, pois, é esse
período de capitalização que nos permitirá determinar o ganho real da operação.
Uma vez determinada a taxa efetiva no período de capitalização, caso necessite
determinar uma taxa efetiva em outra unidade de tempo, basta utilizar o
procedimento de taxa equivalente.
Resumidamente, dada uma taxa nominal para transformá-la em efetiva devemos:
� aplicar uma regra de três para determinar a taxa no período de capitalização;
� uma vez deteminada a taxa efetiva no período de capitalização, caso necessite,
calcular a taxa efetiva em outra unidade de tempo deve-se utilizar taxa
equivalente.
82
Indique a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal de 12% ao ano com
capitalização mensal.
Resolução
Retirando os dados do problema, temos:
DESCRIÇÃO VALOR
VALOR A SER DETERMINADO
Taxa de juros efetiva anual ?
VALORES FORNECIDOS
Taxa de juros nominal 12% ao ano
Capitalização mensal
A taxa de juros fornecida é uma taxa nominal uma vez que o período de capitalização
(mensal) não coincide com a unidade de tempo da taxa (anual). Portanto, o ganho real
anual não será de apenas 12%. Porém, não é possível determinar direto esse ganho
efetivo anual. Para determinar esse ganho, atendendo, assim a solicitação do
problema, é necessário, primeiramente, transformar essa taxa nominal em uma taxa
efetiva no período de capitalização. Ou seja, fazer uma regra de três.
Taxa Mês
12% 12
x 01
..%112
%12
%1212
max
x
x
=
=
=
Desse modo, o ganho efetivo será de 1% ao mês. Porém, o problema solicitou o ganho
efetivo anual, ou seja, o ganho que leva em consideração a capitalização dos juros. O
procedimento que permite levar em consideração tal capitalização é o de taxa
equivalente, portanto, aplicando taxa equivalente à taxa efetiva encontrada, temos:
83
� Quero → anual → 360
� Tenho → mensal → 30
Substituindo os valores na equação de taxa equivalente, temos:
( )
( )
( )[ ]{ }{ }
..%682803,12
1001126825030,1
100101,1
1001101,0
10011
12
30
360
aai
i
i
i
ii
e
e
e
e
tenho
quero
e
=×−=
×−=
×
−
+
×
−
+=
=
Desse modo, o ganho efetivo dessa operação financeira é de, aproximadamente,
12,68% ao ano e não de 12% como representado na taxa nominal.
Agora já aprendemos a transformar uma taxa nominal em uma efetiva em diferentes
unidades de tempo, mas, e se for fornecido o inverso, ou seja, a partir de uma taxa
efetiva determinar uma taxa nominal? Para compreensão desse contexto, acompanhe
a resolução do exemplo 2.
A taxa nominal anual capitalizada trimestralmente equivalente à uma taxa efetiva de
15% em seis meses é:
Resolução
Retirando os dados do problema, temos:
DESCRIÇÃO VALOR
VALOR A SER DETERMINADO
Taxa nominal anual com capitalização trimestral
?
VALORES FORNECIDOS
Taxa efetiva 15% ao semestre
84
Da mesma forma como foi realizado nas taxas nominais, o primeiro passo é sempre
determinar uma taxa efetiva no período de capitalização. Como a taxa efetiva
fornecida está na unidade de tempo semestral e o período de capitalização é
trimestral, é necessário fazer a adequação. Porém, nesse momento estamos
transformando taxas que já são efetivas, e por este motivo devemos, primeiramente
aplicar o conceito de taxa equivalente.
� Quero → trimestral → 90
� Tenho → semestral → 180
Substituindo os valores na equação de taxa equivalente, temos:
( )
( )
( )[ ]{ }{ }
..%2380529,7
1001072380529,1
100115,1
1001115,0
10011
5,0
180
90
tai
i
i
i
ii
e
e
e
e
tenho
quero
e
=×−=
×−=
×
−
+
×
−
+=
=
Uma vez determinada a taxa efetiva no período de capitalização, para determinar a
taxa nominal é necessário fazer uma regra de três simples.
Taxa Trimestre
7,2380529% 1
x 04
..%9522116,28
04%2380529,7
aax
x
=×=
Portanto, a taxa nominal solicitada será de, aproximadamente, 28,95% ao ano com
capitalização trimestral.
Desses dois exemplos podemos concluir que na transformação de taxas (nominal e
efetiva) sempre é necessário iniciar determinando a taxa efetiva no período de
capitalização, e para essa transformação é necessário atentar-se para que ao
85
� partirmos de uma taxa nominal → aplicar regra de três;
� partirmos de uma taxa efetiva → aplicar taxa equivalente.
5.2. Taxa Aparente e Real A taxa de Juros Aparente, também é considerada como uma taxa nominal, pois, é uma
taxa composta pela taxa real cobrada na operação adicionada pelo valor da inflação do
período.
Apesar da taxa de juro aparente ser considerada uma taxa nominal, simplesmente,
pela adição da inflação, ela pode ser classificada como taxa de juros aparente nominal
(quando além da inflação são adicionadas outras taxas ou quando o período de
capitalização é diferente da unidade de tempo da taxa) e taxa de juros aparente
efetiva (quando levamos em consideração apenas o acréscimo da inflação à taxa).
A fórmula utilizada para se calcular, tanto a taxa de juros efetiva aparente, quanto a
taxa de juros real é:
)1()1()1( Iii r +×+=+
Onde ,
→i Taxa efetiva aparente (forma decimal ou unitária)
→ri Taxa real (forma decimal ou unitária)
→I Taxa de inflação (forma decimal ou unitária)
Determinada empresa concedeu um aumento para seus funcionários de 9,5% no ano
de 2011. Sabendo que a estimativa da inflação para esse ano foi de 6,4%. Qual foi a
taxa real de aumento salarial?
Resolução
Retirando os dados do problema, temos:
86
DESCRIÇÃO VALOR
VALOR A SER DETERMINADO
Taxa Real ( )ri ?
VALORES FORNECIDOS
Taxa Efetiva Aparente ( )i 9,5%
Taxa da Inflação ( )I 6,4%
Substituindo os valores na fórmula que relaciona essas variáveis, temos:
( )
029135338,0
1029135338,1
029135338,11
064,1
095,11
064,11095,1
)064,01()1()095,01(
=−=
=+
=+
+=+×+=+
r
r
r
r
r
r
i
i
i
i
i
i
Para determinar a taxa no formato percentual, basta fazer a multiplicação por 100.
%9135338,2
100029135338,0
=×=
r
r
i
i
Portanto, o real aumento salarial dos funcionários dessa empresa foi de,
aproximadamente, 2,91%.
5.3. Exercícios Resolvidos
01) Uma aplicação financeira rende juros nominais de 6% a.a., capitalizados
mensalmente. Considerando a inflação de 5,5% a.a., calcular as taxas de juros
aparente (efetiva ao ano) e real obtidas pela aplicação.
Resolução
Como a taxa aparente está numa unidade de tempo diferente daquele expressa no
período de capitalização, devemos transformá-la em taxa efetiva. Aplicando, para isso
uma regra de três.
87
Taxa meses
6,0% 12
x 01
max
x
x
.%5,012
%6
%612
=
=
=
Para verificar qual é a taxa aparente efetiva ao ano, devemos utilizar o conceito de
taxa equivalente.
( )
( )[ ]{ }[ ]{ }
aai
i
i
i
e
e
e
e
.%16778112,6
1001061677812,1
1001005,1
10011005,0
12
1
12
=×−=
×−=
×
−
+=
Então, como podemos observar, a taxa aparente efetiva é de 6,17% e não de apenas
6% conforme destacado no enunciado do problema.
Já para determinar o valor da taxa real, devemos aplicar a fórmula:
)1()1()1( Iii r +×+=+
aai
i
i
i
i
i
Iii
r
r
r
r
r
r
r
.%6232968,0
100006232968,0
00632968,11
055,1
061677812,1)1(
)055,1()1(061677812,1
)055,01()1()061677812,01(
)1()1()1(
=×=
=+
=+
×+=+×+=+
+×+=+
Portanto, a taxa real será de, aproximadamente, 0,62% a.a.
88
02) A que taxa de juros anual com capitalização semestral devemos aplicar nosso
capital, de modo a obter-se um total de juros igual a 50% do capital aplicado,
no fim de 4 anos?
Resolução
Antes de retirar os dados do problema é importante destacar que não foi fornecido
diretamente o valor dos juros, tampouco o valor do capital aplicado, mas, sim uma
relação entre eles. Como já discutido em exercícios anteriores, em situações como
essa é necessário atribuir letras ou então atribuir qualquer valor para uma das
variáveis e determinar o valor da outra por meio da relação estabelecida no problema.
Esse exercício será resolvido pelo segundo método, ou seja, a partir da atribuição de
um valor. Portanto, considerando um capital de R$500,00, temos:
DESCRIÇÃO VALOR
VALOR A SER DETERMINADO
Taxa nominal anual com capitalização semestral
?
VALORES FORNECIDOS
Capital (P) R$500,00
Juros (J) R$250,00
Período (n) 4 anos
No exercíocio pede-se para determinar uma taxa nominal. Por este motivo, devemos
substituir os dados na fórmula de juros, com o objetivo de encontrar a taxa efetiva no
período de capitalização. Para isso, será necessário adequar o período, inicialmente,
expresso em anos, para a mesma unidade de tempo do período de capitalização,
semestral. Adequando o período pela regra de três, temos:
Anual Semestral
1 2
4 x
semestresx
x
8
24
=×=
No enunciado informou que o juros corresponde a 50% do capital, como foi
atribuido o valor de R$500,00 para o capital, 50% desse valor resulta nos
R$250,00 indicados.
89
Substituindo na fórmula de juros compostos, uma vez que todo problema que envolve
taxa nominal só faz sentido quando abordada nesse sistema de juros, temos:
( )[ ]( )[ ]
( )
( )( )
( )
051989506,0
1051989506,1
1051989506,1
15,1
15,1
15,1
115,0
11500
250
11500250
11
125,0
8
88
1
8
8
8
8
=−=+=
+=
+=
+=
−+=
−+=
−+=
−+=
i
i
i
i
i
i
i
i
i
iPJ n
Para determinar a taxa em porcentagem devemos multiplicar o resultado por 100.
..%1989506,5
100051989506,0
sai
i
=×=
No entanto, foi solicitada uma taxa nominal anual com capitalização semestral. Desse
modo, o procedimento utilizado para adequar uma taxa efetiva para uma nominal é a
regra de três.
Taxa semestre
5,1989506% 1
x 2
..%3979012,10
21989506,5
aax
x
=×=
Desse modo, a taxa nominal anual com capitalização semestral será de,
aproximadamente, 10,40%.
90
Agora é com você, refaça esse exercício: 1º) atribuindo outro valor para o capital e, 2º)
utilizando variáveis. Compare os resultados encontrados.
