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Calculo e Instrumentos Financeiros
Parte 2
Faculdade de Economia da Universidade do Porto
2014/2015
2
1ª Aula4 Nov
3
Risco e sua diversificação
4
Introdução
• Quando alguém empresta um capital, temcomo objectivo receber mais tarde essecapital que emprestou acrescido dos juros
• Mas existe sempre uma probabilidade denão receber nem uma coisa nem outra (notodo ou em parte).
5
Introdução
• Na análise de um investimento, porque ébaseada em previsões quanto aodesempenho futuro do negócio– preços dos inputs, preços e quantidades dos
outputs, depreciação do capital, falhas edescobertas tecnológicas
• A medida calculada a priori na avaliaçãopode, a posteriori, vir a concretizar-se deforma menos favorável.
6
Introdução
• No sentido de compreendermos o risco,controlá-lo e utilizá-lo na tomada dedecisão, vamos neste capítulo apresentara modelização estatística do risco.
7
Introdução
• Já consideramos um modelo de riscop => Prob. de não receber nada(1-p) => Prob. de receber capital e juros
V.(1+r) = 0 x p + V.(1+i).(1-p)i = (1+r) / (1-p) -1
r => taxa de juro sem riscoi => taxa de juro com risco
8
Seguro de vida
• Ex.2.1- Num seguro de vida em que épaga a indemnização na data da morte.
• A seguradora capitaliza os prémios pagospelo segurado de forma a ter reservaspara pagar a indemnização.
• A seguradora tem uma margem de 10%• Qual o prémio anual por cada 1000€ de
indemnização?
9
Seguro de vida
• Se a seguradora soubesse a priori
quantos anos faltavam para o seguradomorrer e a taxa de juro, calculavafacilmente o prémio do seguro que lhepermitiria capitalizar a indemnização e teralgum lucro
• Mas na data de assinatura do contratoessas grandezas não são conhecidas
10
Seguro de vida
• Se a duração fosse N e a taxa de juro r
tínhamos• Valor actual da indemnização
• Valor actual da soma de todos os prémios(prestações) pagos pelo segurado (antec.)
NrI
−+× )1(
( ) )1()1(1 rrr
P N +×+−× −
11
Seguro de vida
• Igualando obtemos o prémio que aseguradora precisa cobrar (sem margem)
( )
( ) 1)1()1(1
)1()1(1)1(
+−
−−
+×+−
×=
+×+−×=+×
NN
NN
rr
rIP
rrr
PrI
12
Exemplo: seguro de vida
• Se N=40 e r = 2% resultava:– Paga 40 anualidades
• Mais os 10%, seriam 17.854€/ano/1000€= 1.7854%/ano
( )€23.16
02.102.11
02.0100014040
=×−
×=
+−P
13
Exemplo: seguro de vida
• O seguro tem risco porque a seguradoranão conhece N nem r=>O risco pode resultar de um fenómeno
aleatório, e.g., o euromilhões.=> Mas o mais normal é resultar de uma
concretização futura, e.g., a ocorrência deuma inovação tecnológica
14
Exemplo: seguro de vida
• Sem conhecermos N nem r o melhor quepode ser feito é a construção de algunscenários
• Dividimos cada variável em cenáriosComo exemplo, consideramos os cenários
Adverso, Médio, favorávelM.Mau, Mau, Médio, Bom, M.BomM.Mau, Mau, Médio- , Médio+, Bom, M.Bom
15
Exemplo: seguro de vida
• Cada cenário é uma combinação devalores possíveis para as variáveisrelevantes desconhecidas
• No caso de variáveis contínuas, essevalor é o representante de um intervalo,e.g., o valor do meio.
16
Seguro de vida
17
Exemplo: seguro de vida
• Seguradora cobrar 17.856€/ano por cadaseguro de 1000€, terá prejuizo noscenários Mau e Mmau e uma margemmaior que 10% nos cenários Bom eMbom.
18
Exemplo: seguro de vida
• Também podemos usar uma combinaçãode cenários individuais.
• Se temos 5 cenários para a taxa de juro e6 para a longevidade, da combinaçãoresultam 30 cenários
• Cobrando um prémio anual de 17.86€,podemos identificar os cenários em que aseguradora tem prejuizo e lucro
19
Exemplo: seguro de vida
F5: =$C$1*$E6/((1-(1+$E6)^-F$5)*(1+$E6)^(F$5+1))*(1+$C$2)
Área F6:K10 com formatação condicionada (se <17.854)
20
Introdução
• Os cenários conseguem dar uma ideiados potenciais perdas e ganhos mas nãonos ajudam quantitativamente na decisão
• Vamos necessitar de alguns conceitosestatísticos que permitam agregar ainformação.
21
Conceitos estatísticos básicos
22
Conceitos estatísticos básicos
• A Estatística descreve, organiza e relaciona objectos e fenómenos demasiado difíceis de apreender com as ferramentas conceptuais da matemática clássica (i.e., funções reais de variáveis reais).
23
Conceitos estatísticos básicos
• A estatística reduz a dimensão do fenómeno considerando
• Poucas variáveis (as mais relevantes) e• Conhecimento parcial dessas variáveis
24
Conceitos estatísticos básicos
• Por exemplo, quando se constrói umavião, é necessário colocar bancosadequados para acomodar Pessoas comNecessidades Especiais (PNE).– Cada lugar implica um custo– Mas deixar passageiros em terra tem uma
penalização
• Eu não sei quantas pessoas aparecem emcada voo.
25
Conceitos estatísticos básicos
• Dados passado:
• Olhando para as pessoas que viajaram nopassado, 3.0% são PNE.
26
Conceitos estatísticos básicos
• Partindo desta informação poucopormenorizada– Calculada com os passageiros do passado
• podemos calcular, com a ajuda daestatística, estimativas para asnecessidades das viagens futuras– Supomos a estabilidade das características
da população
27
Conceitos estatísticos básicos
Sabendo-se que 3% dos indivíduos são PNE, em x% das viagens futuras (com 200 passageiros) haverá necessidade de N lugares –
Função distribuição de Poisson
0%
5%
10%
15%
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15PNE
Probabilidade
28
Conceitos estatísticos básicos
• Agora, podemos optimizar uma funçãoobjectivo.
