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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO
Escola de Minas da Universidade Federal de Ouro Preto Departamento de Engenharia de Minas
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mineral – PPGEM
COMINUIÇÃO SELETIVA DE MINERAIS DE DIFERENTES
MOABILIDADES
Autora: FLÁVIA EMERY PEREIRA SUDÁRIO
Orientador: Prof. Dr. JOSÉ AURÉLIO MEDEIROS DA LUZ
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-
Graduação do Departamento de Engenharia de
Minas da Escola de Minas da Universidade
Federal de Ouro Preto, como parte integrante
dos requisitos para obtenção do título de
Mestre em Engenharia de Minas.
Área de concentração:
Tratamento de Minérios
OURO PRETO
Agosto/2010
Catalogação: sisbin@sisbin.ufop.br
S943c Sudário, Flávia Emery Pereira. Cominuição seletiva de minerais de diferentes moabilidades [manuscrito] /
Flávia Emery Pereira Sudário – 2010. 189f.: il. color; grafs., tabs. Orientador: Prof. Dr. José Aurélio Medeiros da Luz. Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Ouro Preto. Escola de
Minas. Departamento de Engenharia de Minas. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mineral.
Área de concentração: Tratamento de Minérios.
1. Tratamento de minérios - Teses. 2. Cominuição (Beneficiamento de minério) - Teses. 3. Moagem (Beneficiamento de minério) - Teses. 4. Modelos matemáticos - Teses. I. Universidade Federal de Ouro Preto. II. Título.
CDU: 622.73:004.94
4
4
Aos meus pais e familiares
pelo incentivo, paciência e
amor incondicional..
AGRADECIMENTOS
Aos meus pais, pela dedicação de uma vida, por me ensinar a ter determinação.
Ao meu orientador, Prof. Dr José Aurélio Medeiros da Luz, pela orientação, amizade e acima de tudo, pelo respeito e ensinamentos de um verdadeiro mestre.
Á Prof. Dra. Rosa Malena Fernandes Lima, pelas oportunidades de crescimento e descobertas profissionais.
Aos meus amigos, que estão sempre torcendo pelas minhas conquistas e me ajudaram neste momento.
A Deus, por tudo.
“A mente que se abre a uma nova idéia jamais voltará ao seu tamanho original”
Albert Einstein
RESUMO
O presente trabalho visa à melhoria da separação entre a calcita e o quartzo, explorando as diferenças na moabilidade através de um modelo matemático. O presente trabalho, através da clássica equação de Rosin-Rammler, mostra as mudanças no comportamento do minério quando submetido à operação de moagem. O estudo do parâmetro de agudez de Rosin-Rammler permitiu a construção de um modelo matemático simples. A base teórica para o trabalho foi otimização de processo, realizada por Ray e Szekely (1973), através de um modelo estatístico baseado na distribuição log-normal das partículas após moagem. Este trabalho é parte de um escopo maior no qual engloba um modelo de otimização para o processo de cominuição através da relação da energia gasta e classificação. PALAVRAS-CHAVE: moabilidade; Rosin-Rammler; agudez.
ABSTRACT
This work treats on the quartz and calcite grindability differences to achieve a preliminary grinding classification in order to improve further sorting operation. The present work, through classical mathematical equation of Rosin-Rammler, shows the changes in mineral behavior when submit to grinding operation. The knowledge of the Rosin-Rammler´s sharpness parameter allows the building of a simple mathematical model. The theoretical base of this work was inspired by the study of the optimization process carried out by Ray and Szekely (1973) through a statistical model based on log-normal distribution of particle diameter after grinding. This work is part of a greater scope which encompasses an optimization model for comminution process as far as energetic consumption and mineral sorting are simultaneously concerned. KEY-WORDS: grindability; Rosin-Rammler; sharpness.
Sumário
1. INTRODUÇÃO.................................................................................................................... 11 2. OBJETIVOS......................................................................................................................... 14
3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA............................................................................................. 15
3.1. Modelo de Ray e Szekely .............................................................................................. 30
3.2 Exemplo de Cominuição Seletiva. ................................................................................. 35
4. METODOLOGIA................................................................................................................. 38
4.1. Amostras........................................................................................................................ 38
4.2. Modelagem do Processo................................................................................................ 40
4.2.1. Generalidades .........................................................................................................40 4.2.2 Modelo de cominuição seletiva ...............................................................................41
4.3. Ensaios de Validação do Modelo .................................................................................. 44
4.3.1. Britagem do material ..............................................................................................44 4.3.2. Massa mínima da amostra pelo método de Gy.......................................................45
4.3.2.1 Método de Gy.......................................................................................................45 4.3.2.2. Amostragem pelo método de Gy. ........................................................................45
4.3.3. Cálculo do tamanho de bola ....................................................................................... 47
4.3.3.1 Fórmula de Bond ..................................................................................................47 4.3.3.2 Cálculo do corpo moedor .....................................................................................47
4.3.4. Ensaios de Moagem.................................................................................................... 49
4.3.5. Análise granulométrica............................................................................................... 49
4.4. O Scilab......................................................................................................................... 54
4.5. FindGraph...................................................................................................................... 55
4.6. EasyPlot ......................................................................................................................... 55
4.7. Mathematica 7............................................................................................................... 56
4.8. Delphi 7 ......................................................................................................................... 56
4.9. Ajuste da Evolução dos Parâmetros Estatísticos........................................................... 57
5. RESULTADOS E DISCUSSÃO ......................................................................................... 59
5.1. Discussão dos Resultados.............................................................................................. 59
5.2 Evolução dos Parâmetros Estatísticos ............................................................................ 77
5.3 Modelagem da Moagem Binária .................................................................................... 87
5.3.1 Aspectos conceituais ...............................................................................................87
10
10
5.3.2 Modelo matemático para otimização.......................................................................91 5.3.2.2 Construção do modelo..........................................................................................93
6. CONCLUSÕES.................................................................................................................. 107 7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................... 109 8. ADENDO ........................................................................................................................... 113
11
1. INTRODUÇÃO
O objetivo usual do processo de moagem é a separação por espécie das partículas para
liberação do mineral de interesse. A fragmentação de sólidos não está restrita apenas a liberar
duas partículas sólidas de propriedades físico-químicas distintas como objetivado no setor
mineiro, é também utilizada com outras finalidades e em vários outros setores.
Em hidrometalurgia, a cominuição é utilizada para facilitar a reação química e a
velocidade de reação através do ajuste das propriedades físico-químicas do sólido, que ao ser
fragmentado aumenta este poder de reação do mineral a ser lixiviado, em relação ao agente
lixiviante.
Na indústria química, a cominuição também é utilizada para o aumento da velocidade
de reação entre o sólido e o agente químico não sendo utilizada com o objetivo de liberar as
partículas.
No setor de construção civil, a cominuição é utilizada apenas com o objetivo de
diminuir a granulação das partículas sólidas que servem como produtos agregados para uso
em concreto.
Atualmente, além da cominuição apenas para liberação do mineral útil, desponta como
nova proposta promissora para o setor mineiro a cominuição seletiva. A cominuição seletiva
visa principalmente o preparo da alimentação do circuito de concentração de minérios, de
forma a otimizar o contraste das características físico-químicas de cada um dos componentes,
facilitando o beneficiamento.
A cominuição seletiva dentro da mineração irá facilitar o uso do processo de
classificação, promovendo uma distinção prévia através da diferença na granulação do
material.
12
12
Independentemente do tipo de cominuição é importante se consciencializar de que em
qualquer caso deve-se evitar a formação excessiva de finos (sobremoagem), em virtude de
serem, por excelência, refratários aos processos de concentração.
Sabendo que os fundamentos do processo de cominuição se baseiam em condições de
granulação e forma de fragmentação, é importante salientar cada um dos tópicos que
determinam estes fundamentos.
Existem muitas variáveis no processo de moagem que levam a diversos valores de
granulação e qualidade do produto. Entre essas variáveis podem ser citadas: dureza do
material, tipo de equipamento utilizado, vazão do material, tipo de corpo moedor utilizado no
processo, função quebra, função seleção, granulação de saída e granulação de entrada do
material. Essa evolução granulométrica, por vezes é descrita por funções matemáticas que
levam em conta a probabilidade de as partículas serem submetidas a eventos de quebra
(função seleção) e, uma vez fragmentadas, a distribuição granulométrica das ditas partículas
“filhas” (descrita pela chamada função de quebra).
Quando o processo de fragmentação de partículas através da moagem é realizado com
duas substâncias minerais de moabilidades substancialmente diferentes, além da preocupação
com a quebra de partículas, visando sua liberação, a adequação para o processo subsequente
de concentração por espécie se torna um fator extremamente importante, nessa instância, a
seletividade da cominuição pode vir a favorecer a seletividade do processo de concentração.
Este trabalho visou ao estudo da cominuição seletiva, de modo a melhorar o
desempenho de sistema de concentração a jusante, sendo realizado através de campanha
experimental em laboratório.
Além da campanha experimental em laboratório chegou-se a um resultado com
variáveis que determinaram um valor de separação no processo entre duas espécies minerais,
usando a metodologia algébrica incorporada a um programa computacional, o Scilab.
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O trabalho apresenta inicialmente uma revisão bibliográfica do problema da
cominuição com ênfase na cominuição seletiva. A seguir é apresentada a proposta da criação
de um modelo matemático para otimização da cominuição seletiva. Uma vez determinado o
modelo teórico, foi feita a validação de algumas variáveis do modelo a partir de ensaios
controlados de moagem em laboratório, tais tópicos serão a seguir detalhados.
14
14
2. OBJETIVOS
• Modelar algebricamente o processo de cominuição seletiva de sistema binário
previamente liberado, a partir da reformulação do modelo matemático descrito por
Ray e Szekely (1973).
• Validar o modelo matemático através dos resultados empíricos.
• Demonstrar um estudo de viabilidade de separação prévia ao processo subseqüente de
moagem aproveitando as diferenças físico-químicas dos minerais.
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3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Uma partícula após entrar no moinho, sofre algumas transformações devido ao
processo de cominuição. Entre elas podem ser citadas: quebra de ligação química,
transformação química e mecânica, quebra da partícula por impacto, por compressão e por
abrasão, seleção da partícula para a quebra e formação de nova superfície de contato.
Segundo Ale e Figueira (2002), o comportamento das partículas minerais em um
moinho de bolas é determinado pelo tipo de regime de moagem:
“Tem-se dois regimes de moagem: Na moagem em catarata, a velocidade do moinho carrega as bolas até uma posição bem elevada e elas caem sobre as outras bolas e sobre a polpa causando fragmentação por impacto. Na moagem em cascata, a velocidade baixa do moinho e o alto fator de enchimento faz com que as bolas ao alcançarem uma certa altura rolem sobre as outras não havendo quase impacto e a moagem se dá por abrasão ou atrito”.
O tipo de fragmentação determina o gasto energético em consequência da liberação de
energia durante a quebra, e a transformação desta energia é um componente dependente do
tipo de material a ser moído. Os principais parâmetros operacionais que definem a energia
consumida são: o diâmetro do moinho, o comprimento do moinho, o volume da carga, a
velocidade e o tipo de moinho.
Baseando-se nos parâmetros operacionais, Datta e Rajamani (2002), formularam um
modelo no qual definem que a distribuição do tamanho das bolas, velocidade angular do
moinho e os diferentes tamanhos de moinhos, afetam diretamente o movimento da carga e,
portanto, a distribuição da energia de colisão. No modelo citado, a ação de queda no moinho
de bolas em cada colisão, afeta certa quantidade de material de uma classe granulométrica em
particular e ocasiona a quebra deste material. O material selecionado para a quebra é
16
16
redistribuído em granulometrias inferiores e esta distribuição depende da energia de colisão
entre as bolas e uma quantidade específica de massa de partículas.
Todos os trabalhos realizados definem a importância do aumento da eficiência do
moinho, considerando aspectos químicos, mecânicos e cinéticos. Através destes estudos,
observa-se a importância de determinar todas as variáveis que irão mudar valores de
eficiência de moagem e custo de operação, como: o diâmetro do corpo moedor, revestimento,
diâmetro do moinho e fatores no cálculo do custo de equipamento que deve ser reduzido
alcançando um resultado ótimo com a máxima liberação e/ou separação das espécies
envolvidas.
Fuerstenau e Abozeid (2002) estudaram a energia do moinho de bolas na cominuição,
definindo que a energia é dada pela razão de energia da nova superfície criada durante a
redução granulométrica pela energia mecânica fornecida para realizar a redução
granulométrica na máquina. Os resultados mostraram que em relação à energia associada com
a nova superfície produzida, o moinho de bolas é de certa forma ineficiente. Neste mesmo
artigo foram apresentados os valores plotados da cominuição do quartzo, todos os resultados
mostraram que a quantidade da nova superfície produzida é diretamente proporcional à
energia despendida, que obedece a lei de Rittinger.
A Lei de Rittinger (Beraldo, 1987), desenvolvida em 1867, sugere que a energia
consumida na cominuição é proporcional à nova superfície produzida. Rittinger utiliza a
relação entre energia consumida, granulometria de produto e da alimentação, estando
evidenciado na expressão:
−=
12
11
xxKE
(3.1)
Onde:
17
x2 – diâmetro das partículas do produto;
x1 – diâmetro das partículas da alimentação.
A Lei de Kick (Beraldo, 1987), desenvolvida em 1885, estabelece que a energia
consumida na cominuição é dependente apenas da relação de redução, sendo independente da
granulometria original. É representada pela expressão:
=
2
1lnx
xKE
(3.2)
Onde:
x2 – diâmetro das partículas do produto.
x1 – diâmetro das partículas da alimentação.
A Lei de Bond (Beraldo, 1987) foi desenvolvida em 1952 após uma intensa campanha
de ensaios laboratoriais e correlações industriais. É uma lei empírica, à qual Bond preconizou
que a energia consumida na cominuição é proporcional ao comprimento das fissuras iniciais
que se desenvolvem no fraturamento. Atualmente, a Lei de Bond é amplamente utilizada em
escala industrial com vários fatores de correção.
Bond, em sua equação relaciona o consumo de potência com o grau de redução na
moagem, a qual pode ser expressa por:
F
Wi
P
WiW
1010 −=
(3.3)
18
18
Onde:
W – Consumo específico de energia em [J/kg-1];
Wi – Índice de trabalho (work index) [J/kg-1];
P – Abertura da peneira na qual passam 80% do produto final moído [µm];
F – Abertura da peneira na qual passam 80% de alimentação do moinho [µm].
A partir dos estudos realizados por Bond (1952), Rittinger (1867) e Kick (1885),
Morrell (2004) estudou uma nova relação para a energia específica requerida com a finalidade
de otimizar o circuito de moagem. Neste estudo, Morrell relata a dificuldade que Bond
encontrou quando passou da planta piloto à escala industrial na determinação do índice de
trabalho. Por esta razão houve a inserção dos fatores de correção. O índice de trabalho (Wi)
estudado por Bond é o principal parâmetro que diferencia a Lei de Bond das expressões
anteriormente propostas. O índice de trabalho (Wi) é uma constante do material (e, a rigor,
também do processo específico) representando a energia necessária para cominuir de uma
granulometria representada por um diâmetro infinito a uma representada por 80% passante em
100 mícrômetros.
Na verdade, o mesmo material pode exibir Wi diferente, dependendo das condições da
operação de cominuição, pois está implícito que o mecanismo de quebra do tamanho infinito
para até 100 µm seria o mesmo. Portanto é um valor de uma operação virtual, pois até certa
granulação o mecanismo pode ser essencialmente de destacamento de grânulos (fratura
interparticular), sendo que a partir dela, diminuindo-se o tamanho, o mecanismo de
fragmentação será nitidamente intraparticular.
Ora, nesses casos acima citados, naturalmente é de esperar diferenças na energia
específica consumida, mostrando que, na verdade o Wi não é necessariamente uma constante
intrínseca do material e sim depende da faixa de trabalho considerada.
19
Realizando testes em escala piloto nos moinhos autógenos/semi-autógenos, Morrell
verificou que o índice de Bond (Wi) diminui com a diminuição da granulação do produto,
através desta conclusão é interessante relembrar que a definição do índice de Bond é:
“parâmetro de cominuição no qual expressa a resistência do material à britagem e à moagem”.
Sabe-se que a resistência da rocha aumenta com o decréscimo de tamanho devido às falhas
pré-existentes que reduzem com a diminuição do tamanho da rocha, constituindo a afirmação
supracitada uma indeterminação, sendo considerada perigosa tal conclusão. A descrição mais
completa proposta por Morrell para a equação de cominuição é:
( )( )
f x
dxdE Cg x
x= − (3.4)
Onde:
E – energia requerida por unidade de massa (energia específica) em kWh/t;
g(x) – função que descreve a variação das propriedades do material na quebra em
relação à granulação da partícula;
C – Constante descrita pela propriedade de quebra do material.
A variação das propriedades do material na quebra não acontece da mesma forma para
todas as rochas, mas é conhecido que determinadas rochas comportam-se de maneira similar.
Por esta conclusão a equação proposta se torna:
2 1( ) ( )2 1( )f x f x
iW M K x x= − (3.5)
Onde:
W – energia específica (KWh/t);
K – constante escolhida para balanço de unidades na equação;
20
20
Mi – índice relatado para a propriedade de quebra de um minério (KWh/t);
x2 – 80% do tamanho passante no produto;
x1 – 80% do tamanho passante na alimentação.
A equação para a função f(x) com melhores resultados é:
( ) ( )bf x a x= − + (3.6)
Onde:
a,b – constantes;
x – 80% da granulometria passante.
Morrell concluiu que atualmente é mais eficiente usar o expoente de granulação da
partícula sendo variável como proposto por Hukki, e não fixar o expoente de granulação da
partícula em – 0.5, como proposto por Bond, apresentando este último uma deficiência na
equação se não for utilizado os fatores de correção, acarretando um erro de 115% em circuitos
de moagem de autógenos e semi-autógenos.
O consumo de energia envolvido na moagem de moinho de bolas é um dos fatores
mais relevantes para otimização do processo de cominuição. O processo de cominuição é o
que envolve maior dispêndio de energia, e como consequência é uma das maiores
preocupações dentro beneficiamento de minerais. Como pequeno exemplo para análise, tem-
se o estudo de Ribeiro e Abrantes (2001) sobre otimização energética do processo de
moagem.
Alvarado e colaboradores (1998) estudaram o consumo de energia na moagem usando
a correlação de Bond, incluindo todos os fatores de correção. Esse estudo relaciona a
otimização do processo de cominuição a partir da segunda lei da termodinâmica. A parte mais
relevante como auxílio teórico deste trabalho está no fato da criação de uma função objetivo
21
custo. A função objetivo relaciona a energia útil do processo de moagem somada à energia
útil da britagem. De acordo com este trabalho, a função objetivo depende apenas da
granulometria de alimentação.
Para maior compreensão do gasto de energia no processo de cominuição, é
interessante apresentar um trabalho recente de Silva e Luz (2007), no qual foi analisada a
relação anteriormente estudada por Thomas e Filippov (1999) entre o gasto energético no
processo de cominuição e a perda de energia térmica do sistema para o ambiente ao seu redor.
O estudo utiliza a Lei de Hukki que relaciona a energia consumida por unidade de
massa para reduzir o tamanho médio de partícula do material quebrado, e conclui a
dependência do consumo energético em função da distribuição granulométrica do produto.
O estudo proposto por Thomas e Filippov (1999) reconhece que trabalhos atuais sobre
energia despendida pelo processo de cominuição, necessitam de uma análise detalhada sobre
os parâmetros morfológicos das partículas minerais. Em relação ao consumo de energia, eles
afirmam que a ruptura mineral envolve muitos processos diferentes. Tais processos ocorrem
juntos ou sucessivamente e não devem ser desconsiderados nas relações de gasto energético.
De acordo com o trabalho realizado, é necessária uma descrição precisa de
propriedades geométricas do conjunto de descontinuidades naturais ou produzidas que
ocorrem na partícula mineral durante a fragmentação.
Thomas e Filippov (1999) ressaltam a importância de estimar o gasto de energia
térmica na criação de nova superfície da partícula para o balanço de energia do processo.
Nesse trabalho são sugeridas duas hipóteses como base teórica: a primeira fala que a
distribuição inicial da fratura é governada por uma lei fractal proposta por Turcotte (1986) e a
segunda é que há uma lei de escala para descrever a forma da fratura nas partículas.
22
22
Thomas e Filippov (1999) relacionam o modelo de gasto energético proposto por
Hukki e o modelo de estrutura fractal. Em conclusão ao trabalho, eles afirmam que o processo
de fragmentação é altamente dependente das propriedades estruturais do mineral original.
Em um estudo sobre a eficiência energética, Tromans (2008) fala sobre o alto custo do
processo de cominuição, descrevendo a natureza do processo que ele considerou como sendo
ineficiente por estar baseado na energia mecânica (tensão) relativa à área superficial da fratura
gerada (energia). Tromans destaca alguns estudos para aproveitar melhor o conceito de
energia de superfície e cita o trabalho de Stamboliadis (2007) no qual conclui que a energia de
superfície é uma propriedade que pode ser usada para definir a moabilidade do material. Neste
trabalho, foi estudada a quebra da partícula por compressão para conhecer um limite máximo
teórico de energia de eficiência dentro das condições de fratura ideal na cominuição
(compressão).
