CEMAF SME Rio Claro PEB I · CEMAF –SME Rio Claro –PEB I ZUNINO, Délia Lerner de. A...

CEMAF – SME Rio Claro – PEB I

ZUNINO, Délia Lerner de. A Matemática na Escola:

Aqui e Agora. 2ª Edição. Porto Alegre: Editora Artmed, 1995

Prof. M.Sc. Fabricio Eduardo Ferreira

fabricio@fafica.br

Algumas Dicas

• As questões do concurso NÃO QUEREM SABER A SUA OPINIÃO;

• Cada autor está associado à uma ÁREA DA EDUCAÇÃO;

• Utilizar o BOM SENSO sempre é útil e bem-vindo;

• Cuidado com as questões NEGATIVAS;

• Durante a leitura de uma questão VÁ SUBLINHANDO conectivos como:

SEMPRE, NUNCA, ÀS VEZES, NÃO, SE ... ENTÃO.

ZUNINO, Délia Lerner de

Um pouco sobre a autora:

• É uma educadora e pesquisadora argentina;

• Doutora em Ciências da Educação;

• Professora de graduação e de mestrado na Universidades de

Buenos Aires e La Plata;

• Assessora do Ministério da Educação da Venezuela;

• Investigadora nas áreas de alfabetização, currículos, livros

didáticos e didática da matemática.Fonte:

Revista Nova Escola

Algumas obras da autora publicadas no Brasil

A aprendizagem da Língua Escrita na Escola

Reflexões sobre a proposta pedagógica construtivista

1995

A matemática na escola:

Aqui e Agora

1995

Ler e escrever na escola

O real, o possível e o necessário

2002

A Matemática Na Escola: Aqui e Agora

Capítulo 1

Professores, Crianças

e Pais Têm a Palavra

Capítulo 2

Problemas e Contas:

Dois Desafios

Diferentes

Capítulo 3

As Estratégias de

Resolução de

Problemas

Capítulo 4

O Valor Posicional

A pesquisaQuestão principal da obra:

A forma de ensinar oferece às crianças oportunidades reais de assimilar o conhecimento matemático?

Região Metropolitana de Caracas Estado de

Miranda

1ª série

30 alunos

3ª série

30 alunos

5ª série

30 alunos

Capítulo 1 – Professores, Crianças e Pais Têm a Palavra

• A matemática: uma disciplina temível?

• Para que serve a matemática?

• A respeito do aprendizado e do ensino

• Os professores falam

• Opinam as crianças

• O que pensam os pais?

• Que conteúdos se apresentam mais difíceis?

• O papel dos pais no aprendizado escolar

• Acerca da avaliação

1.1 A matemática: uma disciplina temívelQuestão principal: Qual é a razão pela qual a matemática resulta tão temível

e pouco agradável para tantas crianças e adultos?

“Eu nunca fui boa em matemática. A matemática me dá temor... eu fazia um esforço

e era aprovada... no ensino superior foi pior ainda, eu tinha que decorar tudo

e saía de um exame e esquecia tudo. Fazia o possível para ser aprovada...”

“A matemática é muito complicada”. “Não gosto de fazer contas”.

“Na minha casa ninguém gosta de matemática”.

“Isso tem sido meu grande problema. A odeio”. “Não gosto, mas os filhos me fazem estudar”.

“Gosto dela até onde a entendo”.

1.2 Para que serve a matemática?

A opinião dos professores: para raciocinar com rapidez, para saber utilizá-la na vida diária;

porque é uma disciplina instrumental; porque é uma ciência “muito completa”, porque é exata.

A opinião dos pais: para tudo; utiliza-se no supermercado; em qualquer trabalho está presente;

para facilitar outras matérias como física e química; no futebol, na música, etc.

A opinião dos alunos reduz-se apenas ao uso escolar: para fazer números, para fazer contas, etc.

“É necessário fazer um esforço para que as crianças descubram desde o princípio que

a utilidade da matemática ultrapassa os muros da escola.” (ZUNINO, p. 7)

1.3 A respeito do aprendizado e do ensinoQuestões envolvidas:

Como as crianças aprendem a matemática? Aprendem alguma coisa sozinhas? Como se ensina matemática?

