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EEL211 - Laboratório de Circuitos Elétricos Laboratório No 9: Resposta em Freqüência (BW)
UNIFEI-IESTI Kazuo Nakashima https://elt09.unifei.edu.br 1
OBJETIVOS
Desenhar a curva de resposta em freqüência.
Determinar a frequência de corte de um circuito RC e RL.
Determinar a largura de banda de filtro passa-faixa
LISTA DE MATERIAL
Osciloscópio de dois canais.
Gerador de funções: 2-2MHz, 20Vpp
Multímetro digital
Proto Board
Indutor: 27mH/20mA Capacitor de poliéster metalizado:
100nF/250V (2)
Resistores ½ W:
1kΩ(3) 1k5(2) 10kΩ(2)
FILTROS
Filtros são circuitos que permitem a passagem do si-
nal alternado para uma determinada faixa de frequên-
cia. Dependendo da faixa de passagem são classifica-dos como: Passa-baixa, Passa-alta, Passa-faixa e Corta-
faixa.
A Figura 1 apresenta filtros passivos RC e RL de 1ª
ordem. Observe a dualidade entre o circuito capacitivo
e o circuito indutivo.
Figura 1 – Filtros Passivos RC e RL de 1a ordem.
1 - FILTRO RC PASSA BAIXA – LAG ATRASADOR DE FASE
Para uma excitação senoidal temos:
2
c
Vo Xc 1= Xc =
Vi Xc + R j C
1=
1+ jωRC
1= Eq. Normalizada
1+ j(f/fc)
1fc =
2πRC
Vo 1= Modulo
Vi 1+ (f/fc)
= -arctn(f/f ) Fase
ω
ω = π
φ
2 f
A equação do módulo informa que para freqüência
muito menor que a freqüência de corte o ganho de ten-
são é unitário (AV=1 para f<fc) e a defasagem é nula
(φ=0o)
Para freqüência maior que a freqüência de corte o
ganho de tensão diminui com o aumento da freqüên-cia. O ganho de tensão diminui 10 vezes com o aumen-
to na freqüência em 10 vezes (-20dB uma década aci-
ma). Em outras palavras, o ganho de tensão diminui
numa taxa de -20dB/DECADA.
-20dB/DECADA é o mesmo que -6db/OITAVA. O ga-nho de tensão diminui duas vezes (-6dB) ao dobramos a
freqüência (freqüência uma oitava acima).
VdB o iA = 20 Log(V /V )
20dB/DECADA= 6dB/OITAVA,
Exatamente na freqüência de corte o ganho de ten-
são vale 0,707 do valor inicial, ou seja, -3dB.
Vo 1= = 0,707 Modulo
Vi 2
20.Log(0,707) = - 3dB
=- arctn(1) = -45° Faseφ
1.1 – CURVA DE RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA
Uma variação de 0,001 para 0,01 pode parecer na-
da, mas é uma grande variação, é uma variação signifi-
cativa de 10 vezes, 20 dB, uma variação de 900%.
Portanto, é necessária uma técnica para analisar es-
tes circuitos em uma faixa de freqüência tão ampla as-sim. A Figura 2 mostra vários tipos de gráficos que re-
presentam o “Ganho de tensão Vo/Vi” em função da
freqüência entre 1Hz e 1MHz.
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Figura 2 – Curva de resposta em freqüência do filtro passa baixa. Módulo e Fase. fc=1kHz
Para uma variação muito ampla de freqüência a cur-va de resposta em freqüência plotada em um gráfico
linear seria inútil como mostra a Figura 2(a).
O gráfico terá melhor resolução e utilidade se utili-
zarmos escala logarítmica no eixo X como mostra o grá-
fico Semilog (ou Monolog) apresentado na Figura 2(b).
ATENÇÃO: Não existe o valor ZERO na escala logarítimi-
ca.
Para obter uma definição maior no eixo Y devemos
utilizar escala Logarítmica para o eixo Y também. Ob-
serve a curva no gráfico Bilog da Figura 2(c).
