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MATEMÁTICA – 8.° ANO 1
MARCELO CRIVELLA
PREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO
CÉSAR BENJAMIN
SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO
MARIA DE NAZARETH MACHADO DE BARROS VASCONCELLOS
SUBSECRETARIA DE ENSINO
KATIA REGINA DAS CHAGAS MOURA
GERÊNCIA DE ENSINO FUNDAMENTAL
SILVIA MARIA SOARES COUTO
ORGANIZAÇÃO
CLAYTON BOTAS
ELABORAÇÃO
FRANCISCO RODRIGUES DE OLIVEIRA
NELSON GARCEZ LOURENÇO
SIMONE CARDOZO VITAL DA SILVA
REVISÃO
AGRADECIMENTOS ESPECIAIS(IMAGENS DA CAPA)
MOANA MARTINS E EQUIPE
ORQUESTRA SINFÔNICA JUVENIL CARIOCA
MULTIRIO
CONTATOS E/SUBE
nazareth@rioeduca.net
mariamcunha@rioeduca.net
cemp@rioeduca.net
Telefones: 2976-2301 / 2976-2302
EDIGRÁFICA
IMPRESSÃO
FÁBIO DA SILVA
MARCELO ALVES COELHO JÚNIOR
DESIGN GRÁFICO
MATEMÁTICA – 8.° ANO 2
Bem vindos ao 3.º bimestre! Antes de iniciarmos os
conteúdos novos, vamos revisar o que já estudamos até o 2.º
bimestre deste ano.
Marque os conteúdos que você já revisou e, se tiver
dúvidas, pergunte ao Professor(a) ou consulte os cadernos
pedagógicos dos bimestres anteriores:
❑ Números racionais e dízimas periódicas
❑ Números irracionais
❑ Arredondamento de números
❑ Comparação e ordenação
❑ Ângulos suplementares, complementares e congruentes
❑ Polinômios
❑ Polígonos
Após a revisão, vamos, então, iniciar os conteúdos novos.
São eles:
❑ Produtos notáveis
❑ Fatoração
❑ Desigualdades
❑ Ângulos de polígonos
❑Média aritmética simples
NÚMEROS RACIONAIS E DÍZIMAS PERIÓDICAS
a)3
2=
b) −2
5=
c)134
10=
d)7
9=
e) −1
3=
f)4
11=
2) Escreva os números, apresentados a seguir, na forma
fracionária e simplifique ao máximo.
1) Efetue as divisões e escreva os números na forma decimal:
a) 0,8 =
b) 1,2 =
c) −0,25 =
d) 0,1 =
Mu
ltir
io
Pegue seu material e comece a
estudar. O final do ano já está
chegando!!!
MATEMÁTICA – 8.° ANO 3
3) Encontre as frações geratrizes das dízimas periódicas:
a) 0, ത6
b) 0,54545454…
c) −0,222…
d) 0, 72
e) 0,369369369…
NÚMEROS IRRACIONAIS
5) Complete as lacunas com os símbolos de pertence ou não
pertence. Se necessário, justifique a sua resposta, como no
exemplo:
a) 0,444… _______ℚ
b) −3
5_______ℚ
c) −2
3_______𝕀
d) 1,7320508_______𝕀
e) 2,525252… _______𝕀
f) 7_______𝕀
g) 9_______𝕀
∈ Pois 0,444… =4
9
Trabalhando com frações...
4) Escreva o número racional 6,363636… na forma fracionária:
Lembre-se dos significados dos símbolos:
𝕀
ℚ ∈
∉
→Conjunto dos números racionais
→Conjunto dos números irracionais
→Pertence
→Não pertence
MATEMÁTICA – 8.° ANO 4
6) Abaixo, temos uma arte da representação decimal do
número Pi:
Em relação à classificação do número Pi, podemos afirmar que
ele é um número.
(A) irracional, pois não tem período de repetição.
(B) racional, com decimal infinito de período 14.
(C) racional e está na forma fracionária.
(D) inteiro, pois não possui decimais.
7) Efetue os arredondamentos para 1 casa decimal:
a) 0,282828… ≅ ____________
b) 7,952324… ≅ ___________
c) 2,1255 ≅ ________________
8) Efetue os arredondamentos para 2 casas decimais:
9) Efetue os arredondamentos para 3 casas decimais:
a) 0,282828… ≅ __________
b) 7,952324… ≅ __________
c) 2,1255 ≅ _______________
a) 0,282828… ≅ _____________
b) 7,952324… ≅ _____________
c) 2,1255 ≅ __________________
10) Complete as sentenças com >, < ou =. Se necessário,
efetue as divisões dos números na forma fracionária:
a)1
2_____
4
9
b)19
6_____3,14159…
11) Realize a aproximação dos números irracionais por números
inteiros:
a) 40
b) 120
12) Efetue os cálculos aproximados:
a) 80 − 10 ≅
b) 99 + 65 ≅
,
Demonstre, para os seus colegas e para o seu Professor, de que forma você chegou aos
resultados.
MATEMÁTICA – 8.° ANO 5
13) Observe os números abaixo, representados pelas letras.
Coloque estes números em ordem crescente e represente-os na
reta numérica apresentada a seguir:
A=53
9B=
11
2C= 5,05 D= 5,4772…
ÂNGULOS
1) Observe os desenhos. Em seguida, indique quais dos ângulos
desconhecidos (𝑥 e 𝑦) são complemento ou suplemento dos seus
ângulos adjacentes. Depois, encontre seus valores:
𝒙
𝟏𝟏𝟎°
𝒚
𝟔𝟕°
2) Identifique se os ângulos são adjacentes ou opostos pelo
vértice. Depois, encontre seus valores.
100°
â
ô
85°
a)
b)
3) Em cada um dos esquemas apresentados a seguir, use as
propriedades de ângulos formados por uma transversal a duas
retas paralelas e encontre as medidas angulares desconhecidas.
a)
𝑟//𝑠
𝑟 𝑠
𝑡
𝑥
120°
𝑦113°
5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 6
b)
Nas retas paralelas, encontramos: a + b = 180°
a = c = e = g c + d = 180°
b = d = f = h b + c = 180°
a + d = 180°
congruentes
suplementares
ab
c df
g h
e
MATEMÁTICA – 8.° ANO 6
Trabalhando com frações...
5) Encontre o valor da incógnita no esquema apresentado a
seguir:
4) Encontre o valor das incógnitas nos esquemas apresentados a
seguir:
4𝑦 + 10°
𝑦 − 10°
a)
4𝑥 − 60° 2𝑥 + 10°
𝑧
3+ 65°
3𝑧
2− 40°
POLÍGONOS
1) Abaixo, temos um hexágono. Encontre o número total de
diagonais do hexágono:
2) Durante a reforma de sua casa, Marcela vai trocar o carpete e
o rodapé da sua sala. Abaixo, temos a planta da sala de Marcela,
sem contar com as portas. Veja:
3,4 𝑚
5,2 𝑚Se Marcela quer contornar toda a sala, de quantos metros de
rodapé ela vai precisar?
O carpete cobre toda a superfície da sala. Sendo assim, quantos
metros quadrados de carpete ela vai precisar?
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Baseboard.jpg
b)
Explique, para os seus colegas e para o seu Professor, como você chegou ao resultado.
MATEMÁTICA – 8.° ANO 7
3) Encontre a área de cada uma das figuras:
80 𝑚
95 𝑚 105 𝑚
55 𝑐𝑚
30 𝑐𝑚
5 𝑚𝑚
20 𝑚𝑚
7 𝑚
50 𝑚
POLINÔMIOS
a) 2𝑥 − 3𝑦 + 𝑥 + 5𝑦
b) 4𝑥 + 2𝑥2 − 5𝑥 + 𝑥2
c) 2𝑏 − 7 + 3𝑏2 − 3𝑏 + 2𝑏2 + 3
d) 𝑎 − 3𝑐 + 2𝑏 + 5𝑎 − 2𝑏 + 2𝑐
2) Efetue as operações com os polinômios apresentados abaixo:
1) Reduza os termos semelhantes nos polinômios abaixo
apresentados:
a) 3𝑥 − 𝑦 + 4𝑥 + 3𝑦 =
b) 𝑎 − 𝑏 − 2𝑎 − 2𝑏 =
c) 3𝑥 ⋅ 2 + 4𝑥 =
d) 3𝑧 − 𝑡 ⋅ 𝑧 + 5 =
e) 2𝑥2 3 =
f) 2𝑚 + 𝑛 ⋅ 𝑚 − 𝑛 + 3 =
Explique, para os seus colegas e para o seu Professor, de que forma você chegou aos resultados.
MATEMÁTICA – 8.° ANO 8
3) Encontre as áreas das figuras cujos lados são representados
por polinômios:
2𝑥
7 − 𝑧
𝑥 − 2𝑦
4𝑥 + 10
2𝑥 + 𝑦
7 − 𝑧
Trabalhando com frações...