O estudo da fratura nos minerais, realizado por Tromans (2007), inicialmente foi feito
através do estudo de tensão uniaxial. Esse estudo sobre fratura nos minerais está relacionado à
energia requerida para criar uma nova fratura, sendo o limite ideal máximo de eficiência (que
ele denominou por Elimite) baseado na energia requerida para a criação de uma fratura. Entre
os resultados obtidos por ele, 66 % é o limite ideal máximo de eficiência considerando uma
carga de tensão uniaxial. Através da carga de compressão sobre a partícula, Tromans conclui
sobre a necessidade de se produzir tensão para a propagação de uma falha pré-existente.
Conclui também como a razão de Poisson e a tensão triaxial influenciam no limite máximo de
energia de eficiência.
Stamboliadis (2007) em seu estudo teórico relaciona granulometria e energia, estudo
no qual ele denomina de “teoria da distribuição da energia na cominuição”. Nesse estudo, ele
relembra as três pricipais teorias da cominuição que foram propostas por Kick (1885),
Rittinger (1867) e Bond (1952).
23
Stamboliadis (2007) denomina “índice de moabilidade” a energia requerida para
cominuir certa quantidade de material de granulometria inicialmente grossa para uma
granulometria fina. Esse estudo faz referência às principais equações utilizadas para
determinar uma distribuição granulométrica, que são a de Rosin – Ramler (R-R) e a de Gates-
Gaudin-Schuhmann (G-G-S), que calculam com aceitável exatidão os tamanhos d50 e d80,
utilizados normalmente para descrever o produto de granulometria mais fina da moagem.
O autor acima citado ressalta, porém, que nenhuma destas equações podem ser
utilizadas para calcular a área superficial específica. De acordo com ele, a área superficial
tende ao infinito quando a granulometria se aproxima de zero, desta forma, conhecendo a área
superficial de uma amostra é possível calcular a granulometria de outra amostra com mesma
área superficial específica. Entre algumas outras conclusões, Stamboliadis (2007) fala que a
tensão superficial (medida em J/m2) é a propriedade física dos materiais que pode ser usada
para definir sua moabilidade.
Em mais um estudo sobre energia, porém em relação à cinética do moinho de bolas,
Kheifets e Lin (1998) propôs uma relação que utiliza energia em lugar de tempo. O modelo é
similar ao modelo clássico da cinética química, porém o tempo é substituído pela energia e a
temperatura substituída pela relação de força. Como conclusão, a dependência entre a força e
a eficiência energética foi confirmada experimentalmente. A substituição do tempo pela
energia, e da temperatura pela força através do aparato matemático clássico da cinética
química, possibilitou descrever o processo de redução granulométrica quantitativamente com
a unificação de técnicas para escala industrial de moagem.
Entre os esforços para otimizar o processo de cominuição, encontra-se o estudo de
Mishra (2003) que utiliza o método de elementos discretos (DEM) para otimizar o processo
de moagem através da simulação computacional. Ele analisa o movimento da carga dentro do
24
24
moinho de bolas, considerando que este movimento tem grande influência na cominuição
juntamente com a distribuição de energia.
O estudo de Mishra (2003) aborda a importância das mudanças físicas e químicas na
partícula através da compreensão da quebra de uma única partícula, do movimento da carga
no moinho e da medida das forças que atuam dentro do moinho. Para analisar a energia
utilizada no processo de moagem, ele relaciona a corrente de energia e a eficiência de
moagem ao movimento da carga e à colisão resultante das bolas que utilizam a energia para
fraturar as partículas. Através das observações supracitadas, a energia é dada por:
TNP π2= (3.7)
O torque é dado por:
(3.8)
Onde:
T – torque;
Mb – massa das bolas;
rg – distância do centro do moinho ao centro de gravidade da carga;
α – ângulo de repouso da carga de bolas;
N – velocidade do moinho em rpm.
Mishra (2003) admitiu que o movimento da carga acontece em função do tipo de
revestimento usado. O desgaste do moinho também é importante no processo de cominuição,
porém é resultado de vários processos complexos, que devem ser detalhados para melhorar o
desempenho da moagem. Ele utiliza argumentos que podem validar o modelo de balanço
populacional a ser usado no modelamento em mircroescala, porque o modelo faz um
prognóstico sobre a distribuição granulométrica das partículas na moagem. O modelamento
αsenrMT gb=
25
em microescala envolve a quebra de uma única partícula e a energia de impacto para que
ocorra a distribuição granulométrica das partículas. O espectro da energia de impacto pode ser
obtido através da simulação com DEM (Métodos de Elementos Discretos).
Além dos estudos desenvolvidos por Mishra (2003), Dong e Moys (2002) também
utilizaram o DEM para simular e analisar a trajetória de uma bola no processo de moagem.
Eles plotaram a trajetória de entrada de uma bola, antes e depois do impacto sobre a
carcaça do moinho, sob diversas velocidades. Através deste estudo, Dong e Moys (2002)
conseguiram determinar um coeficiente entre a bola e a carcaça do moinho, para determinar a
posição da carga no moinho e a velocidade da bola após o impacto.
Partículas minerais fragmentadas podem ser incorporadas na simulação do processo de
moagem, que é baseado nas dinâmicas de uma partícula individual (DEM), porém, quando
devem ser consideradas partículas de granulometria muito fina o método pode se tornar
limitado. Este conhecimento foi reafirmado por Gates e Westcott (2000) ao estudar
probabilidade de distribuição granulométrica após a fragmentação. Eles estudaram um
processo de quebra baseado na estatística de Poisson e disponibilizaram um exemplo de
população de fragmentos.
Um ótimo estudo para observar com maior detalhe a precisão do DEM em relação aos
dados experimentais é o de Makokha e colaboradores (2007). O objetivo do trabalho foi
otimizar o desempenho do moinho. Os resultados simulados em relação à posição de carga
dentro do moinho expressam bem a realidade da campanha experimental realizada.
Está bastante clara a importância de usar o DEM (Método do Elemento Discreto) na
simulação do processo de cominuição. É possível também simular o fluxo de sólido
particulado dentro dos moinhos pelo método DEM. Este estudo foi realizado por Cleary
(2006) e analisa o transporte axial das partículas dentro do moinho. É um trabalho recente
sobre o movimento de fluxo de minério.
26
26
O modelo de balanço populacional (King, 2001), analisa as propriedades das
partículas através de suas coordenadas internas e externas. A idéia é que as partículas
modificam suas coordenadas quando se movem pelo ambiente, processando e modificando a
estrutura física e suas características internas.
Através do reconhecimento das coordenadas externas e internas de uma partícula, é
possível conhecer sua posição no espaço, sendo extremamente importante em determinados
modelos matemáticos. O tamanho da partícula, assim como a energia específica de
superfície, possivelmente um dos principais parâmetros na otimização de um circuito de
moagem, são considerados um exemplo de coordenada interna.
Para máquinas de cominuição, o uso da equação geral de balanço populacional é
gerado dentro das seguintes condições: tem-se apenas uma coordenada interna que é a
granulação da partícula, o processo de desgaste e de quebra da partícula não é dependente da
posição da partícula no moinho e as coordenadas externas são muito relevantes.
A equação de balanço populacional para um sistema de partículas na fragmentação é:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),, , ,
v
n tu u n u t du n t
t
υφ ω υ φ υ υ
∞∂= −
∂ ∫ (3.9)
Onde:
( ),n t dυ υ - concentração de um número de partículas em determinada granulometria
( ), dυ υ υ+ , #/cm3.
( )φ υ - razão de quebra para partículas de granulometria υ, s-1.
( ),u dω υ υ - número provável de partículas formadas em determinada granulometria (υ, υ + d
υ) pela quebra de uma única partícula de granulometria υ, adimensional.
,u υ - Volume de partícula, µm3.
27
Através das análises de Frandrich e colaboradores (1997) para desenvolvimento do
modelo de liberação mineral, tem-se novamente o auxílio da equação de balanço
populacional. A equação de balanço populacional é uma boa ferramenta para previsão da
granulometria do produto no processo de cominuição, e foi utilizada nesse estudo onde se
descreve o desenvolvimento de um modelo de liberação mineral para o leito de fragmentação
de partícula de um minério binário de óxido de ferro. Entre os resultados obtidos, as medidas
de liberação realizadas nos produtos do leito de fragmentação de partícula do minério binário
de óxido de ferro mostraram um lugar de quebra preferencial nas partículas.
Khumalo e colaboradores (2007) também utilizaram o modelo de balanço
populacional em suas análises sobre energia específica no processo de cominuição. Eles
modelaram o produto experimental do processo de moagem e apresentaram os resultados
geometricamente no espaço bi-dimensional.
Outro trabalho interessante que utiliza um modelo matemático para simular o processo
de moagem com moinho de bolas é o de Carrisso e Possa (1993). Eles utilizaram um modelo
cinético a partir do modelo de balanço populacional. As variáveis utilizadas na simulação
foram: função distribuição de tempo de residência (h(t)), função de quebra (B) e função de
seleção (S).
Para ressaltar a importância do detalhamento da cinética de fragmentação no processo
de cominuição, é interessante comentar sobre um estudo que também utiliza a cinética da
quebra durante a carga de compressão sobre a granulometria de alimentação confinada em um
leito de partícula. Este estudo foi realizado por Gutsche e Fuerstenau (1999). Eles afirmam
que a evolução do espectro granulométrico com a energia gasta é um processo assintótico.
Foi observado que para simular o processo de cominuição, normalmente é utilizado o modelo
de balanço populacional. Kwade (2004) direcionou seus estudos a partir de um modelo físico
com o objetivo de otimizar o processo de cominuição.A análise para a otimização foi baseada
28
28
na ação da energia de tensão que ocorre no processo de cominuição. A partir dos resultados
analisados, Kwade oferece algumas mudanças futuras para o processo de moagem pelo
modelo de tensão.
Um estudo proposto por Teke e colaboradores (2002) estuda a cinética do moinho de
bolas conduzindo moagem a úmido nos minerais de calcita e barita. Eles utilizam o Si (função
seleção) e o Bij (função de quebra) para obter resultados de distribuição granulométrica
através de simulação e comparar com experimentos realizados. O estudo relata o aumento ou
diminuição dos valores de Si em função da granulometria de alimentação e do tamanho da
bola como corpo moedor.
Teke e colaboradores (2002) observaram que, com longo tempo de moagem, Si
decresce com o acúmulo de material fino no moinho. Na simulação, usaram-se valores de Bij
e Si obtidos em laboratório. Através da opção de circuito aberto no simulador eles utilizaram
Bij e Si para gerar valores da distribuição granulométrica da alimentação.
Pela comparação de valores obtidos na moagem da calcita e da barita, eles observaram
que com o aumento da granulometria de alimentação, o valor de Si aumenta
proporcionalmente para ambos minerais. Para granulometrias finas, o efeito que ele
denominou como abaixamento da taxa de quebra começa a acontecer primeiro na moagem da
barita em relação à calcita. Foi observado que os valores de γ (constante característica
denominada fator de finura) da barita são menores do que os valores da calcita, indicando que
mais finos são produzido na moagem da barita.
O trabalho realizado por Teke e colaboradores (2002) determinou os seguintes
resultados:
1. Para a calcita, os valores de Si aumentam com o aumento da granulometria da
alimentação. Em relação ao corpo moedor, bolas menores aumentam os valores de Si.
29
2. Por um fator de 1,15, os valores de Si da barita são maiores que os da calcita
considerando condições normais de moagem.
3. O decréscimo de eficiência de moagem pode ser causado pelas partículas finas que são
difíceis de quebrar.
4. A razão para o efeito de abaixamento da taxa de quebra acontecer primeiro para a
barita é devido a seu fator γ, chamado de fator de finura, que é menor em relação à
calcita.
Bearman, Briggs e Kojovic (1997) estudaram através de testes específicos, o processo
de cominuição em relação à resistência das rochas. Nesse estudo, são utilizados testes dentro
da mecânica de rochas para medida de fragmentação. Neste trabalho foi investigada a relação
dos parâmetros de tensão na fragmentação das rochas. Os resultados obtidos são utilizados
com sucesso para a simulação e otimização de circuitos de moagem.
Para otimizar o processo de moagem em relação a parâmetros operacionais, Schnatz
(2004) estudou como a variação da razão L/D, a razão de adição de carga de bolas e o tempo
de residência afetam na demanda de energia específica. Entre os resultados, tem-se um
abaixamento na demanda de energia específica utilizando bolas menores. Foi observado que o
tempo de residência otimizado depende não apenas do material da alimentação, mas também
da razão de adição de carga de bolas e da razão L/D.
Em trabalho mais recente de otimização de circuito de moagem, é interessante apenas
comentar sobre o sistema de simulação dinâmica desenvolvido recentemente pela CSIRO
Minerais. É um programa de ambiente gráfico chamado Matlab/Simulink usado para construir
um conjunto de comandos de modelos matemáticos dinâmicos. O estudo foi realizado por Liu
e Spencer (2004).
30
30
Como mostra a revisão bibliográfica realizada, o processo de cominuição tem sido
destacado em vários estudos visando à obtenção de uma melhor qualidade de produto. Foram
estudados vários modelos matemáticos visando o aumento de eficiência no moinho de bolas.
Cada vez mais em busca de modelos simplificados e eficientes, encontram-se
propostas que são baseadas na física, na química e na matemática, que compõe o trabalho
realizado.
Para exemplificar, será mostrado a seguir o modelo matemático de otimização em
sistema de estrutura decomposta para duas espécies minerais.
3.1. Modelo de Ray e Szekely
Ray e Szekely (1973) utilizaram o princípio máximo discreto para formular o modelo
matemático de otimização em sistemas de estrutura decomposta.
O modelo utilizando o princípio máximo discreto (Ray e Szekely, 1973) é eficiente
apesar das simplificações adotadas nas suas premissas. A base do modelo se baseia no estudo
de população de partículas sólidas obedecendo à distribuição log normal, e ignorando os
fenômenos que ocorrem na cominuição pela análise de uma única partícula.
A distribuição granulométrica através do modelo log normal adotada por Ray é
calculada por:
(3.10)
( ) ( )
−−=σπσ 2
2
log2
loglogexp
2log
1 dddy
31
Onde:
d – diâmetro médio da partícula.
σ2 – variância do material.
y(d) – fração do material com diâmetro entre d e d + ∆d.
O desvio padrão dos materiais depende da granulometria de cada um, de forma que irá
modificar ao longo do processo de cominuição com a mudança na granulação dos materiais.
O desvio padrão será diferente para cada material, sendo a constante de moabilidade
também diferente. Ray e Szekely (1973) expressaram esta evolução do desvio padrão de uma
das espécies de forma simplificada:
(3.11)
Onde k é um parâmetro dependente do material utilizado na moagem, sendo que em
seu exemplo de aplicação para o último estágio de moagem os autores adotaram os seguintes
valores de k:
K = 0,9 para o material A.
K = 0,85 para o material B.
Pelo modelo proposto por Ray e Szekely, a função-objetivo relaciona a granulação
final em cada estágio de moagem e o custo de equipamento que é proporcional ao tempo de
residência. Quanto menor o tempo de residência, menor o desgaste do equipamento e menor o
seu custo operacional.
Como função-objetivo, tem-se então:
k
in
outinout d
d
= σσ
32
32
(3.12)
A função objetivo está submetida aos vínculos representados pela granulação de saída
de cada material. Sem considerar os modelos mais comuns de balanço populacional
(utilizando conceitos como funções de seleção e de quebra), Ray e Szekely (1973) adotaram
as seguintes equações vinculantes:
(3.13)
(3.14)
Onde:
dA∞ – tamanho limite da espécie para um tempo de moagem infinito [m];
x1N – tamanho de saída do material A no enésimo estágio de moagem [m];
x2N – tamanho de saída do material B no enésimo estágio de moagem;
x(x-1) – tamanho de entrada do material A no enésimo estágio de moagem;
x2(x-1) – tamanho de entrada do material B no enésimo estágio de moagem;
τn – tempo de residência considerando no enésimo estágio de cominuição [s];
CAn – constante de moabilidade do material A no enésimo estágio de moagem;
CBn – constante de moabilidade do material B no enésimo estágio de moagem;
α – constante ponderadora relacionada ao custo do equipamento.
∑=
−
−−
−
=3
11
85,0
22
9,0
11 5,2
7,222
22
nn
N
NN
NN
x
xx
xx
I τα
∞
−
++
= A
nAnn
n dC
x
xτ
)1(1
1 11
∞
−
++
= B
nBnn
n dC
x
xτ
)1(2
2 11
33
Para tornar as variáveis da função objetivo independentes, esses autores aplicaram a
técnica dos multiplicadores de Lagrange, necessidade imposta para utilizar o Princípio
Máximo Discreto, que coloca a função-objetivo como:
(3.15)
No caso do exemplo dado por Ray e Szekely, G(XN) será:
( )13
85,0
2323
9,0
1313
3
5.27.22
222
x
xx
xx
xG
+−
−=
(3.16)
Sendo Fn:
nn uF α−= n = 1, 2, 3 (3.17)
Deste modo a função objetivo será:
(3.18)
Aplicando a condição estacionária de Kuhn-Tucker para um valor ótimo, tem-se:
(3.19)
O valor de Hn pode ser interpretado como resultado da função lagrangeana para o
enésimo estágio. Pela instância supracitada, o valor de Hn para o exemplo dado será:
( ) ( ) ( )Nnn
N
nnnn xGuxFuuuxxxI += −
=∑ ,,...,,,,..., 1
12121
( )3321 xGFFFI +++=
( ) ( )nnnT
nnnn uxfuxFH ,, 11 −− +≡ λ
34
34
(3.20)
Onde
=
n
n
2
1
λλ
λ é um vetor dos multiplicadores de Lagrange para o enésimo
estágio, que é dado pela derivada parcial em relação à Hn e G(x). Pelo teorema do princípio
máximo discreto esta derivada é calculada da seguinte forma:
n
nTn x
H
∂∂
= +1λ (3.21)
N
TN x
G
∂∂=λ (3.22)
Sendo que o resultado desta derivação para o problema proposto é:
(3.23)
(3.24)
++
+
++
+−= ∞
−
∞
−
B
nBnn
nA
nAnn
nnn duC
x
duC
x
uH
12
2
11
1 11
11 λλα
2
1
2
111
111
11
1
+=
++
+n
nAnn
nn xuCx
λλ
2
2
2
112122
11
+=
+++
nnBnnnn xuCx
λλ
35
e
(3.25)
(3.26)
3.2 Exemplo de Cominuição Seletiva.
Foi realizado, no laboratório de tratamento mineral da UFOP, o processo de separação
entre gibsita e quartzo por atrição seguida de corte granulométrico (Luz, 2006). O processo de
atrição pode ser considerado um processo de cominuição por abrasão, como, por vezes, na
moagem autógena. Devido à moabilidade maior da gibbsita, esta fase mineralógica fica
granulometricamente mais fina que o quartzo (para uma alimentação com os constituintes
com a mesma granulação). O resultado nesse caso específico, porém, está relacionado com o
processo de separação (concentração com enriquecimento de dada fase com a fase de
interesse) e não propriamente de liberação de partícula mineral. A título de ilustração, os
resultados, após peneiramento, são apresentados nas figuras 3.1, 3.2 e 3.3, a seguir (Luz,
2006):
( )13
3
13
1.0
13
13
229.01
x
xG
x
x
−
−=
−
λ
13
15.0
23
23
5.22
5.2
7.11
x
x
+−
=
−
λ
36
36
Figura 3.1 – Alimentação do sistema de atrição. Material: gibbsita e quartzo.
Figura 3.2 – Avaliação visual do sistema de atrição. Material, da esquerda para a direita: alimentação, produto grosso (quartzoso) após separação por peneira e produto fino (gibbsítico) após separação por peneira.
37
Figura 3.3 – Avaliação visual do produto grosso (quartzoso) empobrecido de gibbsita, após corte granulométrico subsequente à atrição.
Como podem ser observadas, as partículas de quartzo estão concentradas no material
de granulometria grosseira, obtendo desta forma uma comparação real para o processo em
estudo que é a separação por diferentes granulometrias.
38
38
4. METODOLOGIA
Primeiramente fez-se um estudo sobre um possível modelo matemático algébrico para
posteriormente fazer o trabalho experimental. Para tanto, previu-se os seguintes itens: o
modelo de Ray e Szekely que foi tomado como referência para a formulação de um modelo
com novas propostas, o Scilab que auxiliou na execução do processo empírico, amostras,
ensaios de moagem e determinação do teor nas amostras.
O material que foi utilizado estava liberado para que a fragmentação pudesse
promover as condições que permitissem facilitar a subsequente separação de duas espécies de
diferentes moabilidades.
4.1. Amostras
Os minerais utilizados para o trabalho foram o quartzo e a calcita, que já estavam
liberados em consequência do principal motivo ser a separação da mistura pelas diferenças de
moabilidades entre os mesmos. Optou-se por estudar uma mistura binária já liberada para
simplificação do modelo. Futuramente os resultados servirão para balizar modelos
matemáticos mais complexos.
O quartzo, proveniente da pedreira Taquaral, cidade de Ouro Preto – M.G., possui
estrutura cristalina composta por sílica (dióxido de silício, SiO2).
39
Figura 4.1. Cristais do quartzo utilizado no presente trabalho (pedreira Taquaral).
Figura 4.2 Quartzo da pedreira Taquaral pronto para ser britado.
A calcita foi cedida pela Lage Minérios Limitada – Lamil, oriunda de sua cava em
Pará de Minas (MG). A Lamil é uma empresa cujo produto principal é o agalmatolito, que
possui aplicação em vários segmentos da indústria química. A calcita é um mineral com
composição química CaCO3 e com a notável característica de apresentar clivagem
romboédrica pefeita.