Neste gráfico podemos observar uma característica
interessante: podemos representar a curva de resposta
em freqüência com duas retas. Uma com ganho de ten-
são constante (Vo/Vi=1) e outra com inclinação
10x/DECADA. Esta duas retas são denominadas “Assín-totas”
A Figura 2(d) mostra a curva de resposta em fre-
qüência do ganho de tensão em dB (eixo Y em escala
linear) no gráfico SemiLog Observe que a curva do ga-
nho em decibéis no gráfico SemiLog (Figura 2d) tem o mesmo aspecto que a curva do ganho absoluto no grá-
fico BiLog (Figura 2c)
As duas assíntotas se cruzam exatamente na fre-
qüência de corte fc.
Abaixo da freqüência de corte a amplitude perma-nece praticamente constante (faixa de resposta plana).
Acima da freqüência de corte a amplitude diminui
com o aumento da freqüência numa razão de -20dB por
década (o mesmo que -6dB por oitava).
1.2 – VARREDURA (FREQUÊNCIA)
Para uma variação ampla de frequência é necessário
escolher cuidadosamente as frequências de teste. Uma
variação de 1Hz, de 1Hz para 2Hz representa uma vari-
ação de 100%, de 10Hz para 11Hz (10%), de 1000Hz pa-
ra 1001Hz (0,1%) e para 1MHz (1ppm, quase nada).
Portanto, para evitar amostragens desnecessárias, é
necessário fazer uma “varredura logaritmica” definindo
o número de pontos por oitava ou o número de pontos
por década. Para racionalizar o trabalho de laboratório devemos utilizar o menor número de amostragem pos-
sível.
Ajustar a frequência na sequência 1-2-5 para obter
um espaçamento uniforme na escala logarítmica.
Para quem estiver utilizando osciloscópio analógico e gerador de funções sem frequencímetro, podemos
aproveitar a seqüência 1-2-5 da base de tempo do osci-
loscópio ajustando a freqüência na sequência 1-2-4 de
forma manter constante o produto freqüência x base
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de tempo. Observaremos dois ciclos completos na tela do osciloscópio.
TABELA 1 R=15kΩ C=10nF
f Hz SEC/DIV Vo/Vi dB Fase
10 20m
20 10m
50 5m
100 2m
200 1m
500 0.5m
1k 0.2m
2k 0.1m
5k 50µ
10k 20µ
20k 10µ
50k 5µ
100k 2µ
0,707 -3dB
A Figura 3 apresenta as curvas de resposta em fre-
qüência normalizada dos filtros RC passa baixa, passa
alta e passa faixa. X=f/fc
-210
0dB
-20
-40
-110110 21001= 10
o o+90 /0
o o0 /-90
Passa Alta
Passa Faixa
Passa Baixa
Fase
Figura 3 – Gráfico Normalizado (f/fc) dos Filtros RC.
1.3 - FREQÜÊNCIA DE CORTE – MÉTODO 7/5 DIV
Para determinar a freqüência de corte mais rapida-
mente siga os seguintes passos:
1) Observe o sinal de saída através do canal CH2 e a-
juste a freqüência pelo menos uma década da fre-qüência de corte (na resposta plana). Observe que
a amplitude não se altera para pequenas variações
de freqüência.
2) Ajuste a amplitude de forma que ocupe 7 divisões
pico a pico na tela do osciloscópio. 3) Ajuste a posição vertical de forma que o sinal ocupe
as 7 divisões inferiores.
4) Aumente a freqüência até que a amplitude do sinal de saída ocupe 5 DIV pico a pico. Nesta freqüência
tensão de saída estará atenuada 3dB e apresentará
uma defasagem de 45°. 7 DIV x 0,707 = 4,95 DIV ≅ 5 DIV
fC (medido) = Hz
Ângulo de fase = Grau
Filtro Passa Baixa−Filtro Passa Baixa−
Figura 3- Oscilograma dos filtros passa baixa e passa-alta na
freqüência de corte.
