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Análise e Métodos Numéricos em EDPs comMúltiplas Escalas

Parte II: Modelagem em domínios com fronteiras rugosas

Alexandre L. Madureirawww.lncc.br/∼alm

Laboratório Nacional de Computação Científica – LNCCPetrópolis - RJ

ENAMA IIJoão Pessoa, 6/11/2008

Alexandre L. Madureira (LNCC) A iluminação pela flor de lotus ENAMA 2008 1 / 34

Plano da palestra

1 Descrição do Problema e Aplicações

2 Caso Especial: rugosidades periódicas

3 Elemento Finito Multiescalas

4 Conclusões gerais

Alexandre L. Madureira (LNCC) A iluminação pela flor de lotus ENAMA 2008 2 / 34

Plano da palestra

1 Descrição do Problema e AplicaçõesO ProblemaAplicações

2 Caso Especial: rugosidades periódicas

3 Elemento Finito Multiescalas

4 Conclusões gerais

Alexandre L. Madureira (LNCC) A iluminação pela flor de lotus ENAMA 2008 3 / 34

Considere o domínio Ωǫ:

e o problema

−∆ uǫ = f em Ωǫ,

uǫ = 0 sobre ∂Ωǫ,

Alexandre L. Madureira (LNCC) A iluminação pela flor de lotus ENAMA 2008 4 / 34

Considere o domínio Ωǫ:

e o problema

−∆ uǫ = f em Ωǫ,

uǫ = 0 sobre ∂Ωǫ,

Alexandre L. Madureira (LNCC) A iluminação pela flor de lotus ENAMA 2008 4 / 34

Por que este problema é difícil?

Geometria complicada torna a discretização difícil e cara.

Considere o seguinte domínio com fronteira interna rugosa:ROUGH DOMAIN

Alexandre L. Madureira (LNCC) A iluminação pela flor de lotus ENAMA 2008 5 / 34

Por que este problema é difícil?

Geometria complicada torna a discretização difícil e cara.

Considere o seguinte domínio com fronteira interna rugosa:ROUGH DOMAIN

Alexandre L. Madureira (LNCC) A iluminação pela flor de lotus ENAMA 2008 5 / 34

Malha de elementos finitos:

Alexandre L. Madureira (LNCC) A iluminação pela flor de lotus ENAMA 2008 6 / 34

Zoom da malha:

Alexandre L. Madureira (LNCC) A iluminação pela flor de lotus ENAMA 2008 7 / 34

E quanto a aplicações?

Poder do Lotus: superfícies autolimpantes

roupas de natação “pele de tubarão”

bolas de golfe

filmes sobre fuselagem de aviões para reduzir atrito

reflexão de ondas eletromagnéticas por partículas metálicasdispostas sobre uma parede

fontes pontuais de poluição dispostas sobre uma linha ousuperfície

Alexandre L. Madureira (LNCC) A iluminação pela flor de lotus ENAMA 2008 8 / 34

Alexandre L. Madureira (LNCC) A iluminação pela flor de lotus ENAMA 2008 9 / 34

A designed rough surface — the similarity to a Fakir carpet is apparentFrom Self-cleaning surfaces — virtual realities, Ralf Blossey, Nature Materials 2, 301 - 306 (2003)

Alexandre L. Madureira (LNCC) A iluminação pela flor de lotus ENAMA 2008 10 / 34

From Big Lab on a Tiny Chip, Charles Q. Choi, Scientific American, September 2007, 74 - 77

Alexandre L. Madureira (LNCC) A iluminação pela flor de lotus ENAMA 2008 11 / 34

From Big Lab on a Tiny Chip, Charles Q. Choi, Scientific American, September 2007, 74 - 77

Alexandre L. Madureira (LNCC) A iluminação pela flor de lotus ENAMA 2008 12 / 34

Alexandre L. Madureira (LNCC) A iluminação pela flor de lotus ENAMA 2008 13 / 34

Alexandre L. Madureira (LNCC) A iluminação pela flor de lotus ENAMA 2008 14 / 34

Plano da palestra

1 Descrição do Problema e Aplicações

2 Caso Especial: rugosidades periódicasDescrição

3 Elemento Finito Multiescalas

4 Conclusões gerais

Alexandre L. Madureira (LNCC) A iluminação pela flor de lotus ENAMA 2008 15 / 34

Considere o caso de rugosidades periódicas, como abaixo:

e o mesmo problema de antes:

−∆ uǫ = f em Ωǫ,

uǫ = 0 sobre ∂Ωǫ.

