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4-55
4 DIAGRAMAS TENSÃO DEFORMAÇÃO DE CÁLCULO - ELU
4.1 DIAGRAMA TENSÃO DEFORMAÇÃO DO CONCRETO
Conforme visto na Figura 1.3b, os diagramas tensão deformação do concreto variam de acordo com suas
resistências. A ABNT NBR 6118 ignora tal fato e permite que se adote um único diagrama, independente da
resistência do concreto. Define o item 8.2.10.1 que o diagrama tensão-deformação à compressão, a ser usado no
cálculo, será o diagrama mostrado na Figura 4.1, onde o trecho curvo corresponde a uma parábola do segundo
grau, a tensão limite do concreto é fixada em 0,85 fcd e o limite de encurtamento do concreto é definido como
sendo 3,5‰.
Figura 4.1: Diagrama tensão deformação idealizado do concreto, NBR 6118.
O valor máximo de c é tomado igual a 0,85 fcd devido a três fatores:
Efeito Rüsch, que considera a variação da resistência do concreto em função das velocidades de
carregamento (Figura 4.2);
Ganho de resistência do concreto ao longo do tempo;
Influência da forma cilíndrica do corpo de prova.
O efeito Rüsch é mostrado na Figura 4.2, onde, para diferentes velocidades de carregamento, o concreto
apresenta diferentes formas da curva tensão-deformação. Para durações maiores do tempo de carregamento, a
tensão de ruptura c tende para valores próximos de 80% da resistência correspondente ao carregamento de
curta duração (fc).
Figura 4.2: Efeito Rüsch.
4-56
Deve ser levado em conta que as cargas permanentes nas estruturas são geralmente aplicadas rapidamente,
mantendo-se constante ao longo do tempo de tal forma a permitir o desenvolvimento do fenômeno da fluência
(item 1.4.10.1). Assim, se o nível de tensão inicial for superior à resistência de longo prazo (ponto A da Figura
4.2) poderá, após certo tempo, ocorrer o colapso do elemento estrutural por ter sido atingido o limite de ruptura
(ponto B da Figura 4.2). Por outro lado, se o nível de tensão inicial for inferior à resistência de longo prazo (ponto
C da Figura 4.2) não haverá ruptura, mesmo com o desenvolvimento do fenômeno da fluência (ponto D da Figura
4.2).
Desta forma, para que não ocorra ruína é necessário que o limite de fluência seja atingido antes do limite de
ruptura. Isto é feito limitando a resistência do concreto a um valor inferior à resistência de curto prazo. Daí
decorre o fato da ABNT NBR 6118 adotar para a máxima resistência de cálculo do concreto o valor 0,85 fcd. Esse
valor leva em conta não só o efeito Rüsch como também o ganho de resistência do concreto ao longo do tempo e a
influência da forma cilíndrica do corpo de prova.
Como simplificação18 pode ser adotado, para representar o diagrama tensão-deformação do concreto, o diagrama
mostrado na Figura 4.3, o qual corresponde a uma adaptação do item 17.2.2-e da ABNT NBR 611819. Este
diagrama pode ser representado pela Equação 4.1.
Figura 4.3: Diagrama tensão deformação simplificado de cálculo do concreto.
( ) Equação 4.1
4.2 DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO DO AÇO
4.2.1 CONVENÇÃO
A representação das tensões será feita usando-se o eixo vertical, correspondendo a parte superior às tensões de
tração e a inferior as tensões de compressão. No caso do aço, para diferenciar tração de compressão serão usadas
as aspas simples ( ‘ ) nas tensões de compressão.
A representação das deformações será feita usando-se o eixo horizontal, sendo os alongamentos representados a
direita e os encurtamentos à esquerda. Para diferenciar alongamento de encurtamento, serão usadas as aspas
simples ( ‘ ) nos encurtamentos.
As deformações e as tensões serão consideradas, nos diagramas, sempre em valores absolutos.
4.2.2 DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO DO AÇO
18 Ver Seções transversais de concreto armado sujeitas a solicitações normais, M. A. Marino, COPEL, 1979. 19 O item 17.2.2-e da ABNT NBR 6118 prevê, para alguns casos, c = 0,80 fcd para 0,7‰ c 3,5‰ (ver
Capítulo [5], item [5.4]).