4) Efetue e reduza os monômios semelhantes:𝑥
2− 𝑦 ⋅ (3𝑥 + 𝑦)
PRODUTOS NOTÁVEIS
Acabamos de revisar de que forma devemos realizar
multiplicações entre polinômios. Observamos que algumas
dessas multiplicações possuem um padrão. Por esse motivo,
essas multiplicações são chamadas de produtos notáveis.
Produtos são, em Matemática, o resultado de uma
multiplicação. Já a palavra notável significa aquilo que
deve ser notado, que chama atenção.
No nosso caso, os produtos notáveis são as multiplicações entre
polinômios que possuem um resultado especial. Exemplo: um binômio
multiplicado por ele mesmo. Veja:
Lembre-se de que quando não
escrevemos o sinal entre parênteses, a
operação é sempre a multiplicação!
Multirio
𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 2
Expressão
multiplicada por
ela mesma
Expressão ao
quadrado
𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑎 + 𝑏
• •
• •
• •
• •
• •
• •
Explique, para os seus colegas e para o seu Professor, de que forma você chegou aos resultados.
Observe: notável – notar – nota.
MATEMÁTICA – 8.° ANO 9
QUADRADO DA SOMA
Para desenvolver o quadrado da soma de dois termos,
vamos observar um exemplo com dois termos simples. Neste
caso, deve-se utilizar a propriedade distributiva da
multiplicação pela soma. Veja:
Observe que cada uma das setas representa uma
multiplicação. Os termos coloridos são os resultados de cada
uma delas.
Finalmente, somamos os termos semelhantes:
𝑎 + 𝑏 2 = 𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑎 + 𝑏
𝑎 + 𝑏 2 = 𝑎2 + 𝒂𝒃 + 𝒃𝒂 + 𝒃𝟐
Atenção: 𝑎𝑏 e 𝑏𝑎 são iguais, pois a multiplicação é comutativa. Logo, são semelhantes:
𝒂𝒃 + 𝒃𝒂 = 𝒂𝒃 + 𝒂𝒃 = 2𝒂𝒃
𝑎 + 𝑏 2 = 𝒂2 + 2𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
Observe que os termos 𝑎 e 𝑏 aparecem no resultado final:
𝑎 + 𝑏 2 = 𝒂2 + 2𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
𝒂 𝒃1.º termo
da soma
2.º termo
da soma
Como vimos anteriormente, observemos mais um exemplo
do desenvolvimento de um quadrado de uma soma:
2𝑥 + 3 2 = 2𝑥 + 3 ⋅ 2𝑥 + 3
2𝑥 + 3 2 = (𝟐𝒙)𝟐+𝟐𝒙 ⋅ 𝟑 + 𝟑 ⋅ 𝟐𝒙 + 𝟑𝟐
𝟔𝒙 + 𝟔𝒙 = 𝟏𝟐𝒙𝟏𝟐𝒙 é o dobro do produto 𝟐𝒙 ⋅ 𝟑
2𝑥 + 3 2 = 𝟒𝒙2 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟗
2𝑥 + 3 2 = 𝟒𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟔𝒙 + 𝟗
Quadrado do
primeiro termo
Dobro do
produto dos
termos
Quadrado do
segundo termo
(𝟐𝒙)𝟐 𝟑𝟐𝟐 ⋅ 𝟐𝒙 ⋅ 𝟑
A multiplicação de polinômios pode ser calculada através
das áreas de polígonos, sendo os lados representados por esses
polinômios. Assim, estudaremos, também, os produtos notáveis
como áreas de polígonos.
Continua
Propriedade comutativa -a ordem dos
fatores não altera o produto.
MATEMÁTICA – 8.° ANO 10
Usando a geometria...
Observe este quadrado: Vamos calcular sua área de duas
maneiras. Primeiro, se usarmos o lado do quadrado como 2𝑥 + 3,
obteremos:
2𝑥
3
2𝑥 + 3
2𝑥 + 3
𝐴 = 2𝑥 + 3 2
Agora, vamos dividir os lados em segmentos de medida 2𝑥e 3. Em seguida, calcularemos as áreas de cada um dos quatro
retângulos que formam o quadrado. Observe:
𝐴 = 2𝑥 + 3 2 = 𝟒𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟔𝒙 + 𝟗𝐴 = 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟗
2𝑥 3
2𝑥 2𝑥
3 3
2𝑥
2𝑥 3
3
𝐴 = 𝟒𝒙𝟐
𝐴 = 𝟗𝐴 = 𝟔𝒙
𝐴 = 𝟔𝒙
1) Use a propriedade distributiva e encontre a forma desenvolvida
dos produtos notáveis:
a) 3 + 𝑦 2
b) 2𝑎 + 1 2
c) 𝑥2 + 2 2
3) Encontre a expressão que representa a área deste quadrado:(7𝑥 + 𝑦)
(7𝑥 + 𝑦)
2) Desafio: Tente encontrar o desenvolvimento do produto
notável, apresentado a seguir, sem utilizar a propriedade
distributiva, tomando, como exemplo os casos anteriores.
𝑏 + 4 2
Trabalhando com frações...
4) Desenvolva o produto notável:𝑎
3+ 5
2
MATEMÁTICA – 8.° ANO 11
Usando a geometria...QUADRADO DA DIFERENÇA
Neste momento, desenvolveremos o produto de uma
expressão que representa uma subtração multiplicada por ela
mesma. Observe:
𝑎 − 𝑏 2 = 𝑎 − 𝑏 ⋅ 𝑎 − 𝑏
𝑎 − 𝑏 2 = 𝒂2 − 𝒂𝒃 − 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
Mu
ltirio
Lembre-se das
regras dos sinais
para a multiplicação!
Os termos −𝒂𝒃 e −𝒃𝒂(= −𝒂𝒃) são semelhantes. Então, podemos efetuar:
𝑎 − 𝑏 2 = 𝒂2 − 2𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
𝑎 − 𝑏 2 = 𝒂2 − 𝒂𝒃 − 𝒃𝒂 + 𝒃𝟐
Quadrado do
1.º termo
Quadrado do
2.º termo
Menos o dobro
do produto dos
termos
𝑎 − 𝑏 2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2
Para ver este produto notável geometricamente, vamos
iniciar com um quadrado com a medida de seu lado igual a 𝒂:
𝑎
A área desse quadrado é:
𝐴 = 𝒂2
𝑎
Porém, nós precisamos encontrar uma expressão para a
área do quadrado que possui lado igual a 𝒂 − 𝒃. Isto é, vamos
retirar a quantidade 𝒃 do lado do quadrado que tínhamos
anteriormente. Veja:
𝑎 − 𝑏 A área do quadrado verde é:
𝐴 = (𝑎 − 𝑏)2
𝑏
𝑎 − 𝑏 𝑏
𝑎 − 𝑏 2
Para encontrar a expressão da área verde, vamos tirar as
áreas cor-de-rosa. Começamos calculando cada uma delas.
Observe:
1
2
3
Continua
REGRA DE SINAIS NA MULTIPLICAÇÃO:
-sinais iguais, resultadopositivo
+ . + = +– . – = +
- sinais diferentes, resultado negativo
+ . – = –– . + = –
MATEMÁTICA – 8.° ANO 12
= −( + + )
𝑎 − 𝑏 2 = 𝑎2 − (𝑎𝑏 − 𝑏2 + 𝑎𝑏 − 𝑏2 + 𝑏2)
Agora, vamos encontrar a expressão da área verde. Com
base nas figuras acima, repare que encontrar a área verde é o
mesmo que encontrar a área do quadrado azul, subtraindo as
áreas dos três retângulos cor-de-rosa. Observe o esquema:
𝑎 − 𝑏
𝑏
𝑎 − 𝑏
𝑏
𝑏
𝑏
A área deste retângulo é:
𝐴 = 𝑏 ⋅ 𝑎 − 𝑏 = 𝑎𝑏 − 𝑏2
A área deste retângulo é:
𝐴 = 𝑎 − 𝑏 ⋅ 𝑏 = 𝑎𝑏 − 𝑏2
Mesma área
A área deste quadrado é:
𝐴 = 𝑏2
𝑎 − 𝑏 2 = 𝑎2 − (2𝑎𝑏 − 𝑏2)
Efetuando os monômios semelhantes e eliminando os
parênteses:
𝑎 − 𝑏 2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2
1 2 3
1
2
3
Assim como no caso do quadrado da soma (ver página 9), a
visão geométrica leva ao mesmo resultado da visão algébrica,
que é realizada através da propriedade distributiva.
.
Agora, vamos observar mais um exemplo do
desenvolvimento do quadrado de uma diferença: 3 − 𝑦 2.
