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MATRIZES
Prof. Fabio L . de Oliveira 1
1. MATRIZES
1.1. Introdução Chamamos de matriz uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas.
A=
−22
11
−=
233
112
221
B
Representamos uma matriz de m linhas e n colunas por:
2. TIPOS DE MATRIZES 2.1. Matriz Quadrada
È aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas (m = n)
−=
233
112
221
B
Chama-se diagonal principal de uma matriz quadrada de ordem n o conjunto dos elementos que têm os dois índices iguais, isto é: {aij/i =j} = {a 11, a22, a33, ..., anm} Chama-se diagonal secundária de uma matriz quadrada de ordem n o conjunto dos elementos que têm soma dos índices igual a n + 1,isto é: {aij/ i + j = n + 1} = {a1n, a2n-1, a3,n-2, ..., n} Exemplos:
1. A matriz M =
−−−
321
546
798
é quadrada de ordem 3. Sua diagonal principal é {8, 4,
3} e sua diagonal secundária é {-7, 4, -1}
2. A matriz M =
−−−−−−
6543
2198
7654
3210
é quadrada de ordem 4, sua diagonal principal é
{0,5,-1,-6} e sua secundária é {3,6,9,-3} 2.2. Matriz Nula
É aquela em que aij = 0, para todo i e j. (Também indicada por Φ) Ex.:
MATRIZES
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=
00
00A
2.3. Matriz Coluna
E aquela que possui uma única coluna (n=1)
Ex.:
− 3
4
1
e
y
x
2.4. Matriz Linha
È aquela onde m = 1. [ ]431 −
2.5. Matriz Diagonal É uma matriz quadrada (m=n) onde aij =0, para i ≠j, isto é, os elementos que não estão na diagonal são nulos.
A =
100
050
001
2.6. Matriz Identidade É aquela em que aij = 1 para i=j e aij = 0, para i≠j.
I3 =
100
010
001
I2=
10
01
2.7. Matriz Triangular Superior É uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, isto é, m = n e aij = 0, para i >j.
44
3433
242322
14131211
000
00
0
a
aa
aaa
aaaa
Exemplos:
A=
−−
300
410
012
B =
10
ba
2.8. Matriz Triangular Inferior
É aquela em que m = n e aij = 0 para i < j.
MATRIZES
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44434241
333231
2221
11
0
00
000
aaaa
aaa
aa
a
Exemplos:
A =
−421
011
002
B =
cb
a 0
2.9. Matriz Transposta
Se A é uma matriz Amxn = (aij), então sua transposta é dada por A’ = A’=At = (aji)
=
102
321A , a transposta é A’ = At =
13
02
21
PROPRIEDADES: I) A’’ = A, isto é, a transposta da transposta de uma matriz é ela mesma. II) (A + B)’ = A’ + B’, a transposta de uma soma é igual à soma das transpostas. III) (kA)’ = kA, onde k é qualquer escalar. IV) (AB)t = BtAt (A transposta de um produto de um número qualquer de matrizes é igual ao
produto de suas transpostas em ordem inversa.) V) Uma matriz é simétrica se, e somente ela é igual à sua transposta, isto é, se, e se somente
se A = A’. (Observe a matriz A abaixo)
2.10. Matriz Simétrica È aquela onde m = n e aij = aji.
−
−
501
023
134
Se A e B são matrizes simétricas de mesmo tamanho e se k é um escalar qualquer, então:
I) At é simétrica II) kA é simétrica III) A + B e A – B são simétricas
2.11. Matriz anti-simétrica Chama-se matriz anti-simétrica toda matriz quadrada A, de ordem n, tal que At = - A Exemplos:
− 0
0
a
a,
−−−
0
0
0
cb
ca
ba
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2.12. Matriz Escalar A matriz diagonal que tem os elementos aij iguais entre si para i = j é uma matriz escalar. Exemplo:
=500
050
005
A
3. TRAÇO DE UMA MATRIZ Se A é uma matriz quadrada, então o traço de A, denotado por tr(A), é definido pela soma das entradas (elementos) na diagonal principal de A. O traço não é definido se A não é uma matriz quadrada. Exemplos:
A =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
B =
−−
−−
0124
3721
4853
0721
tr(A) = a11 + a22 + a33 tr(B) = -1 + 5 + 7 + 0 = 11
4. OPREÇÕES COM MATRIZES
4.1.Adição Exemplo:
−=
++−+−+
=
−+
−54
42
2322
)3(111
22
31
32
11
Propriedades da Adição I) A + B = B + A (Comutativa) II) (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (Associativa) III) A + 0 = 0 + A = A (Elemento Neutro) IV) A + (-A) = 0 (oposta)
Onde 0 é matriz mula mxn. Também usa-se Φ para indicar a matriz nula.(Φ denomina-se Phi)
Dadas duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn,, chama-se diferença A – B, a matriz soma de A com a oposta de B: A + (-B)
4.2.Multiplicação por escalar
Dada uma matriz A= (aij) e um número real k, então definimos uma nova matriz.
