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Cálculo Numérico Módulo III. Erros. Profs.: Bruno Correia da Nóbrega Queiroz José Eustáquio Rangel de Queiroz Marcelo Alves de Barros. Erros - Roteiro. Existência Tipos Propagação. 2. Erros - Existência I. Premissa - PowerPoint PPT Presentation
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Profs.: Bruno Correia da Nóbrega Queiroz
José Eustáquio Rangel de Queiroz
Marcelo Alves de Barros
ErrosErros
Cálculo NuméricoCálculo NuméricoMódulo IIIMódulo III
22
Erros - RoteiroErros - Roteiro
ExistênciaExistência
TiposTipos
PropagaçãoPropagação
3
Premissa Impossibilidade de obtenção de
soluções analíticas para vários problemas de Engenharia.
Consequência Emprego de métodos numéricos na
resolução de inúmeros problemas do mundo real.
Premissa Impossibilidade de obtenção de
soluções analíticas para vários problemas de Engenharia.
Consequência Emprego de métodos numéricos na
resolução de inúmeros problemas do mundo real.
Erros - Existência IErros - Existência I
44
Erro InerenteErro Inerente
Erro Erro semsempprere presente nas soluções presente nas soluções numéricas, devido à incerteza sobre o numéricas, devido à incerteza sobre o valor real.valor real.
Ex. 01: Representação intervalar de dadosEx. 01: Representação intervalar de dados
((50,350,3 ± ± 0,20,2) cm) cm((1,571,57 ± ± 0,0030,003) ml) ml((110,276110,276 ± ± 1,041,04) Kg) Kg
Cada medida é um Cada medida é um intervalointervalo e não um e não um númeronúmero..Cada medida é um Cada medida é um intervalointervalo e não um e não um númeronúmero..
Erros - Existência IIErros - Existência II
5
Método NuméricoMétodo Numérico
Método adotado na resolução de um Método adotado na resolução de um problema físico, mediante a execução problema físico, mediante a execução de uma sequência de uma sequência finitafinita de operações de operações aritméticas.aritméticas.
ConsequênciaConsequência Obtenção de um resultado Obtenção de um resultado
aapproximadoroximado, cuja diferença do , cuja diferença do resultado esperado (exato) resultado esperado (exato) denomina-se denomina-se erroerro ..
Método NuméricoMétodo Numérico
Método adotado na resolução de um Método adotado na resolução de um problema físico, mediante a execução problema físico, mediante a execução de uma sequência de uma sequência finitafinita de operações de operações aritméticas.aritméticas.
ConsequênciaConsequência Obtenção de um resultado Obtenção de um resultado
aapproximadoroximado, cuja diferença do , cuja diferença do resultado esperado (exato) resultado esperado (exato) denomina-se denomina-se erroerro ..
Erros - Existência IIIErros - Existência III
6
Natureza dos Erros INatureza dos Erros I Erros inerentes ao Erros inerentes ao processo de processo de
aquisição dos dadosaquisição dos dados Relativos à imprecisão no processo Relativos à imprecisão no processo
de aquisição/entrada, externos ao de aquisição/entrada, externos ao processo numérico.processo numérico.
Natureza dos Erros INatureza dos Erros I Erros inerentes ao Erros inerentes ao processo de processo de
aquisição dos dadosaquisição dos dados Relativos à imprecisão no processo Relativos à imprecisão no processo
de aquisição/entrada, externos ao de aquisição/entrada, externos ao processo numérico.processo numérico.
Erros - Existência IVErros - Existência IV
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Erros Inerentes aos Dados
Proveniência Proveniência Processo de Processo de aquisiçãoaquisição//entradaentrada (medidas experimentais)(medidas experimentais) Sujeitos às limitações/aferição dos Sujeitos às limitações/aferição dos
instrumentos usados no processo de instrumentos usados no processo de mensuraçãomensuração
Erros Erros inerentesinerentes são são inevitáveisinevitáveis! !
8
Natureza dos Erros II Erros inerentes ao modelo
matemático adotado Relativos à impossibilidade de
representação exata dos fenômenos reais a partir de modelos matemáticos
Necessidade de adotar condições que simplifiquem o problema, a fim de torná-lo numericamente solúvel
Erros - Existência VErros - Existência V
9
Erros Inerentes ao Modelo
Proveniência Proveniência Processo de Processo de modelagemmodelagem do problema do problema Modelos matemáticos raramente Modelos matemáticos raramente
oferecem representações oferecem representações exatasexatas dos dos fenômenos reaisfenômenos reais
Equações e relações, assim como Equações e relações, assim como dados e parâmetros associados, dados e parâmetros associados, costumam ser costumam ser simplificadossimplificados Factibilidade e viabilidade das Factibilidade e viabilidade das
soluçõessoluções
10
Natureza dos Erros IIINatureza dos Erros III Erros de Erros de truncamentotruncamento
Substituição de um processo infinito Substituição de um processo infinito de operações por outro finitode operações por outro finito
Natureza dos Erros IIINatureza dos Erros III Erros de Erros de truncamentotruncamento
Substituição de um processo infinito Substituição de um processo infinito de operações por outro finitode operações por outro finito
Em muitos casos, o erro de Em muitos casos, o erro de truncamentotruncamento é é precisamenteprecisamente a a diferença entre o modelo diferença entre o modelo matemático e o modelo numérico.matemático e o modelo numérico.
Em muitos casos, o erro de Em muitos casos, o erro de truncamentotruncamento é é precisamenteprecisamente a a diferença entre o modelo diferença entre o modelo matemático e o modelo numérico.matemático e o modelo numérico.
Erros - Existência VIIErros - Existência VII
11
Natureza dos Erros IVNatureza dos Erros IV Erros de Erros de arredondamentoarredondamento
Inerentes à estrutura da máquina e à Inerentes à estrutura da máquina e à utilização de uma aritmética de utilização de uma aritmética de precisão finitaprecisão finita
Erros - Existência VIIErros - Existência VII
12
Fontes de Erros IFontes de Erros I
Erros - Existência VIIIErros - Existência VIII
Modelo Modelo NuméricoNumérico
Erros InerentesErros Inerentesao Modeloao Modelo
ModeloModeloMatemáticoMatemático
Dados e Dados e Parâmetros Parâmetros do Modelodo Modelo
ProcessamentoProcessamentoNuméricoNumérico
SoluçãoSoluçãoNuméricaNumérica
ProblemaProblemado Mundo Realdo Mundo Real
Erros de Erros de TruncamentoTruncamento
Erros de Aquisição/Erros de Aquisição/Entrada de DadosEntrada de Dados
Erros de Arredondament
o
13
Fontes de Erros IIFontes de Erros II
Dispositivos Secondários
de Armazenamento
Unidade CentralUnidade Centralde Processamentode Processamento
UnidadeUnidadede Controlede Controle ULAULA
Unidade PrimáriaUnidade Primáriade Armazenamentode Armazenamento
Erros deErros deAquisição/Entrada Aquisição/Entrada
de Dadosde Dados
ResultadoResultadocom Erroscom Erros
Erros de Truncamento/ArredondamentoErros de Truncamento/Arredondamento
Erros - Existência IXErros - Existência IX
14
Representação Numérica em Máquinas Representação Numérica em Máquinas Digitais IDigitais I
Discreta Discreta Conjunto finito de números Conjunto finito de números em qualquer intervalo em qualquer intervalo [a, b][a, b] de de interesseinteresse
Implicação imediata Implicação imediata Possibilidade de Possibilidade de comprometimento da precisão dos comprometimento da precisão dos resultados, mesmo em representações resultados, mesmo em representações de dupla precisãode dupla precisão
Erros - Existência XErros - Existência X
15
Resultado na SaídaResultado na Saída
Incorporação de Incorporação de todostodos os erros do os erros do processoprocesso
QQuãouão confiável é o resultado confiável é o resultado aproximadoaproximado?? QQuantouanto erro está erro está ppresenteresente no no
resultado?resultado? Até que pontoAté que ponto o erro presente no o erro presente no
resultado é resultado é toleráveltolerável??