1.3.1 Os professores falam

• Quando perguntados sobre a forma que as crianças aprendem matemática

(...) a maioria respondeu fielmente seu método de ensino;

• Quando perguntados se as crianças aprendem algo sozinhas

(...) as respostas foram contraditórias, ora afirmavam que sim, ora afirmavam que não;

• Quando perguntados sobre como ensinam matemática

(...) as respostas também foram heterogêneas com ênfase nas explicações e repetições.

Em suma, para os professores ensinar consiste em explicar e aprender consiste em repetir.

1.3.2 Opinam as crianças

• Quando perguntadas se trocaria alguma coisa na forma de ensinar

(...) a maioria responde que não e reproduzem os argumentos de sua sala de aula;

• Quando perguntadas se conseguem aprender matemática sozinhas

(...) a maioria não reconhece sua participação do processo de aprendizagem.

1.3.3 O que pensam os pais

• Quase todos os pais pensam que seus filhos tem aprendido muita coisa sozinhos;

• A maioria os pais concordam com a metodologia utilizada para ensinar matemática.

Logo há duas concepções que coexistem contraditoriamente hoje nas escola:

Descobrir, Investigar, Discutir e Interpretar X Explicar, Repetir e Memorizar

1.4 Que conteúdos se apresentam difíceis?Professores e crianças coincidem:

• na 1ª série, os conteúdos mais difíceis são o valor posicional e a subtração;

• a partir da 3ª série, o difícil é a divisão.

1.5 O papel dos pais no aprendizado escolarTodos entrevistados afirmam a importância dos pais no processo de aprendizagem.

“Hoje tive um problema por causa da

vírgula (...) meu pai explicou-me(...)”

“É bom que os pais ajudem os filhos

(...) sempre peço colaboração(...)”

“Meu filho vai bem, porque eu tenho

mostrado muita dedicação para

trabalhar com ele(...)”

1.6 Acerca da avaliação

Tenho que me

comportar bem.

(1ª série)

Tiro notas boas

porque tenho

estudado.

(3ª série)

O que mais utilizo

para avaliar são provas

e a participação.

As notas refletem o

que a criança sabe.

A avaliação serve para

conhecer a criança,

para determinar o que ela

sabe, o que tem aprendido.

Capítulo 2 – Problemas e Contas: Dois Desafios Diferentes

• Os problemas

• A subtração pode não ser uma subtração

• Resolvendo um inacreditável problema de soma

• Tentando inventar um problema

• A representação das operações

• A interpretação dos sinais convencionais

• As contas

2.1 Os problemas

As crianças de 1ª série resolveram:

• três problemas (2 de subtração e 1 de adição);

• inventaram o enunciado de uma situação problema;

• resolveram duas contas (1 adição e 1 subtração com números de dois algarismos).

Um fato mostrou-se muito importante:

os procedimentos utilizados pelas crianças para resolver as contas

são totalmente diferentes dos empregados para resolver os problemas.

Um ônibus leva 24 passageiros, em uma parada descem 17. Quantos passageiros ficam?

2.1.1 A subtração pode não ser uma subtração

Quantos ovos há a mais no cesto A que no cesto B?

A conclusão que se pode extrair ao comparar os resultados obtidos

em relação aos dois problemas de subtração é a seguinte:

situações problemáticas que aparecem como sendo semelhantes aos

olhos dos adultos – porque eles as resolveriam através da mesma

operação – podem resultar muito diferentes para as crianças, porque

efetivamente correspondem a situações de fatos diferentes.

Luiz tem 7 anos e sua irmãzinha tem 2. Quantos anos têm entre os dois?

2.1.2 Resolvendo um inacreditável problema de soma

O enunciado deste problema foi proposto em livros da 1ª série:

Pareceu, aos autores, surpreendente que se formulara às crianças uma situação tão

carente de sentido. A quem imaginaria pode ocorrer somar as idades de duas pessoas.