4-57
No caso dos aços, a ABNT NBR 6118, item 8.3.6, apresenta o diagrama simplificado mostrado Figura 4.4, onde
no trecho inclinado é válida a Lei de Hooke e o limite de alongamento é fixado em 10‰. O limite de
encurtamento é tomado igual a 3,5‰, compatível com o limite do concreto (Figura 4.1 e Figura 4.3). Este
diagrama pode ser representado pela Equação 4.2.
Figura 4.4: Diagrama tensão deformação de cálculo do aço.
Equação 4.2
Os valores de fyd e yd, para os aços destinados a estruturas de concreto armado estão mostrados na Tabela 4.1.
Os valores de fyd são determinados pela Equação 3.22 com o coeficiente de minoração da resistência s igual a
1,15 (Tabela 3.9). Os valores de yd são definidos pela Lei de Hooke, onde o Módulo de Elasticidade Es é tomado
igual a 210 GPa (item 1.5.5).
Aço fyk fyd yd
CA-25 250 MPa 217 MPa 1,035‰
CA-50 500 MPa 435 MPa 2,070‰
CA-60 600 MPa 522 MPa 2,484‰
Tabela 4.1: Aços - valores de cálculo - ELU20
EXEMPLO 4.1
Determinar, para a viga abaixo representada:
A posição da linha neutra (x);
A força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido (Rcd);
A força resistente de cálculo atuante na armadura superior (R'sd);
A força resistente de cálculo atuante na armadura inferior (Rsd);
Os esforços resistentes de cálculo (NRd e MRd).
20 No caso de combinações excepcionais, o valor de fyd deve ser tomado igual a fyk (s = 1,0 – Tabela 3.7).
4-58
Dados:
Concreto: C25;
Aço: CA-50;
Armadura superior: 2 12,5 mm;
Armadura inferior: 3 16 mm;
Encurtamento do concreto: 2,5‰ para a fibra mais comprimida;
Alongamento da armadura: 10,0‰ para a barra mais tracionada.
Considerar:
Estado limite último, combinações normais (c = 1,4 e s = 1,15); e
Diagrama tensão-deformação simplificado do concreto (c = 0,85 fcd para 0,7‰ c 3,5‰).
Solução: A posição da linha neutra fica definida pelo diagrama de deformações. As tensões na região de concreto
comprimido serão determinadas pela Equação 4.1 e as tensões nas armaduras serão definidas pela Equação 4.2.
As resistências de cálculo correspondem às forças atuantes na região de concreto comprimido (Rcd = Acc c), na
região da armadura comprimida (R'sd = A's 's) e na região da armadura tracionada (Rsd = As s). Os esforços
resistentes de cálculo (NRd e MRd) ficam definidos pelas forças Rcd, R'sd e Rsd, como mostrado na figura abaixo.
a) Dados - uniformização de unidades (kN e cm)
2ck kN/cm 2,5MPa 25f
normal) combinação - (ELU 1,40c
4-59
2
c
ckcd kN/cm 79,1
1,40
2,5ff
2yk kN/cm 50MPa 500f
normal) combinação - (ELU 1,15s
2
s
yk
yd kN/cm 43,51,15
50ff
2s kN/cm 00021MPa000210GPa 210E
22
'ssups, cm ,452
4
1,252AA
22
sinfs, cm ,0364
1,63AA
2,5‰c
0‰,10s
cm 20bw
cm 50d
cm 5d'
cm 55h
b) Posição da linha neutra (x)
dxsc
c
sc
cx
d
x
20,0‰0,102,5‰
2,5‰x
cm 10,050 0,20d x x
cm 10,0x
c) Posição da deformação 0,7‰ (y)
d‰7,0
x‰7,0
ysc
c
c
c
sc
cy
‰7,0
d
y
0,144‰10‰5,2
‰7,0‰5,2y
cm 7,250 0,144d y y
cm 7,2y ◄
0,7210,0
7,2
x
y
x72,0y 21
21Como mostrado no Capítulo [5], Equação [5.5], a ABNT NBR 6118, item 17.2.2-e, permite adotar, de modo
simplificado, y = 0,8 x, para qualquer estado de deformação.