1.4 – CONSTANTE DE TEMPO E RISE TIME
Podemos associar freqüência de corte fc com cons-
tante de tempo τ e conseqüentemente com Rise Time
tR.
c
c
R R
R
1 1f = == ==1,06kHz2πRC 2π.15k.10n
τ = RC = 15k .10nF = 150µsτ = 0,4552.T t =RiseTime
f = 0.35/t =
Ω
Rise Time tR = [s]
τ = [s]
fc = [Hz]
CH2:5V/D CH1:5V/ H:1mSECDI IVV /DIV
Trig:CH1
Figura 4 - LAG Resposta a degrau
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Figura 5 – Gráficos SemiLog e BiLog
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2- FILTRO RC PASSA- ALTA (LEAD) AVANÇADOR DE FASE
Figura 6- Filtro Passa-Alta (LEAD ou avançador de fase).
2
21
( / ) 1
1 ( / ) 2
1
1 ( / )
( / )
o
ic
c
Vo R j RCf
Vi Xc R j RC
j f fcfc
j f fc RC
VMODULO
V f f
arctn f f FASE
ωω π
ω
π
φ
= = =+ +
= =+
=
+
=
Exatamente na freqüência de corte o ganho de ten-
são é -3dB e a sinal de saída está adiantado 45° em re-lação ao sinal de entrada.
c1 1
f = = =1,06kHz2 RC 2 .15k.10n
10,707
2
(1) 45
VoMODULO
Vi
arctn FASE
π π
φ
= =
= =
= = + °
Ajustando a freqüência em 100kHz verificamos que
o sinal de saída tem a mesma amplitude que o sinal de
entrada, ou seja, Av=1 ou 0 dB e a tensão de saída não se altera com a variação da frequência. Estamos na re-
gião de freqüência de resposta plana (flat).
Abaixo da freqüência de corte o ganho de tensão
aumenta com o aumento da freqüência numa taxa de
+20dB/DECADA . O sinal mais significa que o ganho aumenta com o aumento da freqüência.
Para onda quadrada percebemos um impulso de
corrente (tensão no resistor R) evidenciando o efeito
derivativo do filtro passa-alta.
2.1 – CONSTANTE DE TEMPO E FALL TIME
Podemos associar freqüência de corte fc com cons-
tante de tempo τ e conseqüentemente com Fall Time
tFall.
CH2:5V/D CH1:5V/ H:1mSECDI IVV /DIV
Trig:CH1
Figura 7 - Resposta à degrau do Filtro Passa-Alta
F
c F
c
Fall
1 1f = == ==1,06kHz2πRC 2π.15k.10n
τ = RC = 15k .10nF = 150µsτ = 0,4552.T t =FallTime
f = 0.35/t =
Ω
RC= [s]
Fall Time TFall = [s]
τ = [s]
fc = [Hz]
2.2 - FREQÜÊNCIA DE CORTE – MÉTODO 7/5 DIV
fC (medido) = Hz
Ângulo de fase = Grau
Filtro Passa Alta−
Figura 8- Oscilograma do filtro passa-alta na freqüência de
corte.
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3- FILTRO RC PASSA-FAIXA (LEAD-LAG)
Figura 9 - Filtro Passa-faixa (LEAD-LAG)
Neste filtro RC passa faixa, para freqüência menor
que a freqüência central o circuito tem comportamento
avançador de fase e para freqüência maior, atrasador
de fase. A defasagem varia desde +90° até -90° com o aumento da freqüência.
Na freqüência central fo o ganho do circuito é máxi-
mo e o ângulo de fase é 0°.
1 1 2 2
1
2
1p/ R1=R2=R e C1=C2=C
2
ofR C R C
RC
π
π
=
=
Para componentes iguais, R1=R2=R e C1=C2=C a am-
plitude do sinal de saída, na freqüência central, é 1/3
da amplitude do sinal de entrada.
Neste tipo de filtro devemos:
Determinar a freqüência central fo
O ganho de tensão AO na freqüência central
Determinar a largura de banda BW
Calcular Fator de Qualidade Q
Desenhar a curva de resposta em freqüência (mó-dulo e fase).
1
2
( ) 0,3333 9,54
o
H L
o
o v o
fRC
BW f f
fQ
BW
A A f ou dB
π=
= −
=
= = −
Para determinar a freqüência central com maior
precisão mude o comando do osciloscópio para o modo
XY. Ajuste a freqüência até a elipse se tornar uma reta
com inclinação positiva.
