CAPÍTULO 10 Rotação - aprendafisica.com cap 10 - rotação.pdf · módulo da velocidade angular...

CAPÍTULO10

Rotação

10-1ASVARIÁVEISDAROTAÇÃO

ObjetivosdoAprendizadoDepoisdelerestemódulo,vocêserácapazde...

10.01Saberque,setodasaspartículasdeumcorpogiramdamesmaformaemtornodeumeixo,ocorpoéumcorporígido.(Estecapítulotratadomovimentodecorposrígidos.)

10.02Saberqueaposiçãoangulardeumcorporígidoemrotaçãoéoânguloqueumaretainternadereferênciafazcomumaretaexternafixa.

10.03Conhecerarelaçãoentreodeslocamentoangulareasposiçõesangularesinicialefinal.

10.04Conhecer a relaçãoentre a velocidadeangularmédia, o deslocamentoangular e o intervalo de tempoduranteo qualocorreuodeslocamento.

10.05Conhecera relaçãoentreaaceleraçãoangularmédia,avariaçãodevelocidadeeo intervalode tempoduranteoqualocorreuavariaçãodevelocidade.

10.06Saberqueomovimentoanti-horárioéconsideradopositivoeomovimentohorárioéconsideradonegativo.

10.07 Dada a posição angular em função do tempo, calcular a velocidade angular instantânea em um dado instante e avelocidadeangularmédiaemumdadointervalo.

10.08Dada uma curva da posição angular em função do tempo, determinar a velocidade angular instantânea emumdadoinstanteeavelocidadeangularmédiaemumdadointervalo.

10.09Saberqueavelocidadeangularescalaréomódulodavelocidadeescalarinstantânea.

10.10Dadaavelocidadeemfunçãodotempo,determinaraaceleraçãoangularinstantâneaemumdadoinstanteeaaceleraçãoangularmédiaemumdadointervalo.

10.11Dadaumacurvadavelocidadeangularemfunçãodotempo,determinaraaceleraçãoangularinstantâneaemumdadoinstanteeaaceleraçãoangularmédiaemumdadointervalo.

10.12Calcularavariaçãodevelocidadeangulardeumcorpointegrandoafunçãoaceleraçãoangularemrelaçãoaotempo.

10.13Calcularavariaçãodeposiçãoangulardeumcorpointegrandoafunçãovelocidadeangularemrelaçãoaotempo.

Ideias-Chave•Paradescreverarotaçãodeumcorporígidoemtornodeumeixofixo,conhecidocomoeixoderotação,imaginamosumaretadereferência,fixaemrelaçãoaocorpoeperpendicularaoeixoderotação.Medimosaposiçãoangularθdessaretaemrelaçãoaumadireçãofixanoespaço,tambémperpendicularaoeixoderotação.Seoânguloformedidoemradianos,

emqueséocomprimentodeumarcoderaioreânguloθ.

queéiguala−TR.Comoαéconstante,otorquetambéméconstante.Assim,podemosusaraEq.10-54paraescrever

Comoαéconstante,podemosusaraEq.10-13paracalcularθf−θi.Comωi=0,temos:

PodemossubstituiressevalornaEq.10-61esubstituiroresultadonaEq.10-60.ComT=6,0Neα=−24rad/s2,temos:

RevisãoeResumo

PosiçãoAngularParadescreverarotaçãodeumcorporígidoemtornodeumeixofixo,chamadoeixoderotação, supomosqueumaretadereferência está fixanocorpo,perpendicularaoeixoegirandocomocorpo.Medimosaposiçãoangularθdaretaemrelaçãoaumadireçãofixa.Seθformedidoemradianos,

emqueséocomprimentodeumarcodecircunferênciaderaioreânguloθ.Arelaçãoentreumânguloemrevoluções,umânguloemgrauseumânguloemradianoséaseguinte:

DeslocamentoAngularUmcorpoquegiraemtornodeumeixoderotação,mudandodeposiçãoangulardeθ1paraθ2,sofreumdeslocamentoangular

emque∆θépositivopararotaçõesnosentidoanti-horárioenegativopararotaçõesnosentidohorário.

VelocidadeAngular Seumcorpo sofre umdeslocamento angular∆θ emum intervalode tempo∆t, avelocidadeangularmédiadocorpo,ωméd,é

Avelocidadeangular(instantânea)ωdocorpoé

Tantoωméd comoω são vetores, cuja orientação é dada pela regra damão direita da Fig. 10-6. Omódulodavelocidadeangulardocorpoéavelocidadeangularescalar.

AceleraçãoAngularSeavelocidadeangulardeumcorpovariadeω1paraω2emumintervalodetempoΔt=t2−t1,aaceleraçãoangularmédiaαméddocorpoé

Aaceleraçãoangular(instantânea)αdocorpoé

Tantoαmédcomoαsãovetores.

EquaçõesCinemáticas paraAceleraçãoAngularConstante Omovimento com aceleração angularconstante (α = constante) é um caso especial importante de movimento de rotação. As equaçõescinemáticasapropriadas,queaparecemnaTabela10-1,são

RelaçõesentreasVariáveisLineareseAngularesUmpontodeumcorpo rígidoemrotação,aumadistânciaperpendicularrdoeixoderotação,descreveumacircunferênciaderaior.Seocorpogiradeumânguloθ,opontodescreveumarcodecircunferênciadecomprimentosdadopor

emqueθestáemradianos.

Avelocidadelinear dopontoétangenteàcircunferência;avelocidadelinearescalarvdopontoédadapor

emqueωéavelocidadeangularescalardocorpoemradianosporsegundo.

A aceleração linear do ponto tem uma componente tangencial e uma componente radial. Acomponentetangencialé

em que α é o módulo da aceleração angular do corpo em radianos por segundo ao quadrado. Acomponenteradialde é

Nocasodomovimentocircularuniforme,operíodoTdomovimentodopontoedocorpoé

Energia Cinética de Rotação eMomento de Inércia A energia cinéticaK de um corpo rígido emrotaçãoemtornodeumeixofixoédadapor

emqueIéomomentodeinérciadocorpo,definidopor

paraumsistemadepartículasdiscretasepor

paraumcorpocomumadistribuiçãocontínuademassa.Nessasexpressões,rierrepresentamadistânciaperpendicular do eixo de rotação a cada partícula e a cada elemento demassa, respectivamente, e osomatórioea integraçãoseestendema todoocorpo,demodoa incluir todasaspartículase todososelementosdemassa.

TeoremadosEixosParalelosOteoremadoseixosparalelosrelacionaomomentodeinérciaIdeumcorpoemrelaçãoaqualquereixoaomomentodeinérciadomesmocorpoemrelaçãoaumeixoparaleloaoprimeiropassandopelocentrodemassa:

Aqui,h é a distância perpendicular entre os dois eixos, e ICM é omomento de inércia do corpo emrelação ao eixoquepassapelo centrodemassa.Podemosdefinirh comoodeslocamentodo eixoderotaçãoemrelaçãoaoeixoderotaçãoquepassapelocentrodemassa.

TorqueTorqueéumaaçãodegiraroudetorcerumcorpoemtornodeumeixoderotação,produzidaporumaforça .Se éexercidaemumpontodadopelovetorposição emrelaçãoaoeixo,omódulodotorqueé

emqueFtéacomponentede perpendiculara ,eϕéoânguloentre e .Agrandezar⊥éadistânciaperpendicularentreoeixoderotaçãoearetaquecoincidecomovetor .Essaretaéchamadadelinhadeaçãode ,er⊥échamadadebraçodealavancade .Damesmaforma,réobraçodealavancadeFt.

AunidadedetorquedoSIéonewton-metro(N·m).Otorqueτépositivo,setendeafazerumcorpoinicialmente em repouso girar no sentido anti-horário, e negativo, se tende a fazer o corpo girar nosentidohorário.

SegundaLeideNewtonparaRotaçõesAsegundaleideNewtonpararotaçõesé

emqueτreséotorqueresultantequeagesobreapartículaoucorporígido,Iéomomentodeinérciadapartículaoudocorpoemrelaçãoaoeixoderotação,eαéaaceleraçãoangulardomovimentoderotaçãoemtornodoeixo.

