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Disciplina: Física III ( Capacitores e Dielétricos )
Professor: Douglas Esteves (e-mail: matematyco2010@gmail.com) Página 1
Curso: Engenharia Elétrica
Disciplina: Física III
Professor: Douglas
Assunto: Eletrostática ( Capacitores e Dielétricos )
Neste momento é apresentado o capacitor, componente eletrônico presente muitos dos circuitos , devido a sua funcionalidade. Confundido por muitos com uma pilha por apresentar função semelhante, contudo, as reações químicas servem como base para a pilha e para os capacitores, a capacitância.
Desta forma, o objetivo desta aula é a apresentação do funcionamento de um capacitor.
Capacitor
É um componente eletrônico constituído de duas placas condutoras de
corrente elétrica paralelas (armaduras), separadas por um material isolante denominado de dielétrico.
. A forma como são dispostas suas partes, favorece ao capacitor o
acúmulo de cargas elétricas, sendo esta a sua principal característica. Para representar o capacitor no esquema elétrico podem ser utilizados
três tipos de símbolos que são: para capacitores sem polarização, com polarização e variável .
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CAPACITÂNCIA
A capacidade de armazenar cargas elétricas, é denominada de capacitância.
Farad (F) é a unidade de medida da capacitância. Um capacitor tem uma capacitância de
um FARAD quando armazena uma carga elétrica de um COULOMB e sendo a tensão
entre as suas placas de um VOLT.
1 farad = 1 coulomb / 1volt
Para um determinado capacitor a relação entre a carga adquirida (Q) e a
diferença de potencial plicada (VAB), sempre será constante (C).
A capacitância de um corpo mede a quantidade de carga que esse corpo pode
armazenar quando aplicamos um determinado potencial
Unidade de medida do SI: C/volt = F -> Farad .Geralmente se usam os submúltiplos
do F, como:
mF = 10-3
F ( milifarad)
μF = 10-6
F ( microfarad )
nF = 10-9
F ( nanofarad )
pF = 10-12
F ( picofarad)
Ao colocarem duas placas condutoras de corrente elétrica bem próximas,
paralelas e ligadas aos pólos de uma fonte de tensão elétrica, cada placa carregará até
este conjunto adquirir o mesmo valor de tensão da fonte, caracterizando o carregamento
do capacitor.
Ao conectarmos o capacitor a um gerador, ocorre um fluxo ordenado de elétrons
nos fios de conexão, pois inicialmente há uma diferença de potencial entre a
armadura e o terminal do gerador ao qual está ligada.
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Na figura acima, a armadura A tem, inicialmente, potencial elétrico nulo e está
conectada ao terminal positivo da pilha; logo, os elétrons migram da armadura para a
pilha, já a armadura B, que também tem potencial elétrico nulo, está conectada ao
terminal negativo da pilha, e assim elétrons migram do terminal da pilha para a
armadura B.
Acontece que, enquanto a armadura A está perdendo elétrons, ela está se eletrizando
positivamente e seu potencial elétrico está aumentando; o mesmo ocorre na armadura B,
só que ao contrário, ou seja, B está ganhando elétrons, eletrizando-se negativamente, e
seu potencial elétrico está diminuindo.
Esse processo cessa ao equilibrarem-se os potenciais elétricos das armaduras
com os potenciais elétricos dos terminais do gerador, ou seja, quando a diferença de
potencial elétrico (ddp) entre as armaduras do capacitor for igual à ddp nos terminais do
gerador, e nesse caso dizemos que o capacitor está carregado com carga elétrica
máxima.
Quando um capacitor está carregado as placas contêm cargas de mesmo valor
absoluto e sinais opostos + q e – q. Entretanto, quando nos referimos à cargas de um
capacitor estamos falando de q, o valor absoluto da carga de uma das placas
Caso as placas sejam energizada com valores diferentes da primeira situação
como mostra a figura abaixo o comportamento será semelhante, resultando num valor
idêntico, ou seja, constante, chamado de capacitância.
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Exemplo: Um eletrômetro é um aparelho usado para medir cargas estáticas. Uma carga desconhecida
é colocada nas armaduras de um capacitor e após isto medimos a diferença de potencial
entre elas. Qual é a menor carga que pode ser medida por um eletrômetro cuja capacitância
vale 50 pF e tem sensibilidade à voltagem de 0,15 V?
Fatores que Influenciam na Variação de Capacitância
1º - A capacitância de um capacitor depende
diretamente da área de cada placa.
