Apresentação Gráfica, Medidas de Posição e de Dispersão Profª. Katya Silene Porto Rodrigues

Apresentação Gráfica,Medidas de Posição e de

Dispersão

Profª. Katya Silene Porto Rodrigues

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Apresentação Gráfica

A apresentação gráfica é um complemento importante da apresentação tabular. A principal vantagem de um gráfico sobre a tabela é o fato de que ele permite conseguir uma visualização imediata da distribuição dos valores observados.

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Tipos de Gráficos

Cartogramas - são mapas geográficos em que as frequências das categorias de uma variável são projetadas nas áreas específicas do mapa. Em epidemiologia, os mapas alfinetados são de grande emprego para apreciar o aparecimento e expansão de certas moléstias.

4

Cart

ogra

ma

5

Cartograma

6

Tipos de Gráficos

Diagramas - são gráficos em que a magnitude das freqüências é representada por certa mensuração de uma determinada figura geométrica. São os gráficos mais usados na representação de séries estatísticas e se apresentam através de uma grande variedade de tipos.

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Tipos de Diagramas

1) Gráficos em Linhas ou Gráficos Lineares Índices de Produção Física da

Indústria de Transformação da Bahia

1990 - 1999

Fonte: IBGE ( Pesquisa Industria l Mensal - PIM_PF)

A no

1999199819971996199519941993199219911990

Índi

ce (1

990=

100)

130

120

110

100

90

8

Gráficos de Linhas

9

Gráficos de Linhas

10

Tipos de Diagramas

2) Gráficos Pictóricos (Pictogramas)

11

Tipos de Diagramas

2) Gráficos Pictóricos (Pictogramas)

12

Pictograma

PRODUÇÃO MUNDIAL DE CARROS DE PASSEIO - 1995

7.612.000

6.350.000 JAPÃO

JAPÃO U.S.A 4.362.000

JAPÃO U.S.A ALEMANHA

13

Tipos de Diagramas

3) Gráficos em Barras

Prevalência da anemia em crianças menores de 5 anos de 10 municípios do Estado da Bahia, 1999.

0 5 10 15 20 25

ACAJUTIBA

GONGOGI

MILAGRES

SALINAS

SÃO FÉLIX

%

14

Tipos de Diagramas

4) Gráficos em Colunas

Contribuição percentual de cada refeição na dieta das crianças menores de 24 meses de idade. Salvador, 1996.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Café damanhã

Merenda Almoço Lanche Jantar Ceia

%

15

Tipos de Diagramas

4) Gráficos em Colunas

16

Tipos de Diagramas

5) Gráficos de Colunas Remontadas ou de

Barras Agrupadas

28.8%

44.4%

26.8%

0.0% 60.2%

39.8%

Ao sair

Ao ingressar

Evolução do estado antropométrico das crianças segundo o indicador peso/idade ao longo do seguimento PEAD

DesnutriçãoModerado/grave

Desnutrição Leve

Eutrofia

17

Gráficos de Colunas Remontadas ou de Barras Agrupadas

18

Gráficos de Colunas Remontadas ou de Barras Agrupadas

Fonte: IBGE

19

Colunas 3D Sobrepostas

0

50

100

150

200

250

Argentina Brasil México Portugal

Concorrência dos vários meios publicitários em 2000 Montante da despesa em milhões de dólares

TelevisãoRádioOutdoorsRevistasJornais

20

Tipos de Diagramas

6) Gráficos em Setores (ou pizza)

Distribuição das condições ambientais de crianças menores de 5 anos na Cidade do Salvador,1996.

54%

46%

Boas Precárias

21

Gráfico de Setores

22

Box-Plot

Identifica assimetrias e “outliers” Uma “caixa” (box) representa a região central

dos dados Limite inferior da caixa: Q1 Limite superior da caixa: Q3 Centro da caixa: Mediana (Q2) Hastes: 1,5 x IIQ, limitadas ao mínimo e

máximo! Dados fora do intervalo merecem atenção!

23

Box-Plot dos Salários1000

900

800

700

600

500

400

3º Quartil

Mediana

1º Quartil

24

Formato & Box Plot

Assimétrica à esquerdaAssimétrica à esquerda SimétricaSimétrica

QQ11 MedianaMediana QQ 33QQ11 MedianaMediana QQ33 QQ11 MedianaMediana QQ33

Assimétrica à direitaAssimétrica à direita

25

Medidas de Posição

São medidas da estatística descritiva, que tendem a localizar um determinado ponto do conjunto de dados. As medidas de posição podem ser:

Tendência Central: são medidas que tendem a localizar pontos que ficam no centro de um conjunto de dados ordenados.