4-60
d) Força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido (Rcd)
‰5,3‰7,0f85,0 ccdc
2c kN/cm 1,521,790,85
tensão
c
área
wcd σ ybR
cdywcd f0,85dbR
cdwycd fdb0,85R
kN 1,2191,795020144,00,85Rcd
kN1,219Rcd
e) Deformação da armadura comprimida ('s)
xd
dx
x
dxs
'
c
''s
s
x
'
x
c
x
'
x
's
1
d
d
d
d
1,25‰2,5‰ 20,0
50
520,0
's
f) Força resistente de cálculo atuante na região da armadura comprimida (R'sd)
yds's
's fE
22's kN/cm 43,5kN/cm 26,25000 21
1000
1,25
tensão
's
área
's
'sd AR
kN 64,326,252,45R'sd
kN3,64R'sd
g) Força resistente de cálculo atuante na região da armadura tracionada (Rsd)
4-61
ydsss fE
22s kN/cm 43,5kN/cm 210000 21
1000
10,0
2s kN/cm 43,5
tensão
s
área
ssd AR
kN 3,26243,503,6Rsd
kN3,262Rsd
h) Esforços resistentes de cálculo (NRd e MRd)
'sdcdsdRd R-R-RN (positivo para tração)
kN -21,164,3-219,1-262,3NRd
compressãokN -21,1NRd ◄
''
sdcdsdRd d2
hR
2
y
2
hRdh
2
hRM (positivo para sentido horário)
5
2
553,64
2
2,7
2
551,2195055
2
553,262MRd
kNcm 585,0 1255,273,646,35,271,21955,273,262MRd
positivokNm 125,8MRd
i) Condição limite de segurança
A condição limite de segurança corresponde à igualdade da Equação [3.20]:
dd SR
compressãokN 21,1NN SdRd
positivo momentokNm 125,8MM SdRd
j) Consideração do espaço ocupado por barras na região de concreto comprimido
Deve ser observado que na determinação do valor da força resistente de cálculo atuante na região de
concreto comprimido (Rcd) foi ignorada a existência da armadura superior, tomando-se a seção de concreto
comprimido sem o desconto de 2,45 cm2 (área correspondente a 2 12,5 mm).
A consideração do espaço ocupado por armadura na região de concreto comprimido pode ser feita de duas
maneiras:
descontando da área de concreto comprimido a área da armadura existente nesta região (altera o
valor de Rcd, bem como seu ponto de atuação que deixa de ser y/2 por se tratar de seção vazada);
4-62
ou
descontando da tensão atuante na barra comprimida, a tensão atuante no concreto comprimido
(altera apenas o valor de R'sd).
A primeira solução é a mais trabalhosa pois implica na definição do centro de gravidade de uma seção
vazada (deixa de ser y/2). A segunda solução é a mais simples, como demonstrado a seguir:
tração
c's
'sdcdsdRd AR-R-RN
c's
's
'scdsdRd AARRN
'mod,sdR
c's
'scdsdRd ARRN
Desta forma, alterando-se o valor da força resistente de cálculo atuante na região da armadura
comprimida (R'sd), tem-se:
f85,0A AR cd's
'sc
's
's
'modsd,
kN 60,6 1,790,85 26,252,45R'modsd,
'modsd,cdsdRd R-R-RN
kN -17,460,6-219,1-262,3NRd
compressãokN -17,4NRd
''
modsd,cdsdRd d2
hR
2
y
2
hRdh
2
hRM
5
2
556,60
2
2,7
2
551,2195055
2
553,262MRd
kNcm 501,7 1255,276,606,35,271,21955,273,262MRd
positivokNm 125,0MRd
21,3%4,17
4,171,21NRd
0,6%0,125
0,1258,125MRd
Como pode ser observado, a consideração do espaço ocupado por barras na região de concreto comprimido
só é significativa na determinação do esforço resistente de cálculo NRd (diferença de 21,3%).
k) Observações
As equações e notações aqui apresentadas são as mesmas do Capítulo [5]. São válidas para a
resolução de qualquer tipo de problema referente a seções retangulares submetidas à flexão normal
simples ou composta.
A ABNT NBR 6118, item 17.2.2-e, adota para a relação y/x, calculada como 0,72 no item c deste
Exemplo, o valor fixo de 0,8 (y = 0,8 x), não considerando, desta forma, as relações tensão-deformação
que ocorrem na região de concreto comprimido.
