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Conceitos basicos em FinancasCarteiras de Variancia Mınima
O que fizemosResultadosDiscussao
Carteiras de Variancia Mınima no Brasil
Alexandre Rubesam e Andre L. Beltrame
Itau-Unibanco
Abril de 2012
Alexandre Rubesam e Andre L. Beltrame Carteiras de Variancia Mınima no Brasil
Conceitos basicos em FinancasCarteiras de Variancia Mınima
O que fizemosResultadosDiscussao
Agenda
1 Conceitos basicos em Financas
2 Carteiras de Variancia Mınima
3 O que fizemos
4 Resultados
5 Discussao
Alexandre Rubesam e Andre L. Beltrame Carteiras de Variancia Mınima no Brasil
Conceitos basicos em FinancasCarteiras de Variancia Mınima
O que fizemosResultadosDiscussao
Selecao de carteiras de investimento
Suponha N ativos de risco, com retornos mediosµ = (µ1, · · · , µN )′ e matriz de variancia Σ
Uma carteira de investimento consiste em um vetor dealocacoes w = (w1, · · · ,wN )T , tal que o retorno medio evariancia da carteira sao µP = w′µ e σ2
P = w′Σw
Considere o problema de encontrar a carteira de acoes como menor risco, para um dado nıvel de retorno esperado µPfixado (problema de Markowitz [6]). Este problema podeser expresso matematicamente como :
minw
w′Σw
sujeito a µP = w′µ
1 = w′1
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Selecao de carteiras de investimento
A solucao do problema de Markowitz para varios nıveis deretorno esperado gera a chamada Fronteira Eficiente, quecontem as carteiras com menor risco para um dado nıvel deretorno ou, equivalentemente, as carteiras com maior retornopara um dado nıvel de risco.
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Selecao de carteiras de investimento
A inclusao de um ativo livre de risco (eg: tıtulos do governo),com volatilidade 0 e retorno esperado rf , leva a uma novafronteira eficiente, a qual e uma reta com equacao
rp = rf + σPrm − rfσm
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CAPM
Usando argumentos de equilıbrio (ou manipulando a solucaoanalıtica do problema de Markowitz), podemos derivar tambema equacao do modelo CAPM (Capital Asset Pricing Model):
ri = rf + βi(rm − rf ),
onde βi = Cov(ri ,rm )σ2m
e o beta de mercado do ativo i .
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Risco e retorno em Financas
Sumarizando:
Teoria de selecao de carteiras leva a uma relacao linearpositiva entre risco (volatilidade)e retorno:
rp = rf + σPrm − rfσm
CAPM leva a uma relacao linear positiva entre risco (beta)e retorno:
ri = rf + βi(rm − rf )
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Otimizacao de carteiras na pratica
Na pratica, µ e Σ sao desconhecidos e precisam ser estimados apartir de uma amostra de series temporais dos precos dos ativos.
A estimacao da matriz de covariancia e relativamente simples.Ate mesmo o estimador amostral padrao pode ser utilizado
No entanto, o erro cometido ao estimar o vetor de medias, µ,pela media historica na amostra, e muito grande ...
Caso nao esteja disponıvel um metodo mais sofisticado (egmodelos multifatorias) para estimar µ, so e possıvel determinaruma carteira na fronteira eficiente: a carteira de varianciamınima global (CVM)
Empiricamente, verifica-se que esta carteira possui desempenhosuperior ao de outras carteiras na fronteira eficiente, superandofacilmente benchmarks de mercado.
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Motivacao
Um exercıcio simples de formacao de carteiras para avaliar possıvelrelacao risco-retorno:
Formar carteiras baseadas em risco realizado, e averiguar seudesempenho no futuro (fora da amostra)
‘Risco’ e definido como risco total (volatilidade realizada) ourisco sistematico (β)
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Motivacao
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Motivacao
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Carteiras de Variancia Mınima
Superioridade da CVM amplamente documentada emmercados desenvolvidos:
Jorion(1985, 1992) [4, 5]Jagannathan e Ma (2003) [3]Clark, De Silva e Thorley (2006) [7]Blitz e van Vliett (2007) [1]Falken (2009) [2]...e muitos outros.