03) Qual o montante de um capital de R$ 5.000,00, no fim de 2 anos, com juros de
24% a.a. capitalizados trimestralmente?
Resolução
Retirando os dados do problema, temos:
DESCRIÇÃO VALOR
VALOR A SER DETERMINADO
Montante (F) ?
VALORES FORNECIDOS
Capital (P) R$5.000,00
Período (n) 2 anos
Taxa nominal (i) 24% ao ano
Período de capitalização Trimestral
Antes de substituir os valores na fórmula do montante (juros compostos, pois trata-se
de um problema de taxa nominal) devemos determinar a taxa efetiva no período de
capitalização, ou seja, a taxa efetiva ao trimestre. Para essa adequação devemos
utilizar regra de três.
Taxa Trimestre
24% 4
x 1
..%64
%24
%244
tax
x
x
=
=
=
Em seguida substituímos os dados fornecidos na fórmula do montante.
( )( )( )
24,969.7
593848075,1000.5
06,1000.5
06,01000.5
1
8
8
=×=
=
+=
+=
M
M
M
M
iPM n
A unidade de tempo do período deve ser a mesma unidade de tempo da
taxa, ou seja, trimestral. Como um ano tem quatro trimestres, então dois anos
teremos oito trimestres.
91
Portanto, o montante da aplicação será de R$7.969,24.
04) Qual deve ser a taxa aparente correspondente a uma taxa real de 0,8% a.m. e
uma inflação de 20% no período?
Resolução
Retirando os dados do problema, temos:
DESCRIÇÃO VALOR
VALOR A SER DETERMINADO
Taxa Aparente ( )i ?
VALORES FORNECIDOS
Taxa Real ( )ri 0,8% a.m.
Inflação ( )I 20% a.m.
Substituindo na fórmula )1()1()1( Iii r +×+=+ , temos:
2096,0
12096,1
2096,11
20,1008,11
)20,01()008,01()1(
=−=
=+×=+
+×+=+
i
i
i
i
i
Multiplicando por 100 para determinar a taxa em porcentagem, temos:
..%96,20
1002096,0
mai
i
=×=
A taxa aparente será de 20,96% a.m.
5.4. Resumo da Unidade
� As taxas nominal e efetiva/ aparente e real estão inseridas no contexto de juros
compostos;
� Sempre que for solicitado um cálculo financeiro é necessário utilizar uma taxa
efetiva. Nunca será permitido o uso de taxas nominais;
92
� Para transformar uma taxa nominal em efetiva (ou vice-versa) utiliza-se regra
de três. Por outro lado para transformar taxa efetiva para efetiva (em unidades
de tempo diferentes) utiliza-se taxa equivalente.
5.5. Quadro de Fórmulas
DESCRIÇÃO FÓRMULA
Taxa Equivalente ( ) 10011 ×
−
+= tenho
quero
e ii
Taxa aparente/real )1()1()1( Iii r +×+=+
93
UNIDADE 6: EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS
O objetivo desta unidade é apresentar o conceito de equivalência de capitais no
regime de juro simples e composto. O conceito de equivalência é considerado um dos
mais importantes na disciplina de matemática financeira, pois possibilita compreender
essa movimentação do dinheiro ao longo do tempo. Esperamos que ao final do estudo
o aluno seja capaz de realizar cálculos diversos que envolvam o conceito de
equivalência de capitais, compreendendo a sua principal essência, sabendo diferenciar
as particularidades de cada regime.
6.1. Compreendendo o conceito de equivalência Antes de iniciar uma discussão sobre equivalência de capitais, é importante
compreender o significado de equivalência. Segundo o dicionário escolar da língua
portuguesa, ed. DCL, o termo equivalente é utilizado para representar grandezas que
têm o mesmo valor. Porém, no contexto financeiro, é necessário acrescentar a essa
definição, que tais grandezas terão o mesmo valor em determinada data de avaliação.
O conceito de equivalência é importante, pois é a partir dele que operamos quantias
monetárias. Retomando a discussão dos conceitos apresentados na unidade I a
matemática financeira parte do pressuposto que a quantia vai perder valor em função
do tempo. Então, para equiparar os valores monetários utilizamos a capitalização ou a
descapitalização das quantias monetárias, viabilizando, assim a movimentação dessas
quantias para uma mesma data, para depois operar (somar ou subtrair) tais quantias;
uma vez que o dinheiro desvaloriza em função do tempo, para realizar operações é
necessário que as quantias envolvidas estejam em uma mesma data.
O conceito de equivalência é o mesmo, indiferente do regime de juros utilizado. No
entanto, o processo de capitalização e descapitalização atenderá às particularidades
de cada regime.
94
Para orientar a visualização de determinado contexto financeiro relacionado à
equivalência de capitais, costuma-se representar a situação por meio de um diagrama
de fluxo de caixa (ver unidade I). Pois, desse modo fica mais fácil identificar em quais
momentos devemos utilizar o conceito de capitalização ou descapitalização.
6.2. Equivalência de Capitais no Regime de Juros Simples
Para equiparar quantias monetárias utilizamos o conceito de capitalização e
descapitalização. Deste modo, iniciaremos esse tópico retomando as fórmulas já
estudadas no conceito de capitalização: ( )inPF += 1 ou descapitalização (desconto
racional): in
FP
+=
1, no regime de juros simples.
Além disso, é importante destacar que no regime de juros simples valores equivalentes
em uma data não o serão em outras, em função deste regime sempre levar em
consideração, para a base de cálculo dos juros, um valor específico (capital). Por este
motivo, ao se operar no contexto de capitais equivalentes, no regime de juros simples,
deve-se indicar em qual data essa equiparação deve acontecer. Essa data é chamada
de Data Focal.
Uma vez estabelecida a Data Focal, o procedimento para cálculo é visualizar todas as
quantias envolvidas nessa data, usando para isso o conceito de capitalização e/ou
descapitalização.
Uma pessoa tem os seguintes compromissos a pagar: R$2.000,00 daqui a três meses e
R$2.500,00 daqui a oito meses. Ela quer trocar esses débitos por dois pagamentos
iguais, um para dez meses e outro para quinze meses. Calcular o valor desses
95
pagamentos se a taxa de juros simples for de 10% a.m. Considere como data focal a
data zero.
Resolução
Inicialmente, vamos retirar os dados do problema e representá-los em um diagrama de
fluxo de caixa.
Esse diagrama representa a primeira situação acordada, porém, deseja-se substituir
ambos os pagamentos, por dois iguais vencendo em 10 e 15 meses, como ilustra o
diagrama a seguir.
O problema consiste em substituir ambos os pagamentos, por dois pagamentos iguais
vencendo nos prazos estipulados. Para fazermos essa troca, sem perda de valor para
ambas as partes, devemos utilizar o conceito de equivalência de capitais, considerando
a data focal como a data zero, ou seja, trazendo todos os valores para o presente; é
importante destacar que o valor negociado na data zero na primeira situação deverá
96
ser igual ao valor negociado na data zero na segunda situação. Portanto, o problema
consiste inicialmente, em determinar qual valor é esse.
Como as quantias monetárias não estão na data zero (data focal), devemos “levá-las”
para essa data. Uma vez que partimos de uma data futura para uma data presente,
devemos descapitalizar as quantias apresentadas, ou seja, (R$2.000, R$2.500,00, bem
como as parcelas a serem determinadas, identificadas pela letra ‘x’).
Utilizando a fórmula in
FP
+=
1 e lembrando que a soma dos valores, 000.2$1 RF = e
500.2$2 RF = , na data focal (zero), deve ser igual a soma das duas prestações
sugeridas, também consideradas na data zero.
61,252.3$9,0
35,927.2
5,2
1
2
135,927.2
1510,011010,01810,01
500.2
310,01
000.2
Rxx
xx
==⇒
+=
×++
×+=
×++
×+
Portanto, a pessoa substituirá ambos os títulos, R$2.000,00 e R$2.500,00, por dois
títulos iguais no valor de R$3.252,61.
6.3. Equivalência de Capitais no regime de Juros Compostos
Como no regime de juros simples, dois ou mais capitais, com data de vencimento
determinadas, serão equivalentes, considerando o regime de juros compostos quando
levados para uma mesma data à mesma taxa produzirem montantes iguais.
A diferença é que no regime de juros simples, capitais equivalentes em determinada
data, chamada de data focal, não o serão em outra data, isso porque é característica
dos juros simples é a taxa de juros ser aplicada sobre o capital inicial, e quando
97
fazemos a equivalência e tentamos fazer o caminho inverso, a taxa será aplicada em
um valor diferente, e, consequentemente não resultará no valor inicial.
Já no regime de juros compostos, por ser característica deste regime, os juros serem
incorporados ao montante obtido no período anterior, quando realizada a
equivalência, a mesma existirá em qualquer data, não demandando, assim a
determinação de uma data focal. Desse modo, é possível trabalhar com essa quantia
monetária de formas diferentes, desde que atendidos os objetivos propostos.
As fórmulas usadas para essa movimentação das quantias monetárias são a de
capitalização: ( )niPF += 1 e a de descapitalização (desconto racional): ( )ni
FP
+=
1.
O valor à vista de um bem é de R$6.000,00. A prazo paga-se uma entrada mais três
parcelas mensais de R$2.000,00 cada, sendo a primeira para daqui a um mês. Calcular
o valor da entrada, se a taxa de juros compostos aplicada for de 7% a.m.
Resolução
Primeiramente, vamos fazer o diagrama de fluxo de caixa dessa situação.
98
Como estamos no regime de juros compostos, não existe uma data focal. No entanto,
sugere-se trazer os três pagamentos para a data zero, uma vez que o valor que se
deseja determinar (entrada) está nessa data. Em seguida, deve-se verificar qual o valor
já foi pago, o restante, então será o valor que deverá ser dado como entrada.
Neste exemplo devemos utilizar a fórmula, , pois os valores fornecidos estão em uma
data futura à data que se deseja determinar os valores descapitalizados.
A soma das parcelas descapitalizadas = Valor devido – Entrada
Considerando a entrada como “x”, temos:
36,751
64,248.5000.6
000.664,248.5
600060,163288,746.116,869.1
000.6)07,01(
2000
)07,01(
2000
)07,01(
2000321
=−=
−=−=++
−=+
++
++
x
x
x
x
x
Logo, o valor a ser dado como entrada é de R$751,36, uma vez que os três
pagamentos de R$2.000,00 são equivalentes a R$5.248,64 na data zero.
6.4. Exercícios Resolvidos
Joaquim tem uma dívida de R$50.000,00 que vence em 16 meses. Pretende
pagar R$17.143,00 no fim de 158 dias e R$18.571,00, 189 dias depois desse
primeiro pagamento. Sabendo-se que o regime de juros utilizado é o simples e a
data zero, como data focal, pede-se: determinar o valor a ser pago, de modo que a
dívida seja liquidada na data de vencimento. Considere juros simples de 54% ao
ano.