■
4.3 DOMÍNIOS DA ABNT NBR 6118
Na resolução do Exemplo 4.1, item b), a posição da linha neutra pode ser determinada como mostrado na Figura
4.5, resultando na Equação 4.3. Esta equação mostra que um único valor de x, que deveria corresponder a uma
única posição da linha neutra, pode ser obtido com infinitas combinações das variáveis c e s (os conjuntos
4-63
c = s = 1‰, c = s = 2‰ e c = s = 3,5‰, dentre outros, correspondem a x = 0,5). A fim de evitar infinitas
soluções para a posição de linha neutra em uma peça sujeita a solicitações normais, a ABNT NBR 6118,
item 17.2.2-g, estabelece que o estado limite último seja caracterizado quando a distribuição das deformações na
seção transversal pertencer a um dos domínios definidos na Figura 4.6.
Figura 4.5: Posição da linha neutra.
Equação 4.3
Figura 4.6: Domínios de estado limite último de uma seção transversal.
Na Figura 4.6 as retas e domínios correspondem a:
Reta a: tração uniforme (s’ = 10‰ e s = 10‰), obtida por força de tração centrada;
Domínio 1: tração não uniforme, sem compressão (s’ 10‰ e s = 10‰), obtida por força de tração
excêntrica;
Domínio 2: flexão simples ou composta sem ruptura à compressão do concreto e com máximo
alongamento do aço tracionado (0‰ c 3,5‰ e s = 10‰), obtida por momento fletor isolado ou força de
compressão excêntrica;
Domínio 3: flexão simples (seção subarmada) ou composta com ruptura à compressão do concreto e com
escoamento do aço tracionado (c = 3,5‰ e yd s 10‰), obtida por momento fletor isolado ou força de
4-64
compressão excêntrica;
Domínio 4: flexão simples (seção superarmada) ou composta com ruptura à compressão do concreto e aço
tracionado sem escoamento (c = 3,5‰ e 0‰ s yd), obtida por momento fletor isolado ou força de
compressão excêntrica;
Domínio 4a: flexão composta com armaduras comprimidas (c = 3,5‰ e s 0‰), obtida por força de
compressão excêntrica;
Domínio 5: compressão não uniforme, sem tração (2‰ c 3,5‰ e -2‰ s 0‰), obtida por força de
compressão excêntrica;
Reta b: compressão uniforme (c = 2‰ e s = 2‰), obtida por força de compressão centrada.
Deve ser observado, na Equação 4.3, que:
A reta a (tração uniforme) corresponde ao valor x = - (s é igual a 10‰ e c é quem sofre variação até
chegar ao valor -10‰);
A reta b (compressão uniforme) corresponde ao valor x = + (c é igual a 2‰ e s é quem sofre variação
até chegar ao valor -2‰).
A definição dos domínios de estado limite último de uma seção transversal (Figura 4.6) vai implicar que se
imponham limites para a equação estabelecida no item c) do Exemplo 4.1 que define a posição de deformada
0,7‰ (ordenada y), como mostrado na Figura 4.7. Ao contrario de x, que pode sofrer uma variação de - a +, y
deverá ficar limitado como estabelecido na Equação 4.4, obedecendo a condição de y h.
Figura 4.7: Posição da deformada 0,7‰.
(
) {
Equação 4.4
As retas a e b, bem como os domínios mostrados na Figura 4.6, podem, também, ser representados por valores de
x obtidos da Equação 4.3. Para tal torna-se conveniente usar a convenção de sinais apresentada na Figura 4.8
(encurtamentos positivos para o concreto e alongamentos positivos para as armaduras). A origem da ordenada x
ocorre no ponto O, posição da fibra de concreto mais comprimida ou menos tracionada. As ordenadas x (posição
da linha neutra), d (posição da armadura mais tracionada) e d’ (posição da armadura menos tracionada22),
também são posicionadas a partir da fibra de concreto mais comprimido (ponto O), com sentido positivo na
22 Observar que a armadura A’s passou a ser chamada de armadura menos tracionada e não mais de
armadura comprimida. Como a Figura 4.8 mostra, esta armadura, dependendo da posição da linha neutra,
poderá estar tracionada. Observar, também, que a própria armadura As, dependendo da posição da linha neutra,
poderá estar comprimida (ver domínios 4a e 5 da Figura 4.6).