As amostras foram preparadas da seguinte forma:
40
40
As amostras foram britadas e bitoladas em faixa granulométrica abaixo de 3,35 mm,
pois, devido a indisponibilidade de amostra ilimitada deve-se procurar bitolar o material em
faixa mais ampla para que se possa ter o maior coeficiente de aproveitamento das amostras
disponíveis. Em virtude de o objetivo ser o modelamento do processo, foram usadas amostras
de minérios sintéticos com dois minerais de diferenças de moabilidades bem acentuadas, para
facilitar a formulação e a posterior calibração do modelo.
4.2. Modelagem do Processo
Para a modelagem do processo, previu-se primeiramente o tempo de residência e em
último momento incorporou-se o custo de cominuição.
4.2.1. Generalidades
Para a modelagem do processo foram estudadas as seguintes variáveis:
� Tempo de residência.
� Granulometrias da alimentação e produto para cada tipo de mineral.
� Agudez e diâmetro mediano da calcita e do quartzo.
� Teor de calcita.
41
4.2.2 Modelo de cominuição seletiva
Para o novo modelo apresentado, a granulometria de entrada e saída não foi descrita
pela distribuição log normal e sim pela distribuição de Rosin-Rammler, ao contrário do
modelo de Ray e Szekely, isto porque a distribuição Log Normal apresenta dificuldades de
manipulação algébrica (por exemplo, não é Rieman-integrável), além de estar atualmente em
desuso, visto que as distribuições como Rosin-Rammler, Gates-Gaudin-Schuman, Gaudin-
Meloy são muito mais utilizadas.
Essa distribuição é expressa por:
(4.1)
Onde:
Y i – Fração granulométrica passante acumulada de material na classe granulométrica i;
di – tamanho (diâmetro) da classe i [m];
d50c – tamanho nominal de corte (d50) [m];
m – parâmetro de agudez (ou módulo da distribuição) [-].
A representação gráfica idealizada da evolução das equações de Rosin-Rammler
descritoras da granulação de saída dos dois materiais considerando hipoteticamente uma
mesma alimentação de entrada, após um tempo t de moagem, pode ser vista na figura 4.3.
( )
−−=
m
c
ii d
dY
50
5,0lnexp1
42
42
Figura 4.3 – Evolução da granulação das espécies mineralógicas com o progresso da cominuição.
A área a ser minimizada estará sujeita as restrições econômicas (como o tamanho do
moinho, por exemplo) e também às restrições técnicas do processo (como a variável
tratabilidade dos produtos a processos subsequentes, como por exemplo, concentração
densitária). Isso realça a importância de se estabelecer uma função penalidade vinculada a
este conflito técnico-econômico, como quando se tem produção de muito fino no processo de
moagem.
Para valores típicos experimentais em função do diâmetro do moinho (Machado, 1985.)
em princípio, o modelo adotou como valores “default”, os segmentos:
43
• Porosidade do leito Є ≈ 20%
• h ≈ 0,45 x D
• L ≈ 1,3 x D
O custo do equipamento pela expressão proposta por Parkinson e Mular (1972) foi dado
por:
(4.2)
a – custo do equipamento de referência no presente histórico [$];
b – parâmetro igual a 0,54 para moinho de bolas com revestimento [-];
P – potência do equipamento [W].
Para o cálculo da potência:
(4.3)
L – comprimento do moinho de bolas.
D – diâmetro do moinho de bolas.
Para todos os valores citados anteriormente, tem-se um custo de equipamento para
moinho de bolas de acordo com o seguinte modelo matemático:
54,00 )(6,304 PC ×= (4.4)
Onde:
P – potência do moinho de bolas [W].
( )bcusto a P=
5,29540 DLP ××=
44
44
Para auxiliar na validação do modelo e na análise dos resultados do processo de
cominuição seletiva, utilizou-se o Scilab, um software com as características, descritas no
sub-item 4.4.
4.3. Ensaios de Validação do Modelo
Os ensaios para validação do modelo foram ensaios de moagem para determinação de
tempo de residência, gasto de energia e volume da carga de bolas a ser utilizado, ensaio de
peneiramento para determinar a granulometria de entrada e saída do material no moinho de
bolas e a separação das espécies minerais anteriormente misturadas.
4.3.1. Britagem do material
Todo o material foi britado para atingir a granulometria abaixo de 3,35 mm.
Foi feita a britagem inicialmente em britador de mandíbula e posteriormente, quando
necessário, o material que ficou retido na peneira de 3,35 mm, foi britado em britador de rolo.
Todo o material britado foi peneirado, o passante foi amostrado e moído em variados
tempos de moagem. A amostragem do material a ser moído foi feita através do método de Gy.
45
4.3.2. Massa mínima da amostra pelo método de Gy
4.3.2.1 Método de Gy
A representação verdadeira de um grande corpo mineral por uma pequena amostra a
ser tratada em laboratório é uma tarefa difícil. As dificuldades são principalmente em apurar
uma adequada granulometria de amostra e determinar a quantidade exata no qual a amostra
representa a amostra total.
Em cada caso a exatidão da amostra final dependerá da probabilidade matemática na
qual a amostra representa o material total. Vários métodos têm sido apresentados para
aumentar a probabilidade representativa do mineral como um todo. Foi desenvolvido por Gy
um método extensamente utilizado, de mesmo modo, envolvendo ambos, granulometria e
precisão de análise da amostra. Gy introduziu um modelo baseado em equiprobabilidade de
espaços amostrais (Gupta e Yan, 2006).
4.3.2.2. Amostragem pelo método de Gy.
Inicialmente, todo material de quartzo e calcita foi britado (separadamente) até atingir
uma granulometria abaixo de 3,35 mm. Após a britagem calculou-se o peso da amostra
representativa para os ensaios de moagem com o auxílio do método de Gy (Wills e Napier-
Munn, 2006).
46
46
Os cálculos realizados para a amostragem do material de peso aproximado inicial
equivalente a 5.000 g foi:
3
2MAX
MIN
KdM
σ= (4.5)
dMAX = granulometria da maior partícula.
MMIN = massa mínima requerida da amostra.
σ2 = variância do erro amostral permitido na análise (no caso de uma distribuição normal é
igual ao desvio padrão).
K é usualmente referido como constante de amostragem (kg/m3)
K = PS PD PL. m
Onde PS = fator de forma da partícula (usualmente tomada como sendo 0,5 para partículas
esféricas, 0,2 para minério de ouro).
PD = fator de distribuição de partícula (usualmente entre 0,20 – 0,75 com valores maiores para
distribuições granulométricas curtas, usualmente entre 0,25 e 0,50 quando o material é de um
determinado tamanho)
m = fator mineralógico.
Desta forma, para o cálculo de massa mínima, dMAX = 3,35 mm, PS = 0,5, PD = 0,25, PL = 1,0,
m = 4.664 kg/m3, K = 583, σ = 0,30 % :
3
2
3,35583
10002,43 2,5 kg
0,30MINM
⋅ = = ≅
(4.6)
47
4.3.3. Cálculo do tamanho de bola
4.3.3.1 Fórmula de Bond
A teoria de Bond para o qual a partícula de maior granulometria na alimentação
determina o tamanho de bola de maior diâmetro para a quebra de partículas é bastante
conhecida. Bond (1961) declarou em sua teoria da cominuição, “O princípio geral de seleção
é que o tamanho adequado para a constituição granulométrica média na moagem é justamente
o tamanho no qual irá quebrar a maior partícula da alimentação.” É melhor determinada para
cada situação específica por teste de comparação (Partyka e Yan, Fine Grinding in a
horizontal Ball Mill).
Foi realizado o cálculo do corpo moedor também pelo método de Azzaroni (Gupta e
Yan, 2006), porém o resultado não foi tão satisfatório como pelo método de Bond.
4.3.3.2 Cálculo do corpo moedor
Para o cálculo do tamanho de corpo moedor, foi utilizada a fórmula de Bond, sendo a
equação aplicável em escala industrial. Bond encontrou que para uma dada granulometria de
alimentação, o maior tamanho de bola requerido pode ser determinado utilizando a seguinte
equação:
48
48
3SG x WF
B 25.4K (% Cs) 3.281D
i= (4.7)
B = diâmetro da bola (mm),
F = 80% passante da alimentação (µm),
K = uma constante empírica = 350 para moagem a úmido,
= 335 para moagem a seco,
SG = densidade específica do material,
Wi = Índice de trabalho de Bond,
%Cs = fração da velocidade crítica,
D = Diâmetro interno do moinho (m).
De posse dos valores, F=3350 µm, Wi=14,4 KWh/t curta, K=335, SG=2.65, %Cs=
70% (Considerando 70% da velocidade crítica de acordo com o artigo “Fine Grinding in a
horizontal Ball Mill”), D=0.206 m, foi calculado o tamanho do corpo moedor:
33350 2.65 x 14.4
B 25.4 70.0419534 70335 (70) 3.281 0.206
mmx
= = ≅ (4.8)
Resultando em 70 mm para escala industrial, houve necessidade de adequação para
escala de laboratório, utilizando-se um corpo moedor de 40 mm.
49
4.3.4. Ensaios de Moagem.
Foi utilizado inicialmente e finalmente apenas um moinho de bolas. O dimensionamento
do moinho para maximizar o resultado de separação entre espécies minerais e minimizar o
custo de equipamento possuiu a seguinte proposta:
� O tempo de residência é proporcional ao tamanho do moinho.
� O gasto energético é uma variável da função penalidade.
A moagem de todo material foi feita em moinho de ferro de 20,6 cm de diâmetro e 20,4
cm de comprimento, sendo o corpo moedor também de ferro.
Após moagem e análise granulométrica de todo material, foram plotados os valores da
porcentagem passante com ajuste de Rosin-Rammler em um único gráfico para comparação.
4.3.5. Análise granulométrica
Para determinação no número de bateladas de peneiramento das amostras estudadas
realizou-se preliminarmente o cálculo de capacidade máxima das peneiras, a partir da equação
seguinte:
2
22 4
i sd d Dm
π ρ+= × × × (4.9)
50
50
m=massa máxima (g),
di=abertura das peneiras em questão (cm),
ds=abertura da peneira imediatamente acima da escala (cm),
D=diâmetro da peneira (cm),
Ρ=massa específica (g/cm3) da amostra a ser ensaiada.
O diâmetro das peneiras utilizadas foi 20 cm e o cálculo da massa inicial das amostras
para análise resultou em aproximadamente 300 g.
As análises granulométricas foram realizadas a seco em duplicata e algumas em
triplicata, antes e após moagem do material nos tempos de 0, 300, 900, 1800, 3600 e 7200
segundos. Foram feitas análises granulométricas de 40 % de quartzo, 40 % de calcita, 20 % de
quartzo e 20 % de calcita. Também foi realizada a moagem do quartzo, calcita e da mistura
binária de 40 % de quartzo, 40 % de calcita, 20 % de quartzo e 20 % de calcita. O tempo de
peneiramento para a análise granulométrica do material foi de 20 minutos para duas séries de
peneiras, sendo a primeira série composta pelas frações de 8#, 10#, 12#, 14#,16#, 20#, 28# e
35#, a segunda por 48#, 65#, 100#, 140#, 200#, 270#, 325#, 400# e – 400#.
Através da análise de gráfico no Easyplot pela porcentagem passante e tamanho da
abertura da peneira (em micrômetro), foi retirado o valor da agudez do material, do diâmetro
mediano e do coeficiente de correção R2.
A moagem do quartzo bitolado foi realizada na granulometria entre 3,35 e 4,75 mm,
para a análise do possível comportamento refratário de finos durante a moagem que modifica
o valor da agudez. Os tempos de moagem para o material bitolado também foram de 0, 300,
900, 1800, 3600 e 7200 segundos. Análises granulométricas foram realizadas após moagem
para encontrar valores da agudez e diâmetro mediano do quartzo bitolado.
51
4.3.6. Determinação de teor
Para análise do teor de um minério, contendo gibbsita e quartzo, Luz (2006) utilizou o
método de termogavimetria simplificada, no qual a composição era determinada por análise
térmica, ou seja, por desidroxilação parcial da gibbsita.
O processo utilizado para a análise de teor da Calcita e do Quartzo, de modo análogo
será a Calcinação.
A calcinação é um processo de aquecimento de um sólido até a liberação de
constituintes voláteis, utilizada principalmente para obtenção de óxidos. Consiste na remoção
da água, do CO2 e outros gases presentes ligados quimicamente à substância que se deseja
calcinar.
Para a calcita, obtém-se o óxido de cálcio pela queima acima de 900 ºC do carbonato
de cálcio (CaCO3) com liberação de gás carbônico. Portanto haverá decréscimo de massa da
amostra, contendo calcita, após sua calcinação.
O quartzo possui estrutura cristalina composta por sílica (dióxido de silício, SiO2),
portanto sem transformação química de acréscimo ou decréscimo de massa durante a
calcinação.
Desta forma, a equação será:
(4.10)
Assim, a partir da perda de massa por calcinação é possível quantificar (por mera
estequiometria) os teores de calcita e quartzo em cada uma das granulometrias estudadas.
As etapas para efetuar a calcinação foram realizadas da seguinte forma:
23 COCaOCaCO +→∆
52
52
1º - Moagem do material.
2º - Peneiramento.
3º - Seleção do material a ser calcinado, devidamente separado em granulometrias de 8#, 10#,
12#, 14#, 16#, 20#, 28#, 35#, 48#, 65#, 100#, 140#, 200#, 270#, 325# e 400# resultante do
peneiramento após todo o processo de moagem a seco. Para obtenção de uma quantidade
satisfatória de material a ser calcinado, foi necessário muitas vezes fazer 3 ensaios de
peneiramento porque para algumas misturas, o material peneirado não atingiu 5 g.
4º - O material foi aquecido na estufa a uma temperatura de 120º durante 1 hora.
5º - Pesagem (massa seca = ms).
6º - Aquecimento da amostra em mufla à 950ºC durante 1 hora.
7º - Resfriamento em dessecador.
8º - Pesagem (massa calcinada = mc).
Desta forma, para cálculo do teor tem-se:
(4.11)
(4.12)
Onde:
2calcinadaseca CO de massa mm m =−=∆ (4.13)
g/mol 44,0 CaOg/mol 100,1
g/mol 162 g/mol 12 CaO g/mol 163 g/mol 12 40,1
COCaOCaCO 23
+→
×++→×+++→
∆
∆
∆
m100,1g
44g calcita da Massa ∆×=
53
(4.14)
Após todo o processo de calcinação de amostras de composição previamente
conhecidas, foi feita a curva de calibração, através da linha de tendência linear para os pontos
de teor de calcita em relação à perda de massa, obtendo-se a partir desta linha a equação para
cálculo de teor, sendo do tipo:
y ax b= + (4.15)
A necessidade de duas curvas de calibração foi proveniente da falta de quantidade
suficiente de amostra para os tamanhos de 325# a 400#.
Os teores de calcita foram obtidos através da curva de calibração:
Curva de calibração para a massa de 30g
y = 0,0791x - 0,0005
R2 = 0,9999
0%
20%
40%
60%
80%
100%
120%
0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00
Perda de massa
Teo
r de
calc
ita
Figura 4.5 – Curva de calibração para cálculo de teor a partir de 30 g de mistura.
s
ccalcita m
m t calcita da teor ==
54
54
Curva de calibração para a massa de 5g
y = 0,4833x - 0,0053
R2 = 0,9985
-20%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
120%
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50
Perda de massa
Teo
r de
cal
cita
Figura 4.6 – Curva de calibração para cálculo de teor a partir de 5 g de mistura.
4.4. O Scilab
Para o desenvolvimento do modelo utilizou-se o Scilab, um software para
processamento matemático dos dados que diminui a quantidade de análises em laboratório
ajudando na validação do modelo matemático em desenvolvimento.
O Scilab é um software científico de distribuição gratuita para computação numérica e
simbólica que auxilia no estudo de engenharia e aplicações de base científica. Este software
possui centenas de funções matemáticas, sendo possível a adição interativa de programas em
várias línguas (como a linguagem C e Fortran).
55
4.5. FindGraph
É um software desenvolvido pela UniPhiz Lab, para montagem de gráficos, curvas e
digitalização. São 12 ferramentas de montagem, incluindo regressão linear, funções logísticas,
aproximações de Fourier, redes neurais, curvas paramétricas com aproximações quadráticas e
uma biblioteca de mais de 300 fórmulas bidimensionais. O programa permite que haja
suavização, interpolação, seja aplicado filtros de Wavelet, subtração, integração e
transformação de dados e curvas. Além disso, o programa suporta automação OLE (Open
Labory Exchange) e pode ser incorporado a outros aplicativos.
4.6. EasyPlot
Programa computacional de análise estatística desenvolvido por S. Karon, da Spiral
Software (www.spiralsoftware.com). É uma ferramenta científica para análise matemática de
dados e análise gráfica, com leitura para arquivos de extensão txt. Possui ferramenta para a
transformada de Fourier, leitura de coordenadas, ferramentas para dados e gráficos em 2-D e
3-D e interação com algumas linguagens de programação (como a linguagem C, por
exemplo).
56
56
4.7. Mathematica 7
Programa computacional para programação, modelagem matemática, simulação,
manipulação de dados, visualização gráfica, com suporte para diversas áreas de pesquisa,
desenvolvido por Stephen Wolfram, da Wolfram (www.wolfram.com). Foi inicialmente
criado para atender exigências de pesquisa em física, engenharia e matemática. Atualmente é
utilizado nas ciências físicas, biológicas, sociais e diversas outras áreas. Seu inventor, Stephen
Wolfram, também lançou um site de buscas, http://www.wolframalpha.com/, para auxiliar em
pesquisas nas diversas áreas.
4.8. Delphi 7
Uma ferramenta de programação de interface gráfica que alia a facilidade do visual
basic ao poder da linguagem object pascal. O Delphi apresenta uma biblioteca de
componentes desenvolvida em Object Pascal – a VCL (Visual Component Library) -, na qual
cada componente é representado por uma classe. Além disso, a linguagem Object Pascal
suporta os requisitos básicos de programação orientada a objetos. A Borland disponibilizou o
código-fonte dos componentes da VCL, o que permite aos desenvolvedores compreender sua
estrutura hierárquica e codificação, facilitando a expansão dessa biblioteca mediante a criação
de novos componentes.
57
4.9. Ajuste da Evolução dos Parâmetros Estatísticos
Para os resultados das análises de laboratório foram feitos ajustes pela curva Rosin-
Rammler e através da sigmóide de Hill, em relação ao passante acumulado de todo o material
britado abaixo de 3,35 mm. A equação da sigmóide de Hill é:
50
m
i m mc
xY
x d=
+ (4.16)
O ajuste pela sigmóide de Hill foi incentivado pela facilidade que a equação oferece
em sua integração e/ou derivação, porém o melhor ajuste apresentado foi por Rosin-Rammler,
sendo a única utilizada para obtenção dos resultados.
As curvas de ajuste do diâmetro mediano e a agudez em relação ao tempo foram
encontradas com o emprego do FindGraph (sub-item 4.5), utilizado com êxito para o
diâmetro mediano, já que mesmo a versão demo permite uma quantidade bem variada de
equações para ajuste de pontos. A forma da equação encontrada para o diâmetro mediano em
relação ao tempo de 0 a 7200 segundos foi:
expt
y a cb
= × − +
(4.17)
Onde:
t = tempo (segundos)
a, b e c = constantes.
58
58
Para a agudez, foram feitas várias tentativas de ajuste por equações mais complexas do
que os polinômios de terceiro grau, porém não houve resultados adequados, portanto a agudez
em relação ao tempo foi ajustada para:
3 2y a t b t c t d= × + × + × + (4.18)
Onde:
a, b, c e d = constantes.
59
5. RESULTADOS E DISCUSSÃO
5.1. Discussão dos Resultados
Aqui são apresentados os valores da porcentagem passante com ajuste da curva de
Rosin-Rammler após moagem e análise granulométrica de todo material.
Todos os valores de agudez e diâmetro mediano foram encontrados através de uma
curva regressional por Rosin-Rammler utilizando o EasyPlot.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
10 100 1000 10000Tamanho [µm]
Pas
sant
e ac
umul
ado
[%]
Figura 5.1 - Evolução temporal da distribuição granulométrica do quartzo isolado com regressão por Rosin-Rammler.
É possível observar pelas figuras de 5.1 à 5.6 que a curva de Rosin-Rammler
apresentou um ajuste adequado a todos os valores de passante acumulado em todos os
tempos de moagem, o que não ocorreu com todos os valores utilizando a sigmoide de Hill.
As curvas e os pontos plotados no gráfico 5.1 são mostrados na tabela 5.1.
60
60
Tabela 5.1: Evolução da distribuição granulométrica do quartzo e curva Rosin-
Rammler.
Tempo de moagem [s] Agudez Diâmetro mediano [µm] R2 Símbolo na Figura 5.1 0 1,40 1568 0,999
300 1,40 1084 0,999 900 1,35 658 0,998 1800 1,33 463 0,997 3600 1,31 319 0,996 7200 1,51 281 0,999
É visualmente perceptível pelos valores de R2 o ajuste adequado da curva de Rosin-
Rammler.
Pode-se concluir que ao menos para o caso da calcita e do quartzo, uma mistura
binária criada justamente não só pela diferença na moabilidade, mas também por diferenças
físico-químicas que facilitaram no processo de calcinação, que a equação mais adequada para
representar uma população de partículas em diferentes granulometrias é a de Rosin-Rammler.
