CAP_16_ONDAS_l (1)

ONDAS I Cap 16: Ondas I - Prof. Wladimir 1

ONDAS l 16.1 Introduo Ondas so perturbaes que se propagam transportando energia. Desta forma, uma msica, a imagem numa tela de tv, a comunicaes utilizando celulares, etc, dependem da produo, transmisso e recepo de uma onda. Este captulo se concentra nas ondas progressivas ao longo de uma corda esticada, como a de um violo. 16.2 Tipos de Ondas As ondas so de trs tipos:

1. Ondas mecnicas Precisam de um meio para se propagar (ondas na gua, ondas sonoras, ondas ssmicas, ondas numa corda).

2. Ondas eletromagnticas No requerem um meio

material para se propagarem (luz visvel, ultravioleta, ondas de rdio, televiso, raio x, radar, celular,etc.). No vcuo sua velocidade smc /458.792.299= .

3. Ondas de matria Associadas a eltrons, prtons e

outras partculas elementares, e mesmo com tomos e molculas.

ONDAS I Cap 16: Ondas I - Prof. Wladimir 2 16.3 Ondas Transversais e Longitudinais Pulso (a) cada ponto do meio (corda) vibra com a mesma amplitude, no sentido perpendicular ao deslocamento da onda. Trem de ondas (b) sucessivos pulsos produzidos com periodicidade formam uma onda senoidal. Onda Transversal cada elemento do meio oscila perpendicularmente direo de propagao da onda. Onda Longitudinal - os elementos do meio oscilam ma mesma direo de propagao da onda. O movimento de vai e vem do pisto resulta numa onda longitudinal que se propaga ao longo do tubo. Tanto as ondas Transversais quanto as Longitudinais so chamadas de ondas progressivas.

ONDAS I Cap 16: Ondas I - Prof. Wladimir 3 16.4 Comprimento de Onda e Freqncia Uma onda fica completamente descrita pela equao ao lado. Para uma corda, esta equao pode ser usada para encontrar os deslocamentos de todos os elementos da corda em funo do tempo. Amplitude ( )my o mdulo do deslocamento mximo dos elementos a partir de suas posies de equilbrio enquanto a onda passa atravs deles. Fase da onda o argumento ( )kx wt do seno da equao anterior. Enquanto a onda passa por um elemento da corda em uma posio particular x, a fase varia linearmente com o tempo t. Comprimento de Onda ( ) a distncia entre repeties da forma da onda. Em t=0, 1xx = e 1)0,( senkxyxy m= Em += 1xx ,

)()(

1

11

kkxsenyxsenkysenkxy

m

mm

+=

+=

onde 2=k

ONDAS I Cap 16: Ondas I - Prof. Wladimir 4

Nmero de Onda ( )k Unidade no SI radiano por metro )/( mrad , dado por:

2

=k

Perodo )(T de oscilao de uma onda o tempo que qualquer elemento da corda leva para realizar uma oscilao completa. Freqncia Angular )( a rapidez com que o ponto realiza o ciclo, dada em radiano por segundo )/( srad .

T 2=

Freqncia )( f de uma onda o nmero de oscilaes por unidade de tempo

= Hz

s1 . Relaciona-se com o perodo e

freqncia angular por:

2

1==

Tf

Constante de Fase: Quando uma onda progressiva senoidal expressa pela funo de onda )(),( tkxsenytxy m = , a forma da onda pode ser descrita conforme a figura (a). Note que x=0 , y=0 e sua inclinao mxima positiva. Se inserirmos uma constante de fase, a funo de onda assume a forma: )(),( += tkxsenytxy m . No caso da figura, 4/ += .

