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PARTE IV – COORDENADAS POLARES
Existem vários sistemas de coordenadas planas e espaciais que, dependendo da área de
aplicação, podem ajudar a simplificar e resolver importantes problemas geométricos ou
físicos. Nesta parte, introduziremos um novo sistema de coordenadas planas que, para certas
curvas e problemas de lugar geométrico, apresenta algumas vantagens em relação às
coordenadas retangulares (cartesianas), além de facilitar, em alguns casos, o cálculo de
integrais (conteúdo que será estudado em outra disciplina).
Conteúdos
Sistema de coordenadas polares
Equações polares equivalentes
Conjunto abrangente e igualdade
Equação polar versus equação cartesiana
Reta e círculo
Gráficos de curvas dadas em polares
Intersecção de curvas em polares
Exercícios de Aprendizagem
PARTE IV – COORDENADAS POLARES – ERON 2
COORDENADAS POLARES
No sistema de coordenadas retangulares a localização de um ponto P do plano é dada
através da distância de P a duas retas perpendiculares fixas denominadas de eixos
coordenados. No sistema de coordenadas polares, as coordenadas de um ponto consistem de
uma distância e da medida de um ângulo, em relação a um ponto fixo e a uma semi-reta
fixa.
Sistema de coordenadas polares. Fixados um ponto O , denominado pólo ou origem e uma
semi-reta de origem nesse ponto, denominada de semi-eixo polar podemos localizar qualquer
ponto P do plano se conhecermos a sua distância ao pólo e o ângulo que o segmento OP
faz com o semi-eixo polar.
semi-eixo polar
pólo
r
P
O
Neste sistema, as coordenadas de um ponto P são representadas pelo par ( , )P r no qual
r é denominado raio vetor ou raio polar e corresponde à distância de P ao pólo.
é denominado ângulo vetorial ou ângulo polar e corresponde ao ângulo de rotação
do semi-eixo polar até o segmento OP .
0 se a rotação for no sentido anti-horário.
0 se a rotação for no sentido horário.
pode ser medido em graus ou radianos.
Denominamos
eixo polar – a reta orientada que contém o semi-eixo polar.
eixo a 90º ou eixo ortogonal – a reta que passa pelo pólo e é ortogonal ao eixo polar.
PARTE IV – COORDENADAS POLARES – ERON 3
semi-eixo polar
pólo
r
O
ângulo polar
raio polar
( , )P r
eixo a 90°
eixo polar
Exemplo
Marcar os pontos no sistema polar.
3,4
A
2,3
B
4,90ºC
3,0ºD
5 3,
2 4E
1,4
F
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
A
B
C
D
E
F
Observe que podemos considerar o raio vetor como distância orientada de um ponto P ao
pólo O da seguinte maneira: Se 0r giramos o semi-eixo polar de ângulo e na semi-reta
oposta marcamos r unidades, a partir do pólo. Como os pontos 3,0ºD e 1,4
F .
Conjunto abrangente. Observe o seguinte exemplo – representamos no sistema polar os
seguintes pontos: 1 1,6
P ; 27
1,6
P ; 35
1,6
P e 411
1,6
P .
PARTE IV – COORDENADAS POLARES – ERON 4
–4 –3 –2 –1 0 1 2
1P
–4 –3 –2 –1 0 1 2
2P
–4 –3 –2 –1 0 1 2
3P
–4 –3 –2 –1 0 1 2
4P
Por este exemplo, podemos observar que um mesmo ponto P pode ser obtido por vários
pares de coordenadas polares.
PARTE IV – COORDENADAS POLARES – ERON 5
De um modo geral, conhecidas as coordenadas de um ponto ( , )P r , r e em radianos,
P também pode ser representado por , 2r n ou , 2r n que resulta na única
expressão ( 1) , , nr n n . A menos que P seja o pólo, esta expressão representa
todas as possíveis coordenadas polares de P .
Definimos como abrangente ao conjunto de todas as curvas equivalentes de a uma dada
curva : ( , ) 0C f r , ou seja, ( ) ( 1) , , nE C f r n n .
Observe que em coordenadas polares não existe uma correspondência biunívoca entre pares e
pontos, como no caso das coordenadas cartesianas. É justamente este fato que leva a
resultados que, em alguns casos, diferem dos obtidos no sistema retangular.
Igualdade de dois pontos em coordenadas polares. Dados 1 1 1,P r e 2 2 2,P r então
1 2 1 2 0P P r r ou n tal que 2 1( 1)nr r e 2 1 n .
Note que se P é o pólo, então 0, representa P qualquer que seja .