A conclusão do ajuste da curva de Rosin-Rammler se torna pertinente não apenas
pelos resultados gráficos, mas por comparação aos resultados analisados pelo ajuste de curva
através da sigmóide de Hill.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
10 100 1000 10000Tamanho [µm]
Pas
sant
e ac
umul
ado
[%]
Figura 5.2 - Evolução temporal da distribuição granulométrica da calcita isolada com regressão por Rosin-Rammler.
61
As curvas e os pontos plotados no gráfico 5.2 são mostrados na tabela 5.2.
Tabela 5.2: Evolução da distribuição granulométrica da calcita e curva Rosin-Rammler.
Tempo de moagem [s] Agudez Diâmetro mediano [µm] R2 Símbolo na Figura 5.2 0 1,01 1754 0,998
300 1,13 830 0,998 900 1,10 458 0,998 1800 1,26 312 0,997 3600 2,00 223 0,999 7200 2,85 162 1,000
Podem ser observadas diferenças físico-químicas entre o quartzo e a calcita também
através do aumento dos valores para a agudez da calcita isolada quando comparados ao
quartzo isolado, que tem diminuição de valores até o tempo de 3600 segundos, mostrando
uma diferença na moabilidade quando em condições parecidas de distribuição granulométrica
e mesmo tempo de moagem.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
10 100 1000 10000Tamanho [µm]
Pas
sant
e ac
umul
ado
[%]
Figura 5.3 - Evolução temporal da granulometria global da mistura de 60% de calcita com 40% de quartzo com regressão por Rosin-Rammler.
As curvas e os pontos plotados no gráfico 5.3 são mostrados na tabela 5.3.
62
62
Tabela 5.3: Evolução da distribuição da calcita (60%) e do quartzo (40%) e curva
Rosin-Rammler.
Tempo de moagem [s]
Agudez Diâmetro mediano [µm]
R2 Símbolo na Figura 5.3
0 1,14 1659 0,998 300 1,24 858 0,999 900 1,37 565 0,999 1800 1,49 440 0,995 3600 1,57 310 0,997 7200 1,64 174 0,994
A evolução temporal da agudez e do diâmetro mediano para o quartzo e calcita como
mostra os resultados do gráfico 5.3 pela tabela 5.3 na condição de 60% para 40% foi como
esperado, o decréscimo para os valores do diâmetro mediano acusa diminuição da
granulometria e o aumento da agudez indica amplitude de faixa de bitolamento
aproximadamente constante.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
10 100 1000 10000Tamanho [µm]
Pas
sant
e ac
umul
ado
[%]
Figura 5.4 - Evolução temporal da granulação global da mistura de 40% de calcita com 60% de quartzo com regressão por Rosin-Rammler.
As curvas e os pontos plotados no gráfico 5.4 são mostrados na tabela 5.4.
63
Tabela 5.4: Evolução da distribuição da calcita (40%) e do quartzo (60%) e curva
Rosin-Rammler.
Tempo de moagem [s] Agudez Diâmetro mediano [µm] R2 Símbolo na Figura 5.4 0 1,21 1721 0,998
300 1,32 1033 0,999 900 1,35 679 0,999 1800 1,45 468 0,998 3600 1,49 364 0,997 7200 1,45 215 0,996
Para o teor de 40% calcita é observada uma similaridade com a situação anteriormente
descrita para 60% de calcita.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
10 100 1000 10000Tamanho [µm]
Pas
sant
e ac
umul
ado
[%]
Figura 5.5 - Evolução temporal da granulação global da mistura de 20% de calcita com 80% de quartzo com regressão por Rosin-Rammler.
As curvas e os pontos plotados no gráfico 5.5 são mostrados na tabela 5.5.
64
64
Tabela 5.5: Evolução da distribuição da calcita (20%) e do quartzo (80%) e curva
Rosin-Rammler.
Tempo de moagem [s] Agudez Diâmetro mediano [µm] R2 Símbolo na Figura 5.5 0 1,32 1596 0,999
300 1,36 1093 0,997 900 1,32 619 0,998 1800 1,25 418 0,998 3600 1,44 323 0,997 7200 1,63 270 0,999
Para os valores representados pela figura 5.5 através da tabela 5.5, não houve mudança
significativa nos valores da agudez e diâmetro mediano.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
10 100 1000 10000Tamanho [µm]
Pas
sant
e ac
umul
ado
[%]
Figura 5.6 - Evolução temporal da granulação global da mistura de 80% de calcita com 20% de quartzo com regressão por Rosin-Rammler.
As curvas e os pontos plotados no gráfico 5.6 são mostrados na tabela 5.6.
Tabela 5.6: Evolução da distribuição da calcita (80%) e do quartzo (20%) e curva
Rosin-Rammler.
Tempo de moagem [s] Agudez Diâmetro mediano [µm] R2 Símbolo na Figura 5.6 0 1,08 1705 0,998
300 1,14 896 0,998 900 1,27 549 0,997 1800 1,37 379 0,997 3600 1,99 260 0,999 7200 1,66 179 0,995
65
Para o valor da agudez no tempo 7200 segundos de moagem na tabela 5.6 houve um
decréscimo que pode indicar erro experimental ou algum fenômeno indicativo de interferência
entre os dois minerais.
Com o intuito de melhorar a detecção de efeito da composição na moabilidade das
misturas binárias, os valores regressionais correspondentes ao tamanho mediano (d50) e à
agudez da distribuição de cada mistura (m) foram plotados nas Figuras 5.7 a 5.13.
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000Tempo [s]
Diâ
met
ro m
edia
no [µ
m]
100% quartzo 100% calcita 40% calcita / 60% quartzo 60% calcita / 40% quartzo
Figura 5.7 - Evolução temporal do diâmetro mediano em função do tempo de moagem referente à mistura 40% calcita / 60% quartzo, 60% calcita / 40% quartzo e ao quartzo e calcita isolados.
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000Tempo [s]
Diâ
met
ro m
edia
no [µ
m]
100% quartzo 100% calcita 20% calcita / 80% quartzo 80% calcita / 20% quartzo
Figura 5.8 - Evolução temporal do diâmetro mediano em função do tempo de moagem referente à mistura 20% calcita / 80% quartzo, 80% calcita / 20% quartzo e ao quartzo e calcita isolados.
66
66
O diâmetro mediano para todas as misturas binárias comportaram-se de forma similar,
indicando decréscimo de granulometria com a evolução no tempo de moagem, como esperado
Para um estudo mais detalhado sobre a possibilidade de uma faixa granulométrica com
maior quantidade de finos atrapalhar os resultados das análises pelo bitolamento do material,
durante a moagem ou no produto, foi realizado experimentos com material já bitolado.
Foi realizada a moagem do quartzo bitolado (peneirado para estar com o tamanho
entre 3,35 e 4,75 mm), para comprovar como a quantidade de finos sendo refratária ao
processo de moagem influi nos resultados da cominuição. O gráfico referente ao quartzo
bitolado mostra uma diferença esperada em relação ao quartzo com granulometria abaixo de
3,35 mm. É esperado que para pequenos tempos de moagem o diâmetro mediano seja maior
para o quartzo bitolado.
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000Tempo [s]
Diâ
met
ro m
edia
no [µ
m]
100% quartzo quartzo bitolado
Figura 5.9 - Evolução temporal do diâmetro mediano em função do tempo de moagem referente ao quartzo bitolado entre 3,35 e 4,75 mm e quartzo isolado.
A evolução da agudez com o tempo de moagem é exibido nos gráficos 5.10 e 5.11.
67
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000Tempo [s]
Agu
dez
[-]
100 % quartzo 100 % calcita 40% calcita / 60% quartzo 60% calcita / 40% quartzo
Figura 5.10 - Evolução temporal da agudez com 60% e 40% de calcita.
Através do gráfico 5.10 observa-se que os valores da agudez para a mistura 60% de
calcita com 40% de quartzo, 100% de quartzo e 100% de calcita permanecem
aproximadamente constantes após o tempo de moagem de 900 segundos, porém, os valores da
agudez para a calcita pura sofrem uma variação e um aumento considerável após o tempo de
1800 segundos de moagem.
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000Tempo [s]
Agu
dez
[-]
20% calcita:80% quartzo 80% calcita:20% quartzo 100% Quartzo 100% calcita
Figura 5.11 - Evolução temporal da agudez com 80% e 20% de calcita.
Pelo gráfico da figura 5.11 observou-se que quanto maior valor de calcita na mistura, maior o
valor da agudez, porém o valor mostrado em decréscimo para a agudez de 80% de calcita
68
68
analisado pela tabela 5.6 e relatado pode indicar erro experimental ou algum fenômeno
indicativo de interferência entre os dois minerais.
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000Tempo [s]
Agu
dez
[-]
Média ponderda da agudez: 40%:60% Média ponderada da agudez: 60%:40% 40%:60% 60%:40%
Figura 5.12 - Evolução temporal da agudez da mistura simulada (reta tracejada) e da mistura real para 60% e
40% de calcita.
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000Tempo [s]
Agu
dez
[-]
80% calcita:20% quartzo 20% calcita:80% quartzoMédia ponderada da agudez: 80%:20% Média ponderada da agudez: 20%:80%
Figura 5.13 - Evolução temporal da agudez da mistura simulada (reta tracejada) e da mistura real para 80% e 20% de calcita.
As tabelas 5.7 e 5.8 apresentam os desvios entre os valores empíricos e os hipotéticos
(média ponderada) da agudez para as misturas estudadas. Vê-se claramente que há
interferência, pois os desvios são apreciáveis para maiores tempos de moagem. O último
ponto (7200 s) discrepou da tendência geral, talvez indicando erro experimental. De qualquer
69
modo, como os desvios relativos são apreciáveis a hipótese de não interferência pode ser
descartada. Os efeitos de interferência mútua na cominuição das duas espécies mineralógicas
em mistura ficam mais representativos, plotando-se a evolução granulométrica das duas
espécies em separado. Naturalmente, para levantamento das curvas em separado, é necessária
a determinação dos teores em cada ponto. Os valores da granulometria da calcita
(virtualmente isolada) e do quartzo (virtualmente isolado) em função de tempo de moagem
são mostrados nas Figuras – 5.18, 5.19, 5.20 e 5.21.
Tabela 5.7: Desvio relativo da agudez da distribuição da mistura 40% e 60% calcita.
Mistura 40 % de calcita e 60 % de quartzo Mistura 60 % de calcita e 40 % de quartzo
Tempo [s]
Experimental Ponderado Desvio relativo
Experimental Ponderado Desvio relativo
0 1,21 1,24 -2,81% 1,14 1,17 -2,28% 300 1,32 1,29 2,12% 1,24 1,24 0,16% 900 1,35 1,25 7,41% 1,37 1,20 12,41% 1800 1,45 1,30 10,21% 1,49 1,29 13,56% 3600 1,49 1,59 -6,44% 1,57 1,72 -9,81% 7200 1,45 2,05 -41,10% 1,64 2,31 -41,10%
Tabela 5.8: Desvio relativo da agudez da distribuição da mistura 20% e 80% calcita.
Mistura 20 % de calcita e 80 % de quartzo Mistura 80 % de calcita e 20 % de quartzo
Tempo [s]
Experimental Ponderado Desvio relativo
Experimental Ponderado Desvio relativo
0 1,20 1,32 -9,47% 1,09 1,09 0,18% 300 1,36 1,35 1,03% 1,14 1,18 -3,86% 900 1,32 1,30 1,52% 1,27 1,15 9,45% 1800 1,25 1,32 -5,28 1,37 1,27 7,01% 3600 1,44 1,45 -0,56% 1,99 1,86 6,43% 7200 1,63 1,78 -9,08% 1,66 2,58 -55,54%
70
70
Para os tempos de moagem 0, 300, 900, 1800, 3600 e 7200 segundos foi plotado o teor de
calcita na mistura:
Teor em diferentes tempos de moagem80% de Calcita
0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%
100%
10 100 1000 10000Abertura [micrômetro]
Teo
r de
calc
ita
5 minutos 80% calcita 15 minutos 80% calcita 30 minutos 80% calcita60 minutos 80% calcita 120 minutos 80% calcita
Figura 5.14 – Teor de calcita para a mistura 80% calcita / 20% quartzo.
Teor em diferentes tempos de moagem60 % de Calcita
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
10 100 1000 10000Abertura [micrômetro]
Teo
r de
calc
ita
5 minutos 60% calcita 15 minutos 60% calcita 30 minutos 60% calcita60 minutos 60% calcita 120 minutos 60% calcita
Figura 5.15 – Teor de calcita para a mistura 60% calcita / 40% quartzo.
71
Teor em diferentes tempos de moagem40 % de Calcita
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
10 100 1000 10000Abertura [micrômetro]
Teo
r de
calc
ita
5 minutos 40% calcita 15 minutos 40% calcita 30 minutos 40% calcita60 minutos 40% calcita 120 minutos 40% calcita
Figura 5.16 – Teor de calcita para a mistura 40% calcita / 60% quartzo.
Teor em diferentes tempos de moagem20% de Calcita
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
10 100 1000 10000Abertura [micrômetro]
Teo
r de
calc
ita
5 minutos 20% calcita 15 minutos 20% calcita 30 minutos 20% calcita60 minutos 20% calcita 120 minutos 20% calcita
Figura 5.17 – Teor de calcita para a mistura 20% calcita / 80% quartzo.
Para o teor de calcita, houve comportamento esperado, o ponto a menos de 10% de
teor de calcita para 5 minutos de moagem da mistura binária contendo 20% de calcita pela
figura 5.17 indica erro experimental.
72
72
0%
20%
40%
60%
80%
100%
120%
10 100 1000 10000
Pas
sant
e ac
umul
ado
[%]
Abertura [µm]
Figura 5.18 – Evolução granulométrica da calcita quando em mistura calcita/quartzo na proporção 40 % para
60 %.
0%
20%
40%
60%
80%
100%
120%
Pas
sant
e ac
umul
ado
[%]
Abertura [µm]
Figura 5.19 – Evolução granulométrica da calcita quando em mistura calcita/quartzo na proporção 60 % para 40 %.
73
Tabela 5.9: Efeito da mistura na evolução temporal do diâmetro mediano dos minerais
Efeito da mistura na evolução do diâmetro mediano da calcita
Efeito da mistura na evolução do diâmetro mediano do quartzo
Símbolo nas Figuras 5.18 e 5.19
tempo [s]
100 % (pura) 60 % 40 % 100 % (puro)
60 % 40 %
0 1754 µm 1769 µm 1769 µm 1568 µm 1570 µm 1570 µm 300 830 µm 748 µm 858 µm 1084 µm 1154 µm 1041 µm 900 458 µm 456 µm 467 µm 658 µm 849 µm 727 µm 1800 312 µm 346 µm 315 µm 463 µm 594 µm 614 µm 3600 223 µm 242 µm 243 µm 319 µm 471 µm 447 µm 7200 162 µm 150 µm 137µm 278 µm 286 µm 253 µm
Tabela 5.10: Efeito da mistura na evolução temporal da agudez da distribuição dos
minerais
Efeito da mistura na evolução da agudez na parcela calcítica
Efeito da mistura na evolução da agudez na fração quartzosa
Símbolo nas Figuras 5.18 e
5.19 tempo [s] 100 % (pura) 60 % 40 % 100 % (puro) 60 % 40 %
0 1,01 1,04 1,04 1,40 1,43 1,04 300 1,13 1,18 1,20 1,40 1,45 1,20 900 1,10 1,39 1,30 1,35 1,54 1,30 1800 1,26 1,71 1,60 1,33 1,64 1,60 3600 2,00 1,79 1,77 1,31 1,65 1,77 7200 2,85 1,95 1,66 1,51 1,66 1,84
O aumento da agudez apresentado na tabela 5.10 mostra a interferência entre os minerais
presentes na mistura binária.
74
74
0%
20%
40%
60%
80%
100%
120%
10 100 1000 10000
Pas
sant
e ac
umul
ado
[%]
Abertura [µm]
Figura 5.20 – Evolução granulométrica da calcita quando em mistura calcita/quartzo na proporção 20 % para 80 %.
0%
20%
40%
60%
80%
100%
120%
10 100 1000 10000
Pas
sant
e ac
umul
ado
[%]
Abertura [µm]
Figura 5.21 – Evolução granulométrica da calcita quando em mistura calcita/quartzo na proporção 80 % para 20 %.
A interdependência do comportamento dos dois minerais pode ser observada pelos gráficos
das figuras 5.18 a 5.21. A presença de quartzo durante a moagem da calcita acarretou
aumento do parâmetro de agudez da distribuição granulométrica da calcita na maioria dos
tempos de moagem, levando o produto com faixa menos ampla de variação (isto é: aumento
do bitolamento). Esse comportamento está compatível com o fato de a calcita apresentar
clivagem romboédrica perfeita, além de menor dureza e resistência mecânica, quando
comparada ao quartzo.
75
Tabela 5.11: Efeito da mistura na evolução temporal do diâmetro mediano dos minerais
Efeito da mistura na evolução do diâmetro mediano
da calcita
Efeito da mistura na evolução do diâmetro mediano do quartzo
Símbolo nas Figuras 5.20 e 5.21
tempo [s]
100 % (pura) 20 % 80 % 100 % (puro) 20 % 80 %
0 1754 µm 1769 µm 1769 µm 1568 µm 1570 µm 1570 µm 300 830 µm 747 µm 826 µm 1084 µm 993 µm 1106 µm 900 458µm 377 µm 499 µm 568 µm 768 µm 766 µm 1800 312 µm 270 µm 394 µm 463 µm 611 µm 521 µm 3600 223 µm 186 µm 252 µm 319µm 521 µm 411 µm 7200 162 µm 139 µm 143µm 278µm 285 µm 251 µm
Tabela 5.12: Efeito da mistura na evolução temporal da agudez da distribuição dos
minerais
Efeito da mistura na evolução da agudez na parcela calcítica
Efeito da mistura na evolução da agudez na fração quartzosa
Símbolo nas Figuras 5.20 e
5.21 tempo [s] 100 % (pura) 20 % 80 % 100 % (pura) 20 % 80 %
0 1,01 1,04 1,04 1,40 1,43 1,43 300 1,13 1,29 1,21 1,40 1,33 1,37 900 1,10 1,26 1,38 1,35 1,36 1,47 1800 1,26 1,51 1,60 1,33 1,43 1,53 3600 2,00 1,85 1,88 1,31 1,79 1,61 7200 2,85 1,72 1,92 1,51 2,01 1,54
Para compreender melhor e avaliar a interferência de finos no processo de moagem
com a evolução temporal, foram feitas análises granulométricas para o produto de moagem do
quartzo bitolado na granulometria entre 3,35 e 4,75 mm nos tempos 300, 900, 1800, 3600 e
7200 segundos, sendo que através das análises obteve-se a agudez e o diâmetro mediano do
material.
76
76
0102030405060708090
100
10 100 1000 10000
Tamanho [µm]
Pas
sant
e ac
umul
ado
[%]
Figura 5.22 - Evolução temporal da distribuição granulométrica do quartzo isolado bitolado entre 3,35 e 4,75 mm com regressão por Rosin-Rammler.
Tabela 5.13: Evolução da distribuição granulométrica do quartzo isolado bitolado e
curva Rosin-Rammler:
Tempo de moagem [s] Agudez Diâmetro mediano [µm] R2 Símbolo na Figura 5.22 0 90,70 4050 µm 1,000
300 2,14 2566 µm 0,939 900 1,17 1030 µm 0,997 1800 1,29 694 µm 0,995 3600 1,29 373 µm 0,997 7200 1,54 292 µm 0,997
O material bitolado no tempo de moagem 0 certamente tem que apresentar um
diâmetro mediano sendo a média entre os valores 3,35 e 4,75 mm, contudo, justamente pelo
fato de o material estar em uma granulometria com pequena taxa de variação, o valor da
agudez é alto, não devendo ser plotado.
