Aulão de geometria espacial

1 - (D 53) UM TOPÓGRAFO FOI CHAMADO PARA

OBTER A ALTURA DE UM EDIFÍCIO. PARA FAZER

ISTO, ELE COLOCOU UM TEODOLITO (INSTRUMENTO

ÓTICO PARA MEDIR ÂNGULOS) A 200 METROS DO

EDIFÍCIO E MEDIU UM ÂNGULO DE 30°, COMO

INDICADO NA FIGURA A SEGUIR.

SABENDO QUE A LUNETA DO TEODOLITO ESTÁ A 1,5

METROS DO SOLO, PODE-SE CONCLUIR QUE, DENTRE OS

VALORES ADIANTE, O QUE MELHOR APROXIMA A

ALTURA DO EDIFÍCIO, EM METROS, É: (USE OS

VALORES: SEN 30° = 0,50; COS 30° = 0,86 E TG 30° =

0,57).

(A) 110

(B) 114

(C) 118

(D) 122

(E) 126

Lembre-se que:

sen 𝛼 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝛼

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

cos 𝛼 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝛼

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

tg 𝛼 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝛼

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝛼

sen 𝛼 = 𝐶𝑂

𝐻 ou

cos 𝛼 = 𝐶𝐴

𝐻

tg 𝛼 = 𝐶𝑂

𝐶𝐴

ou

ou

30° 45° 60°

Seno 1

2

2

2

3

2

cosseno 3

2

2

2

1

2

tangente 3

3

1 3

Como construir a tabela dos ângulos notáveis?

1,5

x

Solução:

Perceba que buscamos a soma

de x + 1,5,

Logo teremos que encontrar o

valor de x, mas como fazer

isso? 200 m

Utilizando a relação que envolve cateto oposto

e cateto adjacente, no caso do ângulo de 30°.

tg 30° = 𝐶𝑂

𝐶𝐴 0,57 =

𝑥

200 x = 114

Portanto o prédio tem 114 + 1,5 = 115,5 m

2 – (D67) CONSIDERE QUE OS ÂNGULOS

DE TODOS OS CANTOS DA FIGURA ABAIXO

SÃO RETOS E QUE TODOS OS ARCOS SÃO

ARCOS DE CIRCUNFERÊNCIAS DE RAIO

5CM, COM CENTROS SOBRE OS PONTOS EM

DESTAQUE.

A ÁREA DA REGIÃO SOMBREADA É IGUAL A:

(A) 400 m²

(B) 204π m²

(C) 225π m²

(D) 100 cm²

(E) 50 cm²

Solução:

Perceba que procuramos a área

rasurada que equivale a:

Acirculo + Aquadrado – Acirculo

Acirculo + Aquadrado – Acirculo

Aquadrado = l²

Aquadrado = 10²

Aquadrado = 100 cm²

3 - (D67) CALCULE A ÁREA DA VARANDA

REPRESENTADA NA FIGURA ABAIXO (ADOTE

= 3).

(A) 7,875 m²

(B) 12,15 m²

(C) 12,25 m²

(D) 12,50 m²

(E) 13,00 m²

Solução: Perceba que procuramos a área

de um retângulo e da metade de

um circulo... Ar + 1

2 Ac

Ar + 1

2 Ac = 3 x 1,5 +

1

2 x 3 x 1,5²

Ar + 1

2 Ac = 7,875 m²

Lembre-se:

Área de um quadrado é:

A = b.h

Área de um circulo é:

𝐴 = 𝜋𝑟2

A = 𝑏.ℎ

2

Área de um triângulo é:

Comprimento da circunferência

𝐶 = 2𝜋𝑟

(MARIA PRECISA AZULEJAR SUA COZINHA DE 3M DE

COMPRIMENTO, 2M DE LARGURA E 2,80M DE ALTURA,

AS PORTAS E JANELAS OCUPAM UMA ÁREA DE 4M2.

QUANTOS M2 DE AZULEJOS MARIA PRECISA

COMPRAR?

D(67) Desafio

4 – (D50) UM AVIÃO QUE LEVANTA VOO DE UM

PONTO X DA PISTA E SOBE FORMANDO UM

ÂNGULO CONSTANTE DE 15º COM A PISTA. A

QUE ALTURA ESTARÁ O AVIÃO E QUAL A

DISTANCIA PERCORRIDA QUANDO ESTE

ALCANÇAR A VERTICAL QUE PASSA SOBRE UMA

IGREJA SITUADA A DOIS MIL METROS DO PONTO

DE PARTIDA?