Uma vez determinado a freqüência central, ajuste a
freqüência até o ganho cair 3dB (A=0,2356 ou -
12,54dB) para determinar a frequência de corte supe-
rior fH e a freqüência de corte inferior fL . Utilize o mé-
todo 7/5 DIVISÕES.
CH1:2V/DIV CH2:2V/DIV H:200uSEC/DIV
Vi =12Vpp f =1,061kHz Trig:CH1
Figura 10- LEAD-LAG na freqüência central
Ao =Vo/Vi=
AodB =20Log(Vo/Vi) = dB
fo= Hz
f H (ALTA) = Hz
fL (BAIXA) = Hz
BW = Hz
Q =
CH1:5V/DIV CH2:5V/DIV H:1mSEC/DIV
f = 200Hz Trig:CH1
Figura 11- Resposta à degrau do filtro LEAD-LAG
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4 - FILTRO PASSA-FAIXA (RLC SÉRIE)
Neste Filtro Passa-Faixa quanto menor for o valor da
resistência R maior será o Fator de Qualidade do filtro.
+
E
-
LV+ − CV+ −
RV
+
-
1 2 3
GND/GF
CH1 CH2
GND/Osciloscopio
R
L C
CH1=(E) CH2=(V )
MATH(CH1-CH2)=(V +V )
Figura 12- filtro RLC. L=27mH, C=100nF, R=1kΩ
1
2of
LCπ= =
CriticoL
R = 2C
R= 1KΩ 300Ω 100Ω
Ao =Vo/Vi = pu
AodB = dB
f o = Hz
f H (ALTA) = Hz
fL (BAIXA) = Hz
BW = Hz
Q =
VC/E= pu
VL/E= pu
2 3 5 8 2 3 5 8 2 3 5 81 1 1 1
Figura 13- Curva de Resposta em Frequência do filtro passa-
faixa RLC série.
CH1:5V/DIV CH2:5V/DIV H:1mSEC/DIV
Ω f =100HzR =1k Trig:CH1
Figura 14- Resposta à degrau do filtro passa-faixa RLC-série
R=1kΩ.
Observações:
1) Abaixo da freqüência de ressonância o circuito se
comporta como circuito capacitivo – corrente adi-
antada da tensão E.
2) Acima da freqüência de ressonância o circuito se
comporta como circuito indutivo – corrente atrasa-da da tensão E.
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3) A amplitude da tensão no capacitor e no indutor pode ser maior que a amplitude do sinal da fonte E,
pricipalmente se R<RCrítico. Quanto menor o valor de
R maior será a amplitude de VL e VC.
4) O circuito oscila para resistência menor que a resis-
tência crítica (RCritico=1,0394kΩ para L=27mH e C=100nF)
CH1:5V/DIV CH2:2V/DIV H:1mSEC/DIV
ΩR =100 f=100Hz Trig:CH1
Figura 15- Resposta à degrau do filtro passa-faixa RLC-série
R=100Ω
1. Observe que a tensão no capacitor é “mais suave”, propriedade do filtro passa baixa (atenua altas
freqüências)..
2. Por outro lado a tensão no indutor apresenta des-
continuidades porque o indutor impede variação
brusca de corrente, absorvendo todo transiente de tensão.
3. Observe que a amplitude da onda senoidal “filtra-
da” corresponde a componente harmônica da on-
da quadrada 4/π=1,27.
=
sin+
sin3 +
sin5 +
⋯
4. O capacitor absorve toda componente contínua
do circuito 5. O indutor não apresenta componente contínua de
tensão.
6. Quanto mais seletivo for o filtro passa –faixa, mai-
or é a sensibilidade no ângulo de fase.
5 - FILTROS RLC SÉRIE PASSA-BAIXA E PASSA-ALTA
O circuito RLC série pode funcionar como Filtro Pas-
sa-baixa (40dB/década), Passa-alta (40 dB/década) e
Passa-faixa (Q em função do valor de R) .