Separatrizes: são medidas que dividem um conjunto de dados ordenados em partes iguais.

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Medidas de Tendência Central

a.1)Média Aritmética Simples: É a medida de tendência central mais comumente utilizada para descrever resumidamente uma distribuição de freqüência.

onde : xi = valor genérico da observação

n = tamanho da amostra ou no total de observações

n

xX

n

ii

1

27

Perigo: um ou mais valores bastantediscrepantes do conjunto podem distorcer

atendência apresentada pela média.

Esta distorção pode ser amenizada aplicando-se

pesos às observações (média aritmética ponderada)

28

Medidas de Tendência Central

Ex1: Temos uma amostra de 10 crianças de 5 anos de idade, com dados referentes a seus pesos (em kg):

  23,0 20,0 22,0 19,0 25,0 28,2 24,0 21,0 27,0 21,0

n = 10

 kgX 23

10

212721222023

29

Medidas de Tendência Central

a.2) Média aritmética ponderada:Em algumas situações, os números que queremos sintetizar têm graus de importância diferentes. Utiliza-se então uma média ponderada. Quando os dados estão agrupados por freqüências (absolutas ou relativas) os ponderadores

serão as freqüências.

n

ii

n

iii

f

.fxX

1

1

30

Medidas de Tendência Central

Ex1: Nº de defeitos apresentados por aparelhos de raio X.

No. de defeitos No. de aparelhos

1 7

2 7

3 4

4 2

Total 20

31

Medidas de Tendência Central

Ex2: Encontre a nota média dos alunos

Nota No. de alunos

4,7 ⊢ 5,2 6

5,2 ⊢ 5,7 30

5,7 ⊢ 6,2 26

6,2 ⊢ 6,7 15

6,7 ⊢ 7,2 3

Total 80

32

Medidas de Tendência Central

b.1) Moda: A moda é definida como o valor mais frequente do conjunto de dados. É a medida de tendência central menos importante. Sua vantagem é que pode ser usada para variáveis qualitativas.

amodal; unimodal; bimodal; plurimodal.

33

Medidas de Tendência Central

Ex1: Temos uma amostra de 10 crianças de 5 anos de idade, com dados referentes a seus pesos (em kg):

23,0 20,0 22,0 19,0 25,0 28,2 24,0 21,0 27,0 21,0

Mo = 21,0 kg

Ex2: Encontre a estatura modal das crianças com base nos dados abaixo.

Estatura (m): 1,21 1,05 1,01 1,32 1,40 1,25 1,27 1,19 1,05

34

Medidas de Tendência Central

b.2) Moda para dados agrupados em classes: Para dados agrupados em classes a moda pode ser obtida por três procedimentos. Trabalharemos apenas com a moda bruta.

Moda Bruta: A moda bruta é simplesmente o ponto médio da classe de maior freqüência absoluta simples.

35

Separatrizes

As separatrizes são medidas de posição que permitem calcularmos valores da variável que dividem ou separam a distribuição em partes iguais. Temos quatro tipos de separatrizes, também chamadas de quantis: a mediana, que é também uma medida de tendência central; os quartis; os decis; e os percentis.

36

Separatrizes

A mediana é uma separatriz que divide um conjunto ordenado de dados em duas partes exatamente iguais. 50% das observações estarão à esquerda do valor mediano e 50% delas estarão a direita do valor mediano.

Além de separatriz a mediana é uma medida de tendência central porque será sempre o ponto situado no centro dos valores observados.

37

Separatrizes

a) Determinação da Mediana de valores não tabelados: No de observações

é ímpar:

No de observações é par: a mediana será a média entre

2

1

nEmd

2

nEmd 1

2

nEmd

38

Separatrizes

Ex1: Temos uma amostra de 9 crianças de 5 anos de idade, com dados referentes a seus pesos (em kg):

23,0 20,0 22,0 19,0 25,0 28,2 24,0 21,0 27,0 rol : 19,0 20,0 21,0 22,0 23,0 24,0 25,0 27,0

28,2 como n = 9 (ímpar) Emd = 9 + 1 = 5 2 Então a mediana será o 5º elemento Md = 23,0 kg

39

Separatrizes

Ex2: Temos uma amostra de 10 crianças de 5 anos de idade, com dados referentes a seus pesos (em kg):

