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Cilindro e cone – IMA13 - Unidade 23
Eduardo Wagner
PROFMAT - SBM
Cilindro
Em um plano H considere uma curva simples fechada C e seja r umareta nao contida em H. Por cada ponto P de C trace uma reta paralela ar . A reuniao dessas retas e uma superfıcie cilındrica.
Um plano H ′ paralelo a H corta a su-perfıcie cilındrica segundo uma curva C ′,congruente a C .
Os planos H e H ′ cortam a reta r nospontos A e A′ e seja AA′ = g .
A parte do espaco limitada pela superfıciecilındrica e pelos planos H e H ′ e um cilin-dro de base C e geratriz g .
A distancia entre os planos H e H ′ e aaltura do cilindro.
PROFMAT - SBM Cilindro e cone – I slide 2/7
O volume do cilindroO volume do cilindro e o produto da area da base pela altura.
Dado um cilindro de altura h com base de area A considere umparalelepıpedo retangulo com mesma altura e base de mesma area.Coloque os dois solidos com bases no mesmo plano como mostra a figuraacima.Tanto no cilindro quanto no paralelepıpedo, toda secao paralela a base econgruente com a base. Assim, se um plano paralelo ao plano da basedos dois solidos produz no cilindro uma secao de area A1 e noparalelepıpedo uma secao de area A2, entao, A1 = A + A2 e, peloprincıpio de Cavalieri, os dois solidos tem mesmo volume.
O volume do cilindro de base de area A e altura h e V = Ah.
PROFMAT - SBM Cilindro e cone – I slide 3/7
Cilindro circular reto
Um cilindro e reto quando as geratrizes sao perpendiculares aoplano da base. Se, alem disso a base for um cırculo temos ocilindro circular reto.
O volume do cilindro circular de raio R e altura h e V = πR2h.A superfıcie lateral do cilindro pode ser cortada ao longo de umageratriz e desenrolada, sem alterar sua area, para obter um cilindrode base 2πR e altura h.A area lateral do cilindro circular reto e, portanto, SL = 2πRh.Obs: cilindro equilatero e o que possui altura igual ao diametro.
PROFMAT - SBM Cilindro e cone – I slide 4/7
Tronco de cilindro circular
Em um cilindro circular reto um plano oblıquo ao eixo cortou todasas geratrizes. Cada uma das partes em que o cilindro ficou divididoe um tronco de cilindro.
A base do cilindro tem raio R e o eixo do cilindro cortou a base e asecao em dois pontos cuja distancia e d . O volume do tronco eV = πR2d . Justifique.Obs: A secao e uma elipse cujo eixo menor e 2R.Veja a demonstracao no livro, pag. 324.
PROFMAT - SBM Cilindro e cone – I slide 5/7
Solidos de revolucao
Quando uma figura plana F gira em torno de uma reta r de seuplano e que nao a atravessa ela gera um objeto chamado solido derevolucao. A reta r e o eixo desse solido.Se um retangulo gira em torno de uma reta r que contem um deseus lados, o solido de revolucao formado e um cilindro circularreto.
O cilindro circular reto tambem e chamado cilindro de revolucao.
PROFMAT - SBM Cilindro e cone – I slide 6/7
Superfıcie de revolucao
Quando uma linha plana L gira em torno de uma reta r de seuplano, ela gera uma superfıcie chamada superfıcie de revolucao. Areta r e o eixo dessa superfıcie.
PROFMAT - SBM Cilindro e cone – I slide 7/7
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