Erros - Existência XIErros - Existência XI
16
Acurácia Acurácia (ou (ou ExatidãoExatidão)) Quão Quão próximopróximo um valor um valor
computado/mensurado se encontra computado/mensurado se encontra do valor real (verdadeiro)do valor real (verdadeiro)
PrecisãoPrecisão (ou (ou ReproducibilidadeReproducibilidade)) Quão Quão próximopróximo um valor computado/ um valor computado/
mensurado se encontra de valores mensurado se encontra de valores previamente previamente computados/mensuradoscomputados/mensurados
Erros - Existência XIIErros - Existência XII
17
Inacurácia (ou Inexatidão) Desvio sistemático do valor real
Imprecisão (ou Incerteza) Magnitude do espalhamento dos valores
Inacurácia (ou Inexatidão) Desvio sistemático do valor real
Imprecisão (ou Incerteza) Magnitude do espalhamento dos valores
Erros - Existência XIIIErros - Existência XIII
18
Erros - Existência XIVErros - Existência XIVP
recis
ão (
Rep
rod
ucib
ilid
ad
e)
Pre
cis
ão (
Rep
rod
ucib
ilid
ad
e)
Exatidão (Acurácia)Exatidão (Acurácia) ExatidãoExatidão x x PrecisãoPrecisão
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Indicador de Indicador de PrecisãoPrecisão de um de um ResultadoResultado
Número de algarismos Número de algarismos significativossignificativos
Algarismos Algarismos significativossignificativos ( (asas))
Algarismos que podem ser usados Algarismos que podem ser usados com com confiançaconfiança
Erros - Existência XVErros - Existência XV
20
AsAs de um número I de um número I
Exemplo 02: Considerem-se os Exemplo 02: Considerem-se os seguintes valores de seguintes valores de médiasmédias obtidas obtidas em um experimento estatísticoem um experimento estatístico = 138 = 138 0 casas 0 casas
decimais (cd)decimais (cd)
= 138,7= 138,7 1 cd1 cd
= 138,76= 138,76 2 cd2 cd
= 138,76875= 138,76875 5 cd5 cd
= 138, 7687549= 138, 7687549 7 cd7 cd
= 138, 768754927= 138, 768754927 9 cd9 cd
Erros - Existência XVIErros - Existência XVI
21
AsAs de um número II de um número II
Exemplo 02: Os valores das médias Exemplo 02: Os valores das médias podem ser representadas como:podem ser representadas como: = 138= 138 = 0,138 = 0,138 .. 10 1033
= 138,7= 138,7 = 0,1387 = 0,1387 ..101033
= 138,76= 138,76 = 0,13876 = 0,13876 .. 101033
= 138,76875= 138,76875 = = 0,13876875 0,13876875 .. 10 1033
= 138, 7687549= 138, 7687549 = = 0,1387687549 0,1387687549 .. 10 1033
= 138, 768754927= 138, 768754927 = = 0,138768754927 0,138768754927 .. 10 1033
Erros - Existência XVIIErros - Existência XVII
22
AsAs de um número IIIde um número III
Exemplo 02:Exemplo 02: = 0,138 = 0,138 xx 10 1033 3 as3 as
= 0,1387 = 0,1387 xx 10 1033 4 as4 as
= 0,13876 = 0,13876 xx 10 1033 5 as5 as
= 0,13876875 = 0,13876875 xx 10 1033 8 as8 as
= 0,1387687549 = 0,1387687549 xx 10 1033 10 as10 as
= 0,138768754927 = 0,138768754927 xx 10 1033 12 as12 as
Erros - Existência XVIIIErros - Existência XVIII
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Erros nos Métodos I Erros nos Métodos I
Método NuméricoMétodo Numérico
Aproximação da solução de um Aproximação da solução de um problema de Matemáticaproblema de Matemática
Truncamento de uma solução em Truncamento de uma solução em série, considerando apenas um série, considerando apenas um número finito de termosnúmero finito de termos
Exemplo 03: Exemplo 03: exp(x)exp(x)
...!
x!2
xx1
!nx
)xexp(3
32
0n
n
...!
x!2
xx1
!nx
)xexp(3
32
0n
n
24
Erros nos Métodos IIErros nos Métodos II
Exemplo 03: Determinação do valor deExemplo 03: Determinação do valor de ee..
Lembrar queLembrar que . Logo:. Logo:
um truncamento no um truncamento no sextosexto termo gera: termo gera:
0n!n
1e
0n!n
1e
59057182818284,2!n
1e
0n
59057182818284,2!n
1e
0n
66677166666666,2!n
1e
5
0n
66677166666666,2!n
1e
5
0n
25
Erros nos Métodos IIIErros nos Métodos III
Exemplo 03:Exemplo 03:
Então, o erro deEntão, o erro de truncamentotruncamento,, EET T , será:, será:
92380016151617,0E
66677166666666,259057182818284,2E
!n1
!n1
E
T
T
T
5
0n0n
92380016151617,0E
66677166666666,259057182818284,2E
!n1
!n1
E
T
T
T
5
0n0n
26
Erros nos Métodos IVErros nos Métodos IV
Exemplo 04: Determinação do número Exemplo 04: Determinação do número de termos de termos para a aproximação de para a aproximação de cos(x)cos(x) com com 8 as8 as, considerando , considerando x=x=/3/3..
Lembrar que:Lembrar que:
...!6
x!
x!2
x1
)!n2()1(
)xcos(642
0n
n
4
...!6
x!
x!2
x1
)!n2()1(
)xcos(642
0n
n
4
27
Erros nos Métodos VErros nos Métodos V
Exemplo 04: EntãoExemplo 04: Então
Observe-se que o segundo Observe-se que o segundo asas não mais se não mais se alterará.alterará.
28
Erros nos Métodos VIErros nos Métodos VI
Exemplo 04: E que o quarto Exemplo 04: E que o quarto asas não não mais se alterará a partir de:mais se alterará a partir de:
nem o sexto nem o sexto asas a partir de: a partir de:
nem o oitavo nem o oitavo asas a partir de: a partir de:
29
Erros nos Métodos VIIErros nos Métodos VII
Exemplo 04:Exemplo 04:
Assim sendo, o número de termos Assim sendo, o número de termos para a para a aproximação de aproximação de cos(x)cos(x) com com 8 8 asas é igual a é igual a 77 (incluindo o termo de ordem (incluindo o termo de ordem 00, igual a , igual a 11))
30
Erros nos Métodos VIIIErros nos Métodos VIII
Exercício 01: Determinar o número Exercício 01: Determinar o número de termos de termos para a aproximação depara a aproximação de
1.1. log(1+x)log(1+x) com com 8 as8 as, considerando , considerando x = 0,09x = 0,09
2.2. sen(x)sen(x) com com 6 as6 as, considerando , considerando x= 4x= 4/3/3
3.3. exp(x)exp(x) com com 7 as7 as, considerando , considerando x= 1/3x= 1/3
Qual a conclusão a que se chega a Qual a conclusão a que se chega a partir destes cálculos?partir destes cálculos?