Figura 16- Filtros RLC-série: a) passa- faixa, b) passsa-alta e c) passa-baixa
L=27 mH C=100nF RCritico=1,0394kΩ
R fo BW Q
1kΩ 3,062kHz 5,90kHz 0,52
300Ω 3,062kHz 1,77kHz 1,72
100Ω 3,062kHz 0,60kHz 5,09
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R=1kΩ
L=27m
R=300
H
C=1
R=
00
Ω
nF
100Ω
RVRV
CV
LV
EI
CV
LV
EI
- 40dB/Decada
+40dB/Decada
2+0dB/Decada
Figura 17- Filtros RLC-série: a) Curva de resposta em frequencia, b) Resposta a degrau
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VARREDURA (FREQUÊNCIA)
Para uma variação ampla de frequência é neces-
sário escolher cuidadosamente as frequências de
teste. Uma variação de 1Hz, de 1Hz para 2Hz repre-
senta uma variação de 100%, de 10Hz para 11Hz
(10%), de 1000Hz para 1001Hz (0,1%) e para 1MHz (1ppm, quase nada).
Portanto, para evitar amostragens desnecessá-
rias, é necessário fazer uma “varredura logaritmi-
ca” definindo o número de pontos por oitava ou o
número de pontos por década. Para racionalizar o trabalho de laboratório devemos utilizar o menor
número de amostragem possível.
Ajustar a frequência na sequência 1-2-5 para ob-
ter um espaçamento uniforme na escala logarítmi-
ca. A distância, em mm, entre 0,5Hz e 1Hz é a mesma distância entre 1Hz e 2Hz. O mesmo acon-
tece para 0,2Hz e 5Hz em relação à 1Hz. Generali-
zando, a frequência (1/N)Hz é simétrica a freqüên-
cia (N)Hz em relação à 1Hz.
Para quem estiver utilizando osciloscópio analó-gico e gerador de funções sem frequencímetro, po-
demos aproveitar a seqüência 1-2-5 da base de
tempo do osciloscópio ajustando a freqüência de
forma manter constante o produto freqüência x ba-
se de tempo. Observaremos dois ciclos completos na tela do oscilopio. A Tabela 1 indica a escala H
(SEC/DIV) mais adequada para cada freqüência.
GRÁFICOS SEMI-LOG E BI-LOG
O ganho de tensão em dB e a fase devem ser
plotadas no gráfico SemiLog, o gráfico mais utiliza-do.
TABELA 1 – ESCALA H SEC/DIV OU TIME/DIV
Sequencia 1-2-4 Sequencia 1-2-5
2 ciclos 2 a 2,5 ciclos
f Hz SEC/DIV f Hz SEC/DIV ciclos
10 20m 10 20m 2
20 10m 20 10m 2
40 5m 50 5m 2,5
100 2m 100 2m 2
200 1m 200 1m 2
400 0.5m 500 0.5m 2,5
1k 0.2m 1k 0.2m 2
2k 0.1m 2k 0.1m 2
4k 50µ 5k 50µ 2,5
10k 20µ 10k 20µ 2
20k 10µ 20k 10µ 2
40k 5µ 50k 5µ 2,5
100k 2µ 100k 2µ 2
CH2:5V/DI H:0CH1: ,5mS5V/DIV V EC/DIV
500Hz400Hz
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Turma /Bancada Data Nota
Matrícula Nome Assinatura
1) Desenhar a curva de resposta em freqüência (módulo e fase) entre 10Hz e 100kHz
2) Determinar a amplitude (Ho= Av max ) e a fase na frequencia de ressonância (fo).
3) Determinar a frequencia e fase para ganho de tensão Av= -3dB 4) Determinar a frequencia e fase para ganho de tensão Av= -6dB 5) Determinar a taxa de atenuação dB/Decada
E
+
-
Filtro RLC Passa-Baixa
R 1 kΩ
L 27 mH
C 100 nF
fo 2,85 kHz
φo -75o
Ho 5,98 dB
freq Av Av dB fase
Hz Vo/Vi dB grau
10 0 0
20 0 0
50 0 0
100 0 0
200 0 -2
500 +0,2 -5
1k +0,8 -10
2k +3,6 -31
5k -5,5 -153
10k -19,8 -170
20k -32,5 -175
50k -48,5 -178
100k -60,5 -179
3,06 +5,7 -90
4,03 0 -138
4,5k 0,707 -3dB -146o
5,1k 0,5 -6dB -151o
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Turma /Bancada Data Nota
Matrícula Nome Assinatura
1) Desenhar a curva de resposta em freqüência (módulo e fase) entre 10Hz e 100kHz
2) Determinar a amplitude (Ho= Av max ) e a fase na frequencia de ressonância (fo).