Par principal (ou conjunto principal). Entre os infinitos pares de coordenadas polares de um
ponto P diferente do pólo, existe um único par com raio vetor 0r e 0,2 . A este
par 0 0,r tal que 0 0r e 00 2 denominamos par ou conjunto principal de
coordenadas polares do ponto P . Convencionamos que o par principal do pólo é (0,0)P .
Exemplos
1 – Dado o ponto, determine mais três pares de coordenadas polares que o represente:
a) 3,4
P . Solução. 1 3,4
P ; 25
3,4
P ; 37
3,4
P .
b) 1,Q . Solução. 1 1,0Q ; 2 1,3Q ; 3 1,2Q .
c) 2,0R
2 – Determine o par principal de coordenadas polares dos pontos dados:
a) 2, 870A
PARTE IV – COORDENADAS POLARES – ERON 6
Solução. O par principal 0 0,A r onde devemos ter
0 0r e 00 2 .
Fazendo 870 2 360 150 , sabemos que 150 corresponde a 210 . Logo, as
coordenadas principais do ponto são 2,210 .
b) 51
3,3
B
c) 4,530C
Equações polares equivalentes. Uma equação polar é uma equação dada em coordenadas
polares, isto é, que contém como variáveis os parâmetros que representam o raio e o ângulo
vetorial do sistema polar. Assim, uma equação polar é escrita na forma
( , ) 0f r .
O lugar geométrico determinado por uma equação polar ( , ) 0f r é formado por todos os
pontos e somente aqueles que tiverem pelo menos um par de coordenadas polares que
satisfaça a equação polar. Assim, é possível que um ponto 0 0,P r esteja no lugar
geométrico sem que suas coordenadas satisfaçam a equação.
Observe os exemplos seguintes
1. A equação polar 2r corresponde à circunferência de centro no pólo e raio 2 . O
ponto 2,2
P pertence à circunferência, mas não satisfaz a equação. Este mesmo
ponto pode ser dado nas coordenadas 3
2,2
que satisfaz a equação. Por outro lado, a
equação 2r representa a mesma circunferência. As equações 2r e 2r são
ditas equivalentes.
2. A equação 0 é a equação do eixo polar. As equações , n n são equações
equivalentes do eixo polar.
PARTE IV – COORDENADAS POLARES – ERON 7
Equação polar equação cartesiana. Dado um ponto P do plano tendo como coordenadas
polares ( , )P r e coordenadas cartesianas ( , )P x y , podemos utilizar a figura abaixo para
obter relações entre as variáveis coordenadas , , e x y r .
x
y
r
P
cos
sen
x r
y r
2 2 2
tg
x y r
y
x
Exemplos
1 – Determine o conjunto principal de coordenadas polares para o ponto 3,1P .
Solução. Das coordenadas cartesianas do ponto, temos 3x e 1y . Então,
23 1 2r e
1 1 1 5tg arctg
63 3 3.
Logo, o conjunto principal de coordenadas polares do ponto P é 5
2,6
.
2 – Escreva as coordenadas cartesianas do ponto 3
2,4
A .
Solução. O ponto foi dado em coordenadas polares, portanto, 2r e 3
4. Então,
3 2cos 2 cos 2 1
4 2
3 2sen 2 sen 2 1
4 2
x r
y r
Logo, o ponto A tem coordenadas cartesianas 1, 1 .
3 – Determine uma equação polar para as curvas que tem equações cartesianas dadas:
a) 1 2y x
Solução.
b) 2 2 4x y
PARTE IV – COORDENADAS POLARES – ERON 8
Solução. Usando que cosx r e seny r e substituindo na equação cartesiana, temos
2 2cos sen 4r r que nos dá 2r e 2r , equações polares equivalentes da
circunferência de centro na origem e raio 2.
c) 3y x
d) 2 2 2x y x
4 – Determine uma equação cartesiana das curvas cuja equação na forma polar é dada por:
a) 2 2sen(2 )r
Solução. 2 2 2r x y e sen(2 ) 2sen cos implicam em
22 2 2 2
2 22 2 2 2
44 sen cos 4 4
x y xyx y x y xy
x yx y x y.
b) 6
2 3senr
Solução. 2 26 2 3 sen 6 2 3 6
2 3senr r r x y y , ou seja, a equação
procurada é dada por 2 24 5 36 36x y y .
Equação de algumas curvas em coordenadas polares
1. Reta
1.1 Reta que passa pelo pólo
A reta que passa pelo pólo é o lugar geométrico dos
pontos ( , )P r cujo ângulo vetorial é constante.
Portanto, a equação
k onde k é uma constante, representa uma reta que
passa pelo pólo.