Exercício 01: Determinar o número Exercício 01: Determinar o número de termos de termos para a aproximação depara a aproximação de
1.1. log(1+x)log(1+x) com com 8 as8 as, considerando , considerando x = 0,09x = 0,09
2.2. sen(x)sen(x) com com 6 as6 as, considerando , considerando x= 4x= 4/3/3
3.3. exp(x)exp(x) com com 7 as7 as, considerando , considerando x= 1/3x= 1/3
Qual a conclusão a que se chega a Qual a conclusão a que se chega a partir destes cálculos?partir destes cálculos?
3131
Erros - Existência XIXErros - Existência XIX
Erro deErro de RepresentaçãoRepresentação x Erro dex Erro de Truncamento de DígitosTruncamento de Dígitos Erro deErro de RepresentaçãoRepresentação
Associado à conversão numérica Associado à conversão numérica entre bases (representação humana entre bases (representação humana e de máquina) ou à realização de e de máquina) ou à realização de operações aritméticasoperações aritméticas
Erro deErro de Truncamento de DígitosTruncamento de Dígitos Associado à quantidade de Associado à quantidade de
informação que a máquina pode informação que a máquina pode conter sob a forma de um númeroconter sob a forma de um número
3232
Representação dos números reais com Representação dos números reais com um número finito de dígitos um número finito de dígitos (aproximação)(aproximação)
Ex. 05: Cálculo da área de uma Ex. 05: Cálculo da área de uma circunferência de raio circunferência de raio 100 m100 m
Possíveis resultados:Possíveis resultados:
(1) (1) A = 31400 mA = 31400 m22
(2) (2) A = 31416 mA = 31416 m22
(3) (3) A = 31415,92654 mA = 31415,92654 m22
Erro de Representaç
ão
Erro de Representaç
ão não tem representação finita -não tem representação finita - 3,143,14 (1),(1), 3,14163,1416 (2) e(2) e 3,1415926543,141592654 (3)(3)
não tem representação finita -não tem representação finita - 3,143,14 (1),(1), 3,14163,1416 (2) e(2) e 3,1415926543,141592654 (3)(3)
Erros - Existência XXErros - Existência XX
3333
Representação dos números reais com Representação dos números reais com um número finito de dígitos um número finito de dígitos (aproximação)(aproximação)
Dependência da representação numérica Dependência da representação numérica da máquina utilizadada máquina utilizada
Um número pode ter Um número pode ter representação representação finitafinita em em uma base e uma base e não finitanão finita em em outraoutra
Um número pode ter Um número pode ter representação representação finitafinita em em uma base e uma base e não finitanão finita em em outraoutra
Erros - Existência XXIErros - Existência XXI
Erro de Representaçã
o
Erro de Representaçã
o
Operações com dados Operações com dados imprecisosimprecisos ou ou incertosincertos acarretam a acarretam a propagação do propagação do erroerro..
Operações com dados Operações com dados imprecisosimprecisos ou ou incertosincertos acarretam a acarretam a propagação do propagação do erroerro..
0,10,11010 = = 0,00,000110011001100110011001100110011......22
3434
Erros - Existência XXIIErros - Existência XXII
Ex. 06:Ex. 06: DeterminarDeterminar
a partir de uma calculadora e um a partir de uma calculadora e um computador, para computador, para xxii = 0,5 = 0,5 e e xxii = 0,1 = 0,1
xxiiCalculadorCalculador
aaComputadorComputador
0,50,5 S= 1500S= 1500 S= 1500S= 1500
0,10,1 S= 300S= 300S=300,00909424S=300,00909424 (precisão (precisão simplessimples))
S=299,999999999999720S=299,999999999999720 (precisão (precisão dupladupla))
∑3000
1i=ix=S
3535
Erros - Existência XXIIIErros - Existência XXIII
Ex. 07:Ex. 07: Conversão de Conversão de 0,10,11010 para a base para a base 22..
0,10,11010 = = 0,00,000110011001100110011001100110011......22
0,10,11010 não tem representação não tem representação exataexata na base na base 22
A representação de um número A representação de um número depende da depende da basebase em uso e do em uso e do númeronúmero máximo de dígitosmáximo de dígitos usados usados em sua representação.em sua representação.
A representação de um número A representação de um número depende da depende da basebase em uso e do em uso e do númeronúmero máximo de dígitosmáximo de dígitos usados usados em sua representação.em sua representação.
3636
Erros - Tipos IErros - Tipos I
AbsolutoAbsoluto Diferença entre o valor Diferença entre o valor exatoexato de um de um
númeronúmero e o seu valor e o seu valor aproximadoaproximado (em (em módulo)módulo)
|xx|EAx
3737
Erros - Tipos IIErros - Tipos II
RelativoRelativo Razão entre o Razão entre o erro absolutoerro absoluto e o valor e o valor
exatoexato do número considerado (em do número considerado (em módulo)módulo)
|x||xx|
ERx
Erro PercentualErro Percentualxx = ER = ERxx . .
100%100%Erro PercentualErro Percentualxx = ER = ERxx . .
100%100%
3838
Erros - Tipos IIIErros - Tipos III
RelativoRelativo Este tipo de erro é utilizado em Este tipo de erro é utilizado em
processos iterativos pois, sendo o processos iterativos pois, sendo o processo processo convergenteconvergente, a cada , a cada iteração o valor iteração o valor atualatual está mais está mais próximo mais do valor próximo mais do valor exatoexato do que o do que o valor valor anterioranterior
atualvalor x
anteriorvalor x
3939
Erros - Tipos IVErros - Tipos IV
Erro AbsolutoErro Absoluto -- Considerações IConsiderações I EAEAxx só poderá ser determinado se só poderá ser determinado se xx
for conhecido com exatidãofor conhecido com exatidão Na prática, costuma-se trabalhar com Na prática, costuma-se trabalhar com
um limitante superior para o erro, ao um limitante superior para o erro, ao invés do próprio erro (invés do próprio erro (||EE || << εε, sendo , sendo εε é o limitante)é o limitante)
Ex. 08: Para Ex. 08: Para (3,14; 3,15) (3,14; 3,15)
0,01<π-π=EAπ
4040
Erros – Tipos VErros – Tipos V
Erro AbsolutoErro Absoluto -- Considerações IIConsiderações II
Ex. 08: Sejam a = 3876,373a = 3876,373 e b = 1,373b = 1,373
Considerando-se a parte inteira de Considerando-se a parte inteira de aa ((a’a’) ) o o erro absolutoerro absoluto será: será:
e a parte inteira de e a parte inteira de bb ((b’b’) , o ) , o erro erro absolutoabsoluto será: será:
0,373aaEA 'a
0,373bbEA 'b
4141
Erros – Tipos VIErros – Tipos VI
Erro AbsolutoErro Absoluto - - Considerações III Considerações III Obviamente, o resultado do erro Obviamente, o resultado do erro
absoluto é o mesmo nos dois casosabsoluto é o mesmo nos dois casos Entretanto, o peso da aproximação Entretanto, o peso da aproximação
emem bb é maior do que em é maior do que em aa
4242
Erros – Tipos VIIErros – Tipos VII
Erro RelativoErro Relativo - - Consideração Consideração
O erro relativo pode, entretanto, O erro relativo pode, entretanto, traduzir perfeitamente este fato, traduzir perfeitamente este fato, pois:pois:
4a 100,000096
38760,373
ER
0Xb 105o,373
10,373
ER
4343
Ex. 09: Cálculo do erro relativo na Ex. 09: Cálculo do erro relativo na representação dos representação dos números números a a = 2112,9= 2112,9 e e ee = = 5,35,3, sendo , sendo |E|EAA| < 0,1| < 0,1
|E|ERRaa| = |a - | = |a - āā|/||/|aa| = 0,1/2112,9 | = 0,1/2112,9 4,7 x 4,7 x 1010-5-5
|E|ERRee| = |e - | = |e - ēē|/||/|ee| = 0,1/5,3 | = 0,1/5,3 0,02 0,02
Conclusão:Conclusão: aa éé representado representado com com maiormaior precisão do que precisão do que ee
Erros - Tipos VIIIErros - Tipos VIII
4444
ArredondamentoArredondamento
Truncamento de DígitosTruncamento de Dígitos
Quanto Quanto menormenor for o for o erroerro, , maior será a maior será a precisãoprecisão do do resultado da operação.resultado da operação.