23,0 20,0 22,0 19,0 25,0 28,2 24,0 21,0 27,0 21,0 rol : 19,0 20,0 21,0 21,0 22,0 23,0 24,0 25,0 27,0 28,2 como n = 10 (par) Emd = 10 = 5 2 Como temos 2 valores centrais a mediana será a média aritmética

entre o 5º e o 6º elementos. Md = 22 + 23 = 22,5 2  Md = 22,5 kg

40

Separatrizes

b) Determinação da Mediana de valores tabelados agrupados em classes:

O elemento mediano será sempre definido como :

e a mediana por:

onde: li = limite inferior da classe mediana; h = amplitude do intervalo de classe;

Emd = elemento mediano;

fant = frequência acumulada anterior à classe mediana;

fi = frequência absoluta simples da classe mediana.

2

nEmd

i

antmdi f

FEhlMd .

41

Separatrizes

Exemplo: Faixa etária de funcionários do hospital XY. Bahia. 1993.

Fonte: dados hipotéticos

Faixa Etária Funcionários (fi)

Fa

15 ⊢ 25 25 25

25 ⊢ 35 30 55

35 ⊢ 45 15 70

45 ⊢ 55 10 80

Total 80 ..

42

Separatrizes

2

80mdE

30

30

25401025

Md

50% dos funcionários do hospital XY têm 30 anos de idade ou menos e 50% deles têm 30 anos de idade ou mais.

43

Separatrizes

2.Quartis (Qi): dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais. Assim:

Q1:1ºquartil, deixa 25% dos elementos antes do seu valor. Q2:2ºquartil, deixa 50% dos elementos antes do seu valor.

Coincide com a mediana. Q3:3ºquartil, deixa 75% dos elementos antes do seu valor.

Q1 Q2 Q3

0% 25% 50% 75% 100%

44

Separatrizes

Genericamente, para determinar a ordem ou posição do quartil a ser calculado, usaremos a seguinte expressão:

, onde i= nº do quartil a ser calculado

n= nº de observações.

4

inE

iQ

45

Separatrizes Para dados agrupados em classes,

encontraremos os quartis de maneira semelhante à usada para o cálculo da mediana:

onde: l=limite inferior da classe que contém o quartil desejado. h=amplitude do intervalo de classe EQi=elemento quartílico

Fant=frequência acumulada absoluta da classe anterior à classe quartílica.

fi=frequência absoluta simples da classe quartílica.

i

antQii f

FEhlQ i

46

Separatrizes

3.Decis (Di): dividem um conjunto de dados em dez partes. Assim:

De maneira, para calcular os decis, recorremos à expressão que define a ordem em que o decil se encontra

Para dados agrupados em classes, encontraremos os decis de maneira semelhante à usada para cálculo da mediana e dos quartis.

D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

10

inE

iD

47

Separatrizes 4.Centis (Ci): são as medidas que dividem a

amostra em 100 partes iguais. Assim:

O elemento que definirá a ordem do centil será encontrado pelo emprego da expressão:

onde i=nº identificador do centil n=nº total de observações

Para dados agrupados em classes, encontraremos os centis de maneira semelhante à utilizada para cálculo da mediana, dos quartis e dos decis.

C1 C2 C3 C50 C97 C98 C99

0% 1% 2% 3% 50% 97% 98% 99% 100%

100

inE

iC

48

Separatrizes Exemplo:Com base na tabela de distribuição de

frequências abaixo encontre: a) Primeiro quartil; b) Septuagésimo quinto centil; c) Nono decil

Tabela-Consumo médio de eletricidade (Kw/hora) entre usuários. Rio de janeiro, 1980.

Consumo (Kwh)

Nº de usuários (fi)

Fa

5 |-- 25 4 4 25 |-- 45 6 10 45 |-- 65 14 24 65 |-- 85 26 50

85 |-- 105 14 64 105 |-- 125 8 72 125 |-- 145 6 78 145 |-- 165 2 80

Total 80 .. Fonte: dados hipóteticos

49

Medidas de dispersão

As medidas de dispersão servem para avaliar o grau de variabilidade ou dispersão dos de um conjunto de dados.

Estas medidas nos permitem estabelecer comparações entre fenômenos da mesma natureza mostrando como os valores se distribuem acima ou abaixo da medida de tendência central.