• H1) cada lugar especial dá 50€ deprejuizo
• H2) Deixar um PNE em terra tem 1000€de penalização
• Podemos minimizar o prejuizo esperado
29
Conceitos estatísticos básicos
• A variável de decisão é N.
x é o número de PNE que aparecem num vooqualquer
n é o número de cadeiras especiais do avião
>−
≤−−=
nxsenx
nxsenxnf
)(1000
050),(
30
Conceitos estatísticos básicos
-7000 €
-6000 €
-5000 €
-4000 €
-3000 €
-2000 €
-1000 €
0 €
0 5 10 15 20 25 30
Prejuizo esperado
Número de cadeiras especiais
31
Conceitos estatísticos básicos
• Para já não interessa saber como a figuraanterior foi calculada.
• Com os 3% de PNE, foi possível construirum modelo de apoio à decisão.O valor óptimo depende da percentagem de
PNE (estimativa)2.0% => 11 lugares3.0% => 14 lugares4.0% => 17 lugares
32
Noção de variável estatística
33
Noção de variável estatística
• Na primeira parte da disciplinaaprendemos modelos que nos permitemquantificar o impacto da nossa decisão emfunção das variáveis relevantes (e.g., taxade juro, taxa de crescimento as vendas)
• O risco resulta de não conhecermos osvalores concretos que as variáveis vãoassumir no futuro.
34
Noção de variável estatística
• Por exemplo, na construção de umautomóvel não sei a altura nem o peso dofuturo condutor.– Será um valor “sorteado” da população
• Vou ultrapassar a falta de informaçãoassumindo que será um valor retiradoaleatoriamente da população da qualconheço estatísticas– e.g., o valor médio e a dispersão
35
Noção de variável estatística
• Numa extracção aleatória os indivíduossão obtidos sem ter em atenção nenhumadas suas características– e.g., a extracção de uma bola no Euromilhões
não tem em atenção o número.
• Depois, agrego a população numa funçãoobjectivo a optimizar– Valor esperado do lucro ponderado pelo risco
36
Probabilidade
• A cada um dos valores possíveis (i.e.,cada cenário) é atribuído umaprobabilidade-> Atirando uma moeda ao ar, a probabilidade
de sair cara é 50%.-> Retirar o número 33 de um saco com os
números 1 a 50 é 1/50.-> A probabilidade de nascer uma rapariga é
49.03% (INE, Jan2013:Jul2013).
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Interpretações de probabilidade
• Probabilidade de se concretizar o valor x
• Clássica: é a proporção de vezes em queobservo o valor x se repetir a experiência deforma independente e muitas vezes
• Bayesiana: é uma conjectura construída porperitos sobre o fenómeno ainda desconhecidose concretizar com o valor x
• Em termos práticos, a perspectiva bayesiana émais flexível mas não tem tanto suporte teórico
38
Probabilidade
• A probabilidade não garante qual o valorque se vai obter no concretoe.g., sabe-se que a probabilidade de numa
viagem haver 6 PNE é de 16% não diz quevão aparecer 6 pessoas
• mas contém um certo grau de informaçãoque ajuda a avaliar a importância relativados cenários construídos
39
Probabilidade
• Opinião de peritos:
• Ex.2.4. Foram identificados 8 cenáriospossíveis quanto ao comportamento dopreço do Brent em dólares daqui a 10anos e inquirida a opinião de 100 peritossobre a probabilidade de se concretizarem(proporcional à escala de 0 a 10).
40
Probabilidade
• Com base na soma dos pontos atribuídospor todas as pessoas, determine aprobabilidade assumida para que cada umdos cenários possa vir a acontecer.
41
B5: =B4/$J4 J4: =Soma(B4:I4)
42
2ª Aula
43
• Concluindo,• 1 - Eu tenho um modelo de cálculo das
implicações financeiras da minha decisãoonde me falta a informação sobre ocenário concreto que se vai realizar
44
Tenho o modelo que funciona bem quando conheço os valores
45
• 2 – Quando não tenho os valores, omelhor que posso fazer é substituir o valordesconhecido por uma variável aleatóriade que eu tenho informação quanto àprobabilidade de cada cenário se vir aconcretizar.
• Por exemplo, não conheço a duração
46
Substituo o valor desconhecido por uma variável aleatória
47
• Uso uma variável aleatória como modelodo risco
• Esta substituição (do cenário futurodesconhecido pela variável aleatória)implica que tenha como resultado não umvalor mas também uma variável aleatória(como se fosse toda uma população deresultados).
48
Exemplo
• Ex.2.5. Conhecida a probabilidade de oindividuo durar determinados anos e ataxa de juro ser determinada
• retome o Ex.2.1 e calcule a probabilidadeda seguradora ter uma margem dasvendas abaixo dos 10% pretendidos
49
Caracterização da v.e.
• População dividida em cenários– Intervalos
• Pego nos indivíduos todos da população ecalculo a proporção que cai dentro decada classe
• e.g., divido a longevidade de uma pessoanos intervalos [0, 30]; ]30,60]; ]60,90] e]90, 120]
50
Caracterização da v.e.
• Não podendo medir toda a população,utilizo uma amostra no cálculo daprobabilidade
• Quando (parte) da população está nofuturo, tenho que considerar o presentecomo uma amostra dessa população dofuturo
51
Exemplo
• a probabilidade de cada cenário édeterminada com informação passada epela opinião de um painel de peritos
• Vamos supor a seguinte informaçãoquanto à probabildaide de ocorrencia decada cenário:
52
53
Exemplo
• R. Agora que tenho informação quanto àprobabilidade de cada um dos cenários poderocorrer, olhando para o resultado de cadacenário (apresentado no Ex. 2.1) somo aprobabilidade dos cenários em que o prémiodeveria ser maior que o adoptado (1.785%/ano)– São os cenários a vermelho
• A probabilidade da margem das vendas ficarabaixo dos 10% pretendidos é 57.78%.
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Exemplo: seguro de vida
F5: =$C$1*$E6/((1-(1+$E6)^-F$5)*(1+$E6)^(F$5+1))*(1+$C$2)
Área F6:K10 com formatação condicionada (se <17.854)
55
Tabelas de sobrevivência
• As seguradoras têm tabelas que dão aprobabilidade de uma pessoa estar vivadecorridos x anos desde que nasceu.