Quanto Quanto menormenor for o for o erroerro, , maior será a maior será a precisãoprecisão do do resultado da operação.resultado da operação.
Erros – Tipos IXErros – Tipos IX
4545
Erros – Tipos XErros – Tipos X
Arredondamento IArredondamento I
Ex. 10: Ex. 10: Cálculo de Cálculo de utilizando uma calculadora utilizando uma calculadora digitaldigital
Valor apresentado: Valor apresentado: 1,4142131,41421366
Valor real: Valor real: 1,4142131,4142135656......
2
4646
Erros – Tipos XIErros – Tipos XI
Arredondamento IIArredondamento II Inexistência de forma de Inexistência de forma de
representação de números representação de números irracionais com uma quantidade irracionais com uma quantidade finita de algarismosfinita de algarismos
Apresentação de uma aproximação Apresentação de uma aproximação do número pela calculadorado número pela calculadora
Erro deErro de arredondamentoarredondamento
4747
Erros – Tipos XIIErros – Tipos XII
Truncamento de DígitosTruncamento de Dígitos Descarte dos dígitos finais de uma Descarte dos dígitos finais de uma
representação exata por limitações representação exata por limitações de representação em vírgula de representação em vírgula flutuanteflutuante
Ex. 11: Ex. 11: Representação truncada de Representação truncada de em vírgula flutuante com 7 dígitos em vírgula flutuante com 7 dígitos
Valor apresentado: Valor apresentado: 1,4142131,41421355
Valor real: Valor real: 1,4142131,4142135656......
2
4848
x = 0,2345 . 10x = 0,2345 . 1033 + 0,7 . 10 + 0,7 . 10--
11
ffxx = 0,2345 = 0,2345
ggxx = 0,7 = 0,7
Erros de Erros de TruncamentoTruncamento e e ArredondamentoArredondamento - - Demonstração Demonstração
Em um sistema que opera em ponto Em um sistema que opera em ponto flutuante de flutuante de tt dígitos na base dígitos na base 1010, e seja , e seja xx::
x = fx = fxx.10.10ee + g + gxx.10.10e-te-t ( (0,10,1 f fxx 1 1 e e 0,10,1 g gx x
11)) Para Para t = 4t = 4 e e x = 234,57x = 234,57, então:, então:
Arredondamento e Arredondamento e Truncamento ITruncamento I
4949
Erros - TruncamentoErros - Truncamento
No No truncamentotruncamento,, ggxx.10.10e-te-t é desprezado e é desprezado e
visto que visto que |g|gxx|<1|<1
,,
pois pois 0,10,1 é o menor valor possível para é o menor valor possível para ffxx
tetexx 1010.gxxEA
1te
te
tex
ex
texx
x 1010.0,1
1010.g10.f
10.g
x
EAER
ex 10.fx
5050
No No arredondamentoarredondamento simétricosimétrico (forma (forma mais utilizada):mais utilizada):
, se , se ((ggxx é é desprezado)desprezado)
, se, se (soma (soma 11 ao ao último último dígito de dígito de ffxx))
Erros – Arredondamento IErros – Arredondamento I
tee
x
ex
1010.f
10.f
x21
gx
21
gx
5151
Erros - Arredondamento IIErros - Arredondamento II
Se , então:Se , então:
1te
te
tex
ex
texx
x 10.21
10.0,110.0,5
10.g10.f
10.g
x
EAER
tetexx 10.
21
10.gxxEA
21
gx
5252
Erros – Arredondamento III
Se , então:Se , então:
ee
1t
e
te
ex
te
teex
tex
x 10.21
10.0,110.1/2
10.f10.1/2
1010.f
10.1/2x
EAER
tetex
tetexx 10.
21
10.1g1010.gEA
21
gx
teex
tex
exx 10.10f.10g.10fxxEA
5353
Erros de Erros de TruncamentoTruncamento e e ArredondamentoArredondamento Sistema operando em ponto flutuante - Sistema operando em ponto flutuante -
Base Base 1010 Erro deErro de TruncamentoTruncamento
ee
Erro deErro de ArredondamentoArredondamento
ee
tex 10EA 1t
x 10ER
1tx 10
21
ER tex 10
21
EA
Arredondamento e Truncamento I
ee - n- nºº de dígitos inteiros de dígitos inteirost t - n- nºº de dígitos de dígitosee - n- nºº de dígitos inteiros de dígitos inteirost t - n- nºº de dígitos de dígitos
5454
Arredondamento e Arredondamento e Truncamento IITruncamento II
Sistema de aritmética de ponto Sistema de aritmética de ponto flutuante de 4 dígitos, precisão duplaflutuante de 4 dígitos, precisão dupla
Ex. 12:Ex. 12: Seja Seja x = 0,937.10x = 0,937.1044 e e y = y = 0,1272.100,1272.1022. Calcular. Calcular x+yx+y..
Alinhamento dos pontos decimais antes Alinhamento dos pontos decimais antes da somada soma
x = 0,937. 10x = 0,937. 1044 e y = 0,001272. 10 e y = 0,001272. 104, 4,
x+y = 0,938272. 10x+y = 0,938272. 1044
Resultado com 4 dígitosResultado com 4 dígitos
Arredondamento:Arredondamento: x+y = 0,9383.10x+y = 0,9383.1044
Truncamento:Truncamento: x+y = 0,9382.10x+y = 0,9382.1044
5555
Arredondamento e Arredondamento e Truncamento IIITruncamento III
Sistema de aritmética de ponto flutuante Sistema de aritmética de ponto flutuante de 4 dígitos, precisão duplade 4 dígitos, precisão dupla
Ex. 12:Ex. 12:Seja Seja x = 0,937.10x = 0,937.1044 e e y = y = 0,1272.100,1272.1022. Calcular. Calcular x.yx.y..
Alinhamento dos pontos decimais antes da Alinhamento dos pontos decimais antes da somasoma
x.y = (0,937.10x.y = (0,937.1044).(0,1272.10).(0,1272.1022))x.y = (0,937.0,1272).10x.y = (0,937.0,1272).106 6 x.y = x.y =
0,1191864.100,1191864.1066
Resultado com 4 dígitosResultado com 4 dígitos
Arredondamento:Arredondamento: x.y = 0,1192.10x.y = 0,1192.1066
Truncamento:Truncamento: x.y = 0,1191.10x.y = 0,1191.1066
5656
ConsideraçõesConsiderações Ainda que as parcelas ou fatores de Ainda que as parcelas ou fatores de
uma operação possam ser uma operação possam ser representados exatamente no representados exatamente no sistema, não se pode esperar que o sistema, não se pode esperar que o resultado armazenado seja exato.resultado armazenado seja exato.
xx e e yy tinham representação tinham representação exataexata, , mas os resultados mas os resultados x+yx+y e e x.yx.y tiveram tiveram representação representação aproximadaaproximada..