ONDAS I Cap 16: Ondas I - Prof. Wladimir 5 16.5 A Velocidade de uma Onda Progressiva A figura ao lado mostra dois instantneos da onda separados por um pequeno intervalo de tempo t . Desta forma, a razo tx ou no limite diferencial dtdx / a velocidade da onda v . Se o ponto A preserva seu deslocamento enquanto ele se move, a fase na equao de onda determinando este deslocamento deve permanecer constante:

teconstkx tan= Derivando este argumento em ralao a t, encontramos a velocidade v da onda,

0=dtdxk ou k

vdtdx

== Como j foi definido, /2=k e T/2 = , podemos escrever a velocidade da onda como:

fTk

v === Quando a onda se mover no sentido negativo de x, temos

teconstkx tan=+ . Desta forma a equao da onda ser escrita por

)(),( tkxsenytxy m += , que derivada, leva a

kdtdx

=

ONDAS I Cap 16: Ondas I - Prof. Wladimir 6

Exerccio: Uma onda propagando ao longo de uma corda descrita por

)72,21,72(00327,0),( txsentxy = , na qual as constantes numricas esto em unidades do SI. (a) Qual a amplitude desta onda? (b) quais so os comprimentos de onda, perodo e a freqncia desta onda? (c) Qual a velocidade desta onda? Qual o deslocamento y em x=22,5cm e t=18,9s? (0,00327m ; 0,0871m ; 2,31s ; 0,433Hz; 0,0377m/s; 0,00192m) 16.6 Velocidade da Onda em uma Corda Esticada A velocidade da onda est relacionada com o comprimento de onda e com a freqncia pela equao fv = , mas ela determinada pela propriedades do meio como a densidade linear de massa e a tenso da corda.

=v

lm

= (massa por comprimento de corda). Exerccio: Na figura, duas cordas foram amarradas uma na outra com um n e depois esticadas entre dois suportes rgidos. As cordas tm densidades lineares

mkgx /104,1 41= e

mkgx /108,2 42= . Seus

comprimentos so mL 0,31 = e mL 0,22 = , e a corda 1 est submetida a uma tenso de 400N. Simultaneamente, um pulso enviado a partir da extremidade do suporte rgido de cada corda em direo ao n. Qual pulso alcanara o n primeiro? (determine o tempo que cada pulso leva para percorrer cada corda)

ONDAS I Cap 16: Ondas I - Prof. Wladimir 7 16.7 Energia e Potncia de uma Onda Progressiva em uma Corda Quando fornecemos energia para uma corda esticada, esta transporta a energia nas formas de energia cintica e energia potencial elstica. Energia Cintica - considerando um elemento de massa dm da corda, quando ele passa por 0=y (b) sua velocidade mxima (s energia cintica) e quando passa pela posio myy = (a), sua energia cintica nula. Energia Potencial Elstica Quando o elemento de massa oscila, seu comprimento varia para que possa assumir a forma da senoide. A energia potencial est associada a esta variao de comprimento. Transporte de Energia Quando a onda se move para sees que estavam anteriormente em repouso, energia transferida para estas novas sees. A Taxa de Transmisso da Energia A energia cintica dK associada a um elemento de massa dm dada por

2

21 udmdK =

onde u a velocidade transversal do elemento oscilante da corda derivamos a equao da posio do elemento.

)cos( tkxytyu m =

=

ONDAS I Cap 16: Ondas I - Prof. Wladimir 8 Usando esta relao e fazendo dxdm = , reescrevemos,

2

21 udmdK =

)(cos))((21 22 tkxydxdK m =

Dividindo esta equao por dt , temos:

)(cos21 222 tkxyv

dtdK

m = A taxa mdia com que a energia cintica transportada

mdmmd

tkxyvdtdK )][(cos

21 222 =

Para um nmero inteiro de comprimentos de onda,

21)][(cos2 = mdtkx , o que nos leva a,

22

41

mmd

yvdtdK =

A potncia mdia, que a taxa mdia com que a energia em ambas as formas transmitida pela onda ,

22

212 m

mdmd yvdt

dKP =

=

Exerccio: Uma corda esticada possui densidade linear mg /525= e est sujeita a uma tenso N45= . Enviamos uma onda senoidal com freqncia Hzf 120= e amplitude mmym 5,8= ao longo da corda. Com que taxa mdia a onda transporta energia? W100

