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URI - DECC - Ciência da Computação
Contextualização
• As ABP estudadas têm uma séria desvantagem que pode afetar o tempo necessário para recuperar um item armazenado.
• A desvantagem é que o desempenho da ABP depende da
ordem em que os elementos são inseridos.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 4, 6, 2, 5, 1, 7, 31
2
3
4
5
6
7
2
4
6
1 3 5 7
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Árvores AVL
• Nome com origem em seus inventores:– Georgii Adelson-Velsky e Yevgeniy Landis;– Publicaram um documento chamado: "Algoritmos para
organização da informação“, em 1962;
• Uma árvore binária de pesquisa T é denominada AVL se:– Para todos nós de T, as alturas de suas duas sub-
árvores diferem no máximo de uma unidade.
• Para cada inserção ou exclusão no pior caso é de O(log n).
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Como reconhecer uma árvore desbalanceada?
• Como saber se a árvore está desbalanceada ?– Verificando se existe algum nodo “desregulado”.
• Como saber se um nodo está desregulado ? – Subtraindo-se as alturas das suas sub-árvores. – Fator de Balanceamento
• Por questões de eficiência, estas diferenças são pré-calculadas e armazenadas nos nós correspondentes, sendo atualizadas durante as operações.
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Fator de Balanceamento
• Fator de Balanceamento de um nó:
– dado pelo seu peso em relação a sua sub-árvore fb = altura árvore direita – altura árvore esquerda
– O fator de balanceamento de uma folha é sempre 0
– Um nó com fator balanceado pode conter 1, 0, ou -1 em seu fator;– Fatbal = -1, quando a sub-árvore da esquerda é um nível mais alto que a direita.– Fatbal = 0, quando as duas sub-árvores tem a mesma altura.– Fatbal = 1, quando a sub-árvore da direita é um nível mais alto que a esquerda.
– Um nó com fator de balanceamento -2 ou 2 é considerada um árvore não-AVL
• requer um balanceamento por rotação ou dupla-rotação.
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Propriedade da AVL
• Procurar manter todas as folhas mais ou menos na mesma altura de forma a respeitar o FB < 2
• Ou seja, Para todo nó
| altura(dir) - altura(esq) | < 2
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Relembrando as definições...
• Altura de uma árvore (também denominada profundidade) é a distância entre x e o seu descendente mais afastado. Mais precisamente, a altura de x é o número de passos do mais longo caminho que leva de x até uma folha somando um.– Por definição a altura de uma árvore vazia é -1
E
/ \
D I
/ / \
B G K
/ \ / \ /
A C F H J
Altura dessa árvore é 3
Altura de K é 1
Altura de J é 0
Altura de I é 2
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Exemplos de cálculos de FB
1
2
3
4
5
6
7
+6
+5
+4
+3
+2
+1
0
Inserção: 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7
2
4
6
1 3 5 700
0
0 0
00
Inserção: 4, 2, 3, 6, 5, 1 e 7
4
1 6
3
2
5 7
-1
0
00
+2
-1
0
Inserção: 4, 1, 3, 6, 5, 2 e 7
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Operação: Inserção
2
4
6
1 3 5 7
0 0
0
0 0
00
Op. de balanceamento
4
1 6
3
2
5 7
0
00
+2
-1
0
Inserção: 4, 6, 1, 7, 5, 3 e 2. -1
00
1
0
1
2
3
AlturaFb
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Operação: Remoção
4
6
7
+2
0
+1Remover nó 2
4
6
70
0
0
Op. de balanceamento
4
2 6
7
+1
0
+10
Inserção: 4, 6, 2 e 7.
AlturaFb
0
10
2
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Operações
– Adição e exclusão requerem que a árvore esteja balanceada, se a árvore não estiver balanceada é necessário seu balanceamento
• através da rotação ou dupla-rotação.
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Rotação
• A operação básica em uma árvore AVL geralmente envolve os mesmos algoritmos de uma árvore de busca binária desbalanceada.
• A rotação na árvore AVL ocorre devido ao seu desbalanceamento– uma rotação simples ocorre quando um nó está
desbalanceado e seu filho estiver no mesmo sentido da inclinação.
– Uma rotação-dupla ocorre quando um nó estiver desbalanceado e seu filho estiver inclinado no sentido inverso ao pai
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Tipos de Rotações
• Rotação Simples:– Rotação a Esquerda– Rotação a Direita
• Rotação Dupla:– Rotação a Esquerda– Rotação a Direita
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a) Para identificar quando uma rotação é simples ou dupla deve-se observar os sinais dos FBs do nodo desbalanceado e do filho que gerou o desbalanceamento:• Sinal for igual, a rotação é simples• Sinal for diferente a rotação é dupla
b) Se Fb for positivo (+) a rotação para à esquerda
c) Se Fb for negativa (-) a rotação para à direita
Dicas
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Rotação Simples à Direita
Inserção à esquerda de árvore desbalanceada à esquerda (bal = -1)
Promover o elemento do meio através de um giro no sentido horário.