Área da placa do Capacitor 1 < Área da placa do Capacitor 2
Capacitância do Capacitor 1 < Capacitância do Capacitor 2
2º Quanto maior for a distância
entre as duas placas menor será
o valor da capacitância.
Distância entre as placas do Capacitor 1 < Distância entre as placas do Capacitor 1
Capacitância do Capacitor 1 > Capacitância do Capacitor 2
3º - O valor da capacitância do capacitor depende da
natureza do dielétrico (constante dielétrica). Ao ser
introduzido outro material diferente do vácuo ou do ar, a
capacitância passa a ser C = KC0.
Capacitância do Capacitor 1 < Capacitância do Capacitor 2
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Cálculo da Capacitância
Comumente são encontrados capacitores do tipo Plano, Cilíndrico e Esférico,
construídos usando diversos materiais, como: cerâmica, tântalo, metálico, papel
alumínio, ...
Vamos agora discutir o caçulo da capacitância de um capacitor a partir da sua
forma geométrica. Como serão analisadas diferentes formas geométricas, é conveniente
definir um método único para facilitar o trabalho.
1 – Supomos que as placas do capacitor estão carregadas com uma carga q;
2 – Calculamos o campo elétrico entre as placas em função da carga, usando a
lei de Gauss;
3 – A partir do campo elétrico, calculamos a diferença de pontencial ( V ) entre
as placas.
Cálculo do Campo Elétrico
Para relacionar o campo elétrico entre as placas de um capacitor à carga q de
uma das placas, usamos a lei de Gauss:
∮ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ o essa equação se reduz a
Onde q é carga envolvida por uma superfície gaussiana e ∮ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ é o fluxo
elétrico que atravessa a superfície e A é a área da parte da superfície gaussiana através
da qual existe um fluxo.
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Por conveniência, vamos sempre desenhar a superfície gaussiana de forma a
envolver totalmente a carga da placa positiva.
Cálculo da Diferença de Potencial
A diferença de potencial entre as placas de um capacitor está relacionada ao
campo elétrico através da equação:
∫ ⃗
∫
Onde a integral deve ser calculada ao longo de uma trajetória que começa em
uma das placas e termina na outra. Vamos sempre escolher uma trajetória que coincida
com uma linha de campo elétrico, da placa negativa até a placa positiva.
Para essa trajetória os vetores ⃗ tem sentidos opostos e , portanto o
produto ⃗ é igual a - ⃗ assim temos:
∫ ⃗
Onde os sinais – e + indicam que a trajetória de integração começa na placa
negativa e termina na placa positiva.
Capacitor Plano
Como a capacitância é definida por
, substituindo os valores da carga ( campo
elétrico) e da diferença de potencial temos:
( capacitor de placas paralelas )
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Exemplo:
Um capacitor de armaduras paralelas é construído com placas circulares de raio 8,22
cm e 1,31 mm de separação entre elas. (a) Calcule a capacitância. (b) Qual a carga que
aparecerá nas armaduras, se aplicarmos uma diferença de potencial de 116 V entre elas?
Solução:
(a) A capacitância de um capacitor de placas paralelas, não
importando a forma geométrica de suas placas, é dada por:
b)
Capacitor Cilíndrico
Neste capacitor, as placas são constituídas de dois cilindros coaxiais, isolados
geralmente por óleo. O cilindro interno é o terminal (+) e o cilindro externo, o terminal
(-). Sua Capacitância C também depende de sua geometria, ou seja, de seu comprimento
l, e dos raios a e b dos cilindros.
Como a superfície gaussiana escolhida é um cilindro de comprimento L e raio r
que pode ser visto na figura abaixo temos:
- a carga envolvida pela superfície gaussiana é dada pela
equação: , como a área lateral do cilindro é dada
pela equação , isolando o campo elétrico temos:
Substituindo o valor do campo elétrico na equação do potencial
temos:
∫
∫
(
)
Onde usamos o fato de que ds = -dr ( integramos na direção radial de fora para dentro) .
Usando a relação C = q/V, temos:
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O capacitor cilíndrico é muito comum nos equipamentos eletroeletrônicos como,
televisores, computadores, rádios, etc.
Capacitor Esférico
Mais raro, mas de importância acadêmica, é constituído de duas esferas
concêntricas isoladas, sendo a esfera interna positiva (+), e a externa negativa (-).
Neste caso, a Capacitância é dada por:
R1 e R2 – raios da esfera interna(+) e externa(-).
