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Ttulo Atas do XXIII Seminrio de Investigao em Educao Matemtica Organizadores Hlia Pinto, Hlia Jacinto, Ana Henriques, Ana Silvestre e Cludia Nunes Edio Associao de Professores de Matemtica Lisboa, Outubro de 2012 ISBN: 978-972-8768-53-9
Apoios:
iii
NDICE
INTRODUO ................................................................................................................... xi
CONFERNCIAS PLENRIAS
Geometrical and spatial reasoning: challenges for research in mathematics education ................ 3 Keith Jones
O desenvolvimento do sentido da multiplicao e da diviso de nmeros racionais: a diviso como produto de medidas ........................................................................................................... 13 Hlia Pinto
Contributos da participao no programa de formao contnua em matemtica para o desenvolvimento profissional de professores do 1. ciclo do ensino bsico ............................... 29 Cristina Martins
SIMPSIO 1 NMEROS E OPERAES
Nmeros e operaes: um tema a (re)discutir ............................................................................. 42 Elvira Ferreira & Manuel Vara Pires (moderadores)
O trabalho de projeto em matemtica no 1. ciclo: um caminho para a construo da cidadania ..................................................................................................................................... 47 Joana Conceio & Margarida Rodrigues
Sobre o desenvolvimento histrico do conceito de nmero ........................................................ 59 Inocncio Balieiro Filho
A discusso de estratgias de clculo mental e o desenvolvimento do sentido de multiplicao de nmeros racionais ................................................................................................................... 73 Renata Carvalho & Joo Pedro da Ponte
Os robots na aprendizagem de conceitos matemticos: analisando o processo de transparncia dos artefactos ............................................................................................................................... 85 Snia Martins
A resoluo de problemas de subtrao: significados, estratgias e procedimentos, que relao com o desenvolvimento do sentido de nmero dos alunos?........................................................ 97 Elvira Ferreira
O sentido do nmero no 1. ciclo: uma leitura de investigao ................................................ 109 Lurdes Serrazina
iv
SIMPSIO 2 GEOMETRIA E MEDIDA
Geometria e medida .................................................................................................................. 123 Conceio Costa & Isabel Vale (moderadoras)
Lesson study na formao de professores do 1. ciclo do ensino bsico ................................... 127 Mnica Baptista, Joo Pedro da Ponte, Estela Costa, Isabel Velez & Margarida Belchior
Esquemas de prueba de maestros en formacin en tareas visuales ........................................... 139 Margherita Gonzato, Juan Godino & Teresa Neto
Francisco Gomes Teixeira: o conceito de reta tangente no Curso de Analyse Infinitesimal ..... 153 Catarina Mota, Maria Elfrida Ralha& Maria Fernanda Estrada
As isometrias no 2. ciclo do ensino bsico: uma proposta de ensino baseada no modelo de Van Hiele .................................................................................................................................. 167 Susana Pinto & Lina Fonseca
Perceo de relaes no espao por crianas dos 3 aos 7 anos ................................................ 181 Cristina Alves & Alexandra Gomes
Reflexos de uma oficina de formao nas prticas de duas professoras de matemtica ........... 193 Justina Pais Neto
O conhecimento geomtrico de futuros professores do ensino bsico: uma breve caracterizao ............................................................................................................................ 207 Angela Couto & Isabel Vale
O desenvolvimento de habilidades geomtricas na educao infantil ...................................... 221 Evandro Tortora & Nelson Pirola
Transformaes geomtricas: conhecimentos e dificuldades de futuros professores ............... 233 Alexandra Gomes
A utilizao da visualizao para ensinar a aprender matemtica ............................................ 245 Isabel Vale & Teresa Pimentel
SIMPSIO 3 LGEBRA E PENSAMENTO ALGBRICO
lgebra e Pensamento algbrico ............................................................................................... 261 Manuel Saraiva & Neusa Branco (moderadores)
Pensamento algbrico nos primeiros anos de escolaridade - um trabalho colaborativo entre professores................................................................................................................................. 269 Clia Cascais
v
A aprendizagem das expresses algbricas por uma aluna discalclica ................................... 281 Corlia Pimenta & Manuel Saraiva
Aprender matemtica com robots: a dana entre a agncia material e agncia conceptual ...... 295 Elsa Fernandes
Desenvolver o pensamento algbrico a partir da explorao de sequncias e regularidades .... 307 Ana Morais
O movimento histrico e lgico dos conceitos algbricos e o objeto de ensino da lgebra: o caso das equaes .............................................................................................................................. 319 Maria Lucia Panossian & Manoel Oriosvaldo de Moura
Raciocnios desenvolvidos na verificao das solues de sistemas de equaes lineares ....... 333 Paula Barros, Jos Antnio Fernandes & Cludia Arajo
A explorao da variao de quantidades: um estudo com alunos do 4. ano de escolaridade . 349 Clia Mestre & Hlia Oliveira
O recurso a diferentes representaes no ensino das funes com o apoio da tecnologia ........ 365 Helena Rocha
A aprendizagem de mtodos formais na resoluo de sistemas de equaes - o caso de Ana .. 377 Sandra Nobre, Nlia Amado & Joo Pedro da Ponte
SIMPSIO 4 PROBABILIDADES E RACIOCNIO ESTATSTICO
Probabilidade e raciocnio estatstico ........................................................................................ 395 Ana Henriques & Susana Colao (moderadoras)
Avaliao da associao estatstica num diagrama de disperso por estudantes universitrios ............................................................................................................................. 403 Delson Mugabe, Jos Antnio Fernandes & Paulo Ferreira Correia
El lenguaje sobre la correlacin y regresin: un estudio de dos libros de texto ........................ 415 Magdalena Gea, Miguel Contreras, Pedro Arteaga & Gustavo Caadas
Comparao de probabilidades condicionadas no contexto de extrao de bolas de um saco ............................................................................................................................................ 429 Paulo Ferreira Correia & Jos Antnio Fernandes
O estudo da mdia, da mediana e da moda por meio de um jogo e da resoluo de problemas .................................................................................................................................. 443 Jos Marcos Lopes, Renato Sagiorato Corral & Jssica Scavazini Resende
Uma corrida de robots numa prtica matemtica escolar .......................................................... 459 Paula Cristina Lopes
vi
A interpretao de medidas de tendncia central de futuros professores e educadores na realizao de uma investigao estatstica ................................................................................ 471 Raquel Santos & Joo Pedro da Ponte
Erros e dificuldades de alunos do 1. ciclo na representao de dados atravs de grficos estatsticos ................................................................................................................................. 483 Ana Michele Cruz & Ana Henriques
Planeamento estatstico e anlise de dados no 3. ciclo do ensino bsico ................................. 501 Cristina Roque & Joo Pedro da Ponte
Literacia estatstica no 5. ano: uma experincia de ensino ...................................................... 519 Ctia Freitas
SIMPSIO 5 CAPACIDADES TRANSVERSAIS
Capacidades transversais em educao em matemtica ............................................................ 539 Isabel Cabrita & Lina Fonseca (moderadoras)
Comunicao matemtica na sala de aula dos anos iniciais: contributos de um programa de formao ............................................................................................................................... 545 Rgis Souza & Joo Pedro da Ponte
Comunicao matemtica entre estudantes na formao de professores a distncia ................ 557 Luciane Bertini & Crmen Passos
As atitudes em relao matemtica e suas influncias no desempenho de alunos em resoluo de problemas ............................................................................................................. 569 Giovana Sander & Nelson Pirola
Comunicao escrita de alunos do 6. ano de escolaridade ....................................................... 581 Carla Alves & Lina Fonseca
Envolvimento das mes no trabalho de casa (tpc) de matemtica: contributo para o desenvolvimento da comunicao matemtica ......................................................................... 595 Marta Moreno, Lina Fonseca & Teresa Gonalves
Formulao e resoluo de problemas ...................................................................................... 607 Pedro Almeida
Criatividade: onde a encontrar na aula de matemtica? ............................................................ 621 Sandra Pinheiro & Isabel do Vale
Proposta de um projeto de investigao sobre a comunicao matemtica com alunos com deficincia auditiva: um estudo de caso numa turma do 7. ano ............................................... 637 Joana Tinoco, Helena Martinho & Anabela Cruz-Santos
vii
Como o modelo SOLO permite analisar as respostas dos alunos? Um caso na formao inicial de professores ................................................................................................................. 649 Fernando Santos & Antnio Domingos
Representaes e raciocnio de alunos do 3. ano de escolaridade na resoluo de problemas .................................................................................................................................. 663 Isabel Velez & Joo Pedro da Ponte
Literacia tecno-matemtica na resoluo de problemas com tecnologias ................................. 677 Hlia Jacinto & Susana Carreira
Autoavaliao em matemtica: o caso de um aluno no contexto de uma interveno de ensino ........................................................................................................................................ 693 Slvia Semana & Leonor Santos
SIMPSIO 6 FORMAO DE PROFESSORES E IDENTIDADE PROFISSIONAL
Formao de professores e Identidade profissional .................................................................. 707 Nlia Amado & Helena Martinho
Implicaes do PMII no desenvolvimento profissional docente: da reflexo prtica ............ 713 Ins Oliveira & Jos Antnio Fernandes
O investimento na profisso e a construo da identidade profissional estudo de caso ......... 727 Josimar de Sousa
Desafios de formadores de matemtica para a vida do processo RVCC ............................... 739 Ceclia Fantinato & Darlinda Moreira
POSTERS
Desenvolvimento de sentido de nmero na educao pr-escolar ............................................ 753 Teresa Vilar & Lina Fonseca
Conhecimento dos alunos sobre geometria no incio do 3. ciclo: identificao e definio de tringulos e de paralelogramos ............................................................................................. 757 Conceio Tavares & Ceclia Monteiro
Tarefas em geometria da sala de aula para a formao de professores. ................................. 761 Alexandra Gomes, C. Miguel Ribeiro, Fernando Martins, Hlia Pinto, Ana Paula Aires, Helena B. Campos, Ana Caseiro, Cristina Alves, Paula Rebelo, Helena Gomes, Ctia Rodrigues & Ricardo Poas
Construo das seces planas de um cubo e sua representao em ambiente 2D do GeoGebra .................................................................................................................................. 765 Ilda Reis & Edite Cordeiro
viii
A abordagem lesson study no ensino de equaes do 1. grau: um caso de desenvolvimento profissional ................................................................................................................................ 769 Cludia Nunes, Ana Isabel Silvestre & Hlia Jacinto
Conhecimento e prticas em educao estatstica de professores do 1. ciclo num contexto de trabalho colaborativo ............................................................................................................ 773 Ana Caseiro
Desenvolver a literacia estatstica (DSL): aprendizagem do aluno e formao do professor ... 777 Hlia Oliveira, Ana Henriques, Ana Paula Canavarro, Carolina Carvalho, Joo Pedro da Ponte, Rosa Ferreira, Susana Colao, Ana Quintelas, Ana Caseiro, Ctia Freitas, Cristina Roque, Isabel Velez, Mnica Patrcio, Nlida Filipe, Nuno Ranho, Raquel Santos & Sandra Quintas
A aprendizagem de conceitos matemticos em cursos de engenharia ...................................... 781 Manuela Alves, Cristina S. Rodrigues, Ana Maria A.C. Rocha & Clara Coutinho
Compreender problemas de processo: um contributo para a educao pr-escolar .................. 785 Cludia Soares & Lina Fonseca
Raciocnio matemtico de alunos e futuros professores: uma primeira aproximao .............. 789 Fernando Martins, Marta Vieira, Diogo Reis & C. Miguel Ribeiro
Resoluo de problemas de processo na educao pr-escolar ................................................. 793 Helena Costa & Ana Barbosa
As competies matemticas online como contexto de investigao vertentes do projeto Problem@Web .......................................................................................................................... 797 Susana Carreira, Nlia Amado, Rosa Antnia Ferreira, Jaime Carvalho e Silva, Juan Rodriguez, Hlia Jacinto, Nuno Amaral, Sandra Nobre, Slvia Reis & Isa Martins
Resoluo de problemas e as avaliaes externas de matemtica no brasil .............................. 801 Maria Madalena Dullius, Daniela Cristina Schossler & Virginia Furlanetto
Padres: uma abordagem criativa aprendizagem em diferentes reas/domnios da educao pr-escolar ................................................................................................................. 805 Ana Barbosa & Bibiana Lopes
Um outro olhar sobre os dados do PISA: caraterizao dos alunos com nveis de proficincia elevados em matemtica............................................................................................................ 809 Snia Barbosa & Paulo Infante
Prticas profissionais dos professores de matemtica: o projeto P3M ...................................... 813 Joo Pedro da Ponte, Hlia Oliveira, Ana Paula Canavarro, Darlinda Moreira, Helena Martinho, Lus Menezes, Rosa Toms Ferreira, Ana Gafanhoto, Ana Isabel Silvestre, Antnio Guerreiro, Ana Paula Gil, Clia Merc, Cludia Domingues, Cludia Nunes, Cludia Oliveira, Clia Mestre, Hlia Ventura, Isabel Velez, Joana Mata Pereira, Laura Bandarra, Lgia Carvalho, Maria da Graa Magalhes, Marisa Quaresma, Mnica Patrcio, Nelson Mestrinho, Neusa Branco, Paulo Gil, Renata Carvalho, Sandra Campelos & Sandra Quintas
ix
O conhecimento matemtico dos futuros docentes no incio da Licenciatura em Educao Bsica: um projeto envolvendo trs Escolas Superiores de Educao ...................................... 817 Lurdes Serrazina, Ana Barbosa, Ana Caseiro, Antnio Ribeiro, Ceclia Monteiro, Cristina Loureiro, Ftima Fernandes, Graciosa Veloso, Isabel Vale, Lina Fonseca, Lus Menezes, Margarida Rodrigues, Pedro Almeida, Teresa Pimentel & Tiago Tempera
Cursos de formao contnua de professores: alternativa para a insero de recursos computacionais no ensino de matemtica ................................................................................. 821 Marli Teresinha Quartieri, Maria Madalena Dullius, Adriana Belmonte Bergmann, Teresinha Aparecida Faccio Padilha, Fernanda Eloisa Schmitt & Gabriele Born Marques
Formao inicial do professor de matemtica contribuies para um processo de incentivo docncia..................................................................................................................................... 825 Inocncio Fernandes Balieiro Filho
x
xi
INTRODUO
O SIEM Seminrio de Investigao em Educao Matemtica, uma organizao do
Grupo de Trabalho de Investigao da Associao de Professores de Matemtica. A sua
vigsima terceira edio decorre, nos dias 6 e 7 de outubro de 2012, na Escola
Secundria Quinta das Flores, em Coimbra.
Para alm de proporcionar um espao de expresso da comunidade de investigao no
campo da Educao Matemtica para divulgao, comunicao, confronto e discusso
de ideias e trabalhos realizados, este Seminrio procura promover a articulao entre a
investigao nesta rea e o ensino da Matemtica. Assim, procura dar continuidade
sua tradio de aliar a investigao prtica.
O Seminrio conta com a participao de cerca de uma centena e meia de professores e
investigadores oriundos de Portugal, Espanha, Brasil e Reino Unido, 56 dos quais
envolvidos na apresentao de comunicaes orais e de posters. Esta grande afluncia,
que contribui para o sucesso do XXIII SIEM, reflete o interesse e preocupao de
muitos investigadores e educadores matemticos com a Educao Matemtica.
As comunicaes orais e os posters esto organizados em 6 simpsios, coordenados por
investigadores convidados, e focados nos seguintes temas: Nmeros e Operaes;
Geometria e Medida; lgebra e Pensamento Algbrico; Probabilidade e Raciocnio
Estatstico; Capacidades Transversais; e Formao de Professores e Identidade
Profissional. Os simpsios tm como propsito reunir participantes com alguma
afinidade nos temas versados nas comunicaes, de forma a constiturem-se como
espaos de discusso aprofundada.
Para alm das comunicaes e posters, o XXIII SIEM inclui trs conferncias plenrias
e dois painis. A primeira conferncia plenria, a cargo de um convidado estrangeiro,
subordinada ao tema Geometrical and spatial reasoning: Challenges for research in
mathematics education e proferida por Keith Jones da Universidade de Southampton,
Reino Unido. As outras duas conferncias so da responsabilidade de investigadores
nacionais convidados. Uma delas, intitulada O desenvolvimento do sentido da
multiplicao e da diviso de nmeros racionais: A diviso como produto de medidas
proferida por Hlia Pinto da Escola Superior de Educao do Instituto Politcnico de
Leiria. A outra proferida por Cristina Martins, da Escola Superior de Educao do
Instituto Politcnico de Bragana e tem como ttulo Contributos da participao no
xii
programa de formao contnua em matemtica para o desenvolvimento profissional de
professores do 1. ciclo do ensino bsico. Estas conferncias plenrias tm como
objetivo reunir os participantes numa reflexo sobre temas mais transversais ou ilustrar
aspetos mais particulares do que se vai realizando em termos de investigao e da
Educao Matemtica em Portugal.
Os painis plenrios visam trazer discusso, outras vertentes da investigao nesta
rea. O primeiro dedicado divulgao de trs organizaes internacionais que
partilham a preocupao com o desenvolvimento e disseminao da investigao em
Educao Matemtica, nomeadamente a International Commission on Mathematical
Instruction (ICMI), o International Group for the Psychology of Mathematics Education
(PME), e a European Society for Research in Mathematics Education (ERME).
Atualmente, Portugal tem vrias individualidades a desempenharem cargos de relevo
nas referidas organizaes, respetivamente Jaime Carvalho da Silva, Joo Filipe de
Matos e Leonor Santos, e que as apresentam num painel moderado por Ana Paula
Canavarro. No segundo painel apresentado um projeto de investigao, DROIDE II -
Os robots na Educao Matemtica e Informtica -, coordenado por Elsa Fernandes da
Universidade da Madeira que tambm modera a sesso. Participam neste painel, Joo
Filipe de Matos, Snia Abreu, Susana Carreira e Hlia Jacinto.
Neste documento, apresentam-se os textos remetidos pelos autores das conferncias e
das diversas comunicaes orais e posters que foram aceites pelo painel de revisores,
envolvidos no extenso processo de apreciao das propostas de comunicao e posters
recebidas. Todo este processo no teria sido ainda possvel, sem o valioso contributo
dos doze investigadores convidados para moderarem os seis simpsios a decorrer.
Esperamos que o XXIII SIEM possa contribuir para divulgar os avanos, as novas
tendncias e o importante trabalho realizado, quer na investigao em Educao
Matemtica, quer na prtica do ensino e aprendizagem da Matemtica. Agradecemos a
todos os que de alguma forma contriburam e contribuem para a realizao e sucesso
deste seminrio e esperamos que sintam que o tempo despendido foi profcuo.
Coimbra, outubro de 2012
A Comisso Organizadora
1
CONFERNCIAS PLENRIAS
2
3
GEOMETRICAL AND SPATIAL REASONING: CHALLENGES
FOR RESEARCH IN MATHEMATICS EDUCATION
Keith Jones
University of Southampton, UK
d.k.jones@soton.ac.uk
Abstract
In this paper I examine evidence from research to argue that geometry education at the
school level needs to attend to two closely-entwined aspects of geometry: the spatial
aspects and the aspects that relate to reasoning with geometrical theory. Both of these
aspects can be taught, but the challenge for research in mathematics education is to
find way in which both geometric and spatial reasoning can be taught in a way that
each supports the other.
Keywords: geometry, spatial, reasoning, research, mathematics education
Introduction
In the foreword to a book entitled The Best Writing on Mathematics 2010, the great
mathematician Bill Thurston (1946 - 2012), in one of his last contributions to
mathematics education, wrote:
We humans have a wide range of abilities that help us perceive and
analyze mathematical content. We perceive abstract notions not just
through seeing but also by hearing, by feeling, by our sense of body
motion and position. Our geometric and spatial skills are highly trainable,
just as in other high-performance activities. In mathematics we can use
the modules of our minds in flexible ways - even metaphorically. A
whole-mind approach to mathematical thinking is vastly more effective
than the common approach that manipulates only symbols (Thurston,
2011, p. xiii)
This quote captures, in a most elegant way, the themes of this paper: that geometric and
spatial reasoning are essential to mathematics and that they can be taught in ways that
enhance overall mathematical thinking. The challenge for research in mathematics
education is how geometric and spatial reasoning can be taught in a way that supports
what Thurston calls the whole-mind approach to mathematical thinking (ibid). In this
paper I examine evidence from research to argue that geometry education at the school
level needs to attend to two closely-entwined aspects of geometry: the spatial aspects
and the aspects that relate to reasoning with geometrical theory. These twin aspects of
geometry, the spatial and the deductive, I argue, are not separate; rather, they are
4
interlocked. Just as the renowned mathematician Michael Atiyah refers to geometry as
one of the two pillars of mathematics (Atiyah 2001, p. 657), alongside algebra, I
argue in this paper that geometric and spatial reasoning are the yin-yang of geometry
education in that they are interconnected and inter-dependent in such a way that each
gives rise to the other.
In this paper, I first examine the nature of geometrical and spatial reasoning. Then, after
a review of research with primary-school pupils, I review issues that impact on learners
progression in spatial and geometrical reasoning through the secondary school years. I
conclude by suggesting issues that continue to present a challenge for research and
where more evidence is needed. The overall thrust of what I say is adapted from the
chapter on spatial and geometrical reasoning that I led for the book entitled Key Ideas in
Teaching Mathematics due to be published in February 2013 (Watson, Jones & Pratt, in
press). Where I can I use evidence from research that I have conducted, often in
collaboration with colleagues internationally.
The nature of geometrical and spatial reasoning
A useful definition of geometry is one attributed to the mathematician, Christopher
Zeeman: geometry comprises those branches of mathematics that exploit visual
intuition (the most dominant of our senses) to remember theorems, understand proof,
inspire conjecture, perceive reality, and give global insight (Royal Society, 2001, p.
12). This definition encapsulates what can be thought of as the dual nature of geometry
in that it is both one of the most practical and reality-related components of
mathematics, and it is an important area of mathematical theory. This means, on the one
hand, that geometry can be seen all around us (and is widely utilised in art, design,
architecture, engineering, and so on) while, on the other hand, it is simultaneously a
theoretical field that allows geometers and other mathematicians, together with
cosmologists and other scientists, to work with hypothetical objects in n-dimensional
space using, amongst other things, mathematical visualisation techniques with high-
powered computers.
The notion of figural concept (Fischbein, 1993; Fischbein and Nachlieli, 1998)
captures the combined role of the figural and the conceptual in geometry. This means
that in seeing a circle represented on paper, or on a computer screen, what we see is a
textual representation of something which is an element of geometrical theory. One way
5
to work with this dual nature of geometry is to distinguish between a drawing and a
figure (Parzysz, 1988) in that, as Laborde (1993, p. 49) explains, drawing refers to
the material entity, while figure refers to a theoretical object. Another way is to follow
Phillips et al. (2010, p.3-4) and take a geometric diagram as an unusual thing in that it
is not an abstraction of an experienced object. Rather, it is an attempt to take an abstract
concept and make it concrete. In this sense, the term geometric diagram is being used
by Phillips (and by Laborde, 2004) to capture the idea that any geometric object that we
see is both a material drawing and a theoretical figure.
Ever since the time of Euclids Elements (the third century BCE, or thereabouts),
geometrical reasoning has been synonymous with the deductive method. As such, for
the purposes of this paper, I take geometrical reasoning to align with deductive
reasoning. In terms of spatial reasoning, this is defined by Clements and Battista (1992,
p. 420) as the set of cognitive processes by which mental representations for spatial
objects, relationships, and transformations are constructed and manipulated. As such,
spatial reasoning is a form of mental activity which makes possible the creation of
spatial images and enables them to be manipulated in the course of solving practical and
theoretical problems in mathematics. This links to visualisation, something which is
generally taken as the ability to represent, transform, generate, communicate,
document, and reflect on visual information (Hershkowitz, 1989, p. 75). Both spatial
reasoning and visualisation play vital roles not only in geometry itself and in geometry
education, but also more widely in mathematics and in mathematics education
(Giaquinto, 2007; Jones, 2001).
In addition to Fischbeins figural concept noted above, influential researchers on the
nature of spatial and geometrical reasoning, and its development in learners, include (in
chronological order) Piaget, van Hiele, and Duval, amongst others. Here I have no
space even to give a brief outline of each; for such detail, see Battista (2007, pp. 846-
65). What such research suggests about the nature of spatial and geometrical reasoning
is that various types of geometric ideas, both spatial and theoretical, appear to develop
over time, becoming increasingly integrated and synthesised. Geometrical ideas
symmetry, invariance, transformation, similarity and congruence relate to the more
global mathematical ideas of proof and proving. Importantly, an ever-growing strand of
research is examining the influence of the use of various classroom artefacts on the
6
development of geometrical and spatial reasoning, especially the impact of computer-
based tools (for teacher-oriented reviews, see Jones, 2005; 2012).
Geometrical and spatial reasoning across the primary school years
Research on geometrical and spatial reasoning during the pre-school and primary school
years has examined classroom activities that engage learners in visualising, drawing,
making, and communicating about two- and three-dimensional shapes (Levenson, et al.,
2011; Roth; 2011). During these years, it seems that much geometry teaching focuses
on the development of language for shape (for example, the names of polygons) and for
location (for instance, left and right). Of course, knowledge of mathematical
terminology is essential for modelling, visualising and communicating in all areas of
mathematics. Even so, the problem can be that a heavy emphasis on descriptive
language and definitions, even if relatively informal, at the expense of geometrical
problem solving, might mean that childrens progression in geometry during their
primary school years is somewhat limited (Clements, 2003, pp.151-2; Jones and
Mooney, 2003).
Through primary school, while young children may learn the names of simple shapes
(though see below for some cautions regarding the influence of prototypical
representations), it can be more difficult for them to recognise the relation between
transformed shapes through rotation, reflection and enlargement. For example, primary
school children are likely to need a lot of experience with transforming shapes before
they are able to complete rotation or reflection patterns. This may be because childrens
earlier experiences of mathematical shapes focus primarily on enabling them to
recognise the same shape whatever its location or size (for example, that a shape is a
square no matter what size it is) rather than also helping them to be aware of relevant
transformations of the shape. Research also indicates that children experience particular
problems with measuring lengths and areas, even though they may understand the
underlying logic of measurement. Similarly, learning how to represent angle
mathematically is not straightforward for younger children, even though angles occur
everywhere in their everyday life. For a very useful summary of such research, see
Bryant (2009).
When young children are learning about 2D and 3D shapes, research has documented
the ways in which they are likely to do some or all of the following: under-generalise by
7
including irrelevant characteristics that inhibit generalisation, over-generalise by
omitting key properties with a result that their generalisation is too wide, and incur
language-related misconceptions (for example, that diagonal means slanting). In a
summary of such research, Hershkowitz (1990, p.82) shows how, for learners, each
geometric object has one or more prototypical examples that are attained first that are
usually the subset of examples that had the longest list of attributes of all the critical
attributes of the concept and those specific (non-critical) attributes that had strong visual
characteristics. For example, learners are much better at recognising isosceles triangles
that are standing on their base compared to those presented in a different orientation.
Other issues that learners encounter related to naming shapes (and lines) are linked to
matters of definition, and to learners embryonic understanding of necessary and
sufficient conditions, and of inclusivity in defining (see below for more on issues of
definition and defining). Examples of such issues include use of terms such as oblong
(for a rectangle that is not a square) and diamond (for a specific orientation of a
rhombus that is almost certainly a square), and the confusion between regular and
symmetrical.
One further thing that research suggests is not always fully taken into account in
primary mathematics education is that children come to school with a good deal of
knowledge about spatial relations, primarily because we inhabit a spatial world
surrounded by spatial objects. This means, as Bryant (2009, p.3) puts it, that one of the
most important challenges in mathematical education is how best to harness this
implicit knowledge in lessons. For some examples of how this can be achieved at the
primary school level, see Lehrer, et al. (1999). More such research is needed.
Progression in geometrical and spatial reasoning during secondary school
As is clear from what has already been said in this chapter, during their later school
years it seems that students continuously move back and forth between what Laborde
(1998) calls spatio-graphic geometry (ie spatial reasoning) and theoretical geometry
(ie deductive reasoning). This means that when attempting a geometric proof, for
example, a secondary school student might move from making conjectures using
measures taken from a geometrical drawing, to using definitions and theorems, then go
back to the drawing, and so on. This moving between spatio-graphic geometry and
8
theoretical geometry relates to the issue of the sometimes uneasy relationship between
measuring and proving in geometry.
This uneasy relationship exists even though in area measurement, for example, precise
solutions can be obtained by considering the theoretical relationships between
geometric shapes. For example, the base x height rule for the area of rectangles
applies in the same way to parallelograms and this can be proved by transforming a
rectangle into a parallelogram with the same height and base (knowing that the
transformation does not change the area). Similarly, the rule for finding the area of a
triangle [Area = (base height)] can be justified by the fact that every triangle can be
transformed into a parallelogram with the same base and height by doubling that
triangle. Thus, rules for precise area measurement via formulae are built from the
theoretical relations between geometric shapes. Here it is worth noting, as Bryant (2009,
p. 22) confirms, that more research is needed on learners understanding of this
centrally-important aspect of geometry and measurement.
At secondary school level, and even beyond to undergraduate level, learners can
experience difficulties in using definitions appropriately and may not fully appreciate
the role of definitions in geometry (Edwards and Ward, 2004; Vinner, 1991). Yet, as
Freudenthal (1971, pp. 424) pointed out Though the teacher can impose definitions,
this means degrading mathematics to something like spelling, ruled by arbitrary
prescriptions. As such, one way to overcome such issues is for students to be actively
engaged in the defining of geometric objects, as exemplified by de Villiers (1998) in the
case of quadrilaterals.
In terms of the idea of geometric similarity, Friedlander and Lappan (1987, p.36) list a
range of mathematics that is related, including enlargement, scale factor, projection,
area growth, and indirect measurement. These, say Friedlander and Lappan, are
frequently encountered by children in their immediate environment and in their studies
of natural and social sciences (ibid.). What is more, similar geometric shapes provide
helpful mental images of ratios and equivalent fractions, and provide a model for some
rational number concepts. Ideas of similarity extend to trigonometry and to the notion of
self-similarity that is characteristic of fractal geometry.
Bearing in mind the geometrical ideas of symmetry, invariance, transformation,
similarity and congruence, there are many reasons, as Freudenthal (1971, p.434)
explains, why a focus on symmetries is a good idea. This is not to say that symmetry is
9
simple or uncomplicated to teach. Research tracing the development of students'
knowledge of symmetry in school geometry, such as that by Leikin et al. (2000), has
revealed a range of difficulties that learners encounter with ideas of symmetry. These
range from straightforward errors such as identifying an incorrect symmetry axis, or
failing to recognise a correct symmetry axis, to difficulties with reflecting in oblique
lines. There are matching difficulties when secondary school students work with
symmetry in three-dimensions (Cooper, 1992). Research with suitable digital
technologies is providing examples of how students might gain a more multi-faceted
appreciation of symmetry (e.g., Hoyles and Healy, 1997; Clements et al., 2001).
Invariance, like symmetry, while a central idea of mathematics in general, is especially
relevant and important in geometry. Most theorems in geometry can be seen as resulting
from the study of what change is permitted that leaves some relationships or property
invariant. There is research indicating that the use of transformations can be a means by
which ideas of invariance can be studied most easily and by which the formal
definitions of congruence and similarity can be related to learners previous intuitive
ideas. Here is a place where research indicates that digital technologies such as DGS
can play a valuable role (see Hollebrands et al., 2008; Laborde et al., 2006).
While an important aim of geometry teaching is for students to develop their geometric
and spatial reasoning in order that they can tackle relatively complex problems
productively, research with which I have been involved indicates that even though
many Grade 9 students in Japan can write down a proof, around 70% do not understand
why proofs are needed (Kunimune, Fujita & Jones, 2009; 2010). Such research raises a
number of challenges for research. These include: what geometrical definitions might
be used when formulating geometrical problems for classroom use and how might
students be involved in constructing definitions, and with what consequences? How do
different (or even differently-orientated) representation of geometric objects, including
representations constructed using software, impact on students reasoning in geometry?
What is the impact of teachers instructions on students reasoning in geometry?
Concluding comments
This paper argues that school geometry is not solely about naming shape or proving
circle theorems; rather, as Malkevitch (2009, p.14) illustrates, geometry is more akin to
10
the branch of mathematics that studies visual phenomena in all their glories and
richness. This is why geometry is such an important part of the school mathematics
curriculum, and why the teaching of geometry across the school years needs to ensure a
sustained focus on the twinned aspects of geometry: the spatial aspects, and the aspects
that relate to reasoning with geometrical theory. In forming the yin-yang of geometry
education, each gives rise to the other and each only exists in relation to the other.
Del Grande (1990, p.19) argued some time ago that geometry has been difficult for
pupils due to an emphasis on the deductive aspects of the subject and a neglect of the
underlying spatial abilities acquired by hands-on activities that are necessary
prerequisites for understanding and mastery of geometrical concepts. Bill Thurston put
it this way:
We have an inexorable instinct that prompts us to convey through
speech content that is not easily spoken. Because of this tendency,
mathematics takes a highly symbolic, algebraic, and technical form. Few
people listening to a technical discourse are hearing a story. Most readers
of mathematics (if they happen not to be totally baffled) register only
technical details - which are essentially different from the original
thoughts we put into mathematical discourse. The meaning, the poetry,
the music, and the beauty of mathematics are generally lost....
Another source of the cloud of illusions that often obscures meaning in
mathematics arises from the contrast between our amazingly rich abilities
to absorb geometric information and the weakness of our innate abilities
to convey spatial ideas - except for things we can point to or act out....
Since our minds all have much in common, we can indeed describe
mental images in words, than surmise and reconstruct them through
suggestive powers. This is a process of developing mental reflexes and,
like other similar tasks, it is time-consuming. We just need to be aware
that this is the task and that it is important, so that we wont instinctively
revert to a symbolic and denatured encoding.
A whole-mind approach to mathematical thinking is vastly more
effective than the common approach that manipulates only symbols
(Thurston, 2011, p. xi-xiii)
The great challenge for research in mathematics education is how geometric and spatial
reasoning can be taught in a way that supports what Thurston calls the whole-mind
approach to mathematical thinking (ibid).
References
Atiyah, M. (2001). Mathematics in the 20th Century, American Mathematical Monthly, 108(7),
654-666.
11
Battista, M.T. (2007). The development of geometric and spatial thinking. In F. Lester (Ed.),
Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (pp. 843-908).
Reston, VA: NCTM.
Bryant, P. (2009). Paper 5: Understanding space and its representation in mathematics. In: Key
Understandings in Mathematics Learning. London: Nuffield Foundation.
Clements, D. H. (2003). Teaching and learning geometry. In J. Kilpatrick, W.G. Martin, & D.
Schifter (Eds.), A Research Companion to Principles and Standards for School
Mathematics (pp. 151178). Reston, VA: NCTM.
Clements, D.H. & Battista, M.T. (1992), Geometry and spatial reasoning. In D.A. Grouws (Ed.)
Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. New York: Macmillan.
Clements, D. H., Battista, M. T. and Sarama, J. (2001). Logo and Geometry (Journal for
Research in Mathematics Education, Monograph Number 10). Reston, VA: NCTM.
Cooper, M. (1992). Three-dimensional symmetry, Educational Studies in Mathematics, 23(2),
179-202.
de Villiers, M. (1998). To teach definitions in geometry or teach to define? In A. Olivier and K.
Newstead (Eds.), Proceedings of PME22. (Vol. 2, pp. 248-255). PME: Stellenbosch.
Del Grande, J. (1990). Spatial sense, Arithmetic Teacher, 37(6), 14-20.
Edwards, B. S., & Ward, M. B. (2004). Student (mis)use of mathematical definitions. American
Mathematical Monthly, 111(5), 411424.
Fischbein, E. (1993). The theory of figural concepts. Educational Studies in Mathematics,
24(2), 139-162.
Fischbein, E. & Nachlieli, T. (1998). Concepts and figures in geometrical reasoning,
International Journal of Science Education, 20(10), 1193-1211.
Freudenthal, H. (1971). Geometry between the devil and the deep sea. Educational Studies in
Mathematics, 3(3&4), 413435.
Friedlander, A. & Lappan, G. (1987). Similarity: investigations at the middle grades level. In M.
Lindguist & A. Shulte (Eds.). Learning and Teaching Geometry, K-12 (pp. 136-143).
Reston, VA: NCTM.
Giaquinto, M. (2007). Visual Thinking in Mathematics. Oxford: Oxford University Press.
Hershkowitz, R. (1989). Visualization in geometry: two sides of the coin, Focus on Learning
Problems in Mathematics, 11(1&2), 61-76.
Hershkowitz, R. (1990). Psychological aspects of learning geometry. In P. Nesher & J.
Kilpatrick (Eds.), Mathematics and Cognition (pp. 7095). Cambridge: CUP.
Hollebrands, K., Laborde, C., & Strasser, R. (2008). Technology and the learning of geometry
at the secondary level. In M.K. Heid & G. Blume (Eds.), Research on Technology in the
Learning and Teaching of Mathematics (pp. 155-205). Greenwich, CT: InfoAge.
Hoyles, C. & Healy, L. (1997). Unfolding meanings for reflective symmetry, International
Journal of Computers in Mathematical Learning, 2(1), 27-59.
Jones, K. (2001). Spatial thinking and visualisation. In Teaching and learning geometry 11-19
(pp. 55-56). London: Royal Society.
Jones, K. (2005). Using Logo in the teaching and learning of mathematics: a research
bibliography, MicroMath, 21(3), 34-36.
Jones, K. (2012). Using dynamic geometry software in mathematics teaching: a revised research
bibliography, Mathematics Teaching, 229, 49-50.
12
Jones, K. & Mooney, C. (2003). Making space for geometry in primary mathematics. In: I.
Thompson (Ed.), Enhancing Primary Mathematics Teaching (pp. 3-15). London: Open
University Press.
Kunimune, S., Fujita, T. & Jones, K. (2009). Why do we have to prove this? Fostering
students understanding of proof in geometry in lower secondary school. In F-L. Lin,
F-J. Hsieh et al. (Eds.), Proceedings of ICMI Study 19 Conference: Proof and Proving
in Mathematics Education (Vol 1, 256-261). Taipei, Taiwan: NTNU.
Kunimune, S., Fujita, T., & Jones, K. (2010). Strengthening students understanding of proof
in geometry in lower secondary school. In V. Durand-Guerrier et al. (Eds), Proceedings
of CERME6 (pp756-765). Lyon, France: ERME.
Laborde, C. (1993). The computer as part of the learning environment: The case of geometry. In
C. Keitel & K. Ruthven (Eds.), Learning through Computers: Mathematics and
Educational Technology (pp. 4867). Berlin: Springer.
Laborde, C. (1998). Relationship between the spatial and theoretical in geometry. In J. D.
Tinsley & D. C. Johnson (Eds.), Information and Communications Technologies in
School Mathematics (pp. 183-195). London: Chapman & Hall.
Laborde, C. (2004). The hidden role of diagrams in pupils construction of meaning in
geometry. In J. Kilpatrick, C. Hoyles & O. Skovsmose (Eds.), Meaning in Mathematics
Education (pp. 159179). Dordrecht: Kluwer.
Laborde, C., Kynigos, C., Hollebrands, K., & Strasser, R. (2006). Teaching and learning
geometry with technology. In A. Gutirrez & P. Boero (Eds.), Handbook of Research on
the Psychology of Mathematics Education (pp. 275304). Rotterdam: Sense Publishers.
Lehrer, R., Jacobson, C., Kemeny, V., & Strom, D. (1999). Building on childrens intuitions to
develop mathematical understanding of space. In E. Fennema & T. A. Romberg (Eds.),
Mathematics Classrooms that Promote Understanding (pp. 6387). Mahwah: LEA.
Leikin, R., Berman, A. & Zaslavsky, O. (2000). Learning through teaching: the case of
symmetry. Mathematics Education Research Journal, 12(1), 1634.
Levenson, E., Tirosh. D. & Tsamir, P. (2011). Preschool Geometry: Theory, research, and
practical perspectives. Rotterdam: Sense Publishers.
Malkevitch, J. (2009). What is geometry? In Craine, T. & Rubenstein, R. (Eds.). Understanding
Geometry for a Changing World, 71st Yearbook. (pp. 3-16). Reston, VA: NCTM.
Parzysz, B. (1988). Knowing vs. Seeing: Problems of the plane representation of space
geometry figures, Educational Studies in Mathematics, 19(1), 79-92.
Phillips, L. M., Norris, S. P. & Macnab, J. S. (2010). Visualization in Mathematics, Reading
and Science Education. New York: Springer.
Roth, W.-M. (2011). Geometry as Objective Science in Elementary Classrooms. New York:
Routledge.
Royal Society (2001). Teaching and Learning Geometry 11-19. London: Royal Society.
Vinner, S. (1991). The role of definitions in the teaching and learning of mathematics. In Tall,
D. (Ed.). Advanced Mathematical Thinking (pp. 65-81). Dordrecht: Kluwer.
Thurston, W. P. (2011). Foreword. In M. Pitici (Ed.), The Best Writing on Mathematics 2010
(pp. xi-xiii). Princeton, USA: Princeton University Press.
Watson, A., Jones, K. & Pratt, D (in press), Key Ideas in Teaching Mathematics: Research-
based guidance for ages 9-19. Oxford: Oxford University Press.
Website: http://www.nuffieldfoundation.org/key-ideas-teaching-mathematics
http://www.nuffieldfoundation.org/key-ideas-teaching-mathematics
13
O DESENVOLVIMENTO DO SENTIDO DA MULTIPLICAO E
DA DIVISO DE NMEROS RACIONAIS: A DIVISO COMO
PRODUTO DE MEDIDAS
Hlia Gonalves Pinto
Escola superior de Educao e Cincias Sociais, Instituto Politcnico de Leiria
helia.pinto@esecs.ipleiria
Resumo
Este artigo apresenta um excerto de uma anlise transversal realizada no mbito de uma investigao, que teve como objetivo estudar o desenvolvimento do sentido da multiplicao e da diviso de nmeros racionais1 em alunos do 6. ano de escolaridade. Na investigao adotou-se o paradigma interpretativo, qualitativo e o estudo de casos mltiplos como design. Estudaram-se as trajetrias de aprendizagem de trs alunos, recorrendo-se a entrevistas, observao e anlise documental. O estudo decorreu da realizao de uma unidade de ensino, a uma turma do 6. ano de escolaridade, que integrava os alunos estudados. Estes foram selecionados com base nos desempenhos que apresentaram em pr-testes, que tiveram como objetivo avaliar o seu desenvolvimento ao nvel das estruturas multiplicativas e consequente sentido das operaes: multiplicao e diviso. Por conseguinte, foi selecionado, um aluno com bom desempenho, outro com desempenho mdio e um terceiro com fraco desempenho. Os resultados permitem caraterizar o trajeto de aprendizagem realizado pelos alunos e sugerem que todos desenvolveram sentido da multiplicao e da diviso de nmeros racionais e por consequncia, a eficcia da unidade de ensino, que contextualizou o estudo, no referido desenvolvimento. Dado o foco deste artigo, aps a apresentao das fases principais do estudo para enquadramento dos referidos casos, surge uma anlise transversal das estratgias adotados pelos alunos e dificuldades sentidas na resoluo de tarefas de diviso de nmeros racionais, em contexto de produto de medidas. Assim, tendo por base o trabalho feito na unidade de ensino, so dados exemplos de produes dos alunos que ilustram a importncia da resoluo de tarefas em contextos significativos, que envolvem a diviso como produto de medidas, no desenvolvimento do sentido desta operao. Palavras-chave: Nmeros racionais, Educao Matemtica Realista, Estruturas multiplicativas, Sentido de operao.
Introduo
Os nmeros racionais so um dos temas mais importante do currculo elementar porque
promove o desenvolvimento das estruturas cognitivas que so cruciais aprendizagem
matemtica futura (Streefland, 1991; Behr, Lesh, Post & Silver, 1983). Dada esta
importncia, Lamon (2007) reivindica mais investigao nesta rea, salientando que h
mais de uma dcada que pouco se tem progredido na descoberta da complexidade do
1 Ao longo deste artigo a referncia aos nmeros racionais restringe-se aos no negativos.
14
ensino e da aprendizagem deste tema. Em Portugal, a investigao que tem sido nesta
rea escassa e recente. Assim, so necessrias mais investigaes que permitam
perceber como se pode desenvolver o sentido de nmero racional, bem como o sentido
das operaes com nmeros racionais. Importa continuar a desenvolver abordagens de
ensino-aprendizagem que conduzam os alunos a uma interiorizao significativa dos
algoritmos, tentando perceber o seu percurso no mbito dessas abordagens,
nomeadamente, de como desenvolvem e usam os conceitos de multiplicao e diviso
de nmeros racionais.
Por conseguinte, e com o propsito de perceber como se desenvolve o sentido da
multiplicao e da diviso de nmeros racionais em alunos do 6. ano de escolaridade,
realizou-se um estudo, que decorreu da realizao de uma unidade de ensino.
Fundamentada nos princpios bsicos da Educao Matemtica Realista e na Teoria dos
Campos Conceptuais principalmente, no que concerne ao desenvolvimento das
estruturas multiplicativas, a unidade de ensino comtemplou ainda, o desenvolvimento
de componentes consideradas essenciais num ensino-aprendizagem significativos das
referidas operaes. Neste contexto, estudaram-se as trajetrias de aprendizagem de trs
alunos, com o objetivo de identificar e analisar o processo de desenvolvimento e uso
significativo dos conceitos de multiplicao e diviso de nmeros racionais de cada um
dos alunos. Concretamente, procurou-se identificar e analisar as estratgias adotadas
pelos alunos e dificuldades sentidas, na resoluo de tarefas de multiplicao e diviso
de nmeros racionais, em contextos significativos, antes, durante, no fim e seis meses
depois da realizao de uma unidade de ensino envolvendo estes conceitos.
Naturalmente identificaram-se potencialidades e limitaes da referida unidade ao longo
da sua realizao.
Neste artigo apresentada a anlise transversal dos trajetos realizados pelos trs alunos-
caso, no mbito do ensino-aprendizagem da diviso de nmeros racionais em contexto
de produto de medidas. Assim, feita uma anlise ao desempenho apresentado pelos
alunos antes, durante, no fim e seis meses depois do ensino-aprendizagem da diviso
como produto de medidas; no sem antes se fazer o respetivo enquadramento dos casos.
So tecidas algumas consideraes finais sobre o processo de matematizao dos
alunos, ou seja, o progresso apresentado pelos alunos durante o ensino-aprendizagem da
diviso de nmeros racionais no referido significado.
15
Educao Matemtica Realista
A filosofia da Educao Matemtica Realista (EMR) fundamenta-se essencialmente na
conceo de Freudenthal (1973, 1991) da matemtica como uma atividade humana
(Gravemeijer, 1994; Streefland, 1991; Treffers, 1991; van den Heuvel-Panhuizen &
Wijers, 2005). Nesta perspetiva, a matemtica no vista como um corpo de
conhecimentos, mas como uma atividade de resolver problemas em contextos reais,
atividade a que Freudenthal (1973, 1991) chama de matematizao, salientando que
sem esta, no existe matemtica. O autor entende que as estruturas matemticas no so
uma referncia fixa, mas emergem da realidade e expandem-se continuamente em
processos de aprendizagem individuais e coletivos. Deste modo, na EMR os alunos so
participantes ativos no processo de aprendizagem que ocorre dentro do contexto social
da sala de aula, dado que a matemtica aprende-se, fazendo.
Para Freudenthal (1973, 1991), a matemtica deve ser reinventada pelos alunos num
processo de matematizao, que considera o processo chave do ensino-aprendizagem da
matemtica. O autor prope reinveno guiada precisamente por reconhecer que os
alunos no conseguem simplesmente reinventar a matemtica que levou milhares de
anos a ser inventada por matemticos brilhantes. Argumenta ainda, que o passo final
dos matemticos quando desenvolvem matemtica a formalizao atravs de axiomas,
pelo que este no deve ser o ponto de partida para o ensino-aprendizagem da
matemtica, dado que inverte a forma como os matemticos inventaram a matemtica.
Logo, considera anti didtico iniciar-se o ensino-aprendizagem da matemtica pelos
axiomas. Assim, refora a sua conceo, de que o objetivo da Educao Matemtica
deve ser o de proporcionar aos alunos um processo de reinveno guiada, que lhes
permita participarem num processo de aprendizagem semelhante s condies que
circundam o desenvolvimento histrico da prpria matemtica.
Treffers (1991) enuncia de forma precisa duas componentes intimamente relacionadas
no processo de matematizao num contexto educacional: (i) matematizao horizontal
- processo de transformar um problema do quotidiano numa questo problemtica
matemtica, isto , os alunos produzem modelos matemticos que os ajudam a
organizar e resolver um problema do dia-a-dia, e (ii) matematizao vertical - processo
de reorganizar e expandir o conhecimento e capacidades dentro do prprio sistema
matemtico, por exemplo, encontrando atalhos e descobrindo conexes entre conceitos
e estratgias e aplicando estas descobertas. Freudenthal (1991) adota esta distino,
16
referindo matematizao horizontal como o estabelecimento de ligaes entre o mundo
percecionado e o mundo dos smbolos e matematizao vertical como o processo de
reorganizao dentro do mundo dos smbolos. Salienta que embora esta distino parea
estar livre de ambiguidade, no significa que a diferena entre estes dois mundos seja
bem definida. Segundo o autor, as fronteiras entre o que matematizao vertical e o
que matematizao horizontal tm a ver com o que cada um de ns entende por
realidade. Prefiro aplicar o termo realidade quilo que, a um certo nvel, o senso
comum sente como real (p. 17). Enfatiza ainda, que estas duas formas de
matematizao so de igual valor e que ambas ocorrem em diferentes nveis da
compreenso.
O processo de matematizao ento um processo progressivo onde o conhecimento se
vai tornando cada vez mais formal e abstrato. Segundo Freudenthal (1973, 1991),
Gravemeijer (1994, 2005), Streefland (1991), Treffers (1991) e van den Heuvel-
Panhuizen, e Wijers, (2005) na EMR, as estratgias informais usadas pelos alunos na
resoluo de problemas em contextos reconhecveis, so a base para o processo de
desenvolvimento de conceitos e conexes entre eles, bem como para chegar a
procedimentos formais atravs de um processo gradual de esquematizao, abreviao e
generalizao. Por isso, salientam a necessidade de se proporcionarem aos alunos
situaes de ensino-aprendizagem que os estimulem atividade de modelao,
recorrendo a desenhos, diagramas, ou tabelas, j que atravs dos modelos que os
alunos progridem do conhecimento informal para o formal. De acordo com os autores,
os modelos funcionam como suportes de aprendizagem na passagem do conhecimento
concreto para o abstrato, num percurso que tem incio com a explorao de contextos
significativos e que, por um processo de matematizao progressiva, chega a conceitos
matemticos generalizados e abstratos.
Segundo Gravemeijer (1994, 2005), os modelos emergem da atividade dos alunos como
modelos de uma situao que lhes familiar e transformam-se, mais tarde, atravs de
um processo de generalizao e formalizao, em modelos para o raciocnio
matemtico mais formal. Refere que esta transformao do modelo corresponde a uma
alterao na forma de pensar do aluno, dado que o enfoque deixa de ser no contexto da
situao modelada, para passar a ser nas relaes matemticas. Assim, distingue dois
tipos de atividade, a referencial - na qual o significado de agir com o modelo deriva da
atividade do contexto descrito nas atividades de ensino; e a geral - na qual o significado
17
de agir com o modelo deriva das relaes matemticas presentes. Considera que estes
tipos de atividades surgem em diferentes nveis e que se podem completar, por um lado,
com um nvel de atividade no prprio contexto das tarefas e, por outro, com um nvel de
atividade matemtica mais formal onde os alunos j no necessitam de um modelo
(Figura 1).
Figura 1: Nveis de atividade (Gravemeijer, 2005, p.98)
Em suma, a distino entre modelo de e modelo para, pode ser clarificada pela juno
de quatro nveis gerais de atividade:
(1) Atividade na situao da tarefa, na qual as interpretaes e resolues dependem da compreenso de como agir no contexto;
(2) Atividade referencial, na qual cada modelo de refere-se a atividades na situao descrita nas atividades de ensino;
(3) Atividade geral, na qual os modelos para referem-se a um quadro de representaes matemticas;
(4) Raciocnio matemtico formal, o qual no depende de modelos para a atividade matemtica (Gravemeijer, 2005, p. 98).
Segundo o autor, no nvel referencial os modelos fundamentam-se na compreenso de
contextos experienciais reais e, o nvel geral comea a emergir quando os alunos
comeam a focalizar-se nas relaes matemticas envolvidas. A abordagem do modelo
emergente ajuda os alunos a construrem uma realidade matemtica, por eles prprios
(Gravemeijer, 2005, p.98). Porm, salienta: (i) que os modelos devem emergir de
situaes concretas, permitindo aos alunos o recurso s suas estratgias informais; (ii)
fomentar o processo de matematizao progressiva; e (iii) ter potencial para se
transformarem numa entidade prpria no decurso do processo de aprendizagem.
Estruturas multiplicativas
Um campo conceptual, de acordo com Vergnaud (1983, 1988), um conjunto de
situaes para cuja resoluo necessrio recorrer a uma teia de conceitos. Nesta
18
perspetiva, um conceito no se desenvolve isoladamente, mas antes em relao com
outros, atravs de vrias espcies de problemas e recorrendo a diferentes formas de
representao, entre elas os smbolos matemticos. Segundo o autor, a multiplicao e a
diviso, bem como a combinao destas operaes enquadram-se no campo conceptual
das estruturas multiplicativas, que gerado por diferentes casos de proporo simples e
de proporo mltipla que podem ser combinados de diferentes formas. Salienta que a
relao de multiplicao constitui uma relao quaternria entre valores de duas
variveis no conjunto de situaes das estruturas multiplicativas, classificando-as em
isomorfismo de medidas e produto de medidas.
Vergnaud (1983, 1988) refere o isomorfismo de medidas como uma estrutura
multiplicativa que consiste numa proporo direta simples entre medidas de duas
grandezas, M1 e M2, por exemplo: pessoas e objetos, bens e custos, tempo e distncia.
Dentro desta estrutura distingue situaes de multiplicao, diviso como partilha e
diviso como medida.
O produto de medidas , de acordo com o autor, uma estrutura multiplicativa que
consiste na composio cartesiana de dois espaos mtricos, M1 e M2, num terceiro
espao M3. A esta estrutura pertencem problemas relativos rea, volume, produto
cartesiano e outros conceitos fsicos. Dado que existem, pelo menos, trs variveis
envolvidas, Vergnaud (1983, 1988) considera que esta estrutura no pode ser
representada por uma simples tabela de correspondncia como a usada para o
isomorfismo de medidas, mas por uma tabela de dupla entrada. Identifica, tambm nesta
estrutura, situaes de multiplicao e de diviso. Dado o foco deste artigo, apenas
sero explanadas as situaes relativas diviso no mbito do produto de medidas.
Por conseguinte, a diviso como produto de medidas envolve situaes em que se
pretende encontrar o valor da medida de uma grandeza, dado um produto e o valor de
uma medida de outra grandeza, por exemplo A carpete de uma sala da ludoteca tem 2
m2 de rea e 2 m comprimento. Quanto mede a sua largura.. Tambm neste caso o
procedimento adotado para a resoluo deste tipo de problemas no se adequa ao uso do
operador escalar ou funcional, j que a medida da grandeza a ser encontrada, neste caso
a largura, obtm-se pelo quociente da medida da rea pela medida do comprimento.
19
Sentido das operaes
De modo a tornar exequvel quer a investigao do sentido de operao, quer a sua
avaliao em contexto escolar, no estudo adotou-se um modelo para a caraterizao do
sentido da multiplicao e da diviso de nmeros racionais, que resultou da
sistematizao das componentes apresentadas por Huinker (2002) e Slavit (1999) e
McIntosh et al. (1992). Esta sistematizao deu origem a quatro componentes principais
e respetivas capacidades, que de acordo com estes autores, devem ser contempladas de
forma integrada para que se possa desenvolver o sentido de operao (Quadro1).
Quadro 1: Modelo para a caracterizao do sentido de operao
SENTIDO DE OPERAO
Componentes Capacidades a desenvolver
Familiaridade com
diferentes significados e
contextos das operaes
Reconhecer a operao em situaes que envolvem diferentes significados Reconhecer a operao em situaes que envolvem diferentes contextos
Flexibilidade no uso das
propriedades das operaes
Recorrer a factos operacionais bsicos (compor/decompor nmeros) Apresentar estratgias de clculo baseadas nas propriedades das operaes Reconhecer a operao inversa
Razoabilidade na anlise de
processos e resultados
Conhecer o efeito de uma operao sobre um par de nmeros Verificar dados e resultado Relacionar o contexto com os clculos efetuados
Smbolos e linguagem
matemtica formal
significativos
Relacionar os smbolos com aes e conhecimentos informais Relacionar os smbolos com linguagem matemtica formal
De salientar, que a estrutura apresentada para as diferentes componentes determina o
seu desenvolvimento integrado. O desenvolvimento da componente relativa aos
smbolos e linguagem matemtica formal significativos requer que os alunos: (i)
relacionem smbolos com aes e conhecimentos informais, pelo que tm de reconhecer
as operaes em situaes que as envolvem em diferentes significados e contextos,
apresentar razoabilidade na anlise de processos e resultados e, reconhecer e descrever
situaes reais para as operaes; ou seja, elaborar enunciados para expresses que
representem produtos e quocientes, e (ii) relacionem smbolos com linguagem
matemtica formal, pelo que tm de reconhecer as operaes em situaes meramente
20
matemticas, apresentar flexibilidade no uso das propriedades das operaes, e recorrer
a algoritmos formais de forma compreensiva. Assim, os alunos que relacionem
smbolos com aes e conhecimentos informais e com linguagem matemtica formal
lidam com smbolos e linguagem matemtica formal de modo significativo revelando
sentido de operao (Huinker, 2002; Slavit, 1999).
Metodologia de investigao
A metodologia adotada para o estudo seguiu o paradigma interpretativo (Erickson,
1986), com design de estudo de caso mltiplo (Ponte, 2006, Yin, 2003), realizando-se
trs estudos de caso. Para a recolha de dados recorreu-se a tcnicas como a observao
com registos vdeo e udio, s produes dos alunos, a testes e a entrevistas em
profundidade com registos udio e documental.
No estudo, para alm da investigadora, participou uma professora do 2. ciclo do ensino
bsico, que realizou a unidade de ensino numa turma do 6. ano de escolaridade, onde
estavam inseridos os alunos-caso deste estudo. Estes foram selecionados a partir dos
desempenhos apresentados na realizao de pr-testes2, que tiveram como objetivo
diagnosticar o sentido da multiplicao e diviso de nmeros inteiros e decimais
positivos, bem como o sentido de nmero racional e, por conseguinte, o nvel de
desenvolvimento do raciocnio multiplicativo dos alunos. Assim, foi selecionado um
aluno que obteve bom desempenho nos referidos testes, outro que obteve mdio
desempenho e um terceiro que obteve baixo desempenho, cujos nomes fictcios
atribudos so respetivamente, Jacinta, Francisco e Lcia. Para perceber melhor os
desempenhos que apresentaram nos pr-testes, estes alunos foram ainda solicitados a
realizar trs entrevistas que visavam os assuntos dos pr-testes. Com o objetivo de
perceber o processo de desenvolvimento do sentido da multiplicao e da diviso de
nmeros racionais de cada um dos alunos-caso, estes foram sendo entrevistados sempre
que terminava a explorao de cada um dos tpicos estudados no mbito da realizao
da unidade de ensino, que obedeceram seguinte sequncia: (i) multiplicao como
isomorfismo de medidas; (ii) diviso como isomorfismo de medidas medida; (iii)
diviso como isomorfismo de medidas partilha e (iv) multiplicao e diviso como
produto de medidas. No fim e seis meses depois da realizao da unidade de ensino e
com o intuito de perceber o nvel, respetivamente, de interiorizao e reteno do
2 Testes realizados antes de se dar incio realizao da unidade de ensino.
21
sentido da multiplicao e diviso de nmeros racionais dos alunos, estes foram
novamente solicitados a realizar entrevistas sobre os tpicos estudados.
A referida unidade foi pensada, elaborada e adaptada pela professora e pela
investigadora, em sesses de trabalho antes e durante a sua implementao. Da unidade
fazem parte 27 tarefas, essencialmente compostas por problemas que envolvem os
diferentes significados da multiplicao e diviso de nmeros racionais, cuja sequncia
obedece proposta por Vergnaud (1983, 1988) para o estudo das estruturas
multiplicativas. Deste modo, iniciou-se o estudo destas operaes pela explorao de
problemas que envolvem a multiplicao como isomorfismo de medidas, nos
significados de grupos equivalentes e relao multiplicativa, seguindo-se o estudo da
diviso nesta mesma estrutura, nos significados medida e partilha. Posteriormente
exploraram-se problemas que envolvem a multiplicao como produto de medidas e,
por ltimo, a diviso nesta mesma estrutura, tendo-se explorado os significados de
medida em falta e fator em falta. Conforme referem Pinto e Monteiro (2008), o
significado fator em falta consiste em problemas do tipo qual o nmero b que
multiplicado por a tem como resultado c, pelo que podem ser includos na estrutura
produto de medidas, por apresentarem uma relao muito visvel com a multiplicao
(axb= c) e da diviso como operao inversa da multiplicao (b=c:a e a=c:b).
Dado que se pretendia promover um ensino interativo, como recomendam vrios
autores (Freudenthal, 1973, 1991; Gravemeijer, 1994, 2005; Streefland, 1991; Treffers,
1991), optou-se essencialmente, pela realizao de trabalho em pequenos grupos, de trs
a quatro alunos, e posterior apresentao e discusso no grupo turma. Assim, terminado
o tempo para a resoluo da tarefa pelos pequenos grupos, dava-se incio explorao
da mesma em grande grupo. Esta era orientada pela professora, que a partir das
estratgias informais dos alunos foi introduzindo modelos para raciocinarem a
multiplicao e a diviso, como a tabela de razo, de modo a proporcionar a todos os
alunos um percurso entre as suas estratgias informais e formais, num processo gradual
de aprendizagens. Para tal, as discusses em plenrio consistiram num encadeamento de
apresentaes que proporcionou aos alunos a oportunidade de analisarem, compararem
e confrontarem as diferentes estratgias de resoluo, desenvolverem capacidades mais
especficas como representar, demonstrar, modelar, de modo a compreenderem ideias
matemticas. Pretendia-se assim, promover a progresso no processo de matematizao
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a partir do desenvolvimento da capacidade de reflexo, como consequncia do processo
de interao.
A anlise de dados das diferentes fontes e respetiva triangulao relativa familiaridade
com os diferentes significados e contextos da multiplicao e diviso, uma das
componentes do sentido de operao (Greer, 1992; Huinker, 2002; McIntosh, Reys &
Reys, 1992; Slavit, 1999) consideradas neste estudo, obedeceu s categorias de anlise
que constam da Quadro 2.
Quadro 2: Categorizao dos diferentes significados da multiplicao e diviso de nmeros racionais
ESTRUTURAS MULTIPLICATIVAS
SIGNIFICADOS DA MULTIPLICAO E
DIVISO ESTRATGIAS DIFICULDADES
ISO
MO
RF
ISM
O D
E M
ED
IDA
S
Multiplicao
Grupos equivalentes
Relao multiplicativa
Esquemas Modelo retangular, reta numrica, tabela de razo Multiplicao
Noo de que multiplicar aumenta Adio sucessiva No identifica a multiplicao
Diviso
Medida
Esquemas Frao, tabela de razo e equao Multiplicao Diviso
Adio e subtrao sucessivas
Noo de que dividir diminui Noo de dividendo superior ao divisor No identifica a diviso Partilha
Esquemas Tabela de razo e equao Multiplicao Diviso
Distribuio um-a-um
PR
OD
UT
O D
E M
ED
IDA
S
Multiplicao Produto de medidas
Esquemas Modelo de rea retangular Multiplicao
Noo de que multiplicar aumenta No identifica a multiplicao
Diviso
Medida em falta
Esquemas Modelo de rea retangular e equao Multiplicao Diviso
Noo de que dividir diminui Noo de dividendo superior ao divisor
No identifica a diviso Fator em
falta
Tentativa e erro
Equao
Diviso
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Resultados: Diviso como produto de medidas
A anlise transversal das trajetrias de aprendizagem realizadas pelos trs alunos-caso,
permitiu comparar os seus desempenhos nas diferentes componentes do sentido da
multiplicao e da diviso de nmeros racionais, antes, durante, no fim e seis meses
depois da realizao da unidade de ensino (UE). Dado o foco deste artigo, apresentam-
se os desempenhos dos trs alunos relativos diviso como produto de medidas
medida em falta e fator em falta (Quadro 2), com exemplos ilustrativos dos aspetos mais
significativos.
Antes da realizao da unidade de ensino
Antes da realizao da UE, em contextos que envolviam nmeros inteiros e decimais,
qualquer um dos trs alunos identificou a diviso em situaes de medida em falta, no
mbito desta estrutura multiplicativa, ou seja, produto de medidas. Porm, perante
tarefas como Um retngulo tem 1,5 m2 de rea e 10 m de comprimento. Calcula a sua
largura?, Lcia e Francisco comearam por usar o modelo de rea retangular e
respetiva frmula (Figura 2), enquanto Jacinta usou apenas a frmula da rea retangular.
A partir da referida modelao, identificaram e usaram a diviso como estratgia de
resoluo.
Figura 2: Produo de Francisco em contexto de diviso como medida em falta
Ainda antes da realizao da UE, as situaes de diviso como fator em falta, no foram
identificadas por dois dos alunos. Por exemplo, perante a tarefa Qual o nmero que
multiplicado por 0,75 tem como resultado o nmero 12? Descreve o processo que
usares para responder questo, os trs alunos comearam por recorrer equao a x
x = b. Porm, o referido modelo, conduziu apenas Jacinta identificao e uso da
diviso, por reconhec-la como a operao inversa da multiplicao e a estratgia mais
eficiente de resoluo (Figura 3). O mesmo no aconteceu com Lcia e Francisco, que
adotaram uma estratgia de tentativa e erro para determinarem o fator em falta. No
entanto, a referida estratgia no lhes permitiu chegar a uma soluo, nem identificarem
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a diviso como estratgia mais eficiente de resoluo, evidenciando assim, dificuldades
em reconhecerem a diviso como a operao inversa da multiplicao.
Figura 3: Produo de Jacinta em contexto de diviso como fator em falta
Durante a realizao da unidade de ensino
Durante a realizao da UE, onde os contextos envolviam nmeros racionais no mbito
da estrutura multiplicativa produto de medidas, perante tarefas de diviso como medida
em fala, como por exemplo Um retngulo tem m2 de rea e m de comprimento.
Calcula a sua largura?, qualquer um dos trs alunos identificou e usou a diviso como
estratgia de resoluo. Porm, Jacinta e Lcia recorreram sempre ao modelo de rea
retangular (Figura 4) para identificarem a diviso, tal como nos seus desempenhos antes
da UE.
Figura 4: Produo de Lcia em contexto de diviso como medida em falta
J Francisco recorreu equao a x x = b (Figura 5), e no ao modelo de rea
retangular, tal como recorreu antes da realizao da UE.
Figura 5: Produo de Francisco em contexto de diviso como medida em falta
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Ainda durante a realizao da unidade de ensino e no mbito da estrutura produto de
medidas, perante tarefas de diviso como fator em falta, como por exemplo Qual o
nmero que multiplicado por 3/4 igual a 6?, os trs alunos identificaram a diviso.
No entanto, Lcia e Francisco recorreram sempre equao a x x = b para modelarem
as referidas situaes (Figuras 6 e 7) e posteriormente, identificarem a diviso por
reconhecerem-na como a operao inversa da multiplicao. Deste modo, parecem ter
ultrapassado a pouca familiaridade que evidenciaram com este significado da diviso
nos seus desempenhos antes da realizao da UE e, por consequncia, adquirido um
entendimento significativo da diviso como a operao inversa da multiplicao.
Figura 6: Produo de Lcia em contexto de diviso como fator em falta
Figura 7: Produo de Francisco em contexto de diviso como fator em falta
No fim e seis meses depois da realizao da unidade de ensino
No fim da realizao da UE, os trs alunos continuaram a identificar a diviso como
produto de medidas, quer no significado medida em falta, quer no significado de fator
em falta, tal como durante a UE. No entanto, Lcia substitui o modelo de rea
retangular, pela equao a x x = b, para modelar as situaes de medida em falta e
identificar a diviso. Francisco manteve o recurso equao a x x = b e Jacinta deixou
de recorrer ao modelo de rea para modelar as referidas situaes. Perante situaes de
fator em fala, s Francisco manteve a necessidade de continuar a modelar as situaes
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com a equao a x x = b, para identificar a diviso. Estes resultados mantiveram-se seis
meses depois.
Importa relembrar que o modelo de rea retangular era o nico modelo a que os alunos
j recorriam, antes da realizao da UE, para raciocinarem a diviso como produto de
medidas, medida em falta. Este facto poder ter promovido a passagem aos modelos
matemticos e consequente formalizao da diviso como produto de medidas, no fim
da realizao da UE.
Consideraes finais
Dados relativos aos desempenhos apresentados pelos alunos antes da realizao da
unidade de ensino, revelam o recurso ao modelo de rea retangular para identificarem a
diviso como produto de medidas medida em falta, pelo que pareciam familiarizados
com este significado da diviso. Porm, este significado no parecia formalizado, dado
que, e de acordo com Gravemeijer (2005), os alunos se apoiaram em modelos para o
raciocinarem. J a diviso como produto de medidas - fator em falta no foi identificada
pela maioria dos alunos, que assim, evidenciaram tambm dificuldades no
reconhecimento da diviso como a operao inversa da multiplicao. Deste modo, os
alunos revelaram pouca familiaridade com este significado da diviso, bem como
dificuldades com as propriedades desta operao e, por conseguinte, fragilidades no seu
desenvolvimento do sentido de diviso (Huinker, 2002; McIntosh, Reys & Reys, 1992;
Slavit, 1999).
Durante a realizao da unidade de ensino, para alm do modelo de rea retangular, a
maioria dos alunos evidenciou o recurso equao bxa , para identificarem a
diviso como produto de medidas. Deste modo, todos os alunos identificaram a diviso
nesta estrutura multiplicativa, inclusivamente em situaes de fator em falta, e, por
conseguinte, um entendimento significativo da diviso como a operao inversa da
multiplicao. Assim, e de acordo com Huinker (2002), McIntosh, Reys e Reys (1992) e
Slavit, 1999), os alunos parecem ter desenvolvido capacidades no mbito das
componentes do sentido de operao (Quadro 1), nomeadamente, familiaridade com a
diviso como produto de medidas e reconhecimento da operao inversa, que
contribuem para o desenvolvimento do seu sentido da diviso.
No fim e seis meses depois da realizao da unidade de ensino a maioria dos alunos
substituiu o modelo de rea retangular pela equao bxa para modelarem as
27
situaes de diviso como produto de medidas medida em falta e identificarem a
operao envolvida. J a diviso como produto de medidas fator em falta passou a ser
identificada pela maioria dos alunos sem recurso a qualquer modelao das situaes
que a envolviam. Este significado da diviso parece ter sido formalizado pela maioria
dos alunos, dado que, e de acordo com Gravemeijer (2005), deixaram de se apoiar em
modelos para o raciocinarem. Porm, o mesmo no ocorreu com a diviso como medida
em falta, apesar de ser o nico significado que os alunos j modelavam antes da
realizao da unidade de ensino. Estes resultados confirmam a complexidade inerente
estrutura produto de medidas para a qual nos alerta Vergnaud (1983, 1988).
Por conseguinte, os alunos parecem ter progredido no desenvolvimento do sentido da
diviso, resultados que no sero alheios a uma abordagem pela EMR ao ensino-
aprendizagem da multiplicao e da diviso de nmeros racionais (Freudenthal, 1973,
1991; Gravemeijer, 1994; Streefland, 1991; Treffers, 1991), centrada no
desenvolvimento do sentido das referidas operaes (Huinker, 2002; Slavit, 1999), com
enfoque no desenvolvimento das estruturas multiplicativas (Vergnaud , 1983, 1988),
adotada na UE realizada neste estudo.
Referncias
Behr, M., Lesh, R., Post, T., & Silver, E. (1983). Rational number concepts. In R. Lesh & M. Landau (Org.), Acquisition of mathematics concepts and processes (pp. 92-126). New York, NY: Academic Press.
Erickson, F. (1986). Qualitative methods in research on teaching. In M. C. Wittrock (Org.), Handbook of research on teaching (pp. 119-161). NY:Macmillan.
Freudenthal, H. (1973). Mathematics as an educational task. Dordrecht: D. Reidel.
Freudenthal, H. (1991). Revisiting mathematics education: China lectures. Dordrecht: Kluwer.
Gravemeijer, K. (1994). Developing realistic mathematics education. Utrecht: CD- Press / Freudenthal Institute.
Gravemeijer, K. (2005). What makes mathematics so difficult, and what can we do about it? In L. Santos, A. P. Canavarro, & J. Brocardo (Eds.), Educao matemtica: Caminhos e encruzilhadas (pp. 83-101). Lisboa: APM.
Greer, B. (1992). Multiplication and division as models of situations. In Douglas A. Grouws (Eds.). Handbook of research in mathematics teaching and learning. MacMillan Publishing Company.
Huinker, D. (2002). Examining dimensions of fractions operation sense. In B. Litwiller & G. Bright (Org.), Making sense of fractions, ratios, and proportions: 2002 Yearbook (pp. 72-78). Reston, VA: NCTM.
Lamon, S. (2007). Rational numbers and proportional reasoning: Toward a theoretical framework for research. In K. Frank & Jr. Lester (Org.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 629 667). Reston, VA: NCTM.
http://eric.ed.gov/ERICWebPortal/Home.portal?_nfpb=true&_pageLabel=ERICSearchResult&_urlType=action&newSearch=true&ERICExtSearch_SearchType_0=au&ERICExtSearch_SearchValue_0=%22Bright+George%22
28
McIntosh, A., Reys, B. J. e Reys, R. E. (1992). A proposed framework for examining basic number sense. For the Learning of Mathematics, 12(3), 2-8 e 44.
Pinto, H & Monteiro, C. (2008). A diviso de nmeros racionais. In J. Brocardo, L, Serrazina, & I. Rocha (Eds.), O sentido do nmero: reflexes que entrecruzam teoria e prtica (pp. 201-219). Lisboa: Escolar Editora.
Ponte, J. P. (2006). Estudos de caso em educao matemtica. Bolema, 25, 105-132.
Slavit, D. (1999). The role of operation sense in transitions from arithmetic to algebraic thought. Educational Studies in Mathematics, 37 (3), 251-274.
Streefland, L. (1991). Fractions in Realistic Mathematics Education: A paradigm of developmental research. Dordrecht: Kluwer.
Treffers, A. (1991). Realistic mathematics education in the Netherlands 1980-1990. In L. Streefland (Org.), Realistic Mathematics Education in primary school (pp. 11-20). Utrecht: CD- Press/Freudenthal Institute, Utrecht University.
van den Heuvel-Panhuizen, M., & Wijers, M. M. (2005). Mathematics standards and curricula in the Netherlands. Zentrallblatt fur Didaktik der Mathematik, 37(4), 287-307.
Vergnaud, G. (1983). Multiplicative structures. In R. Lesh & M. Landau (Org.), Acquisition of mathematics concepts and processes (pp.127-174). New York, NY: Academic Press.
Vergnaud, G. (1988). Multiplicative structures. In J. Hilbert & M. Behr (Org.), Number concepts and operations in the middle grades VII (pp. 141-161). Reston, VA: NCTM & Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum.
Yin, R. K. (2003). Case study research: Design and methods (3. ed.). Thousand Oaks/London: SAGE.
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