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AA-220 AERODINÂMICA NÃO
ESTACIONÁRIA
Aerofólio fino em regime incompressível não estacionário
(baseado nas Notas de Aula do Prof Donizeti de Andrade)
Prof. Roberto GILEmail: gil@ita.brRamal: 6482
2
1. Gás perfeito (forças intermoleculares desprezadas)
2. Conservação da massa (continuidade)
3. Conservação da quantidade de movimento
4. Conservação da energia (escoamento adiabático)
5. Forças de campo nulas (gravitacionais, em particular)
6. Forças viscosas não significativas
Relembrando Euler
3
A existência do potencial
� Vorticidade e circulação
Velocidade angular de um elemento de fluido retangular
11
Hipóteses
7. Escoamento incompressível ou barotrópico
(isentrópico)
8. Declividades (inclinações) do corpo pequenas
9. Pequenas perturbações aplicadas a todos os
parâmetros do escoamento
10. Mudanças com o tempo não muito bruscas
Escoamento Incompressível,
Não-Estacionário em Perfis
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Formulação do Problema� Bases (hipóteses) físicas
� Perfil imerso em meio fluido infinito
� Perfil acelerado instantaneamente a partir de uma
situação inicial de repouso para uma velocidade U
� Todo campo do escoamento inicialmente em repouso
(devendo assim permanecer, pelo Teorema de Kelvin)
� Circulação Total Nula (
...
= 0 ) para todo t
( RHS se anula quando o fluido é
incompressível ou quando o escoamento é
barotrópico---processo no qual existe uma
relação única pressão-densidade---)
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� Fenômeno de Crescimento da Sustentação
Definição: Linha de Corrente de Estagnação é a linha de corrente que
separa o escoamento local em duas direções na superfície do corpo, i.e.,
partículas que se movem através dela são levadas ao repouso onde a linha
de corrente entre em contato com o perfil.
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Não-Estacionário em Perfis
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Fenômeno de Crescimento da Sustentação (cont.)
Ludwig Prandtl observeu que o escoamento exterior à camada-limite é
essencialmente irrotacional para valores elevados de número de Reynolds
(~10^6) V(x,y) é a velocidade potencial no exterior da camada-limite
� Presença de uma pequena quantidade de viscosidade no fluido:
suas partículas aderem no contato com as do corpo (“non-slip”
condition)
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Fenômeno de Crescimento da Sustentação (cont.)
� Circulação Local
;
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Fenômeno de Crescimento da Sustentação (cont.)
� Sentido da vorticidade e da circulação total em torno do perfil
em um escoamento incompressível no momento exato em que
parte da vorticidade no extradorso é emanado para a esteira
(“STARTING VORTEX”)
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� Pouco tempo depois de o escoamento no sentido anti-horário no extradorso
emanar-se para a esteira, o ponto de estagnação traseiro move-se de volta
para o bordo de fuga, e uma condição “estável” é alcançada
� Circulação Total igual a zero (Teorema de Kelvin)
� “Bound Circulation”: magnitude total das esteiras de vórtices no extradorso
e intradorso do perfil
� Crescimento positivo da “bound circulation” é acompanhada do movimento para trás do ponto de estagnação traseiro
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� Resumo: (1) emanação de vórtice a partir do bordo de fuga; (2) aumento da
“bound circulation”; (3) movimento para trás do ponto de estagnação
traseiro
(1) ... Até que o ponto de estagnação traseiro atinge o bordo de fuga (fluido
não mais tem necessidade de mudar de direção no bordo de fuga)---
velocidades no extradorso e no intradorso iguais no bordo de fuga!---
CONDIÇÃO DE KUTTA
(2) ... Se esse não for o caso, a emanação de vórtices continua, o ponto de
estagnação continua a mover-se em torno do bordo de fuga e todo o
processo se inicia de novo, de modo a forçar o ponto de estagnação traseiro
de volta ao bordo de fuga (quando cessa a emananação de vórtices)---.
Nessa situação a circulação em torno do perfil torna-se constante e,
finalmente, a esteira de vórtice na esteira é transportada para o infinito.
Continuidade do Processo...
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Não-Estacionário em Perfis
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Nomenclatura: γγγγa, vorticidade ligada; γγγγw, vorticidade na esteira
Problema a ser resolvido: determinar a intensidade da vorticidade
ligada tal que a condição de contorno na superfície do perfil e a
condição de Kutta sejam satisfeitos
� Vórtice de Partida no “infinito”, escoamento estabelecido
� Perfil fino (t/c menor ou igual a 12%)
� Folha de vorticidade no extradorso e no intradorso muito
próximas
Caso do Escoamento Estacionário
Modelo: vórtice incompressível que satisfaz a equação do
escoamento potencial
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� Vorticidade ligada distribuída ao longo do eixo x, abrangendo
um comprimento 2b (corda do perfil)
Cálculo da velocidade induzida em um ponto qualquer do campo
de escoamento pelo elemento diferencial de vórtice γγγγ(ξξξξ) dξξξξ :
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� Componentes da velocidade induzida
Modelo Matemático
onde ;
� Cálculo da circulação
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� Componentes da velocidade induzida (cont.)
� Valor Principal de Cauchy (processo limite)
presença de uma singularidade integrável em x = ξξξξ
� Condições: exceto na singularidade, o restante do integrando é
contínuo
� Comum a problemas relativos ao cálculo em superfícies de
sustentação na teoria de perfis finos, onde uma
variável desconhecida, γγγγa, encontra-se no integrando,
enquanto o termo conhecido, w, pode ser calculado
através da condição de contorno na superfície.
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� Inversão de Carleman-Schwarz
Condições para a inversão
1. f (-1) é singular; E
2. f (1) é ZERO ou FINITA, E
3. a função f é contínua entre esses limites.
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� Coeficiente de pressão
� Sustentação
�
onde
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� Perfil fino, simétrico, ângulo de ataque estacionário
Exemplo de
Aplicação
;
;
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� Desenvolvimento muito similar ao feito no caso estacionário
� Diferenças:
1.1.1.1. γγγγa, vorticidade ligada, varia em intensidade como
função do tempo (emissão contínua de vorticidade na
esteira a partir do bordo de fuga, “convected
downstream”).
2. efeito da vorticidade na esteira, γγγγw, a uma distância
finita do perfil deve ser considerada.
Escoamento Não-Estacionário� Considerações iniciais
Escoamento Incompressível,
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Escoamento Não-Estacionário (cont.)
� Ambas as vorticidades, γγγγa e γγγγw, estão distribuídas no plano z = 0
Escoamento Incompressível,
Não-Estacionário em Perfis
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Escoamento Não-Estacionário (cont.)
� Condição de KuttaDescontinuidade de velocidade e pressão = 0
Escoamento Estacionário
Escoamento Não- Estacionário
Vorticidade na esteira = 0+
Vorticidade na esteira + descontinuidade de velocidade podem existir
Descontinuidade de pressão = 0
+
Escoamento Incompressível,
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Escoamento Não-Estacionário (cont.)
� Coeficiente de pressão
onde
�
Escoamento Incompressível,
Não-Estacionário em Perfis
30
� Coeficiente de pressão (cont.)
� Enfoque geral para solução: transformada de Laplace
onde ;
� ,
Escoamento Incompressível,
Não-Estacionário em Perfis
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� Perturbações impostas do tipo harmônico simples
; ;
�
i.e., obtém-se a transformada da vorticidade na esteira
como função da transformada da vorticidade ligada.
Escoamento Incompressível,
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� Equação de transformação para o “normalwash” não-
estacionário
que pode ser re-arranjada como
e a forma final para a vorticidade ligada fica
Escoamento Incompressível,
Não-Estacionário em Perfis
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� Equação de transformação para o “normalwash” não-
estacionário (cont.)
Trabalhando a parcela relativa à vorticidade na esteira,
que pode ser escrita como
Escoamento Incompressível,
Não-Estacionário em Perfis
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onde a função de Hankel pode ser definida em termos das funções de
Bessel de primeiro e segundo tipo,
e a transformada da circulação ligada pode ser expressa como
Parcela relativa à vorticidade na esteira (cont.)
.
Calculando , recupera-se o valor
estacionário
Escoamento Incompressível,
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Escoamento Não-Estacionário (cont.)
“Normalwash” a partir da condição de contorno na superfície do corpo
Relação entre a transformada da vorticidade total ligada e a transformada
do “normalwash” na superfície do perfil
,
e
pode ser colocada na seguinte forma:
,
.
Escoamento Incompressível,
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Determinação da Distribuição de Pressão Não-Estacionária Sobre Perfis
Em termos da transformada de Laplace,
Coeficiente de pressão diferencial, formulado em termos das derivadas
dos potenciais de perturbação para o extradorso e intradorso,
chega-se a
e tendo em conta que
.
.
,
,
,
onde
37
Determinação da Distribuição de Pressão Não-Estacionária Sobre Perfis
que pode ser graficamente representada por
Função de Theodorsen
ou
,
Sustentação circulatória apenas:
onde
é a frequência reduzida
38
Determinação da Distribuição de Pressão Não-Estacionária Sobre Perfis
Interpretação, transformada do coeficiente de pressão diferencial
,
,
onde
1. Recuperando os resultados do estado estacionário:
Tomando o limite quando p 0 na equação da vorticidade ligada,
, tem-se
, e chega-se a
recuperando-se o valor estacionário.
39
Determinação da Distribuição de Pressão Não-Estacionária Sobre Perfis
Interpretação, transformada do coeficiente de pressão diferencial (cont.)
,
,
onde
2. Tomando o limite quando p 0 na função de Theodorsen,
Assim, chega-se a
.
que é a componente quase-estacionária do coeficiente de pressão.
Obs. A dependência em p é mantida no “normalwash”; é a contribuição
da vorticidade ligada ao diferencial de pressão.
40
Determinação da Distribuição de Pressão Não-Estacionária Sobre Perfis
Interpretação, transformada do coeficiente de pressão diferencial (cont.)
,
,
onde
3. Tomando o limite quando U 0
Sendo a transformada do “normalwash” dado por,
,, tomando-se o
mostra-se que
,
, i.e., trata-se do termo de massa
aparente (não-circulatório).
41
Determinação da Distribuição de Pressão Não-Estacionária Sobre Perfis
Interpretação, transformada do coeficiente de pressão diferencial (cont.)
,
onde
4. A terceira parcela contém a contribuição da vorticidade na esteira,
sendo, portanto, uma contribuição circulatória.
42
Classificação da Aerodinâmica, baseada nos movimentos não-estacionários
1. Aerodinâmica Não-Estacionária
Caso em que todos os três termos são incluídos e devem ser utilizados para
frequências características acima de 10 Hz para aeronaves
convencionais operando no regime subsônico.
2. Aerodinâmica Quase-Não Estacionária
Nesse caso, despreza-se o termo de massa aparente e oferece resultados
satisfatórios para frequências entre 2 e 10 Hz.
3. Aerodinâmica Quase-Estacionária
Para frequências abaixo de 2 Hz, apenas a componente quase-estacionária
precisa ser retida; i.e, apenas se considera a taxa de variação temporal
devida à contribuição da vorticidade ligada. É normalmente utilizada em
análises de estabilidade dinâmica.
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Não-Estacionário em Perfis
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4. Aerodinâmica Estacionária
Essa análise é utilizada para o mesmo domínio de frequências que no caso
quase-estacionário. A diferença se encontra no fato de que, no caso
estacionário, apenas a declividade instantânia da superfície do perfil é
levada em consideração no cálculo do ângulo de ataque.Pontos/questões interessantes...
I. Sustentação circulatória deve ser desenvolvida através da emissão
de vorticidade na esteira (e isso acontece toda vez que houver
oscilação da superfície de sustentação na presença de um valor
finito de velocidade).
II. Por que a oscilação constante do perfil não o esgota de vorticidade?
III. Se um perfil não está mudando de atitude e, aparentemente, não
emana vorticidade, por que não existe um acúmulo contínuo de
vorticidade em sua superfície?
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Não-Estacionário em Perfis
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� A Aerodinâmica Não-Estacionária lida com a formalização das
equações associadas com o escoamento perturbado
devido à presença de um corpo sólido em movimento
dentro do mesmo, para o qual a dependência da variável
tempo é o ponto focal.
� A Aerodinâmica Clássica lida com o movimento do corpo
composto predominantemente pelo movimento
estacionário, sobre o qual apenas perturbações
estacionárias são analisadas.
� Para o tratamento de problemas aeroelásticos (como “flutter” e
estabilidade devida à distribuição de cargas aeroelasticas
reais), a análise envolvendo uma ferramenta mais ampla e
abrangente é necessária.
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