4-65
direção da armadura mais tracionada (mesmo sentido positivo de x).
Figura 4.8: Convenção de sinais para x.
Usando a convenção de sinais apresentada na Figura 4.8, as retas a e b, bem como as retas limite entre os
domínios, mostradas na Figura 4.6, podem ser representadas pelas seguintes equações:
reta a (tração simples)
Equação 4.5
reta 1-2 (limite entre os domínios 1 e 2)
Equação 4.6
reta 2-3 (limite entre os domínios 2 e 3)
Equação 4.7
reta 3-4 (limite entre os domínios 3 e 4)
( )
( )
Equação 4.8
4-66
( )
reta 4-4a (limite entre os domínios 4 e 4a)
Equação 4.9
reta 4a-5 (limite entre os domínios 4a e 5)
(
)
( )
Equação 4.10
reta b (compressão simples)
Equação 4.11
Figura 4.9: Deformações das armaduras.
Além das deformações c e s, é conveniente, também, representar ’s (encurtamento da armadura comprimida ou
alongamento da armadura menos tracionada) como função de x (Figura 4.9). Na resolução do Exemplo 4.1, foi
mostrado que ’s pode ser determinado pela Equação 4.1223.
23 Observar que a Equação 4.12, que segue a convenção de sinais da Figura 4.8, diferente, no sinal, da
equação apresentada no Exemplo 4.1, item e).
4-67
{
(
)
(
)
Equação 4.12
EXEMPLO 4.2
Determinar, para a seção abaixo representada, o diagrama NRd x MRd.
Dados:
Concreto: C25;
Aço: CA-50;
Armadura superior: 2 12,5 mm;
Armadura inferior: 2 12,5 mm;
Considerar:
Estado limite último, combinações normais (c = 1,4 e s = 1,15);
Domínios da ABNT NBR 6118;
Diagrama tensão-deformação simplificado do concreto (c = 0,85 fcd para 0,7‰ c 3,5‰).
Solução: A solução do problema consiste na determinação de pares de valores NRd, MRd para diversas posições
da linha neutra. Estas posições da linha neutra poderão ser as retas a e b e as retas limites dos domínios da
Figura 4.6. Com os valores de x definidos pelas retas, os alongamentos e encurtamentos poderão ser calculados
usando as equações, Equação 4.5 a Equação 4.12. As tensões na região de concreto comprimido serão
determinadas pela Equação 4.1 e as tensões nas armaduras serão definidas pela Equação 4.2. As resistências de
cálculo correspondem às forças atuantes na região de concreto comprimido (Rcd = Acc c), na região da armadura
comprimida (R'sd = A's 's) e na região da armadura tracionada (Rsd = As s). Os esforços resistentes de cálculo
(NRd e MRd) ficam definidos pelas forças Rcd, R'sd e Rsd, como mostrado na figura abaixo.
4-68
a) Dados - uniformização de unidades (kN e cm)
2ck kN/cm 2,5MPa 25f
normal) combinação - (ELU 1,40c
2
c
ckcd kN/cm 79,1
1,40
2,5ff
2yk kN/cm 50MPa 500f
normal) combinação - (ELU 1,15s
2
s
yk
yd kN/cm 43,51,15
50ff
2s kN/cm 00021MPa000210GPa 210E
22
'ssups, cm ,452
4
1,252AA
22
sinfs, cm 45,24
1,252AA
cm 20bw
cm 50d
cm 5d'
cm 55h
10,050
5
d
d'
10,150
55
d
h
b) Alongamentos e encurtamentos (c, s e ’s)
4-69
c Figura 4.6 (Equação 4.5 a Equação 4.11)
s Figura 4.6 (Equação 4.5 a Equação 4.11)
s
x
x
'
c
x
x
'
's
1
d
d
ou
d
d
(Equação 4.12)
c) Posição da deformação 0,7‰ (y)
d ‰7,0
x‰7,0
ysc
c
c
c
d
h
0,0‰7,0
d
y
sc
cy (Equação 4.4)
d) Força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido (Rcd)
‰5,3‰7,0f85,0 ccdc
tensão
c
área
wcd σ ybR
cdywcd f85,0dbR
cdw ycd f db 0,85R
e) Força resistente de cálculo atuante nas armaduras As (Rsd) ou A’s (R’sd)
4-70
ydsss fE
sssd AR
Os valores de Rsd e R’sd são determinados da
mesma forma (mesmas equações).