Arredondamento e Truncamento Arredondamento e Truncamento IVIV
5757
Arredondamento e Truncamento Arredondamento e Truncamento VV
Ex. 13:Ex. 13: Seja Seja x = 0,7237.10x = 0,7237.1044 , , y = y = 0,2145.100,2145.10-4-4 e e z = z = 0,2585.10¹0,2585.10¹. Efetuar a operação . Efetuar a operação
x + y + zx + y + z e calcular o e calcular o erro erro relativo do resultado, relativo do resultado, supondo supondo xx,, yy ee zz exatamente representados.exatamente representados.
x+y+z = 0,7237.10x+y+z = 0,7237.1044 + 0,2145. + 0,2145.1010-4-4+ + 0,2585.10¹ 0,2585.10¹ == 0,7237.100,7237.104 4
+ 0,000000002145.10+ 0,000000002145.1044 + + 0,0002585.100,0002585.104 4 = 0,723958502.10= 0,723958502.1044
Resultado com 4 dígitosResultado com 4 dígitos
Arredondamento:Arredondamento: x+y+z = 0,7240.10x+y+z = 0,7240.1044
Truncamento:Truncamento: x+y+z = 0,7239.10x+y+z = 0,7239.1044
5858
Arredondamento e Truncamento Arredondamento e Truncamento VIVI
Erro relativo (no arredondamento):Erro relativo (no arredondamento):
35
4
44zyx
zyx
10.21
.1021,735
2.100,72395850.10 - 0,72402.100,72395850
x
EAER
35
4
44zyx
zyx
10.21
.1021,735
2.100,72395850.10 - 0,72402.100,72395850
x
EAER
5959
Arredondamento e Truncamento Arredondamento e Truncamento VIIVII
Sistemas de Vírgula FlutuanteSistemas de Vírgula Flutuante ((VF VF ))
Um sistema Um sistema VF(b, p, q)VF(b, p, q) é constituído é constituído por todos os números reais por todos os números reais XX da da forma:forma:
, em que, em que
e ainda e ainda X = 0X = 0
mb X t
-p-1 b-1mb ≤≤
6060
Arredondamento e Truncamento Arredondamento e Truncamento VIIIVIII
Sistemas de Vírgula Flutuante (Sistemas de Vírgula Flutuante (VF VF ))
Portanto,Portanto,
na qualna qual
p p um número finito de dígitos para a um número finito de dígitos para a mantissa;mantissa;
qq um número finito de dígitos para o um número finito de dígitos para o expoente;expoente;
bb é a base do sistema. é a base do sistema.
b)d...ddd(. X )tt...t(p-3-2-1-
011-q
6161
Arredondamento e Truncamento Arredondamento e Truncamento IXIX
Sistemas de Vírgula Flutuante (Sistemas de Vírgula Flutuante (VF VF ))
Considera-se que a mantissa é normalizada, i.e., d 0, exceto a representação do zero.
Representam-se na forma VF(b, p, q, Y)VF(b, p, q, Y), onde YY determina qual método o sistema adota:
Caso Y = A Arredondamento;Caso Y = T Truncamento de
Dígitos.
6262
Arredondamento e Truncamento Arredondamento e Truncamento XX
Sistemas de Vírgula Flutuante (Sistemas de Vírgula Flutuante (VF VF ))
Unidade de arredondamento (u): majorante do erro relativo na representação de um número num dado sistema VF(b, p, q)VF(b, p, q), tal que:
em em VF(b, p, q, A)VF(b, p, q, A)
em em VF(b, p, q, T)VF(b, p, q, T),, p-1
p-1
bu
b21
u
6363
Arredondamento e Truncamento Arredondamento e Truncamento XIXI
Ex. 14:Ex. 14:Determine as raízes da Determine as raízes da equação equação xx22 + 0,7341x + 0,600.10 + 0,7341x + 0,600.10-4-4
= 0= 0 no sistema no sistema VF(10, 4, 2, T)VF(10, 4, 2, T), , considerando que não existem considerando que não existem dígitos de guarda no dígitos de guarda no processamento das operações em processamento das operações em ponto flutuante.ponto flutuante.
a)a) A partir da expressão utilizada na A partir da expressão utilizada na resolução de equações resolução de equações quadráticas, calcule o erros quadráticas, calcule o erros absolutos e relativos (absolutos e relativos (EAEAx1x1, , EAEAx2 x2 ,,
ERERx1x1 e e ERERx2x2). ).
64
Arredondamento e Truncamento Arredondamento e Truncamento XIIXII
b)b) Justifique a origem do erro relativo Justifique a origem do erro relativo obtido na menor raiz (em módulo), obtido na menor raiz (em módulo), sugerindo uma forma de melhoria sugerindo uma forma de melhoria numérica para a resolução de tal numérica para a resolução de tal problema.problema.
Solução:Solução:
a)a)
020
002
0
2
1,2
0,5389.10)b(fl0,5389028.10
)10.7341)(10(0,7341.0,)fl(b
0,7341.10fl(b)2a
4ac -bb -x
020
002
0
2
1,2
0,5389.10)b(fl0,5389028.10
)10.7341)(10(0,7341.0,)fl(b
0,7341.10fl(b)2a
4ac -bb -x
6565
Arredondamento e Truncamento Arredondamento e Truncamento XIIIXIII
Solução:Solução:
a) a)
02102
02
0
3-02
3-
14-
1
1
4 -
0,7339.10=)(0,5387.10=)4c-(bfl(
0,5387.10=4c)-fl(b
=.100,0002400) - (0,5389
=0,2400.10-0,5389.10=4c)-fl(b
o,2400.10=fl(4c)
).106000)(10(0,4000.0,=fl(4c)
(0.2000)10=fl(2)
10)4000.0()4(fl
(0.6000)10fl(c)
02102
02
0
3-02
3-
14-
1
1
4 -
0,7339.10=)(0,5387.10=)4c-(bfl(
0,5387.10=4c)-fl(b
=.100,0002400) - (0,5389
=0,2400.10-0,5389.10=4c)-fl(b
o,2400.10=fl(4c)
).106000)(10(0,4000.0,=fl(4c)
(0.2000)10=fl(2)
10)4000.0()4(fl
(0.6000)10fl(c)
66
Arredondamento e Truncamento Arredondamento e Truncamento XIVXIV
Solução:Solução:
a) a) Primeira raiz:Primeira raiz:
01
1
12
1
002
-0,7340.10)fl(x
.102000,00,1468.10-
2c4b b-
fl)fl(x
10.7339,0-0,7341.10)c4b fl(-b
01
1
12
1
002
-0,7340.10)fl(x
.102000,00,1468.10-
2c4b b-
fl)fl(x
10.7339,0-0,7341.10)c4b fl(-b
67
Arredondamento e Truncamento Arredondamento e Truncamento XVXV
Solução:Solução:
a) a) Segunda raiz:Segunda raiz:
3-1
1
12
1
002
-0,1000.10)fl(x
.102000,00,0002.10-
2c4b b-
fl)fl(x
10.7339,0-0,7341.10)c4b fl(-b
3-1
1
12
1
002
-0,1000.10)fl(x
.102000,00,0002.10-
2c4b b-
fl)fl(x
10.7339,0-0,7341.10)c4b fl(-b
O O cancelamento subtrativocancelamento subtrativo (ou (ou catastróficocatastrófico) ocorre quando se ) ocorre quando se subtraem números muito próximos subtraem números muito próximos em sistemas de vírgula flutuante.em sistemas de vírgula flutuante.
O O cancelamento subtrativocancelamento subtrativo (ou (ou catastróficocatastrófico) ocorre quando se ) ocorre quando se subtraem números muito próximos subtraem números muito próximos em sistemas de vírgula flutuante.em sistemas de vírgula flutuante.
