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29-11-2003 Circuitos Eléctricos- Jaime Santos 1
ACOPLAMENTO MAGNÉTICO DE CIRCUITOS
Considerações gerais
ü Uma corrente variável no tempo produz um campo magnético variável no tempo.ü Um campo magnético variável induz, por sua vez, uma tensão num qualquer condutor colocado na zona de sua influência. ü A relação entre a corrente variável no tempo e a tensão resultante induzida pelo campo variável, é representada em termos do parâmetro de indutância (L).
dtdiLv =
ü Quando uma corrente variável no tempo percorre um circuito, esta produz um campo magnético variável num outro qualquer circuito existente na sua proximidade, provocando o aparecimento de uma tensão induzida.üEsta tensão, pode ser relacionada com a corrente variável no tempo do primeiro circuito, através de um parâmetro de indutância designado por indutância mútua.
29-11-2003 Circuitos Eléctricos- Jaime Santos 2
ACOPLAMENTO MAGNÉTICO DE CIRCUITOS
Considerações gerais (cont.)
ü A indutância mútua é medida em henrys e é identificada pela letra M.
ü Como o parâmetro L, relaciona uma tensão induzida com uma corrente
variável no tempo num mesmo circuito, este é designado por auto-indutância.
üQuando dois circuitos são abraçados por um campo magnético, estes são
considerados acoplados magneticamente.
üO acoplamento magnético é um fenómeno físico importante, usado em
circuitos de potência e de comunicação.
üPor exemplo, o transformador, é um dispositivo totalmente baseado no
conceito de acoplamento magnético.
29-11-2003 Circuitos Eléctricos- Jaime Santos 3
ACOPLAMENTO MAGNÉTICO DE CIRCUITOS
Conceito de auto-indutância
A tensão induzida num condutor é proporcional ao número de linhas de forças que cortam o condutor.
Lei de Faradaydtd
vλ
=fluxo ligado ou encadeado, em webers-espiras.
+
-
i
v
N espiras
φφ
Ø A intensidade do campo magnético depende da intensidade da corrente
Ø A orientação espacial do campo depende do sentido da corrente
Regra da mão direita
λà produto do campo magnético medido em webers (Wb) pelo nºde espiras N abraçadas pelo campo.
λ = Nφ
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ACOPLAMENTO MAGNÉTICO DE CIRCUITOS
A intensidade de fluxo φ depende
Intensidade da corrente na bobine Número de espiras da bobine
Propriedades magnéticas do espaço ocupado pelo fluxo
φ = P N i
P à permeância do espaço ocupado pelo campo depende
permeabilidade
Dimensões físicas do espaço
ØEspaço não-magnético Relação entre φ e i é linear
ØEspaço magnético Relação entre φ e i é não-linear
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ACOPLAMENTO MAGNÉTICO DE CIRCUITOS
Assumindo um material não-magnético
dtdi
Ldtdi
NNi)(dtd
Ndtd
Ndt
)d(Ndtd?
v 2 ===φ
=φ
== P P
R P
22 N
LouNL == Relutância
Conceito de indutância mútua
Resultado de dois ou mais circuitos se encontrarem abraçadospor um campo magnético comum
+
-
i
v N
φ
φi
1
s11
21
φ11
φ21
21 N1
v2
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+
-
i
v N
φ
φi
1
s11
21
φ11
φ21
21 N1
v2
ACOPLAMENTO MAGNÉTICO DE CIRCUITOS
ü Bobine 1 percorrida por uma corrente variável no tempo i1
ü Bobine 2 em circuito aberto
Fluxo produzido pela corrente i1
Componente φ11
Componente φ21
Abraça as N1 espiras
Abraça as N1 e as N2 espiras
Fluxo total na bobine 1 devido a i1 à φ1 = φ11+ φ21
φ1=P1 N1 i1 φ11= P11 N1i1φ21= P21 N1i1
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ACOPLAMENTO MAGNÉTICO DE CIRCUITOS
ü P1 à Permeância do espaço ocupado pelo fluxo φ1
ü P11 à Permeância do espaço ocupado pelo fluxo φ11
ü P21 à Permeância do espaço ocupado pelo fluxo φ21
P1 = P11 + P21φ1 = φ11+ φ21
Dedução das expressões para v1 e v2 Lei de Faraday
)(dtd
Ndt
)d(Ndtd?
v 21111111
1 φ+φ=φ
==
dtdi
)(N 12111
21 PP +=
dtdi
Ldtdi
N 11
11
21 == P
)iN(dtd
Ndt
)d(Ndt
d?v 11212
212212 P=
φ==
dtdi
NN 12112 P=
Auto-indutânciaIndutância mútua
211221 PNNM =
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211221 PNNM =
ACOPLAMENTO MAGNÉTICO DE CIRCUITOS
Relaciona a tensão induzida na bobine 2 devido à corrente na bobine 1
+
-
i
v N
φ
φi
1
s11
21
φ11
φ21
21 N1
v2 dt
diMv 1
212 =
ü Bobine 2 percorrida por uma corrente variável no tempo i2
ü Bobine 1 em circuito aberto
Alimentação da bobine 2
+
-
i
vN
φ
φ12
2N1
is
2
222 φ22v1
φ12
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ACOPLAMENTO MAGNÉTICO DE CIRCUITOS
+
-
i
vN
φ
φ12
2N1
is
2
222 φ22v1
φ12
φ2 = φ22+ φ12
Fluxo total encadeado pela bobine 2
φ2=P2 N2 i2 φ22= P22 N2i2 φ12= P12 N2i2
Dedução das expressões para v1 e v2 Lei de Faraday
)iN(dtd
Ndt
)d(Ndt
d?v 22121
121121 P=
φ==
dtdi
NN 21221 P=
)(dtd
Ndt
)d(Ndtd?
v 12222222
2 φ+φ=φ
==
dtdi
Ndtdi
)(N 22
22
21222
22 PPP =+=
Auto-indutânciaIndutância mútua 122112 PNNM =
dtdi
L 22=
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122112 PNNM =
Relaciona a tensão induzida na bobine 1 devido à corrente na bobine 2
ACOPLAMENTO MAGNÉTICO DE CIRCUITOS
Para materiais não-magnéticos (comportamento linear), as permeâncias P12 e P21
São iguais:
MMM == 2112
Indutância mútua em função de auto-indutâncias
2222 PNL =
12
11 PNL =21
22
2121 P P NNLL = ou )()(NNLL 12222111
22
2121 P PP P ++=
Para um sistema linear
P12=P21
+
+=
12
22
12
112122121 11
P P
P PP )NN(LL
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ACOPLAMENTO MAGNÉTICO DE CIRCUITOS
+
+=
12
22
12
11221 11
P P
P P
MLL Fazendo
+
+=
12
22
12
112
111
P P
P P
k
2122 LLkM = ou 21LLkM =
Coeficiente de acoplamento
>1
10 ≤≤ k
Polaridades das tensões induzidas mútuas
A polaridade de uma tensão induzida traduz uma reacção contrária à variaçãodo fluxo que cria essa mesma tensão.
29-11-2003 Circuitos Eléctricos- Jaime Santos 12
ACOPLAMENTO MAGNÉTICO DE CIRCUITOS
Polaridades das tensões induzidas mútuas
+
-
i
v N
φ
φi
1
s11
21
φ11
φ21
21 N1
v2
Se i1 for incrementada
+
-Nota: Quando v1 é positiva no terminal
superior da bobine 1 v2 é também positiva
no terminal superior da bobine 2 e vice-versa.
dtdi
Mv 12 =
Se v2 é positiva no terminal inferior da bobine 2
dtdi
Mv 12 −=
+
-
i
vN
φ
φ12
2N1
is
2
222 φ22v1
φ12
dtdi
Mv 21 ±=
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ACOPLAMENTO MAGNÉTICO DE CIRCUITOS
Polaridades das tensões induzidas mútuas
Uso da convenção do pontoColocação de um ponto num terminal De cada bobine.
Informação sobre o sinal das tensões induzidas
Simplificação na representação esquemática das bobines
(a) (b)
29-11-2003 Circuitos Eléctricos- Jaime Santos 14
ACOPLAMENTO MAGNÉTICO DE CIRCUITOS
Polaridades das tensões induzidas mútuas
Procedimento para a determinação dos pontos
φ φ
iD
D
CA
iA DA
B
1. Selecciona-se, arbitrariamente, um terminal de uma bobine e atribui-se-lhe um ponto. Por exemplo, escolha-se o terminal D.
2. Assinala-se uma corrente a entrar no terminalseleccionado em 1. Esta corrente é designadapor iD.
4. Selecciona-se, de forma arbitrária, um terminal da segunda bobine e estabelece-se umacorrente a entrar nesse terminal. O terminal escolhido foi o A e a corrente respectiva foidesignada por iA.
5. Utiliza-se a regra da mão direita para determinar a direcção do fluxo estabelecido por iA dentrodas bobines acopladas. Este fluxo é designado por φA.
6. Comparam-se os sentidos dos dois fluxos, φD e φA. Se os fluxos são aditivos, coloca-se um pontono terminal da segunda bobine onde entra a corrente de teste iA. Se os fluxos se subtraem, i.e., se possuem sentidos contrários, coloca-se um ponto no terminal da segunda bobine onde a correntede teste sai. No exemplo, os fluxos φ D e φA têm sentidos contrários pelo que, é colocado um pontono terminal B.
3. Usa-se a regra da mão direita para determinar a direcção do campo magnético estabelecidopor iD, no interior das bobines acopladas. Este campo é identificado como φD.
PASSOS
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ACOPLAMENTO MAGNÉTICO DE CIRCUITOS
Polaridades das tensões induzidas mútuas
Procedimento experimental para a determinação dos pontos
R
+-V
voltímetrodc
+
-
Bobines não acessíveis
PASSOS
1- Colocação de um ponto no terminal dabobine 1 ligada ao terminal positivo da fonte.