Resolução
Inicialmente, vamos representar a situação acima em um diagrama de fluxo de caixa.
99
Como o diagrama foi representado na unidade de tempo mensal, houve a necessidade
de adequação dos períodos que foram expressos na unidade de tempo diária.
Considerando que o primeiro pagamento foi realizado no fim de 158 dias, por regra de
três, determinamos que esse pagamento ocorreu em, aproximadamente, 5,26...
meses. Já o segundo pagamento ocorreu 189 depois desse primeiro, ou seja, se o
primeiro pagamento ocorreu em 158 dias e o segundo ocorreu 189 depois, então, o
mesmo ocorreu 347 (158 + 189) após a aquisição da dívida, transformando para o
período mensal, por regra de três, obtemos que esse pagamento ocorreu,
aproximadamente, em 11,56... meses.
Como na equivalência no regime de juros simples deve-se respeitar a data focal e essa
foi indicada como data zero, todos os valores que não estão nessa data deverão ser
calculados nessa data. Uma vez que todos os valores estão em uma data futura, em
relação à data focal (data zero) será necessário descapitalizar os três valores, a saber: a
dívida e os dois pagamentos realizados.
Antes de descapitalizar tais valores é necessário adequar a taxa de juros às unidades
de tempo do período, uma vez que a taxa foi fornecida na unidade de tempo anual e
os períodos na unidade de tempo mensal. Utilizando o conceito de taxa proporcional
(regra de três), temos:
Taxa mês
54% 12
x 1
100
..%5,412
%54
%5412
max
x
x
=
=
=
Realizando os cálculos:
Descapitalizando a Dívida Descapitalizando o primeiro pagamento
Descapitalizando o segundo pagamento
Dados: F = R$50.000,00 n = 16 meses i = 4,5% a.m. Fórmula de descapitalização
in
FP
+=
1
77,069.29
72,1
000.50
16045,01
000.50
=
=
×+=
P
P
P
Dados: F = R$17.143,00 n = 5,26... meses i = 4,5% a.m. Fórmula de descapitalização
in
FP
+=
1
53,858.13
237,1
143.17
...26,5045,01
143.17
=
=
×+=
P
P
P
Dados: F = R$18.571,00 n = 11,56... meses i = 4,5% a.m. Fórmula de descapitalização
in
FP
+=
1
75,213.12
5205,1
571.18
...56,11045,01
571.18
=
=
×+=
P
P
P
Como a proposta é identificar o valor ainda devido, após ambos os pagamentos
devemos:
50,997.2
27,072.2677,069.29
)75,213.1253,858.13(77,069.29
=−=
+−=
ovalordevid
ovalordevid
ovalordevid
Portanto, para quitar a dívida de R$50.000,00, dentro de 16 meses deverá ser dada a
quantia de R$2.997,50.
Bianca adquiriu uma dívida de R$7.000,00 com um amigo que lhe cobrou
1,2% de juros por mês para ser paga em 6 meses. Um mês após a aquisição da
dívida, Bianca realizou o pagamento de R$1.500,00. Passados dois meses e
meio desse primeiro pagamento, Bianca realizou o pagamento de R$2.500,00 e
no quinto mês Bianca decidi quitar o valor devido. Porém, seu amigo,
concordou em atualizar os valores pagos pelo rendimento da poupança que na
Primeiro multiplica,
depois soma...
101
época estava em 0,50% ao mês. Deste modo, qual o valor pago por Bianca?
Considere o regime de juros simples e o 5º mês como Data Focal.
Resolução
Segue o diagrama de fluxo de caixa que representa essa situação.
Determinando todos os valores na data focal, percebemos que os pagamentos deverão
ser capitalizados por estarem em uma data presente em relação à data focal. Já a
dívida deverá ser descapitalizada por estar em uma data futura em relação à data
focal. Além disso, devemos nos atentar:
� às taxas de capitalização/descapitalização;
� ao tempo de antecipação/capitalização.
Acompanhem os cálculos:
Descapitalizando a Dívida Capitalizando o primeiro pagamento
Capitalizando o segundo pagamento
Dados: F = R$7.000,00 n = (6 – 5) = 1 mês i = 1,2% a.m. Fórmula de descapitalização
in
FP
+=
1
00,250.6
012,1
000.7
1012,01
000.7
=
=
×+=
P
P
P
Dados: P = R$1.500,00 n = (5 -1 ) = 4 meses i = 0,50% a.m. Fórmula de capitalização
)1( inPF +=
00,530.1
02,1500.1
)4005,01(500.1
=×=
×+=
F
F
F
Dados: P = R$2.500,00 n = (5 – 3,5) = 1,5 meses i = 0,50% a.m. Fórmula de capitalização
)1( inPF +=
75,518.2
0075,1500.2
)5,1005,01(500.2
=×=
×+=
F
F
F
“Passados dois meses e meio do primeiro pagamento [...] . Isso significa
que, em relação à data zero, temos 1 + 2,5 = 3,5 meses.
Primeiro multiplica, depois soma...
102
Como a proposta é identificar o valor a ser pago no quinto mês, devemos subtrair da
dívida atualizada para essa data os pagamentos, também atualizados, desse modo:
25,201.2
75,048.400,250.6
)75,518.200,530.1(00,250.6
=−=
+−=
ovalordevid
ovalordevid
ovalordevid
Portanto, para quitar a dívida no quinto mês Bianca deverá desembolsar a quantia de
R$2.201,25.
Zuleica tem os seguintes compromissos: R$7.000,00 vencendo em 7 meses,
R$5.000,00 três meses após e R$3.000,00 vencendo em 15 meses. Ela deseja trocar
esses débitos para três pagamentos iguais vencendo em 08, 16 e 24 meses. Qual o
valor desses pagamentos considerando uma taxa de juros compostos de 2,5% ao
mês?
Resolução
Seguem os diagramas de fluxo de caixa de ambas as situações.
Diagrama da 1ª situação
Diagrama da situação proposta (2ª situação)
103
Em problemas que substituem uma situação por outra, nesse caso, a renegociação de
uma dívida devemos determinar, inicialmente, o valor negociado, ou seja, o valor na
data zero. É importante destacar que no regime de juros compostos não existe uma
data focal pré-estabelecida e por este motivo podemos estabelecer uma data, nesse
caso, a data zero.
Como pretendemos determinar o valor na data zero, deveremos descapitalizar os
valores expressos nas datas, 7, 10 e 15; o mesmo deverá ser realizado com os
pagamentos nas datas, 8, 16 e 24, já que todos eles estão em uma data futura em
relação à data estipulada como data focal.
Descapitalizando os valores devidos, de acordo com o diagrama da primeira situação:
Descapitalizando a Dívida 1 Descapitalizando a Dívida 2 Descapitalizando a Dívida 3 Dados: F = R$7.000,00 n = 5 meses i = 2,5% a.m. Fórmula de descapitalização
( )ni
FP
+=
1
( )
86,888.5
188685754,1
000.7
025,01
7000
1
1
71
=
=
+=
P
P
P
Dados: F = R$5.000,00 n = 10 meses i = 2,5% a.m. Fórmula de descapitalização
( )ni
FP
+=
1
( )
99,905.3
280084544,1
000.5
025,01
5000
2
2
102
=
=
+=
P
P
P
Dados: F = R$13.000,00 n = 15 meses i = 2,5% a.m. Fórmula de descapitalização
( )ni
FP
+=
1
( )
05,976.8
448298166,1
000.13
025,01
000.13
3
3
153
=
=
+=
P
P
P
Portanto, o valor devido na data zero correspondente as três dívidas é de R$18.770,90
que corresponde a soma dos capitais, 321 PPP ++ . Para renegociar esse valor devido é
necessário que as propostas sejam equivalentes; isso significa que as novas parcelas
contratadas descapitalizadas devem corresponder a esse mesmo valor. Portanto,
descapitalizando, tais quantias, temos:
104
Descapitalizando a Dívida 1 Descapitalizando a Dívida 2 Descapitalizando a Dívida 3 Dados: F = x n = 8 meses i = 2,5% a.m. Fórmula de descapitalização
( )ni
FP
+=
1
( )
xP
xP
xP
820746571,0
218402898,1
025,01
4
4
84
=
=
+=
Dados: F = x n = 16 meses i = 2,5% a.m. Fórmula de descapitalização
( )ni
FP
+=
1
( )
xP
xP
xP
673624933,0
484505621,1
025,01
5
5
165
=
=
+=
Dados: F = x n = 24 meses i = 2,5% a.m. Fórmula de descapitalização
( )ni
FP
+=
1
( )
xP
xP
xP
552875354,0
80872595,1
025,01
6
6
246
=
=
+=
Igualando as duas situações e determinando o valor das novas prestações:
85,168.9
90,770.18047246858,2
==
x
x
Portanto, nessa nova proposta serão pagas três parcelas de R$9.168,85.
Hoje uma pessoa tem duas dívidas, a primeira, de R$8.000,00 vence em 36
dias e a segunda, de R$12.000,00, vence em 58 dias. Propõe-se a pagá-las por meio
de dois pagamentos iguais dentro de 45 e 90 dias, respectivamente. A juros simples
de 24% ao ano, calcular o valor de cada pagamento considerando como data focal
90º dia.
Resolução
A seguir representamos as situações apresentadas em um diagrama de fluxo de caixa.
Um método utilizado para eliminar a fração é realizar a divisão dos valores. O número que acompanha x é a unidade
(1), portanto, fazendo a divisão de 1 por 1,218402898 obtém 0,820746571.
105
Situação Proposta
Nova situação
Antes de realizar os cálculos é necessário adequar a unidade de tempo da taxa à
unidade de tempo do período. Como o regime utilizado é o simples, e optando por
transformar a taxa, utilizaremos o conceito de taxa proporcional, resultando em
..%60,0 da
Como a data focal está em uma data futura em relação aos valores, devemos
capitalizar aqueles que não estão na data focal. Isso porque, os valores que já se
encontram nessa data não deverão ser alterados.