68
Arredondamento e Truncamento Arredondamento e Truncamento XVIXVI
Solução:
a) Para calcular os erros cometidos em FP, é necessário conhecer os valores exatos das raízes.
Considerando um dígito a mais do que a representação da mantissa no sistema, i.e., 5 dígitos, obtém-se:
e
-42
0 1 0-0,81742.1x0-0,73402.1x -4
20
1 0-0,81742.1x0-0,73402.1x
69
Arredondamento e Truncamento Arredondamento e Truncamento XVIIXVII
Solução:
a) Assim sendo, os erros absolutos e relativos serão:
%3,22ER10.22336,00,81742.10-
10.18258,0x
EAER
%0,0ER
%003,0ER10.27247,00,73402.10-
10.2000,0x
EAER
10.18258,0).101000,0(- -10.0,81742 -EA
10.20000,0).107340,0(- -10.0,73402 -EA
%2x0
4-
4-
2
2x2x
%1x
%1x4-
0
4-
1
1x1x
4-3-4-x1
-400x1
%3,22ER10.22336,00,81742.10-
10.18258,0x
EAER
%0,0ER
%003,0ER10.27247,00,73402.10-
10.2000,0x
EAER
10.18258,0).101000,0(- -10.0,81742 -EA
10.20000,0).107340,0(- -10.0,73402 -EA
%2x0
4-
4-
2
2x2x
%1x
%1x4-
0
4-
1
1x1x
4-3-4-x1
-400x1
70
Arredondamento e Truncamento Arredondamento e Truncamento XVIIIXVIII
Solução:Solução:
a)a) Constatação:Constatação:
Apesar dos erros absolutos Apesar dos erros absolutos serem serem praticamente iguais, a praticamente iguais, a segunda raiz segunda raiz apresenta um erro apresenta um erro relativo relativo quatroquatro ordens de ordens de grandeza maior do que o grandeza maior do que o erro erro relativo cometido no cálculo da relativo cometido no cálculo da primeira raiz.primeira raiz.
71
Arredondamento e Truncamento Arredondamento e Truncamento XIXXIX
Solução:Solução:
b)b) O problema do erro O problema do erro relativo relativo cometido no cálculo da cometido no cálculo da segunda segunda raiz deve-se ao raiz deve-se ao cancelamento cancelamento subtrativosubtrativo, , verificado quando verificado quando números muito números muito próximos se próximos se subtraem em subtraem em aritmética de aritmética de vírgula vírgula flutuanteflutuante..
72
Arredondamento e Truncamento Arredondamento e Truncamento XXXX
Solução:Solução:
b)b) Para evitar o Para evitar o cancelamento cancelamento subtrativosubtrativo, 2 opções , 2 opções conduzem ao conduzem ao mesmo resultado, a mesmo resultado, a saber:saber:
1.1. Manipulação da fórmula para a Manipulação da fórmula para a determinação dos zerosdeterminação dos zeros
11
22
222
2
222
2
xc
x2c2
c4b b-
c2
c4b b-.2
c4b (-b)
c4b b-
c4b b-.
2c4b b-
2c4b b-
x
11
22
222
2
222
2
xc
x2c2
c4b b-
c2
c4b b-.2
c4b (-b)
c4b b-
c4b b-.
2c4b b-
2c4b b-
x
73
Arredondamento e Truncamento Arredondamento e Truncamento XXIXXI
Solução:Solução:
1.1. Manipulação da fórmula para a Manipulação da fórmula para a determinação dos zerosdeterminação dos zeros
Assim:Assim:
2.2. Manipulação simbólica da equação Manipulação simbólica da equação genérica de segundo graugenérica de segundo grau
ouou
40
4
12 10.8174,0
10.7340,010.6000,0
xc
fl)fl(x
4
0
4
12 10.8174,0
10.7340,010.6000,0
xc
fl)fl(x
12
2121212
21212
212
axc
x
xaxcxax )xx a(x - ax)xx xx -xx - a(x
)x - )(xx - a(x c bx ax
12
2121212
21212
212
axc
x
xaxcxax )xx a(x - ax)xx xx -xx - a(x
)x - )(xx - a(x c bx ax
7474
Erros – Propagação IErros – Propagação I
Propagação dos ErrosPropagação dos Erros
Durante as operações aritméticas Durante as operações aritméticas de um método, os erros dos de um método, os erros dos operandos produzem um erro no operandos produzem um erro no resultado da operaçãoresultado da operação Propagação ao longo do processoPropagação ao longo do processo Determinação do erro no resultado Determinação do erro no resultado
final obtido final obtido
7575
Erros – PropagaçãoErros – Propagação II
Ex. 14:Ex. 14: Sejam as operações a seguir, Sejam as operações a seguir, processadas em uma máquina processadas em uma máquina com com 44 dígitos significativos e dígitos significativos e fazendo-se: fazendo-se: a = a = 0,3491.100,3491.1044 e e b = 0,2345.10b = 0,2345.1000..
(b+a)−a(b+a)−a=(0,2345.10=(0,2345.1000+0,3491.10+0,3491.1044))
−0,3491.10−0,3491.1044=0,3491.10=0,3491.1044−0,3491.10−0,3491.1044 == 0,0000 0,0000
b+b+(a−a(a−a)=0,2345.10)=0,2345.1000+(0,3491.10+(0,3491.1044−−0,3491.100,3491.1044)=0,2345+0,0000)=0,2345+0,0000
== 0,2345 0,2345
7676
Erros – Propagação IIIErros – Propagação III
Os dois resultados são diferentes, Os dois resultados são diferentes, quando não deveriam ser.quando não deveriam ser.
((b + a) − a = 0,0000b + a) − a = 0,0000 e e b + (a − a) = b + (a − a) = 0,23450,2345
CausaCausa
Arredondamento da adição Arredondamento da adição (b + a)(b + a),, a a qual tem qual tem 88 dígitos dígitos Cancelamento Cancelamento subtrativosubtrativo de de (b + a) − a (b + a) − a devido à devido à representação de máquina com representação de máquina com 44 dígitosdígitos A A distributividadedistributividade é uma é uma
propriedade da propriedade da adiçãoadição..A A distributividadedistributividade é uma é uma propriedade da propriedade da adiçãoadição..
7777
Erros – Propagação IVErros – Propagação IV
Resolução numérica de um Resolução numérica de um problemaproblema Importância do conhecimento dos Importância do conhecimento dos
efeitos da propagação de errosefeitos da propagação de erros Determinação do erro final de uma Determinação do erro final de uma
operaçãooperação Conhecimento da sensibilidade de Conhecimento da sensibilidade de
um determinado problema ou um determinado problema ou método numéricométodo numérico
7878
Erros – Propagação VErros – Propagação V
Ex. 15: Dados Ex. 15: Dados a = 50 ± 3a = 50 ± 3 e e b = 21 ± b = 21 ± 11, calcular , calcular a + ba + b..
Variação de Variação de aa 4747 a a 5353
Variação de Variação de bb 2020 a a 2222
Menor valor da soma Menor valor da soma 47 47 ++ 20 20 == 6767
Maior valor da soma Maior valor da soma 53 53 ++ 22 22 == 7575 a + b = (50 + 21) ± 4 = 71 ± 4a + b = (50 + 21) ± 4 = 71 ± 4 6767 a a
7575
7979
Erros – Propagação VIErros – Propagação VI
Ex. 16: Dados Ex. 16: Dados a = 50 ± 3a = 50 ± 3 e e b = 21 ± 1b = 21 ± 1, , calcular calcular a - ba - b..