50

Amplitude total

A amplitude total (AT) de um conjunto de números é a diferença entre os valores extremos do conjunto, ou seja, entre o maior valor e o menor valor.

minmax vvAt

51

Amplitude Total

Exemplo: A tabela a seguir fornece as informações sobre a produção diária de certa peça para cinco empregados em uma indústria:

Empregado Dia Média 1° 2° 3° 4° 5° diária

X 70 71 69 70 70 70 Y 75 72 68 70 65 70 Z 70 70 70 70 70 70 W 71 69 73 75 62 70 V 68 70 69 72 71 70

52

Amplitude Total

Calcular as amplitudes totais nos exemplos anteriores e identificar qual empregado apresenta a menor dispersão e qual apresenta a maior dispersão na produção diária.

Resolução: X: AT = 71 - 69 = 2 peças;Y: AT = 75 - 65 = 10 peças;Z: AT = 70 - 70 = 0 peças;W: AT = 75 - 62 = 13 peças;V: AT = 72 - 68 = 4 peças;

53

Desvio Padrão

Desvio padrão simples: Sejam ,

n valores que a variável X assume. O desvio padrão é definido como:

x x xn1 2, ,...,

1

1

2

n

XxS

n

ii

54

Desvio Padrão

Exemplo: Com os dados sobre a produção diária de três empregados, identifique, através do desvio padrão, qual deles apresenta menor variabilidade na produção diária.

Empregado Dia Média Amplitude 1° 2° 3° 4° 5° diária total

C 82 70 65 60 73 70 22 D 60 78 68 62 82 70 22 E 53 72 75 75 75 70 22

55

Desvio Padrão

Resolução: Para C, utilizando a definição, temos:

Para C: ; para D: ; para E: . Com os valores encontrados para o desvio padrão, podemos observar que o empregado C apresentou a menor dispersão na produção diária da peça.

34,85,69

15

70737060706570707082

1

222221

2

n

Xx

S

k

ii

34,8S 69,9S 59,9S

56

Desvio Padrão

Desvio padrão ponderado:O desvio ponderado é para dados agrupados em classes onde a freqüência absoluta simples é considerada como o fator ponderador.

1

1

2

i

n

iii

f

fXxS

57

Desvio Padrão

Ex: Considere as notas de 110 alunos da faculdade XY na disciplina de estatística e encontre o desvio padrão.

Notas dos alunos

Número de alunos fiac

0 |-- 2 2 |-- 4 4 |-- 6 6 |-- 8

8 |-- 10

27 16 34 17 16

27 43 77 94 110

TOTAL 110

58

Desvio Padrão

Notas Alunos if aF ix ii fx . Xx i 2

Xx i ii fXx .2

0 - 2 27 27 1 27 - 3,62 13,10 353,70

2 - 4 16 43 3 48 - 1,62 2,62 41,92

4 - 6 34 77 5 170 0,38 0,14 4,76

6 - 8 17 94 7 119 2,38 5,66 96,22

8 - 10 16 110 9 144 4,38 19,18 306,88

Total 110 . . . . 508 . . . . 803,48

59

Desvio Padrão

72,237,7

1110

48,803

1

.1

2

n

fXxS

n

iii

37,72 S

62,4110

508.

1

n

fxX

n

iii

60

Variância

Variância simples: Sejam , n valores que a variável X assume. A variância é definido como:

Obs: a variância é o desvio padrão ao quadrado.

1

1

2

2

n

XxS

n

ii

x x xn1 2, ,...,

61

Variância

Ex: Para o exemplo da produção diária de três empregados.

Para C : ; para D : ; para E: . Com os valores encontrados para o desvio

padrão, podemos observar que o empregado C apresentou a menor dispersão na produção diária da peça.

56,692 S 90,932 S

97,912 S

62

Variância

Variância ponderada:

1

.1

2

2

n

fXxS

n

iii

63

Coeficiente de Variação

Medida de dispersão relativa. Permite comparar a dispersão de conjuntos

de dados com médias e desvios padrões diferentes.

Indica se os dados estão mais ou menos concentrados em torno da média:

100% X

SCV

64

Coeficiente de Variação

Calcule os coeficientes de variação percentual da variável renda (em salários mínimos) nos dois grupos abaixo. Qual dos dois apresenta valores mais homogêneos?

Casados: média = 10,904; desvio padrão = 4,362 Solteiros: média = 6,2683; desvio padrão = 3,0258

%0037,40100904,10

362,4.% CasadosCV

%2715,481002683,6

0258,3.% SolteirosCV

65

Baixa dispersão: CV ≤ 15%

Média dispersão: 15% < CV < 30%

Alta dispersão: CV ≥ 30%