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matemática 12º teste 5
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Escola Bsica e Secundria Dr. ngelo Augusto da Silva Teste de MATEMTICA A 12 Ano
1 PARTE Para cada uma das seguintes questes de escolha mltipla, selecione a resposta correta de entre as alternativas que lhe so apresentadas e escreva-a na sua folha de prova. Se apresentar mais do que uma resposta a questo ser anulada, o mesmo acontecendo em caso de resposta ambgua.
1. Num determinado dia, de uma turma com 28 alunos s 1
4 fez o trabalho de casa da disciplina de
Matemtica. O professor vai ver ao acaso o caderno de seis destes alunos.
Qual a probabilidade de apenas um deles ter feito o trabalho de casa?
(A)
21
5
28
6
C
C (B)
21
5
28
6
7C
C
(C)
1
7 (D)
28
6
7
C
2. Seja 3
z cis
um nmero complexo.
Indique qual dos seguintes valores o argumento de: 1 z .
(A) 3
(B)
4
3
(C)
2
3
(D)
5
3
3. Seja g uma funo de domnio . Sabe-se que:
( )
lim 1x
g x x
x
;
O grfico de g tem uma assintota no vertical.
Qual das seguintes equaes pode definir essa assintota?
(A) y x (B) 2 1y x (C) y x (D) 2y
4. Na figura est representada a funo f e a reta r tangente ao seu grfico no ponto de abcissa 1.
Sabendo que 2( ) (2 )g x x , qual o valor de
(1)
'g
f
?
(A) 2 (B) 2
(C) 5
4 (D)
3
4
Durao: 90 minutos Maio/ 2013
Nome ________________________ N ___ T: __
Classificao
____________
O Prof.__________________ (Lus Abreu)
o x
y
31
2
rf
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5. Qual o valor de
2lim
2
x
x xx
sen e
e e ?
(A) 0 (B) 0,5 (C) 1 (D) 2
2 PARTE
Apresente o seu raciocnio de forma clara, indicando os clculos efetuados e as justificaes necessrias. Quando no indicada a aproximao que se pede para um resultado, pretende-se o valor exato.
1. Seja o conjunto dos nmeros complexos; i designa a unidade imaginria. Sem recorrer calculadora, determine
49 100(1 3 )(2 )
(1 4 ) (4 )
i i i i
i cis
.
Apresente o resultado na forma algbrica.
2. Seja o conjunto dos nmeros complexos. Considere a equao 3 2 9 9 0z z z . Esta
equao tem trs solues em .
2.1. Mostre que o nmero real (0)cis uma dessas solues.
2.2. As imagens geomtricas, no plano complexo, dessas trs solues so vrtices de um
tringulo. Determine a rea desse tringulo. Resolva este item sem recorrer calculadora.
3. Resolva, em , a equao: 3
1 3z
iz .
4. Na figura est representado o crculo trigonomtrico.
Sabe-se que:
O ponto B tem coordenadas (0,1) ;
O ponto D tem coordenadas (1,0) ;
Um ponto A se desloca ao longo do arco DB,
de tal forma que o segmento de reta AC sempre paralelo ao eixo das abcissas;
Para cada posio do ponto A, designa a
amplitude, em radianos, do ngulo DOA
0,2
.
Seja f a funo que a cada valor de faz corresponder o permetro do tringulo ABC .
Resolva os itens seguintes, usando exclusivamente mtodos analticos.
4.1. Mostre que ( ) 2cos 2 2 2f sen
o x
y
A
B
C
D
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4.2. Seja r a reta tangente ao grfico da funo f no ponto de abcissa 6
. Determine o declive da
reta r.
4.3. Existe um valor de para o qual o permetro do tringulo ABC igual a 3. Determine esse valor, arredondado s centsimas, recorrendo s capacidades grficas da calculadora.
Apresente o(s) grfico(s) visualizado(s) na calculadora e assinale o ponto relevante para a
resoluo do problema.
5. De uma funo g, de domnio , , sabe-se que a sua derivada est definida igualmente no
intervalo , e dada por: '( ) 2g x x senx
5.1. Determine o valor de 0
( ) (0) '( )limx
g x g g x
x
.
5.2. Estude a funo g quanto s concavidades do seu grfico e determine as abcissas dos
pontos de inflexo.
Fim
Cotaes:
1 Parte
Questes10 pontos cada
questo. Total :1. 2.1. 2.2. 3. 4.1. 4.2. 4.3. 5.1. 5.2. Total
Pontos 50 20 10 15 20 15 20 15 15 20 200
2 Parte
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Formulrio
Comprimento de um arco de circunferncia
. (r amplitude, em radianos, do ngulo ao
centro; r raio)
reas de figuras planas
Losango:
2
Diagonal maior Diagonal menor
Trapzio:
2
Base maior Base menorAltura
Polgono regular: SemipermetroAptema
Sector circular:
2
2
r ( amplitude, em radianos,
do ngulo ao centro; r raio) reas de superfcies
rea lateral de um cone: rg (r raio da base; g geratriz)
rea de uma superfcie esfrica: 24 r
(r raio)
Volumes
Pirmide:1
3rea da baseAltura
Cone: 1
3rea da baseAltura
Esfera: 34
3r (r raio)
Trigonometria
sen (a + b) = sen a .cos b + sen b. cos a
cos (a + b) = cos a .cos b sen a. sen b
tg (a + b) = 1 .
tga tgb
tga tgb
Complexos
( ) ( . )n ncis cis n
2
, k 0,...,n-1n nk
cis cisn
Probabilidades
1 1 ... n nx p x p
2 2
1 1( ) ... ( )n nx p x p
Se X N(,) , ento:
( ) 0,6827P X
( 2 2 ) 0,9545P X
( 3 3 ) 0,9973P X
Regras de Derivao
'u v u v
uv u v uv
2
u u v uv
v v
1( ) (n )n nu nu u
cos sen u u u
cos u u sen u
2
cos
utg u
u
u ue u e
( ) lnu ua u a a ( \{1})a
ln u
uu
(log )ln
a
uu
u a
( \{1})a
Limites notveis
1lim 1
n
en
0
lim 1
xx
sen x
0
1lim 1
x
x
e
x
0
ln( 1)lim 1x
x
x
lnlim 0
x
x
x
lim (p )
x
px
e
x
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