3671617 Matematica Pre Vestibular Impacto Matrizes Aplicacoes e Propriedades I

JACKY27/03108

APLICAÇÕES E PROPRIEDADES.

FAÇO IMPACTO - A CERTEZA DE VENCER!!!

PROFº: BOSCO SILVEIRA

Fale

con

osco

ww

w.p

orta

limpa

cto.

com

.br

VEST

IBUL

AR –

200

9

CONTEÚDO

A Certeza de Vencer

05

4

Cofator. Seja uma matriz A = (aij)mxn. Chamamos de cofator do elemento aij ao resultado de (-1)i + j . M, na qual M é o determinante da matriz que se obtém, suprimindo a linha i e a coluna j da matriz A. Exemplo 01.

Dada a matriz

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1 8 4A = -4 5 2

2 -6 -1. Calcule c22.

No comando da questão, é pedido que se calcule o cofator do elemento a22.

Suprimindo a linha 2 e a coluna 2 da matriz A obtemos o determinante abaixo:

Assim c22 será: 2+2

22c = (-1) .(-9) =1.(-9) = -9 O cofator do elemento 5 da matriz A é -9. TEOREMA DE LAPLACE. O determinante de uma matriz é calculado pela soma dos produtos dos elementos de uma fila da matriz (linha ou coluna) com seus respectivos cofatores. Exemplo 02.

Calcule o determinante da matriz

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1 5 0B = -1 6 0

4 2 1.

Por uma questão de conveniência, escolheremos a fila que possuir a maior quantidade possível de zeros, nesse caso, a coluna 3. Assim:

Desta forma:

( ) ( )3+31 5 0

1 5-1 6 0 =1. -1 . = 6+5 =11

-1 64 2 1

Propriedades de determinantes. Embora o cálculo de determinantes seja relativamente, simples (1ª e 2ª ordem). Conhecer algumas propriedades ajudam a agilizar os cálculos de alguns determinantes. São elas:

Anulamento de determinantes. P1. Se em uma matriz quadrada de ordem n, uma fila é nula, então seu determinante será zero. P2. Se em uma matriz quadrada de ordem n, duas filas paralelas são iguais, então o seu determinante será zero. P3. Se em uma matriz quadrada de ordem n, duas filas paralelas são proporcionais, então o seu determinante será zero. P4. Se em uma matriz quadrada de ordem n, uma fila é obtida a partir da combinação linear das outras filas paralelas, então seu determinante será igual a zero.

Alteração do determinante P5. Se em uma matriz quadrada de ordem n, trocarmos 2 filas paralelas de posição, então seu determinante troca de sinal. P6. Se em uma matriz quadrada de ordem n, multiplicar todos os elementos da matriz por uma constante, então o determinante ficará multiplicado por essa constante elevado a ordem da matriz. P7. Se em uma matriz quadrada multiplicarmos uma fila por uma constante, então o determinante ficará multiplicado por essa constante.

Não alteração do determinante. P8. O determinante da matriz transposta é igual ao determinante da própria matriz, ou seja, det A = det At. P9. Se em uma matriz quadrada de ordem n, se a uma fila adicionarmos uma combinação linear das outras filas paralelas, então o seu determinante não se altera. (Teorema de Jacobi). Teorema de Binet.

O determinante do produto entre duas matrizes quadradas e de mesma ordem é igual ao produto dos determinantes de cada uma.

det (A.B) = detA . debt

Cálculo da matriz inversa. Para calcularmos a matriz inversa de uma matriz podemos fazer uso da seguinte expressão:

FAÇO IMPACTO – A CERTEZA DE VENCER!!!

Fale

con

osco

ww

w.p

orta

limpa

cto.

com

.br

VEST

IBUL

AR –

2009

-1 Adj(A)A =detA

Na qual adj(A) é a matriz adjunta da matriz A, que é obtida através da transposta da matriz dos cofatores dos elementos de A. É por esse motivo que dizemos que, se uma matriz A possui determinante igual a zero, dizemos que ela é uma matriz singular, ou seja, não possui inversa. Exercícios.

01. Dada a matriz

1 0 2

1 5 2

2 1 1

A⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

. Calcule det (A-1).

Resolução:

02. Dadas as matrizes 1 2

3 4A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

e 2 1

4 3B ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Determine det (A.B). Resolução: 03. Na geometria analítica, uma das aplicações do cálculo dos determinantes é na verificação do alinhamento ou não de três pontos, da seguinte forma: Sejam três pontos A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3), estarão alinhados se o determinante da matriz formado com as coordenadas dos pontos é igual a zero, caso contrário os pontos não estarão alinhados formando assim um triângulo.

Resumindo:

1 1

2 2

3 3

10 pontos alinhados

1k 0 formam triângulo

1

x yx yx y

⇒⎧= ⎨ ≠ ⇒⎩

Os pontos A(2, 1), B(3, -5) e C(1, 4), formam um triângulo? Justifique sua resposta. Resolução: 04. Uma matriz é dita singular quando não possui inversa e, isso pode ser verificado através do cálculo do seu determinante. Sendo assim, calcule o valor de x na matriz

2 2 1

5 0

1 2 0

x−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, para que a mesma seja singular.

Resolução: