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Aula 2
Vetores de força
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Escalares e vetores
Um escalar é qualquer quantidade física positiva ou negativa que
pode ser completamente especificada por sua intensidade.
Exemplos de quantidades escalares:
Comprimento
Massa
Tempo
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Escalares e vetores
Um vetor é qualquer quantidade física que requer uma intensidade
e uma direção para sua completa descrição.
Exemplos de vetores:
Força
Posição
Momento
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Operações vetoriais
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Operações vetoriais
Adição de vetores
Todas as quantidades vetoriais obedecem à lei do paralelogramo da
adição.
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Operações vetoriais
Adição de vetores
Também podemos somar B a A usando a regra do triângulo:
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Operações vetoriais
Adição de vetores
No caso especial em que os dois vetores A e B são colineares, a
lei do paralelogramo reduz-se a uma adição algébrica ou escalar
R = A + B:
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Subtração de vetores
R' = A – B = A + (–B)
Operações vetoriais
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Determinando uma força resultante
Podemos aplicar a lei dos cossenos ou a lei dos senos para o triângulo
a fim de obter a intensidade da força resultante e sua direção.
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Determinando as componentes de uma força
Algumas vezes é necessário decompor uma força em duas
componentes para estudar seu efeito de ‘empurrão’ ou ‘puxão’ em
duas direções específicas.
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As componentes da força Fu e Fv são estabelecidas simplesmente
unindo a origem de F com os pontos de interseção nos eixos u e v.
Determinando as componentes de uma força
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Esse paralelogramo pode então ser reduzido a um triângulo, que
representa a regra do triângulo.
Determinando as componentes de uma força
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Procedimento para análise
Problemas que envolvem a soma de duas forças podem ser
resolvidos da seguinte maneira:
Lei do paralelogramo:
Duas forças ‘componentes’, F1 e F2 se somam conforme a lei
do paralelogramo, dando uma força resultante FR que forma a
diagonal do paralelogramo.
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Procedimento para análise
Se uma força F precisar ser decomposta em componentes ao
longo de dois eixos u e v, então, iniciando na extremidade da
força F, construa linhas paralelas aos eixos, formando, assim, o
paralelogramo. Os lados do paralelogramo representam as
componentes, Fu e Fv.
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Procedimento para análise
Rotule todas as intensidades das forças conhecidas e
desconhecidas e os ângulos no esquema e identifique as duas
forças desconhecidas quanto à intensidade e à direção de FR ou
às intensidades de suas componentes.
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Trigonometria
Redesenhe metade do paralelogramo para ilustrar a adição
triangular ‘extremidade-para-origem’ das componentes.
Por esse triângulo, a intensidade da força resultante é determinada
pela lei dos cossenos, e sua direção, pela lei dos senos. As
intensidades das duas componentes de força são determinadas
pela lei dos senos.
Procedimento para análise
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Pontos importantes
Escalar é um número positivo ou negativo.
Vetor é uma quantidade que possui intensidade, direção e sentido.
A multiplicação ou divisão de um vetor por um escalar muda a
intensidade do vetor. O sentido dele mudará se o escalar for
negativo.
Como um caso especial, se os vetores forem colineares, a resultante
será formada pela adição algébrica ou escalar.
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Exemplo 01
O gancho da figura está sujeito a duas forças F1 e F2. Determine a
intensidade e a direção da força resultante.
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Exemplo 01
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Exemplo 02
Decomponha a força horizontal de 600 N nas componentes que
atuam ao longo dos eixos u e v e determine as intensidades dessas
componentes.
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Exemplo 02
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Exemplo 03
Determine a intensidade da força componente F e a intensidade da
força resultante se FR estiver direcionada ao longo do eixo y
positivo.