TrabalhoeEnergiaCinéticadeRotaçãoAsequaçõesusadaspara calcular trabalhoepotênciaparamovimentosderotaçãosãoanálogasàsusadasparamovimentosdetranslação:

Seτforconstante,aEq.10-53sereduza

Aformadoteoremadotrabalhoeenergiausadaparacorposemrotaçãoéaseguinte:

Perguntas1AFig.10-20éumgráficodavelocidadeangularemfunçãodotempoparaumdiscoquegiracomoumcarrossel.Ordeneosinstantesa,b,ceddeacordocomomódulo(a)daaceleraçãotangenciale(b)daaceleraçãoradialdeumpontonabordadodisco,começandopelomaior.

Figura10-20 Pergunta1.

2AFig.10-21mostragráficosdaposiçãoangularθemfunçãodotempotparatrêscasosnosquaisumdiscogiracomoumcarrossel.Emcadacaso,osentidoderotaçãomudaemumacertaposiçãoangularθm.(a)Paracadacaso,determineseθmcorrespondeaumarotaçãonosentidohorárioouanti-horárioemrelaçãoàposiçãoθ=0,ouseθm=0.Paracadacaso,determine (b) seω ézeroantes,depoisounoinstantet=0e(c)seαépositiva,negativaounula.

Figura10-21 Pergunta2.

3 Uma força é aplicada à borda de um disco que pode girar como um carrossel, fazendo mudar avelocidade angular do disco. As velocidades angulares inicial e final, respectivamente, para quatrosituações,sãoasseguintes:(a)−2rad/s,5rad/s;(b)2rad/s,5rad/s;(c)−2rad/s,−5rad/s;e(d)2rad/s,−5 rad/s. Ordene as situações de acordo com o trabalho realizado pelo torque aplicado pela força,começandopelomaior.

4AFig.10-22béumgráficodaposiçãoangulardodiscodaFig.10-22a.Avelocidadeangulardodiscoépositiva,negativaounulaem(a)t=1s,(b)t=2s,e(c)t=3s?(d)Aaceleraçãoangularépositivaounegativa?

Figura10-22 Pergunta4.

5 Na Fig. 10-23, duas forças, 1 e 2 agem sobre um disco que gira em torno do centro como umcarrossel.Asforçasmantêmosângulosindicadosdurantearotação,queocorrenosentidoanti-horárioecomvelocidadeangularconstante.Precisamosdiminuiroânguloθde 1semmudaromódulode 1.(a)

Paramanteravelocidadeangularconstante,devemosaumentar,diminuiroumanterconstanteomódulode 2?(b)Aforça 1tendeafazerodiscogirarnosentidohorárioounosentidoanti-horário?(c)Eaforça 2?

Figura10-23 Pergunta5.

6NavistasuperiordaFig.10-24,cincoforçasdemesmomóduloagemsobreumestranhocarrossel:umquadrado que pode girar em torno do pontoP, o pontomédio de um dos lados.Ordene as forças deacordocomotorquequeelasproduzememrelaçãoaopontoP,começandopelomaior.

Figura10-24 Pergunta6.

7AFig.10-25aévistasuperiordeumabarrahorizontalquepodegiraremtornodeumeixo;duasforçashorizontaisatuamsobreabarra,queestáparada.Seoânguloentre 2eabarraéreduzidoapartirde90o,F2deveaumentar,diminuiroupermaneceramesmaparaqueabarracontinueparada?

Figura10-25 Perguntas7e8.

8AFig.10-25bmostraavistasuperiordeumabarrahorizontalquegiraemtornodeumeixosobaação

de duas forças horizontais, 1 e 2, com 2 fazendo um ângulo ϕ com a barra. Ordene os seguintesvaloresdeϕdeacordocomomódulodaaceleraçãoangulardabarra,começandopelomaior:90o,70oe110o.

9AFig.10-26mostraumaplacametálicahomogêneaqueeraquadradaantesque25%daáreafossemcortados. Três pontos estão indicados por letras. Ordene-os de acordo com o valor do momento deinérciadaplacaemrelaçãoaumeixoperpendicularàplacapassandoporessespontos,começandopelomaior.

Figura10-26 Pergunta9.

Figura10-27 Pergunta10.

10AFig.10-27mostra trêsdiscosplanos(deraios iguais)quepodemgiraremtornodocentrocomocarrosséis.Cadadiscoécompostodosmesmosdoismateriais,ummaisdensoqueooutro(ouseja,commassamaiorporunidadedevolume).Nosdiscos1e3,omaterialmaisdensoformaametadeexternadaáreadodisco.Nodisco2,eleformaametadeinternadaáreadodisco.Forçasdemesmomódulosãoaplicadas tangencialmente aos discos, na borda ou na interface dos dois materiais, como na figura.Ordeneosdiscosdeacordo(a)comotorqueemrelaçãoaocentrododisco,(b)omomentodeinérciaemrelaçãoaocentroe(c)aaceleraçãoangulardodisco,emordemdecrescente.

11AFig.10-28amostraumaréguadeummetro,metadedemadeiraemetadedeaço,quepodegiraremtornodeumeixoquepassapelopontoO,situadonaextremidadedoladoqueéfeitodemadeira.Umaforça éaplicadaaoladoqueéfeitodeaço,nopontoa.NaFig.10-28b,aposiçãodaréguaéinvertidaepassaagiraremtornodeumeixoquepassapelopontoOʹ,situadonaextremidadedoladoqueéfeitodeaço,enquantoamesmaforça éaplicadaaoladoqueéfeitodemadeira,nopontoaʹ.AaceleraçãoangulardaréguadaFig.10-28aémaior,menorouigualàaceleraçãoangulardaréguadaFig.10-28b?

Figura10-28 Pergunta11.

12AFig.10-29mostratrêsdiscoshomogêneos.OsraiosReasmassasMdosdiscosestãoindicadosnafigura.Osdiscospodemgiraremtornodeumeixocentral(perpendicularaoplanododiscoepassandopelo centro). Ordene os discos de acordo com o momento de inércia em relação ao eixo central,começandopelomaior.

Figura10-29 Pergunta12.

Problemas

.-...Onúmerodepontosindicaograudedificuldadedoproblema.

InformaçõesadicionaisdisponíveisemOCircoVoadordaFísicadeJearlWalker,LTC,RiodeJaneiro,2008.

Módulo10-1AsVariáveisdaRotação

·1Umbomlançadordebeisebolpodearremessarumabolaa85mi/hcomumarotaçãode1800rev/min.Quantasrevoluçõesabolarealizaatéchegaràquartabase?Parasimplificar,suponhaqueatrajetóriade60pésépercorridaemlinhareta.

·2 Qual é a velocidade angular (a) do ponteiro dos segundos, (b) do ponteiro dos minutos e (c) doponteirodashorasdeumrelógioanalógico?Dêasrespostasemradianosporsegundo.

··3 Quandoumatorradacommanteigaédeixadacairdeumamesa,elaadquireummovimentoderotação.Supondoqueadistânciadamesaaochãoé76cmequeatorradanãodescreveumarevoluçãocompleta, determine (a) a menor e (b) a maior velocidade angular para a qual a torrada cai com amanteigaparabaixo.

··4Aposiçãoangulardeumpontodeumarodaédadaporθ=2,0+4,0t2+2,0t3,emqueθ está emradianosetemsegundos.Emt=0,qualé(a)aposiçãoe(b)qualavelocidadeangulardoponto?(c)Qualéavelocidadeangularemt=4,0s?(d)Calculeaaceleraçãoangularem

t=2,0s.(e)Aaceleraçãoangulardarodaéconstante?

··5 Um mergulhador realiza 2,5 giros ao saltar de uma plataforma de 10 metros. Supondo que avelocidadeverticalinicialsejanula,determineavelocidadeangularmédiadomergulhador.

··6Aposiçãoangulardeumpontodabordadeumarodaédadaporθ=4,0t−3,0t2+t3,emqueθestáemradianosetemsegundos.Qualéavelocidadeangularem(a)t=2,0se(b)t=4,0s?(c)Qualéaaceleraçãoangularmédianointervalodetempoquecomeçaemt=2,0seterminaemt=4,0s?Qualéaaceleraçãoangularinstantânea(d)noinícioe(e)nofimdesseintervalo?

···7ArodadaFig.10-30temoitoraiosde30cmigualmenteespaçados,estámontadaemumeixofixoegiraa2,5rev/s.Vocêdesejaatirarumaflechade20cmdecomprimentoparalelamenteaoeixodarodasematingirumdosraios.Suponhaqueaflechaeosraiossãomuitofinos.(a)Qualéamenorvelocidadequea flechadeve ter? (b)Opontoentreoeixoeabordadarodaporondea flechapassafazalgumadiferença?Casoarespostasejaafirmativa,paraquepontovocêdevemirar?

Figura10-30 Problema7.

···8Aaceleraçãoangulardeumarodaéα=6,0t4−4,0t2,comαemradianosporsegundoaoquadradoetemsegundos.Noinstantet=0,arodatemumavelocidadeangularde+2,0rad/seumaposiçãoangularde+1,0rad.Escrevaexpressões(a)paraavelocidadeangular(emrad/s)e(b)paraaposiçãoangular(emrad)emfunçãodotempo(ems).

Módulo10-2RotaçãocomAceleraçãoAngularConstante

·9Umtamborgiraemtornodoeixocentralcomumavelocidadeangularde12,60rad/s.Seotamboréfreadoauma taxaconstantede4,20rad/s2, (a)quanto tempoele levaparaparar? (b)Qualéoângulototaldescritopelotamboratéparar?

·10Partindodorepouso,umdiscogiraemtornodoeixocentralcomumaaceleraçãoangularconstante.Odiscogira25radem5,0s.Duranteessetempo,qualéomódulo(a)daaceleraçãoangulare(b)davelocidadeangularmédia?(c)Qualéavelocidadeangularinstantâneadodiscoaofinaldos5,0s?(d)Comaaceleraçãoangularmantida,queânguloadicionalodiscoirádescrevernos5,0sseguintes?

·11 Um disco, inicialmente girando a 120 rad/s, é freado com uma aceleração angular constante demódulo4,0 rad/s2. (a)Quanto tempoodisco levapara parar? (b)Qual é o ângulo total descrito pelodiscoduranteessetempo?

·12Avelocidadeangulardomotordeumautomóveléaumentadaaumataxaconstantede1200rev/minpara3000rev/minem12s.(a)Qualéaaceleraçãoangularemrevoluçõesporminutoaoquadrado?(b)Quantasrevoluçõesomotorexecutanesseintervalode12s?

··13Umarodaexecuta40revoluçõesquandodesaceleraatépararapartirdeumavelocidadeangularde1,5 rad/s. (a)Supondoque a aceleração angular é constante, determineo tempoque a roda levaparaparar.(b)Qualéaaceleraçãoangulardaroda?(c)Quantotempoénecessárioparaquearodacompleteas20primeirasrevoluções?

··14Umdiscogiraemtornodoeixocentralpartindodorepousocomaceleraçãoangularconstante.Emcertoinstante,estágirandoa10rev/s;após60revoluções,avelocidadeangularé15rev/s.Calcule(a)aaceleraçãoangular,(b)otemponecessárioparaodiscocompletar60revoluções,(c)otemponecessárioparaodiscoatingiravelocidadeangularde10 rev/se (d)onúmerode revoluçõesdodiscodesdeorepousoatéoinstanteemqueatingeumavelocidadeangularde10rev/s.

··15Umarodatemumaaceleraçãoangularconstantede3,0rad/s2.Durantecertointervalode4,0s,eladescreveumângulode120rad.Supondoquearodapartiudorepouso,porquantotempoelajáestavaemmovimentonoiníciodesseintervalode4,0s?

··16Umcarrosselgira apartirdo repousocomumaaceleraçãoangularde1,50 rad/s2.Quanto tempolevaparaexecutar(a)asprimeiras2,00revoluçõese(b)as2,00revoluçõesseguintes?

··17Emt=0,umarodatemumavelocidadeangularde4,7rad/s,umaaceleraçãoangularconstantede−0,25rad/s2,esuaretadereferênciaestáemθ0=0.(a)Qualéoângulomáximoθmáxdescritopelaretade referência no sentido positivo? Qual é (b) o primeiro e (c) o segundo instante em que a reta dereferênciapassapeloânguloθ=θmáx/2?Emque (d) instantenegativoe (e) instantepositivoa retadereferência passa pelo ângulo θ = −10,5 rad? (f) Faça um gráfico de θ em função de t e indique asrespostasdositens(a)a(e)nográfico.

···18Umpulsaréumaestreladenêutronsquegirarapidamenteemtornodesimesmaeemiteumfeixederádio,domesmomodocomoumfarolemiteumfeixeluminoso.RecebemosnaTerraumpulsoderádioparacadarevoluçãodaestrela.OperíodoTderotaçãodeumpulsarédeterminadomedindoointervalodetempoentreospulsos.OpulsardanebulosadoCaranguejotemumperíododerotaçãoT=0,033squeestáaumentandoaumataxade1,26×10−5s/ano.(a)Qualéaaceleraçãoangularαdopulsar?(b)Seαsemantiver constante, daqui a quantos anos o pulsar vai parar de girar? (c) O pulsar foi criado pelaexplosão de uma supernova observada no ano de 1054. Supondo que a aceleração α se manteveconstante,determineoperíodoTlogoapósaexplosão.

Módulo10-3RelaçõesentreasVariáveisLineareseAngulares

·19Qualéomódulo(a)davelocidadeangular,(b)daaceleraçãoradiale(c)daaceleraçãotangencialdeumanaveespacialquefazumacurvacircularcom3220kmderaioaumavelocidadede29.000km/h?

·20Umobjetogiraemtornodeumeixofixo,eaposiçãoangulardeumaretadereferênciadoobjetoédadaporθ=0,40e2t,emqueθestáemradianosetemsegundos.Considereumpontodoobjetosituadoa

4,0cmdoeixoderotação.Emt=0,qualéomódulo(a)dacomponentetangenciale(b)dacomponenteradialdaaceleraçãodoponto?

·21 Entre1911e1990,oaltodatorreinclinadadePisa,Itália,sedeslocouparaosulaumataxamédiade1,2mm/ano.Atorretem55mdealtura.Qualéavelocidadeangularmédiadoaltodatorreemrelaçãoàbaseemradianosporsegundo?

·22Umastronauta está sendo testado emuma centrífuga com10mde raio quegira de acordo comaequaçãoθ=0,30t2,emquetestáemsegundoseθemradianos.Noinstantet=5,0s,qualéomódulo(a)davelocidadeangular,(b)davelocidadelinear,(c)daaceleraçãotangenciale(d)daaceleraçãoradialdoastronauta?

·23Uma roda com1,20mdediâmetro estágirandocomumavelocidade angularde200 rev/min. (a)Qualéavelocidadeangulardarodaemrad/s?(b)Qualéavelocidadelineardeumpontonabordadaroda? (c) Que aceleração angular constante (em revoluções por minuto ao quadrado) aumenta avelocidadeangulardarodapara1000rev/minem60,0s?(d)Quantasrevoluçõesarodaexecutanesseintervalode60,0s?

·24Umdiscodevinilfuncionagirandoemtornodeumeixo,demodoqueumsulco,aproximadamentecircular, desliza sob uma agulha que fica na extremidade de um braçomecânico. Saliências do sulcopassampelaagulhaeafazemoscilar.Oequipamentoconverteessasoscilaçõesemsinaiselétricos,quesãoamplificadosetransformadosemsons.Suponhaqueumdiscodevinilgiraa331/3rev/min,queosulcoqueestásendotocadoestáaumadistânciade10,0cmdocentrododiscoequeadistânciamédiaentre as saliências do sulco é 1,75mm.A que taxa (em toques por segundo) as saliências atingem aagulha?

··25 (a)QualéavelocidadeangularωemtornodoeixopolardeumpontodasuperfíciedaTerranalatitude40ºN?(ATerragiraemtornodesseeixo.)(b)Qualéavelocidadelinearvdesseponto?Qualéovalor(c)deωe(d)devparaumpontodoequador?

··26 O volante de umamáquina a vapor gira com uma velocidade angular constante de 150 rev/min.Quandoamáquinaédesligada,oatritodosmancaisearesistênciadoarparamarodaem2,2h.(a)Qualé a aceleração angular constante da roda, em revoluções por minuto ao quadrado, durante adesaceleração?(b)Quantasrevoluçõesarodaexecutaantesdeparar?(c)Noinstanteemquearodaestágirandoa75rev/min,qualéacomponentetangencialdaaceleraçãolineardeumapartículadarodaqueestáa50cmdoeixoderotação?(d)Qualéomódulodaaceleraçãolineartotaldapartículadoitem(c)?

··27Opratodeum toca-discosestágirandoa331/3 rev/min.Umasementedemelanciaestásobreopratoa6,0cmdedistânciadoeixoderotação.(a)Calculeaaceleraçãodasemente,supondoqueelanãoescorrega.(b)Qualéovalormínimodocoeficientedeatritoestáticoentreasementeeopratoparaqueasementenãoescorregue?(c)Suponhaqueopratoatingeavelocidadeangularfinalem0,25s,partindodorepousocomaceleraçãoconstante.Calculeomenorcoeficientedeatritoestáticonecessárioparaqueasementenãoescorregueduranteoperíododeaceleração.

··28NaFig.10-31,umarodaAderaiorA=10cmestáacopladaporumacorreiaBaumarodaCderaiorC=25cm.AvelocidadeangulardarodaAéaumentadaapartirdorepousoaumataxaconstantede1,6rad/s2.DetermineotemponecessárioparaquearodaCatinjaumavelocidadeangularde100rev/min,supondoqueacorreianãodesliza.(Sugestão:Seacorreianãodesliza,asbordasdosdoisdiscostêmamesmavelocidadelinear.)

Figura10-31 Problema28.

··29Ummétodotradicionalparamediravelocidadedaluzutilizaumarodadentadagiratória.Umfeixedeluzpassapeloespaçoentredoisdentessituadosnabordadaroda,comonaFig.10-32,viajaatéumespelhodistanteechegadevoltaàrodaexatamenteatempodepassarpeloespaçoseguinteentredoisdentes.Umadessasrodastem5,0cmderaioe500espaçosentredentes.MedidasrealizadasquandooespelhoestáaumadistânciaL=500mdarodafornecemovalorde3,0×105km/sparaavelocidadedaluz.(a)Qualéavelocidadeangular(constante)daroda?(b)Qualéavelocidadelineardeumpontodabordadaroda?

Figura10-32 Problema29.

··30Umarodadeumgiroscópiocom2,83cmderaioéaceleradaapartirdorepousoa14,2rad/s2até

atingirumavelocidadeangularde2760rev/min.(a)Qualéaaceleraçãotangencialdeumpontodabordadarodaduranteoprocessodeaceleraçãoangular?(b)Qualéaaceleraçãoradialdopontoquandoarodaestá girando à velocidademáxima? (c)Qual é a distância percorrida por umponto da borda da rodaduranteoprocessodeaceleraçãoangular?

··31Umdiscocom0,25mderaiodevegirardeumângulode800rad,partindodorepouso,ganhandovelocidadeangularaumataxaconstanteα1nosprimeiros400rade,emseguida,perdendovelocidadeangularaumataxaconstante–α1atéficarnovamenteemrepouso.Omódulodaaceleraçãocentrípetadequalquer parte do disco não deve exceder 400 m/s2. (a) Qual é o menor tempo necessário para omovimento?(b)Qualéovalorcorrespondentedeα1?

··32 Um carro parte do repouso e passa a se mover em uma pista circular com 30,0 m de raio. Avelocidadedo carro aumenta a uma taxa constante de0,500m/s2. (a)Qual é omódulo da aceleraçãolinearmédiadocarroapós15,0s?(b)Queânguloovetoraceleraçãomédiafazcomovetorvelocidadenesseinstante?

Módulo10-4EnergiaCinéticadeRotação

·33Calculeomomentodeinérciadeumarodaquepossuiumaenergiacinéticade24.400Jquandogiraa602rev/min.

·34AFig.10-33mostraavelocidadeangularemfunçãodotempoparaumabarrafinaquegiraemtornodeumadas extremidades.A escala do eixoω é definidaporωs = 6,0 rad/s. (a)Qual é omódulo daaceleração angular da barra? (b)Em t = 4,0 s, a barra tem uma energia cinética de 1,60 J.Qual é aenergiacinéticadabarraemt=0?

Figura10-33 Problema34.

Módulo10-5CálculodoMomentodeInércia

·35Doiscilindroshomogêneos,girandoemtornodosrespectivoseixoscentrais(longitudinais)comumavelocidade angular de 235 rad/s, têm amesmamassa de 1,25 kg e raios diferentes.Qual é a energiacinéticaderotação(a)docilindromenor,deraio0,25m,e(b)docilindromaior,deraio0,75m?

·36AFig.10-34amostraumdiscoquepodegiraremtornodeumeixoperpendicularàsuafaceauma

distânciahdocentrododisco.AFig.10-34bmostraomomentodeinérciaIdodiscoemrelaçãoaoeixoemfunçãodadistânciah,docentroatéabordadodisco.AescaladoeixoIédefinidaporIA=0,050kg·m2eIB=0,150kg·m2.Qualéamassadodisco?

Figura10-34 Problema36.

·37Calculeomomentodeinérciadeumaréguadeummetro,commassade0,56kg,emrelaçãoaumeixoperpendicularàréguanamarcade20cm.(Tratearéguacomoumabarrafina.)

·38AFig.10-35mostratrêspartículasde0,0100kgqueforamcoladasemumabarradecomprimentoL=6,00cmemassadesprezível.OconjuntopodegiraremtornodeumeixoperpendicularquepassapelopontoO,situadonaextremidadeesquerda.Seremovemosumadaspartículas(ouseja,33%damassa),de que porcentagem o momento de inércia do conjunto em relação ao eixo de rotação diminui se apartícularemovidaé(a)amaispróximadopontoOe(b)amaisdistantedopontoO?

Figura10-35 Problemas38e62.

··39Algunscaminhõesutilizamaenergiaarmazenadaemumvolantequeummotorelétricoaceleraatéumavelocidadede200πrad/s.Suponhaqueumdessesvolanteséumcilindrohomogêneocommassade500 kg e raio de 1,0 m. (a) Qual é a energia cinética do volante quando está girando à velocidademáxima? (b)Seocaminhãodesenvolveumapotênciamédiade8,0kW,porquantosminutoselepodeoperarsemqueovolantesejanovamenteacelerado?

··40 A Fig. 10-36 mostra um arranjo de 15 discos iguais colados para formarem uma barra decomprimentoL = 1,0000m emassa totalM = 100,0mg.O arranjo pode girar em torno de um eixoperpendicularquepassapelodiscocentralnopontoO.(a)Qualéomomentodeinérciadoconjuntoemrelaçãoaesseeixo? (b)Seconsiderarmosoarranjocomoumabarraaproximadamentehomogêneade

massaMecomprimentoL,queerropercentualestaremoscometendoseusarmosafórmuladaTabela10-2eparacalcularomomentodeinércia?

Figura10-36 Problema40.

··41NaFig.10-37,duaspartículas,ambasdemassam=0,85kg,estãoligadasumaàoutra,eaumeixoderotaçãonopontoO,porduasbarrasfinas,ambasdecomprimentod=5,6cmemassaM=1,2kg.Oconjunto gira em torno do eixo de rotação com velocidade angularω = 0,30 rad/s. Determine (a) omomentodeinérciadoconjuntoemrelaçãoaopontoOe(b)aenergiacinéticadoconjunto.

Figura10-37 Problema41.

··42Asmassasecoordenadasdequatropartículassãoasseguintes:50g,x=2,0cm,y=2,0cm;25g,x=0,y=4,0cm;25g,x=−3,0cm,y=−3,0cm;30g,x=−2,0cm,y=4,0cm.Qualéomomentodeinérciadoconjuntoemrelação(a)aoeixox,(b)aoeixoye(c)aoeixoz?(d)Suponhaqueasrespostasde(a)e(b)sejamAeB,respectivamente.Nessecaso,qualéarespostade(c)emtermosdeAeB?

··43OblocohomogêneodaFig.10-38temmassa0,172kgeladosa=3,5cm,b=8,4cmec=1,4cm.Calculeomomentodeinérciadoblocoemrelaçãoaumeixoquepassaporumcantoeéperpendicularàsfacesmaiores.

··44Quatropartículasiguais,demassa0,50kgcadauma,sãocolocadasnosvérticesdeumquadradode2,0m×2,0memantidasnessaposiçãoporquatrobarras,demassadesprezível,queformamosladosdoquadrado.Determine omomento de inércia desse corpo rígido em relação a um eixo (a) que está noplanodoquadradoepassapelospontosmédiosdedoisladosopostos,(b)quepassapelopontomédiodeumdosladoseéperpendicularaoplanodoquadradoe(c)queestánoplanodoquadradoepassaporduaspartículasdiagonalmenteopostas.

Figura10-38 Problema43.

Módulo10-6Torque

·45OcorpodaFig.10-39podegiraremtornodeumeixoperpendicularaopapelpassandoporOeestásubmetidoaduasforças,comomostraafigura.Ser1=1,30m,r2=2,15m,F1=4,20N,F2=4,90N,θ1=75,0ºeθ2=60,0º,qualéotorqueresultanteemrelaçãoaoeixo?

Figura10-39 Problema45.

·46OcorpodaFig.10-40podegiraremtornodeumeixoquepassaporOeéperpendicularaopapeleestásubmetidoatrêsforças:FA=10NnopontoA,a8,0mdeO;FB=16NemB,a4,0mdeO;eFC=19NemC,a3,0mdeO.QualéotorqueresultanteemrelaçãoaO?

Figura10-40 Problema46.

·47Umapequenabola,demassa0,75kg,estápresaaumadasextremidadesdeumabarra,de1,25mdecomprimentoemassadesprezível.Aoutraextremidadedabarraestápenduradaemumeixo.Qualéomódulodotorqueexercidopelaforçagravitacionalemrelaçãoaoeixoquandoopênduloassimformadofazumângulode30ºcomavertical?

·48Ocomprimentodobraçodopedaldeumabicicletaé0,152m,eumaforçade111Néaplicadaaopedalpelociclista.Qualéomódulodotorqueemrelaçãoaoeixodobraçodopedalquandoobraçofazumângulode(a)30º,(b)90ºe(c)180ºcomavertical?

Módulo10-7ASegundaLeideNewtonparaRotações

·49Noiníciodeumsaltodetrampolim,avelocidadeangulardeumamergulhadoraemrelaçãoaumeixoquepassapelo seucentrodemassavariade zeroa6,20 rad/s em220ms.Omomentode inércia emrelaçãoaomesmoeixoé12,0kg·m2.Qualéomódulo(a)daaceleraçãoangularmédiadamergulhadorae(b)dotorqueexternomédioexercidopelotrampolimsobreamergulhadoranoiníciodosalto?

·50Seumtorquede32,0N·mexercidosobreumarodaproduzumaaceleraçãoangularde25,0rad/s2,qualéomomentodeinérciadaroda?

··51NaFig.10-41,obloco1temmassam1=460g,obloco2temmassam2=500g,eapolia,queestámontada em um eixo horizontal com atrito desprezível, tem raio R = 5,00 cm. Quando o sistema éliberadoapartirdorepouso,obloco2cai75,0cmem5,00ssemqueacordadeslizenabordadapolia.(a)Qualéomódulodaaceleraçãodosblocos?Qualéovalor(b)datraçãoT2e(c)datraçãoT1?(d)Qualéomódulodaaceleraçãoangulardapolia?(e)Qualéomomentodeinérciadapolia?

Figura10-41 Problemas51e83.

··52NaFig.10-42,umcilindrocommassade2,0kgpodegiraremtornodoeixocentral,quepassapelopontoO.Asforçasmostradastêmosseguintesmódulos:F1=6,0N,F2=4,0N,F3=2,0NeF4=5,0N.As distâncias radiais são r = 5,0 cm e R = 12 cm. Determine (a) o módulo e (b) a orientação daaceleraçãoangulardocilindro.(Durantearotação,asforçasmantêmosmesmosângulosemrelaçãoaocilindro.)

Figura10-42 Problema52.

··53AFig.10-43mostraumdiscohomogêneoquepodegiraremtornodocentrocomoumcarrossel.Odiscotemumraiode2,00cmeumamassade20,0gramaseestáinicialmenteemrepouso.Apartirdoinstante t = 0, duas forças devem ser aplicadas tangencialmente à borda do disco, comomostrado nafigura,paraque,noinstante t=1,25s,odisco tenhaumavelocidadeangularde250rad/s,nosentidoanti-horário.Aforça 1temummódulode0,100N.Qualéomódulode 2?

Figura10-43 Problema53.

··54 Emumarasteiradojudô,vocêtiraoapoiodopéesquerdodoadversárioe,aomesmotempo,puxaoquimonodeleparaomesmolado.Emconsequência,olutadorgiraemtornodopédireitoecainotatame.AFig.10-44mostraumdiagramasimplificadodolutador,jácomopéesquerdoforadochão.OeixoderotaçãopassapelopontoO.Aforçagravitacional gagesobreocentrodemassadolutador,queestáaumadistânciahorizontald=28cmdopontoO.Amassadolutadoréde70kg,eomomentodeinérciaemrelaçãoaopontoOé65kg·m2.QualéomódulodaaceleraçãoangularinicialdolutadoremrelaçãoaopontoOseopuxão aquevocêaplicaaoquimono(a)édesprezívele(b)éhorizontal,comummódulode300Neaplicadoaumaalturah=1,4m?

Figura10-44 Problema54.

··55NaFig.10-45a,umaplacadeplásticodeformairregular,deespessuraemassaespecífica(massaporunidadedevolume)uniformes,giraemtornodeumeixoperpendicularàfacedaplacapassandopelopontoO.Omomentodeinérciadaplacaemtornodesseeixoémedidoutilizandooseguintemétodo:Umdiscocircular,demassa0,500kgeraio2,00cm,écoladonaplaca,comocentrocoincidindocomO(Fig.10-45b).Umbarbante é enrolado na borda do disco, como se o disco fosse um pião, e puxadodurante5,00s.Emconsequência,odiscoeaplacasãosubmetidosaumaforçaconstantede0,400N,aplicadapelobarbante tangencialmenteàbordadodisco.Avelocidadeangular resultanteé114rad/s.Qualéomomentodeinérciadaplacaemrelaçãoaoeixo?

Figura10-45 Problema55.

··56AFig.10-46mostraaspartículas1e2,ambasdemassam,presasàsextremidadesdeumabarra

rígida,demassadesprezívelecomprimentoL1+L2,comL1=20cmeL2=80cm.Abarraémantidahorizontalmentenofulcroatéserliberada.Qualéomódulodaaceleraçãoinicial(a)dapartícula1e(b)dapartícula2?

Figura10-46 Problema56.

···57Umapolia,comummomentodeinérciade1,0×10−3kg·m2emrelaçãoaoeixoeumraiode10cm,ésubmetidaaumaforçaaplicadatangencialmenteàborda.OmódulodaforçavarianotempodeacordocomaequaçãoF=0,50t + 0,30t2, comF emnewtons e t em segundos.Apolia está inicialmente emrepouso.(a)Qualéaaceleraçãoangulare(b)qualéavelocidadeangulardapolianoinstantet=3,0s?

Módulo10-8TrabalhoeEnergiaCinéticadeRotação

·58(a)SeR=12cm,M=400gem=50gnaFig.10-19,determineavelocidadedoblocoapós terdescido 50 cm a partir do repouso.Resolva o problema usando a lei de conservação da energia. (b)Repitaoitem(a)paraR=5,0cm.

·59Ovirabrequimdeumautomóveltransfereenergiadomotorparaoeixoaumataxade100hp(=74,6kW)quandogiraa1800rev/min.Qualéotorque(emnewtons-metros)exercidopelovirabrequim?

·60 Uma barra fina, de 0,75 m de comprimento e 0,42 kg de massa, está suspensa por uma dasextremidades.Abarra é puxadaparao lado e liberadapara oscilar comoumpêndulo, passandopelaposiçãomaisbaixacomumavelocidadeangularde4,0rad/s.Desprezandooatritoearesistênciadoar,determine (a) a energia cinética da barra na posiçãomais baixa e (b) a altura que o centro demassaatingeacimadessaposição.

·61Umarodade32,0kg,quepodeserconsideradaumarofinocom1,20mderaio,estágirandoa280rev/min.Arodaprecisaserparadaem15,0s.(a)Qualéotrabalhonecessárioparafazê-laparar?(b)Qualéapotênciamédianecessária?

··62NaFig.10-35,trêspartículasde0,0100kgforamcoladasemumabarra,decomprimentoL=6,00cmemassadesprezível,quepodegiraremtornodeumeixoperpendicularquepassapelopontoOemumadasextremidades.Determineotrabalhonecessárioparamudaravelocidadeangular(a)de0para20,0rad/s,(b)de20,0rad/spara40,0rad/se(c)de40,0rad/spara60,0rad/s.(d)Qualéainclinaçãodacurvadaenergiacinéticadoconjunto(emjoules)emfunçãodoquadradodavelocidadeangular(emradianosquadradosporsegundoaoquadrado)?

··63 Uma régua de ummetro é mantida verticalmente com uma das extremidades apoiada no solo edepoisliberada.Determineavelocidadedaoutraextremidadepoucoantesdetocarosolo,supondoquea extremidade de apoio não escorrega. (Sugestão: Considere a régua uma barra fina e use a lei deconservaçãodaenergia.)

··64Umcilindrohomogêneocom10cmderaioe20kgdemassaestámontadodemodoapodergirarlivrementeemtornodeumeixohorizontalparaleloaoeixocentral longitudinaldocilindroesituadoa5,0cmdoeixo.(a)Qualéomomentode inérciadocilindroemrelaçãoaoeixoderotação?(b)Seocilindroé liberadoapartirdorepousocomoeixocentral longitudinalnamesmaalturaqueoeixoemtornodoqualpodegirar,qualéavelocidadeangulardocilindroaopassarpelopontomaisbaixodatrajetória?

···65 Umachaminécilíndricacaiquandoabasesofreumabalo.Trateachaminécomoumabarrafina,com55,0mdecomprimento.Noinstanteemqueachaminéfazumângulode35,0ºcomaverticaldurante aqueda, (a)qual é a aceleração radialdo topoe (b)qual é a aceleração tangencialdo topo?(Sugestão:Useconsideraçõesdeenergiaenãodetorque.)(c)Paraqueânguloθaaceleraçãotangencialéigualag?

···66Umacascaesféricahomogênea,demassaM=4,5kgeraioR=8,5cm,podegiraremtornodeumeixo vertical sem atrito (Fig. 10-47).Uma corda, demassa desprezível, está enrolada no equador dacasca,passaporumapoliademomentodeinérciaI=3,0×10−3kg·m2eraior=5,0cmeestápresaaumpequenoobjetodemassam=0,60kg.Nãoháatritonoeixodapolia, eacordanãoescorreganacascanemnapolia.Qualéavelocidadedoobjetodepoisdecair82cmapóstersidoliberadoapartirdorepouso?Useconsideraçõesdeenergia.

Figura10-47 Problema66.

···67AFig.10-48mostraumcorporígidoformadoporumarofino(demassameraioR=0,150m)eumabarrafinaradial(demassamecomprimentoL=2,00R).Oconjuntoestánavertical,mas,serecebeumpequenoempurrão,começaagiraremtornodeumeixohorizontalnoplanodoaroedabarra,quepassa pela extremidade inferior da barra. Desprezando a energia fornecida ao sistema pelo pequenoempurrão, qual é a velocidade angular do conjunto ao passar pela posição invertida (de cabeça parabaixo)?

Figura10-48 Problema

ProblemasAdicionais

68Duasesferashomogêneas,maciças,têmamesmamassade1,65kg,masoraiodeumaé0,226meodaoutraé0,854m.Ambaspodemgiraremtornodeumeixoquepassapelocentro.(a)Qualéomóduloτdotorquenecessáriopara levaraesferamenordorepousoaumavelocidadeangularde317rad/sem15,5s?(b)QualéomóduloFdaforçaquedeveseraplicadatangencialmenteaoequadordaesferaparaproduziressetorque?Qualéovalorcorrespondentede(c)τe(d)Fparaaesferamaior?

69NaFig.10-49,umpequenodisco,deraior=2,00cm,foicoladonabordadeumdiscomaior,deraioR=4,00cm,comosdiscosnomesmoplano.OsdiscospodemgiraremtornodeumeixoperpendicularquepassapelopontoO,situadonocentrododiscomaior.Osdiscostêmumamassaespecífica(massaporunidadedevolume)uniformede1,40×103kg/m3eumaespessura, tambémuniforme,de5,00mm.QualéomomentodeinérciadoconjuntodosdoisdiscosemrelaçãoaoeixoderotaçãoquepassaporO?

Figura10-49 Problema69.

70 Uma roda partiu do repouso com uma aceleração angular constante de 2,00 rad/s2. Durante certointervalode3,00s,arodadescreveumângulode90,0rad.(a)Qualeraavelocidadeangulardarodanoiníciodointervalode3,00s?(b)Porquantotempoarodagirouantesdoiníciodointervalode3,00s?

71NaFig.10-50,doisblocosde6,20kgestãoligadosporumacorda,demassadesprezível,quepassaporumapoliade2,40cmde raioemomentode inércia7,40×10−4kg·m2.Acordanão escorreganapolia;nãosesabeseexisteatritoentreamesaeoblocoqueescorrega;nãoháatritonoeixodapolia.Quandoosistemaéliberadoapartirdorepouso,apoliagirade0,130radem91,0mseaaceleraçãodosblocoséconstante.Determine(a)omódulodaaceleraçãoangulardapolia,(b)omódulodaaceleraçãodecadabloco,(c)atraçãoT1dacordae(d)atraçãoT2dacorda.

Figura10-50 Problema71.

72Nasduas extremidadesdeuma finabarrade aço com1,20mde comprimento e6,40kgdemassaexistempequenasbolas,demassa1,06kg.Abarrapodegiraremumplanohorizontalemtornodeumeixoverticalquepassapelopontomédiodabarra.Emcertoinstante,abarraestágirandoa39,0rev/s.Devidoaoatrito,abarradesaceleraatéparar,32,0sdepois.Supondoqueotorqueproduzidopeloatritoéconstante,calcule(a)aaceleraçãoangular,(b)otorqueproduzidopeloatrito,(c)aenergiatransferidadeenergiamecânicaparaenergiatérmicapeloatritoe(d)onúmeroderevoluçõesexecutadaspelabarranesses32,0s.(e)Suponhaqueotorqueproduzidopeloatritonãoéconstante.Sealgumadasgrandezascalculadas nos itens (a), (b), (c) e (d) ainda puder ser calculada sem nenhuma informação adicional,forneçaoseuvalor.

73Umapádorotordeumhelicópteroéhomogênea,tem7,80mdecomprimento,umamassade110kgeestápresaaoeixodorotorporumúnicoparafuso.(a)Qualéomódulodaforçaexercidapeloeixosobreo parafuso quando o rotor está girando a 320 rev/min? (Sugestão: Para este cálculo, a pá pode serconsideradaumamassapontuallocalizadanocentrodemassa.Porquê?)(b)Calculeomódulodotorquequedeveseraplicadoaorotorparaqueatinjaavelocidadeangulardoitemanterior,apartirdorepouso,em6,70s.Ignorearesistênciadoar.(Alâminanãopodeserconsideradaumamassapontualparaestecálculo.Porquê?Suponhaqueadistribuiçãodemassaéadeumabarrafinahomogênea.)(c)Qualéotrabalhorealizadopelotorquesobreapáparaqueestaatinjaavelocidadeangularde320rev/min?

74Corridadediscos.AFig.10-51mostradoisdiscosquepodemgirarem tornodocentrocomoumcarrossel.Noinstantet=0,asretasdereferênciadosdoisdiscostêmamesmaorientação;odiscoAjáestágirandocomumavelocidadeangularconstantede9,5rad/s,eodiscoBpartedorepousocomumaaceleraçãoangularconstantede2,2rad/s2.(a)Emqueinstantetasduasretasdereferênciatêmomesmodeslocamentoangularθ?(b)Esseéoprimeiroinstantet,desdet=0,noqualasduasretasdereferênciaestãoalinhadas?

Figura10-51 Problema74.

75 Umequilibristasempreprocuramanterseucentrodemassaverticalmenteacimadoarame(oucorda). Para isso, ele carrega muitas vezes uma vara comprida. Quando se inclina, digamos, para adireita (deslocandoocentrodemassaparaadireita) e correo riscodegirar em tornodoarame, elemovimenta a vara para a esquerda, o que desloca o centro de massa para a esquerda e diminui avelocidade de rotação, proporcionando-lhe mais tempo para recuperar o equilíbrio. Suponha que oequilibrista temmassade70,0kgemomentode inérciade15,0kg·m2emrelaçãoaoarame.Qualéomódulodaaceleraçãoangularemrelaçãoaoarameseocentrodemassadoequilibristaestá5,0cmàdireitadoarame,e (a)oequilibristanãocarregaumavara,e (b)avarade14,0kgqueelecarregaémovimentadadetalformaqueocentrodemassadoequilibristafica10cmàesquerdadoarame?