Exemplos:
Considere um capacitor esférico, isolado a vácuo. Calcule sua capacitância C, sendo dados os raios das esferas externa igual a 10 e interna igual 9 cm.
Solução:
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Energia armazenada no Capacitor
Para carregar um capacitor é necessário a realização de um trabalho, que
corresponde à energia potencial elétrica U armazenada no capacitor. O cálculo do
trabalho para transferir cargas ao capacitor, resulta na energia U:
Exemplo:
As tentativas de construção de um reator de fusão termonuclear controlada que, se bem-
sucedidas, poderiam fornecer uma enorme quantidade de energia a partir do hidrogênio
pesado existente na água do mar, envolvem usualmente a passagem de correntes elétricas
muito intensas por pequenos períodos de tempo em bobinas que produzem campos
magnéticos. Por exemplo, o reator ZT-40, do Laboratório Nacional de Los Alamos (EUA),
tem salas cheias de capacitores. Um dos bancos de capacitores tem capacitância de 61,0 mF
a 10,0 kV. Calcular a energia armazenada, (a) em joules e (b) em kW.h.
Solução:
a) A energia potencial acumulada num capacitor carregado, de capacitância C sujeito à
uma diferença de potencial V, é dada por:
b) Lembrando-se que:
Teremos:
Associação de Capacitores
Nem sempre se encontra no mercado o capacitor de valor adequado. Assim, a
associação de vários capacitores é usada a fim de se obter um determinado valor
resultante. Podemos montar associações de capacitores em série e em paralelo.
a) Associação em Série
Neste tipo de associação, os capacitores são ligados em seqüência e apenas os
terminais do primeiro e do último são ligados na tensão ou d.d.p. V. Desta forma, todos
absorvem a mesma carga q.
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A tensão V entre os extremos da associação é: V=V1+V2+V3+V4 onde V1, V2,
... são as tensões em cada capacitor individual.
Assim, a tensão nos terminais de cada capacitor associado é:
A partir da definição de Capacitância C, podemos substituir V = q/C. Com isto
definir a capacitância equivalente da associação:
Exemplo:
Dois capacitores, um de 2,12 μF e outro de 3,88 μF são ligados em série, com uma
diferença de potencial de 328 V entre os terminais da associação. Calcular a energia
total armazenada nos capacitores.
Solução.
Podemos representar a associação em série dos capacitores C1
e C2
pelo capacitor
equivalente C12
:
A energia potencial acumulada no capacitor C12
sujeito à diferença de potencial V vale:
Logo:
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b) Associação em Paralelo
Neste caso, os capacitores são conectados de forma que todos terão contato
direto com os pontos de tensão V. Desta forma, todos sentem o mesmo Potencial V.
Agora, a carga total absorvida pela associação, é: q = q1 + q2 + q3
A carga em cada um dos capacitores associados é dada por:
O capacitor equivalente da associação é aquele que tem a mesma carga e a
mesma diferença de potencial V que os demais capacitores associados , assim temos:
Exemplo:
1)Um banco de capacitores ligados em paralelo, contendo 2.100 capacitores de
5,0 μF cada, é usado para armazenar energia elétrica. Quanto custa carregar este banco
até a diferença de potencial nos terminais da associação atingir 55 kV, supondo um
custo de 3 centavos por kW.h?
Solução.
Considere o seguinte esquema:
A tarifa total T a ser paga pelo carregamento dos N capacitores é o produto da tarifa t pela energia acumulada nos N capacitores (C
N).
Na expressão acima, U é a energia acumulada em cada um dos
capacitores da associação.
Logo temos:
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2) Ache a capacitância equivalente à combinação na Fig. Abaixo. Suponha que C1
=
10,3 μF, C2 = 4,80 μF e C
3 = 3,90 μF.
Solução.
Em primeiro lugar, vamos resolver a associação em
série de C1 e C
2, cuja capacitância equivalente chamaremos
de C12
e, em seguida, resolveremos a associação em
paralelo entre C12
e C3, cuja capacitância equivalente
chamaremos de C123
.
A capacitância equivalente final vale:
Capacitores com dielétricos
Os isolantes, também conhecidos como dielétricos , são materiais utilizados no
confinamento da energia elétrica, seja para fins de segurança (isolação) como no
armazenamento de energia.
Ao contrário dos materiais condutores e semicondutores, nos materiais isolantes
a presença de campo elétrico (aplicação de tensão), provoca o deslocamento das cargas
sem liberá-las dos átomos ou moléculas. A conseqüência é a formação de dipolos
elétricos.
Portanto, quando um isolante é submetido a um campo elétrico ele sofre
polarização.
Sabe-se empiricamente que a capacitância aumenta quando o capacitor é
preenchido com um material dielétrico. Os primeiros a constatarem isto foram
(independentemente) Faraday (1837) e Cavendish (1773). Todo dielétrico pode ser
caracterizado por uma grandeza denominada constante dielétrica, denotada pela letra
grega , definida por
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Onde C e C0 são as capacitâncias de um mesmo capacitor respectivamente com
e sem dielétrico. Note que o valor mínimo ocorre no caso em que o capacitor
está vazio, ou seja, C = C0 . O valor de a temperatura de 25ºC é 1,00059 para o ar,
2,25 para a parafina, 78,2 para água destilada.
Outro efeito da introdução de um dielétrico é limitar a diferença de potencial que
pode ser aplicada entre as placas a um Vmáx , conhecido como potencial de ruptura.
Quando esse valor é excedido o material dielétrico sofre um processo conhecido como
ruptura e passa a permitir a passagem de cargas de uma placa para outra. A todo
material dielétrico pode ser atribuída uma rigidez dielétrica, que corresponde ao
máximo valor do campo elétrico que o material pode tolerar sem que ocorra o processo
de ruptura.
Quando um capacitor é carregado com carga Q e mantido isolado, de tal forma
que sua carga não pode variar, a mudança da capacitância deve ser acompanhada de
uma mudança do potencial entre as placas. De fato, como Q = CV não muda, então:
C0.V0 = CV
Onde V0 e V são os potenciais respectivamente antes e depois da introdução do
dielétrico. Portanto, o novo potencial.
Exemplo:
1) Um capacitor de placas paralelas cuja capacitância C é 13,5 pF é carregado
por uma bateria até que haja uma diferença de potencial V = 12,5V entre as
placas. A bateria é desligada e uma placa de porcelana ( k = 6,50 ) é
introduzida entre as placas.
a) Qual é a energia potencial do capacitor antes da introdução da placa?
( )( )
b) Qual é a energia potencia do conjunto capacitor – placa depois que a
placa é introduzida?
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2) É dado um capacitor de 7,40 pF com ar entre as armaduras. Você é solicitado a
projetar um capacitor que armazene até 6,61 μJ com uma diferença de potencial
máxima de 630 V. Qual dos dielétricos da Tabela 1 você usará para preencher o
espaço entre as armaduras do capacitor, supondo que todos os dados são exatos,
isto é, a margem de erro é zero?
Solução:
Se a capacitância do capacitor com vácuo entre as placas for C0, com ar entre as
placas for C1 e com outro dielétrico for C
2, valem as seguintes relações:
A energia potencial acumulada no capacitor C2 vale:
Substituindo-se (1) em (2):
Exercícios:
1) Pretende-se usar duas placas de metal com 1m2 de área par construir uma
capacitor de placas paralelas.Qual deve ser a distância entre as placas para que a
capacitância do dispositivo seja 1,00F? ( Exercício 4 do PLT )
2) Considere uma gota de mercúrio com um capacitor esférico. Qual é a
capacitância de uma gota formada pela fusão de duas gotas esféricas de mercúrio
com 2,00 mm de raio? ( Exercício 5 do PLT )
3) As placas de um capacitor esférico tem 38,0 mm e 40,0 mm de raio.
a) Calcular a capacitância;
b) Qual é a área das placas de um capacitor de placas paralelas de mesma
capacitância e mesma distância entre as placas? ( Exercício 6 do PLT )
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4) Um campo elétrico de 2,00.104V/m existe entre as placas circulares de um
capacitor de placas paralelas cuja separação é de 2,00mm. Qual a diferença de
potencial entre as placas do capacitor?
5) Um capacitor C1 de 3,55F é carregado até que seus terminais fiquem à diferença
de potencial 0 V 6,30V . A bateria utilizada para carregar o capacitor é então
removida e o capacitor é ligado, como na figura, a um capacitor 2 C descarregado,
com 2 C 8,95F . Depois que a chave S é fechada, a carga escoa de 1 C para 2 C até
que o equilíbrio seja atingido, com ambos os capacitores à mesma diferença de
potencial V. (a) Qual é esta diferença de potencial comum? (b) Qual a energia
armazenada no campo elétrico, antes e depois de fecharmos a chave S na figura.