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k.A = [kaij]mxn
Exemplo:
−−−
=
−−
62
204
31
1022
PROPRIEDADES: Dadas duas matrizes A e B de mesma ordem mxn e números k, k1 e k2, temos:
I) k(A + B) = kA + kB II) (k1 + k2)A = k1A + k2A III) 0.A = 0, isto é, se multiplicarmos o número zero por qualquer matriz A, teremos a
matriz nula. IV) k1(k2A) = (k1k2)A
4.3.Multiplicação de Matrizes
Sejam A = (aij)mxn e B = (brs)nxp, definimos AB = (Cuv)mxp Observações:
I) Só podemos efetuar o produto de duas matrizes Amxn e Blxp se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda, isto é, n = 1. Além disso, a matriz-resultado C = AB será de ordem mxp;
II) O elemento cij (i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz-produto) é obtido, multiplicando os elementos da i-ésima linha da primeira matriz pelos elementos correspondentes da e j-ésima coluna da segunda matriz, e somando estes produtos.
PROPRIEDADES:
I) Em geral AB ≠ BA (podendo mesmo um dos membros estar e o outro não).
Exemplo:
Sejam A =
−−−
−
012
123
111
e B =
321
642
321
Então AB =
000
000
000
e BA =
−−−−−−
1611
21222
1611
Note que AB = 0, sem que A = 0 ou B = 0
II) AI = IA = A III) A(B + C) = AB + AC (distributiva à esquerda) IV) (A + B)C = AC + BC (distributiva à direita) V) (AB)C = A(BC) (Associativa) VI) 0.A = A.0 = 0 VII) (AB)t = BtAt
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Exemplo: 1)
2)
−
40
11.
35
24
12
=
OBS.: Sejam as matrizes A1x4 e B4x2: [ ]5234=A e
=
43
75
24
16
B , existe o produto C = AB
pois:
A1x4 e B4x2 O produto será C1,2 pois:
A1x4 e B4x2
C1,2 = [ ]4461
EXERCÍCIOS BÁSICOS SOBRE OPERÇÕES COM MATRIZES
1. Considere as matrizes:
−=11
21
03
A
−=
20
14B
=
513
241C
−=423
101
251
D
−=314
211
316
E ,
Calcule quando possível:
2. Usando as matrizes do exercício 1, calcule quando possível:
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3. Usando as matrizes o exercício 1,calcule quando possível:
RESPOSTAS: 1.
a)
−737
312
567
b)
−−−−−
111
110
145
c)
−55
105
015
d)
−−−−−−
35721
14287
e) não definida
f)
−−
4010
642
8622
g)
−−−−−−−−
301233
1569
242139
h)
00
00
00
i) 5 j) -25 k) 168 l) não definida
2. a)
753
427 b)
−−−
−−
111
114
105
c)
−−−
−−
111
114
105
d) não definida
e)
−
4
9
4
3
04
93
2
4
1
f)
−01
10 g)
−−−−
610
4213
119
h)
−−−
−
641
121
0139
3. a)
−−
14
54
312
b) não definida c)
−637836
21312
7510842
d)
−13177
171111
9453
e)
−13177
171111
9453
f)
3517
1721 g)
−8112
1120 h)
−16824
142048
9612
i) 61 j) 35 k) 28
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EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
1. Sejam
−=
112
321A
−=
103
102B
−=
4
2
1
C ( )12 −=D . Encontre:
a) A + B b) AC c) BC d) CD
e) DA f) DB g) -A h)-D
2. Qual é o valor de c23 na multiplicação das matrizes abaixo?
=
−−−
−−
−−
44434241
34333231
24232221
14131211
2252
4515
21
44
25
21
cccc
cccc
cccc
cccc
3. Considere a multiplicação de matrizes 3x3 abaixo, em que os pontos de interrogação representam coeficientes desconhecidos:
=
−−
−−
−−−
333231
232221
131211
784
?5?
?95
?4?
27?
489
ccc
ccc
ccc
Só possível determinar um coeficiente da matriz produto. Qual é ele e qual é o seu valor? 4. Suponha que A, B, C, D e E sejam matrizes dos seguintes tamanhos:
A4x5 B4X5 C5X2 D4X2 E5X4 Determine quais das seguintes expressões matriciais estão definidas. Para as que estão definidas, dê o tamanho da matriz resultante.
a) BA b) AC + D c) AE + B d) AB + B
e) E(A + B) f) E(AC) g) ETA h) (AT + E)D
5. Resolva as seguintes equações:
a)
−=
−
95
75
22
13
dc
ba
b)
−=
− 95
75
22
31
dc
ba
6.Ache x, y, z, w tais que:
=
10
01
43
32
wz
yx
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7. Mostre que não existem x, y, z, w tais que:
=
10
01
00
01
wz
yx
8. . Existem x, y, z, w tais que
=
10
01
11
11
wz
yx?
9. Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e colonial.A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela tabela:
1358256
21912187
17716205
int
Colonial
eoMediterrân
Moderno
TijoloaTVidroMadeiraFerro
a) Se ele pretende construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial, respectivamente, quantas unidades de cada material serão empregados.
b) Suponha que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, respectivamente 15, 8, 5, 1 e 10. Qual é o preço unitário de cada tipo de casa?
c) Qual é o custo total do material empregado? 10. Se A é uma matriz simétrica, então A – A’ = ________ 11. Se A é uma matriz triangular superior, então A’ é ______ 12. Verdadeiro ou falso? a) ( ) (-A)’ = - (A’) b) ( ) (A + B)’ = B’ + A’ c) ( ) Se AB = 0, então A = 0 ou B = 0 d) ( ) (k1A)(k2B) = (k1k2)AB e) ( ) (-A)(-B) = -(AB) f) ( ) Se A.B = 0, então B.A=0 13. João pesa 81 quilos. Ele quer perder peso por meio de um programa de dieta e exercícios. Após consultar a tabela 1, ele monta o programa de exercícios na tabela 2. Quantas calorias ele vai queimar por dia se seguir esse programa? TABELA 1: Calorias Queimadas por Hora ATIVIDADE ESPORTIVA
Peso Andar a 3 Km/h
Correr a 9 Km/h
Andar de bicicleta a 9 Km/h
Jogar tênis(moderado)
69 213 651 304 420 73 225 688 321 441 77 237 726 338 468 81 249 764 356 492
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TABELA 2: Horas por Dia para Cada Atividade PROGRAMA DE EXERCÍCIOS Andar a
3 Km/h Correr a 9 Km/h
Andar de bicicleta a 9 Km/h
Jogar tênis(moderado)
Segunda-feira 1 0 1 0 Terça-feira 0 0 0 2 Quarta-feira 0,4 0,5 0 0 Quinta-feira 0 0 0,5 2 Sexta-feira 0,4 0,5 0 0 14. Uma empresa fabrica três produtos. Suas despesas de produção estão divididas em três categorias. Em cada uma dessas categorias, faz-se uma estimativa do custo de produção de um único exemplar de cada produto. Faz-se, também, uma estimativa da quantidade de cada produto a ser fabricado por trimestre. Essas estimativas são dadas nas Tabelas 3 e 4. A empresa gostaria de apresentar a seus acionistas uma única tabela mostrando o custo total por trimestre de cada uma das três categorias: matéria-prima, pessoal e despesas gerais. Monte esta tabela. TABELA 3: Custo de Produção por Item
GASTOS PRODUTO A B C
Matéria-prima 0,10 0,30 0,15 Pessoal 0,30 0,40 0,25
Despesas gerais 0,10 0,20 0,15 TABELA 4: Quantidade Produzida por Trimestre ESTAÇÃO VERÃO OUTONO INVERNO PRIMAVERA
A 4000 4500 4500 4000 B 2000 2600 2400 2200 C 5800 6200 6000 6000
15. Um projeto de pesquisa alimentar conta com a participação de adultos e crianças de ambos os sexos. A composição dos participantes no projeto é dada pela matriz:
O número de gramas diários de proteínas, gordura e carboidratos consumido por cada criança e cada adulto é dado pela matriz:
a) Quantos gramas de proteína são consumidos diariamente pelos homens que participam do
projeto?
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b) Quantos gramas de gordura são consumidos diariamente pelas mulheres que participam do projeto?
16. Um fabricante faz dois tipos de produtos, P e Q, em cada uma de duas fábricas X e Y. Ao fazer esses produtos, são produzidos dióxido de enxofre, óxido nítrico e partículas de outros materiais poluentes. As quantidades de poluentes produzidas são dadas (em quilos) pela matriz:
Leis federais e estaduais exigem a remoção desse poluentes. O custo diário para remover cada quilo de poluente é dado (em dólares) pela matriz:
Qual o significado da matriz AB? Respostas:
1. a)
−015
421 b)
− 4
15 c)
1
6 d)
−−
−
48
24
12
e) ( )730
f) ( )107− g)
−−−−−112
321 g) ( )12−
2) 21 3) c12 4)
a) não definida b) 4x2 c) não definida d) não definida e) 5x5 f) 5x2 g) não definida h) 5x2
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5) a)
41
23 b)
−
8
23
8
58
13
8
25
6.
−−
23
34
9. a) [ ]388158260526146
b)
465
528
492
c) [ ]11736 13.
14.
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