Variação de Variação de aa 4747 a a 5353
Variação de Variação de bb 2020 a a 2222
Menor valor da diferençaMenor valor da diferença 47 47 ̶̶ 20 20 = = 2525
Maior valor da diferença Maior valor da diferença 53 53 ̶̶ 22 22 == 3333
a # b = (50 # 21) ± 4 = 29 ± 4a # b = (50 # 21) ± 4 = 29 ± 4 2525 a a 3333
Na Na subtraçãosubtração, os erros absolutos se , os erros absolutos se somamsomam, pois sempre se admite o pior , pois sempre se admite o pior caso.caso.
Na Na subtraçãosubtração, os erros absolutos se , os erros absolutos se somamsomam, pois sempre se admite o pior , pois sempre se admite o pior caso.caso.
8080
Erros – Propagação VIIErros – Propagação VII
Ex. 17: Dados Ex. 17: Dados a = 50 ± 3a = 50 ± 3 e e b = 21 ± b = 21 ± 11, calcular , calcular a.ba.b.. Variação de Variação de aa 4747 a a 5353
Variação de Variação de bb 2020 a a 2222 Menor valor do produto Menor valor do produto 47 . 2047 . 20 ==
940940 Maior valor da produto Maior valor da produto 53 . 2253 . 22 ==
11661166 a . b = (50 ± 3) x (21 ± 1)a . b = (50 ± 3) x (21 ± 1)
≈ ≈ 1050 ± (3.21 + 50.1)1050 ± (3.21 + 50.1)≈ ≈ 1050 ± 113 1050 ± 113 937937 a a 11631163
8181
Erros – Propagação VIIErros – Propagação VII
Ex. 18: Dados Ex. 18: Dados a = 50 ± 3a = 50 ± 3 e e b = 21 b = 21 ± 1± 1, calcular , calcular a.ba.b..
ConsideraçõesConsiderações
Despreza-se o produtoDespreza-se o produto 3.13.1, por ser , por ser muito pequeno diante demuito pequeno diante de (3.21 + (3.21 + 50.1 ) = 11350.1 ) = 113
Ligeiramente diferente do Ligeiramente diferente do verdadeiro intervalo, por conta da verdadeiro intervalo, por conta da desconsideração do produtodesconsideração do produto 3.13.1, , assumido como assumido como desprezíveldesprezível
8282
Erros – Propagação XErros – Propagação X
Análise dos Erros Análise dos Erros AbsolutoAbsoluto e e RelativoRelativo
Expressões para o determinação dos Expressões para o determinação dos erros nas operações aritméticaserros nas operações aritméticas
Erros presentes na representação Erros presentes na representação das das parcelasparcelas ou ou fatoresfatores, assim como , assim como no no resultadoresultado da operação da operação Supondo um Supondo um erro final erro final
arredondadoarredondado, sendo, sendo xx e e yy, tais , tais que:que:
yx EAyy EAxx e
8383
Erros – Propagação XIErros – Propagação XI
AdiçãoAdição ErroErro Absoluto Absoluto
ErroErro Relativo Relativo
yx
yER
yxx
ERyx
EAER yx
yxyx
)EA(EA)yx()EAy( )EAx(yx
yx
yx
8484
Erros – Propagação XIIErros – Propagação XII
SubtraçãoSubtração ErroErro Absoluto Absoluto
ErroErro Relativo Relativo
yx
yER
yxx
ERyx
EAER yx
yxyx
)EA(EA)yx()EAy( )EAx(yx
yx
yx
8585
Erros – Propagação XIIIErros – Propagação XIII
MultiplicaçãoMultiplicação ErroErro Absoluto Absoluto
ErroErro Relativo Relativo
muito muito pequenopequeno
yxyxyx .EAEAEAx.EAyy.xEAy.EAxx.y
yxyx EAx.EAyy.xEAy.EAxx.y
yxy.x ERERER
8686
Erros – Propagação XIIIErros – Propagação XIII
DivisãoDivisão ErroErro Absoluto Absoluto
ErroErro Relativo Relativo
yxx/y ERERER
SimplificaçãSimplificação:o:
(desprezam-se os termos de potência (desprezam-se os termos de potência >1>1))
y
EA1
1.
yEAx
EAyEAx
yx
y
x
y
x ...y
EA
y
EA
y
EA1
y
EA1
13
y
2
yy
y
2yx
2x
y
EAx.EAy
yEAyx
yEA
yx
yx
8787
Erros – Análise IErros – Análise I
EAx=EAy= 0, EAx+y=0
1tyx 10
21
RAER
Ex. 19: Cálculo de Ex. 19: Cálculo de ER(x+y)ER(x+y)
Como Como xx e e yy são são exatamente exatamente representados, representados, ERERx+yx+y se resume ao se resume ao Erro Relativo de Erro Relativo de
ArredondamentoArredondamento ( (RARA) no resultado da soma.) no resultado da soma.
Como Como xx e e yy são são exatamente exatamente representados, representados, ERERx+yx+y se resume ao se resume ao Erro Relativo de Erro Relativo de
ArredondamentoArredondamento ( (RARA) no resultado da soma.) no resultado da soma.
RAER
RAyx
EAER
yx
yxyx
8888
Erros – Análise IIErros – Análise II
Sistema de aritmética de ponto Sistema de aritmética de ponto flutuante de 4 dígitos, precisão flutuante de 4 dígitos, precisão dupla Idupla I Ex. 20: Ex. 20: Seja Seja x = 0,937.10x = 0,937.1044, , y = y =
0,1272.100,1272.1022 e e z = 0,231.10z = 0,231.1011, calcular , calcular x+y+zx+y+z e e ERER(x+y+z)(x+y+z), sabendo que , sabendo que xx, , yy e e zz estão estão exatamenteexatamente representados. representados.
Solução:Solução:
Alinhando as vírgulas decimais:Alinhando as vírgulas decimais:
x = 0,937000.10x = 0,937000.1044
y = 0,001272.10y = 0,001272.1044 eez = 0,000231.10z = 0,000231.1044
8989
Erros – Análise IIIErros – Análise III
Ex. 20: Ex. 20: Seja Seja x = 0,937.10x = 0,937.1044, , y = y = 0,1272.100,1272.1022 e e z = 0,231.10z = 0,231.1011, calcular , calcular x+y+zx+y+z e e ERER(x+y+z)(x+y+z), sabendo que , sabendo que xx, , yy e e zz estão estão exatamenteexatamente representados. representados.
Solução:Solução:
A soma é feita por partes: (x+y)+z
x+y = 0,9383 . 104
x+y+z = 0,9383 . 104 + 0,000231 . 104
x+y+z = 0,938531. 104
x+y+z = 0,9385. 104 (após o arredondamento)
9090
Erros – Análise IVErros – Análise IV
Solução:Solução:
EAz=0, ERz=0
1tzyx 10
21
1zyx
yxER
1zyx
yxRARA
zyx
yxRAER
RAzyx
yxERER
RAzyx
EAER
zyx
yxERER
szyx
szyx
zzszyx
9191
Erros – Análise VErros – Análise V
Solução:Solução:
3zyx 10.0,9998ER
1tzyx 10.
21
1zyx
yxER
1tzyx 10.
21
1zyx
yxER
34
4
zyx 10.21
110.9385,010.9383,0
ER
3
4
4
zyx 10.21
110.9385,010.9383,0
ER
9292
Erros – Análise VIErros – Análise VI
Ex. 21:Ex. 21: Supondo que Supondo que uu é é representado representado em um em um computador por computador por ūū, que , que é obtido é obtido por arredondamento. por arredondamento. Obter os Obter os limites superiores para limites superiores para os erros os erros relativos de relativos de v = 2. ūv = 2. ū e e w = ū + ūw = ū + ū..