No Brasil, apenas um trabalho, com evidenciarelativamente fraca:
Thome e Leal(2010) [8] - investigam CVMs formadas comacoes do IBOVESPA - concluem que CVM superaIBOVESPA, mas nao uma carteira igualmente ponderadadas acoes
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Carteiras de Variancia Mınima
Nosso trabalho:
Avaliar o desempenho fora-da-amostra de CVMs formadascom todas acoes disponıveis que atendem a criterios devolume e liquidez
Comparacoes com:
Carteira que maximiza a razao de Sharpe (CRS)Carteira que maximiza a media geometrica dos retornos(CMG)Carteira igualmente ponderada (CIP)
Indice IBOVESPACDI
Avaliacao de carteiras otimizadas com possibilidade dealavancagem 130/30
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Carteiras de Variancia Mınima
Carteira de variancia mınima (CVM)
minw
w′Σw
Carteira que maximiza a razao de Sharpe (CRS)
maxw
w′µ
w′Σw
Carteira que maximiza o retorno geometrico (CMG)
maxw
(log (1 + w′µ) − w′Σw
2(1 + w′µ)2
)Carteira igualmente ponderada (CIP)
wi =1
N
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Carteiras de Variancia Mınima
Procedimento de simulacao (backtest)
No inıcio de cada mes, determinar quais acoes passam nosfiltros:
Pelo menos 3 anos de historicoVolume mediano positivoPelo menos 75% dos dias com retornos nao nulos
Calcular medias e matriz de covariancia usando ultimos 3anos de historico
Otimizar carteiras (fixar pesos para o proximo mes)
Calcular retornos, giro, custos etc
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Resultados
Principais conclusoes:
CVMs superam todos as demais carteiras, obtendo retornos mais altos e risco menor
CVMs 130/30 apresentam ganhos modestos em relacao a versao long-only
CVMs concentram investimentos em um numero relativamente pequeno de acoes combetas baixos
CVMs sao uma alternativa de investimento interessante, facilmente replicavel ate porinvestidores individuais
Otimizacao com medias de retorno historicas nao funcionam bem fora da amostra,conforme esperado
A carteira igualmente ponderada apresenta resultados razoaveis, porem bem inferioresaos da CVM
Resultados sao robustos ao numero de acoes e alocacoes maximas permitidas
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Resultados
Desempenho das carteiras ao longo do tempo
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Resultados
Estatısticas de desempenho das carteiras
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Resultados
Estatısticas de desempenho das carteiras 130/30
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Resultados
Numero de acoes e alocacao media na CVM
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ResultadosGrafico de dispersao dos βs das acoes vs alocacoes na CVM (meados 2011)
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Resultados
Value-at-Risk da CVM e do IBOVESPA
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Discussao
Por que a CVM apresentam resultados tao superiores?
Falta de associacao entre risco e retorno
Crıtica ao CAPM (acoes com βs baixos apresentam retornosrelativamente altos) - eg Black, Jensen e Scholes (1972), Fama eFrench (1992)
Vieses comportamentais - eg visao de ativos de alto risco comopotenciais de enriquecimento ou ‘bilhetes de loteria’ - tornariaestes ativos muito caros (‘wish I had bought Microsoft in the80s’)
Investidores institucionais tem restricoes de mandato para seguirbenchmark, o que limita arbitragem
Falken (2009) propoe uma teoria radical - se os investidores so sepreocupam com dispersao em torno de um banchmark, naoexistiria premio de risco
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Discussao
Implicacoes
Crıtica ao modelo de benchmarking de investimento a ındices
Um ındice de variancia mınima parece mais relevante
Estrategia de investimento facilmente replicavel ate porinvestidores individuais
Importancia para fundos de pensao!
Obrigado!
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Crıtica ao modelo de benchmarking de investimento a ındices
Um ındice de variancia mınima parece mais relevante
Estrategia de investimento facilmente replicavel ate porinvestidores individuais
Importancia para fundos de pensao!
Obrigado!
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ReferenciasD. Blitz and P. V. Vliet.
The volatility effect.Journal of Portfolio Management, (7), 2007.
E. G Falkenstein.
Return in general: Theory and evidence.Technical report, 2009.
R. Jagannathan and T. Ma.
Risk reduction in large portfolios: Why imposing the wrong constraints helps.Journal of Finance, (58), 2003.
P. Jorion.
International portfolio diversification with estimation risk.Journal of Business, (58), 1985.
P. Jorion.
Bayesian and capm estimators of the means: Implications for portfolio selection.Journal of Banking & Finance, (58), 1991.
Harry Markowitz.
Portfolio selection.The Journal of Finance, 1(7), 1952.
H. De Silva R. Clark and S. Thorley.
Minimum-variance portfolios in the us equity market.Journal of Portfolio Management, 2006.
C. N. Thome and R. P. C. Leal.
Um ındice de mınima variancia de acoes brasileiras.Relatorios COPPEAD 396, COPPEAD, 2010.
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