Determinando o valor devido na data focal (90 dias), temos:
Capitalizando a Dívida 1 Capitalizando a Dívida 2 Dados: P = R$8.000,00 n = 90 – 36 = 54 dias
i = ..%60,0 da
Fórmula de capitalização
)1( inPF +=
00,288.8
036,1000.8
)54600,01(000.8
1
1
1
=×=
×+=
F
F
F
Dados: P = R$12.000,00 n = 90 – 58 = 32 dias
i = ..%60,0 da
Fórmula de capitalização
)1( inPF +=
00,560.14
213333312,1000.12
)32600,01(000.12
2
2
2
=×=
×+=
F
F
F
106
Pelos cálculos o valor devido na data focal será de R$22.848,00. Agora, capitalizando
os valores da nova proposta, temos:
Capitalizando a Dívida 1 Capitalizando a Dívida 2 Dados: P = x n = 90 – 45 = 45 dias
i = ..%60,0 da
Fórmula de descapitalização
)1( inPF +=
xF
xF
30,1
)45600,01(
3
3
=×+=
Dados: P = x n = 90 – 90 = 0 dias, pois o valor já está na data focal.
i = ..%60,0 da
Fórmula de descapitalização
)1( inPF +=
xF =4
91,933.9
30,2
848.22
848.2230,2
848.2230,1
848.2243
=
=
==+
=+
x
x
x
xx
FF
Desse modo, o valor das prestações será de R$9.933,91.
6.5. Resumo da Unidade
� Na equivalência, no regime de juros simples, é necessário indicar a data focal.
Essa data focal será a data em que todos os valores deverão convergir. Para
essa conversão, serão utilizados os conceitos de capitalização e
descapitalização (desconto racional), já estudados;
� É importante representar a situação por meio de um diagrama de fluxo de
caixa, facilitando, assim o entendimento do contexto, bem como das operações
que deverão ser realizadas;
� Caso taxa e período não estejam na mesma unidade de tempo é necessário
fazer a adequação. Para tanto, pode-se fazer regra de três no período, em
107
ambos os regimes de juros, ou se preferir alterar a taxa deve-se utilizar taxa
proporcional quando for o regime de juros simples e taxa equivalente quando
se tratar do regime de juros compostos;
� O termo “empréstimo” trata-se de um valor que se encontra da data zero. Já o
termo “dívida” trata-se de um valor já acrescido de juros e, portanto, estará na
data de vencimento (futura).
6.6. Quadro de Fórmulas
DESCRIÇÃO FÓRMULA
Capitalização – Regime de Juros Simples
( )inPF += 1
Descapitalização – Regime de Juros Simples in
FP
+=
1
Capitalização – Regime de Juros Compostos
( )niPF += 1
Descapitalização – Regime de Juros Compostos ( )ni
FP
+=
1
108
UNIDADE 7: SÉRIE DE PAGAMENTOS
Nessa unidade inicia-se a discussão da matemática financeira em um outro contexto, a
saber: amortização de uma dívida ou acumulo de um capital de forma parcelada. Será
apresentado o conceito de prestação, bem como contextos em que essa está inserida.
Apesar de abordamos, na unidade anterior situações que envolviam pagamentos
parcelados, essa apresentação limitava-se às discussões de equivalência de capitais.
Nessa unidade, apresentaremos uma tabela com a classificação das séries (parcelas) e
concluiremos apresentando as chamadas “rendas certas ou anuidades”. Esse conteúdo
contribuirá para um melhor entendimento da próxima unidade “Sistemas de
Amortização”. Esperamos que ao final do estudo o aluno seja capaz de realizar cálculos
diversos que envolvam o conceito de série de pagamentos, no geral, ou anuidades no
particular, fazendo um link com o próximo tema: Sistemas de Amortização.
7.1. Rendas Certas ou Anuidades Antes de iniciar a discussão sobre o significado de rendas certas ou anuidades é
necessário compreender o conceito de série de Pagamentos. As séries de pagamento
são utilizadas com dois objetivos:
As séries de pagamento são caracterizadas por pagamentos parcelados e não por
pagamentos únicos como já estudado nas unidades anteriores.
As séries podem ser classificadas quanto ao número de termos, à natureza, ao período,
ao vencimento e a ocorrência do 1º termo. Veja essa classificação na tabela a seguir:
Série de Pagamentos
Quitação de um empréstimo
(amortização)
Formação de um montante
(capitalização)
109
TABELA I: Classificação das Séries
TIPO DESCRIÇÃO EXEMPLO
Nº TERMOS
Finitas Existe um número limitado de prestações
- Financiamento de automóvel; - Crédito Direto ao Consumidor (CDC).
Infinitas Não existe a última prestação, ou seja, não é possível quantificar (perpetuidade)
- Aluguel; - Aposentadoria Privada (PGBL ou VGBL); - Pensão vitalícia.
NATUREZA
Uniformes Todos os pagamentos têm o mesmo valor (renda fixa)
- Financiamento de automóvel; - Crédito Direto ao Consumidor (CDC).
Não uniformes Termos diferentes, também chamados de renda variável
- Financiamento de imóvel (prestações decrescentes).
PERÍODO
Periódicas Quando os períodos são iguais (termos constantes)
- Financiamento de automóvel; - Crédito Direto ao Consumidor (CDC).
Não Periódicas Quando os períodos são diferentes
- Pagamento mínimo de contas de água e luz pelo consumo mínimo.
VENCIMENTO
Postecipadas 1º pagamento efetuado no final do período
- Financiamentos diversos do tipo
n+0 prestações.
Antecipadas 1º pagamento efetuado no início do período
- Financiamentos diversos do tipo
n+1 prestações.
OCORRÊNCIA 1º TERMO
Normal Quando o 1º termo ocorrer no 1º período
- Financiamentos com periodicidade mensal com o 1º pagamento sendo realizado ao final do primeiro mês.
Diferida Quando o 1º termo só ocorrer após algum período, ou seja, quando houver carência
- Financiamentos do tipo “compre agora e comece a pagar no dia dos pais”. Ou seja, o prazo concedido para pagamento da primeira prestação é maior que a periodicidade contratada.
110
Nessa unidade nos deteremos aos parcelamentos que possuem as seguintes
características para a série:
� periódica; e,
� uniforme.
Séries com essa característica recebem o nome de Rendas Certas ou Anuidades,
definidas por Juer (1984) como “uma sucessão de pagamentos ou recebimentos,
exigíveis em épocas pré-determinadas, destinada a extinguir uma dívida ou constituir
um capital” (p.200).
As anuidades, portanto, são uma sequência finita ou infinita de “pagamentos” ou
“depósitos” realizados em datas previamente estabelecidas. Essa sequência forma
uma série de pagamentos finitos, caracterizando-a como uma anuidade temporária,
ou, infinita caracterizando-a como uma anuidade perpétua.
Considerando o sistema financeiro brasileiro, as séries de pagamento ou anuidades são
realizadas no regime de juros compostos. Cabe destacar que, quando taxa e período
não estiverem na mesma unidade de tempo, não poderemos, a partir de agora alterar
o período, pois dessa forma estaríamos alterando a característica da série, portanto,
necessariamente, devemos alterar a taxa utilizando Taxa Equivalente.
De acordo com a tabela I, percebe-se que essa classificação das séries abre um “leque”
de opções às Anuidades (PMT), como ilustra a figura abaixo:
111
A seguir veremos cada um desses possíveis caminhos de forma detalhada.
7.1.1. Cálculo do Valor Atual de uma Renda Certa ou
Anuidade Finita
� Série Imediata5 e Postecipada: série em que o primeiro pagamento ocorre ao
final do período6 contratado.
Determinando o valor da prestação (PMT):
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]n
n
iiiiPMTP
i
PMT
i
PMT
i
PMT
i
PMTP
−−−− ++++++++=
+++
++
++
+=
1...111
1...
111321
321
5 Significa que neste pagamento não tem carência
6 Não entendam o período contratado como o prazo total da negociação financeira; esse refere-se ao
período em que serão realizados os pagamentos/recebimentos, ou seja, mensal, bimestral, etc. A soma desses pagamentos resultará no tempo total, também denominado prazo.
Progressão Geométrica (PG) em que 1
1 )1( −+= ia , n
n ia −+= )1( , razão (q)
1)1( −+= iq .
112
Portanto, substituindo na fórmula da soma dos termos de uma PG finita:
q
qaaSn n
−−=
11 , obtemos a expressão abaixo:
( ) ( ) ( )[ ]( )
+−+×++= −
−−−
1
11
11
111
i
iiiPMTP
n
Simplificando os termos, obtemos:
( )
+−+= n
n
ii
iPMTP
1
1)1(.
Como o nosso objetivo é determinar o valor da prestação, e não o valor presente isola-
se a expressão encontrada em função do PMT, obtendo:
( )
−++=
1)1(
1n
n
i
iiPPMT .
� Série Imediata e Antecipada: série em que o primeiro pagamento ocorre no
momento da compra.
Seguindo a mesma ideia do item anterior, ou seja, por equivalência de capitais,
obtemos: ( ) ( )
−++−= −
−
1)1(
11
1
n
n
i
iiPMTPPMT .
� Série Diferida: neste caso, o 1º pagamento só ocorre em prazos superiores a
um período. Cabe destacar que carência consiste na ausência de amortização
da dívida. A partir do momento em que se realiza o pagamento de uma
prestação (amortização + juros) essa carência deixa de existir.
113
Para o cálculo do valor atual dessa série devemos utilizar dois procedimentos:
1. Trazer para valor presente o valor das prestações, ou seja, o valor
financiado na data m; para este procedimento utilizamos a fórmula da série
imediata postecipada:
( )
+−+= n
n
ii
iPMTP
1
1)1(
2. Em seguida devemos trazer este valor para o presente utilizando-se o
conceito de “descapitalização” única em juros compostos e não mais o
conceito de série de pagamentos.
( )( ) ( ) ( )
+−+×
+×=⇒
+
+−+
= n
n
mm
n
n
ii
i
iPMTP
i
ii
iPMT
P1
1)1(
1
1
1
1
1)1(
É importante ressaltar que o primeiro pagamento ocorreu ao final do período m+1, por
ser uma série postecipada.
7.1.2. Cálculo do Valor Atual de uma Renda Certa ou
Anuidade Infinita
� Série Imediata e postecipada: somatório de um número “infinito” de termos de
uma série cujos pagamentos acontecem no final do período contratado.
i
PMTP =
114
� Série Imediata e antecipada: somatório de um número “infinito” de termos de
uma série cujos pagamentos acontecem no início do período, ou seja,
antecipados.
i
iPMTP
)1( +×=
7.1.3. Cálculo do Valor Futuro de uma Renda Certa ou
Anuidade Finita
� Montante de uma série postecipada: somatório do número finito dos
montantes dos termos de uma série cujos pagamentos são realizados no final
do período contratado.
Para se obter o valor do montante no final do período, mais uma vez temos aqui
presente o conceito de equivalência de capitais. Porém, agora, não estamos
descapitalizando tal valor, mas sim capitalizando-os para uma data focal n .
( )[ ]i
iPMTF
n 11 −+×=
� Montante de uma série antecipada: somatório do número finito dos
montantes dos termos de uma série cujos pagamentos são realizados no início
do período contratado.