Dados: sen 15 º = 0,26; cos 15º = 0,97 e tg 15 º = 0,27

Solução: Utilizando a relação que envolve cateto oposto e

cateto adjacente, no caso do ângulo de 15°,

encontramos a altura.

tg 15° = 𝐶𝑂

𝐶𝐴 0,27 =

ℎ

2000 h = 540 m

Para encontrar a distância percorrida basta usar

o Teorema de Pitágoras ou uma das relações que

envolvem a hipotenusa.( Prefiro Pitágoras)

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐²

𝑎2 = 20002 + 540²

𝑎2 = 4291600

𝑎 = 4291600 𝑎 ≅ 2071,618

5 – (D49) ABAIXO, HÁ TRÊS TRIÂNGULOS QUE

SÃO SEMELHANTES DOIS A DOIS. ESSES

TRIÂNGULOS SÃO:

A) I, II E II

B) II, III E V

C) I, III, VI

D) I, III E V

E) II, III E V

0 QUE PODE CAIR A RESPEITO DE TRIÂNGULO:

CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA:

A medida de cada lado é menor que a soma da

dos outros dois.

ATENÇÃO!!!

ENCONTRAR O VALOR DE UM DOS LADOS:

Teorema de Pitágoras.

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐²

QUE PODE SER CARACTERIZADO DE DUAS

MANEIRAS DIFERENTES:

Quanto aos lados

Equilátero

Isósceles

Escaleno

Três lados iguais

Dois lados iguais

Todos os lados diferentes

Quanto aos ângulos

Acut ângulo

Ret ângulo

Obtus ângulo

Ângulos internos < 90

Ângulos internos = 90°

Um ângulo interno > 90°

NOME:

6 - (D )SEJAM OS DADOS CONTIDOS NO

GRÁFICO ABAIXO.

Analisando os pagamentos nos anos de 1997

e 2001, é correto afirmar que houve:

a) um decaimento nos pagamentos com cheque,

transação com cartões de credito e com cartões de

debito;

b) um crescimento nas transações com cartões de

credito, de 98%, e com cartões de debito, de 40%;

c) um decaimento de 11,56% nos pagamentos com

cheque e um crescimento de 562,5% nas

transações com cartão de debito;

d) um decaimento de 93,86% nas transações com

cartão de credito;

e) um crescimento de 93,86% nas transações com

cartões de credito e um deslocamento de 15%, nos

pagamentos com cheque.

CHEQUE COMPENSADO

CARTÃO DE DÉBITO

CARTÃO DE CRÉDITO

1997 2940

2001 2600

1997 440

2001 853

1997 56

2001 371

340

413

315

2940

440

56

100

100

100

340 X

X

X 413

315

11,56%

93,86 %

562,5% 315

2940

7 - (D) NO RETÂNGULO ABCD, MOSTRADO

NA FIGURA ABAIXO, M É O PONTO MÉDIO

DO LADO AB.

Se MD e MC são arcos de circunferências que

têm 8 cm de diâmetro, a área da região

sombreada, em centímetros quadrados é:

a) 32(1 – 𝜋)

b) 16(2 – 𝜋)

c) 8(4 – 𝜋)

d) 4(1 – 𝜋)

e) 4 – 𝜋

Solução:

Área procurada é dada por:

AretÂngulo - 1

2 Acirculo

b.h - 1

2𝜋r²

8.4 - 1

2 𝜋.4²

32 - 1

2 16 𝜋 =

Observe que em nenhum dos itens aparece a

resposta encontrada, então esta errada?

Não a resposta esta fatorada...

32 – 8 𝜋

8 - UM TERRENO PLANO TEM A FORMA DE

UM RETÂNGULO CUJO PERÍMETRO É 78M.

SE A SUPERFÍCIE DESSE TERRENO TEM

ÁREA DE 350M2, ENTÃO A DIFERENÇA

POSITIVA ENTRE AS MEDIDAS DO SEU

COMPRIMENTO E DA SUA LARGURA, EM

METROS, É:

a) 11

b) 12,5

c) 13

d) 14,5

e) 15

9 - UM PRISMA TRIANGULAR TEM TODAS AS

ARESTAS CONGRUENTES E 48M² DE ÁREA

LATERAL. SEU VOLUME VALE:

Solução:

A área lateral é a soma de

todas as área das faces laterais

Logo temos:

3 x Aquadrado = 48 m²

3 x a² = 48

a² = 48/3

a² = 48/3

a² = 16 a = 4

O volume de um prisma de base triangular é:

V = Abase. h

Abase = 𝑙² 3

4 Abase =

4² 3

4 Abase =

16 3

4 Abase = 4 3

V = Abase. h V = Abase. h V = 4 3 . 4 V = 16 3

Há dois tipos de pessoas que

nunca chegam a realizar

muito ao longo da vida. Um

deles é quem não faz o que

lhe dizem para fazer e o outro

é quem faz apenas o que lhe

dizem para fazer."

(Andrew Carnegie)