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Rotação Simples à Esquerda
Inserção à direita de árvore desbalanceada à direita (bal = +1)
Promover o elemento do meio através de um giro no sentido anti-horário.
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Exemplo de Rotação Simples
• Suponha que nós queiramos inserir o nó 3 na árvore inicial abaixo
3
08
4 10
2 6
0
0 0
-18
4 10
2 6
3
-1 0
+1 0
-2
0
Rotação a direita (nó 8)
0
0
0 0
4
2 8
1063
+1 0
A inserção do nó 3 produziu um desbalanço no nó 8 verificado pelo FB = -2 neste nó. Neste caso, como os sinais dos FB são os mesmos (nó 8 com FB = -2 e nó 4 com FB = -1) significa que precisamos fazer apenas uma ROTAÇÃO SIMPLES.
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- Inserção do elemento 20
(rotação simples à direita + rotação simples à esquerda)
Rotação Dupla à Esquerda
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- Inserção do elemento 20
Rotação Dupla à Direita
(rotação simples à esquerda + rotação simples à direita)
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Exemplo de Rotação Dupla (1/2)
• Suponha que queiramos inserir o nó 5 na árvore abaixo
08
4 10
2 6
0
0 0
-1
0
8
4 10
2 6
50
0
-1
+1
-2
(a)8
6 10
4
52
0
0
0
0-2
-2
Observe que o nó 8 tem FB = -2 e tem um filho com FB = +1 (sinais opostos). Neste caso, o balanceamento é alcançado com duas rotações. Primeiro: (a) rotação simples sobre o nó 4 (com FB = +1) para a esquerda.
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Exemplo de Rotação Dupla (2/2)
8
6 10
4
52
0
0
0
0-2
-2
Logo após da rotação a esquerda: (b) rotaciona-se o nó 8 (FB = -2) na direção oposta (direita neste caso).
(b)
6
4 8
2 105
0
0
0
00
+1
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Caso I: Rotação Simples
• Suponha que inserimos os números 50, 40 e 30 em uma árvore. Obteremos então:
• A inserção novamente produziu um desbalanceamento.
• Neste caso, como os sinais dos FB são os mesmos, significa que precisamos fazer apenas uma ROTAÇÃO SIMPLES à direita no nodo com FB -2.
• No caso simétrico (nodo com FB 2) faríamos uma rotação simples à esquerda.
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Caso I: Rotação Simples
• Após a rotação simples teremos:
• A árvore está balanceada dentro das propriedades de AVL.
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Exemplo:
• Considerando a árvore abaixo:
• A árvore está balanceada, como podemos observar pelos Fb de cada nodo.
• São dois os possíveis casos de desbalancemento
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Caso II: Rotação Dupla
• Ao inserir o número 5 na árvore teremos a seguinte árvore:
• O nodo 8 fica com o FB -2 e tem um filho com FB +1. Neste caso para manter o balanceamento devemos aplicar duas rotações, também denominada ROTAÇÃO DUPLA.
• Primeiro rotaciona-se o nodo com FB 1 para a esquerda.
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Caso II: Rotação Dupla
• Logo rotaciona-se o nodo que possuía FB -2 na direção oposta, nesse caso a direita.
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Caso II: Rotação Dupla
• Os FB dos nodos voltaram a ficar dentro do esperado das árvores AVL.
• O caso simétrico ao explicado acima acontece com os sinais de FB trocados, ou seja, um nodo com FB +2 com um filho com FB -1. Também utilizariamos uma rotação dupla, mas nos sentidos contrários, ou seja, o nodo com FB -1 seria rotacionado para a direita e o nodo com FB +2 seria rotacionado para a esquerda.
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• A descrição do algoritmo em pseudo-código para a construção de uma árvore AVL seria:
– Inserir o novo nodo normalmente – Iniciando com o nodo pai do nodo recém-inserido, testar se a propriedade
AVL é violada no novo nodo. Temos aqui 2 possibilidades:– A condição AVL foi violada
• Execute as operações de rotação conforme for o caso (Caso I ou Caso II).
• Volte ao passo de Inserção.– A condição AVL não foi violada.– Se o nodo recém-testado não tem pai, ou seja, é o nodo raiz da árvore,
volte para inserir novo nodo.
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