115
( ) ( )[ ]i
iiPMTF
n 111
−+×+×=
É importante ressaltar que todos estes cálculos poderão ser realizados utilizando uma
calculadora financeira, tendo o seu procedimento, então, simplificado. Além disso,
apesar de apresentarmos fórmulas do valor presente (P) e do valor futuro (F), é
possível utilizar, por meio das fórmulas ou de uma calculadora financeira qualquer uma
das variáveis envolvidas.
Nessa unidade trabalharemos as atividades com o auxílio de uma calculadora
financeira (HP-12c), não utilizando, portanto, as fórmulas apresentadas.
7.2. Trabalhando com a HP 12-c
Como apresentado na unidade 3 a tecla PMT da calculadora permite determinar o
valor da prestação, que nada mais é do que uma série de pagamentos ou ainda, uma
renda certa ou anuidade por se tratar de um pagamento uniforme e periódico.
Para o cálculo da prestação, normalmente são fornecidos três valores, como por
exemplo: valor presente (PV), período (n) e taxa de juros (i), ou ainda, valor futuro
(FV), período (n) e taxa de juros (i).
Como vimos na classificação das séries, as mesmas podem ser, quanto ao vencimento,
postecipadas (pagamento da primeira parcela no final do período contratado) ou
116
antecipadas (pagamento da primeira parcela no início do período contratado). Neste
caso, devemos utilizar as teclas, antes de armazenar qualquer valor:
g 7 ( BEG) → indica que os pagamentos acontecerão no inicio do período;
g 8 ( END) → indica que os pagamentos acontecerão no final do período.
Além da classificação quanto ao vencimento a série, também pode ser classificada
quanto ao número de termos, podendo ser finita ou infinita. Para os casos em que a
série é infinita, o período não será fornecido como um dado do problema, uma vez que
a característica de uma série infinita é exatamente a impossibilidade de mensurar o
período, portanto, nesses casos devemos atribuir o valor 9999 para o mesmo, ou seja,
9999=n .
Acompanhe a resolução dos exemplos:
Qual o montante gerado pela aplicação de 8 parcelas mensais de R$1.500,00 cada, a
uma taxa de 1,5% ao mês, sabendo-se que as aplicações serão realizadas no final de
cada mês?
Resolução
Como as prestações serão realizadas no final de cada mês, basta digitar g8 que
corresponde ao comando, gEND; indicando, assim que os depósitos acontecerão ao
final de cada mês, em seguida, armazenar os dados na parte financeira conforme
abaixo:
TECLA VISOR
f CLx 0,00
g8 0,00
1.500 1.500,00
8 8,00
1,5 1,5
- 12.649,26
117
Resposta: O valor resgatado ao final do período será de R$12.649,26.
Um empréstimo no valor de R$95.000,00 foi contraído para ser pago em 18 parcelas
bimestrais. A taxa cobrada foi de 5,75% ao bimestre. Qual o valor das parcelas a serem
pagas, considerando que o primeiro pagamento acontecerá no ato da negociação?
Resolução
Como o primeiro pagamento será no ato da negociação isso caracteriza uma série
antecipada e devemos antes de armazenar os valores acionar o comando G7 (Begin). É
importante, destacar, também que empréstimo é a quantia recebida pelo tomador do
empréstimo na data zero, isso significa que tal quantia ainda não foi acrescida de juros
e, portanto consiste no valor presente.
Armazenando os valores na HP, temos:
TECLA VISOR
f CLx 0,00
g7 0,00
95.000 95.000,00
18 18,00
5,75 5,75
- 8.141,74
Resposta: O empréstimo deverá ser quitado em 18 prestações de R$8.141,74.
118
Quando estamos trabalhando com série de pagamentos ou anuidades, não podemos
alterar o período, pois estaríamos alterando a estrutura da série, uma vez que a
periodicidade da série, também é contratada; portanto, se taxa de juros e período não
estiverem na mesma unidade de tempo, devemos necessariamente utilizar o conceito
de “taxa equivalente”, na taxa.
7.3. Exercícios Resolvidos
Segue abaixo o diagrama do fluxo de caixa de determinado financiamento:
Após análise desse fluxo, pede-se:
a) elaborar um texto explicando a condição de pagamento proposta;
Essa é uma série de pagamentos, também chamada de rendas certas ou anuidades,
por ser composta por prestações periódicas e uniformes. O pagamento é composto
por uma entrada, prestações fixas e um pagamento intermediário, a saber:
- Entrada de R$7.500,00;
- 10 prestações mensais fixas de R$1.602,32;
- 01 parcela intermediária, também chamada de parcela “balão”, no valor de
R$1.000,00 acontecendo junto com o pagamento da quinta parcela.
b) determinar o valor financiado, sabendo que a taxa do financiamento é de
1,75% ao mês.
Para determinar o valor financiado, ou seja, o valor à vista do bem é necessário dividir
o problema em três etapas: descapitalização das prestações, descapitalização da
119
parcela intermediária e por fim a soma desses valores descapitalizados à entrada,
resultando, assim no valor presente (data zero) do bem.
Descapitalizando as Prestações
Vamos inicialmente retirar os dados do problema:
DESCRIÇÃO VALOR
VALOR A SER DETERMINADO
Valor presente das prestações ?
VALORES FORNECIDOS
Prestação (PMT) R$1.602,32
Taxa de Juros (i) 1,75 a.m.
Período (n) 10 meses
Para realizar essa descapitalização vamos utilizar a calculadora HP-12c.
TECLA VISOR
f CLx 0,00
1.000,00 1.602,3200
10 10,0000
1,75 1,7500
-14.583,0715
Considerando o valor absoluto, temos que a quantia financiada em 10 prestações
mensais foi de R$14.583,07.
Descapitalizando a parcela intermediária
Para a parcela intermediária devemos considerar apenas o pagamento de R$1.000,00
que é realizado juntamente com a quinta parcela, totalizando, neste mês um
pagamento de R$2.602,32. Cabe destacar que essa parcela tem o valor de R$1.000,00
na data cinco, pois, já é um valor acrescido de juros. A proposta é determinar qual era
este valor antes da capitalização dos juros, para isso, sintetizamos os dados fornecidos
na tabela a seguir:
120
DESCRIÇÃO VALOR
VALOR A SER DETERMINADO
Valor presente da parcela intermediária
?
VALORES FORNECIDOS
Valor Futuro (FV) R$1.000,00
Taxa de Juros (i) 1,75 a.m.
Período (n) 5 meses
Utilizando a HP temos:
TECLA VISOR
f CLx 0,00
1.000 1.000,0000
5 5,0000
1,75 1,7500
-916,9125
Novamente, considerando apenas o valor absoluto determinamos que a parcela
intermediária de R$1.000,00 corresponde a um valor devido, na data zero, de
R$916,91.
Por fim, a última etapa deste exercício consiste em somar o valor das parcelas
descapitalizadas, ao valor da parcela intermediária descapitalizada e a entrada,
obtendo:
00,000.23
500.791,91607,583.14
=++=
PV
PV
Portanto, o valor financiado, foi de R$23.000,00.
Ana Paula, logo após o nascimento de seu filho, passou a depositar todo mês
R$150,00 na caderneta de poupança. Quando seu filho estiver com 18 anos, qual
será o montante adquirido por Ana Paula, sabendo-se que a rentabilidade, média,
do período foi de 8,47% ao ano e que os depósitos foram realizados no início de
cada mês?
121
Resolução
Como Ana Paula realizou depósitos mensalmente, ou seja, depósitos periódicos, a
quantia depositada, no caso, R$150,00 constitui as prestações. Apesar de num
primeiro momento, parecer desnecessária a adequação de taxa e período já que
ambos se encontram na mesma unidade de tempo, a saber, anual, devemos adequá-
los à periodicidade da série. Deste modo, como o prazo foi de 18 anos, com
periodicidade mensal, foram realizados 216 depósitos e a taxa anual de 8,47% é
equivalente a 0,6798292% ao mês. Não podemos esquecer que os depósitos foram
realizados no inicio de cada mês, caracterizando, assim, uma série antecipada.
Resumindo os dados obtidos, temos:
DESCRIÇÃO VALOR
VALOR A SER DETERMINADO
Montante ou Valor Futuro (FV) ?
VALORES FORNECIDOS
Prestação (PMT) R$150,00
Taxa de Juros (i) 0,6798292% a.m.
Período (n) 216 meses
Substituindo na HP, temos:
TECLA VISOR
f CLx 0,0000
g7 0,0000
150 150,0000
216 216,0000
0,6798292 0,6798
-73.771,5382
Deste modo, o valor resgatado pelo filho de Ana Paula será de R$73.771,54 ao final de
18 anos.
122
Analisando um folheto de propaganda você se interessa em adquirir o
celular anunciado abaixo.
Porém, antes de se decidir pela compra você pretende calcular a taxa de juros cobrada
no financiamento proposto no anúncio. Qual o valor dessa taxa?
Resolução
Nesse exercício é importante atentar-se para que não seja confundido montante de
uma renda com total pago, pois o total pago é o resultado do produto, valor da
prestação pela quantidade de períodos contratados ( )nPMT × e nada tem a ver com
os conceitos de montante e valor atual de uma série de pagamentos. Deste modo, os
dados fornecidos para determinar a taxa de juros serão:
DESCRIÇÃO VALOR
VALOR A SER DETERMINADO
Taxa de juros (i) ?
VALORES FORNECIDOS
Prestação (PMT) R$49,90
Valor a vista ou presente (PV) R$499,00
Período (n) 12 meses
123
Armazenando os dados na HP, temos:
TECLA VISOR
f CLx 0,0000
49,90 CHS -49,9000
499 499,0000
12 12,0000
2,9229
Deste modo, a taxa cobrada pelo financiamento do celular anunciado é de 2,92%
ao mês.
Perpétua procurou o BNDES para adquirir um financiamento para
ampliar o seu empreendimento: restaurante familiar. Foi concedido um
empréstimo no valor de R$35.000,00 para ser pago em 25 prestações mensais,
iguais e postecipadas. Porém, para que Perpétua pudesse colocar em prática
as obras e a ampliação dos serviços, gerando, assim um aumento em sua
renda, o Banco autorizou o pagamento da primeira parcela para 180 dias após
a aquisição do empréstimo. Sabendo que a taxa de juros cobrada pelo banco é
de 12,415034% ao ano, determine o valor das prestações por ela assumidas.
Resolução
Esse é um exemplo de uma série de pagamentos com carência. É importante destacar
que carência é ausência de amortização (pagamento) da dívida, portanto, se Perpétua
realizou o primeiro pagamento 180 dias (6 meses) após a aquisição do empréstimo,
isso significa que, o banco concedeu uma carência de 5 meses, pois, a partir do
momento em que Perpétua realiza o primeiro pagamento, o período em que o
pagamento foi realizado não é contabilizado como período de carência.