Alexandre L. Madureira (LNCC) A iluminação pela flor de lotus ENAMA 2008 16 / 34

Considere a seguinte decomposição do domínio Ωǫ:

Ωs = (0, 1) × (0, 1)

ΓΩǫ

r doǫ

A solução se comporta assintoticamente como

uǫ(x) ∼ [y − ǫw(ǫ−1x , ǫ−1y) + ǫ(d0 − Ccela)]∂u0

∂y

∣

∣

∣

∣

Γ

(x) + . . . em Ωǫr

uǫ(x) ∼ u0(x) − ǫw(ǫ−1x , ǫ−1y)∂u0

∂y

∣

∣

∣

∣

Γ

(x) + ǫu1(x) + . . . em Ωs

−→ O erro de truncamento é como o que se espera!

Alexandre L. Madureira (LNCC) A iluminação pela flor de lotus ENAMA 2008 17 / 34

Definimos

−∆ u0 = f em Ωs, u0 = 0 sobre ∂Ωs.

Os termos de correção w(x , y), e Ccela, são determinados na faixasemi-infinita e independente de ǫ

x = ǫ−1x

y = ǫ−1y

∆ w = 0 na faixaw = y − Ccela na parte de baixo da faixa

w periódica, and decai a zero (exponencialmente) com y

Alexandre L. Madureira (LNCC) A iluminação pela flor de lotus ENAMA 2008 18 / 34

Lei de paredeFinalmente, seja

−∆ u1 = 0 em Ωs,

u1 = (d0 − Ccela)∂u0

∂ysobre Γ, u1 = 0 sobre ∂Ωs\Γ.

Supondo uǫ ≈ u0 + ǫu1 em Ωs, definimos a aproximação uǫ por

−∆ uǫ = f em Ωs,

uǫ + ǫ(−d0 + Ccela)∂uǫ

∂n= 0 sobre Γ, uǫ = 0 sobre ∂Ωs\Γ.

Erro de modelagem:

‖uǫ − uǫ‖H1(Ωs) ≤ cǫ1/2.

O modelo não captura camadas limites =⇒ baixa convergência!Alexandre L. Madureira (LNCC) A iluminação pela flor de lotus ENAMA 2008 19 / 34

Lei de paredeFinalmente, seja

−∆ u1 = 0 em Ωs,

u1 = (d0 − Ccela)∂u0

∂ysobre Γ, u1 = 0 sobre ∂Ωs\Γ.

Supondo uǫ ≈ u0 + ǫu1 em Ωs, definimos a aproximação uǫ por

−∆ uǫ = f em Ωs,

uǫ + ǫ(−d0 + Ccela)∂uǫ

∂n= 0 sobre Γ, uǫ = 0 sobre ∂Ωs\Γ.

Erro de modelagem:

‖uǫ − uǫ‖H1(Ωs) ≤ cǫ1/2.

O modelo não captura camadas limites =⇒ baixa convergência!Alexandre L. Madureira (LNCC) A iluminação pela flor de lotus ENAMA 2008 19 / 34

Lei de paredeFinalmente, seja

−∆ u1 = 0 em Ωs,

u1 = (d0 − Ccela)∂u0

∂ysobre Γ, u1 = 0 sobre ∂Ωs\Γ.

Supondo uǫ ≈ u0 + ǫu1 em Ωs, definimos a aproximação uǫ por

−∆ uǫ = f em Ωs,

uǫ + ǫ(−d0 + Ccela)∂uǫ

∂n= 0 sobre Γ, uǫ = 0 sobre ∂Ωs\Γ.

Erro de modelagem:

‖uǫ − uǫ‖H1(Ωs) ≤ cǫ1/2.

O modelo não captura camadas limites =⇒ baixa convergência!Alexandre L. Madureira (LNCC) A iluminação pela flor de lotus ENAMA 2008 19 / 34

Teste numéricoConsidere o domínio

ROUGH DOMAIN

e o problema

−∆ uǫ = 0 em Ωǫ,

uǫ = 0 sobre a fronteira interna,

uǫ = 1 sobre a fronteira externa,

Alexandre L. Madureira (LNCC) A iluminação pela flor de lotus ENAMA 2008 20 / 34

DIRECT COMPUTATION PROFILE AT X = 1.1(1)

(2)

(3)

(1)

(2)

(3)

-2 -1.5 -1 -0.5 0.0 0.5 1 1.5 2

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

ZEROTH ORDER

FIRST ORDER

Alexandre L. Madureira (LNCC) A iluminação pela flor de lotus ENAMA 2008 21 / 34

Conclusões

No caso periódico, leis de parede capturam a baixo custo ocomportamento macroscópico (sem oscilações) da solução

Como em homogeneização de EDPs oscilatórias, é necessárioresolver um problema de cela

Modelos com leis de parede têm erro ǫ1/2 na norma H1

A baixa convergência é porque os modelos não capturamcamadas limites

Estimativas interiores ou em L2 são melhores

Alexandre L. Madureira (LNCC) A iluminação pela flor de lotus ENAMA 2008 22 / 34

Plano da palestra

1 Descrição do Problema e Aplicações

2 Caso Especial: rugosidades periódicas

3 Elemento Finito MultiescalasDescriçãoAnálise

4 Conclusões gerais

Alexandre L. Madureira (LNCC) A iluminação pela flor de lotus ENAMA 2008 23 / 34

Considere novamente o domínio Ωǫ:

e o problema

−∆ uǫ = f em Ωǫ,

uǫ = 0 sobre ∂Ωǫ,

Alexandre L. Madureira (LNCC) A iluminação pela flor de lotus ENAMA 2008 24 / 34

Abaixo, para f ≡ 1, as curvas de nível da norma do gradiente:

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2−0.5

0

0.5

1

1.5 Contour: abs(grad(u))

Alexandre L. Madureira (LNCC) A iluminação pela flor de lotus ENAMA 2008 25 / 34

Descrevemos a seguir um método de elementos finitos multiescalaspara aproximar esta solução [M., 08].Nos elementos finitos multiescalas, as funções de base são soluçõeslocais dos operadores, e levam “informações” locais para a soluçãoglobal.

Considere a seguinte malha para Ωǫ, e um “patch” de elementos pertodas rugosidades:

h

h

h

d ≈ ǫ| ln ǫ|

Alexandre L. Madureira (LNCC) A iluminação pela flor de lotus ENAMA 2008 26 / 34

Descrevemos a seguir um método de elementos finitos multiescalaspara aproximar esta solução [M., 08].Nos elementos finitos multiescalas, as funções de base são soluçõeslocais dos operadores, e levam “informações” locais para a soluçãoglobal.

Considere a seguinte malha para Ωǫ, e um “patch” de elementos pertodas rugosidades:

h

h

h

d ≈ ǫ| ln ǫ|

Alexandre L. Madureira (LNCC) A iluminação pela flor de lotus ENAMA 2008 26 / 34

Considere as seguintes funções de base λi ∈ H10 (Ωǫ):

λi(x j) = δij nos nós x j .

λi linear sobre as arestas

λi bilinear nos elementos que não interceptam o fundo rugoso

x i

K ǫ

Impor

−∆ λi = 0 em K ǫ,

λi(x j) = δij para todos os nós x j , λi linear sobre ∂K ǫ ∩ Ωǫ,

λi = 0 sobre ∂Ωǫ.

Alexandre L. Madureira (LNCC) A iluminação pela flor de lotus ENAMA 2008 27 / 34

Usando tais funções definimos V ǫh = spanλi ⊂ H1

0 (Ωǫ).

A solução multiescala uǫh ∈ V ǫ

h é a projeção de Galerkin de uǫ em V ǫh :

∫

Ωǫ

∇ uǫh(x)∇ vh(x) dx =

∫

Ωǫ

f (x)vh(x) dx para todo vh ∈ V ǫh .

Características Principais:

Método conforme

Problemas locais dependem de ǫ

Uso de computação paralela para achar funções de base

Tamanho do sistema final independente de ǫ

A formulação não se restringe a rugosidades periódicas

A análise restrita a casos periódicos

Alexandre L. Madureira (LNCC) A iluminação pela flor de lotus ENAMA 2008 28 / 34

Usando tais funções definimos V ǫh = spanλi ⊂ H1

0 (Ωǫ).

A solução multiescala uǫh ∈ V ǫ

h é a projeção de Galerkin de uǫ em V ǫh :

∫

Ωǫ

∇ uǫh(x)∇ vh(x) dx =

∫

Ωǫ

f (x)vh(x) dx para todo vh ∈ V ǫh .

Características Principais:

Método conforme

Problemas locais dependem de ǫ

Uso de computação paralela para achar funções de base

Tamanho do sistema final independente de ǫ

A formulação não se restringe a rugosidades periódicas

A análise restrita a casos periódicos

Alexandre L. Madureira (LNCC) A iluminação pela flor de lotus ENAMA 2008 28 / 34

Análise numéricaSuponha rugosidades periódicas, ǫ divide h e h > |ǫ ln ǫ|.A análise se baseia no Lema de Céa:

‖uǫ − uǫh‖H1(Ωǫ) ≤ c inf

vǫ

h∈V ǫ

h

|uǫ − v ǫh|H1(Ωǫ).

TeoremaSeja uǫ a solução original, e uǫ

h ∈ V ǫh a solução aproximada

multiescalas. Então

‖uǫ − uǫh‖H1(Ωǫ) ≤ ch + cǫh−1/2.

Demonstração1 Achar expansão assintótica de uǫ

2 Achar expansão assintótica de λi

3 Estimar o erro entre uǫ e um certo interpolante em V ǫh

Alexandre L. Madureira (LNCC) A iluminação pela flor de lotus ENAMA 2008 29 / 34

Análise numéricaSuponha rugosidades periódicas, ǫ divide h e h > |ǫ ln ǫ|.A análise se baseia no Lema de Céa:

‖uǫ − uǫh‖H1(Ωǫ) ≤ c inf

vǫ

h∈V ǫ

h

|uǫ − v ǫh|H1(Ωǫ).

TeoremaSeja uǫ a solução original, e uǫ

h ∈ V ǫh a solução aproximada

multiescalas. Então

‖uǫ − uǫh‖H1(Ωǫ) ≤ ch + cǫh−1/2.

Demonstração1 Achar expansão assintótica de uǫ

2 Achar expansão assintótica de λi

3 Estimar o erro entre uǫ e um certo interpolante em V ǫh

Alexandre L. Madureira (LNCC) A iluminação pela flor de lotus ENAMA 2008 29 / 34

Conclusões

Para o caso geral, não necessariamente periódico, escrevemosum método de elementos finitos multiescalas

A idéia é resolver problemas locais. Paralelização é trivial

O método é caro pois problemas locais dependem de ǫ, mas é*muito* mais barato que discretizar todo o domínio

Se as rugosidades forem periódicas, então é mais barato usar leisde parede tradicionais

A análise de erro só vale para o caso periódico, e tem erroh + ǫh−1/2 na norma H1

O termo h−1/2 é relacionado com erro de ressonância, presenteem métodos multiescalas para EDPs com coeficientesoscilatórios. Dois remédios: “oversampling” e métodos dePetrov-Galerkin

Alexandre L. Madureira (LNCC) A iluminação pela flor de lotus ENAMA 2008 30 / 34

Plano da palestra

1 Descrição do Problema e Aplicações

2 Caso Especial: rugosidades periódicas

3 Elemento Finito Multiescalas

4 Conclusões gerais

Alexandre L. Madureira (LNCC) A iluminação pela flor de lotus ENAMA 2008 31 / 34

Conclusões gerais

EDPs em domínios com fronteiras rugosas são de interesse edifíceis de serem aproximadas

Para rugosidades periódicas, leis de parede permitem a troca dodomínio rugoso por um suave, desde que se troquem ascondições de contorno

No caso geral, elementos finitos multiescalas permitem aresolução numérica de foram direta e com custo razoável

Alexandre L. Madureira (LNCC) A iluminação pela flor de lotus ENAMA 2008 32 / 34

Obrigado!

Alexandre L. Madureira (LNCC) A iluminação pela flor de lotus ENAMA 2008 33 / 34

An almost ball-shaped water droplet on a non-wettable plant leafFrom Self-cleaning surfaces — virtual realities, Ralf Blossey, Nature Materials 2, 301 - 306 (2003)

Alexandre L. Madureira (LNCC) A iluminação pela flor de lotus ENAMA 2008 34 / 34