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Exemplo 04
Determine a intensidade da força resultante que atua sobre a argola
e sua direção, medida no sentido horário a partir do eixo x. Resposta: FR = 6,8 kN e = 103°
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Exemplo 05
Duas forças atuam sobre o gancho. Determine a intensidade da
força resultante. Resposta: FR = 666 N
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Exemplo 06
Determine a intensidade da força resultante e sua direção, medida
no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo. Resposta: FR = 721 N e = 43,9°
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Exemplo 07
Decomponha a força de 300 N nas componentes ao longo dos eixos
u e v, e determine a intensidade de cada componente. Resposta: Fu = 219,6 N e Fv = 155,3 N
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Exemplo 08
A força F = 900 N atua sobre a estrutura. Decomponha essa força
nas componentes que atuam ao longo dos membros AB e AC, e
determine a intensidade de cada componente. Resposta: FAB = 1738,8 N e FAC = 1272,8 N
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Exemplo 09
Se a força F precisa ter uma componente ao longo do eixo u com
Fu= 6 kN, determine a intensidade da força F e de sua componente
Fv, ao longo do eixo v. Resposta: F = 3,11 kN e Fv = 4,39 kN
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Adição de um sistema de forças coplanares
Quando uma força é decomposta em duas componentes ao longo dos
eixos x e y, as componentes são, então, chamadas de componentes
retangulares.
notação escalar.
notação de vetor cartesiano.
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Notação escalar
Como essas componentes formam um triângulo retângulo, suas
intensidades podem ser determinadas por:
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No entanto,
Como esse triângulo e o triângulo maior sombreado sãosemelhantes, o comprimento proporcional dos lados fornece:
e
Notação escalar
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Resultante de forças coplanares
Qualquer um dos dois métodos descritos pode ser usado para
determinar a resultante de várias forças coplanares. Por exemplo:
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Resultante de forças coplanares
Se for usada a notação escalar, temos então
(→ + ) FRx = F1x – F2x + F3x
(+↑) FRy = F1y + F2y – F3y
As componentes da força resultante de qualquer número de forças
coplanares podem ser representadas simbolicamente pela soma
algébrica das componentes x e y de todas as forças, ou seja,
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Resultante de forças coplanares
Uma vez que estas componentes são determinadas, elas podem ser
esquematizadas ao longo dos eixos x e y com seus sentidos de direção
apropriados, e a força resultante pode ser determinada pela adição
vetorial.
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Resultante de forças coplanares
Pelo esquema, a intensidade de FR é determinada pelo teorema de
Pitágoras, ou seja,
Além disso, o ângulo θ, que especifica a direção da força resultante, é
determinado através da trigonometria:
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Pontos importantes
A resultante de várias forças coplanares pode ser determinada
facilmente se for estabelecido um sistema de coordenadas x e y e
as forças forem decompostas ao longo dos eixos.
A direção de cada força é especificada pelo ângulo que sua linha de
ação forma com um dos eixos, ou por um triângulo da inclinação.
A orientação dos eixos x e y é arbitrária.
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Pontos importantes
As componentes x e y da força resultante são simplesmente a soma
algébrica das componentes de todas as forças coplanares.
A intensidade da força resultante é determinada pelo teorema de
Pitágoras e, quando as componentes são esquematizadas nos eixos
x e y, a direção é determinada por meio da trigonometria.
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Exemplo 01
Determine as componentes x e y de F1 e F2 que atuam sobre a
lança mostrada.
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Exemplo 02
O olhal está submetido a duas forças F1 e F2. Determine a
intensidade e direção da força resultante.
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Exemplo 03
A ponta de uma lança O na figura está submetida a três forças
coplanares e concorrentes. Determine a intensidade e a direção da
força resultante.
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Exemplo 04
Decomponha cada força que atua sobre o poste em suas
componentes x e y.
Resposta: F1x = 0 e F1y = 300 N
F2x = -318 N e F2y = 318 N
F3x = 360 N e F3y = 480 N
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Exemplo 05
Determine a intensidade e a direção da força resultante.
Resposta: FR = 567 N e = 38,1°
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Exemplo 06
Determine a intensidade da força resultante que atua sobre a
cantoneira e sua direção, medida no sentido anti-horário a partir do
eixo x positivo. Resposta: FAB = 6,272 kN e = 258,68°
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Exemplo 07
Se a força resultante que atua sobre o suporte for 750 N
direcionada ao longo do eixo x positivo, determine a intensidade de
F e sua direção . Resposta: F = 236 N e = 31,76°
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Exemplo 08
Se a intensidade da força resultante que atua sobre o suporte for
400 N direcionada ao longo do eixo u, determine a intensidade de F
e sua direção . Resposta: F = 312,5 N e = 14,29°
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Exemplo 09
Determine a intensidade da força resultante e sua direção , medida
no sentido anti-horário a partir do eixo x.
Resposta: F = 31,2 kN e = 39,8°
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