Analisando os demais dados, percebe-se que a periodicidade contratada é a mensal,
porém, a taxa de juros está na unidade de tempo anual, como não podemos alterar a
Nesse exercício é necessário atribuir o sinal de negativo para um dos dois valores monetários (PMT ou PV) utilizando para isso a tecla CHS.
124
periodicidade contratada devemos utilizar taxa equivalente para adequar a unidade de
tempo da taxa ao período, encontrando, uma taxa mensal de 0,98% ao mês.
Para determinar o valor das prestações a serem pagas por Perpétua, devemos
primeiramente atualizar o empréstimo pelo período de carência. Para essa atualização
devemos levar em consideração.
DESCRIÇÃO VALOR
VALOR A SER DETERMINADO
Valor Futuro/ Dívida (FV) ?
VALORES FORNECIDOS
Valor Presente/ empréstimo (PV) R$35.000,00
Taxa de juros (i) 0,98
Período (n) 5 meses
Utilizando a calculadora financeira, obtemos:
TECLA VISOR
f CLx 0,0000
35.000 35.000,0000
0,98 0,9800
5 5,0000
-36.748,9450
Desse modo, após o período de carência o valor devido por Perpétua é de
R$36.748,95. Esse valor que será financiado em 25 parcelas mensais. Portanto, para o
cálculo das prestações, temos:
DESCRIÇÃO VALOR
VALOR A SER DETERMINADO
Prestação (PMT) ?
VALORES FORNECIDOS
Valor Presente (PV) R$36.748,95
Taxa de juros (i) 0,98% ao mês
Período (n) 25 meses
125
Atribuindo os valores na HP, encontramos:
TECLA VISOR
f CLx 0,0000
36.748,48 36.748,4800
0,98 0,9800
25 25,0000
-1.664,5285
Portanto, Perpétua pagará, a partir do sexto mês, vinte e cinco prestações de
R$1.664,53.
João Paulo construiu um imóvel para alugar. Porém, estava na dúvida de
qual valor mensal deveria cobrar de seus futuros inquilinos. Então, ele adotou o
seguinte critério: utilizar como base de cálculo o valor do imóvel à vista, avaliado
em R$180.000,00 e a melhor taxa do mercado para aplicação, que no momento
era de 0,75% ao mês. Com base nestes dados, qual foi o valor mensal do aluguel
oferecido por João Paulo, considerando que o primeiro aluguel deve ser pago um
mês após a assinatura do contrato?
Resolução
Esse é um problema de série infinita, uma vez que o aluguel é uma série em que não é
possível mensurar a quantidade exata de prestações que serão pagas. Em problemas
como este, devemos utilizar como período, 9999, para o cálculo na HP. Em resumo,
temos:
DESCRIÇÃO VALOR
VALOR A SER DETERMINADO
Prestação (PMT) ?
VALORES FORNECIDOS
Valor Presente/ à vista (PV) R$180.000,00
Taxa de juros (i) 0,75% ao mês
Período (n) 9999 meses
126
Utilizando a HP, obtemos:
TECLA VISOR
f CLx 0,0000
180.000 180.000,0000
0,75 0,7500
9999 9999,0000
-1.350,0000
João Paulo, nas condições apresentadas cobrará um aluguel mensal de R$1.350,00.
7.4. Resumo da Unidade
� As séries abordadas nessa unidade são chamadas de rendas certas ou
anuidades por terem como principal característica a uniformidade dos valores
(fixos) e a periodicidade da série;
� Carência é ausência de amortização da dívida, mas, não ausência de cobrança
de juros. Em toda carência serão cobrados juros e portanto o valor devido será
atualizado;
� Constituem séries infinitas, aquelas em que não é possível determinar uma
quantidade exata de períodos. São exemplos de uma série, o aluguel, pensões
vitalícias, etc. Para cálculo na HP, com uma série infinita, devemos utilizar para
o período 9999;
� Quando são fornecidos dois valores monetários, ao armazená-los na HP,
devemos atribuir o sinal de um deles negativo, uma vez que a HP funciona
como um fluxo de caixa.
127
7.5. Quadro de Fórmulas7
DESCRIÇÃO FÓRMULA
Valor Atual – Séria Imediata e Postecipada
( )
−++=
1)1(
1n
n
i
iiPPMT
Valor Atual – Séria Imediata e Postecipada
( ) ( )
−++−= −
−
1)1(
11
1
n
n
i
iiPMTPPMT
Valor Atual – Séria Diferida ( ) ( )
+−+×
+×=
n
n
m ii
i
iPMTP
1
1)1(
1
1
Valor Atual – Série Infinita Postecipada i
PMTP =
Valor Atual – Série Infinita antecipada i
iPMTP
)1( +×=
Montante – Série Postecipada
( )[ ]i
iPMTF
n 11 −+×=
Montante – Série Antecipada ( ) ( )[ ]
i
iiPMTF
n 111
−+×+×=
7 Nessa unidade propõem-se a realização das atividades com a utilização das funcionalidades financeiras
da HP-12c em detrimento à utilização das fórmulas.
128
UNIDADE 8: SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
Nessa unidade serão apresentados os Sistemas de Amortização: PRICE e SAC.
Certamente, vocês encontrarão no mercado outros tipos de sistemas de amortização;
no entanto, não é possível esgotar, neste curso, todos os tipos disponíveis, motivo pelo
qual, foram escolhidos os dois mais utilizados. A expectativa é que ao final desta
unidade o aluno seja capaz de identificar as principais diferenças entre os sistemas de
amortização apresentados, bem como as principais características de cada um,
facilitando o seu entendimento sobre os diferentes planos de pagamento que utilizam
desses sistemas.
8.1. Compreendendo alguns conceitos Antes de iniciarmos a exposição dos dois tipos de sistemas propostos é necessário
compreender o significado do termo amortizar; amortizar consiste em saldar uma
dívida, a qual foi realizada por determinado período de tempo, de forma parcelada e
definida a partir de um sistema pré-determinado em contrato.
Os sistemas de amortização são muito utilizados por instituições financeiras e pelo
comércio de forma geral, pois sabemos da inviabilidade da população, em sua maioria,
em realizar a aquisição de bens a partir de pagamentos à vista.
As prestações de qualquer financiamento são compostas por amortização e juros, ou
seja, jurosoamortizaçãprestação += . Portanto, não é amortizado todo o valor que
pagamos. Uma quantia será destinada para amortização da dívida e a outra será
utilizada para quitação dos juros, juros estes que nada mais é do que o pagamento
pelo serviço prestado pela instituição financeira, por parcelar o valor de um bem ao
invés de recebê-lo à vista.
Os sistemas de amortização foram definidos e construídos a partir da classificação da
série de pagamentos, discutido na unidade VII.
129
Ainda, conforme discutido na unidade VII, em pagamentos parcelados pode ou não
ocorrer carência (período que vai desde a data da concessão do empréstimo até a data
em que será paga a primeira prestação); nos sistemas de amortização, que são uma
particularidade das séries, também, poderão ocorrer ou não o período de carência,
dependendo, apenas, dos termos acordados em contrato.
É importante ressaltar que no Brasil, os sistemas de amortização são calculados
utilizando, sempre, o regime de Juros Compostos.
A seguir serão apresentados alguns conceitos que permearão o tema: sistemas de
amortização.
Vamos conhecer alguns conceitos usuais:
TERMO DEFINIÇÃO
Empréstimo
É um recurso financeiro disponibilizado ao cliente no ato da negociação, em outras palavras, é um valor presente e, portanto representado na data zero (diagrama de fluxo de caixa).
Saldo Devedor É o valor nominal da dívida.
Juros É o custo da dívida a cada período do financiamento.
Amortização É o processo pelo qual uma dívida é liquidada por meio de parcelas de modo que ao final do prazo estipulado essa dívida seja liquidada.
Prestação
É a soma da amortização do principal e os juros correspondentes a cada período.
Carência
Carência é o prazo de tolerância durante o qual a dívida não é amortizada. Neste período os juros podem ser ou não pagos. É importante destacar que, sempre serão cobrados juros pelo período de carência, a diferença é que esses juros podem ser pagos durante a carência, ou se esse pagamento não acontecer durante, o mesmo deverá ser pago depois, ou seja, os juros devidos da carência serão acrescidos ao saldo devedor. Quando os juros são pagos durante a carência, diz-se que houve carência do principal (apenas da amortização da dívida), por outro lado, quando os juros são pagos ao final do prazo de carência (acrescido ao saldo devedor) diz-se que houve carência de juros e principal.
130
8.2. O sistema de amortização Price (Francês ou SAF) A denominação Sistema de Amortização Francês originou-se do fato desse sistema ter sido utilizado inicialmente na França, no século XIX. O mesmo, também, recebe a nomenclatura de PRICE, em homenagem ao economista inglês Richard Price, que incorporou a teoria do juro composto às amortizações de empréstimo no século XVIII. (SAMANEZ, 2006: 150)
A principal característica do Sistema de Amortização Francês diz respeito à natureza:
uniforme, ou seja, todos os pagamentos têm o mesmo valor. Além dessa, a mesma
destaca-se quanto ao número finito de termos e a periodicidade.
No que diz respeito ao vencimento e a ocorrência do primeiro termo, ela pode ser,
respectivamente, postecipada ou antecipada e normal (imediata) ou diferida
(carência).
Para o cálculo das prestações pode-se utilizar os seguintes procedimentos:
CARACTERÍSTICA COMANDO HP-12c
Postecipada
Digitar f Fin Limpar memória financeira
g 8 Acionar o comando de série postacipada (END)
i Armazenar a taxa
n Armazenar o período
PV ou FV Armazenar o valor presente ou futuro
PMT Determinar a PMT
Antecipada
Digitar f Fin Limpar memória financeira
g 7 Acionar o comando de série antecipada (BEGIN)
i Armazenar a taxa
n Armazenar o período
PV ou FV Armazenar o valor presente ou futuro
PMT Determinar a PMT
131
Em caso de carência, o cálculo da prestação dependerá de dois itens:
1. Durante a carência o cliente efetuará o pagamento dos juros
Nessa situação, o valor financiado será realmente o valor à vista do bem, uma
vez que, durante a carência já foram quitados os juros do período. É
importante ressaltar que carência não é ausência de pagamento de juros, é
simplesmente uma forma de postergar a amortização da dívida, porém,
durante este período é cobrado juros, que, neste caso será pago durante o
período de carência.
2. Durante a carência o cliente não efetuará nenhum tipo de pagamento
Nessa situação, os juros que deveriam ser pagos durante o período de
carência serão incorporados ao valor à vista do bem (saldo devedor) que
servirá como base de cálculo para o valor das prestações.