3 − 𝑦 2 = 3 − 𝑦 ⋅ 3 − 𝑦
3 − 𝑦 2 = (𝟑)2−𝟑 ⋅ 𝒚 − 𝒚 ⋅ 𝟑 + (𝒚)𝟐
3 − 𝑦 2 = 9 − 𝟑𝒚 − 𝟑𝒚 + 𝒚𝟐
3 − 𝑦 2 = 9 − 6𝑦 + 𝒚𝟐
Multirio
Antes de realizar as atividades a seguir,
tente encontrar um padrão para o
desenvolvimento do quadrado da
diferença.
O que você notou no desenvolvimento deste produto
notável? Peça ajuda a seu (sua) Professor(a), se precisar.
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
y2 – 6y + 9
Multiplicação entre
duas diferenças
Multiplica-se cada termo
da 1.ª subtração para
cada termo da 2.ª
subtração.
MATEMÁTICA – 8.° ANO 13
1) Desenvolva os produtos notáveis:
a) 2𝑏 − 𝑐 2
b) 4𝑦 − 5 2
c) 3 − 𝑧 2
d) 𝑥2 − 3 2
2) Desenvolva, agora, estes dois produtos notáveis. Depois,
indique e calcule a diferença entre seus resultados:
𝑥 + 1 2 𝑥 − 1 2
3) Encontre o polinômio que representa a área do quadrado:
6𝑥 − 2
6𝑥 − 2
4) Desenvolva os produtos notáveis apresentados a seguir:
Mu
ltir
io
Preste atenção nos sinais!
a) 10𝑥 + 2 2
b) 4 − 2𝑥 2
c) 3𝑏 − 2𝑐 2
d) 1 + 9𝑤 2
Trabalhando com frações...
e)3
4− 𝑥
2
f)𝑦
6+
3𝑧
5
2
MATEMÁTICA – 8.° ANO 14
PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA
Nesse caso, o produto é de binômios diferentes, em que um
dos fatores representa a soma de dois termos e o outro
representa a subtração dos mesmos termos. Por exemplo:
𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑎 − 𝑏
Neste caso, os termos semelhantes −𝒂𝒃 e +𝒃𝒂 (= +𝒂𝒃)são opostos, isto é, quando somamos ambos,encontramos como resultado zero.
𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑎 − 𝑏 = 𝒂2 − 𝒂𝒃 + 𝒃𝒂 −𝒃𝟐
Quadrado do
1.º termo
𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑎 − 𝑏
𝑎 − 𝑏 ⋅ 𝑎 + 𝑏
ou
Vamos realizar a propriedade distributiva,
lembrando que precisamos usar a regra do sinal
para a multiplicação. Observe:
𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑎 − 𝑏 = 𝒂2 − 𝒂𝒃 + 𝒂𝒃 −𝒃𝟐
0
𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑎 − 𝑏 = 𝒂2 −𝒃𝟐
Menos o quadrado
do 2.º termo
Essas expressões são
equivalentes. Lembre-se da
propriedade comutativa: a
ordem dos fatores, não
altera o produto.
Utilizando a geometria...
𝑎 + 𝑏
𝑎 − 𝑏
Calcular o produto notável 𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑎 − 𝑏 é o mesmo que
encontrar a área do retângulo:
𝑎 𝑏
𝐴 = 𝑎 − 𝑏 (𝑎 + 𝑏)
Vamos construir uma outra figura geométrica, sem alterar a
área da inicial. Observe:
𝑎 − 𝑏
𝑎
𝑏
𝑎 − 𝑏
𝑎
𝑏
𝑏
Retiramos um retângulo de
largura 𝑏.
Colocamos o retângulo do outro lado da figura.
𝑎 − 𝑏
𝑎 A área da figura é a mesma do retângulo inicial.
𝐴 = 𝑎 − 𝑏 (𝑎 + 𝑏)𝑎 – 𝑏
MATEMÁTICA – 8.° ANO 15
Depois de rearrumada, a figura formada mede o mesmo que
o quadrado de lado a, retirando-se o espaço determinado pelo
quadrado laranja. Então, a área inicial é igual à área do quadrado
de lado a (𝑎2), menos a área do quadrado laranja (𝑏2):
𝑎2𝑎
𝑎 − 𝑏 𝑎 + 𝑏 = 𝑎2 − 𝑏2
𝑏2𝑏
𝑏
𝑎𝑎
𝑏
𝑏
𝑎
𝐴 = 𝑎 − 𝑏 (𝑎 + 𝑏)
Observe mais um exemplo do desenvolvimento deste produto
notável: produto da soma pela diferença (5 − 2𝑦)(5 + 2𝑦)
5 − 2𝑦 ⋅ 5 + 2𝑦
5 − 2𝑦 ⋅ 5 + 2𝑦 = 𝟓2 + 𝟏𝟎𝒚 − 𝟏𝟎𝒚 −(𝟐𝒚)𝟐
0
5 − 2𝑦 ⋅ 5 + 2𝑦 = 𝟓2− (𝟐𝒚)𝟐= 𝟐𝟓 − 𝟒𝒚²
1) Desenvolva os produtos notáveis:
a) 3𝑥 + 5𝑦 3𝑥 − 5𝑦
b) 10 + 2d 10 − 2d
c) 𝑥 − 1 𝑥 + 1
d) 8 + 3𝑥 8 − 3𝑥
e) (5𝑎 − 2𝑏)(5𝑎 + 2𝑏)
2) Encontre o polinômio que representa a área de cada retângulo:
7 + 𝑥
7 − 𝑥
𝑦 − 2
𝑦 + 2
MATEMÁTICA – 8.° ANO 16
Trabalhando com frações...
3) Desenvolva o produto da soma pela diferença:𝑧
5− 3
𝑧
5+ 3
4) Desenvolva os produtos notáveis:
Se precisar de ajuda com as
frações, revise os cadernos
pedagógicos do 7.º Ano!
a) Quadrado da soma
b) Quadrado da diferença:
c) Produto da soma pela diferença:
𝑥
2−3𝑦
5
𝑥
2+3𝑦
5
1
7−𝑦
2
2
𝑥
10+3
5
2
5) Identifique o produto notável e realize seu desenvolvimento
corretamente:
a) 4𝑥 − 3 2
b) 8 + 2𝑏 (8 − 2𝑏)
c) 3𝑦 + 𝑧 2
d) 2𝑎 − 1 2𝑎 + 1
e) 10 + 2𝑤 2
f) 5𝑏 − 3 2
Explique, para os seus colegas e para o seu Professor, de que forma você chegou aos resultados.
MATEMÁTICA – 8.° ANO 17
6) Encontre as expressões que representam as áreas dos
retângulos:
2𝑎 − 𝑏
2𝑎 − 𝑏
6 + 𝑥
6 − 𝑥
4 + 5𝑥
4 + 5𝑥
𝑤 − 𝑣
𝑤 + 𝑣
3𝑑 + 2
3𝑑 + 2
7) Observe o desenvolvimento de cada produto notável
apresentado a seguir. Depois, complete com os termos que
faltam:
3𝑥 + 𝑦 2 = 9𝑥2 + + 𝑦2
2𝑎 − 10 2 = −40𝑎 + 100
(7 − 𝑧)(7 + 𝑧) = −𝑧2
𝑥 + 2 = 𝑥2 + 10𝑥 + 25
−2𝑏 2 = 9𝑎2 − 12𝑎𝑏 + 4𝑏2
+5 −5 = 4𝑡2 − 25
+1 2 = 36𝑥2 + +1
𝑏 − 2 = − + 36
+𝑦 −𝑦 = 9𝑥2 −
Trabalhando com frações...
+𝑏
3−𝑏
3=𝑎2
4−
Explique, para os seus colegas e para o seu Professor, de que forma
você chegou aos resultados.
MATEMÁTICA – 8.° ANO 18
Vamos iniciar com um desafio: você sabe como encontrar o
valor de 1982 de uma forma rápida? Observe o exemplo:
APLICAÇÃO DOS PRODUTOS NOTÁVEIS
Vamos escrever 198 como uma subtração de
números mais fáceis de elevar ao quadrado:
200 − 2
1982 = 200 − 2 2
200 − 2 2 = 200 − 2 ⋅ 200 − 2
2002 − 200 ⋅ 2 − 2 ⋅ 200 + 22
40 000 − 400 − 400 + 4
−800
40 000−800
39 200
+439 200
39 204
Dessa forma, encontramos a resposta: 1982 = 39 204.
Finalizamos, realizando
as operações de
subtração e soma.
Se você lembrar do produto notável, realizará as operações ainda mais rápido. Observe o próximo exemplo.
Vamos escrever:
101 ⋅ 99 = (100 + 1)(100 − 1)
100 + 1 ⋅ 100 − 1
1002 − 100 ⋅ 1 + 1 ⋅ 100 −12
10 000 − 100 + 100 − 1
0
10 000
9 999
−1
Logo, o resultado é 101 ⋅ 99 = 9 999.
Vamos ver outro exemplo: o produto 101 ⋅ 99.
Encontrar o valor de 1022.