ONDAS I Cap 16: Ondas I - Prof. Wladimir 9 16.8 A equao de Onda Quando uma onda passa atravs de qualquer elemento de uma corda esticada, o elemento se move perpendicularmente direo de propagao da onda. No elemento da figura ao lado, as foras 1F

e 2F

produzem uma

fora resultante que provoca uma acelerao ya para cima. Aplicando a 2 lei de Newton ao movimento do elemento do desenho, teremos:

yyres maF =, yyy admFF = 12 mas dxdm =

yyy adxFF = 12

Sabemos que 22

dtyday =

Na figura (b) 2F

tangente corda na extremidade direita do elemento. Logo,

22

2 SFF

x

y = *

Em termos do mdulo de )(2 =F , 2

22

22

22

22 yxyx FFFFF +=+= Supondo que o elemento apenas ligeiramente inclinado,

xy FF 22

ONDAS I Cap 16: Ondas I - Prof. Wladimir 10 Substituindo tudo a 2 lei teremos:

2

2

12 )( dtyddxSS = ou 2

212

dtyd

dxSS

=

Como o elemento da corda curto, as inclinaes 2S e 1S diferem apenas por uma quantidade infinitesimal dS , onde

S a inclinao de qualquer ponto: dxdyS =

Ento, podemos escrever:

2

2

2

2

2

2

2

2 )/(dt

yddx

yddt

yddx

dxdyddt

yddxdS

=== Usando /=v , encontramos:

2

2

22

2 1dt

ydvdx

yd=

EQUAO DE ONDA

Esta equao governa a propagao de ondas de todos os tipos 16.9 O Princpio da Superposio para Ondas Suponha que duas ondas se propagam simultaneamente ao longo da mesma corda esticada. Sejam ),(1 txy e ),(2 txy os deslocamentos que a corda sofreria se cada onda se propagasse sozinha. Na superposio,

),(),(),( 21, txytxytxy +=

ONDAS I Cap 16: Ondas I - Prof. Wladimir 11 16.10 Interferncia de Ondas Se duas ondas senoidais de mesma amplitude e mesmo comprimento de onda se propagam no mesmo sentido ao longo de uma corda esticada, elas interferem para produzir uma onda resultante senoidal se propagando naquele sentido. Sejam duas ondas propagando-se ao longo de uma corda esticada dado por:

)(),(1 tkxsenytxy m = e )(),(2 += tkxsenytxy m Estas onda tem igual , f , k e my , deslocando-se para o sentido positivo de x, com a mesma velocidade, diferindo apenas por um ngulo de fase . Somando as ondas temos:

)()(),(, ++= tkxsenytkxsenytxy mm Matematicamente, )(

21cos)(

212 +=+ sensensen , que

aplicada a onda resultante tem-se: Alguns exemplos de interferncia de duas ondas.

ONDAS I Cap 16: Ondas I - Prof. Wladimir 12

Exerccio: Duas ondas senoidais idnticas, se propagando no mesmo sentido ao longo de uma corda esticada, interferem uma na outra. A amplitude my de cada onda 9,8mm, e a diferena de fase entre elas 100o ,my. (a) Qual a amplitude da onda resultante e qual o tipo desta interferncia? (b) Que diferena de fase, em radianos e em comprimentos de onda dar onda resultante uma amplitude de 4,9mm?

ondacompradmm .42,0;63,2;13

ONDAS I Cap 16: Ondas I - Prof. Wladimir 13 16.11 Fasores. Podemos representar uma onda numa corda ou qualquer outro tipo de onda por um fasor, que nada mais do que um vetor que tem um mdulo 1my igual a amplitude da onda e que gira em torno da origem com uma velocidade angular igual a freqncia angular da onda. Na figura (a) a projeo 1y do fasor sobre o eixo vertical representa o deslocamento de um ponto pelo qual a onda passa. Um segundo fasor (b) de mdulo 2my , mesma velocidade angular , gira com um ngulo constante em relao ao primeiro. A onda resultante representada pelo vetor soma ,my dos dois fasores.

)(),( 11 tkxsenytxy m = )(),( 22 += tkxsenytxy m

)(),( ,, += tkxsenytxy m Podemos usar fasores para combinar ondas mesmo que suas amplitudes sejam diferentes. Exerccio: Duas ondas senoidais ),(1 txy e ),(2 txy tm o mesmo comprimento de onda e se propagam juntas no mesmo sentido ao longo de uma corda. Suas amplitudes so mmym 0,41 = e

mmym 0,32 = , e suas constantes de fase so 0 e rad3/ , respectivamente. Quais so a amplitude

,my e a constante de fase

da onda resultante? Escreva a onda resultante na forma da equao

)(),( ,, += tkxsenytxy m (6,1mm e 0,44rad)

ONDAS I Cap 16: Ondas I - Prof. Wladimir 14 16.12 Ondas Estacionrias Se duas ondas senoidais de mesma amplitude e mesmo comprimento de onda se propagam em sentidos opostos ao longo de uma corda esticada, sua interferncia mtua produz uma onda estacionria.

Uma caracterstica marcante na onda resultante que existem lugares ao longo da corda, chamados ns, onde a corda nunca se move. No ponto mdio entre os ns esto os antins (ventres), onde a amplitude da onda resultante mxima. Ondas com esta configurao so chamadas de ondas estacionrias, porque a forma da onda no se move para a direita ou para a esquerda. Assim:

)(),(1 tkxsenytxy m = e )(),(2 tkxsenytxy m += )()(),(, tkxsenytkxsenytxy mm ++=

Aplicando a relao trigonomtrica )(

21cos)(

212 +=+ sensensen , temos.

ONDAS I Cap 16: Ondas I - Prof. Wladimir 15 Na onda estacionria, a amplitude de oscilao de cada elemento da corda varia com a posio x. A amplitude nula para valores de kx que fornecem

0=senkx ou seja: nkx = para ...2,1,0=n

A posio dos ns obtida fazendo-se /2=k e reordenando leva a:

2nx =

, para ...2,1,0=n (ns) A onda estacionria ter uma amplitude mxima quando

1=senkx , ou seja:

+=

=

21

25;

23;

21

nkx

kx

para ...2,1,0=n

Substituindo /2=k e reordenando tem-se

221

+= nx para ...2,1,0=n (antins)

16.13 Ondas Estacionrias e Ressonncia Numa corda de violo, por exemplo, as ondas que se propagam para a direita na corda, se superpe com as ondas que se propagam para a esquerda e o resultado uma onda estacionria na corda. A ressonncia pode produzir padres de onda estacionria na corda que representam os harmnicos de vibrao da corda.

ONDAS I Cap 16: Ondas I - Prof. Wladimir 16 Para o primeiro padro (a) de vibrao da corda (1 harmnico), o comprimento da corda equivale a meio comprimento de onda (um ventre). O segundo padro (b) de vibrao (2 harmnico), tem exatamente um comprimento de onda (dois ventres). O terceiro padro (c) de vibrao (3 harmnico), tem um comprimento de onda e meio (trs ventres). Assim, uma onda estacionria pode ser excitada em uma corda de comprimento L por uma onda com um comprimento de onda igual a um dos valores:

nL2

= para ...3,2,1=n (nmero de harmnico) As freqncias de ressonncia que correspondem a esses comprimentos de onda seguem de:

Lvnvf

2==

para ...3,2,1=n

ONDAS I Cap 16: Ondas I - Prof. Wladimir 17 Exerccio: Na figura, uma corda, ligada a um oscilador senoidal em P e deslizando sobre um suporte em Q, est esticada por um bloco de massa m. A separao L entre P e Q 1,2m, a densidade linear da corda 1,6 g/m, e a freqncia f do oscilador est fixada em 120Hz. A amplitude do movimento em P suficientemente pequena para que este ponto seja considerado um n. Tambm existe um n em Q. (a) Que massa m permitiria ao oscilador excitar o quarto harmnico da corda? (b) Que modo de onda estacionria excitado se ?00,1 kgm = kgm 846,0= ; 7,3=n Exerccios do captulo 16:

1) Uma onda senoidal se propaga ao longo de uma corda. O tempo para um ponto particular se mover do deslocamento mximo at zero 0,170s. Quais so (a) o perodo e (b) a freqncia? (c) O comprimento de onda 1,40m; qual a velocidade da onda?

3) Se ( , ) ( , ) ( ( / ) )y x t mm sen kx rad s t = + +6 0 600 descreve uma onda se

propagando ao longo de uma corda, quanto tempo qualquer ponto da corda leva para se mover entre os deslocamentos

,y mm= +2 0 e ,y mm= 2 0 ? 5) Uma onda senoidal de freqncia 500Hz possui uma

velocidade de 350m/s. (a) Qual a distncia entre dois pontos que tm uma diferena de fase de / rad 3 ? (b) Qual a diferena de fase entre dois deslocamentos em certo ponto separados por 1,00ms?