Se a armadura (As ou A’s) estiver alongada
(s ou ’s positivo) a força resultante (Rsd ou
R’sd) correspondera a força de tração. Caso
contrário, a força de compressão.
A figura apresenta somente o caso da
armadura As (são mostrados d e Rsd). Para a
armadura A’s apareceriam d’ no lugar de d e
R’sd no lugar de Rsd.
f) Esforços resistentes de cálculo (NRd e MRd) convenção de sinais
'sdcdsdRd RR-RN (positivo para tração)
2
hdR
2
y
2
hRdh
2
hRM ''
sdcdsdRd
2
hdR
2
y-hR
2
hdRM ''
sdcdsdRd (positivo para sentido horário)24
g) Reta a (tração simples)
x
s
c
‰10
‰10
Equação 4.5
g.1) Deformação da armadura A’s (’s)
24 Esta equação segue a convenção de sinais apresentada na Figura 4.8 e por isto difere um pouco da
equação apresentada no Exemplo 4.1, item h).
4-71
s
x
x
'
's
1
d
d
10‰10‰1
10,0's
g.2) Posição da deformação 0,7‰ (y)
d
h
0,0‰7,0
d
y
sc
cy
000,0‰10‰10
‰7,0‰10yy
d
yy
cm00,0y50
y000,0
g.3) Força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido (Rcd)
cdw ycd f db 0,85R
kN 00,01,7950200,0000,85Rcd
g.4) Força resistente de cálculo atuante na armadura As (Rsd)
ydsss fE
2s
22s cm/kN5,43cm/kN5,43cm/kN21000021
1000
10
sssd AR
kN58,1065,4345,2Rsd
g.5) Força resistente de cálculo atuante na armadura A’s (R’sd)
yds's
's fE
2's
22's cm/kN5,43cm/kN5,43cm/kN21000021
1000
10
's
's
'sd AR
kN58,1065,4345,2R'sd
g.6) Esforços resistentes de cálculo (NRd e MRd)
'sdcdsdRd RR-RN
kN16,21358,1060,00-58,106NRd (tração)
2
hdR
2
y-hR
2
hdRM ''
sdcdsdRd
4-72
kNcm00,02
55558,106
2
00,05500,0
2
555058,106MRd
kNm00,0MRd
kNm00,0M
traçãokN16,213N
a reta
Rd
Rd
h) Reta 1-2
000,0
‰10
‰0
x
s
c
Equação 4.6
h.1) Deformação da armadura A’s (’s)
s
x
x
'
's
1
d
d
1‰10‰000,01
000,010,0's
Posição da deformação 0,7‰ (y)
d
h
0,0‰7,0
d
y
sc
cy
000,0070,0‰10‰0
‰7,0‰0yy
d
yy
cm00,0y50
y000,0
h.2) Força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido (Rcd)
cdw ycd f db 0,85R
kN 00,01,7950200,0000,85Rcd
h.3) Força resistente de cálculo atuante na armadura As (Rsd)
ydsss fE
4-73
2s
22s cm/kN5,43cm/kN5,43cm/kN21000021
1000
10
sssd AR
kN58,1065,4345,2Rsd
h.4) Força resistente de cálculo atuante na armadura A’s (R’sd)
yds's
's fE
2's
22's cm/kN0,21cm/kN5,43cm/kN0,2100021
1000
1
's
's
'sd AR
kN45,510,2145,2R'sd
h.5) Esforços resistentes de cálculo (NRd e MRd)
'sdcdsdRd RR-RN
kN03,15845,510,00-58,106NRd (tração)
2
hdR
2
y-hR
2
hdRM ''
sdcdsdRd
kNm43,12402
55545,51
2
00,05500,0
2
555058,106MRd
kNm40,12MRd (positivo)
)positivo(kNm40,12M
traçãokN03,158N
12reta
Rd
Rd
i) Reta 2-3
259,0
‰10
‰5,3
x
s
c
Equação 4.7
i.1) Deformação da armadura A’s (’s)
c
x
x
'
's d
d
‰15,23,5‰259,0
259,010,0's
i.2) Posição da deformação 0,7‰ (y)
4-74
d
h
0,0‰7,0
d