2.1.3 Tentando inventar um problema

Frente à proposta “inventar um problema em que o resultado seja 5”,

a maioria se comporta expressando surpresa diante de uma proposta tão insólita.

Pode-se observar que a maioria das crianças inclui a resposta no enunciado do problema, em vez de

formular a pergunta, e algumas outras não deixam explícita nem a pergunta nem a resposta.

A condição essencial que devem cumprir os problemas propostos pelo professor é (...)

de apresentar um desafio à criança.

Um problema merece seu nome quando torna possível construir conhecimento matemático (...)

quando leva a elaborar uma estratégia de resolução.

2.2 A representação das operações

A forma como as crianças representam as operações ao resolver os problemas que os

autores propuseram (ou que elas mesmas inventaram) não coincide sempre com a “conta”

convencional. As respostas que obtiveram podem classificar-se em 5 grupos:

• Representação exclusiva do resultado. Exemplo: 7 passageiros.

• Representação exclusiva dos dados incluídos no enunciado. Exemplo: 17 24

• Representação dos dados do problema e do resultado, porém sem incluir o sinal que indica a

operação realizada. Exemplo: 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7

• Representação não convencional de todos os termos envolvidos na operação.

Exemplo: 24 7 17

• Representação convencional. Exemplo: 24 – 17 = 7

2.3 A interpretação dos sinais convencionais

Todos os alunos interpretaram com bastante exatidão os sinais “+” e “–”.

No entanto, não aconteceu o mesmo com o sinal “igual”.

(...) o sinal “igual” tem um significado muito diferente do significado dos signos

“mais” e “menos”, já que, à diferença destes dois últimos, não representa uma ação, mas

uma equivalência entre duas representações possíveis de um número.

Por exemplo, 3 + 2, 4 + 1, 2 + 3, etc. são formas alternativas de representar “5”.

2.4 As contas

Foram propostas às crianças de 1ª série duas contas:

3 51 8

+6 32 8

−

Como se tem suspeitado, a maioria das crianças começa a resolver a conta pela esquerda

(...) e cada número de dois algarismos, deixa de ser um só número, e se transforma em

dois números independentes.

3 51 8

+6 32 8

−

4 13 4 0

ou6 32 8

−

4 5

Capítulo 3 – As Estratégias de Resolução de Problemas (3ª e 5ª séries)

• As crianças da 3ª série resolvem situações-problema

• Se são de soma, sempre é fácil; se são de subtração depende da situação

• Os problemas de multiplicação não são difíceis; os de divisão tampouco ... só se tiverem formulados de forma esquisita

• Avaliando a correção de um resultado

• Operando com frações

• Na 5ª série, todos problemas têm solução alguns são demasiados fáceis e outros ... nem tanto

• A subtração segue apresentando desafios

• Resolvendo problemas de multiplicação e divisão

• Problemas “combinados”

• A multiplicação e a divisão são operações inversas ... ou não?

• Inventando enunciados de problemas

• À guisa de conclusão

3.1 As crianças de 3ª série resolvem situações-problema

3.1.1 Se são de soma, sempre é fácil; se são de subtração ... depende da situação

Os problemas de soma em termos gerais não representam nenhuma dificuldade para as

crianças (...) É possível que a utilização de “problemas-padrão”, na escola, leve algumas

crianças a centrar-se em certas “chaves” incluídas reiteradamente nos enunciados,

deixando de lado a estrutura global dos problemas.

3.1.2 Os problemas de multiplicação não são difíceis; os de divisão tampouco ...

só se estiverem formulados de forma “esquisita”

(...) O fato de que uma criança não encontre qual é a conta que corresponde para resolver

determinada situação não significa de modo algum que não possa resolvê-la:

com base na estrutura lógica do problema, ela poderá aproximar um resultado possível.

3.2 Avaliando a correção de um resultado

Foram apresentados os seguintes problemas para crianças da 3ª e 5ª série:

3ª Série:

Uma criança efetuou a seguinte soma:

238 + 126 + 10

e deu como resultado 464.

Estará correta a soma?