ONDAS I Cap 16: Ondas I - Prof. Wladimir 18 7) Uma onda senoidal transversal se propaga ao longo de uma

corda no sentido positivo de um eixo x com uma velocidade de 80m/s. Em t = 0 , uma partcula da corda em x = 0 , possui um deslocamento transversal de 4,0cm a partir de sua posio de equilbrio e no est se movendo. A velocidade transversal mxima da partcula da corda em x = 0 16m/s. (a) Qual a freqncia da onda? (b) Qual o comprimento de onda? Se a equao de onda da forma ( , ) ( )my x t y sen kx t = + , quais so (c) k, (e) , (f) e (g) o sinal correto na frente de .

9) Uma onda senoidal se propagando ao longo de uma corda

mostrada duas vezes na figura abaixo, quando a crista A se desloca no sentido positivo do eixo x por uma distncia

,d cm= 6 0 em , ms4 0 . As marcaes ao longo do eixo esto separadas por cm10 . Se a equao da onda da forma ( , ) ( )my x t y sen kx t= , quais so (a) my , (b) k , (c) e (d) a escolha correta para o sinal em gente de .

11) Uma onda transversal

senoidal de comprimento de 20cm se propaga ao longo de uma corda no sentido positivo de x. O deslocamento y da partcula na corda em x=0 dado na figura ao lado como uma funo do tempo t. a equao da onda deve ser da forma

( , ) ( )my x t y sen kx t = + . (a) em t=0, o grfico de y versus x tem a forma de uma funo seno positiva ou de uma funo seno negativa? Quais so (b) my , (c) k , (d) , e a velocidade transversal da partcula em x=0 quando t=5,0s?

13) Qual a velocidade de uma onda transversal em uma corda

de comprimento 2,00m e massa de 60,0g sujeita a uma tenso de 500N?

ONDAS I Cap 16: Ondas I - Prof. Wladimir 19 15) A densidade linear de uma corda 1,6x10-4

onda transversal na corda descrita pela equao kg/m. Uma

])30()0,2sen[()021,0( 11 tsxmmy += . Quais so (a) a velocidade da onda e (b) a tenso na corda?

17) Uma corda esticada possui uma massa por unidade de comprimento de 5,00g/cm e est sujeita a uma tenso de 10,0N. Uma onda senoidal na corda tem uma amplitude de 0,12mm, uma freqncia de 100Hz e est se propagando no sentido negativo de um eixo x. Se a equao da onda da forma ( , ) ( )my x t y sen kx t= , quais so (a) my , (b) k , (c) , e (d) o sinal em frente de .

19) Uma onda transversal senoidal se propaga ao longo de uma corda no sentido negativo de um eixo x. A figura ao lado mostra um grfico do deslocamento em funo da posio no tempo t=0; a interceptao com o eixo y vale 4,0cm. a tenso na corda igual a 3,6N e sua densidade linear vale 25g/m. Encontre a (a) amplitude, (b) o comprimento de onda, (c) a velocidade da onda e (d) o perodo da onda. (e) Encontre a velocidade transversal mxima de uma partcula na corda. Se a onda for da forma ( , ) ( )my x t y sen kx t = + , quais so (f) k , (g) , (h) e (i) a escolha correta para o sinal em frente de .

21) Um fio de 100g mantido sob uma tenso de 250N com uma extremidade em x=0 e a outra em x=10,0m. No tempo t=0, o pulso 1 envido ao longo do fio a partir da extremidade em x=10,0m. No tempo t=30,0ms, o pulso 2 envidado ao longo do fio a partir da extremidade em x=0. em que posio x os pulsos comeam a se encontrar?

24) Uma corda ao longo da qual ondas podem se propagar tem 2,70m de comprimento e 260g de massa. A tenso na corda 36,0N. Qual deve ser a freqncia de ondas progressivas

ONDAS I Cap 16: Ondas I - Prof. Wladimir 20 com amplitude de 7,70mm para que a potncia mdia seja 85,0W?