1022 = 100 + 2 2
Quadrado do
primeiro termo
Dobro do
produto dos
termos
Quadrado do
segundo termo
1002 222 ⋅ 2 ⋅ 100
10 000 + 400 + 4
10 404
MATEMÁTICA – 8.° ANO 19
1) Utilizando produtos notáveis, efetue as multiplicações a seguir:
a) 1032
b) 199 ⋅ 201
c) 9992
d) 498 ⋅ 502
e) 2022
Trabalhando com frações...
2) Também podemos utilizar os produtos notáveis para resolver
quadrados de números mistos. Vamos calcular 11
3
2
Multirio
Este número misto representa
um inteiro e três terços!
11
3
2
= 1 +1
3
2
Desenvolva este produto notável:
3) Utilizando produtos notáveis, encontre o valor de 32
5
2
Explique, para os seus colegas e para o seu Professor, de que forma você chegou aos resultados.
MATEMÁTICA – 8.° ANO 20
4) Uma praça possui formato quadrado. Nela, será construída
uma ciclovia de largura 𝑥 em todo o seu contorno. No meio, terá
uma área quadrada recoberta por gramas com 20 metros de lado,
como podemos observar no esquema. Agora, responda:
20 m
𝑥
𝑥
20 m𝑥 𝑥
a) Que expressão representa olado da praça?
b) Qual a expressão querepresenta a área total dapraça?
5) Nathy ajudou sua irmã mais nova a encontrar a área de um
quadrado com 22 centímetros de lado, isto é, o valor de 222. Para
isso, ela desenhou as linhas tracejadas, separando os lados em
segmentos de 20 e 2 centímetros e utilizou um produto notável.
Reproduza a área como Nathy fez, calculando a área de cada um
dos 4 polígonos separados:
Mu
ltir
io
22 = 20 + 2
6) Leia a expressão:
𝑦 + 𝑏 2 − 𝑦 − 𝑏 2
Marque a alternativa que representa a forma mais simples dessa
expressão:
(A) 2𝑦𝑏
(B) 4𝑦𝑏
(C) 2𝑦2
(D) −2𝑏2
7) Vamos aprender um novo produto notável: o cubo da soma.
Para isso, vamos ter que utilizar a propriedade distributiva da
multiplicação pela soma diversas vezes. Observe e complete:
Reduza os monômios semelhantes do resultado que encontrou:
𝑥 + 𝑦 3 = 𝑥 + 𝑦 ⋅ (𝑥 + 𝑦) ⋅ (𝑥 + 𝑦)
Quadrado da
soma
𝑥 + 𝑦 3 = 𝑥 + 𝑦 ⋅ ( ________________________ )
Explique, para os seus colegas e para o seu Professor, de que forma você chegou aos resultados.
MATEMÁTICA – 8.° ANO 21
FATORAÇÃO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
A palavra fatorar quer dizer, neste momento, transformar
adições e subtrações dos termos de uma expressão algébrica em
uma multiplicação.
Lembre-se que fatores são
os termos da multiplicação.
Observe este exemplo:
2𝑥 ⋅ 3𝑦 = 6𝑥𝑦
Fator Fator Produto
Sendo assim, realizar uma fatoração é encontrar termos
cujo produto resulte na expressão que desejamos.
Você consegue encontrar uma fatoração para o monômio
apresentado a seguir?
8𝑎2𝑏
_____________________________________________________
Podemos ver a fatoração como aplicação oposta da
propriedade distributiva. Logo, é importante que saibamos utilizar
essa propriedade em expressões algébricas. Veja o exemplo a
seguir:
3𝑥 ⋅ 𝑥 + 2𝑦 = 3𝑥2 + 6𝑥𝑦
Distribuir
Fatorar
10𝑥2 + 25𝑥𝑦 = 5𝑥 ⋅ 2𝑥 + 5𝑥 ⋅ 5𝑦 = 5𝑥 ⋅ (2𝑥 + 5𝑦)
FATOR COMUM EM EVIDÊNCIA
Colocar um fator em evidência é identificar, em dois ou mais
termos, um mesmo fator e, em seguida, pensar quais as
multiplicações por este fator que resultam na expressão que
temos inicialmente. Isto é, determinar o fator comum às
expressões algébricas. Observe:
Exemplo 1: Fatorar a expressão 𝟏𝟎𝒙𝟐 + 𝟐𝟓𝒙𝒚
Primeiramente, identificamos que o fator 5𝑥 é comum aos
termos 10𝑥2 e 25𝑥𝑦. Veja:
25𝑥𝑦 = 5𝑥 ⋅ 5𝑦10𝑥2 = 5𝑥 ⋅ 2𝑥Agora, escrevemos a expressão na forma fatorada onde o
fator comum é posto em evidência.
Forma fatorada
Exemplo 2: Colocar os fatores comuns em evidência da
expressão 𝟒𝒂𝟑 − 𝟖𝒂
Dessa forma, o fator comum é 4𝑎 que abrange todos os
fatores comuns de ambos os termos:
Observe que os fatores 2, 𝑎, 4, 2𝑎 e 4𝑎 são fatores
comuns aos dois termos. Porém, sempre que
falarmos de fatoração, devemos pensar em fatorar o
máximo de termos possíveis.
−8𝑎 = 4𝑎 ⋅ (−2)4𝑎3 = 4𝑎 ⋅ 𝑎2
4𝑎3 − 8𝑎 = 4𝑎 ⋅ (𝑎2 − 2)
Forma fatorada
Fator comum
MATEMÁTICA – 8.° ANO 22
Como a propriedade distributiva e a fatoração são
operações opostas, podemos distribuir o resultado
final como prova real. Observe os exemplos que
vimos na página anterior:
5𝑥 ⋅ (2𝑥 + 5𝑦) = 𝟏𝟎𝒙𝟐 + 𝟐𝟓𝒙𝒚
4𝑎 ⋅ (𝑎2 − 2) = 𝟒𝒂𝟑 − 𝟖𝒂
Exemplo 3: Fatorar, por fator comum em evidência, o
trinômio:
12𝑏3 + 3𝑏 − 9𝑏𝑐
Neste caso, precisamos encontrar o fator comum aos três
termos. Veja:
Observe que, neste caso, o termo 𝟑𝒃 é
igual ao fator que será posto em
evidência. Então, utilizamos o 1 pois
𝟑𝒃 = 𝟑𝒃 ⋅ 𝟏
3𝑏 = 3𝑏 ⋅ 112𝑏3 = 3𝑏 ⋅ 4𝑏2
Forma fatorada
−9𝑏𝑐 = 3𝑏 ⋅ (−3𝑐)
12𝑏3 + 3𝑏 − 9𝑏𝑐 = 3𝑏 ⋅ (4𝑏2 + 1 − 3𝑐)
Agora, faça a prova real para verificar o resultado:
1) Nas expressões apresentadas a seguir, coloque os fatores
comuns em evidência. Se necessário, realize a propriedade
distributiva (ver página 9) como prova real.
a) 2𝑥 + 𝑎𝑥
b) 14𝑎 − 21𝑏
c) 4𝑦 + 6𝑥𝑦 − 10𝑦𝑧
d) 10𝑥𝑦 + 5𝑥
e) 14𝑥 + 7𝑥2
f) 25𝑧𝑡 − 10𝑧2 + 20𝑧
g) 14𝑎𝑏 − 6𝑏2 + 20𝑏𝑐 − 2𝑏
MATEMÁTICA – 8.° ANO 23
FATORAÇÃO POR AGRUPAMENTO
Para fatorar, por agrupamento, uma expressão com 4
termos, vamos aplicar a fatoração por fator comum em evidência
duas vezes:
Exemplo 1𝟒𝒂𝒃 + 𝟔𝒂 + 𝟏𝟎𝒃𝒙 + 𝟏𝟓𝒙
Vamos encontrar fatores comuns, em pares, de termos da
expressão. Observe:
4𝑎𝑏 + 6𝑎 + 10𝑏𝑥 + 15𝑥
Fator comum 𝟐𝒂
Fator comum 𝟓𝒙
𝟐𝒂 ⋅ 2𝑏 + 3 + 𝟓𝒙 ⋅ (2𝑏 + 3)
Agora, cada um dos dois termos fatorados está multiplicado
pelo fator comum (2𝑏 + 3). Esse será o fator comum que vamos
colocar em evidência do lado direito, agrupando os termos
fatorados em outros parênteses, do lado esquerdo:
𝟐𝒂 ⋅ 2𝑏 + 3 + 𝟓𝒙 ⋅ (2𝑏 + 3)
Fator comum (𝟐𝒃 + 𝟑)
2𝑎 + 5𝑥 ⋅ 2𝑏 + 3
4𝑎𝑏 + 6𝑎 + 10𝑏𝑥 + 15𝑥 = 2𝑎 + 5𝑥 ⋅ (2𝑏 + 3)
Forma fatorada
Exemplo 2: Fatorar, por agrupamento, a expressão
𝟓𝒙𝟐 − 𝟏𝟓𝒙 + 𝒙𝒚 − 𝟑𝒚
Primeiro, encontramos os fatores comuns nos pares:
Agora, complete com o fator comum e a forma fatorada:
Finalmente, realize a prova real, distribuindo a forma
fatorada que você encontrou. Caso haja termos semelhantes,
lembre-se de efetuá-los:
5𝑥2 − 15𝑥 + 𝑥𝑦 − 3𝑦
Fator comum 𝟓𝒙 Fator comum 𝒚
𝟓𝒙 ⋅ 𝑥 − 3 + 𝒚 ⋅ (𝑥 − 3)
(𝒙 − 𝟑)
𝟓𝒙 + 𝒚 ⋅ ( )
Forma fatorada
𝟓𝒙 ⋅ 𝑥 − 3 + 𝒚 ⋅ (𝑥 − 3)
Fator comum___________
𝒙 − 𝟑
MATEMÁTICA – 8.° ANO 24
1) Utilize, nas expressões, a fatoração por agrupamento:
a) 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 5𝑎 + 5𝑏
b) 10𝑏 − 5𝑐 + 2𝑏𝑥 − 𝑐𝑥
c) 12𝑥𝑦 + 8𝑥 + 3𝑦 + 2
d) 25𝑦 − 20𝑡2 + 5𝑦2 − 4𝑦𝑡2
e) 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 4𝑎 + 4𝑏
f) 30𝑥2 − 20𝑥𝑦 + 21𝑏𝑥 − 14𝑏𝑦
FATORAÇÃO DA DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS
Agora, vamos fatorar o binômio que é uma subtração de
dois termos que são quadrados perfeitos.