8.2.1. Tabela do Financiamento Todo sistema de amortização pode ser acompanhado pela tabela do financiamento.
N PAGAMENTO JUROS AMORTIZAÇÃO SALDO DEVEDOR
0 - - - SD0 = PV
1 PMT J1 = SD0 i A1 = PMT - J1 SD1 = SD0 - A1
2 PMT J2 = SD1i A2 = PMT - J2 SD2 = SD1 - A2
3 PMT J3 = SD2i A3 = PMT - J3 SD3 = SD2 - A3
4 PMT J4 = SD3i A4 = PMT - J4 SD4 = SD3 - A4
5 PMT J5 = SD4i A5 = PMT - J5 SD5 = SD4 - A5
...
...
...
...
...
n PMT Jn = SDn-1i An = PMT - Jn SDn = SDn-1 - An = 0
Onde,
PMT → valor da prestação postecipada;
J → juros pagos no período;
A → valor amortizado;
SD → saldo devedor do período.
132
O cálculo dos juros é realizado sobre o valor do saldo devedor. Como a cada parcela
paga ocorre a amortização de parte da dívida, teremos uma redução deste saldo e
consequentemente uma redução do valor dos juros pagos a cada período, portanto,
quanto mais o tempo passa, menor será o valor pago de juros e maior será o valor
amortizado, uma vez que são realizados pagamentos constantes a cada período. Por
este motivo, esse sistema também é conhecido por sistema de amortização crescente.
Ana Maria comprou um fogão em uma conceituada loja de eletrodoméstico no valor
de R$299,00 em 11 pagamentos mensais, pelo CDC, com uma taxa de juros de 5,9% ao
mês. Determine o valor das prestações e elabore a tabela financeira.
Resolução
Retirando os dados do problema, temos:
DESCRIÇÃO VALOR
VALOR A SER DETERMINADO
Prestação (PMT) ?
VALORES FORNECIDOS
Valor à vista (PV) R$299,00
Período (n) 11 meses
Taxa de Juros (i) 5,9% a.m.
Solução utilizando a HP-12c
Digitar Visor f CLEAR FIN 0,000000000
5,9 i 5,900000000
11 n 11,00000000
299 PV 299,0000000
PMT -37,3200000
Portanto, pelo financiamento desse fogão serão pagas 11 prestações de R$37,32. Cuja
tabela do financiamento está representada a seguir:
133
N PRESTAÇÃO JUROS AMORTIZAÇÃO SALDO
DEVEDOR
0 R$ 299,00
1 R$ 37,72 R$ 17,64 R$ 20,08 R$ 278,92
2 R$ 37,72 R$ 16,46 R$ 21,26 R$ 257,67
3 R$ 37,72 R$ 15,21 R$ 22,51 R$ 235,15
4 R$ 37,72 R$ 13,88 R$ 23,84 R$ 211,31
5 R$ 37,72 R$ 12,47 R$ 25,25 R$ 186,06
6 R$ 37,72 R$ 10,98 R$ 26,74 R$ 159,32
7 R$ 37,72 R$ 9,40 R$ 28,32 R$ 131,00
8 R$ 37,72 R$ 7,73 R$ 29,99 R$ 101,01
9 R$ 37,72 R$ 5,96 R$ 31,76 R$ 69,25
10 R$ 37,72 R$ 4,09 R$ 33,63 R$ 35,62
11 R$ 37,72 R$ 2,10 R$ 35,62 R$ 0,00
A partir da construção da planilha do financiamento é possível identificar o saldo
devedor em cada período de tempo, bem como juros e amortizações pagos em cada
parcela ou acumulados por determinado período de tempo como representados nos
exemplos a seguir:
� Qual o saldo devedor após o pagamento da oitava parcela? R$101,01
� Qual o valor destinado ao pagamento de juros, referente a décima parcela?
R$4,09
� Qual o valor destinado à amortização da quarta parcela? R$23,84
� Qual o total amortizado após o pagamento da terceira parcela? R$20,08 +
R$21,26+ R$22,51 = R$63,85.
� Qual o total de juros pagos considerando a sétima e oitava parcelas? R$9,40 +
R$7,73 = R$17,13.
Porém, alguns financiamentos possuem um período (quantidade de prestações) que
inviabilize a construção manual da tabela. Nestes casos, como fazer para obter tais
informações?
Um caminho possível é a utilização de um recurso tecnológico, no nosso caso, da HP-
12c. A função que permite esses cálculos é a AMORT. Ao acionar essa função, a mesma
já determina o juro, a amortização e o saldo devedor. No entanto, para visualizar, tais
valores, devemos:
134
� Após o comando da AMORT o primeiro valor que aparece no visor é sempre os
juros (acumulado ou por período);
� Após o comando da AMORT, ao pressionar a tecla yx <> visualiza-se
amortização (acumulada ou por período), e;
� Para o saldo devedor, após o comando da AMORT deve-se pressionar RCL PV.
Para orientações mais detalhadas acompanhe as informações na tabela a seguir:
Descrição Comando HP
Total de juros pagos
Armazenar:
Solicitar:
Em seguida pressionar:
(quantidade de períodos que se deseja acumular) AMORT
Total de Amortizações pagas
Armazenar:
Solicitar:
Em seguida pressionar:
(quantidade de períodos que se deseja acumular) AMORT yx <>
Determinar o saldo devedor
Armazenar:
Solicitar:
Em seguida pressionar:
(quantidade de períodos que se deseja acumular) AMORT
Em seguida pressionar: RCL
135
Para melhor entendimento acompanhe a resolução de um exemplo.
Um financiamento de R$2.000,00 será saldado pela Tabela Price em 18 parcelas
mensais a juros de 2,5%a.m. Calcular: (a) o valor da prestação; (b) a soma das
amortizações dos três primeiros meses; (c) a amortização introduzida pela 13ª
prestação.
Resolução
(a) para obter o valor das prestações devemos utilizar os seguintes comandos na
HP:
Digitar Visor f CLEAR FIN 0,000000000
2.000 PV 2.000,00000
18 n 18,00000000
2,5 i 2,500000000
PMT -139,3401611
Logo, o valor da prestação será de R$139,34.
(b) Para se obter a soma das amortizações dos três primeiros meses, basta, após
determinar o valor das prestações, pressionar a tecla:
É importante ressaltar que a prestação deve ser utilizada com o sinal negativo. O
três representa que queremos calcular o acumulado dos 3 primeiros meses de
amortização.
Digitar Visor f CLEAR FIN 0,000000000
2.000 PV 2.000,00000
18 n 18,00000000
2,5 i 2,500000000
PMT -139,3401611
3 f AMORT -143,2436503
X>
<Y -274,776833
Logo, o valor amortizado acumulado ao final de três meses é de R$274,78 do total
da dívida.
3 AMORT
Esse primeiro valor que aparece no visor é o juro
acumulado após o pagamento dos três
primeiros meses.
136
(c) Neste item está sendo solicitado o valor amortizado ao final do pagamento da
13ª prestação. Observem que não está solicitando o acumulado, mas sim a
amortização deste mês. Como o valor amortizado é determinado pela
diferença entre a parcela (PMT) paga e os juros cobrados no período, devemos
inicialmente encontrar o valor dos juros. Sabemos que o juro é obtido pelo
seguinte cálculo: iSDj nn ×= −1 , logo substituindo o período solicitado temos:
iSDj ×= 1213 .
Por outro lado, utilizando a HP conseguimos determinar 12SD , conforme descrição
abaixo:
Digitar Visor f CLEAR FIN 0,000000000
2.000 PV 2.000,00000
18 n 18,00000000
2,5 i 2,500000000
PMT -139,3401611
12 f AMORT -439,5850085
RCL PV 767,5030753
Este valor representa o saldo devedor após o pagamento da 12ª prestação, ou seja,
12SD . Como o juro do período é determinado aplicando a taxa de juros sobre o saldo
devedor, então, aplicando 2,5% de R$767,40 obtemos que 18757688,19$13 Rj = . Com
esses dados é possível determinar o valor amortizado com o pagamento da 13ª
prestação:
15,12019,1934,139 13131313 =⇒−=⇒−= AAjPMTA
Indica a quantidade de períodos que se deseja considerar. Nesse caso ,
determinar o Saldo Devedor após o 12º pagamento.
137
Outra maneira de se resolver o item “c” é realizar todos os cálculos utilizando a HP-
12c, da seguinte forma:
Digitar Visor f CLEAR FIN 0,000000000
2.000 PV 2.000,00000
18 n 18,00000000
2,5 i 2,500000000
PMT -139,3401611
12 f AMORT -439,5850085
1 f AMORT -19,18757688
-120,1525842
Esse comando sucessivo da função AMORT é possível, pois a HP foi programada para
determinar valores acumulados durante um período, ou a partir de determinado
ponto, ou seja, quando damos o comando 12fAMORT e em seguida 1fAMORT a HP
entende que é para somar os 12 primeiros pagamentos e em seguida começar a
acumular deste ponto em diante, é como se o zero fosse “deslocado” para este valor e
começasse a acumular tudo de novo. Como pediu somente um valor após o “zero
deslocado”, então, obtemos exatamente o valor do juro e da amortização do 13º
pagamento.
8.3. O sistema de amortização SAC
Este sistema é extremamente simples. Sua denominação deriva da sua principal característica, ou seja, as amortizações periódicas são todas iguais ou constantes (no Sistema Price, as amortizações crescem exponencialmente à medida que o prazo aumenta). O SAC consiste em um plano de amortizações de uma dívida em prestações periódicas, sucessivas e decrescentes em progressão aritmética. (DUTRA, 2006: 230)
Nesse sistema como a amortização é constante, devemos inicialmente encontrar qual
será o valor amortizado no período. Como em todo financiamento o cliente só
amortiza o valor efetivamente contratado, para o cálculo da amortização, deve-se
dividir o valor presente pelo período.
n
PVA =
Esse comando sucessivo da função AMORT possibilita a
determinação dos juros (acumulado ou por período) e da amortização (acumulada ou
por período) de qualquer período solicitado.
138
Onde,
A → valor da amortização (constante);
Pv → valor da dívida ou valor à vista de um bem;
n → total de períodos contratados.
É sabido que o cliente, ao financiar uma dívida paga, além do valor devido
(amortizado) os juros pelo parcelamento dessa dívida. Desse modo, para o cálculo dos
juros deve-se aplicar a taxa de juros contratada ao saldo devedor atualizado.
iSDJ nn ×= −1
Onde,
Jn → juros pagos no período;
SDn-1 → Saldo devedor do período anterior;
i → Taxa do financiamento.
Como nesse sistema a amortização é constante e sabendo que em qualquer sistema de
amortização a prestação é composta por amortização mais juros, as parcelas tendem a
reduzir a cada período. Pois, os juros são calculados pelo saldo devedor e esse saldo
devedor diminui a cada parcela paga. Por este motivo, para determinar o valor da
prestação a ser paga em cada período deve-se utilizar a fórmula:
[ ])1(1 +−+= tniAPMTt
Onde,
PMTt → valor das prestações em cada período, também chamada de
prestações de ordem t;
A → valor da amortização (constante);
i → Taxa do financiamento;
n → total de períodos contratados;
t → a ordem da prestação que está sendo calculada.