• Quantificado em partes por 100000• Por exemplo, o INE estima que a
probabilidade de um individuo nascido em2007 estar vivo em 2040 é 98439/100000
56
Tabela de sobrevivência
57
Tabelas de sobrevivência
• A probabilidade de uma pessoa de 20anos durar apenas 10 anos é de
(99267-98685)/99267 = 0.586%
58
Exercício
• Ex.2.6. Uma empresa contrata um financiamento de 10M€ com 3 anos de diferimento e amortizado nos restantes 7 anos, pagamentos trimestrais postecipados.
• TAE é a EURIBOR mais 2.5 p.p.• Usando um quadro de probabilidades
conhecido, determine P(prest>500k€)
59
D6: =(A6+B6)/2; E6: =D6+E$1; F6: =(1+E6)^(1/4)-1
G6: =B$3*F6/(1-(1+F6)^-E$2); E3=Soma(C12:C18)
60
Exercício
• Ex.2.7. Uma família adquire um imóvel a crédito– > 150k€ a 40 anos– > Prestação mensal iguais em termos reais– > Antecipada
• Quero saber o esforço financeiro– > Prestação/Rendimento
61
Exercício• Vamos fazer a análise a preços
constantes e calcular a prestação anual paga no meio do ano da renda cujo valor actual é 150k€:– que evita saber a taxa de inflação
( )
( ) 5.040
5.040
)1()1(1
150000
)1()1(1150000
rr
rP
rrr
P
+×+−×
=⇔
+×+−×=
−
−
62
Exercício
• Podíamos fazer mensal
• Mas a ideia é visualizar a simplificação de considerar o pagamento a meio do período.
( ) )1()1(1
150000
1)12/1()^1(
480rmrm
rmPm
rrm
+×+−×
=
−+=
−
63
Exercício
• Eu não sei qual vai ser a taxa de juro real nem o rendimento futuros.
• Vou assumir cenários e probabildiades para cada cenário.
64
Dados
65
J5: =$B$1*$D5/(1-(1+$D5)^-$B$2)/(1+$D5)^0,5/E$4
O5: =IF(J5>$P$2;E5;0) P3: =SUM(O5:S9)
66
Valor médio
• Na tomada de decisão é convenienteagregar todos os cenários em apenasalgumas medidas.
• Em termos económicos, o valor esperado(médio) é a medida que contém maisinformação
• é a “componente sem risco” do fenómenoque estamos a analisar.
67
Valor médio
• Havendo n cenários caracterizado cadaum por xn, com determinada probabilidadede ocorrência, pn, o valor médio será
– Porque as probabilidades somam 1
nn
n
nn
pxpxpx
ppp
pxpxpx
......
...
......
2211
21
2211
+++=
++++++
=µ
68
Valor médio
• O valor médio já nos permite um critérioquantitativo que nos ajuda a decidir numasituação com risco.
• Mas é muito limitado porque não tem ematenção o risco (a variabilidade)
69
• Ex.2.8. Um empresa fornece refeições aaviões.
• Que confecciona durante a noite pararesponder às solicitações do dia seguinteque são incertas.
• Por cada refeição que fornecer recebe15€ (com um custo de produção de 5€) etem uma penalização de 15€ por cadarefeição que seja pedida e não possa serfornecida.
• As refeições que sobram são destruídasno fim do dia.
70
• i) Determine, em média, a rentabilidade dofornecimento em função do número derefeições confeccionadas.
• ii) Determine o número de refeições quemaximiza a rentabilidade média.
71
• A empresa constrói cenários em que avariável desconhecida é o número derefeições encomendadas
• Calcula, para cada dia e com base na suaexperiência, a probabilidade de cada umdos cenários se verificar.
• Com essas probabilidades, a empresadetermina o resultado médio do dia emfunção do número de refeiçõesconfeccionadas (que é a variável dedecisão).
72
E6: =MÍNIMO(C6;$D$1) F6: =C6-E6G6: =E6*E$4-D$1*D$2+F6*F$4H6: =D6*G6 H15: =SOMA(H6:H14)
73
• Alterando o valor da variável de decisão,D1, determino qual o número de refeiçõesque maximiza o resultado médio, H15
74
Optimização
• O Excel tem a ferramenta Solver que permitemaximizar ou minimizar o resultado de ummodelo. No Excel 2007:
• Office Button+ Excel Options + Add-ins category+no Manage clickar em Go…,
• +Solver Add In
• Depois, aparece no Analysis
75
3ª Aula11 de Nov
76
Desvio padrão
• Ao agregarmos os cenários no valormédio ficamos sem uma medida derisco
• o desvio padrão, σ, é uma boa medidado risco de assumirmos o valor médiodos cenários possíveis como o valordo cenário que vai acontecer (e que édesconhecido)
77
Desvio padrão
• Algebricamente é a raiz quadrada da• Média dos desvios ao quadrado
( ) ( )N
Nn
PP
PxPx
....
.....
1
21
21
++−++−
=µµ
σ
78
Desvio padrão
• Como a soma de todas asprobabilidades dá 1
( ) ( ) Nn PxPx ..... 21
21 µµσ −++−=
79
Desvio padrão
• O desvio padrão é uma expressãoderivável e que tem interpretaçãogeométrica.– Se, e.g., uma população se agrega no
valor médio 25€/dia e desvio padrão5€/dia, é equivalente a ter metade dosindivíduos em 20€/dia e outra metadeem 30€/dia.
80
Desvio padrão
• Ex.2.9 - Uma empresa pretendeinternacionalizar-se e traçou várioscenários possíveis
• Determine o valor médio e o desvio padrãodo resultado financeiro que resulta dainternacionalização.
81
D2: =$B2*C2 D10: =SUM(D2:D9)E2: =(C2-$D$10)^2 F2: =$B2*E2F10: =SUM(D2:D9) F11: =F10^0,5
82
Desvio padrão
• Podemos ler este resultado como:• Em média o resultado será 28.3k€ mas• em metade dos casos o resultado será
4.3k€ = 28.3 – 24.06• e na outra metade será
52.3k€ = 28.3 + 24.06
83
• Ex.2.10. Supondo que nos baralhos de 52cartas uma figura vale 10 pontos.
• Determine o valor médio e o desvio padrãodos pontos de uma carta retiradaaleatoriamente.
• Nesta população teórica eu posso calcularos valores da população
84
• 4 cartas valem 1 ponto,
• 4 cartas valem 2 pontos
• ….
• 4 cartas valem 9 pontos
• 16 cartas valem 10 pontos
538.613
85
13
1049...21134
104494...2414
==×++++
=
×××+×++×+×
=µ
85
• O desvio padrão será
153.313
)538.610(4...)538.61(
134
)538.610(44...)538.61(4
22
22
=
−×++−=
×−××+−×
=σ
86
• Ex.2.11. Relativamente ao Ex. 2.8,determine o desvio padrão dos resultados.
• Determine o número de refeições quemaximiza o valor médio do resultadomenos o seu desvio padrão.– As pessoas preferem não infrentar risco pelo
que, quando ele existe, é preciso retiraralguma coisa ao valor médio
87
I6: =(G6-$H$15)^2 J6: =I6*D6
J15: =SOMA(J6:J14) J16: =J15^0,5
88
Função de distribuição
• Quando a variável é contínua podemos partir o domínio em intervalos, cenários, e apontar uma probabilidade de o acontecimento vir a pertencer a cada um dos cenários.
• Em cada cenário adoptamos como valor representativo o meio do intervalo
89
Função de distribuição
• Apesar de atribuirmos uma probabildaide a cada cenário– Se temos 30 cenários, precisamos de 29
números
• Mas não existe informação para ter rigor nesses números.
• Temos informação para 1 ou 2 números
90
Função de distribuição
• É aceitável pensar que os cenários vizinhos têm associadas probabilidade semelhantes.
• A Estatística propõe o uso de uma função F(x) que quantifica a probabilidade de ser observado um valor menor que ou igual a dado valor x.
91
Função de distribuição
• A função de distribuição é caracterizada por alguns parâmetros
• No ex.2.1 usei a Função Distribuição de Poisson que se caracteriza por 1 parâmetro (os 3%)Valor médio = Desvio Padrão
92
Distribuição Normal
• É caracterizada por dois parâmetros– O valor médio– O desvio padrão (ou a variância)
• Variância = desvio padrão ao quadrado
• É importante porque é a “distribuição limite” da soma de acontecimentos estatisticamente pouco dependentes
93
Distribuição Normal
• A probabilidade de acontecer o cenário]µ –σ; µ + σ] é de 68.3% ≈ 2/3;]µ – 2σ; µ +2σ] é de 95.5% ≈ 19/20]µ – 3σ; µ +3σ] é de 99.7% ≈ 997/1000.
94
Distribuição Normal
Ex. o QI -coeficiente de inteligência é umavariável aleatória com distribuição normalcom média 100 e desvio padrão 15
A probabilidade de encontrar aleatoriamenteum indivíduo com QI > 145 é 0.13% (i.e.,uma em cada 740 pessoas)
=1-DIST.NORM(145;100;15;VERDADEIRO)Inglês: NORMDIST
95
Distribuição NormalA Distribuição Normal concentra a maior
probabilidade nos cenários em torno do valormédio
0%
5%
10%
15%
20%
-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
P(x = k )
k
96
Exercício
• Ex.2.12. Comprei obrigações a 25 anos à taxa de juro nominal fixa de 3%/ano, sem possibilidade de mobilização antecipada.
• A taxa de inflação média prevê-se seguir distribuição N(0.02, 0.01)/ano
• Determine o valor real a receber no fim do prazo de aplicar 10000€ e a probabilidade de esse valor ser menor que a quantia aplicada.
97
Exercício
• 1) Vou dividir o domínio da taxa de inflação em cenários e calcular o valor capitalizado para cada cenário
• 2) Calculo o valor médio e o desvio padrão do V.F. em termos reais e a probabilidade de vir a ser recebido uma quantia menor que a aplicada.
98
Exercício
99
A7: =G1-4,25*G2 B7: =A7+$G$2/2 A8: =B7D7: =(A7+B7)/2C7: =DIST.NORM(B7;G$1;G$2;true)-DIST.NORM(A7;G$1;G$2;true)E7: =(1+C$1)/(1+D7)-1 F7: =C$2*(1+E7)^C$3
G7: =F7*C7 H7: =(F7-G$25)I7: =H7^2*C7 C24: =SOMA(C7:C23) G25: =SOMA(G7:G22)/C24I24: =SOMA(I7:I22)/C24I25: =I24^0,5I26: =DIST.NORM(C2;G25;I25;true)
100
4ª Aula
101
Distribuição Uniforme
• Na F.D. Uniforme os valores no domíniosão todos igualmente prováveis.
• Pode se caracterizada pelos extremos– valores mínimo e máximo
• Pelo valor médio e amplitude• Pelo valor médio e desvio padrão
102
Distribuição Uniforme
• Sendo dadosµ = valor médioσ = desvio padrão
O Valor mínimo = µ - 1.732 σ
O Valor máximo = µ + 1.732 σ
103
Distribuição Uniforme
• Sendo dadosMx = valor máximoMn = valor mínimo
Valor médio = (Mn + Mx)/2Desv. padrão = 0.2887(Mx - Mn)
104
Distribuição Uniforme
• A probabilidade de um cenário é a suaproporção no domínio possível.
• Ex., com a distribuição uniformeU(Min,Mx) = U(5; 10)
A probabilidade do cenário [5;6] é 1/5
105
Escolha da F.Distribuição
• A função distribuição não é conhecidasendo uma proposta da Teoria.
• No entanto, em termos de decisãoeconómica, a função distribuição não éum factor crítico (ver ex.2.13).
• e.g., considerar uma função distribuiçãonormal é idêntico a considerar uma funçãode distribuição uniforme.
106
Distribuição não simétrica
• No entanto, quando o fenómeno é caracterizadopor uma função muito assimétrica,– Existe uma probabilidade mais elevada de alguns
acontecimentos catastróficos– Mede-se com
– m é zero nas F.D. simétricas
• não posso utilizar uma função simétrica
( )3 3∑ −×= µii xPm
107
Distribuição não simétrica
• Exemplo de uma distribuição assimétricaé o caudal de um rio
• É normal ter– m / µ > 5– 80% dos dias um caudal ≤ ao valor médio– 1 dia em cada 100 anos haver um caudal 30
vezes superior ao caudal médio
108
Distribuição não simétrica
• Os caudais muito elevados (e.g., queocorrem com a probabilidade de 1 dia em100 anos) têm muito poder destrutivo
• Os seguros contra danos de cheias têmque quantificar com rigor a probabilidadedestes acontecimentos extremos– As barragens e pontes têm que ser feitos de
forma a resistir a estes caudais extremos.
109
Distribuição não simétrica
• O caudal médio do rio Douro no Porto é714m3/s
• A ponte de Entre-os-Rios caiu com ocaudal no Porto de ~13500m3/s– A maior cheia conhecida no Porto ocorreu em
23 de Dezembro de 1909 (e 6 Dez. de 1739)com >20000m3/s
– A barragem de Lever-Crestuma estádimensionada para 26000m3/shttp://www.wikienergia.pt/~edp/index.php?title=Central_de_Crestuma_-_Lever
110
Ribeira, 1962/01/03 10:00, ~17000m3/s, 1909 foi > em 68cm
111
Operações algébricas com uma variável aleatória
112
Operações algébricas simples
• Se somarmos uma constante a uma variável aleatória– O valor médio vem aumentado– O desvio padrão mantêm-se
)()(
)()(
XXa
XaXa
σσ
µµ
=+
+=+
113
Operações algébricas simples
Ex. A altura das pessoas é N(1.75, 0.15)Supondo-as em cima de uma cadeira com 0.5m, a altura total será N(2.25, 0.15)
114
Operações algébricas simples
)(
)()()(
11
11
Xaxpap
xpapxapXa
n
i
ii
n
i
i
n
i
iii
n
i
ii
µ
µ
+=⋅+⋅=
⋅+⋅=+⋅=+
∑∑
∑∑
==
==
115
Operações algébricas simples
( )
( ) )()(
))(()()(
1
2
1
2
xXxp
XaxapXa
n
i
ii
n
i
ii
σµ
µσ
=−⋅=
+−+⋅=+
∑
∑
=
=
116
Operações algébricas simples
• Se multiplicarmos uma constante por uma variável aleatória– O valor médio vem multiplicado– O desvio padrão vem multiplicado pelo valor absoluto
da constante
)()(
)()(
XaXa
XaXa
σσ
µµ
×=×
×=×
117
Operações algébricas simples
)(
)()()(
1
11
Xaxpa
xapxapXa
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii
µ
µ
⋅=⋅⋅=
⋅⋅=⋅⋅=⋅
∑
∑∑
=
==
118
Operações algébricas simples
( )
( ) )()(
))(()()(
1
22
1
2
xaXxpa
XaxapXa
n
i
ii
n
i
ii
σµ
µσ
⋅=−⋅⋅=
⋅−⋅⋅=⋅
∑
∑
=
=
119
Operações algébricas simples
• Ex.2.14. Um marceneiro tem 1000€/mês de despesas fixas e tem de margem das vendas, em média, 15€ por cada móvel que produz. Supondo que projecta produzir este mês 100 móveis, qual será a sua remuneração em termos médios?
• R. Atendendo às propriedades, teremos 100× µ – 1000 = 100× 15 – 1000 = 500€
120
Ex.2.15
• Um empresário está a avaliar o aluguer de um barco de pesca pelo qual paga 3mil€/dia.
• Demora um dia de viagem para cada lado e pesca, durante 5 dias, 2500kg/dia
• O preço de venda segue distribuição N(2,1)€/kg
• Quanto será o lucro? • Qual a probabilidade de ter prejuízo?
121
Ex.2.15
• O lucro será
5×2500×N(2; 1) – 3000×7 =12500×N(2; 1) – 21000 = N(25000; 12500) – 21000 = N(4000; 12500)
• Em média 4mil€ com desvio padrão de 12.5mil€
• A probabilidade de ter prejuízo será 37.45%, =NORMDIST(0;4000;12500;TRUE).
122
Exercício
• Compro os legumes a 0.50€/kg, pago 75€ pelo transporte e o preço de venda é desconhecido tendo distribuição N(0.60; 0.15)€/kg.
• i) Determine qual vai ser o meu lucro de intermediar 1000kg de legumes.
• ii) Determine a probabilidade de eu ter prejuízo.
123
Exercício
i) Lucro = V.(Pvenda – Pcompra) – Ctransporte = 1000[N(0.60, 0.15) – 0.50] – 75
Lucro = N(600, 0.15x1000) – 575 = N(25, 150)
ii) No Excel teríamos A1: =Dist.Norm(0; 25; 150; Verdadeiro) ⇒ 43.38%
124
Exercício
• Ex.2.16. O empresário A fez uma descoberta que lhe permite desenvolver um negócio cujo qde Tobin é N(1.5, 0.25) e onde é necessário investir 1M€.
• Sendo que o empresário A vendeu ao empresário B metade do negócio por 625k€,
• qual será o q de Tobin de A e de B?
125
Exercício
• R. A investe 375k€ que terá
• B investe 625k€ que terá
)333.0,2()25.0,5.1(375.0
5.0
.
.NN
INVEST
RECEBq =×==
)2.0,2.1()25.0,5.1(625.0
5.0NNq =×=
126
Acções - obrigações
• O Ex.2.16 ilustra porque é vantajoso o empreendedor emitir acções da sua empresa.
• Uma acção é uma parte do capital próprio da empresa tendo, em termos contabilísticos, um certo valor nominal, normalmente 1€.
127
5ª Aula18 de Nov
128
Acções - obrigações
• Por exemplo, uma empresa com um capital social de 10M€ divide-se em 10M de acções com valor nominal de 1€ cada.
• A acção dá direitos de voto na condução dos destinos da empresa e é remunerada com uma parte dos lucros, o dividendo, que é incerto.
129
Acções - obrigações
• As acções têm maior risco que as obrigações porque, em caso de insolvência, os activos da empresa pagam primeiro as obrigações e apenas o que sobrar (i.e., nada) é que é dividido pelas acções.
• Além disso, no contrato de emissão o resultado das obrigações é conhecido (o cupão e o valor de remissão) enquanto que o lucro da empresa é variável.
130
Acções - obrigações
• Interessa ao empresário dispersar o capital da empresa porque, normalmente, a empresa emite as acções, numa operação denominada por OPV (mercado primário), a um preço superior ao valor contabilístico.
• As acções são depois transaccionadas entre investidores (mercado secundário) sendo o seu preço, denominado por cotação, determinado pela expectativa que os agentes económicos têm da evolução futura do negócio (i.e., dos dividendos e da cotação).