Para isso, vamos relembrar o produto da soma pela
diferença de dois termos pois serão operações opostas.
Observe:
𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑎 − 𝑏 = 𝑎2 −𝑏2
Distribuir
Fatorar
Exemplo 1: Fatorar a expressão
𝟒𝒙𝟐 − 𝟗
Primeiro, devemos conferir se os termos são quadrados
perfeitos:
Para completar a fatoração, basta organizar os termos que
estão sendo elevados ao quadrado como um produto da soma
pela diferença. Observe:
4𝑥2 é um quadrado perfeito, pois 4𝑥2 = 𝟐𝒙 2.
9 é um quadrado perfeito, pois 9 = 𝟑2.
4𝑥2 − 9 = (𝟐𝒙 + 𝟑)(𝟐𝒙 − 𝟑)
Observe: bi – radical
latino – significa dois
bi – binômio (dois
monômios)
Outros exemplos:
bicampeão (duas vezes
campeão)
bilíngue (que fala duas
línguas)
bicicleta (duas rodas)
MATEMÁTICA – 8.° ANO 25
Será que podemos realizar essa
fatoração de outra maneira?
Vamos refazer a fatoração do Exemplo 1, utilizando a
fatoração por agrupamento:
Lembre-se de que estes termos são quadrados de 2𝑥 e 3,respectivamente. São esses termos que queremos fatorar. Para
isso, vamos subtrair e somar o produto destes termos: 𝟔𝒙
Agora, vamos fatorar por agrupamento:
𝟒𝒙𝟐 − 𝟗
4𝑥2 − 9 = 4𝑥2 − 𝟔𝒙 + 𝟔𝒙 − 9
Subtrair e somar um termo não altera a
expressão pois, neste caso,
−𝟔𝒙 + 𝟔𝒙 = 𝟎
4𝑥2 − 9 = (2𝑥 + 3)(2𝑥 − 3)
4𝑥2 − 𝟔𝒙 + 𝟔𝒙 − 9
Fator comum: 𝟐𝒙 Fator comum: 𝟑
2𝑥 ⋅ 2𝑥 − 3 + 3 ⋅ (2𝑥 − 3)
Fator comum: (𝟐𝒙 − 𝟑)
2𝑥 + 3 ⋅ (2𝑥 − 3)
Exemplo 2: Efetuar a fatoração da expressão 𝟐𝟓 − 𝒄𝟐
Assim, basta organizarmos o produto da soma pela
diferença. Observe:
25 é um quadrado perfeito, pois 25 = 𝟓2.
𝑐2 é o quadrado de 𝑐.
25 − 𝑐2 = (𝟓 + 𝒄)(𝟓 − 𝒄)
1) Antes de iniciarmos as atividades sobre fatoração, calcule os
produtos notáveis dos resultados dos exemplos dados. Verifique
se a forma fatorada é equivalente:
a) (2𝑥 + 3)(2𝑥 − 3)
b) (5 + 𝑐)(5 − 𝑐)
MATEMÁTICA – 8.° ANO 26
a) 25 − a2
b) 81𝑥2 − 121
c) 16𝑏2 − 36𝑐2
d) 𝑥2𝑦2 − 100
e) 64 − 𝑤2
f) 4𝑦2 − 1
g) 9𝑑2 − 16𝑐2
h) 121 − 𝑥4
2) Fatore as expressões, a partir do produto notável − diferença
de dois quadrados:FATORAÇÃO DO TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO
Um trinômio quadrado perfeito é uma expressão que pode
ser fatorada em uma subtração ou em uma soma elevada ao
quadrado. Novamente, vamos rever os produtos notáveis para
auxiliar na fatoração:
Vamos relembrar as relações entre os termos do produto
notável e da forma distribuída. Observe:
Distribuir
Fatorar
𝑎 + 𝑏 2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2
𝑎 − 𝑏 2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2
Distribuir
Fatorar
𝑎 + 𝑏 2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2
𝑎 − 𝑏 2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2
Quadrado
do 1.º
termo
Quadrado
do 2.º
termo
Dobro do
produto dos
termos
Diferença de dois quadradosO produto da soma de dois termos
(a + b) pela diferença dessesmesmos termos (a – b) resulta nadiferença dos quadrados dessestermos (a² – b²).
(a + b) . (a – b) = (a² – b²)
Trinômio quadrado perfeitoO quadrado da subtração (a – b)²
ou da soma (a + b)² de doistermos é igual ao quadrado do 1ºtermo (a²) subtraído ou somadopelo dobro do produto dessestermos (2ab), mais o quadradodo 2º termo (b²).
MATEMÁTICA – 8.° ANO 27
Assim, um trinômio quadrado perfeito deve ser composto de
dois quadrados perfeitos e o terceiro termo deve ser o dobro
do produto dos termos que estão elevados ao quadrado.
Desta forma, podemos fatorar esta expressão utilizando o
quadrado da soma (ou da diferença quando o dobro for negativo).
Observe:
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2
Quadrado
de 𝒂Quadrado
de 𝒃Dobro de
𝒂 ⋅ 𝒃
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎 + 𝑏 2
Forma fatorada
Exemplo 1: Fatorar o trinômio quadrado perfeito
𝟗 + 𝟔𝒙 + 𝒙𝟐
Primeiro, verificamos se a expressão é um quadrado
perfeito, encontrando os termos que estão elevados ao quadrado:
Agora, organizamos a forma fatorada com os termos 3 e 𝑥:
Quadrado
de 𝟑Quadrado
de 𝒙Dobro de
𝟑 ⋅ 𝒙
9 + 6𝑥 + 𝑥2
9 + 6𝑥 + 𝑥2 = 3 + 𝑥 2
Também podemos verificar esta fatoração
utilizando a fatoração por agrupamento.
9 + 𝟔𝒙 + 𝑥2
9 + 𝟑𝒙 + 𝟑𝒙 + 𝑥2
9 + 6𝑥 + 𝑥2 = 3 + 𝑥 2
Fator comum: 𝟑 Fator comum: 𝒙
3 ⋅ 3 + 𝑥 + 𝑥 ⋅ (3 + 𝑥)
Fator comum (𝟑 + 𝒙)
3 + 𝑥 ⋅ (3 + 𝑥)
9 + 3𝑥 + 3𝑥 + 𝑥2
Forma fatorada
Agora, vamos fatorar por agrupamento:
Para fatorar por agrupamento, vamos observar se 9 e 𝑥2
são quadrados perfeitos. Então, devemos fatorar os termos 3 e 𝑥respectivamente.