139
Além dos valores já apresentados é possível determinar o total amortizado, o saldo
devedor em cada período e o valor dos juros de determinada prestação, para isso
deve-se utilizar o seguinte raciocínio:
Total Amortizado → Multiplica-se o valor amortizado em cada mês (resultado
da operação n
PV) pela quantidade de parcelas pagas;
Saldo Devedor → Encontra-se o total amortizado pelo procedimento
apresentado no item anterior. Em seguida deve subtrair o saldo devedor inicial
(SD0 ou Pv) desse valor encontrado;
Juros do período → Para o cálculo do juro do período é possível utilizar a
fórmula já apresentada, a saber: iSDJ nn ×= −1 , ou ainda, determinar o valor da
prestação e subtrair desse resultado o valor amortizado, ou seja, APMTj −= .
8.3.1. Tabela do Financiamento
Segue abaixo um modelo de como pode ser elaborada a tabela de financiamento
considerando o SAC:
N AMORTIZAÇÃO JUROS PAGAMENTO SALDO DEVEDOR
0 - - - SD0 = PV
1 A J1 = SD0 i PMT1 = A + J1 SD1 = SD0 - A1
2 A J2 = SD1i PMT2 = A + J2 SD2 = SD1 - A2
3 A J3 = SD2i PMT3 = A + J3 SD3 = SD2 - A3
4 A J4 = SD3i PMT4 = A + J4 SD4 = SD3 - A4
5 A J5 = SD4i PMT5 = A + J5 SD5 = SD4 - A5
...
...
...
... ...
n A Jn = SDn-1i PMTn = A + Jn SDn = SDn-1 - An = 0
140
Um lote é vendido por R$100.000,00, financiado em 10 prestações mensais, à taxa de
3,0% ao mês, pelo sistema de amortização constante (SAC). Pede-se: determinar o
valor a ser amortizado a cada período e elaborar a planilha deste financiamento.
Resolução
Valor a ser amortizado: 000.1010
000.100 =⇒=⇒= AAn
PA
Tabela do Financiamento:
N AMORTIZAÇÃO JUROS PAGAMENTO SALDO DEVEDOR
0 - R$ 100.000,00
1 R$ 10.000,00 R$ 3.000,00 R$ 13.000,00 R$ 90.000,00
2 R$ 10.000,00 R$ 2.700,00 R$ 12.700,00 R$ 80.000,00
3 R$ 10.000,00 R$ 2.400,00 R$ 12.400,00 R$ 70.000,00
4 R$ 10.000,00 R$ 2.100,00 R$ 12.100,00 R$ 60.000,00
5 R$ 10.000,00 R$ 1.800,00 R$ 11.800,00 R$ 50.000,00
6 R$ 10.000,00 R$ 1.500,00 R$ 11.500,00 R$ 40.000,00
7 R$ 10.000,00 R$ 1.200,00 R$ 11.200,00 R$ 30.000,00
8 R$ 10.000,00 R$ 900,00 R$ 10.900,00 R$ 20.000,00
9 R$ 10.000,00 R$ 600,00 R$ 10.600,00 R$ 10.000,00
10 R$ 10.000,00 R$ 300,00 R$ 10.300,00 R$ -
Um apartamento é vendido por R$1.500.000,00, sendo R$300.000,00 de entrada e o
restante financiado em 60 prestações mensais, à taxa de 2,5% ao mês, pelo sistema de
amortização constante. Determine o valor da 1ª e da última prestação.
141
Resolução
Para obtermos o valor das prestações, precisamos obter, primeiramente, o valor da
amortização. Uma vez que foi dada uma entrada de R$300.000,00 o valor financiado
(P) foi de: 00,000.200.100,000.30000,000.500.1 =−=P .
Substituindo na equação de amortização:
00,000.20$60
000.200.1RAA
n
PA =⇒=⇒=
� Cálculo da primeira prestação:
[ ] [ ]00,000.50$5,2000.20
)1160(025,01000.20)1(1
RPMTPMT
PMTtniAPMT
=⇒×=⇒+−+=⇒+−+=
� Cálculo da última prestação:
[ ] [ ]00,500.20$025,1000.20
)16060(025,01000.20)1(1
RPMTPMT
PMTtniAPMT
=⇒×=⇒+−+=⇒+−+=
8.4. Exercícios Resolvidos
Uma dívida de R$1.500.000,00 contratada a juros nominais de 36% ao
ano, capitalizados trimestralmente, poderá ser amortizada pelo sistema Price
ou SAC, em oito anos por meio de pagamentos trimestrais. Com base nesses
dados pede-se para determinar:
a) o saldo devedor ao fim do terceiro ano (fim do terceiro ano corresponde ao
12º trimestre);
b) a distribuição do 20º pagamento em juros;
c) a amortização referente ao 30º pagamento;
d) A prestação de ordem 5.
142
Resolução
Inicialmente, vamos organizar os dados do problema.
DESCRIÇÃO VALOR
VALORES FORNECIDOS
Valor à vista (PV) – valor da dívida R$1.500.000,00
Período (n) 32 trimestres
Taxa de Juros (i) 9% ao trimestre
PR
ICE
1.500.000 pv 32 n 9i PMT = -144.144,28 12 f AMORT RCL PV 1.346.630,52
SAC
875.4632
000.500.1 ==A
Determina-se o total amortizado no período 46.875 x 12 = 562.500 Subtrai do valor devido o total amortizado 1.500.000 – 562.500 = 937.500,00
1.500.000 pv
32 n
9i
PMT = -144.144,28
19 f AMORT
1 f AMORT 97.127,49
Será utilizada a fórmula:
iSDJ ×= 1920
Para utilização dessa fórmula é necessário determinar o saldo devedor 19.
( )
375.609
625.890000.500.1
19875.46000.500.1
19
19
19
=×=
×=
SD
SD
SD
Como a taxa do financiamento é de 9% ao trimestre, temos:
75,843.54
09,0375.609
20
20
=×=
J
J
Para determinar essa taxa efetiva utilizou-se os
procedimentos de transformação de taxa nominal para taxa efetiva apresentado
na unidade 5 (Taxas).
O prazo do financiamento foi de oito anos, porém, prazo é o tempo total para
quitação da dívida. Para os cálculos é necessário determinar a forma de
pagamento; a mesma é determinada pautada no período de capitalização contratado, nesse caso, trimestral.
143
1.500.000 pv
32 n
9i
PMT = -144.144,28
29 f AMORT
1 f AMORT 32.838,45 x
>< y 111.305,83
875.4632
000.500.1 ==A
Não varia uma vez que nesse sistema a amortização é sempre constante.
1.500.000 pv
32 n
9i
PMT = -144.144,28
Não varia uma vez que nesse sistema a Prestação é sempre constante.
( )[ ][ ]
00,125.118
52,3875.46
2809,01875.46
153209,01875.46
5
5
5
5
=×=
×+=+−+=
PMT
PMT
PMT
PMT
Agora é com você! Refaça o item “b”, somente pelo sistema de
amortização SAC, porém, utilizando o segundo procedimento apresentado.
A saber, pela fórmula de prestação de ordem t.
Um carro, no valor de R$32.000,00, foi financiado pelo CDC (sistema
Price de amortização) em 24 pagamentos a uma taxa efetiva de 1,583479978%
ao mês.
Abaixo segue a planilha deste financiamento. Porém, alguns valores foram omitidos.
Determine e indique na tabela cada um destes valores.
144
Resolução
Segue tabela completa:
145
146
Utilizando-se o simulador do Banco EAD para aquisição de um Consórcio
imobiliário, pelo sistema SAC de amortização, obtém os seguintes dados.
Com base nestes dados, pede-se:
a) indicar o valor a ser pago na primeira prestação, sabendo-se que são adicionados a
cada prestação o valor de:
• R$29,90 – Seguro MIP
• R$19,28 – Seguro DFI
• R$25,00 – Taxa de Administração.
b) da parcela calculada no item anterior indicar na tabela abaixo o detalhamento dos
pagamentos:
Total Pago
Amortização
Juros
Demais pagamentos
Resolução
a) Primeiramente, devemos aplicar taxa equivalente à taxa efetiva anual (ver unidade
03) em seguida substituir os valores conhecidos na fórmula da prestação de ordem t.
147
( )[ ][ ]
06,679.1
67,4665979904,3
360007216640,0167,466
11360007216640,01360
000.168
1
1
1
1
=⋅=
⋅+=
+−+=
PMT
PMT
PMT
PMT
O valor da prestação é de R$1.679,06, porém são cobradas mais (R$74,18) de demais
taxas, deste modo, o valor da primeira prestação será de R$1679,06 + 74,18 =
1.753,24.
b) segue tabela resumo
Total Pago R$1.753,24 Amortização R$466,67 Juros R$1.212,39 Demais pagamentos R$74,18
8.5. Resumo
� Sistema se amortização abordados: PRICE e SAC;
� Sistema PRICE também pode ser denominado por: Francês, CDC ou SAF;
� Principal característica do sistema Price de amortização: prestações constantes
(mesmo valor);
� Principal característica do SAC: amortizações constantes;
� É importante ressaltar que no sistema SAC, a parcela correspondente à
amortização em cada prestação é constante e os juros incidem sobre o saldo
devedor. Como o saldo devedor diminui após o pagamento de cada prestação e
a parcela de amortização é constante, o valor da prestação reduz-se ao longo
do tempo.
� Caso taxa e período não estejam na mesma unidade de tempo é necessário
adequar a taxa utilizando: taxa equivalente se for fornecida uma taxa efetiva ou
regra de três, seguida de taxa equivalente, se for o caso, quando fornecida uma
taxa nominal.
148
8.6. Quadro de Fórmulas
DESCRIÇÃO FÓRMULA
Prestação
JAPMT +=
Amortização (SAC) n
PVA =
Juros do período iSDJ nn ×= −1
Prestação de ordem t (SAC) [ ])1(1 +−+= tniAPMTt
149
REFERÊNCIAS
JUER, Milton. Matemática Financeira: Aplicações no Mercado de Títulos. 2 ed. Rio de
Janeiro: IBMEC, 1984.
MACEDO, Luiz Roberto Dias de. Matemática Aplicada. Curitiba: BPEX, 2004.
MEDEIROS, Sebastião Silva. Matemática para os cursos de Administração, Ciências
Contábeis e Economia. 4ª ed. São Paulo: Atlas, 1998.
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática financeira: objetiva e aplicada. 5 ed. Rio de
Janeiro: LTC, 1993.
SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática Financeira, 3 ed. São Paulo: Prentice Hall,
2002.
SOBRINHO. José Dutra. Matemática Financeira, 7 ed. São Paulo: Atlas, 2006.
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