131
Operações algébricas não simples
• Se quisermos calcular um prémio de um seguro de vida em que a duração do individuo é uma variável aleatória, as operações algébrica não são simples:
)1)()1(1()1( rrr
PrV
LL ++−=+× −−
1)1)()1(1( +− ++−×
=LL
rr
rVP
132
Operações algébricas não simples
• Cálculo expedito. Sendo que temos y = g(x), obtemos um valor aproximado da distribuição usando os dois pontos notáveis
x1 = µ - σ e x2 = µ + σ
• Calculamos y1 = g(µ-σ) e y2 = g(µ+σ)• Valor médio = (y1 + y2)/2• Desv. padrão = |y2 - y1|/2
133
Operações algébricas não simples
• Nas distribuições simétrica é indiferente usar• Valor médio = (g(µ-σ) + g(µ+σ))/2 ≈ g(µ)
• Nas distribuições assimétricas é melhor usar• Valor médio = (g(µ-σ) + g(µ+σ))/2
134
Exercício
• Ex.2.17. O prémio de um seguro de vida com r = 2%/ano, L ~ N(50, 10)
• i) Determine qual devem ser as reservas Y/1000€ de forma a ter Y = µ(P) + σ(P).
• ii) Se a seguradora propõe um prémio antecipado de 15€/ano por 1000€ seguros, qual será o seu lucro?
135
Exercício
• P(40) = 16.23€/ano; P(60) = 8.60€/ano.• a seguradora precisará reservas com média
(16.23+8.60)/2 = 12.42€/ano e desvio padrão (16.23-8.60)/2 = 3.82€/ano aconselhando a prudência a que as reservas sejam 12.42+3.82 = 16.23€/ano.
1)1)()1(1(
)1(
rr
riVP
L
L
++−
×+×=
−
−
136
Exercício
• P(40) = 16.23€/ano; P(60) = 8.60€/ano.• Lucro(40) = 15–16.23 = –1.23€/ano; • Lucro (60) = 15–8.60 = 6.40€/ano. • Para uma longevidade genérica, o lucro do
seguro terá • valor médio = (–1.23 + 6.40)/2 = 2.59€/ano• desvio padrão = (6.40+1.23)/2 = 3.82€/ano.
137
Operações algébricas não simples
• Divisão em cenários. Já utilizamos esta abordagem (ex.2.8 + ex.2.11).
• Divide-se o domínio da variável em cenários sendo conveniente utilizar a folha de cálculo.
• Ao considerarmos intervalos mais pequenos, estamos a diminuir o “erro de cálculo”.
138
Operações algébricas não simples
139
Operações algébricas não simples
• C7: =NORMDIST(B7;C$2;C$3;TRUE)-NORMDIST(A7;C$2;C$3;TRUE)
• D7: =(A7+B7)/2+0,5• E7: =F$1-H$1*F$2/(1-(1+F$2)^-D7)/(1+F$2)^(D7+1)• F7: =C7*E7• G7: =E7-F$40• H7: =G7^2*C7• C39: =SUM(C7:C38)• F40: =SUM(F7:F38)/$C39• H39: =SUM(H7:H38)/$C39• H40: =H39^0,5
140
Método de Monte Carlo
• Método de Monte Carlo.• 1) Sorteamos vários valores para a variável de
acordo com a sua função distribuição.• 2) Aplica-se o modelo aos “dados” e determina-
se uma população de resultados possíveis.• Calcula-se o valor médio, o desvio padrão, faz-
se um histograma, etc., dos resultados.Tools + Data Analyses + Random Number
Generation **
141
Método de Monte Carlo
**Excel 2007Instalamos o Data AnalysesOffice Button + Excel Options + Add Ins + Excel Add Ins Go…
Depois, aparece em Data o Data Analysis
142
Método de Monte Carlo
143
Método de Monte Carlo
2.69
144
Método de Monte Carlo
• Quando derem o R, verão que o Método de Monte Carlo é de simples implementação
• É muito flexível e poderoso
• Permite determinar o “erro de cálculo”
145
Comparação dos métodos
• O método expedito, por usar apenas dois pontos notáveis, será o de menor grau de confiança
• A divisão em cenários está dependente do detalhe dos cenários
• O método de monte carlo está dependente do número de elementos extraídos
146
Comparação dos métodos
• No caso do Ex.2.17
147
Diversificação do risco
148
Diversificação do risco
• O modelo estatístico ajuda a decidir numproblema com risco
• Podemos diminuir o risco juntandoactividades – diversificando
• Em termos estatísticos, são operações desoma de variáveis aleatórias.
149
Diversificação do risco
• Em termos económicos trata-se deconstruir uma carteira de activos
• “Não pôr os ovos todos no mesmo cesto”
• Uma concretização negativa de um activoserá estatisticamente compensada poruma concretização positiva de outro activo
150
Diversificação do risco
• Por exemplo, na praia podemos vendergelados e gabardines.
• Quando faz calor, a venda de gabardinesdá prejuízo e a de gelados dá lucro
• Quando chove, a venda de gabardines dálucro e a de gelados dá prejuízo
• Vender de ambos diminui o risco
151
Diversificação do risco
Faz Calor Chove
Gelados +200 -100
Gabardines -100 +200
Total do negócio
+100 +100
152
Duas variáveis
• Divisão das variáveis em cenários
– Probabilidades cruzadas
• Já utilizamos no ex.2.5• O método é semelhante à situação em
que temos uma variável estatística, masagora serão cenários que envolvem aconcretização de vários contingências.
153
Exercício
• Ex.2.18. Um pescador precisa decidir sevai pescar ou não.
• Não sabe a quantidade que vai pescarnem o preço a que vai vender.
• A intuição permite-lhe construir cenários eatribuir-lhes probabilidades.
• De, em simultâneo, se verificar umaquantidade pescada (em kg) e um preço(em €/kg).
154
Exercício
Pesca \ preço [1; 2]€/k ]2; 3]€/k ]3; 4]€/k
[0; 100]kg 0% 4% 10%
[100; 250]kg 1% 35% 15%
]250; 400]kg 5% 10% 10%
]400; 500]kg 9% 1% 0%
155
Exercício
• O pescador pode agora calcular a receita(em termos médios e desvio padrão)multiplicando a quantidade (do meio dointervalo) pelo preço (do meio dointervalo) e decidir ir pescar se, e.g., areceita média menos o desvio padrão formaior que os custos fixos
156
Exercício
157
Exercício
• B8: =$A2*B$1
• F2: =B8*B2
• H6: =SUM(F2:H5)
• F8: =(B8-$H$6)^2*B2
• H12: =SUM(F8:H11)
• H13: =H12^0,5
Decisão
• Depende agora dos custos fixos necessários para poder pescar. Se fossem, por exemplo, 500€ ficaria
• Lucro médio = 61,50€• Des.Pa.lucro = 270,76€• Se a função objectivo fosse LM-DP =
61.50-270.76, não ia pescar por ser <0.
158
159
6ª Aula
160
Exercício
• Ex.2.19. Uma empresa com 1000 trabalhadores pretende contratar um seguro de trabalho que dura 5 anos
• O seguro, em caso de morte, paga 60 meses de salário à viúva.
• Quanto deve ser o prémio mensal, antecipado?
161
Exercício
• R. Temos 3 variáveis desconhecidas, • a taxa de juro, a longevidade e o salário• Vamos supor que a seguradora assumiu
45 cenários, calculou as probabilidades de cada um e construiu um modelo no Excel.
• Assume-se que a probabilidade de nos 5 anos o trabalhador morrer é 0,140%
162
Exercício
163
Exercício
164
Exercício
• K3: =I3*$O$2*H3/(1-(1+H3)^-G3)/(1+H3)• L3: =K3*J3• M3: =(K3-$L$52)^2*J3• L51: =SOMA(L3:L49)• M50: =SOMA(M3:M49)• M51: =M50^0,5
165
Exercício
• As reservas médias são de 4.91€ pelo quea seguradora tem lucro médio positivocom um prémio baixo, ≈6€/mês
• Mas, este negócio tem um risco tãoelevado (d.p.=166.85€/mês) para aseguradora que é inviável.
• Apenas será possível se a seguradoraconseguir diversificar este seguro.– Segurar os 1000 trabalhadores?
166
Associação entre variáveis - FD
• No caso de termos duas variáveisaleatórias, além da F. Distribuição edos parâmetros (valor médio e desviopadrão) que caracterizam cada umadas variáveis,
• haverá um parâmetro para quantificar ograu de associação estatística entre asvariáveis.
167
Associação entre variáveis - FD
• Por exemplo, nas calças sãoimportantes a largura da cintura e aaltura de perna do cliente que, na horade fabrico, são desconhecidas.
• Mas, num cliente aleatório, em média,quanto maior for a sua cintura, maiorserá a sua altura de perna.
• ⇒⇒⇒⇒ As calças de número maior são maiscompridas
168
Associação entre variáveis -FD
• Covariância: é um parâmetro que condensa aassociação entre duas variáveis estatísticas.
( )( )N
yx
yx
N
i
yixi∑=
−−= 1),(
µµσ
169
Associação entre variáveis
• t1A covariância pode ser negativa, zero oupositiva.
• É crescente com os desvios padrão dasvariáveis
• A variância é um caso particular dacovariância
170
Associação entre variáveis
• Coeficiente de correlação linear dePearson, ρρρρ(x, y)
• Retira à covariância o efeito dos desviospadrão
)()(),(),(
)()(
),(),(
yxyxyx
yx
yxyx
σσρσσσ
σρ
⋅⋅=⇔
⋅=
171
Associação entre variáveis
• Coeficiente de correlação linear está nointervalo [–1; 1]
• Se for zero, as variáveis não estãoassociadas (linearmente).
• Se for –1 ou 1, estão perfeitamenteassociados em sentido contrário ou nomesmo sentido, respectivamente.
172
Associação entre variáveis
• Propriedades da covariância e docoeficiente de correlação linear
i) A covariância (e o coeficiente decorrelação linear) entre duas constantesou entre uma variável e uma constante ézeroσ (a, b) = 0; σ(a,X) = 0
173
Associação entre variáveis
ii) Somando uma constante a uma dasvariáveis, a covariância e o coeficiente decorrelação linear mantêm-se:
σ (a+X,Y) = σ(X,Y);ρ(a+X,Y) = ρ(X,Y)
174
Associação entre variáveis
iii) Multiplicando uma das variáveis por umaconstante, a covariância vem multiplicadae o coeficiente de correlação linearmantém-se (a menos do sinal e de serzero):σ (a.X,Y) = a.σ(X,Y);ρ(a.X,Y) = sig(a). ρ(X,Y)
175
Associação entre variáveis
iv) A covariância e o coeficiente decorrelação são comutativos:σ (X,Y) = σ(Y,X);ρ(X,Y) = ρ(Y,X)
176
Exercício
X~N(10;5), Y~N(-1;3), ρ(X; Y) = 0.7
Determinea) σ (3X; 2Y) e ρ(3X;2Y)b) σ (-X; 2Y) e ρ(-X;2Y)c) σ (5-5X;-2-Y) e ρ(5-5X;-2-Y)
177
Exercício
σ (X; Y) = 0.7*5*3 = 10.5
a) σ (3X; 2Y)=3*2*10.5 = 63, ρ(3X;2Y)=0.7
b) σ (-X; 2Y)= -1*2*10.5 = -21, ρ(-X;2Y)=-0.7
c)σ(5-5X;-2-Y) = -5*-1*10.5 = 52.5,ρ(5-5X;-2-Y) = -1*-1*0.7=0.7
178
Soma de variáveis estatísticas
diversificação do risco
179
Soma de variáveis estatísticas
• Até agora apenas somamos constantes comvariáveis
• É muito relevante no contexto da M.F. porquemodeliza o comportamento estatístico dascarteiras de activos partindo-se daspropriedades individuais dos activos que aconstituem.
180
Soma de variáveis estatísticas
• Distribuição da soma de duas V.A.
• Se as variáveis tiverem distribuição normal, então asoma também terá distribuição normal.
• Se não tiverem, a soma será mais próxima dadistribuição normal que as distribuições das parcelas.
• A soma de + 30 variáveis aleatórias com distribuiçãodesconhecida que sejam pouco correlacionadas, podeassumir-se que tem distribuição normal.
181
Soma de variáveis estatísticas
• Média da soma.
• Sendo que existem duas variáveis, X e Y,
• a soma Z = X + Y terá como valor médio asoma dos valores médios de cada variávelestatística.
182
Soma de variáveis estatísticas
• Variância e desvio padrão da soma.
• Sendo que existem duas variáveis, X e Y,
• a soma Z = X + Y terá como variância a somadas variâncias de cada variável mais duasvezes a covariância.
)(),(2)()( 222yyxxz σσσσ ++=
183
Exercício
• t2 Ex.2.22. Um intermediário de legumes, quandoencomenda desconhece o preço de aquisição e devenda dos legumes PC ~ N(0.50€/kg, 0.10€/kg).