5ª Série:

Uma criança efetuou a seguinte soma:

238,50 + 126,25 + 10,125 + 416,70

e deu como resultado 560,875.

Estará correta a soma?

Na 3ª série, TODAS as crianças consideraram necessário fazer a conta para saber se está

certo ou errado (...) Seja como for, seria importante incentivar as crianças a

antecipar e a julgar os resultados (...) porque confiam mais nos

procedimentos adquiridos mecanicamente do que em seu próprio raciocínio.

3.3 Operando com frações

• Todas as crianças estabelecem rapidamente que ½ é maior que 1/4 ,

mas alguns alunos de 3ª série tenham inicialmente dificuldade para entender

significados como “metade da metade”;

• É natural que as crianças criem formas próprias de representar as frações;

• Em síntese, as situações formuladas no âmbito das frações mostraram que todas

as crianças – tanto as de 3ª como as de 5ª série – compreendem as

frações mais usuais na vida cotidiana;

• Na 3ª série se detectou uma concepção estereotipada da representação gráfica;

• Parece que não é óbvio para todas as crianças que o denominador se refere ao

total das partes que tem o inteiro.

3.4 Na 5ª série, todos os problemas têm solução.Alguns são demasiado fáceis e outros ... nem tanto

3.4.1 A subtração segue apresentando desafios

Faz-se notar, mais uma vez, que para as crianças os problemas de subtração

não parecem ser tão equivalentes como são para nós.

De fato, um problema referente a um aumento de preço é resolvido por todos subtraindo,

enquanto que as situações referentes ao tempo são predominantemente resolvidas utilizando a ideia de complemento.

3.4.2 Resolvendo problemas de multiplicação e divisão

(...) ao deixar de lado as estratégias de resolução que elas elaboram a partir da compreensão da estrutura lógica dos

problemas (...) leva-se às crianças acreditarem que o que elas pensam não é pertinente para resolver problemas

matemáticos (...) fazendo-as renunciar seu próprio raciocínio para centrar-se em “chaves” linguísticas.

3.4.3 Problemas “combinados”

Aqui, vemos mais uma vez a importância que as crianças dão a certos “hábitos escolares”.

(...) Ainda que tais atitudes não tenham sérias repercussões para algumas crianças (...) ela tem consequências caóticas

para outras crianças que tentam se basear só no conhecimento das práticas escolares e, portanto, renunciam a pensar.

3.4.4 A multiplicação e a divisão são operações inversas ... ou não?

Para NENHUMA das crianças foi óbvia a solução do problema formulado;

Sem dúvida, estas crianças comprovam cotidianamente na escola as contas de divisão e,

devem “saber” que a verificação se faz multiplicando o quociente pelo divisor;

O que fica evidente a partir destes resultados é a necessidade de

reservar um espaço para a reflexão acerca das propriedades das operações.

O último problema proposto foi o seguinte:

“Quero repartir o triplo de 25 entre 3 pessoas. Quanto corresponderá a cada uma?

3.4.5 Inventando enunciados de problemas

Para concluir, a autora assinala que (...) no caso da invenção de problemas (...) na 3ª e na 5ª série houve

algumas crianças (poucas) que conseguiram formular bons enunciados e muitas outras que não puderam fazê-lo.

Isto deve-se, sem dúvida, a que a escola pouco possibilite que as crianças se convertam

em produtoras de situações-problemas limitando-se ao papel de “consumidoras”.

3.5 À guisa de conclusão

A conclusão mais evidente que deriva dos dados analisados neste capítulo é que TODAS as crianças

são capazes de elaborar estratégias adequadas para resolver problemas que lhes são formulados.

Porém, algumas delas às vezes são levadas a renunciar às suas próprias possibilidades de pensar

e optar por prender-se a certas “chaves” linguísticas e numéricas que aparecem

seguidamente nos “problemas-padrão” geralmente apresentados na escola.

Capítulo 4 – O Valor Posicional

• O zero e o valor posicional

• Unidades, dezenas, centenas ... que entendem as crianças?