76Umarodacomeçaagirarapartirdorepousoemt=0comaceleraçãoangularconstante.Noinstantet=2,0s,avelocidadeangulardarodaé5,0rad/s.Aaceleraçãocessaabruptamentenoinstantet=20s.Dequeângulogiraarodanointervalodet=0at=40s?

77Umpratode toca-discos,queestágirandoa331/3rev/min,diminuigradualmentedevelocidadeepara, 30 s depois que o motor é desligado. (a) Determine a aceleração angular do prato (supostaconstante)emrevoluçõesporminutoaoquadrado.(b)Quantasrevoluçõesopratoexecutaatéparar?

78Umcorporígidoéformadoportrêsbarrasfinasiguais,decomprimentoL=0,600m,unidasnaformadaletraH(Fig.10-52).OcorpopodegirarlivrementeemtornodeumeixohorizontalquecoincidecomumadaspernasdoH.OcorpoéliberadoapartirdorepousoemumaposiçãonaqualoplanodoHestánahorizontal.QualéavelocidadeangulardocorpoquandooplanodoHestánavertical?

Figura10-52 Problema78.

79(a)MostrequeomomentodeinérciadeumcilindromaciçodemassaMeraioRemrelaçãoaoeixocentraléigualaomomentodeinérciadeumarofinodemassaMeraioR/ emrelaçãoaoeixocentral.(b)MostrequeomomentodeinérciaIdeumcorpoqualquerdemassaMemrelaçãoaqualquereixoéigualaomomentodeinérciadeumaroequivalenteemtornodomesmoeixocomamesmamassaMeumraiokdadopor

Oraiokdoaroequivalenteéchamadoderaiodegiraçãodocorpo.

80Umdisco gira, com aceleração angular constante, da posição angularθ1 = 10,0 rad até a posiçãoangularθ2 =70,0 rad em6,00 s.Avelocidade angular emθ2 é 15,0 rad/s. (a)Qual era a velocidadeangularemθ1?(b)Qualéaaceleraçãoangular?(c)Emqueposiçãoangularodiscoestavainicialmenteemrepouso?(d)Ploteθemfunçãodeteavelocidadeangularωdodiscoemfunçãode t,apartirdoiníciodomovimento(t=0).

81AbarrafinaehomogêneadaFig.10-53tem2,0mdecomprimentoepodegirar,sematrito,emtornodeumpinohorizontalquepassaporumadasextremidades.Abarraéliberadaapartirdorepousoedeumânguloθ=40ºacimadahorizontal.Usealeideconservaçãodaenergiaparadeterminaravelocidadeangulardabarraaopassarpelaposiçãohorizontal.

Figura10-53 Problema81.

82 GeorgeWashington Gale Ferris, Jr., um engenheiro civil formado pelo Instituto PolitécnicoRensselaer, construiu a primeira roda-gigante para a Exposição Mundial Colombiana de 1893, emChicago. A roda, uma impressionante obra da engenharia para a época, movimentava 36 cabinas demadeira,cadaumacomcapacidadepara60passageiros,aolongodeumacircunferênciacom76mdediâmetro.Ascabinaseramcarregadas6decadavez;quandoas36cabinasestavamocupadas,a rodaexecutava uma revolução completa, com velocidade angular constante, em cerca de 2 min. Estime otrabalhoqueamáquinaprecisavarealizarapenasparamoverospassageiros.

83NaFig.10-41,doisblocos, demassasm1=400g em2=600g, estão ligadosporumacorda, demassadesprezível,queestáenroladanabordadeumdiscohomogêneo,demassaM=500geraioR=12,0cm.Odiscopodegirarsematritoemtornodeumeixohorizontalquepassapelocentro;acordanãodesliza na borda do disco. O sistema é liberado a partir do repouso. Determine (a) o módulo daaceleraçãodosblocos,(b)atraçãoT1dacordadaesquerdae(c)atraçãoT2dacordadadireita.

84 Às 7h14min de 30 de junho de 1908, uma enorme explosão aconteceu na atmosfera sobre aSibériaCentral,nalatitude61ºNelongitude102ºE;aboladefogocriadapelaexplosãofoioobjetomaisbrilhantevistonaTerraantesdasarmasnucleares.OchamadoEventodeTunguska,que,deacordocomumatestemunha,“cobriuumaparteenormedocéu”,foiprovavelmenteaexplosãodeumasteroiderochosodeaproximadamente140mdediâmetro.(a)ConsiderandoapenasarotaçãodaTerra,determinequantotempodepoisoasteroideteriaquechegaràTerraparaexplodiracimadeHelsinki,nalongitude25ºE,oquedestruiriatotalmenteacidade.(b)Seoasteroidefosseumasteroidemetálico,poderiaterchegado à superfície da Terra.Quanto tempo depois o asteroide teria que chegar à Terra para que o

choque ocorresse no OceanoAtlântico, na longitude 20ºW? (O tsunami resultante destruiria cidadescosteirasdosdoisladosdoAtlântico.)

85Umaboladegolfeélançadacomumângulode20ºemrelaçãoàhorizontal,umavelocidadede60m/se uma velocidade angular de 90 rad/s. Desprezando a resistência do ar, determine o número derevoluçõesqueabolaexecutaatéoinstanteemqueatingeaalturamáxima.

86AFig.10-54mostraumobjetoplanoformadopordoisanéiscircularesquetêmumcentrocomumesãomantidos fixospor trêsbarras,demassadesprezível.Oobjeto,queestá inicialmenteemrepouso,pode girar (como um carrossel) em torno do centro comum, onde se encontra outra barra, de massadesprezível.Asmassas,osraiosinternoseosraiosexternosdosanéisaparecemnatabelaaseguir.Umaforça tangencial demódulo 12,0N é aplicada à borda externa do anel externo por 0,300 s.Qual é avariaçãonavelocidadeangulardoobjetonesseintervalodetempo?

Figura10-54 Problema86.

Anel Massa(kg) RaioInterno(m) RaioExterno(m)

1 0,120 0,0160 0,0450

2 0,240 0,0900 0,1400

87NaFig.10-55,umarodacom0,20mderaioémontadaemumeixohorizontalsematrito.Umacorda,demassadesprezível,éenroladanarodaepresaaumacaixade2,0kgqueescorregaemumasuperfíciesematritocomumainclinaçãoθ=20ºemrelaçãoàhorizontal.Acaixaescorregaparabaixocomumaaceleraçãode2,0m/s2.Qualéomomentodeinérciadarodaemrelaçãoaoeixo?

Figura10-55 Problema87.

88 Uma casca esférica, fina, tem um raio de 1,90m.Um torque aplicado de 960N ·m produz umaaceleraçãoangularde6,20 rad/s2 em relaçãoaumeixoquepassapelo centroda casca. (a)Qual éomomentodeinérciadacascaemrelaçãoaesseeixoe(b)qualéamassadacasca?

89Umciclistade70kgapoiatodaasuamassaemcadamovimentoparabaixodopedalenquantopedalaem uma estrada íngreme. Supondo que o diâmetro da circunferência descrita pelo pedal é 0,40 m,determineomódulodotorquemáximoexercidopelociclistaemrelaçãoaoeixoderotaçãodospedais.

90Ovolantedeummotorestágirandoa25,0rad/s.Quandoomotorédesligado,ovolantedesaceleraaumataxaconstanteepara,em20,0s.Calcule(a)aaceleraçãoangulardovolante,(b)oângulodescritopelovolanteatéparare(c)onúmeroderevoluçõesdovolanteatéparar.

91NaFig. 10-19a, uma roda com 0,20m de raio estámontada em um eixo horizontal sem atrito.Omomento de inércia da roda em relação ao eixo é 0,40 kg · m2. Uma corda, de massa desprezível,enroladanabordadaroda,estápresaaumacaixade6,0kg.Osistemaéliberadoapartirdorepouso.Quandoacaixatemumaenergiacinéticade6,0J,qualé(a)aenergiacinéticaderotaçãodarodae(b)qualadistânciapercorridapelacaixa?

92OSolestáa2,3×104anos-luzdocentrodaViaLácteaedescreveumacircunferênciaemtornodocentroaumavelocidadede250km/s.(a)QuantotempolevaoSolparaexecutarumarevoluçãoemtornodocentrodagaláxia?(b)QuantasrevoluçõesoSolcompletoudesdequeseformou,hácercade4,5×109

anos?