O
k
PARTE IV – COORDENADAS POLARES – ERON 9
1.2 Caso geral – reta que não passa pelo pólo
Seja uma reta e tracemos do pólo até a
normal ON , sendo ( , )N o ponto de
intersecção de com a reta ON de modo que o
triângulo ONP seja retângulo em N . Assim,
cos( )r
, logo, se ( , )P r é um ponto sobre
então a equação polar da reta é dada por
cos( )r
ou
cos sen 0x y .
O
( , )N
( , )P r
r
Casos particulares
Reta perpendicular ao eixo polar
cos , 0r – Reta à direita do pólo.
cos , 0r – Reta à esquerda do pólo.
Reta perpendicular ao eixo a 90
sen , 0r – Reta acima do eixo polar.
sen , 0r – Reta abaixo do eixo polar.
Exemplos – Escreva a equação cartesiana de cada reta dada em sua forma polar:
a) 4
3
b) 1 2 2
cos sen2 2r
c) 2 senr
2. Círculo
PARTE IV – COORDENADAS POLARES – ERON 10
2.1 Círculo com centro no pólo
A equação polar do círculo com centro no pólo e raio a é dada
por:
r a ou
r a .
O
a
2.2 Círculo com centro 0 0,C r e raio a .
Usando a lei dos cossenos temos
0 0 0
2 2 2 2 cos( )a r r rr (I)
que é chamada equação padrão do círculo.
Casos particulares O
a
C
r
( , )P r
0r
0
0)
(
Círculo que passa pelo pólo e tem centro no eixo polar. Neste caso , 0 , 0C a a .
Substituindo em (I): 2 2 cosr ra . Uma vez que, para 0r o ponto é o pólo, que pertence
à circunferência, podemos simplificar e obter 2 cosr a .
Centro à direita do pólo Centro à esquerda do polo
Círculo que passa pelo pólo e tem centro no eixo a 90. Neste caso ,90 , 0C a a .
Substituindo em (I) temos 2 2 senr ra . Uma vez que para 0r o ponto é o pólo que
pertence à circunferência podemos simplificar e obter 2 senr a .
C O
2 cosr a
C O
2 cosr a
C
O
2 senr a
C
O
2 senr a
PARTE IV – COORDENADAS POLARES – ERON 11
Centro acima do eixo polar Centro abaixo do eixo polar
3. Algumas curvas “clássicas” em coordenadas polares
3.1) 2 2cosr (cardióide) 3. 2) 3cos(2 )r (rosácea)
3.3) 2 4cos(2 )r (lemniscata) 3.4) r (espiral de Arquimedes)
Exemplos de gráficos de curvas em coordenadas polares
Circunferências. Considerando 2a .
r a 2 cosr a 2 senr a
PARTE IV – COORDENADAS POLARES – ERON 12
Limaçons. Considerando 3a e 2b ( )a b .
cosr a b cosr a b
senr a b senr a b
Considerando 2a e 3b ( )a b .
cosr a b cosr a b
senr a b senr a b
PARTE IV – COORDENADAS POLARES – ERON 13
Considerando 2a .
1 cosr a 1 cosr a
1 senr a 1 senr a
Rosáceas. Considerando 2a , 3, ímparn n .
cos( )r a n sen( )r a n
Considerando 2a , 4, parn n .
PARTE IV – COORDENADAS POLARES – ERON 14
cos( )r a n sen( )r a n
Espirais. Considerando 2a .
ar ( 0)
ar ( 0)
ar e ( 0,1)a , 1r a a
r r
PARTE IV – COORDENADAS POLARES – ERON 15
Intersecção de curvas em polares. Dadas duas curvas em coordenadas polares,
1 : ( , ) 0C f r e 2 : ( , ) 0C g r . Para determinar os pontos de intersecção dessas curvas
devemos
i) Obter o conjunto abrangente de uma das curvas;
ii) Resolver todos os sistemas formados por uma das equações fixadas e cada uma das
equações do conjunto abrangente;
iii) Verificar se o pólo está na intersecção.
Exemplos – Para cada par de curvas dadas, determinar o conjunto de pontos da intersecção:
a) 1 : 4 cos(2 )C r (rosácea de quatro pétalas) e
2 : 2C r (círculo de centro em (0,0) e raio 2).
Solução. Considerando os conjuntos abrangentes
de 1C e 2C , respectivamente, dados por
1( ) 4cos(2 ), 4cos(2 )E C r r e
2( ) 2, 2E C r r
A partir de 1( )E C e 2( )E C , os possíveis sistemas
formados e suas respectivas soluções são:
1 : 4 cos(2 )C r
2 : 2C r
De 1
4 cos(2 ):
2
rS
r tem-se que
12 4cos(2 ) cos(2 ) 2 ou 2 ou
2 3 3 6 6.
Logo, os pontos 1 2,6
P e 2 2,6
P pertencem a 1 2C C .