Sendo assim, vamos trocar o termo 6𝑥 por 3𝑥 + 3𝑥, o que
não altera a expressão:
Realize a prova real, distribuindo o produto notável:
3 + 𝑥 2 = 3 + 𝑥 3 + 𝑥 = 9 + 3𝑥 + 3𝑥 + 𝑥2
= 9 + 6𝑥 + 𝑥2
MATEMÁTICA – 8.° ANO 28
Exemplo 2: Encontre a forma fatorada de
𝟒𝒂𝟐 − 𝟒𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
Verificamos os termos:
Organizando a forma fatorada, temos:
Quadrado
de 𝟐𝒂Quadrado
de 𝒃Dobro de 𝟐𝒂 ⋅ 𝒃
4𝑎2 − 4𝑎𝑏 + 𝑏2
4𝑎2 − 4𝑎𝑏 + 𝑏2 = 2𝑎 − 𝑏 2
a) 25 − 10𝑥 + 𝑥2
b) 𝑦2 + 10𝑦 + 10
c) 4𝑎2 + 8𝑎𝑏 + 𝑏2
d) 𝑏2 + 14𝑏 + 49
e) 36𝑦2 − 24𝑦 + 4
1) Verifique se os trinômios a seguir são quadrados perfeitos e,
em caso afirmativo, efetue a fatoração:
f) 𝑎2𝑥2 + 20𝑎𝑥 + 100
g) 20 − 20𝑡 + 𝑡2
h) 49𝑧2 + 70𝑡𝑧 + 25𝑡2
i) 100 + 20𝑥𝑡 + 𝑥2𝑡2
2) Complete os quadros abaixo com os termos corretos:
a) 36𝑏2 − 24𝑏 + 4 = −2 2
b) 16 + 24𝑑 + 9𝑑² = 4 2
e) 𝑥4 + 6𝑥2 + 9 = +3 2
f) 100𝑎2 = −6 2
c) 1 − 4𝑤 + 4𝑤2 = 1 2
d) 9𝑏2 + 4𝑐2 = −2𝑐 2
MATEMÁTICA – 8.° ANO 29
3) Realize a fatoração correspondente a cada um dos casos
apresentados a seguir:
a) 100 − 𝑡2
b) 9𝑎 − 27 + 4𝑎𝑡 − 12𝑡
c) 20𝑥2 − 16𝑥
d) 𝑎𝑏 + 5𝑏 + 6𝑎 + 30
e) 𝑥2 + 16𝑥 + 64
f) 4𝑥4 − 6𝑥3 + 16𝑥2
g) 1 − 6𝑦 + 9𝑦2
4) (OBMEP – Adaptada) Um número natural é dito composto
quando ele pode ser escrito como um produto de dois números
diferentes de 1. Podemos utilizar a fatoração para mostrar que
um número é composto. Observe este exemplo:
O número 9 991 é composto, pois:
9 991 = 10 000 − 9
Quadrado
de 100Quadrado
de 3
10 000 − 9 = 1002 − 32 = (100 − 3)(100 + 3)
97 ⋅ 103 = 9 991
Demonstre que o número, apresentado a seguir, é um número
composto:
3 999 991
AGORA,É COM VOCÊ!!!
MATEMÁTICA – 8.° ANO 30
DESIGUALDADES
Comparar dois números reais é dizer qual é a relação de
ordem entre esses números. Sendo assim, há apenas três
situações. Elas podem ser representadas por meio de três sinais:
Maior que >Menor que <Igual a =
Vamos ver alguns exemplos de comparações de números
reais: racionais e irracionais. Observe:
15 > 12
2,3 < 2,8
7
9>2
5
−4 > −7 5
4= 1,25
0,777… 0,4
1,25
Trabalhando com frações...
5) Observe os exemplos de simplificação de frações. O
primeiro, com números racionais:
12 ∶ 2
30=
6
15=: 32
5Simplificamos, dividindo
numerador e denominador
por um mesmo número.
5𝑥 ⋅ (2𝑥 + 1)
5𝑥 ⋅ (𝑥2 + 3)=2𝑥 + 1
𝑥2 + 3
Podemos fazer o mesmo com frações algébricas,
eliminando fatores iguais no numerador e no
denominador.
: 2 : 3
: 5𝑥
Nas frações algébricas a seguir, fatore o numerador e o
denominador e simplifique fatores iguais entre eles:
a)16+8𝑐+𝑐2
16−𝑐2
b)𝑑2−9
𝑑2−6𝑑+9
Multirio
Para comparar, podemos
efetuar a divisão das frações.
1) Complete, corretamente as lacunas, com os sinais >, < ou =:
a) −3____2
b)7
2_____4
c) 0,4_____0,12
d) −0,3_____ − 0,25
e)5
10_____
3
6
f) 5_____ − 10Explique, para os seus colegas e para o seu Professor, de que forma você chegou aos resultados.
Facilitando...
>
<maior que – lembra o número 7
menor que – lembra o número 4
MATEMÁTICA – 8.° ANO 31
INEQUAÇÃO
Inequação é uma desigualdade entre duas expressões
algébricas. Leia uma situação-problema resolvida por uma
inequação:
Exemplo 1:
Valentina e Enzo ajudaram sua mãe a levar as sacolas do
mercado. Valentina levou a sacola mais pesada, que continha 1 kg
de feijão e 4 latas de óleo. Já Enzo levou a sacola mais leve que
continha 2 latas de óleo e mais 3 kg de arroz.
Será que podemos descobrir qual a massa da lata de óleo?
Primeiro, precisamos escrever o problema em linguagem
matemática. Vamos lá!
Sacola de Valentina:
1 + 4 ⋅ 𝑥Sacola de Enzo:
2 ⋅ 𝑥 + 3
Como a sacola de Valentina é a mais pesada, a massa
dessa sacola é maior que a massa da sacola de Enzo:
1 + 4𝑥 > 2𝑥 + 3
Para encontrar uma condição para a massa da lata de
óleo, vamos, primeiro estudar algumas propriedades das
inequações.
O 𝒙 representa a massa de uma
lata de óleo: a quantidade
desconhecida desta situação.
1.ª propriedade – Somar ou subtrair um número ou uma
expressão, em ambos os membros de uma inequação, não a
altera:
25 < 12𝑥
7𝑎 > 3𝑎 + 12
−5
−3𝑎
25 − 5 < 12𝑥 − 5
7𝑎 − 3𝑎 > 3𝑎 − 3𝑎 + 12
5𝑦 > 2
+2
5𝑦 + 2 > 2 + 2
2.ª propriedade – Uma inequação não se altera ao se multiplicar
ou se dividir seus termos por um número positivo:
𝑏 + 2 < 5
⋅ 10
𝑏 + 2 ⋅ 10 < 5 ⋅ 10
4𝑎 > 12
: 4
4𝑎: 4 > 12: 4
3.ª propriedade – Quando multiplicamos ou dividimos os
membros por um número negativo, a inequação inverte o sinal:
2𝑥 > 3𝑥 − 2
⋅ (−3)
2𝑥 ⋅ (−3) < (3𝑥 − 2) ⋅ (−3)
−2𝑐 < −10
−2𝑐: −2 > −10: (−2)
: (−2)
MATEMÁTICA – 8.° ANO 32
Agora, vamos voltar à situação-problema apresentada
anteriormente:
1 + 4𝑥 > 2𝑥 + 3
−1
1 − 𝟏 + 4𝑥 > 2𝑥 + 3 − 𝟏
0 + 4𝑥 > 2𝑥 + 2
−2𝑥
4𝑥 − 𝟐𝒙 > 2𝑥 − 𝟐𝒙 + 2
2𝑥 > 0𝑥 + 2
2𝑥 > 2
: 2
2𝑥: 𝟐 > 2: 𝟐
𝑥 > 1
Para eliminar o 1 no
primeiro membro,
diminuímos 1 nos
dois membros da
inequação.
Diminuímos 2𝑥 nos
dois membros da
inequação para
assim eliminá-lo no
segundo membro.
Dividimos por 2para isolar o 𝑥.
A resposta 𝒙 > 𝟏 indica que a massa da lata de óleo possui
mais que 1 kg, embora não possamos saber exatamente qual é a
massa. Neste caso, pode ser 1,2 kg, 1,5 kg etc.
Exemplo 2 – Vamos resolver a inequação:
𝟐𝒚 < 𝟑𝒚 + 𝟐
: (−1)
−3𝑦
2𝑦 − 𝟑𝒚 < 3𝑦 − 𝟑𝒚 + 2
−𝑦 < 2
−𝑦: −𝟏 > 2: (−𝟏)
𝑦 > −2
Quando o termo do 1.º
membro for negativo,
dividimos ambos os membros
por − 1 e invertemos o sinal.
Supondo que y seja igual a 1, vamos analisar as inequações
− 𝑦 < 2 e 𝑦 > −2 que apareceram neste exemplo:
−1 < 2
−𝑦
–3 –2 –1 0 1 2 3
1 > −2
–3 –2 –1 0 1 2 3
𝑦
Sendo assim, estas inequações são equivalentes o que quer dizer que possuem as mesmas soluções.
MATEMÁTICA – 8.° ANO 33
Trabalhando com frações...