• 1ª série e sua luta com as dezenas

• Na 3ª série, o valor posicional não cria problemas ... aparentemente

• As crianças de 5ª série fazem uma descoberta

• Os decimais ... são decimais ou naturais (inteiros)?

• Produção e interpretação de números decimais

• As operações com decimais: se são todos decimais, não há problema

• Conclusões (provisórias)

4.1 O zero e o valor posicional

Uma criança me diz que o 0 não vale nada. Que tu pensas?

TODAS as crianças sabem que o 0 “em si” não tem nenhum valor.

E quando o 0 faz parte de uma quantidade de vários algarismos, como em 108, 180, 018, 10?

• a MAIORIA das crianças pensam que o 0 tem valor só quando está “depois” de outros número,

e que não vale nada quando está “antes”;

• porém HÁ CRIANÇAS que afirmam que o 0 em si continua a não ter valor, ainda que faça parte de

outra quantidade.

É surpreendente que as crianças possam estabelecer que um número é maior que outro – baseando-se na

quantidade de algarismos – ainda sem saber qual é a quantidade representada por esses números (0001 = 1000);

Quase todas as crianças afirmam desde o começo que o valor do 0 depende de sua localização.

4.2Unidades, dezenas, centenas ... que entendem as crianças?

4.2.1 1ª série e sua luta com as dezenas

O que “sabiam” as crianças era o fato de uma dezena “quer dizer 10”.

(...) Porém o fato de ter sido ensinado a estas crianças o conceito de dezena

não era suficiente para que isto se constituísse em um conhecimento operativo.

(...) ao perguntar o significado da palavra “dezenas” (...) várias crianças entendiam “dezena” como sendo “dúzia”.

4.2.2 Na 3ª série, o valor posicional não cria problemas ... aparentemente

Com relação às crianças da 3ª série os resultados são muito positivos.

Porém a preocupação da autora origina-se principalmente nas respostas que as crianças deram

quando perguntadas que “levavam” ou que “pediam emprestado” durante a resolução das contas.

(...) A única explicação dada para estes fatos é que não se tem brindado as crianças a possibilidade de compreender

que tais procedimentos estão estritamente vinculados com a base decimal

escolhida para nosso sistema de numeração.

4.2.3 As crianças da 5ª série fazem uma descoberta

Mesmo na 5ª série, são poucas as crianças que conseguem compreender que mecanismos como

“levar” e “pedir emprestado” estão inseridos no marco do sistema posicional.

(...) Parece importante assinalar que muitas crianças mostraram que

tinham dificuldades acerca da relação entre centenas e dezenas.

4.3Os decimais... são decimais ou naturais (inteiros)?

4.3.1 Produção e interpretação de números decimais

No caso dos decimais os problemas surgem em TODAS as situações em que estão envolvidos.

• Nota-se que, em princípio, QUASE TODAS as crianças lêem os decimais estabelecendo uma

concordância estrita entre o que dizem e os elementos escritos (vinte e cinco vírgula zero cinco);

• Porém QUASE TODAS as crianças são capazes de interpretar com exatidão o significado dos decimais

quando estes se referem a um aspecto particular: o do dinheiro.

4.3.2 As operações com decimais: se todos são decimais, não há problema ...

• As somas ou subtrações que incluem decimais formulam um nível de dificuldade muito diferente

quando todos os termos envolvidos são decimais e quando se combinam na operação números naturais

e decimais.

• De fato, na primeira situação, todas as crianças (...) ordenam corretamente (...) porque a vírgula ajuda

a resolver todos os problemas que podem surgir (...) porém NENHUMA CRIANÇA parece conhecer

as razões que fundamental esta regra.

4.4Conclusões (provisórias)

As crianças tem

aprendido

muito na

escola.

Porém estes

conhecimentos não

são suficientes

para compreender

as bases do sistema

de numeração.

As crianças

reconstroem desde

cedo algumas

regras do sistema

de numeração.

É necessário criar condições que

permitam às crianças a apropriar-se dos

princípios que regem o sistema de

numeração e compreender que os

procedimentos utilizados estão inseridos

neste contexto.