77
5.2 Evolução dos Parâmetros Estatísticos
Para relacionar o tempo t com a distribuição granulométrica dada pela equação de
Rosin-Rammler, foi necessário encontrar equações através da análise do diâmetro mediano e
agudez em relação à evolução temporal na moagem. As equações encontradas e introduzidas
na equação de Rosin-Rammler foram:
Figura 5.23 Curva de ajuste do diâmetro mediano em relação a 20% de calcita:
1544 exp 216300
ty
= × − +
20 % de Calcita
0
500
1000
1500
2000
0 2000 4000 6000 8000 10000
Tempo [s]
Diâ
met
ro m
edia
no [µ
m]
78
78
20 % de Quartzo
0
500
1000
1500
2000
0 2000 4000 6000 8000 10000
Tempo [s]
Diâ
met
ro m
edia
no [µ
m]
Figura 5.24 Curva de ajuste do diâmetro mediano em relação a 20% de quartzo:
1067 exp 441669
ty
= × − +
40 % de Calcita
0
500
1000
1500
2000
0 2000 4000 6000 8000 10000
Tempo [s]
Diâ
met
ro m
edia
no [µ
m]
Figura 5.25 Curva de ajuste do diâmetro mediano em relação a 40% de calcita:
1504 exp 248370
ty
= × − +
79
40 % de Quartzo
0
500
1000
1500
2000
0 2000 4000 6000 8000 10000
Tempo [s]
Diâ
met
ro m
edia
no [µ
m]
Figura 5.26 Curva de ajuste do diâmetro mediano em relação a 40% de quartzo:
1128 exp 380777
ty
= × − +
60 % de Calcita
0
500
1000
1500
2000
0 2000 4000 6000 8000 10000
Tempo [s]
Diâ
met
ro m
edia
no [µ
m]
Figura 5.27 Curva de ajuste do diâmetro mediano em relação a 60% de calcita:
1488 exp 269289
ty
= × − +
80
80
60 % de Quartzo
0
500
1000
1500
2000
0 2000 4000 6000 8000 10000
Tempo [s]
Diâ
met
ro m
edia
no [µ
m]
Figura 5.28 Curva de ajuste do diâmetro mediano em relação a 60% de quartzo:
1160 exp 3611037
ty
= × − +
80 % de Calcita
0
500
1000
1500
2000
0 2000 4000 6000 8000 10000
Tempo [s]
Diâ
met
ro m
edia
no [µ
m]
Figura 5.29 Curva de ajuste do diâmetro mediano em relação a 80% de calcita:
1468 exp 282341
ty
= × − +
81
80 % de Quartzo
0
500
1000
1500
2000
0 2000 4000 6000 8000 10000
Tempo [s]
Diâ
met
ro m
edia
no [µ
m]
Figura 5.30 Curva de ajuste do diâmetro mediano em relação a 80% de quartzo:
1197 exp 331870
ty
= × − +
20 % de Calcita
1,00
1,20
1,40
1,60
1,80
2,00
2,20
0 2000 4000 6000 8000 10000
Tempo [s]
Agu
dez
[-]
Figura 5.31 Curva de ajuste da agudez em relação a 20% de calcita:
12 3 8 2 44,17 1,18 2,16 1,11y e t e t e t− − −= − + + +
82
82
20 % de Quartzo
1,00
1,20
1,40
1,60
1,80
2,00
2,20
0 2000 4000 6000 8000 10000
Tempo [s]
Agu
dez
[-]
Figura 5.32 Curva de ajuste da agudez em relação a 20% de quartzo:
11 3 7 2 41,11 1,14 1,58 1,41y e t e t e t− − −= − + + +
40 % de Calcita
1,00
1,20
1,40
1,60
1,80
2,00
2,20
0 2000 4000 6000 8000 10000
Tempo [s]
Agu
dez
[-]
Figura 5.33 Curva de ajuste da agudez em relação a 40% de calcita:
12 3 8 2 42,80 6,28 3,91 1,01y e t e t e t− − −= + − + +
83
40 % de Quartzo
1,00
1,20
1,40
1,60
1,80
2,00
2,20
0 2000 4000 6000 8000 10000
Tempo [s]
Agu
dez
[-]
Figura 5.34 Curva de ajuste da agudez em relação a 40% de quartzo:
12 3 8 2 52,47 1,90 5,12 1,41y e t e t e t− − −= − + + +
60 % de Calcita
1,00
1,20
1,40
1,60
1,80
2,00
2,20
0 2000 4000 6000 8000 10000
Tempo [s]
Agu
dez
[-]
Figura 5.35 Curva de ajuste da agudez em relação a 60% de calcita:
11 3 7 2 41,03 1,35 5,70 1,02y e t e t e t− − −= + − + +
84
84
60 % de Quartzo
1,00
1,20
1,40
1,60
1,80
2,00
2,20
0 2000 4000 6000 8000 10000
Tempo [s]
Agu
dez
[-]
Figura 5.36 Curva de ajuste da agudez em relação a 60% de quartzo:
12 3 8 2 43,49 4,68 1,90 1,41y e t e t e t− − −= + − + +
80 % de Calcita
1,00
1,20
1,40
1,60
1,80
2,00
2,20
0 2000 4000 6000 8000 10000
Tempo [s]
Agu
dez
[-]
Figura 5.37 Curva de ajuste da agudez em relação a 80% de calcita:
12 3 8 2 42,70 5,88 4,02 1,06y e t e t e t− − −= + − + +
85
80 % de Quartzo
1,00
1,20
1,40
1,60
1,80
2,00
2,20
0 2000 4000 6000 8000 10000
Tempo [s]
Agu
dez
[-]
Figura 5.38 Curva de ajuste da agudez em relação a 80% de quartzo:
12 3 9 2 51,28 2,57 6,74 1,40y e t e t e t− − −= − + + +
Os valores da agudez e do diâmetro mediano calculados pelas equações da agudez e
do diâmetro mediano em função do tempo de moagem (figuras 5.23 a 5.38) são mostrados
pelas tabelas 5.14 a 5.17:
Tabela 5.14: Evolução dos valores da agudez e do diâmetro mediano para 20% de
calcita e 80% de quartzo com o tempo de moagem
Valores da agudez [-] Valores do diâmetro mediano [µm]
20% : 80% 20% : 80% tempo [s] calcita quartzo tempo [s] calcita quartzo
0 1,11 1,40 0 1760,00 1528,00 300 1,18 1,42 300 784,01 1178,89 900 1,31 1,46 900 292,87 756,43 1800 1,51 1,52 1800 219,83 482,20 3600 1,85 1,62 3600 216,01 350,10 7200 1,72 1,54 7200 216,00 331,30
86
86
O decaimento do valor da agudez apresentado na tabela 5.14 para o quartzo na mistura com
teor de 20% de calcita é decorrente da interferência entre os minerais ou erro experimental.
Tabela 5.15: Evolução dos valores da agudez e do diâmetro mediano para 80% de
calcita e 20% de quartzo com o tempo de moagem.
Valores da agudez [-] Valores do diâmetro mediano [µm]
80% : 20% 80% : 20 % tempo [s] calcita quartzo tempo [s] calcita quartzo
0 1,06 1,41 0 1750,00 1508,00 300 1,18 1,47 300 891,04 1122,42 900 1,38 1,64 900 386,83 718,91 1800 1,61 2,00 1800 289,49 513,39 3600 1,87 2,94 3600 282,04 445,91 7200 1,91 4,31 7200 282,00 480,13
Tabela 5.16: Evolução dos valores da agudez e do diâmetro mediano para 40% de
calcita e 60% de quartzo com o tempo de moagem
Valores da agudez [-] Valores do diâmetro mediano [µm]
40 %:60 % 40 % :60 % tempo [s] calcita quartzo tempo [s] calcita quartzo
0 1,01 1,41 0 1752,00 1521,00 300 1,12 1,46 300 916,52 1229,60 900 1,31 1,55 900 380,09 848,01 1800 1,53 1,62 1800 259,60 565,47 3600 1,73 1,65 3600 248,09 397,04 7200 1,61 1,65 7200 248,00 362,12
87
Tabela 5.17: Evolução dos valores da agudez e do diâmetro mediano para 60% de
calcita e 40% de quartzo com o tempo de moagem
Valores da agudez [-] Valores do diâmetro mediano [µm]
60 %:40 % 60 %:40 % tempo [s] calcita quartzo tempo [s] calcita quartzo
0 1,02 1,41 0 1757,00 1508,00 300 1,18 1,43 300 795,96 1146,70 900 1,43 1,47 900 335,09 734,21 1800 1,67 1,55 1800 271,94 491,23 3600 1,80 1,73 3600 269,01 390,97 7200 1,97 1,84 7200 269,00 380,11
Quando comparados os valores de agudez e diâmetro mediano retirados das análises
de laboratório aos calculados, pode ser observada uma coerência entre estes valores,
indicando que não houve erro na escolha das equações 4.17 e 4.18.
5.3 Modelagem da Moagem Binária
5.3.1 Aspectos conceituais
Para a formulação do modelo matemático, foi idealizada a intersecção (denominada
por I) entre as curvas ajustadas por Rosin-Rammler de calcita e quartzo (Figura 5.39) em cada
valor de tempo. Os valores da agudez e do diâmetro mediano em relação ao tempo foram
encontrados através da curva de ajuste apresentados nas equações 4.17 e 4.18.
88
88
Figura 5.39 – Intersecção entre a curva do material A (calcita) e B (quartzo).
O cálculo da intersecção depende da curva de ajuste para os valores da agudez e do
diâmetro mediano em relação ao tempo, de forma que através dos resultados obtidos em
laboratório, encontrou-se a equação da agudez e do diâmetro mediano com a variável tempo.
Foi feito a priori, um algoritmo para encontrar uma única intersecção como no modelo base,
através da raiz dada pela equação de Rosin-Rammler do quartzo e da calcita. Porém,
analisando-se as distribuições granulométricas dos componentes dos produtos da moagem,
precebeu-se que pode haver mais de uma raiz após o ponto 0 do gráfico, pois as curvas
poderão se interceptar em mais de um ponto.
O diâmetro mediano e a agudez podem ser explicitados a partir das equações 4.17 e
4.18 a serem incorporados à equação de Rosin-Rammler densidade de probabilidade:
1
0 0 0
expm m
m x xf
x x x
− = × × −
(5.1)
89
Como o parâmetro de escala (x0) é de menor uso na engenharia mineral,
convencionou-se utilizar apenas o diâmetro mediano (d50), medido através:
1
50 0
1ln
2
m
x x = − ×
(5.2)
Considerando a curva fA da figura 5.39 como sendo da calcita e a curva fB o quartzo,
tem-se na intersecção:
( )Intersecção: encontra: ,A B I If f I x y= ⇒ ≡ (5.3)
Ou seja, para cada tempo de moagem, tem-se a equação ( ); 0AB A BI x y f f≡ − = que
representa a intersecção. As raízes dessa equação fornecem, naturalmente os pontos de
intersecção das curvas dos dois componentes na mistura em cominuição, de coordenadas xI e
yI.
1
0 0 0
1
0 0 0
exp
exp
A A
B B
m m
A I I
A A A
m m
B I I
B B B
m x xI
x x x
m x x
x x x
−
−
= × × − =
× × −
(5.4)
Esse modelo com um ponto de intersecção foi adotado por Ray e Szekely (1973),
assim foi observado, através da plotagem dos valores da agudez e diâmetro mediano na
equação de Rosin-Rammler densidade de probabilidade que as curvas do sistema em estudo
se interceptam em mais de um lugar, havendo no mínimo duas raízes.
90
90
Entretanto, pelo método de aproximações sucessivas, foi observada a convergência
dos valores para a primeira raiz, o zero na intersecção de x e y, considerando o tempo zero de
moagem.
Uma das raízes é a solução trivial: (xI, yI)=(0; 0)
O método de aproximações sucessivas é um método iterativo que se baseia na
aplicação de uma fórmula de recorrência que, sendo satisfeitas determinadas condições de
convergência, gera a partir de um valor inicial uma sucessão de valores numéricos cujo limite
é a raiz procurada. O valor inicial foi dado de acordo com o intervalo mais próximo da
segunda raiz, sendo em função do diâmetro mediano:
( )50 500 50 2
A BA
d dx d
+= + (5.5)
Porém, mesmo colocando um valor inicial aproximado da segunda raiz, o valor
convergiu para zero.
Um maior estudo foi feito para encontrar uma forma de determinar um valor inicial a
fim de gerar convergência para a segunda raiz, como mostra a figura 5.39. Conhecendo-se que
raízes são determinadas nas curvas quando há mudança de sinal, houve direcionamento de
esforços para um algoritmo que reconheça a mudança, porém, sem sucesso.
Para auxiliar no reconhecimento da raiz pela intersecção entre os gráficos de quartzo e
calcita, foram plotados todas as curvas Rosin-Rammler densidade de probabilidade referentes
ao quartzo e a calcita no EasyPlot e retirado o valor da intersecção.
91
5.3.2 Modelo matemático para otimização
Inicialmente optou-se pelo método das aproximações sucessivas a fim de encontrar a
raiz das equações densidade probabilidade de Rosin Rammler do quartzo em relação à calcita,
porém, devido ao insucesso dos resultados obtidos pelo método através de um programa feito
no Scilab, da qual houve convergência para o ponto zero do gráfico, foi utilizado o método de
Newton Raphson para a determinação da citada intersecção.
Este método é uma particularidade do método de aproximações sucessivas. O método
consiste em fazer a iteração
1
( )
'( )k
k kk
f xx x
f x+ = −
(5.6)
a partir de uma condição inicial bem escolhida x0, e assim obter aproximações sucessivas de
alguma raiz x* de f.
Figura 5.41: Representação gráfica da procura por um ponto de intersecção através de Newton Raphson.
92
92
A maneira de achar x1 em função de x0, e igualmente depois achar xk+1 em função de
xk, tem uma forte inspiração geométrica: olha-se para a reta tangente ao gráfico de f no ponto
(xk, f(xk)) e defini-se xk+1 como sendo o ponto de encontro dessa reta com a abscissa.
(Hidroforme e Colli, 2008).
Para o caso do algoritmo criado em Scilab, os dados foram apresentados da seguinte
forma:
Dados de Entrada: Aproximação inicial x0 = 360 e tolerância (ε= 0.00000002).
Saída: tempo em segundos, o valor de x da intersecção, a área total (somatório de A1 + A2),
energia gasta para a moagem da calcita e do quartzo (Ea, Eb) e a função objetivo.
Algoritmo do método de Newton Raphson é mostrado na figura 5.42.
Para encontrar uma solução para f(x) = 0, dada a derivada de f(x) e uma aproximação
inicial x0. (Galvão e Nunes)
93
Dados de Entrada: Aproximação inicial x0 e tolerância (ε).
Saída: Solução aproximada x ou mensagem de “solução não encontrada”.
início
xk = Aproximação inicial
(xk+1- xk)/ xk) > ε ? True Saída de resultado
False
xk=xk+1
xk+1 = xk - f(xk)/f’(x k)
Figura 5.42: Algoritmo do método de Newton Raphson para a construção do modelo.
5.3.2.2 Construção do modelo
Para a construção do modelo, foi feito o algoritmo de Newton Raphson inicialmente
em Delphi, nos tempos de 0 a 7200 segundos com espaçamento de 10 segundos. Foram
94
94
encontrados, através deste algoritmo, os valores da intersecção entre as equações Rosin-
Rammler densidade probabilidade de quartzo e calcita.
Sendo a função Rosin-Rammler densidade probabilidade do quartzo em relação à
calcita:
1
1
( ) exp
exp
ma ma
mb mb
ma x xf x
xa xa xa
mb x x
xb xb xb
−
−
= × × −
− × × −
(5.7)
Como o método de Newton Raphson necessita de derivação (equação 5.8), foi feita a
derivada da função através do programa Mathematica 7:
( )
( )
2
2
2 22
2
2
2
2 22
2
1'( )
1
ma
ma
mb
mb
x ma
xa
x ma
xa
x mb
xb
x mb
xb
xe ma ma
xaf x
xa
xe ma
xaxa
xe mb mb
xbxb
xe mb
xbxb
− + −
− + × −
− + −
− + × −
× − + × × =
× × −
× − + × × −
× × +
(5.8)
Através da plotagem das curvas Rosin-Rammler densidade probabilidade do quartzo e
calcita, confirmou-se os valores da intersecção em diversos tempos calculados pelo algoritmo:
95
Figura 5.43: Valor aproximado de xI e yI no tempo de 900 segundos para calcita (20%) e quartzo (80%)
Onde, para todos os gráficos:
Após encontrar o valor ( ),I II x y≡ , o cálculo das áreas A1 e A2 da figura 5.39 foram
efetuados empregando-se a distribuição acumulada de Rosin-Rammler (integral). Ou seja:
( )10
Área A 1 1 expAm
IA i
A
xY x x
x
= − = = − −
(5.9)
( )20
Área A expBm
IB i
B
xY x x
x
= = = −
(5.10)
96
96
Os valores do xI estudados na intersecção das curvas de quartzo e calcita nos seis
tempos de moagem são mostrados na tabela 5.18.
Tabela 5.18: Evolução dos valores do x na intersecção entre as curvas de quartzo e
calcita com valores de agudez e diâmetro mediano dos resultados experimentais.
Misturas 80 %:20 % 20%:80% 60%:40% 40%:60% Tempo de moagem
[s]
quartzo : calcita xI
quartzo:calcita xI
quartzo:calcita xI
quartzo:calcita xI
0 362,12 378,77 403,75 391,26 300 932,36 724,25 774,19 882,41 900 561,91 587,93 655,57 650,36 1800 399,58 412,07 455,77 468,26 3600 351,2 343,39 398,02 413,63 7200 359 327,78 374,61 405,83
Os valores da tabela 5.18 foram retirados pela intersecção das curvas de quartzo e
calcita plotadas no EasyPlot usando o leitor de coordenadas cartesianas do cursor (“x-hair”),
são valores que foram considerados na montagem do algoritmo para otimização do modelo.
Os valores das áreas na intersecção entre as curvas de quartzo e calcita foram
calculados a partir da tabela 5.18 e das equações 5.9 e 5.10. Os valores de área estão
apresentados nas tabelas 5.19 e 5.20.
97
Tabela 5.19: Evolução dos valores das áreas nas curvas de calcita e quartzo.
Misturas 20 %:80 % 80 %:20 %
Tempo de moagem [s] Área A2= 1- yA
Calcita yB
Quartzo Área A2= 1- yA
Calcita yB
Quartzo 0 0,1129452 0,91178415 0,1279095 0,9059172
300 0,5725002 0,60853018 0,4191636 0,6945794 900 0,803787 0,6383584 0,7086235 0,6072922 1800 0,8194275 0,59411083 0,7057393 0,6397652 3600 0,8173362 0,49824006 0,6327716 0,7249225 7200 0,8100954 0,45638609 0,6032408 0,8247576
Tabela 5.20: Evolução dos valores das áreas nas curvas de calcita e quartzo.
Misturas 40 %:60 % 60 %:40 %
Tempo de moagem [s] Área A2= 1- yA
Calcita yB
Quartzo Área A2= 1- yA
Calcita yB
Quartzo
0 0,1456455 0,8986898 0,14 0,9017371 300 0,4365053 0,7030706 0,54 0,6206826 900 0,7578044 0,6277332 0,83 0,5599044 1800 0,8054035 0,6134331 0,82 0,5254075 3600 0,7926926 0,4985888 0,78 0,465839 7200 0,7405476 0,4803941 0,79 0,4574954
Estes valores retirados pela plotagem das curvas de quartzo e calcita servem como
valores base para a construção de um algoritmo, por comparação, que devem ser valores
próximos no tempo de moagem acima especificado.
Após o cálculo de área na intersecção das curvas de quartzo e calcita, o último
procedimento é formular uma função objetivo que minimize a área desta intersecção de forma
a gerar o melhor valor de área com o menor tempo possível, já que o tempo de residência é
diretamente proporcional ao custo de moagem.
98
98
Para a montagem de uma função objetivo é necessário relacionar a área a ser
minimizada com o tempo de moagem.
Na função objetivo têm-se equações de diâmetro mediano e agudez em relação ao
tempo, com valores entre 10 a 7200 segundos. A necessidade de considerar vários valores
para o tempo de moagem é facilitar na determinação do melhor tempo. As equações do
diâmetro mediano e agudez em relação ao tempo são inseridas na equação de cálculo de área,
obtendo-se nova equação. Como exemplo pode ser citado a equação com 20% de calcita:
( ) 12 3 8 2 44,17 1,18 2,16 1,11
0
exp e t e t e tIA i
mA
xY x x
x
− − −− + + + = = −
����������� (5.11)
Sendo:
50
12 3 8 2 4
0 1
4,17 1,18 2,16 1,11
1544 exp 216300
1ln
2
d
A
e t e t e t
m
t
x− − −− + + +
× − + =
−
�����������
�����������
(5.12)
Através da inclusão da variável tempo ao cálculo da área, pode-se verificar após obter
o valor da intersecção das curvas da figura 5.42, como as áreas A1 e A2 do gráfico se
comportam com a evolução do tempo de moagem.
Pela facilidade de linguagem de programação, inicialmente foi feito o método de
Newton-Raphson através do Delphi. Pela figura 5.44 pode-se fazer a comparação com o
resultado da figura 5.43:
99
Figura 5.44: Valor da intersecção das curvas de calcita e quartzo da figura 5.43. O programa nos dá o valor do x
da intersecção entre duas curvas que seguem o modelo de Rosin-Rammler.
Pelo gráfico obteve-se o valor de x = 566, sendo que o Delphi nos fornece um valor de
x = 562. Através da plotagem de um valor inicial de x adequado, os resultados obtidos pelo
algoritmo foram satisfatórios, como mostram os gráficos das Figuras de 5.45 à 5.57.