26) Use a equao de onda para encontrar a velocidade de uma onda dada por ])00,7()00,4sen[()00,3(),( 11 tsxmmmtxy = .

29) Duas ondas progressivas idnticas, se propagam no mesmo sentido, esto fora de fase por rad2/ . Qual a amplitude da onda resultante em termos da amplitude comum my das duas ondas que interferem?

31) Duas ondas senoidais com a mesma amplitude de 9,00mm e o mesmo comprimento de onda se propagam juntamente numa corda que est esticada ao longo de um eixo x. A onda resultante mostrada duas vezes na figura abaixo, medida que o vale A se move no sentido negativo do eixo x por uma distncia cmd 0,56= em ms0,8 . As marcaes ao longo do eixo esto separadas por 10cm. Suponha que a equao para uma das ondas seja da forma

)(),( 1+= wtkxsenytxy m , onde 01 = e voc precisa escolher o

sinal na frente de . Para a equao da outra onda, quais so, quais so (a) my , (b) k , (c) , e (d) 2 e (e) o sinal em frente ?

33) Duas ondas senoidais de mesma freqncia se propagam no mesmo sentido ao longo de uma corda. Se cmym 0,31 = e

cmym 0,42 = , 01 = e rad2/2 = , qual a amplitude da onda resultante?

35) Duas ondas senoidais de mesma freqncia devem ser enviadas no mesmo sentido ao longo de uma corda esticada. Uma das ondas possui uma amplitude de 5,0mm e a outra 8,0mm. (a) Que diferena de fase 1 entre as duas ondas resultar na menor amplitude para a onda resultante? (b) qual ser essa amplitude mnima? (c) Que diferena de fase 2 entre as duas ondas resultar na maior amplitude para a onda

ONDAS I Cap 16: Ondas I - Prof. Wladimir 21 resultante? (d) Qual ser essa amplitude mxima? (e) Qual a amplitude resultante se o ngulo de fase for 2/)( 21 ?

39) Quais so (a) a freqncia mais baixa, (b) a segunda freqncia mais baixa e (c) a terceira freqncia mais baixa para ondas estacionrias em um fio que tem 10,0m de comprimento, possui massa de 100g e est esticado sob uma tenso de 250N?

41) Uma corda fixada em ambas as extremidades tem 8,40m de comprimento e uma massa de 0,120kg. Ela est oscilando sob uma tenso de 96,0N. (a) Qual a velocidade da onda na corda? (b) Qual o comprimento de onda mais longo possvel para uma onda estacionria nesta corda? (c) Determine a freqncia desta onda.

43) Uma corda de nilon de um violo possui uma densidade linear de 7,20g/m e est sujeita a uma tenso de 150N. Os suportes prendedores esto separados por cmD 0,90= . A corda est oscilando no padro de onda estacionria mostrado na figura abaixo. Calcule (a) a velocidade, (b) o comprimento de onda e (c) a freqncia das ondas progressivas cuja superposio origina esta onda estacionria.

45) Uma corda est esticada entre suportes fixos separados por 75,0cm e possui freqncias de ressonncia de 420 e 315Hz, com nenhuma freqncia intermediria. Quais so (a) a freqncia de ressonncia mais baixa e (b) a velocidade da onda?

49) Duas ondas so geradas em uma corda com 3,0m de comprimento para produzirem uma onda estacionria de trs ventres com uma amplitude de 1,0cm. A velocidade da onda 100m/s. Suponha que a equao para uma da ondas seja da forma )(),( wtkxsenytxy m += . Na equao para a outra onda, quais so (a) my , (b) k , (c) , e (d) o sinal em frente ?

ONDAS l16.1 IntroduoUma onda fica completamente descrita pela equao ao lado. Para uma corda, esta equao pode ser usada para encontrar os deslocamentos de todos os elementos da corda em funo do tempo.Amplitude o mdulo do deslocamento mximo dos elementos a partir de suas posies de equilbrio enquanto a onda passa atravs deles.Fase da onda o argumento do seno da equao anterior. Enquanto a onda passa por um elemento da corda em uma posio particular x, a fase varia linearmente com o tempo t.

Comprimento de Onda a distncia entre repeties da forma da onda.Em t=0, eEm ,ondeNmero de Onda