9393
Erros – Análise VIIErros – Análise VII
Ex. 21:Ex. 21:
Solução:Solução:
1tv 10ER
u.2v u.2v
1tu2.
u2u2.
.1021
2.ER
RA2.RARARAERERER
1t
u2.
u2u2.
.1021
2.ER
RA2.RARARAERERER
9494
Erros – Análise VIIIErros – Análise VIII
Ex. 21:Ex. 21:
Solução:Solução: uuw uuw
1tvw 10ERER
RAuu
uER
uuu
ERER uuw
RA
uuu
ERuu
uERER uuw
RA2.RAuu
uRA2.ERw
RA2.RA
uuu
RA2.ERw
1t1tw 10.10
21
2.RA2.ER 1t1tw 10.10
21
2.RA2.ER
9595
Erros – Sumário IErros – Sumário I
1.1. Erro Relativo da AdiçãoErro Relativo da Adição Soma Soma dos erros relativos de cada parcela, dos erros relativos de cada parcela, ponderados pela participação de cada ponderados pela participação de cada parcela no total da soma.parcela no total da soma.
2.2. Erro Relativo da SubtraçãoErro Relativo da Subtração Soma Soma dos erros relativos do minuendo e dos erros relativos do minuendo e do subtraendo, ponderados pela do subtraendo, ponderados pela participação de cada parcela no participação de cada parcela no resultado da subtração.resultado da subtração.
9696
Erros – Sumário IIErros – Sumário II
3.3. Erro Relativo da MultiplicaçãoErro Relativo da Multiplicação Soma dos erros relativos dos fatores.Soma dos erros relativos dos fatores.
4.4. Erro Relativo da DivisãoErro Relativo da Divisão Soma dos erros relativos do dividendo e Soma dos erros relativos do dividendo e do divisor.do divisor.
9797
Erros – Exercício I
Seja um sistema de aritmética de Seja um sistema de aritmética de ponto flutuante de 4 dígitos, base ponto flutuante de 4 dígitos, base decimal e com acumulador de precisão decimal e com acumulador de precisão dupla. Dados os números dupla. Dados os números x = x = 0,7237.100,7237.1044,, y = 0,2145.10y = 0,2145.10-3-3 ee z = z = 0,2585.100,2585.1011, efetuar as seguintes , efetuar as seguintes operações e obter o erro relativo nos operações e obter o erro relativo nos resultados, supondo que resultados, supondo que xx, , yy, e , e zz estão estão exatamenteexatamente representados. representados.
a)a) x+y+zx+y+z b)b) x−y−zx−y−z c)c) x/yx/y
d)d) (x.y)/z(x.y)/z e)e) x.(y/z)x.(y/z) f)f) (x+y).z(x+y).z
9898
Erros – Exercício IIErros – Exercício II
x.3u x.3u xxxw xxxw
x.4u x.4u xxxxw xxxxw
Supondo que Supondo que xx é representado num é representado num computador por computador por xx e obtido por e obtido por arredondamentoarredondamento, determinar os limites , determinar os limites superiores para os erros relativos de:superiores para os erros relativos de:
a) b)a) b)
c) d)c) d)
9999
Erros – Exercícios IIIErros – Exercícios III
Sejam īī e ūū as representações de i e u obtidas em um computador por arredondamento. Deduzir expressões de limitante de erro, a fim de mostrar que o limitante de erro relativo de éy.x.3u
y.xxxv y.xxxv
100100
Erros – Exercício IV
Um computador armazena números Um computador armazena números reais utilizando reais utilizando 11 bit para o sinal do bit para o sinal do número, número, 77 bits para o expoente e bits para o expoente e 88 bits bits para a mantissa. Admitindo que haja para a mantissa. Admitindo que haja truncamentotruncamento, como ficarão , como ficarão armazenados os seguintes números armazenados os seguintes números decimais?decimais?
a)a) nn11 = 25,5 = 25,5 b)b) nn22 = 120,25 = 120,25 c)c) nn33 = = 2,52,5
d)d) nn44 = 460,25 = 460,25 e)e) nn55 = 24,005 = 24,005
101101
Erros – Exercícios VErros – Exercícios V
Considerando o sistema de vírgula Considerando o sistema de vírgula flutuante flutuante F(10, 4, 2, T)F(10, 4, 2, T)::
e a inexistência de dígitos de guarda e a inexistência de dígitos de guarda (o processador pode ter mais dígitos (o processador pode ter mais dígitos do que a memória, sendo os dígitos do que a memória, sendo os dígitos adicionais denominados adicionais denominados dígitos de dígitos de guardaguarda) no processamento das ) no processamento das operações em ponto flutuante.operações em ponto flutuante.
00,5999.100,3714x1,023x -22 00,5999.100,3714x1,023x -22
102102
Erros – Exercícios VIErros – Exercícios VI
a)a) Determinar os zeros da equação a Determinar os zeros da equação a partir partir da fórmula resolvente;da fórmula resolvente;
b)b) Calcular os erros absolutos Calcular os erros absolutos cometidos cometidos nos cálculos dos dois nos cálculos dos dois zeros;zeros;
c)c) Explicar a origem do erro Explicar a origem do erro relativo relativo resultante do cálculo da resultante do cálculo da menor raiz (em menor raiz (em módulo), módulo), sugerindo uma forma de sugerindo uma forma de melhoria numérica para a resolução melhoria numérica para a resolução
deste problema.deste problema.
103103
Erros - BibliografiaErros - Bibliografia
Ruggiero, M. A. Gomes & Lopes, V. L. da R. Ruggiero, M. A. Gomes & Lopes, V. L. da R. Cálculo Numérico: Aspectos teóricos e Cálculo Numérico: Aspectos teóricos e computacionaiscomputacionais. MAKRON Books, 1996, 2. MAKRON Books, 1996, 2ªª ed. ed.
Asano, C. H. & Colli, E. Asano, C. H. & Colli, E. Cálculo Numérico: Cálculo Numérico: Fundamentos e AplicaçõesFundamentos e Aplicações. Departamento de . Departamento de
Matemática Aplicada – IME/USP, 2007.Matemática Aplicada – IME/USP, 2007. Sanches, I. J. & Furlan, D. C. Sanches, I. J. & Furlan, D. C. Métodos Métodos
NuméricosNuméricos. DI/UFPR, 2006.. DI/UFPR, 2006. Paulino, C. D. & Soares, C. Erros e Paulino, C. D. & Soares, C. Erros e
Propagação de Erros, Propagação de Erros, Notas de aulaNotas de aula, SE/ DM/ , SE/ DM/ IST IST [Online] [Online] http://www.math.ist.utl.pt/stat/pe/qeb/semeshttp://www.math.ist.utl.pt/stat/pe/qeb/semestre_1_2004-2005/PE_erros.pdftre_1_2004-2005/PE_erros.pdf [Último acesso [Último acesso 07 de Junho de 2007].07 de Junho de 2007].
104104
Erros - BibliografiaErros - Bibliografia
Paulino, C. D. & Soares, C. Erros e Paulino, C. D. & Soares, C. Erros e Propagação de Erros, Propagação de Erros, Notas de aulaNotas de aula, SE/ , SE/ DM/ IST DM/ IST [Online] [Online] http://www.math.ist.utl.pt/stat/pe/qeb/shttp://www.math.ist.utl.pt/stat/pe/qeb/semestre_1_2004-2005/PE_erros.pdfemestre_1_2004-2005/PE_erros.pdf [Último acesso 08 de Setembro de [Último acesso 08 de Setembro de 2011].2011].
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