Outros exemplos de gráficos que ajudaram na formulação do modelo, feitos no
Mathematica 7:
100
100
Figura 5.45: Valor aproximado de xI e yI (intersecção entre as curvas de calcita e quartzo) no tempo de 0
segundos para calcita (20%) e quartzo (80%)
Figura 5.46: Valor aproximado de xI e yI (intersecção entre as curvas de calcita e quartzo) no tempo de 100
segundos para calcita (20%) e quartzo (80%)
Figura 5.47: Valor aproximado de xI e yI (intersecção entre as curvas de calcita e quartzo)no tempo de 150
segundos para calcita (20%) e quartzo (80%)
101
Figura 5.48: Valor aproximado de xI e yI (intersecção entre as curvas de calcita e quartzo) no tempo de 200
segundos para calcita (20%) e quartzo (80%)
Figura 5.49: Valor aproximado de xI e yI (intersecção entre as curvas de calcita e quartzo) no tempo de 250
segundos para calcita (20%) e quartzo (80%)
Figura 5.50: Valor aproximado de xI e yI (intersecção entre as curvas de calcita e quartzo) no tempo de 300
segundos para calcita (20%) e quartzo (80%)
102
102
Figura 5.51: Valor aproximado de xI e yI (intersecção entre as curvas de calcita e quartzo) no tempo de 350
segundos para calcita (20%) e quartzo (80%)
Figura 5.52: Valor aproximado de xI e yI (intersecção entre as curvas de calcita e quartzo) no tempo de 400
segundos para calcita (20%) e quartzo (80%)
Figura 5.53: Valor aproximado de xI e yI (intersecção entre as curvas de calcita e quartzo) no tempo de 450
segundos para calcita (20%) e quartzo (80%)
103
Figura 5.54: Valor aproximado de xI e yI (intersecção entre as curvas de calcita e quartzo) no tempo de 500
segundos para calcita (20%) e quartzo (80%)
Figura 5.55: Valor aproximado de xI e yI (intersecção entre as curvas de calcita e quartzo) no tempo de 550
segundos para calcita (20%) e quartzo (80%)
Figura 5.56: Valor aproximado de xI e yI (intersecção entre as curvas de calcita e quartzo) no tempo de 600
segundos para calcita (20%) e quartzo (80%)
104
104
Figura 5.57: Valor aproximado de xI e yI (intersecção entre as curvas de calcita e quartzo) no tempo de 650
segundos para calcita (20%) e quartzo (80%)
Após avaliar a precisão do programa feito em Delphi, foi utilizado o scilab para
concluir a parte de programação, por ser um programa gratuito, foi escolhido para finalizar o
algoritmo com a função objetivo.
A função objetivo é então a soma das áreas do gráfico mais uma constante formada
pelo ponderador que multiplica uma função penalidade dependente inicialmente apenas do
custo de operação. Estas áreas ficarão em função do tempo, ficando a função objetivo escrita
como se segue:
( )( )1 2[( ) ]j
obf Minimizar S S f cλ= + + ×
(5.13)
Onde λ é o ponderador e f(c) é uma função penalidade, sendo o custo, obviamente
dependente também do tempo de moagem, já que com o aumento do tempo de moagem, há
aumento da energia gasta. O parâmetro λ também depende dos benefícios econômicos
decorrentes das operações de classificação subsequente. Em cada caso concreto e real, este
impacto positivo deve ser quantificado normalmente através de testes em escala piloto.
Para o tempo de moagem t, tem-se após inclusão da equação clássica de cominuição
de Bond:
105
( )80 80
1 1( ) ,$ 10 tf c f E q Q Wi
P F
= = × × × × − ×
(5.14)
Onde:
Q- vazão mássica [kg/seg.].
Wi – Índice de trabalho da calcita (A) e do quartzo (B) (work index) [J/kg-1];
P – Abertura da peneira na qual passam 80% do produto final moído da calcita (A) e
do quartzo (B) [µm];
F – Abertura da peneira na qual passam 80% de alimentação do moinho da calcita (A)
e do quartzo (B) [µm].
Sendo que q leva em conta outros gastos operacionais como o meio moedor e
consumo de revestimento do moinho (q>1).
Foi feito todo o cálculo da função objetivo no scilab e, o ponderador, foi chamado de
lambda (λ). O Editor de texto do scilab é simples, e o design gráfico para o resultado não é
como no Delphi, porém, o scilab exibe recursos matemáticos que ajudam na programação,
como a função “derivative”, que calcula automaticamente a derivada de qualquer função.
O valor para Lambda (λ) foi calculado através do Excel, mas serão necessárias
maiores pesquisas para avaliar ao certo este valor, a partir deste trabalho é lançada uma
proposta para uma nova pesquisa, encontrar o valor de Lambda (λ) e também avaliar todos os
custos possíveis gerados pela moagem da mistura binária de quartzo e calcita.
Ao fazer a busca para um valor de Lambda (λ) no Excel, ocorreram os seguintes
resultados, que posteriormente, através de mais pesquisas, deverão ser avaliados:
1°) Considerando a moagem grátis, custo 0, λ = 0 , o mínimo da função objetivo foi em 1160
segundos (19 minutos).
106
106
2°) Considerando a moagem com λ = 1, o mínimo da função objetivo cai para 10 segundos.
3°) Considerando a moagem com λ = 0,05, o mínimo da função objetivo cai para 860
segundos (14 minutos).
4°) Somando o custo de energia gasta ao custo de equipamento que se encontra nas equações
4,7 e 4,8, considerando um valor para λ = 0, ainda assim, o mínimo da função objetivo é 1160
segundos (19 minutos).
5°) Considerando a moagem com λ = 1, sendo o custo total igual ao custo de energia mais o
custo de equipamento, o mínimo da função também é 10 segundos.
6°) Nas mesmas condições do comentário anterior, considerando λ =0,05, o mínimo da função
objetivo também é 860 segundos (14 minutos).
O valor do índice de trabalho foi conseguido através de ensaios de moagem a seco e
pela fórmula de Bond para work índex. O valor do índice de trabalho para o quartzo resultou
em 15,12 kwh/t e para a calcita resultou em 11,52 kwh/t. Os valores se encontram de acordo
com a literatura, pois, de acordo com Lowrison (1975), através de ensaios de moagem a seco,
o valor do índice de trabalho para o quartzo é, 15 kwh/t. Hassan & Boulos (2009) mediram o
índice de trabalho de duas amostras de quartzo resultando em: amostra (A), mostrando a
cristalinidade imperfeita possui índice de trabalho de 17,9 Kwh / t, em comparação com 24,03
Kwh / t para a amostra (B) que possui cristais de quartzo mais fechados, anédricos e mais
grossos. Varela, Petter & Wotruba (2006) encontraram valores de índice de trabalho para três
tipos de amostras de mármores, que tem como principal constituinte a calcita, que são:
amostra (A) 13.2 kwh/t, (B) 11.6 kwh/t e (C) 10.7 kwh/t. Kotake, Kuboki, Kiya & Kanda
(2011) encontraram o valor de 13.3 kwh/t para o índice de trabalho do quartzo.
107
6. CONCLUSÕES
Por todo o exposto no presente trabalho concluiu-se que os valores para o parâmetro
regressional da curva de Rosin-Rammler foram bons, indicando ótimo ajuste e confirmando
que pode ser uma curva a representar uma população de partículas minerais.
A calcita e o quartzo foram minerais representativos para o experimento, de forma que
ficou muito clara a diferença entre ambos, em termos de moabilidade e diferenças físico-
químicas.
A aplicação da distribuição de Rosin-Rammler nos resultados granulométricos obtidos
pela campanha experimental de moagem em mistura binária permite observar a diferença do
comportamento do quartzo e da calcita com o tempo de moagem. O diâmetro mediano
evolui, para as duas espécies, segundo uma lei exponencial negativa, embora não haja
sensível impacto da composição da mistura sobre esse parâmetro, quando se consideram as
curvas granulométricas das duas espécies em separado (isto é: como se virtualmente
estivessem isoladas, mesmo que, fisicamente, mescladas). O progresso da moagem não afetou
sensivelmente o valor regressional do parâmetro de agudez para o quartzo, ou seja: embora o
diâmetro mediano vá diminuindo com o tempo a amplitude da faixa de bitolamento fica
aproximadamente constante para esse mineral. O comportamento da calcita, entretanto,
mostra que o progresso da moagem leva a aumento na amplitude da distribuição
granulométrica.
A moagem com o material bitolado mostrou que uma maior homogeneidade na
distribuição granulométrica auxilia para uma diminuição uniforme no diâmetro mediano, já
esperado, porém não houve mudança significativa para o valor do parâmtero de agudez como
previsto.
108
108
A adequação de um programa para os valores gerados graficamente da mistura binária
utilizando Newton Raphson, a fim de encontrar a intersecção entre as curvas de calcita e
quartzo, ajudou gerar valores de aproximação de um tempo ótimo do qual irá determinar um
produto de moagem um pouco mais adequado para processos posteriores de separação.
Os valores finais da programação demonstraram de forma simplificada, ser possível
através de estudos mais detalhados, uma separação prévia dentro do processo de moagem.
A análise do estudo mostrou-se promissora para auxiliar na diminuição de custo de
moagem e melhor aproveitamento das diferenças dos minerais no tratamento de minérios.
109
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Programação – Scilab
0001 // Metodo de Newton Raphson 0002 deff("y=f(x)","y=(((mA/x0A)*((x/x0A)^(mA-1))*exp(-(x/x0A)^mA))-(mB/x0B)*((x/ x0B)^(mB-1))*exp(-(x/x0B)^mB))"); // funcao original (ver valor de m e d50) 0003 deff("y=g(x)","y=x-f(x)/derivative(f,x)"); // esquema de Newton 0004 for t=0:10:7200; 0005 mA=(-4.17e-12)*t^3+(1.18e-8)*t^2+(2.16e-4)*t+1.11; 0006 d50A=1544*exp(-t/300)+216; 0007 x0A=d50A/(-log(0.5))^(1/mA); 0008 mB=(-1.28e-12)*t^3+(2.57e-9)*t^2+(6.74e-5)*t+1.40; 0009 d50B=1197*exp(-t/870)+331; 0010 x0B=d50B/(-log(0.5))^(1/mB); 0011 lambdaa=0.00005; 0012 lambdab=0.00005; 0013 iter=0; 0014 x0=360; 0015 x1=g(x0); 0016 while abs((x1-x0)/x0)>0.00000002, 0017 x0=x1; 0018 x1=g(x0); 0019 iter=iter+1; 0020 end; 0021 S1=exp(-(x1/x0A)^mA); 0022 S2=1-exp(-(x1/x0B)^mB); 0023 S=S1+S2; 0024 Ea=10*11.52*((1/sqrt(d50A*(2.3219)^(1/mA)))-(1/sqrt(3759.25))); 0025 Eb=10*15.12*((1/sqrt(d50B*(2.3219)^(1/mB)))-(1/sqrt(2788.95))); 0026 FO=S+lambdaa*Ea+lambdab*Eb; 0027 printf('t = %g x1 = %g S = %g Ea = %g Eb = %g FO = %g\n',t, x1, S, Ea, Eb, FO) 0028 end;
Função objetivo para 20% de Calcita e 80% de Quartzo no tempo 0 s a 7200 s. Tempo[s] Intersecção[µm] Área Energia [a] Energia [b] Função objetivo t = 0 x1 = 363.371 S = 0.97527 Ea = -4.51116e-007Eb = 1.91233e-006 FO = 0.97527 t = 10 x1 = 384.255 S = 0.973064 Ea = 0.0290218 Eb = 0.0133214 FO = 0.973067 t = 20 x1 = 406.157 S = 0.970667 Ea = 0.0583696 Eb = 0.0266701 FO = 0.970672 t = 30 x1 = 429.056 S = 0.968067 Ea = 0.0880411 Eb = 0.0400477 FO = 0.968074 t = 40 x1 = 452.917 S = 0.965252 Ea = 0.118034 Eb = 0.0534538 FO = 0.965261 t = 50 x1 = 477.68 S = 0.962211 Ea = 0.148347 Eb = 0.066888 FO = 0.962222 t = 60 x1 = 503.266 S = 0.958934 Ea = 0.178976 Eb = 0.0803499 FO = 0.958947 t = 70 x1 = 529.567 S = 0.955412 Ea = 0.209919 Eb = 0.0938391 FO = 0.955427 t = 80 x1 = 556.449 S = 0.951637 Ea = 0.241172 Eb = 0.107355 FO = 0.951655 t = 90 x1 = 583.748 S = 0.947606 Ea = 0.272733 Eb = 0.120898 FO = 0.947626 t = 100 x1 = 611.275 S = 0.943315 Ea = 0.304597 Eb = 0.134466 FO = 0.943337 t = 110 x1 = 638.813 S = 0.938764 Ea = 0.336759 Eb = 0.148061 FO = 0.938788 t = 120 x1 = 666.127 S = 0.933957 Ea = 0.369217 Eb = 0.16168 FO = 0.933983 t = 130 x1 = 692.968 S = 0.928899 Ea = 0.401964 Eb = 0.175324 FO = 0.928928 t = 140 x1 = 719.08 S = 0.923598 Ea = 0.434995 Eb = 0.188993 FO = 0.92363 t = 150 x1 = 744.214 S = 0.918068 Ea = 0.468306 Eb = 0.202685 FO = 0.918101 t = 160 x1 = 768.135 S = 0.91232 Ea = 0.50189 Eb = 0.2164 FO = 0.912356 t = 170 x1 = 790.632 S = 0.906372 Ea = 0.535741 Eb = 0.230139 FO = 0.90641 t = 180 x1 = 811.527 S = 0.90024 Ea = 0.569852 Eb = 0.2439 FO = 0.900281 t = 190 x1 = 830.681 S = 0.893944 Ea = 0.604216 Eb = 0.257683 FO = 0.893987 t = 200 x1 = 847.996 S = 0.887502 Ea = 0.638827 Eb = 0.271488 FO = 0.887547 t = 210 x1 = 863.417 S = 0.880933 Ea = 0.673676 Eb = 0.285313 FO = 0.880981 t = 220 x1 = 876.929 S = 0.874257 Ea = 0.708756 Eb = 0.29916 FO = 0.874307 t = 230 x1 = 888.552 S = 0.867491 Ea = 0.744058 Eb = 0.313026 FO = 0.867544 t = 240 x1 = 898.334 S = 0.860653 Ea = 0.779573 Eb = 0.326912 FO = 0.860709 t = 250 x1 = 906.351 S = 0.85376 Ea = 0.815292 Eb = 0.340816 FO = 0.853818 t = 260 x1 = 912.694 S = 0.846827 Ea = 0.851206 Eb = 0.35474 FO = 0.846887 t = 270 x1 = 917.466 S = 0.839867 Ea = 0.887306 Eb = 0.368681 FO = 0.83993 t = 280 x1 = 920.78 S = 0.832895 Ea = 0.92358 Eb = 0.38264 FO = 0.83296 t = 290 x1 = 922.749 S = 0.825922 Ea = 0.960019 Eb = 0.396616 FO = 0.82599 t = 300 x1 = 923.489 S = 0.818959 Ea = 0.996612 Eb = 0.410608 FO = 0.819029 t = 310 x1 = 923.11 S = 0.812016 Ea = 1.03335 Eb = 0.424617 FO = 0.812089 t = 320 x1 = 921.721 S = 0.805103 Ea = 1.07021 Eb = 0.438641 FO = 0.805178 t = 330 x1 = 919.424 S = 0.798227 Ea = 1.1072 Eb = 0.452679 FO = 0.798305 t = 340 x1 = 916.314 S = 0.791396 Ea = 1.14429 Eb = 0.466732 FO = 0.791476 t = 350 x1 = 912.482 S = 0.784617 Ea = 1.18148 Eb = 0.480799 FO = 0.7847 t = 360 x1 = 908.009 S = 0.777896 Ea = 1.21876 Eb = 0.494879 FO = 0.777981 t = 370 x1 = 902.971 S = 0.771238 Ea = 1.2561 Eb = 0.508972 FO = 0.771327 t = 380 x1 = 897.439 S = 0.76465 Ea = 1.2935 Eb = 0.523076 FO = 0.764741 t = 390 x1 = 891.476 S = 0.758135 Ea = 1.33094 Eb = 0.537193 FO = 0.758228 t = 400 x1 = 885.139 S = 0.751697 Ea = 1.36842 Eb = 0.55132 FO = 0.751793 t = 410 x1 = 878.482 S = 0.745342 Ea = 1.40591 Eb = 0.565458 FO = 0.74544 t = 420 x1 = 871.551 S = 0.739071 Ea = 1.44341 Eb = 0.579605 FO = 0.739172 t = 430 x1 = 864.39 S = 0.732889 Ea = 1.4809 Eb = 0.593762 FO = 0.732992 t = 440 x1 = 857.037 S = 0.726797 Ea = 1.51836 Eb = 0.607927 FO = 0.726904 t = 450 x1 = 849.528 S = 0.7208 Ea = 1.55578 Eb = 0.622101 FO = 0.720909 t = 460 x1 = 841.894 S = 0.714898 Ea = 1.59316 Eb = 0.636282 FO = 0.71501 t = 470 x1 = 834.164 S = 0.709095 Ea = 1.63047 Eb = 0.65047 FO = 0.709209 t = 480 x1 = 826.363 S = 0.703392 Ea = 1.66769 Eb = 0.664664 FO = 0.703508 t = 490 x1 = 818.514 S = 0.69779 Ea = 1.70483 Eb = 0.678864 FO = 0.697909 t = 500 x1 = 810.637 S = 0.692291 Ea = 1.74186 Eb = 0.693069 FO = 0.692413 t = 510 x1 = 802.752 S = 0.686897 Ea = 1.77876 Eb = 0.707278 FO = 0.687021 t = 520 x1 = 794.873 S = 0.681608 Ea = 1.81553 Eb = 0.721491 FO = 0.681735 t = 530 x1 = 787.017 S = 0.676426 Ea = 1.85215 Eb = 0.735708 FO = 0.676555 t = 540 x1 = 779.196 S = 0.671351 Ea = 1.88861 Eb = 0.749927 FO = 0.671483 t = 550 x1 = 771.422 S = 0.666384 Ea = 1.92489 Eb = 0.764148 FO = 0.666518 t = 560 x1 = 763.706 S = 0.661525 Ea = 1.96098 Eb = 0.778371 FO = 0.661662 t = 570 x1 = 756.055 S = 0.656775 Ea = 1.99687 Eb = 0.792594 FO = 0.656914 t = 580 x1 = 748.479 S = 0.652134 Ea = 2.03255 Eb = 0.806817 FO = 0.652275 t = 590 x1 = 740.984 S = 0.647601 Ea = 2.068 Eb = 0.82104 FO = 0.647746 t = 600 x1 = 733.577 S = 0.643178 Ea = 2.10321 Eb = 0.835262 FO = 0.643325 t = 610 x1 = 726.263 S = 0.638864 Ea = 2.13816 Eb = 0.849482 FO = 0.639013 t = 620 x1 = 719.047 S = 0.634659 Ea = 2.17285 Eb = 0.8637 FO = 0.63481 t = 630 x1 = 711.932 S = 0.630562 Ea = 2.20727 Eb = 0.877915 FO = 0.630716 t = 640 x1 = 704.922 S = 0.626573 Ea = 2.24141 Eb = 0.892126 FO = 0.626729