y
sc
cy
207,0‰10‰5,3
‰7,0‰5,3y
d
yy
cm35,10y50
y207,0
i.3) Força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido (Rcd)
cdw ycd f db 0,85R
kN 314,951,7950200,2070,85Rcd
i.4) Força resistente de cálculo atuante na armadura As (Rsd)
ydsss fE
2s
22s cm/kN5,43cm/kN5,43cm/kN21000021
1000
10
sssd AR
kN58,1065,4345,2Rsd
i.5) Força resistente de cálculo atuante na armadura A’s (R’sd)
yds's
's fE
2's
cm/kN5,43
2's cm/kN5,43cm/kN15,4500021
1000
15,2
2's
's
's
'sd AR
kN58,1065,4345,2R'sd
i.6) Esforços resistentes de cálculo (NRd e MRd)
'sdcdsdRd RR-RN
kN95,314106,58-314,95-58,106NRd (compressão)
2
hdR
2
y-hR
2
hdRM ''
sdcdsdRd
kNcm36,827112
55558,106
2
35,105595,314
2
555058,106MRd
kNm27,118MRd (positivo)
)positivo(kNm27,118M
compressãokN95,314N
23reta
Rd
Rd
j) Reta 3-4
4-75
628,0
‰07,2
‰5,3
x
s
c
Equação 4.8
j.1) Deformação da armadura A’s (’s)
c
x
x
'
's d
d
‰94,23,5‰628,0
628,010,0's
j.2) Posição da deformação 0,7‰ (y)
d
h
0,0‰7,0
d
y
sc
cy
502,0‰07,2‰5,3
‰7,0‰5,3y
d
yy
cm10,25y50
y502,0
j.3) Força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido (Rcd)
cdw ycd f db 0,85R
kN 79,6371,7950200,5020,85Rcd
j.4) Força resistente de cálculo atuante na armadura As (Rsd)
ydsss fE
OKcm/kN5,43000211000
07,2 2s
sssd AR
kN58,1065,4345,2Rsd
j.5) Força resistente de cálculo atuante na armadura A’s (R’sd)
yds's
's fE
4-76
2's
cm/kN5,43
2's cm/kN5,43cm/kN74,6100021
1000
94,2
2's
's
's
'sd AR
kN58,1065,4345,2R'sd
j.6) Esforços resistentes de cálculo (NRd e MRd)
'sdcdsdRd RR-RN
kN79,763106,58-763,79-58,106NRd (compressão)
2
hdR
2
y-hR
2
hdRM ''
sdcdsdRd
kNcm76,162142
55558,106
2
10,255579,763
2
555058,106MRd
kNm42,177MRd (positivo)
)positivo(kNm15,162M
compressãokN79,763N
43reta
Rd
Rd
k) Reta 4-4a
000,1
‰0
‰5,3
x
s
c
Equação 4.9
k.1) Deformação da armadura A’s (’s)
c
x
x
'
's d
d
‰15,33,5‰000,1
000,110,0's
k.2) Posição da deformação 0,7‰ (y)
d
h
0,0‰7,0
d
y
sc
cy
4-77
800,0‰0‰5,3
‰7,0‰5,3y
d
yy
cm00,40y50
y800,0
k.3) Força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido (Rcd)
cdw ycd f db 0,85R
kN 20,12171,7950200,8000,85Rcd
k.4) Força resistente de cálculo atuante na armadura As (Rsd)
ydsss fE
2s cm/kN00,000021
1000
0,0
sssd AR
kN00,000,045,2Rsd
k.5) Força resistente de cálculo atuante na armadura A’s (R’sd)
yds's
's fE
2's
cm/kN5,43
2's cm/kN5,43cm/kN15,6600021
1000
15,3
2's
's
's
'sd AR
kN58,1065,4345,2R'sd
k.6) Esforços resistentes de cálculo (NRd e MRd)
'sdcdsdRd RR-RN
kN78,1323106,58-1217,20-00,0NRd (compressão)
2
hdR
2
y-hR
2
hdRM ''
sdcdsdRd
kNcm05,115272
55558,106
2
00,405520,1217
2
555000,0MRd
kNm27,115MRd (positivo)
)positivo(kNm27,115M
compressãokN78,1323N
a44reta
Rd
Rd
l) Reta 4a-5
4-78