De 2
4 cos(2 ):
2
rS
r tem-se 3 2,
3P e 4
22,
3P .
De 3
4 cos(2 ):
2
rS
r tem-se 5 2,
3P e 6
22,
3P .
De 4
4 cos(2 ):
2
rS
r tem-se 7 2,
6P e 8 2,
6P .
Então, 1 2
2 22, , 2, , 2, , 2, , 2, , 2, , 2, , 2,
6 6 3 3 3 3 6 6C C .
b) 1 : 2(1 cos )C r (cardióide) e 2 :4
C (reta passando pelo pólo).
PARTE IV – COORDENADAS POLARES – ERON 16
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM – COORDENADAS POLARES
1 – Utilizando um papel de coordenadas polares, posicione os pontos no plano, dadas suas
coordenadas polares:
2,3
A 3,2
B 3
5,4
C
36,
4D
3 4,
2 3E 2,315F
4,3
G 2,6
H 3,15I
2 – Dados os pontos: 15
3,3
P 2 3,330P 3 1,3
P
4 2, 315P 5 0,53P 6 0,P e 7 1,3P .
Determine:
2.1. a representação gráfica de cada um desses pontos no plano polar;
2.2. três outros conjuntos de coordenadas polares para os pontos 3P e 4P ;
2.3. as coordenadas retangulares dos pontos 1P , 5P e 7P ;
2.4. quais desses pontos coincidem com o ponto 3,2310P ?
3 – Identifique e faça o gráfico do lugar geométrico gerado pelo ponto P :
a) que se move de maneira que, para todos os valores de seu ângulo vetorial, seu raio vetor
permanece constante e igual a 4 ;
b) que se move de maneira que, para todos os valores de seu raio vetor, seu ângulo vetorial
permanece constante e igual a 45 .
4 – Um triângulo eqüilátero possui como vértices o pólo e o ponto (4,0)A . Determinar as
coordenadas do outro vértice. (observe que são dois casos).
5 – Um quadrado com centro na origem tem como um dos vértices o ponto 3,60A .
Determinar as medidas dos lados e as coordenadas dos outros vértices.
6 – Verifique se o ponto P pertence à curva C , quando:
PARTE IV – COORDENADAS POLARES – ERON 17
a) 1,6
P e 2: 2cos(2 ) 0C r b) 1,2
P e : 1 3sen 4C r
c) 4,2
P e : 4 sen(3 )C r d) 0,11
P e : 3cos sen 0C r r
7 – Transforme a equação retangular (cartesiana) dada em sua forma polar:
a) 2 0x y b) 2 2 2 0x y y
c) 2xy d) 2 4 4x y
8 – Transforme a equação polar dada em sua forma retangular (cartesiana):
a) cos 2 0r b) 4
1 2cosr
c) 22sec2
r d) 2 4cos(2 )r
9 – Determine os pontos do eixo polar distando 5 unidades do ponto 4
4,3
P .
10 – Determine a equação polar da reta r que passa pelo ponto 3,60P , sabendo que o
segmento OP é normal à reta r .
11 – Determine a equação polar da reta r que passa ponto 2,330P e que:
a) é paralela ao eixo a 90º .
b) é perpendicular ao eixo polar.
c) é paralela à reta :6
s .
d) é perpendicular à reta 1 2
: cos sen2
t .
e) passa pelo ponto 1, 30Q .
f) passa pelo ponto 4,210R .
12 – Determine uma equação polar do círculo concêntrico com o círculo
21 : 4 3 cos 4 sen 7 0C e cujo raio é o dobro do raio de 1C .
PARTE IV – COORDENADAS POLARES – ERON 18
13 – Esboce o gráfico das curvas cujas equações polares são:
a) 2secr b) 2 2sen(2 )r
c) 3 cosr d) 4senr
e) 2 8cos(2 )r f) 2sen(3 )r
g) 2r h) 4 2senr
i) 4cos(2 )r j) /2r e
14 – Determine as intersecções do par de curvas 1C e 2C dadas abaixo:
a) 1 : 2 2cosC r e 2 :4
C .
b) 1 : 3C r e 2 : 6 sen(2 )C r .
c) 1 : 4 2senC r e 2 : 2 2senC r .
15 – Sejam 1F e 2F dois pontos distintos do plano e seja k a metade da distancia de 1F a
2F . O lugar geométrico dos pontos P do plano tais que 21 2PF PF k denomina-se
lemniscata de focos 1F e 2F .
a) Tomando-se 1( ,0)F k e 2( ,0)F k , determine a equação, em coordenadas cartesianas da
lemniscata;
b) Passe para coordenadas polares a equação obtida no ítem a) tomando para pólo a origem
e x como eixo polar.
Equação polar das cônicas
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