3) Determinar a frequencia e fase para ganho de tensão Av= -3dB 4) Determinar a frequencia e fase para ganho de tensão Av= -6dB 5) Determinar a taxa de atenuação dB/Decada
E
+
-
Filtro RLC Passa-Baixa
R kΩ
L mH
C nF
fo kHz
φo Grau
Ho dB
freq Av Av dB fase
Hz Vo/Vi dB grau
0,707 -3dB
0,5 -6dB
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Turma /Bancada Data Nota
Matrícula Nome Assinatura
1) Desenhar a curva de resposta em freqüência (módulo e fase) entre 10Hz e 100kHz
2) Determinar a amplitude (Ho=Av max) e a fase na frequencia de ressonância (fo)
3) Determinar a frequencia inferior e fase para ganho de tensão Av = Ho - 3dB
4) Determinar a frequencia superior e fase para ganho de tensão Av = Ho - 3dB
E
+
-
Filtro RLC Passa-Faixa
R kΩ
L mH
C nF
Ho dB
fo Hz
φo Grau
BW Hz
freq Av Av dB fase
Hz Vo/Vi dB grau
1 0dB
0,707 3dB
0,707 -3dB
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Turma /Bancada Data Nota
Matrícula Nome Assinatura
1) Desenhar a curva de resposta em freqüência (módulo e fase) entre 10Hz e 100kHz
2) Determinar a amplitude (Ho=Av max) e a fase na frequencia de ressonância (fo)
3) Determinar a frequencia inferior e fase para ganho de tensão Av = Ho - 3dB
4) Determinar a frequencia superior e fase para ganho de tensão Av = Ho - 3dB
E
+
-
Filtro Passa-Faixa Lead-Lag
R1 kΩ
R2 kΩ
C1 nF
C2 nF
fo Hz
φo Grau
Ho dB
BW Hz
freq Av Av dB fase
Hz Vo/Vi dB grau
Ho - 3dB
Ho - 3dB
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Turma /Bancada Data Nota
Matrícula Nome Assinatura
1) Desenhar a curva de resposta em freqüência (módulo e fase) entre 10Hz e 100kHz
2) Determinar a frequencia e fase para ganho de tensão Av= -3dB 3) Determinar a frequencia e fase para ganho de tensão Av= -6dB 4) Medir Rise Time TRise e calcular a frequencia de corte fc=0,35/TRise
R1
C1
iVR2
C2
O1V O2V
Filtro Passa-Baixa de segunda ordem
R1 kΩ
R2 kΩ
C1 nF
C2 nF
TRise µs
fc kHz
freq Av Av dB fase
Hz Vo2/Vi dB grau
0,707 -3dB 0,5 -6dB
EEL211 - Laboratório de Circuitos Elétricos Laboratório No 8
UNIFEI/IESTI – Kazuo Nakashima kazuo@unifei.edu.br https://elt09.unifei.edu.br/ 6
Turma /Bancada Data Nota
Matrícula Nome Assinatura
1) Desenhar a curva de resposta em freqüência (módulo e fase) entre 10Hz e 100kHz
2) Determinar a frequencia e fase para ganho de tensão Av= -3dB 3) Determinar a frequencia e fase para ganho de tensão Av= -6dB 4) Medir Fall Time (TFall ) e calcular a frequencia de corte fc=0,35/TFall
R1
C1iV
R2
C2O1V O2V
Filtro Passa-Alta de segunda ordem
R1 kΩ
R2 kΩ
C1 nF
C2 nF
TFall µs
fc kHz
freq Av Av dB fase
Hz Vo2/Vi dB grau
0,707 -3dB 0,5 -6dB
Itajubá, MG, Dezembro de 2019
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