1) Resolva as inequações:
a) 4𝑥 − 3 < 17
b) 3𝑦 − 4 < 5𝑦 + 6
c) 25 − 2𝑎 < 10 − 7𝑎
d) 3𝑐 + 13 < 𝑐 + 7
e) 3𝑥 +1
3> 2𝑥 −
3
4
8 kg𝒙
𝒙
5 kg
2kg
2) Veja, no exemplo, como podemos escrever os dados de uma
balança desequilibrada sob a forma de inequação. Em seguida,
encontre a inequação dos outros casos apresentados e resolva
cada uma delas:
O lado mais alto
possui massa
(“peso”) menor!
a)
b)
c)
𝟑𝒙 + 𝟐 < 𝒙 + 𝟖
3𝑥 − 𝑥 < 8 − 22𝑥 < 6𝑥 < 3
𝒙
𝒙𝒙 2 kg
3 kg𝒙𝒙
4 kg𝒙
MATEMÁTICA – 8.° ANO 34
ÂNGULOS INTERNOS E EXTERNOS DE POLÍGONOS
Vamos relembrar alguns dos elementos dos polígonos que
estudamos no 2.º bimestre:
Vértice
Diagonal
Lado
ângulo interno
ângulo externo
vértice
lado
prolongamento do
lado adjacente
Diagonais: ligam dois
vértices não adjacentes.
Ângulos externos são
formados pelo encontro de um
lado e o prolongamento do
lado adjacente ao primeiro.
Os ângulos interno e externo, em
um mesmo vértice, são sempre
suplementares, isto é, formam
juntos, um ângulo de 180°.
Neste bimestre, vamos estudar como calcular as medidas dos
ângulos internos e externos de polígonos. Vamos iniciar com os
ângulos internos do triângulo.
Queremos encontrar, agora, a soma dos três ângulos
internos de um triângulo qualquer. Para isso, vamos marcar cada
um dos ângulos do triângulo com uma cor, como no esquema
apresentado a seguir:
Agora, recortamos os três ângulos do triângulo e juntamos
estes em um mesmo vértice.
Assim, podemos observar que os três ângulos juntos
formam um ângulo raso, isto é, 𝟏𝟖𝟎°.
Multirio
Podemos fazer isto com
qualquer triângulo. Experimente!
A soma dos ângulos internos de
qualquer triângulo é sempre 180°.
ADJACENTE = ao lado de
Radical latino: tri –
significa três. Observe:
tricampeão
triatleta
triciclo
ângulo interno + ângulo externo = 180° (ângulos suplementares)
MATEMÁTICA – 8.° ANO 35
1) Encontre o valor dos ângulos desconhecidos nos triângulos
apresentados a seguir:
𝑥
53°
35°
𝑦
𝑦𝑦
𝑧
42°
𝑡
𝑡
45°
Vamos usar o conhecimento de que todo triângulo possui a
soma dos ângulos internos igual a 180°, para encontrar a soma
dos ângulos internos de outros polígonos.
Iniciamos com um quadrilátero qualquer:
Todo quadrilátero possui 4
ângulos internos. Queremos
encontrar a soma destes ângulos.
Dividimos este quadrilátero por uma diagonal, formando
dois triângulos.
Veja: os ângulos internos
dos dois triângulos formados são
equivalentes aos ângulos internos
do quadrilátero.
Observando a figura, vemos que o quadrilátero possui,
como soma dos ângulos internos, o equivalente a dois triângulos:
2 ⋅ 180° = 360°
A soma dos ângulos internos de
qualquer quadrilátero é sempre 360°.
Observe: quatro – quadrilátero – quadrado – quadrangular.
diagonal
MATEMÁTICA – 8.° ANO 36
Para encontrar a soma dos seus ângulos internos, podemos
dividir qualquer polígono em triângulos?
Vamos repetir o procedimento com um pentágono, um
polígono com 5 lados, 5 vértices e 5 ângulos internos.
Multirio
Vamos tomar este
vértice como origem
das diagonais.
180°
180°
180°
Observe que, deste
vértice do pentágono, podemos
traçar duas diagonais e formar
3 triângulos.
E os ângulos internos
destes triângulos coincidem
com os ângulos do pentágono:
3.180 = 540º
A soma dos ângulos internos de um
pentágono é 540°.
Observe que, no quadrilátero (página 35), formamos 2 triângulos e no
pentágono (figura acima) podemos formar 3. Sendo assim, a
quantidade de triângulos formados é a quantidade de vértices menos 2.
Assim, um polígono com 6 lados pode ser dividido em 4
triângulos. Escolha um vértice e divida o hexágono abaixo:
Agora, complete:
Um hexágono possui ___ lados e pode ser dividido em ___
triângulos. Assim, podemos afirmar que a soma dos ângulos
internos de um hexágono é ___⋅ 180° = ___________.
Você consegue, sem traçar os triângulos, descobrir qual a
soma dos ângulos internos de um heptágono, polígono com 7
lados?
A soma dos ângulos internos
de um hexágono é ________
A soma dos ângulos internos
de um heptágono é ________
Radicais Gregos:
Pentágono – penta – cinco
Hexágono – hexa – seis
Heptágono – hepta – sete
MATEMÁTICA – 8.° ANO 37
Podemos observar que, com os desenvolvimentos da página
anterior, a quantidade de triângulos é a quantidade de lados
menos dois. Como cada triângulo possui 180°, basta multiplicar a
quantidade de triângulos por 180° para saber a soma dos ângulos
internos de qualquer polígono.
Se chamamos de 𝑛 a quantidade de lados, obteremos a
seguinte expressão para a soma dos ângulos internos:
Vamos ver alguns exemplos de como aplicar este resultado?
𝑺𝒊 = 𝒏 − 𝟐 ⋅ 𝟏𝟖𝟎°
Exemplo 1: Quanto mede a soma dos ângulos internos de um
polígono com 12 lados (dodecágono)?
Nesse caso, usamos a fórmula com 𝑛 = 12.
𝑆𝑖 = 𝑛 − 2 ⋅ 180°
𝑆𝑖 = 12 − 2 ⋅ 180°
𝑆𝑖 = 10 ⋅ 180°
𝑆𝑖 = 1 800°
Exemplo 2: A seguir, temos um hexágono regular. Ele possui
lados com a mesma medida e ângulos internos congruentes (ou
seja, de mesma medida também).
Vamos determinar a medida de cada um dos ângulos
internos 𝒂𝒊 deste polígono.
Neste caso, o número 10 que
aparece na expressão é a
quantidade de triângulos
formados no polígono.
𝑆𝑖 = 𝑛 − 2 ⋅ 180°
𝑆𝑖 = 6 − 2 ⋅ 180°
𝑆𝑖 = 4 ⋅ 180°
𝑆𝑖 = 720°
Observe que, desta forma, calculamos a medida da soma de
todos os ângulos internos. No entanto, cada um dos 6 ângulos terá
medida igual, já que o polígono é regular.
Basta, então, dividir a soma pela quantidade de ângulos:
𝑎𝑖 =720°
6
𝑎𝑖 = 120°
Para qualquer polígono regular, a medida do ângulo interno
será a soma de todos os ângulos, dividida pela quantidade de
ângulos. Veja:
𝒂𝒊 =𝒏 − 𝟐 ⋅ 𝟏𝟖𝟎°
𝒏
Polígono regularPossui todos os lados congruentese todos os ângulos com a mesmamedida.
MATEMÁTICA – 8.° ANO 38
2) O polígono apresentado a seguir é um octógono regular. Ele
possui, portanto, todos os seus oito lados com medidas iguais.
Seus ângulos internos também são congruentes (de mesma
medida).
Responda:
a) Qual a soma dos ângulos internos deste polígono?
b) Qual a medida de cada um dos seus ângulos internos?
1) Qual a soma dos ângulos internos do eneágono (polígono com
9 lados)?
3) Calcule a soma dos ângulos internos de um pentágono. Em
seguida, encontre o valor da incógnita 𝑥:
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥 + 10°
𝑥 − 50°
4) Qual o polígono que possui, como soma dos ângulos internos,
1 620° ?
Explique, para os seus colegas e para o seu Professor, de que forma você chegou aos resultados.
AGORA,É COM VOCÊ!!!
MATEMÁTICA – 8.° ANO 39
O que são ângulos externos? Você se lembra?
SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS DE POLÍGONOS
Ângulos externos
são formados entre um
dos lados e o
prolongamento de um
outro lado adjacente.
O triângulo desenhado acima possui 3 ângulos externos.
Em qualquer polígono, a quantidade de ângulos externos é a
mesma que a quantidade de lados do polígono.
Nós vamos realizar um experimento para tentar encontrar a
soma dos ângulos externos de um polígono qualquer. Observe
os desenvolvimentos apresentados a seguir:
1.º passo
Marcamos os ângulos externos do triângulo. Em seguida,
cortamos este triângulo em três partes.
2.º passo
Separamos os ângulos externos e juntamos esses ângulos
em um mesmo vértice. Veja:
Podemos, então, observar que os ângulos externos do
triângulo formam uma circunferência completa, isto é, um ângulo
de 360°.
Uma circunferência completa
pode representar o ângulo de 360° .
Veja o transferidor ao lado.
Lembre-se de que o ângulo raso,
de 180°, também pode ser chamado de
meia volta.