100,150
55
-0,32‰‰5,3155
50
‰5,3
x
s
c
Equação 4.10
l.1) Deformação da armadura A’s (’s)
c
x
x
'
's d
d
‰18,33,5‰100,1
100,110,0's
l.2) Posição da deformação 0,7‰ (y)
d
h
0,0‰7,0
d
y
sc
cy
880,0‰32,0‰5,3
‰7,0‰5,3y
d
yy
cm00,44y50
y880,0
l.3) Força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido (Rcd)
cdw ycd f db 0,85R
kN 92,13381,7950200,8800,85Rcd
l.4) Força resistente de cálculo atuante na armadura As (Rsd)
ydsss fE
2s
cm/kN5,43
2s cm/kN72,6cm/kN72,600021
1000
32,0
2s
sssd AR
kN46,1672,645,2Rsd
l.5) Força resistente de cálculo atuante na armadura A’s (R’sd)
yds's
's fE
4-79
2's
cm/kN5,43
2's cm/kN5,43cm/kN78,6600021
1000
18,3
2's
's
's
'sd AR
kN58,1065,4345,2R'sd
l.6) Esforços resistentes de cálculo (NRd e MRd)
'sdcdsdRd RR-RN
kN96,1461106,58-1338,92-46,16NRd (compressão)
2
hdR
2
y-hR
2
hdRM ''
sdcdsdRd
kNcm76,93912
55558,106
2
00,445592,1338
2
555046,16MRd
kNm92,93MRd (positivo)
)positivo(kNm92,93M
compressãokN96,1461N
4a5 reta
Rd
Rd
m) Reta b
x
s
c
‰0,2
‰0,2
Equação 4.11
m.1) Deformação da armadura A’s (’s)
c
x
x
'
's d
d
‰0,2‰0,210,0'
s
m.2) Posição da deformação 0,7‰ (y)
d
h
0,0‰7,0
d
y
sc
cy
4-80
100,1d
h
‰2‰2
‰7,0‰2yy
d
yy
cm00,55y50
y100,1
m.3) Força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido (Rcd)
cdw ycd f db 0,85R
kN 65,16731,795020100,10,85Rcd
m.4) Força resistente de cálculo atuante na armadura As (Rsd)
ydsss fE
2s
cm/kN5,43
2s cm/kN00,42cm/kN00,4200021
1000
2
2s
sssd AR
kN90,10200,4245,2Rsd
m.5) Força resistente de cálculo atuante na armadura A’s (R’sd)
yds's
's fE
2's
cm/kN5,43
2's cm/kN00,42cm/kN00,4200021
1000
2
2's
's
's
'sd AR
kN90,10200,4245,2R'sd
m.6) Esforços resistentes de cálculo (NRd e MRd)
'sdcdsdRd RR-RN
kN45,1879102,90-1673,65-90,102NRd (compressão)
2
hdR
2
y-hR
2
hdRM ''
sdcdsdRd
kNcm00,02
55558,106
2
555565,1673
2
555090,102MRd
kNm00,0MRd
kNm00,0M
compressãokN45,1879N
breta
Rd
Rd
n) Diagrama NRd x MRd
4-81
■
Tendo sido estabelecido valores para x que definem os limites dos domínios, como também as relações entre x e
as deformações do concreto e das armaduras (Equação 4.3 e Equação 4.12) torna-se possível uma formulação
matemática para os domínios da ABNT NBR 6118. Considerando a convenção de sinais da Figura 4.8, tem-se:
domínio 1: - x 0,000
(
) ( )
( )
(
) ( )
Equação 4.13
domínio 2: 0,000 x 0,259
(
) ( )
( )
(
) {
( ) ( )
Equação 4.14
domínio 3: 0,259 x {
( ) ( ) ( )
4-82
( )
(
) ( )
(
) {
( ) ( )
Equação 4.15
domínio 4:
( ) ( ) ( )
} x 1,000
( )
(
) ( )
(
) {
( ) ( )
Equação 4.16
domínio 4a: 1,000 x d
h
( )
(
) ( )
(
) ( )
Equação 4.17
domínio 5: d
h x +
[
( )] ( )
[
( )] ( )
Equação 4.18
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