6) Quantos capacitores de 1,00 F devem ser ligados em paralelo para armazenar
uma carga de 1,00 C com uma diferença de potencial de 110 V entre as placas
dos capacitores? ( Exercício 7 do PLT )
7) Determine a capacitância equivalente dos circuitos das figuras abaixo: (Dados:
C1 = 10 F , C2 = 5,0 F e C3 = 4 F. ( Exercício 8 e 9 do PLT )
a) b)
8) Os três capacitores da figura abaixo estão inicialmente descarregados e têm uma
capacitância de 25 F . Uma diferença de potencial V = 4200V entre as placas
dos capacitores é estabelecida quando a chave é fechada. Qual é a carga total
que atravessa o medidor A? ( Exercício 10 do PLT )
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9) Na figura abaixo uma diferença de potencial V = 100V é aplicada ao circuito, e
os valores das capacitâncias são C1 = 10 F , C2 = 5 F e C3 = 4 F. Se a
capacitor 3 sofre uma ruptura dielétrica a passa a se comporta como um
condutor, determine o aumento da carga no capacitor 1 e o aumento da ddp entre
as placas do capacitor 1. ( Exercício 11 do PLT )
10) Na figura abaixo a bateria tem uma ddp de 10V e os cinco capacitores têm uma
capacitância de 10,0 F. Determine a carga dos capacitores 1 e 2. ( Exercício 12 do
PLT )
11) Dois capacitores de placas paralelas( com ar entre as placas) são ligados
a uma bateria. A área das placas do capacitor 1 é 1,5 cm2, e o campo elétrico
entre as placas é 2000V/m. a área das placas do capacitor 2 é 0,70 cm2 e o
campo elétricos entre as placas é de 1500V/m. Qual é a carga total
12) Qual é a energia armazenada em 1,00 m3 de ar devido ao campo elétrico em um
dia de “tempo bom”, que tem um módulo da ordem de 150V/m? ( Exercício 24 do
PLT )
13) Qual é a capacitância necessária para armazenar uma energia de 10 KW.h com
uma ddp de 1000V? ( Exercício 25 do PLT )
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14) Um capacitor de placas paralelas cujo dielétrico é o ar é carregado com uma ddp
de 600V. A área das placas é 40 cm2 e a distância entre as placas é 1,0 mm.
Determine: (a) a capacitância, (b) o valor absoluto da carga em uma das placas,
(c) a energia armazenada. ( Exercício 26 do PLT )
15) Um capacitor de 2 e um capacitor de 4 são ligados em paralelo a uma
fonte de tensão de 300V. Calcule a energia total armazenada nos capacitores. (
Exercício 27 do PLT )
16) Na figura abaixo C1
= 10,0 μF , C2
= 20,0 μF e C3
= 25,0 μF. Nenhum dos capacitores
pode suportar uma diferença de potencial de mais de 100V sem que o dielétrico se
rompa, determine: ( Exercício 33 do PLT )
a) A maior diferença de potencial que pode existir entre os pontos A e B.
b) A maior energia que pode ser armazenada no conjunto dos três capacitores.
17) Um capacitor de placas paralelas cujo dielétrico é o ar tem uma capacitância de
1,3 pF. A distância entre as placas é multiplicada por dois e o espaço entre as
placas é preenchido com cera, o que faz a capacitância aumentar para 2,6 pF.
Determine a constante dielétrica da cera. ( Exercício 34 do PLT )
18) Dado um capacitor de 7,4 pF cujo dielétrico é o ar, você recebe a missão de
convertê – lo em um capacitor capaz de armazenar até 7,4 com uma diferença
de potencial máxima de 652V. Qual deveria ser o valor de K do material
dielétrico que teria que ser colocado dentro do capacitor? ( Exercício 35 do PLT )
19) Um capacitor de placas paralelas cujo o dielétrico é o ar tem uma capacitância
de 50pF. Se a área das placas é de 0,35 m2, qual a distância entre as placas? Se a
região entra as placas for preenchida por um material com k = 5,6 qual é a nova
capacitância? ( Exercício 36 do PLT )
20)
21) Três capacitores estão ligados em paralelo. Cada um deles tem armaduras de área A,
com espaçamento d entre elas. Qual deve ser a distância entre as armaduras placas
de um único capacitor, cada uma com área também igual a A, de modo que a sua
capacitância seja igual à da associação em paralelo? Repita o cálculo supondo que a
associação seja em série.
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