A seguir, continuaremos com os desenvolvimentos para
mostrar que, em qualquer polígono, a soma dos ângulos
externos é sempre 𝟑𝟔𝟎°.
Continua
180°
vértice
MATEMÁTICA – 8.° ANO 40
Investigando ...ooVamos repetir os passos realizados anteriormente. Recorte os
ângulos externos dos polígonos ao lado. Depois, cole-os nos
espaços indicados pelas setas. Observe o exemplo:
http
s://u
plo
ad.w
ikim
edia
.org
/wik
ipedia
/com
mons/f/f1
/Tra
nsfe
ridor.P
NG
http
s://u
plo
ad.w
ikim
edia
.org
/wik
ipedia
/com
mons/4
/4f/P
ostit_
larg
e.jp
ghttp
s://p
ixabay.c
om
/pt/te
soura
-tesoura
s-c
orte
-ferra
menta
-24188/
Recorte essas figuras
para completar a
atividade ao lado.
MATEMÁTICA – 8.° ANO 41
Recorte as figuras da
página 40.
Com esse experimento, podemos observar que qualquer
polígono convexo possui a mesma medida para a soma dos
ângulos externos (𝐒𝐞): 360°:
𝑆𝑒 = 360°
Exemplo 1: Observe o quadrilátero em que estão marcados os
ângulos externos:
𝑥
70°
85°
100°
Vamos encontrar o valor do ângulo desconhecido. Para isso,
vamos lembrar que a soma dos quatro ângulos externos desse
quadrilátero é igual a 𝟑𝟔𝟎°. Observe:
85° + 70° + 100° + 𝑥 = 𝟑𝟔𝟎°
255° + 𝑥 = 360°
𝑥 = 360° − 255°
𝑥 = 105°
MATEMÁTICA – 8.° ANO 42
1) Em cada um dos casos apresentados a seguir, escreva uma
equação e encontre os valores desconhecidos, resolvendo-as:
3𝑥
3𝑥
𝑥 + 20°
4𝑥 + 10°
2𝑦
2𝑦 − 25°
2𝑦 − 15°
𝑦
𝑦
Exemplo 2: Observe o pentágono regular. Isto significa que
possui todos os lados com a mesma medida. Podemos ver,
marcados no esquema, os cinco ângulos externos congruentes (de
mesma medida).
Já sabemos que a soma dos ângulos externos é de 360°:
Para encontrar o valor de um dos ângulos externos (𝒂𝒆), basta
dividir o total pela quantidade de ângulos, já que todos possuem a
mesma medida. Veja:
Esse resultado vale para qualquer polígono regular.
Para encontrar o valor da medida de um ângulo externo, basta
dividir 360° pela quantidade de ângulos do polígono regular.
𝑆𝑒 = 360°
𝑎𝑒 =360°
5𝑎𝑒 = 72°
𝑎𝑒 =360°
𝑛
MATEMÁTICA – 8.° ANO 43
𝛼
2) Leia o hexágono regular apresentado a seguir. Encontre o
valor do ângulo externo 𝛼:
3) Encontre os valores dos ângulos internos e externos de um
triângulo equilátero.
𝑺𝒊 = 𝒏 − 𝟐 ⋅ 𝟏𝟖𝟎°
𝒂𝒊 =𝒏 − 𝟐 ⋅ 𝟏𝟖𝟎°
𝒏
𝑆𝑒 = 360°
𝑎𝑒 =360°
𝑛
O ângulo interno e o ângulo externo de um polígono, em um
mesmo vértice, são sempre suplementares: somam 180° .
Observe:
105°
𝑥
105° + 𝑥 = 180°
𝑥 = 180° − 105°
𝑥 = 75°
Ângulointerno
Ânguloexterno
Os dois ângulos formam o ângulo raso
como o transferidor ao lado. Ambos
possuem medida angular de 180°.
Multirio
Exemplo: Se o ângulo interno do quadrilátero mede 105°, qual o
valor do ângulo externo neste mesmo vértice?
ÂNGULOS INTERNOS E EXTERNOS DE POLÍGONOS REGULARES
MATEMÁTICA – 8.° ANO 44
Leia a imagem do triângulo apresentado a seguir:
Nele, temos marcados os três ângulos internos e
o ângulo externo 𝒅 . Queremos encontrar uma relação dos
ângulos internos com este. Vamos lembrar, então, de dois fatos
que já estudamos:
PROPRIEDADE DO ÂNGULO EXTERNO DOS TRIÂNGULOS
𝒂
𝒃
𝒄𝒅
A partir desses resultados, vamos encontrar duas equações
em relação ao triângulo anterior. Veja:
Vamos igualar as expressões que são iguais a 180°. Veja:
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 180°
𝒄 + 𝒅 = 180°
Ângulos internos
Ângulos suplementares
A soma dos ângulos internos de qualquer
triângulo é sempre 180°.
Os ângulos interno e externo de um
polígono, quando adjacentes, são
suplementares: somam 180°
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝒄 + 𝒅
Nessa expressão, podemos simplificar o termo 𝒄 que
aparece nos dois membros.
Observe este resultado no triângulo:
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝒄 + 𝒅
𝒂 + 𝒃 = 𝒅
𝒂
𝒃
𝒅 = 𝒂 + 𝒃
A medida de um ângulo externo de um
triângulo é igual à soma dos ângulos
internos não adjacentes a este.
Exemplo 1: Encontrar a medida do ângulo apresentado a
seguir:
𝒙
𝟖𝟐°
𝟒𝟑°
𝑥 = 43° + 82°
𝑥 = 125°
𝒅
(a, b, c)
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 − 𝒄 = 𝒄 − 𝒄 + 𝒅
MATEMÁTICA – 8.° ANO 45
Exemplo 2: Qual o valor de 𝑦 no triângulo abaixo?
115° = 𝑦 + 62°
𝑦 = 115° − 62°
𝒚
𝟔𝟐°𝟏𝟏𝟓°
𝑦 = 53°
1) Utilize a propriedade do ângulo externo e encontre os ângulos
desconhecidos nos triângulos abaixo:
𝟏𝟐𝟕°
𝒃
𝟐𝟔°
𝟐𝟓°
𝒅
𝟏𝟏𝟏°
𝒚
𝟏𝟑𝟎°
𝟕𝟎°
𝟐𝒙 + 𝟐𝟎°
𝒙
𝟏𝟒𝟎°
𝒛 + 𝟏𝟎°𝟓𝒛
𝟐𝒛 + 𝟓𝟎°
2) Descubra o valor da incógnita em cada triângulo:
𝒚 + 𝟑𝟎°
𝒚
𝟑𝒚 − 𝟏𝟎°
Explique, para os seus colegas e para o seu Professor, de que forma você chegou aos resultados.
MATEMÁTICA – 8.° ANO 46
MÉDIA ARITMÉTICA
Neste momento, estudaremos a média aritmética simples,
que é uma medida de centralidade entre números dados. Vamos
calculá-la somando todos os valores e dividindo pela
quantidade destes.
Exemplo 1: Um jogador de basquete está participando de um
torneio. Ele anotou, em seu caderno, os pontos que marcou em seus
últimos 4 jogos. Leia a tabela:
Calcule a média de pontos por partida desse jogador.
Jogo 1 Jogo 2 Jogo 3 Jogo 4
Pontos 25 32 19 34
Somamos a quantidade de pontos em cada um dos quatro
jogos e dividimos por 4:
25+32+19+344 = 4
110=27,5
Assim, a média desse jogador é de 27,5 pontos por jogo.
Exemplo 2: Leia o gráfico e responda:
Nascim
ento
s a
cada 1
000 h
ab/k
m2
Ano
Taxa de natalidade é a quantidade de nascidos a cada mil
habitantes de uma determinada área ou região. Neste gráfico,
podemos ler o desenvolvimento da taxa de natalidade do Brasil
entre os anos de 1940 e 1999.
Agora responda:
Qual é a média aritmética simples da taxa de natalidade do
ano de 1940 ao ano de 1980?
Somamos os cinco valores dos anos presentes no gráfico:
44 44 43 38 31,2
Dividimos pela quantidade de valores somados: 5.
44+44+43+38+31,2
5=
200,2
5= 40,04
De 1940 a 1980, a taxa de natalidade, no Brasil, foi de
40,04 hab/km2.
Questão 1 – Lendo o gráfico de coluna apresentado a seguir,
percebemos que ele informa o consumo por mês de uma conta
de telefone. Assinale a opção que representa a média aritmética
aproximada do consumo mensal nesses meses.
CONSUMO MENSAL
Julho Agosto Setembro
200
150
100
50
0
202
160
185
MÊS
Min
uto
s u
tiliz
ados
(A) 202 minutos.
(B) 182 minutos.
(C)180 minutos.
(D)168 minutos.
TAXA DE NATALIDADE BRASIL
1940 / 1999
MATEMÁTICA – 8.° ANO 47
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