93Umarodacom0,20mderaioestámontadaemumeixohorizontalsematrito.Omomentodeinérciadarodaemrelaçãoaoeixoé0,050kg·m2.Umacorda,demassadesprezível,estáenroladanarodaepresa a um bloco de 2,0 kg que escorrega em uma superfície horizontal sem atrito. Se uma forçahorizontaldemóduloP=3,0Néaplicadaaobloco,comonaFig.10-56,qualéomódulodaaceleraçãoangulardaroda?Suponhaqueacordanãodeslizaemrelaçãoàroda.

Figura10-56 Problema93.

94Seahélicedeumaviãogiraa2000rev/minquandooaviãovoaaumavelocidadede480km/hemrelaçãoaosolo,qualéavelocidadelineardeumpontonapontadahélice,a1,5mdedistânciadoeixo,emrelação(a)aopilotoe(b)aumobservadornosolo?Avelocidadedoaviãoéparalelaaoeixoderotaçãodahélice.

95Ocorpo rígidomostradonaFig.10-57é formadopor trêspartículas ligadasporbarras, demassadesprezível.OcorpogiraemtornodeumeixoperpendicularaoplanodastrêspartículasquepassapelopontoP.SeM=0,40kg,a=30cmeb=50cm,qualéo trabalhonecessáriopara levarocorpodorepousoatéavelocidadeangularde5,0rad/s?

Figura10-57 Problema95.

96Engenhariadeembalagens.Atampacomumaneldepuxarfoiumgrandeavançonaengenhariadaslatasdebebida.Oanelgiraemtornodeumpinosituadonocentrodatampa.Quandoumdosladosdoanelépuxadoparacima,ooutroladoempurraparabaixoumapartedatampaquefoiriscada.Sevocêpuxaoanelparacimacomumaforçade10N,qualé,aproximadamente,omódulodaforçaaplicadaàparteriscadadatampa?(Sugestão:Examineumalatadeverdade.)

97AFig.10-58mostraumapádehélicequegiraa2000rev/minemtornodeumeixoperpendicularquepassapelopontoB.OpontoAestánaoutraextremidadedapá,aumadistânciade1,50m.(a)QualéadiferençaentreomódulodaaceleraçãocentrípetaαdopontoAeomódulodaaceleraçãocentrípetadeumpontosituadoa0,150mdedistânciadoeixo?(b)Determineainclinaçãodográficodeαemfunçãodadistânciaaolongodapá.

Figura10-58 Problema97.

98Ummecanismoemformade ioiô,montadoemumeixohorizontalsematrito,éusadopara levantarumacaixade30kg,comomostraaFig.10-59.OraioexternoRdarodaé0,50meoraiordocubodaroda é 0,20 m. Quando uma força horizontal constante de módulo 140 N é aplicada a uma cordaenroladanaroda,acaixa,queestápenduradaemumacordaenroladanocubo,temumaaceleraçãoparacimademódulo0,80m/s2.Qualéomomentodeinérciadomecanismoemrelaçãoaoeixoderotação?

Figura10-59 Problema98.

99Umapequenabolacommassade1,30kgestámontadaemumadasextremidadesdeumabarrade0,780mdecomprimentoemassadesprezível.Osistemagiraemumcírculohorizontalemtornodaoutraextremidadedabarraa5010rev/min.(a)Calculeomomentodeinérciadosistemaemrelaçãoaoeixoderotação.(b)Existeumaforçadearrastode2,30×10−2Nagindosobreabola,nosentidoopostoaodomovimento. Que torque deve ser aplicado ao sistema para mantê-lo em rotação com velocidadeconstante?

100Duasbarrasfinas(comumamassade0,20kgcadauma)estãounidasparaformarumcorporígido,comomostraaFig.10-60.UmadasbarrastemcomprimentoL1=0,40meaoutratemcomprimentoL2=0,50m.Qualéomomentodeinérciadessecorporígidoemrelação(a)aumeixoperpendicularaoplanodopapelpassandopelocentrodabarramenore(b)aumeixoperpendicularaoplanodopapelpassandopelocentrodabarramaior?

Figura10-60 Problema100.

101NaFig.10-61,quatropoliasestãoligadasporduascorreias.ApoliaA(com15cmderaio)éapolia

motrizegiraa10rad/s.ApoliaB(com10cmderaio)estáligadaàpoliaApelacorreia1.ApoliaB'(com5cmderaio)éconcêntricacomapoliaBeestárigidamenteligadaaela.ApoliaC(com25cmderaio)estáligadaàpoliaB'pelacorreia2.Calcule(a)avelocidadelineardeumpontodacorreia1,(b)avelocidadeangulardapoliaB,(c)avelocidadeangulardapoliaB',(d)avelocidadelineardeumpontodacorreia2e(e)avelocidadeangulardapoliaC.(Sugestão:Seacorreiaentreduaspoliasnãodesliza,asvelocidadeslinearesdasbordasdasduaspoliassãoiguais.)

Figura10-61 Problema101.

102OcorporígidodaFig.10-62éformadoportrêsbolasetrêsbarrasdeligação,comM=1,6kg,L=0,60m e θ = 30º. As bolas podem ser tratadas como partículas, e as barras têmmassa desprezível.Determineaenergiacinéticaderotaçãodocorposeavelocidadeangularé1,2rad/semrelação(a)aumeixoquepassapelopontoPeéperpendicularaoplanodopapele(b)aumeixoquepassapelopontoP,éperpendicularàbarradecomprimento2Leestánoplanodopapel.

Figura10-62 Problema102.

103NaFig.10-63, umabarra fina e homogênea (com4,0mde comprimento e 3,0 kgdemassa) giralivrementeemtornodeumeixohorizontalAqueéperpendicularàbarraepassaporumpontosituadoaumadistânciad=1,0mdaextremidadedabarra.Aenergia cinéticadabarra aopassarpelaposiçãoverticalé20J.(a)QualéomomentodeinérciadabarraemrelaçãoaoeixoA?(b)Qualéavelocidade(linear)daextremidadeBdabarraaopassarpelaposiçãovertical?(c)Qualéoânguloθnomomentoemqueabarraparamomentaneamente,depoisdepassarpelaposiçãovertical?

Figura10-63 Problema103.

104Quatropartículas,com0,20kgdemassa,ocupamosvérticesdeumquadradocom0,50mdelado.Aspartículasestãoligadasporbarras,demassadesprezível.EssecorporígidopodegiraremumplanoverticalemtornodeumeixohorizontalAquepassaporumadaspartículas.OcorpoéliberadoapartirdorepousocomabarraABnahorizontal,comomostraaFig.10-64.(a)QualéomomentodeinérciadocorpoemrelaçãoaoeixoA?(b)QualéavelocidadeangulardocorpoemrelaçãoaoeixoAnoinstanteemqueabarraABpassapelaposiçãovertical?

Figura10-64 Problema104.

105 Existem relatos de guepardos correndo à velocidade impressionante de 114 km/h, feitos porobservadores que dirigiam ao lado desses animais. Imagine o que é tentarmedir a velocidade de umguepardomantendoumjipeemparelhadocomoanimaleaomesmotempoolhandodesoslaioparaumvelocímetro que registra 114 km/h. Você conserva o veículo a uma distância constante de 8,0 m doguepardo,mas o barulho domotor faz com que o guepardo se afaste continuamente ao longo de umatrajetóriacircularcom92mderaio.Assim,vocêéforçadoaseguirumatrajetóriacircularcom100mderaio.(a)Qualéavelocidadeangular(suaedoguepardo)aolongodastrajetóriascirculares?(b)Qualéa velocidade linear do guepardo? (Se você não levasse em consideração o movimento circular,

concluiriaerroneamentequeavelocidadedoguepardoera114km/h.Aparentemente,essetipodeerrofoicometidonosrelatospublicados.)

106Umpontodabordadeumrebolocom0,75mdediâmetromudadevelocidade,aumataxaconstante,de12m/spara25m/sem6,2s.Qualéaaceleraçãoangularmédiadorebolo?

107Umapolia com8,0 cmdediâmetro temuma corda de 5,6mde comprimento enrolada na borda.Partindodorepouso,aroldanarecebeumaaceleraçãoangularconstantede1,5rad/s2.(a)Queânguloaroldana deve descrever para que a corda desenrole totalmente? (b) Quanto tempo isso leva paraacontecer?

108Umdiscodevinilgiraa331/3rev/minnopratodeumtoca-discos.(a)Qualéavelocidadeangulardodiscoemradianosporsegundo?Qualéavelocidadelinearemumpontododisco(b)a15cme(c)a7,4cmdocentrododisco?