2- Fecha-se o interruptor. Se a deflexão doponteiro do voltímetro for incremental, coloca-se um ponto no terminal da bobine 2ligado ao terminal positivo do voltímetro.
1 2
3- Se a deflexão for decremental, é colocado um ponto no terminal da bobine 2 ligado aoterminal negativo do voltímetro.
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ACOPLAMENTO MAGNÉTICO DE CIRCUITOS
Uso da convenção do ponto na análise de circuitos
EXEMPLO
R
+-V
1
L L1 2 R2
M
s
OBJECTIVO
Escrita das equações do circuito em função das correntes nas bobines.
Método das correntes de malha
PASSOS
1- Definir correntes de malha e respectivo sentido de circulação.2- Estabelecem-se as equações tendo em atenção que em cada bobine existemduas tensões: uma tensão auto-induzida e uma tensão induzida mútua.
Sinal da tensão induzida mútua: i) Se a corrente entra num terminal da bobine referenciada com um ponto, apolaridade da tensão induzida na outra bobine é positiva no terminal com o ponto.
ii) Se a corrente se afasta de um terminal com um ponto, a polaridade da tensãoinduzida na outra bobine é negativa no terminal com o ponto.
29-11-2003 Circuitos Eléctricos- Jaime Santos 17
ACOPLAMENTO MAGNÉTICO DE CIRCUITOS
EXEMPLO (CONT.)
Uso da convenção do ponto na análise de circuitos
R
+-V
1
L L1 2 R2
M
s i1 i2
021111 =−++−
dtdi
Mdtdi
LiRvs
012222 =−+
dtdi
Mdtdi
LiR
L
L
1
2
M+-
+
+
-
-
+
Mdidt
2 di
dt1L1
-
Mdi
dt
di
dtL2 2 1
i i21
+- R2
vs
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ACOPLAMENTO MAGNÉTICO DE CIRCUITOS
EXEMPLO
Uso da convenção do ponto na análise de circuitos
+
-
i
v
i
v
i
v1
1 2
2
33
6H
8H
10H
2H
4H3H
-
+
-
+
-
23v
+
-
21v
+
-
+
-
32v31v
+
-+
-
13v 12v
dtdi
dtdi
dtdi
v 3211 426 −+=
dtdi
dtdi
dtdi
v 3212 382 +−−=
dtdi
dtdi
dtdi
v 3213 1034 −+=
+
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ACOPLAMENTO MAGNÉTICO DE CIRCUITOS
Energia armazenada em bobines acopladas
L L1 2
M
-
+
-
+
i i21
v1 v
2
Considere-se i1 e i2 inicialmente nulas
Energia inicial armazenada nas bobines igual a zero
Procedimento
1- Incremente-se a corrente i1 desde o valor zero até um valor constante I1.
Cálculo da potência total de entrada no par de bobines
11
1111 idtdiLivp ==
i2 =0
dtdw
p = ∫ ∫=1 1
0 0111
W I
diiLdw2
111 21
ILW =
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ACOPLAMENTO MAGNÉTICO DE CIRCUITOS
Energia armazenada em bobines acopladas
Procedimento (Cont.)
2- Mantêm-se i1= I1 e incrementa-se i2 a partir de zero até I2.
Nota: Ao longo da variação de i2 , a tensão induzida na bobine 2 devida a i1 é zeroporque I1 é constante ao passo que, a tensão induzida na bobine 1 devida a i2 é:
dtdi
Mv 21212 =
Potência de entrada no par de bobines
222
1212 ivdtdi
MIp += 2222112
0222
021212 2
122
ILIIMdiiLdiMIWII
+=+= ∫∫
A energia total armazenada, quando I1 e I2 assumem valores constantes é,
2112222
211211 2
121
IIMILILWWWtotal ++=+=
L L1 2
M
-
+
-
+
i i21
v1 v
2
= I1
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ACOPLAMENTO MAGNÉTICO DE CIRCUITOS
Energia armazenada em bobines acopladas
Procedimento (Cont.)
3- Se se considerar primeiro i2 a variar de 0 a I2 e depois i1 a variar de 0 a I1,vem:
2121222
2112 2
121
IIMILILWtotal ++=
2112222
2111 2
121
IIMILILWtotal ++=
Única diferença entre as expressões
Num circuito não-magnético (linear) M12 =M21
Representação da energia total armazenada em função das grandezas instantâneas
21222
211 2
121
iMiiLiL)t(w ++= Correntes a entrarem pelos terminais referenciados por um ponto.
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ACOPLAMENTO MAGNÉTICO DE CIRCUITOS
Energia armazenada em bobines acopladas
Representação da energia total armazenada em função das grandezas instantâneas
Nota: se uma das correntes sai por um terminal contendo um ponto, o sinal do termo M i1i2 é negativo. Assim, em geral:
21222
211 2
121
iMiiLiL)t(w ±+=
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