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Tempo[s] Intersecção[µm] Área Energia [a] Energia [b] Função objetivo t = 650 x1 = 698.02 S = 0.622691 Ea = 2.27524 Eb = 0.906333 FO = 0.62285 t = 660 x1 = 691.228 S = 0.618916 Ea = 2.30877 Eb = 0.920535 FO = 0.619078 t = 670 x1 = 684.549 S = 0.615248 Ea = 2.34199 Eb = 0.934732 FO = 0.615412 t = 680 x1 = 677.982 S = 0.611686 Ea = 2.37487 Eb = 0.948922 FO = 0.611852 t = 690 x1 = 671.53 S = 0.608228 Ea = 2.40743 Eb = 0.963105 FO = 0.608396 t = 700 x1 = 665.194 S = 0.604874 Ea = 2.43964 Eb = 0.977281 FO = 0.605044 t = 710 x1 = 658.973 S = 0.601623 Ea = 2.4715 Eb = 0.991449 FO = 0.601796 t = 720 x1 = 652.868 S = 0.598474 Ea = 2.503 Eb = 1.00561 FO = 0.598649 t = 730 x1 = 646.88 S = 0.595425 Ea = 2.53414 Eb = 1.01976 FO = 0.595603 t = 740 x1 = 641.006 S = 0.592477 Ea = 2.5649 Eb = 1.0339 FO = 0.592657 t = 750 x1 = 635.248 S = 0.589628 Ea = 2.59529 Eb = 1.04803 FO = 0.58981 t = 760 x1 = 629.605 S = 0.586876 Ea = 2.62529 Eb = 1.06214 FO = 0.58706 t = 770 x1 = 624.075 S = 0.58422 Ea = 2.6549 Eb = 1.07625 FO = 0.584407 t = 780 x1 = 618.657 S = 0.58166 Ea = 2.68412 Eb = 1.09034 FO = 0.581848 t = 790 x1 = 613.351 S = 0.579193 Ea = 2.71294 Eb = 1.10442 FO = 0.579384 t = 800 x1 = 608.156 S = 0.576819 Ea = 2.74136 Eb = 1.11849 FO = 0.577012 t = 810 x1 = 603.07 S = 0.574536 Ea = 2.76937 Eb = 1.13254 FO = 0.574731 t = 820 x1 = 598.091 S = 0.572342 Ea = 2.79697 Eb = 1.14657 FO = 0.572539 t = 830 x1 = 593.218 S = 0.570237 Ea = 2.82416 Eb = 1.16059 FO = 0.570436 t = 840 x1 = 588.45 S = 0.568219 Ea = 2.85094 Eb = 1.1746 FO = 0.56842 t = 850 x1 = 583.785 S = 0.566286 Ea = 2.8773 Eb = 1.18858 FO = 0.56649 t = 860 x1 = 579.221 S = 0.564438 Ea = 2.90325 Eb = 1.20255 FO = 0.564643 t = 870 x1 = 574.757 S = 0.562672 Ea = 2.92878 Eb = 1.2165 FO = 0.562879 t = 880 x1 = 570.391 S = 0.560987 Ea = 2.9539 Eb = 1.23044 FO = 0.561196 t = 890 x1 = 566.121 S = 0.559382 Ea = 2.97859 Eb = 1.24435 FO = 0.559593 t = 900 x1 = 561.945 S = 0.557855 Ea = 3.00287 Eb = 1.25824 FO = 0.558068 t = 910 x1 = 557.862 S = 0.556404 Ea = 3.02674 Eb = 1.27211 FO = 0.556619 t = 920 x1 = 553.87 S = 0.555029 Ea = 3.05019 Eb = 1.28596 FO = 0.555246 t = 930 x1 = 549.966 S = 0.553727 Ea = 3.07323 Eb = 1.29978 FO = 0.553946 t = 940 x1 = 546.15 S = 0.552498 Ea = 3.09586 Eb = 1.31359 FO = 0.552718 t = 950 x1 = 542.42 S = 0.551339 Ea = 3.11807 Eb = 1.32737 FO = 0.551561 t = 960 x1 = 538.773 S = 0.550249 Ea = 3.13989 Eb = 1.34113 FO = 0.550473 t = 970 x1 = 535.207 S = 0.549227 Ea = 3.16129 Eb = 1.35486 FO = 0.549453 t = 980 x1 = 531.722 S = 0.548272 Ea = 3.1823 Eb = 1.36856 FO = 0.548499 t = 990 x1 = 528.315 S = 0.547381 Ea = 3.20291 Eb = 1.38224 FO = 0.54761 t = 1000 x1 = 524.984 S = 0.546553 Ea = 3.22313 Eb = 1.3959 FO = 0.546784 t = 1010 x1 = 521.728 S = 0.545787 Ea = 3.24296 Eb = 1.40953 FO = 0.54602 t = 1020 x1 = 518.545 S = 0.545082 Ea = 3.2624 Eb = 1.42313 FO = 0.545316 t = 1030 x1 = 515.434 S = 0.544436 Ea = 3.28146 Eb = 1.4367 FO = 0.544672 t = 1040 x1 = 512.392 S = 0.543847 Ea = 3.30014 Eb = 1.45024 FO = 0.544084 t = 1050 x1 = 509.418 S = 0.543314 Ea = 3.31845 Eb = 1.46375 FO = 0.543553 t = 1060 x1 = 506.511 S = 0.542837 Ea = 3.33639 Eb = 1.47724 FO = 0.543077 t = 1070 x1 = 503.668 S = 0.542412 Ea = 3.35397 Eb = 1.49069 FO = 0.542654 t = 1080 x1 = 500.889 S = 0.54204 Ea = 3.37119 Eb = 1.50411 FO = 0.542284 t = 1090 x1 = 498.171 S = 0.541718 Ea = 3.38806 Eb = 1.5175 FO = 0.541964 t = 1100 x1 = 495.514 S = 0.541446 Ea = 3.40458 Eb = 1.53086 FO = 0.541693 t = 1110 x1 = 492.916 S = 0.541222 Ea = 3.42076 Eb = 1.54418 FO = 0.54147 t = 1120 x1 = 490.374 S = 0.541045 Ea = 3.4366 Eb = 1.55747 FO = 0.541295 t = 1130 x1 = 487.889 S = 0.540913 Ea = 3.45211 Eb = 1.57073 FO = 0.541164 t = 1140 x1 = 485.458 S = 0.540826 Ea = 3.46729 Eb = 1.58395 FO = 0.541078 t = 1150 x1 = 483.08 S = 0.540782 Ea = 3.48215 Eb = 1.59714 FO = 0.541036 t = 1160 x1 = 480.754 S = 0.540779 Ea = 3.4967 Eb = 1.61029 FO = 0.541035 t = 1170 x1 = 478.478 S = 0.540817 Ea = 3.51094 Eb = 1.6234 FO = 0.541074 t = 1180 x1 = 476.252 S = 0.540895 Ea = 3.52487 Eb = 1.63648 FO = 0.541153 t = 1190 x1 = 474.074 S = 0.541011 Ea = 3.53851 Eb = 1.64952 FO = 0.541271 t = 1200 x1 = 471.942 S = 0.541165 Ea = 3.55186 Eb = 1.66253 FO = 0.541425 t = 1210 x1 = 469.856 S = 0.541354 Ea = 3.56491 Eb = 1.67549 FO = 0.541616 t = 1220 x1 = 467.814 S = 0.541578 Ea = 3.57769 Eb = 1.68842 FO = 0.541842 t = 1230 x1 = 465.816 S = 0.541837 Ea = 3.59019 Eb = 1.70131 FO = 0.542101 t = 1240 x1 = 463.86 S = 0.542128 Ea = 3.60243 Eb = 1.71416 FO = 0.542394 t = 1250 x1 = 461.945 S = 0.542451 Ea = 3.6144 Eb = 1.72697 FO = 0.542718 t = 1260 x1 = 458.234 S = 0.543189 Ea = 3.63756 Eb = 1.75246 FO = 0.543458 t = 1280 x1 = 456.436 S = 0.543601 Ea = 3.64877 Eb = 1.76514 FO = 0.543872 t = 1290 x1 = 454.676 S = 0.544042 Ea = 3.65974 Eb = 1.77779 FO = 0.544313 t = 1300 x1 = 452.951 S = 0.544509 Ea = 3.67048 Eb = 1.79039 FO = 0.544782
Tempo[s] Intersecção[µm] Área Energia [a] Energia [b] Função objetivo t = 1310 x1 = 451.262 S = 0.545002 Ea = 3.68098 Eb = 1.80294 FO = 0.545276 t = 1320 x1 = 449.607 S = 0.545521 Ea = 3.69125 Eb = 1.81546 FO = 0.545796 t = 1330 x1 = 447.985 S = 0.546064 Ea = 3.70131 Eb = 1.82793 FO = 0.54634 t = 1340 x1 = 446.396 S = 0.54663 Ea = 3.71115 Eb = 1.84035 FO = 0.546907 t = 1350 x1 = 444.84 S = 0.547218 Ea = 3.72077 Eb = 1.85273 FO = 0.547497 t = 1360 x1 = 443.314 S = 0.547829 Ea = 3.7302 Eb = 1.86507 FO = 0.548108 t = 1370 x1 = 441.818 S = 0.54846 Ea = 3.73942 Eb = 1.87736 FO = 0.548741 t = 1380 x1 = 440.352 S = 0.549111 Ea = 3.74845 Eb = 1.8896 FO = 0.549393 t = 1390 x1 = 438.914 S = 0.549782 Ea = 3.75728 Eb = 1.9018 FO = 0.550065 t = 1400 x1 = 437.505 S = 0.550471 Ea = 3.76593 Eb = 1.91395 FO = 0.550755 t = 1410 x1 = 436.123 S = 0.551178 Ea = 3.7744 Eb = 1.92605 FO = 0.551463 t = 1420 x1 = 434.768 S = 0.551902 Ea = 3.78269 Eb = 1.93811 FO = 0.552188 t = 1430 x1 = 433.439 S = 0.552643 Ea = 3.79081 Eb = 1.95012 FO = 0.55293 t = 1440 x1 = 432.135 S = 0.553399 Ea = 3.79876 Eb = 1.96208 FO = 0.553687 t = 1450 x1 = 430.856 S = 0.554171 Ea = 3.80654 Eb = 1.97399 FO = 0.55446 t = 1460 x1 = 429.601 S = 0.554956 Ea = 3.81417 Eb = 1.98585 FO = 0.555246 t = 1470 x1 = 428.37 S = 0.555756 Ea = 3.82164 Eb = 1.99766 FO = 0.556047 t = 1480 x1 = 427.162 S = 0.556568 Ea = 3.82895 Eb = 2.00943 FO = 0.55686 t = 1490 x1 = 425.976 S = 0.557393 Ea = 3.83612 Eb = 2.02114 FO = 0.557686 t = 1500 x1 = 424.812 S = 0.55823 Ea = 3.84315 Eb = 2.03281 FO = 0.558524 t = 1510 x1 = 423.67 S = 0.559078 Ea = 3.85003 Eb = 2.04442 FO = 0.559373 t = 1520 x1 = 422.549 S = 0.559938 Ea = 3.85678 Eb = 2.05598 FO = 0.560233 t = 1530 x1 = 421.448 S = 0.560807 Ea = 3.86339 Eb = 2.06749 FO = 0.561103 t = 1540 x1 = 420.367 S = 0.561686 Ea = 3.86988 Eb = 2.07895 FO = 0.561983 t = 1550 x1 = 419.306 S = 0.562574 Ea = 3.87623 Eb = 2.09036 FO = 0.562872 t = 1560 x1 = 418.264 S = 0.56347 Ea = 3.88247 Eb = 2.10172 FO = 0.56377 t = 1570 x1 = 417.24 S = 0.564375 Ea = 3.88859 Eb = 2.11302 FO = 0.564675 t = 1580 x1 = 416.235 S = 0.565287 Ea = 3.89458 Eb = 2.12427 FO = 0.565588 t = 1590 x1 = 415.247 S = 0.566207 Ea = 3.90047 Eb = 2.13547 FO = 0.566509 t = 1600 x1 = 414.277 S = 0.567133 Ea = 3.90625 Eb = 2.14662 FO = 0.567436 t = 1610 x1 = 413.324 S = 0.568066 Ea = 3.91191 Eb = 2.15771 FO = 0.568369 t = 1620 x1 = 412.387 S = 0.569004 Ea = 3.91748 Eb = 2.16875 FO = 0.569308 t = 1630 x1 = 411.467 S = 0.569948 Ea = 3.92294 Eb = 2.17973 FO = 0.570253 t = 1640 x1 = 410.562 S = 0.570897 Ea = 3.9283 Eb = 2.19066 FO = 0.571203 t = 1650 x1 = 409.674 S = 0.57185 Ea = 3.93357 Eb = 2.20154 FO = 0.572157 t = 1660 x1 = 408.8 S = 0.572807 Ea = 3.93874 Eb = 2.21236 FO = 0.573115 t = 1670 x1 = 407.941 S = 0.573769 Ea = 3.94382 Eb = 2.22313 FO = 0.574077 t = 1680 x1 = 407.097 S = 0.574733 Ea = 3.94881 Eb = 2.23385 FO = 0.575042 t = 1690 x1 = 406.267 S = 0.575701 Ea = 3.95372 Eb = 2.24451 FO = 0.576011 t = 1700 x1 = 405.451 S = 0.576671 Ea = 3.95854 Eb = 2.25511 FO = 0.576982 t = 1710 x1 = 404.649 S = 0.577644 Ea = 3.96328 Eb = 2.26566 FO = 0.577956 t = 1720 x1 = 403.861 S = 0.578619 Ea = 3.96794 Eb = 2.27615 FO = 0.578931 t = 1730 x1 = 403.085 S = 0.579596 Ea = 3.97253 Eb = 2.28659 FO = 0.579909 t = 1740 x1 = 402.322 S = 0.580574 Ea = 3.97704 Eb = 2.29697 FO = 0.580887 t = 1750 x1 = 401.572 S = 0.581553 Ea = 3.98147 Eb = 2.3073 FO = 0.581867 t = 1760 x1 = 400.834 S = 0.582533 Ea = 3.98584 Eb = 2.31757 FO = 0.582848 t = 1770 x1 = 400.108 S = 0.583513 Ea = 3.99013 Eb = 2.32779 FO = 0.583829 t = 1780 x1 = 399.394 S = 0.584494 Ea = 3.99436 Eb = 2.33795 FO = 0.584811 t = 1790 x1 = 398.692 S = 0.585475 Ea = 3.99852 Eb = 2.34805 FO = 0.585792 t = 1800 x1 = 398.001 S = 0.586455 Ea = 4.00262 Eb = 2.35809 FO = 0.586773 t = 1810 x1 = 397.321 S = 0.587435 Ea = 4.00665 Eb = 2.36808 FO = 0.587754 t = 1820 x1 = 396.652 S = 0.588414 Ea = 4.01063 Eb = 2.37802 FO = 0.588733 t = 1830 x1 = 395.994 S = 0.589392 Ea = 4.01454 Eb = 2.3879 FO = 0.589712 t = 1840 x1 = 395.347 S = 0.590369 Ea = 4.0184 Eb = 2.39772 FO = 0.59069 t = 1850 x1 = 394.709 S = 0.591344 Ea = 4.0222 Eb = 2.40748 FO = 0.591666 t = 1860 x1 = 394.082 S = 0.592318 Ea = 4.02595 Eb = 2.41719 FO = 0.59264 t = 1870 x1 = 393.465 S = 0.59329 Ea = 4.02965 Eb = 2.42684 FO = 0.593613 t = 1880 x1 = 392.857 S = 0.59426 Ea = 4.03329 Eb = 2.43643 FO = 0.594583 t = 1890 x1 = 392.26 S = 0.595227 Ea = 4.03688 Eb = 2.44597 FO = 0.595551 t = 1900 x1 = 391.671 S = 0.596192 Ea = 4.04043 Eb = 2.45545 FO = 0.596517 t = 1910 x1 = 391.092 S = 0.597154 Ea = 4.04393 Eb = 2.46487 FO = 0.59748 t = 1920 x1 = 390.522 S = 0.598114 Ea = 4.04738 Eb = 2.47424 FO = 0.59844 t = 1930 x1 = 389.96 S = 0.59907 Ea = 4.05078 Eb = 2.48355 FO = 0.599397 t = 1940 x1 = 389.408 S = 0.600023 Ea = 4.05414 Eb = 2.4928 FO = 0.600351 t = 1950 x1 = 388.864 S = 0.600973 Ea = 4.05746 Eb = 2.502 FO = 0.601301 t = 1960 x1 = 388.328 S = 0.60192 Ea = 4.06074 Eb = 2.51114 FO = 0.602249
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Tempo[s] Intersecção[µm] Área Energia [a] Energia [b] Função objetivo t = 1970 x1 = 387.801 S = 0.602863 Ea = 4.06398 Eb = 2.52022 FO = 0.603192 t = 1980 x1 = 387.281 S = 0.603802 Ea = 4.06717 Eb = 2.52924 FO = 0.604132 t = 1990 x1 = 386.77 S = 0.604737 Ea = 4.07033 Eb = 2.53821 FO = 0.605067 t = 2000 x1 = 386.267 S = 0.605668 Ea = 4.07345 Eb = 2.54713 FO = 0.605999 t = 2010 x1 = 385.771 S = 0.606595 Ea = 4.07654 Eb = 2.55598 FO = 0.606927 t = 2020 x1 = 385.283 S = 0.607518 Ea = 4.07958 Eb = 2.56478 FO = 0.60785 t = 2030 x1 = 384.802 S = 0.608436 Ea = 4.0826 Eb = 2.57352 FO = 0.608769 t = 2040 x1 = 384.329 S = 0.60935 Ea = 4.08558 Eb = 2.58221 FO = 0.609683 t = 2050 x1 = 383.863 S = 0.610259 Ea = 4.08852 Eb = 2.59083 FO = 0.610593 t = 2060 x1 = 383.404 S = 0.611163 Ea = 4.09144 Eb = 2.59941 FO = 0.611498 t = 2070 x1 = 382.952 S = 0.612063 Ea = 4.09432 Eb = 2.60792 FO = 0.612398 t = 2080 x1 = 382.506 S = 0.612957 Ea = 4.09717 Eb = 2.61638 FO = 0.613293 t = 2090 x1 = 382.068 S = 0.613847 Ea = 4.09999 Eb = 2.62479 FO = 0.614183 t = 2100 x1 = 381.636 S = 0.614732 Ea = 4.10278 Eb = 2.63313 FO = 0.615068 t = 2110 x1 = 381.21 S = 0.615611 Ea = 4.10554 Eb = 2.64142 FO = 0.615948 t = 2120 x1 = 380.791 S = 0.616485 Ea = 4.10828 Eb = 2.64966 FO = 0.616823 t = 2130 x1 = 380.379 S = 0.617354 Ea = 4.11099 Eb = 2.65784 FO = 0.617692 t = 2140 x1 = 379.972 S = 0.618217 Ea = 4.11367 Eb = 2.66596 FO = 0.618556 t = 2150 x1 = 379.572 S = 0.619075 Ea = 4.11632 Eb = 2.67403 FO = 0.619414 t = 2160 x1 = 379.177 S = 0.619927 Ea = 4.11895 Eb = 2.68204 FO = 0.620267 t = 2170 x1 = 378.788 S = 0.620773 Ea = 4.12155 Eb = 2.69 FO = 0.621114 t = 2180 x1 = 378.406 S = 0.621614 Ea = 4.12413 Eb = 2.6979 FO = 0.621955 t = 2190 x1 = 378.028 S = 0.62245 Ea = 4.12669 Eb = 2.70575 FO = 0.622791 t = 2200 x1 = 377.657 S = 0.623279 Ea = 4.12922 Eb = 2.71354 FO = 0.623621 t = 2210 x1 = 377.291 S = 0.624102 Ea = 4.13173 Eb = 2.72128 FO = 0.624445 t = 2220 x1 = 376.93 S = 0.62492 Ea = 4.13422 Eb = 2.72896 FO = 0.625263 t = 2230 x1 = 376.575 S = 0.625732 Ea = 4.13668 Eb = 2.73659 FO = 0.626076 t = 2240 x1 = 376.225 S = 0.626538 Ea = 4.13913 Eb = 2.74417 FO = 0.626882 t = 2250 x1 = 375.88 S = 0.627337 Ea = 4.14155 Eb = 2.75168 FO = 0.627682 t = 2260 x1 = 375.541 S = 0.628131 Ea = 4.14395 Eb = 2.75915 FO = 0.628476 t = 2270 x1 = 375.206 S = 0.628919 Ea = 4.14633 Eb = 2.76656 FO = 0.629265 t = 2280 x1 = 374.876 S = 0.6297 Ea = 4.1487 Eb = 2.77392 FO = 0.630047 t = 2290 x1 = 374.551 S = 0.630476 Ea = 4.15104 Eb = 2.78122 FO = 0.630822 t = 2300 x1 = 374.231 S = 0.631245 Ea = 4.15336 Eb = 2.78848 FO = 0.631592 t = 2310 x1 = 373.916 S = 0.632008 Ea = 4.15567 Eb = 2.79567 FO = 0.632356 t = 2320 x1 = 373.605 S = 0.632765 Ea = 4.15796 Eb = 2.80282 FO = 0.633113 t = 2330 x1 = 373.299 S = 0.633516 Ea = 4.16023 Eb = 2.80991 FO = 0.633864 t = 2340 x1 = 372.997 S = 0.63426 Ea = 4.16248 Eb = 2.81695 FO = 0.634609 t = 2350 x1 = 372.7 S = 0.634998 Ea = 4.16471 Eb = 2.82394 FO = 0.635348 t = 2360 x1 = 372.407 S = 0.63573 Ea = 4.16693 Eb = 2.83087 FO = 0.63608 t = 2370 x1 = 372.118 S = 0.636455 Ea = 4.16913 Eb = 2.83776 FO = 0.636806 t = 2380 x1 = 371.834 S = 0.637175 Ea = 4.17132 Eb = 2.84459 FO = 0.637526 t = 2390 x1 = 371.554 S = 0.637888 Ea = 4.17349 Eb = 2.85137 FO = 0.638239 t = 2400 x1 = 371.277 S = 0.638594 Ea = 4.17564 Eb = 2.85809 FO = 0.638946 t = 2410 x1 = 371.005 S = 0.639295 Ea = 4.17778 Eb = 2.86477 FO = 0.639647 t = 2420 x1 = 370.737 S = 0.639989 Ea = 4.17991 Eb = 2.8714 FO = 0.640341 t = 2430 x1 = 370.473 S = 0.640676 Ea = 4.18201 Eb = 2.87797 FO = 0.641029 t = 2440 x1 = 370.212 S = 0.641358 Ea = 4.18411 Eb = 2.88449 FO = 0.641711 t = 2450 x1 = 369.956 S = 0.642033 Ea = 4.18619 Eb = 2.89097 FO = 0.642387 t = 2460 x1 = 369.703 S = 0.642702 Ea = 4.18825 Eb = 2.89739 FO = 0.643056 t = 2470 x1 = 369.454 S = 0.643364 Ea = 4.1903 Eb = 2.90377 FO = 0.643719 t = 2480 x1 = 369.208 S = 0.64402 Ea = 4.19234 Eb = 2.91009 FO = 0.644375 t = 2490 x1 = 368.966 S = 0.64467 Ea = 4.19437 Eb = 2.91637 FO = 0.645026 t = 2500 x1 = 368.727 S = 0.645314 Ea = 4.19638 Eb = 2.92259 FO = 0.64567 t = 2510 x1 = 368.492 S = 0.645951 Ea = 4.19838 Eb = 2.92877 FO = 0.646307 t = 2520 x1 = 368.261 S = 0.646582 Ea = 4.20036 Eb = 2.9349 FO = 0.646939 t = 2530 x1 = 368.032 S = 0.647207 Ea = 4.20233 Eb = 2.94097 FO = 0.647564 t = 2540 x1 = 367.807 S = 0.647825 Ea = 4.20429 Eb = 2.94701 FO = 0.648183 t = 2550 x1 = 367.585 S = 0.648438 Ea = 4.20624 Eb = 2.95299 FO = 0.648796 t = 2560 x1 = 367.367 S = 0.649044 Ea = 4.20818 Eb = 2.95892 FO = 0.649402 t = 2570 x1 = 367.151 S = 0.649644 Ea = 4.2101 Eb = 2.96481 FO = 0.650003 t = 2580 x1 = 366.939 S = 0.650238 Ea = 4.21201 Eb = 2.97065 FO = 0.650597 t = 2590 x1 = 366.73 S = 0.650825 Ea = 4.21391 Eb = 2.97644 FO = 0.651185 t = 2600 x1 = 366.523 S = 0.651407 Ea = 4.2158 Eb = 2.98219 FO = 0.651767 t = 2610 x1 = 366.32 S = 0.651982 Ea = 4.21767 Eb = 2.98789 FO = 0.652343 t = 2620 x1 = 366.119 S = 0.652552 Ea = 4.21954 Eb = 2.99354 FO = 0.652912