• PV ~ N(0.60€/kg, 0.15€/kg).• Tem que pagar 75€ pelo transporte.• A correlação linear entre o preço de compra e de
venda é de 0.5• i) Determine qual vai ser o lucro de intermediar
1000kg de legumes.• ii) Determine a probabilidade de ter prejuízo.
184
Exercício
• Trata-se de operações algébricas com variáveisaleatórias.
• Lucro = 1000(PV – PC) –75.
PV – PC = N(0.60, 0.15) – N(0.50, 0.10)
= N(0.10, √(0.152+2×(– 0.5)×0.15×0.10+0.102))
= N(0.10, 0.1323)Troca o sinal da correlação porque está a subtrair = *(-1)
185
Exercício
• 1000 N(0.10, 0.132) = N(100, 132.3)
N(100, 132.3) –75 = N(25, 132.3)
No Excel, =NORMDIST(0; 25; 132.3;TRUE)
Tem 42.5% de probabilidade de ter prejuízo
186
Exercício
• Ex.2.23. Duas acções, com rentabilidadesX ~ N(5%; 5%)/ano e Y ~ N(10%, 7%)/anoe com correlação linear de 0.25.
• Determine a rentabilidade de uma carteiracom a proporção 0.5 de X e 0.5 de Y.
187
Exercício
• Z = 0.5X+0.5Y
• µ(Z) = µ(0.5X)+ µ(0.5Y)= 0.5µ(X)+ 0.5µ(Y)= 0.5x5%+ 0.5x10%= 7.5%/ano
188
Exercício
• Z = 0.5X + 0.5Y• σ2(Z) = σ2(0.5X)
+ 2 σ(0.5X, 0.5Y)+ σ2(0.5Y)
= (0.5x5%)2
+ 2x0.25x(0.5x5%)x(0.5x7%)+ (0.5x7%)2
=0,0022875 ⇒ σ(Z) = 4.78%
189
7ª Aula25 Nov
190
Extensão à soma de N variáveis
• Se eu somar três variáveis, posso fazer• X+(Y+Z)• E retiro que• σ2(X+Y+Z) =
= σ2(X)+ σ2(Y)+ σ2(Z)+ 2σ(X,Y)+2σ(X,Z) +2σ(Y,Z)
Facilmente estendo para N
191
Extensão à soma de N variáveis
• Ex.2.24. Uma empresa pretende lançar o seuproduto em novos mercados.
• Moscovo tem custo Cm ∼ N(3, 0.5) e resultadoactualizado das vendas Vm ∼ N(7, 1)
• São Petersburgo tem custo Csp ∼ N(2, 0.6) eresultado actualizado das vendas Vsp ∼ N(6, 2).
• O lucro resulta de subtrair os custos ao resultadoactualizado das vendas,
192
Extensão à soma de N variáveis
• Os coeficiente de correlação linear são
ρ Cm Csp Vm Vsp
Cm 1 0 0.5 0
Csp 0 1 0 0.5
Vm 0.5 0 1 0.7
Vsp 0 0.5 0.7 1
193
Extensão à soma de N variáveis
• i) Determine o lucro da representação de Moscovo e de São Petersburgo (separadas).
• ii) Determine o lucro de abertura das duas representações (em conjunto).
194
Extensão à soma de N variáveis
• i) Lucro da representação (separadas).Lm = Vm – Cm = N(7; 1) – N(3; 0.5) = N(4, √(12 +2×1×0.5×(-0.5) + 0.52)) = N(4, 0.866)
Lsp = Vsp–Csp = N(6; 2) – N(2; 0.6) = N(4, √(22 +2×2×0.6×(-0.5) + 0.62)) = N(4, 1.778)
195
Extensão à soma de N variáveis
• i) Lucro das representações juntas.Lm = Vm – Cm + Vsp–Csp = N(7; 1) – N(3; 0.5) + N(6; 2) – N(2; 0.6) = N(8, √(12 + 0.52 + 22 + 0.62 + 2×1×0.5×-0.5+ 2×2×0.6×-0.5 + 2×1× 2×0.7))
= N(8, 2.59)Para simplificar, só tenho 3 correlações diferentes de zero.
196
Exercício
• Ex.2.25. Um seguro de trabalho cobra um prémio de 6€/ano e obriga a seguradora a constituir como reservas F(4.91; 166.65)€/ano.
• i) Supondo que os acidentes não estão correlacionados, determine o lucro por trabalhador de segurar 1, 100 trabalhadores e 1000trabalhadores.
197
Exercício
• L1 = P-R = 6- F(4.91; 166.65)= F(1.09; 166.65)€/ano
• L100 /100 = (L1 +L1 + … + L1)/100 = = N(109; √ (100*166.652))/100= N(1.09;16,67) €/ano
• L1000 /100 = (L1 +L1 + … + L1)/1000 = = N(1090; √ (1000*166.652))/1000= N(1.09;5,27) €/ano
198
Exercício
• ii) Supondo que quando há um acidente é provável que morra mais que um trabalhador. Assim, recalcule o lucro por trabalhador com a correlação entre as fatalidades assumida como 0.1
199
Exercício
( )
( )
( )( )74.16;09.1
1000/65,166*1,0*999*100065.1661000;1090
02.55;09.1
100/65.16665.1661.02
99100265.166100;109
100/)65.166;09.1(...)65.166;09.1(
221000
2
100
N
NL
N
N
FFL
=
+×=
=
×××
××+×=
++=
200
Exercício
• Quanto menos correlacionados estiverem os acontecimentos e maior número de acontecimentos misturarmos,
• maior será a diminuição do risco e• mais a função distribuição resultante se
aproxima da função distribuição normal.
201
Exercício
• Ex.2.26. O “Seguro de Invalidez”, ex.2.21,obriga a F(7.27, 351.65)€/mês de reservaspor cada 500€/mês de indemnização. Oprémio será o valor médio das reservasmais o desvio padrão.
• Supondo que a invalidez dostrabalhadores não está correlacionada,determine o prémio em função do tamanhoda carteira de seguros.
202
Exercício
n = 100 ⇒ P = 42.44€/mês;n = 1000 ⇒ P = 18.39€/mês;n = 10000 ⇒ P = 10.79€/mês.
nP
nN
nnnF
/65.35127.7
)/65.351;27.7(
/)65.351;27.7(Re 2
+=
=
××=
203
Segundo Teste até aqui
204
8ª Aula27/28 de Nov
Dúvidas
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