Tempo[s] Intersecção[µm] Área Energia [a] Energia [b] Função objetivo t = 2630 x1 = 365.922 S = 0.653115 Ea = 4.22139 Eb = 2.99915 FO = 0.653476 t = 2640 x1 = 365.727 S = 0.653672 Ea = 4.22324 Eb = 3.00471 FO = 0.654034 t = 2650 x1 = 365.535 S = 0.654224 Ea = 4.22507 Eb = 3.01023 FO = 0.654585 t = 2660 x1 = 365.346 S = 0.654769 Ea = 4.22689 Eb = 3.0157 FO = 0.655131 t = 2670 x1 = 365.159 S = 0.655308 Ea = 4.2287 Eb = 3.02112 FO = 0.655671 t = 2680 x1 = 364.975 S = 0.655842 Ea = 4.2305 Eb = 3.02651 FO = 0.656204 t = 2690 x1 = 364.794 S = 0.656369 Ea = 4.23229 Eb = 3.03184 FO = 0.656732 t = 2700 x1 = 364.615 S = 0.656891 Ea = 4.23407 Eb = 3.03713 FO = 0.657254 t = 2710 x1 = 364.439 S = 0.657406 Ea = 4.23584 Eb = 3.04238 FO = 0.65777 t = 2720 x1 = 364.265 S = 0.657916 Ea = 4.2376 Eb = 3.04758 FO = 0.658281 t = 2730 x1 = 364.094 S = 0.658421 Ea = 4.23935 Eb = 3.05275 FO = 0.658785 t = 2740 x1 = 363.925 S = 0.658919 Ea = 4.24109 Eb = 3.05786 FO = 0.659284 t = 2750 x1 = 363.759 S = 0.659412 Ea = 4.24282 Eb = 3.06294 FO = 0.659777 t = 2760 x1 = 363.595 S = 0.659899 Ea = 4.24455 Eb = 3.06797 FO = 0.660264 t = 2770 x1 = 363.433 S = 0.66038 Ea = 4.24626 Eb = 3.07296 FO = 0.660746 t = 2780 x1 = 363.274 S = 0.660856 Ea = 4.24796 Eb = 3.0779 FO = 0.661222 t = 2790 x1 = 363.116 S = 0.661326 Ea = 4.24965 Eb = 3.08281 FO = 0.661693 t = 2800 x1 = 362.961 S = 0.661791 Ea = 4.25133 Eb = 3.08767 FO = 0.662158 t = 2810 x1 = 362.808 S = 0.66225 Ea = 4.25301 Eb = 3.09249 FO = 0.662617 t = 2820 x1 = 362.658 S = 0.662704 Ea = 4.25467 Eb = 3.09727 FO = 0.663071 t = 2830 x1 = 362.509 S = 0.663152 Ea = 4.25633 Eb = 3.10201 FO = 0.66352 t = 2840 x1 = 362.362 S = 0.663594 Ea = 4.25797 Eb = 3.10671 FO = 0.663963 t = 2850 x1 = 362.218 S = 0.664032 Ea = 4.25961 Eb = 3.11137 FO = 0.6644 t = 2860 x1 = 362.075 S = 0.664464 Ea = 4.26124 Eb = 3.11599 FO = 0.664833 t = 2870 x1 = 361.935 S = 0.664891 Ea = 4.26286 Eb = 3.12057 FO = 0.66526 t = 2880 x1 = 361.796 S = 0.665312 Ea = 4.26447 Eb = 3.1251 FO = 0.665682 t = 2890 x1 = 361.66 S = 0.665728 Ea = 4.26607 Eb = 3.1296 FO = 0.666098 t = 2900 x1 = 361.525 S = 0.666139 Ea = 4.26767 Eb = 3.13406 FO = 0.666509 t = 2910 x1 = 361.392 S = 0.666545 Ea = 4.26925 Eb = 3.13848 FO = 0.666916 t = 2920 x1 = 361.261 S = 0.666946 Ea = 4.27083 Eb = 3.14287 FO = 0.667317 t = 2930 x1 = 361.131 S = 0.667342 Ea = 4.2724 Eb = 3.14721 FO = 0.667713 t = 2940 x1 = 361.004 S = 0.667732 Ea = 4.27396 Eb = 3.15152 FO = 0.668104 t = 2950 x1 = 360.878 S = 0.668118 Ea = 4.27551 Eb = 3.15579 FO = 0.66849 t = 2960 x1 = 360.754 S = 0.668499 Ea = 4.27705 Eb = 3.16002 FO = 0.66887 t = 2970 x1 = 360.632 S = 0.668874 Ea = 4.27859 Eb = 3.16421 FO = 0.669247 t = 2980 x1 = 360.511 S = 0.669245 Ea = 4.28012 Eb = 3.16837 FO = 0.669618 t = 2990 x1 = 360.392 S = 0.669611 Ea = 4.28164 Eb = 3.17249 FO = 0.669984 t = 3000 x1 = 360.274 S = 0.669972 Ea = 4.28315 Eb = 3.17657 FO = 0.670345 t = 3010 x1 = 360.158 S = 0.670329 Ea = 4.28465 Eb = 3.18062 FO = 0.670702 t = 3020 x1 = 360.044 S = 0.670681 Ea = 4.28615 Eb = 3.18463 FO = 0.671054 t = 3030 x1 = 359.931 S = 0.671028 Ea = 4.28763 Eb = 3.1886 FO = 0.671402 t = 3040 x1 = 359.82 S = 0.67137 Ea = 4.28911 Eb = 3.19254 FO = 0.671744 t = 3050 x1 = 359.71 S = 0.671708 Ea = 4.29058 Eb = 3.19645 FO = 0.672082 t = 3060 x1 = 359.602 S = 0.672041 Ea = 4.29205 Eb = 3.20032 FO = 0.672416 t = 3070 x1 = 359.495 S = 0.67237 Ea = 4.2935 Eb = 3.20415 FO = 0.672745 t = 3080 x1 = 359.39 S = 0.672694 Ea = 4.29495 Eb = 3.20795 FO = 0.673069 t = 3090 x1 = 359.286 S = 0.673014 Ea = 4.29639 Eb = 3.21172 FO = 0.673389 t = 3100 x1 = 359.183 S = 0.673329 Ea = 4.29782 Eb = 3.21545 FO = 0.673705 t = 3110 x1 = 359.082 S = 0.67364 Ea = 4.29925 Eb = 3.21915 FO = 0.674016 t = 3120 x1 = 358.982 S = 0.673947 Ea = 4.30067 Eb = 3.22281 FO = 0.674323 t = 3130 x1 = 358.883 S = 0.674249 Ea = 4.30208 Eb = 3.22645 FO = 0.674626 t = 3140 x1 = 358.786 S = 0.674547 Ea = 4.30348 Eb = 3.23005 FO = 0.674924 t = 3150 x1 = 358.69 S = 0.674841 Ea = 4.30487 Eb = 3.23361 FO = 0.675218 t = 3160 x1 = 358.595 S = 0.675131 Ea = 4.30626 Eb = 3.23714 FO = 0.675508 t = 3170 x1 = 358.502 S = 0.675417 Ea = 4.30764 Eb = 3.24065 FO = 0.675794 t = 3180 x1 = 358.409 S = 0.675698 Ea = 4.30901 Eb = 3.24411 FO = 0.676076 t = 3190 x1 = 358.318 S = 0.675976 Ea = 4.31038 Eb = 3.24755 FO = 0.676353 t = 3200 x1 = 358.228 S = 0.676249 Ea = 4.31173 Eb = 3.25096 FO = 0.676627 t = 3210 x1 = 358.139 S = 0.676519 Ea = 4.31308 Eb = 3.25433 FO = 0.676897 t = 3220 x1 = 358.052 S = 0.676784 Ea = 4.31443 Eb = 3.25768 FO = 0.677163 t = 3230 x1 = 357.965 S = 0.677046 Ea = 4.31576 Eb = 3.26099 FO = 0.677425 t = 3240 x1 = 357.88 S = 0.677304 Ea = 4.31709 Eb = 3.26427 FO = 0.677683 t = 3250 x1 = 357.796 S = 0.677558 Ea = 4.31841 Eb = 3.26752 FO = 0.677937 t = 3260 x1 = 357.712 S = 0.677808 Ea = 4.31973 Eb = 3.27074 FO = 0.678188 t = 3270 x1 = 357.63 S = 0.678055 Ea = 4.32103 Eb = 3.27393 FO = 0.678434 t = 3280 x1 = 357.549 S = 0.678297 Ea = 4.32233 Eb = 3.2771 FO = 0.678677
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Tempo[s] Intersecção[µm] Área Energia [a] Energia [b] Função objetivo t = 3290 x1 = 357.469 S = 0.678537 Ea = 4.32363 Eb = 3.28023 FO = 0.678917 t = 3300 x1 = 357.39 S = 0.678772 Ea = 4.32491 Eb = 3.28333 FO = 0.679153 t = 3310 x1 = 357.312 S = 0.679004 Ea = 4.32619 Eb = 3.28641 FO = 0.679385 t = 3320 x1 = 357.235 S = 0.679233 Ea = 4.32746 Eb = 3.28945 FO = 0.679614 t = 3330 x1 = 357.159 S = 0.679458 Ea = 4.32872 Eb = 3.29247 FO = 0.679839 t = 3340 x1 = 357.084 S = 0.679679 Ea = 4.32998 Eb = 3.29546 FO = 0.680061 t = 3350 x1 = 357.01 S = 0.679898 Ea = 4.33123 Eb = 3.29842 FO = 0.680279 t = 3360 x1 = 356.936 S = 0.680112 Ea = 4.33247 Eb = 3.30135 FO = 0.680494 t = 3370 x1 = 356.864 S = 0.680324 Ea = 4.33371 Eb = 3.30425 FO = 0.680706 t = 3380 x1 = 356.793 S = 0.680532 Ea = 4.33494 Eb = 3.30713 FO = 0.680914 t = 3390 x1 = 356.722 S = 0.680737 Ea = 4.33616 Eb = 3.30998 FO = 0.681119 t = 3400 x1 = 356.653 S = 0.680938 Ea = 4.33737 Eb = 3.31281 FO = 0.681321 t = 3410 x1 = 356.584 S = 0.681137 Ea = 4.33858 Eb = 3.3156 FO = 0.681519 t = 3420 x1 = 356.516 S = 0.681332 Ea = 4.33978 Eb = 3.31837 FO = 0.681715 t = 3430 x1 = 356.449 S = 0.681524 Ea = 4.34098 Eb = 3.32112 FO = 0.681907 t = 3440 x1 = 356.382 S = 0.681713 Ea = 4.34217 Eb = 3.32383 FO = 0.682097 t = 3450 x1 = 356.317 S = 0.681899 Ea = 4.34335 Eb = 3.32652 FO = 0.682283 t = 3460 x1 = 356.252 S = 0.682082 Ea = 4.34452 Eb = 3.32919 FO = 0.682466 t = 3470 x1 = 356.189 S = 0.682263 Ea = 4.34569 Eb = 3.33183 FO = 0.682646 t = 3480 x1 = 356.125 S = 0.68244 Ea = 4.34685 Eb = 3.33445 FO = 0.682824 t = 3490 x1 = 356.063 S = 0.682614 Ea = 4.348 Eb = 3.33703 FO = 0.682998 t = 3500 x1 = 356.002 S = 0.682785 Ea = 4.34914 Eb = 3.3396 FO = 0.68317 t = 3510 x1 = 355.941 S = 0.682954 Ea = 4.35028 Eb = 3.34214 FO = 0.683339 t = 3520 x1 = 355.881 S = 0.68312 Ea = 4.35142 Eb = 3.34466 FO = 0.683505 t = 3530 x1 = 355.821 S = 0.683283 Ea = 4.35254 Eb = 3.34715 FO = 0.683668 t = 3540 x1 = 355.763 S = 0.683443 Ea = 4.35366 Eb = 3.34961 FO = 0.683828 t = 3550 x1 = 355.705 S = 0.683601 Ea = 4.35477 Eb = 3.35206 FO = 0.683986 t = 3560 x1 = 355.648 S = 0.683756 Ea = 4.35588 Eb = 3.35448 FO = 0.684141 t = 3570 x1 = 355.591 S = 0.683908 Ea = 4.35698 Eb = 3.35687 FO = 0.684294 t = 3580 x1 = 355.535 S = 0.684058 Ea = 4.35807 Eb = 3.35925 FO = 0.684444 t = 3590 x1 = 355.48 S = 0.684206 Ea = 4.35915 Eb = 3.3616 FO = 0.684592 t = 3600 x1 = 355.426 S = 0.68435 Ea = 4.36023 Eb = 3.36392 FO = 0.684737 t = 3610 x1 = 355.372 S = 0.684493 Ea = 4.3613 Eb = 3.36623 FO = 0.684879 t = 3620 x1 = 355.319 S = 0.684633 Ea = 4.36237 Eb = 3.36851 FO = 0.685019 t = 3630 x1 = 355.266 S = 0.68477 Ea = 4.36343 Eb = 3.37077 FO = 0.685157 t = 3640 x1 = 355.214 S = 0.684905 Ea = 4.36448 Eb = 3.373 FO = 0.685292 t = 3650 x1 = 355.163 S = 0.685038 Ea = 4.36553 Eb = 3.37522 FO = 0.685425 t = 3660 x1 = 355.112 S = 0.685168 Ea = 4.36656 Eb = 3.37741 FO = 0.685556 t = 3670 x1 = 355.062 S = 0.685297 Ea = 4.3676 Eb = 3.37958 FO = 0.685684 t = 3680 x1 = 355.013 S = 0.685423 Ea = 4.36862 Eb = 3.38173 FO = 0.68581 t = 3690 x1 = 354.964 S = 0.685546 Ea = 4.36964 Eb = 3.38386 FO = 0.685934 t = 3700 x1 = 354.915 S = 0.685668 Ea = 4.37065 Eb = 3.38597 FO = 0.686056 t = 3710 x1 = 354.868 S = 0.685787 Ea = 4.37166 Eb = 3.38805 FO = 0.686175 t = 3720 x1 = 354.82 S = 0.685905 Ea = 4.37266 Eb = 3.39012 FO = 0.686293 t = 3730 x1 = 354.774 S = 0.68602 Ea = 4.37365 Eb = 3.39216 FO = 0.686408 t = 3740 x1 = 354.728 S = 0.686133 Ea = 4.37463 Eb = 3.39419 FO = 0.686522 t = 3750 x1 = 354.682 S = 0.686244 Ea = 4.37561 Eb = 3.39619 FO = 0.686633 t = 3760 x1 = 354.637 S = 0.686354 Ea = 4.37658 Eb = 3.39817 FO = 0.686742 t = 3770 x1 = 354.593 S = 0.686461 Ea = 4.37755 Eb = 3.40014 FO = 0.68685 t = 3780 x1 = 354.549 S = 0.686566 Ea = 4.37851 Eb = 3.40208 FO = 0.686955 t = 3790 x1 = 354.505 S = 0.68667 Ea = 4.37946 Eb = 3.404 FO = 0.687059 t = 3800 x1 = 354.463 S = 0.686771 Ea = 4.38041 Eb = 3.40591 FO = 0.687161 t = 3810 x1 = 354.42 S = 0.686871 Ea = 4.38135 Eb = 3.40779 FO = 0.687261 t = 3820 x1 = 354.378 S = 0.686969 Ea = 4.38228 Eb = 3.40966 FO = 0.687359 t = 3830 x1 = 354.337 S = 0.687065 Ea = 4.38321 Eb = 3.41151 FO = 0.687455 t = 3840 x1 = 354.296 S = 0.68716 Ea = 4.38412 Eb = 3.41334 FO = 0.68755 t = 3850 x1 = 354.256 S = 0.687253 Ea = 4.38504 Eb = 3.41515 FO = 0.687643 t = 3860 x1 = 354.216 S = 0.687344 Ea = 4.38594 Eb = 3.41694 FO = 0.687734 t = 3870 x1 = 354.176 S = 0.687433 Ea = 4.38684 Eb = 3.41871 FO = 0.687823 t = 3880 x1 = 354.137 S = 0.687521 Ea = 4.38774 Eb = 3.42047 FO = 0.687911 t = 3890 x1 = 354.099 S = 0.687607 Ea = 4.38863 Eb = 3.4222 FO = 0.687998 t = 3900 x1 = 354.061 S = 0.687692 Ea = 4.38951 Eb = 3.42392 FO = 0.688082 t = 3910 x1 = 354.023 S = 0.687775 Ea = 4.39038 Eb = 3.42562 FO = 0.688166 t = 3920 x1 = 353.986 S = 0.687856 Ea = 4.39125 Eb = 3.4273 FO = 0.688247 t = 3930 x1 = 353.95 S = 0.687936 Ea = 4.39211 Eb = 3.42897 FO = 0.688327 t = 3940 x1 = 353.913 S = 0.688015 Ea = 4.39296 Eb = 3.43062 FO = 0.688406
Tempo[s] Intersecção[µm] Área Energia [a] Energia [b] Função objetivo t = 3950 x1 = 353.878 S = 0.688092 Ea = 4.39381 Eb = 3.43225 FO = 0.688484 t = 3960 x1 = 353.842 S = 0.688168 Ea = 4.39465 Eb = 3.43386 FO = 0.688559 t = 3970 x1 = 353.807 S = 0.688242 Ea = 4.39549 Eb = 3.43546 FO = 0.688634 t = 3980 x1 = 353.773 S = 0.688316 Ea = 4.39631 Eb = 3.43704 FO = 0.688707 t = 3990 x1 = 353.739 S = 0.688387 Ea = 4.39714 Eb = 3.4386 FO = 0.688779 t = 4000 x1 = 353.705 S = 0.688458 Ea = 4.39795 Eb = 3.44015 FO = 0.68885 t = 4010 x1 = 353.672 S = 0.688527 Ea = 4.39876 Eb = 3.44168 FO = 0.688919 t = 4020 x1 = 353.639 S = 0.688595 Ea = 4.39956 Eb = 3.4432 FO = 0.688987 t = 4030 x1 = 353.607 S = 0.688662 Ea = 4.40036 Eb = 3.44469 FO = 0.689054 t = 4040 x1 = 353.575 S = 0.688727 Ea = 4.40115 Eb = 3.44618 FO = 0.689119 t = 4050 x1 = 353.543 S = 0.688791 Ea = 4.40193 Eb = 3.44764 FO = 0.689184 t = 4060 x1 = 353.512 S = 0.688855 Ea = 4.40271 Eb = 3.44909 FO = 0.689247 t = 4070 x1 = 353.481 S = 0.688917 Ea = 4.40348 Eb = 3.45053 FO = 0.689309 t = 4080 x1 = 353.451 S = 0.688978 Ea = 4.40424 Eb = 3.45195 FO = 0.68937 t = 4090 x1 = 353.421 S = 0.689038 Ea = 4.405 Eb = 3.45335 FO = 0.689431 t = 4100 x1 = 353.391 S = 0.689096 Ea = 4.40575 Eb = 3.45474 FO = 0.689489 t = 4110 x1 = 353.362 S = 0.689154 Ea = 4.40649 Eb = 3.45612 FO = 0.689547 t = 4120 x1 = 353.333 S = 0.689211 Ea = 4.40723 Eb = 3.45747 FO = 0.689604 t = 4130 x1 = 353.304 S = 0.689267 Ea = 4.40796 Eb = 3.45882 FO = 0.68966 t = 4140 x1 = 353.276 S = 0.689322 Ea = 4.40868 Eb = 3.46015 FO = 0.689715 t = 4150 x1 = 353.248 S = 0.689376 Ea = 4.4094 Eb = 3.46146 FO = 0.68977 t = 4160 x1 = 353.221 S = 0.689429 Ea = 4.41011 Eb = 3.46276 FO = 0.689823 t = 4170 x1 = 353.194 S = 0.689481 Ea = 4.41082 Eb = 3.46405 FO = 0.689875 t = 4180 x1 = 353.167 S = 0.689533 Ea = 4.41152 Eb = 3.46532 FO = 0.689927 t = 4190 x1 = 353.141 S = 0.689583 Ea = 4.41221 Eb = 3.46658 FO = 0.689977 t = 4200 x1 = 353.115 S = 0.689633 Ea = 4.41289 Eb = 3.46782 FO = 0.690027 t = 4210 x1 = 353.089 S = 0.689682 Ea = 4.41357 Eb = 3.46905 FO = 0.690076 t = 4220 x1 = 353.064 S = 0.68973 Ea = 4.41424 Eb = 3.47026 FO = 0.690124 t = 4230 x1 = 353.039 S = 0.689778 Ea = 4.41491 Eb = 3.47147 FO = 0.690172 t = 4240 x1 = 353.014 S = 0.689824 Ea = 4.41557 Eb = 3.47265 FO = 0.690219 t = 4250 x1 = 352.99 S = 0.68987 Ea = 4.41622 Eb = 3.47383 FO = 0.690265 t = 4260 x1 = 352.966 S = 0.689916 Ea = 4.41687 Eb = 3.47499 FO = 0.69031 t = 4270 x1 = 352.943 S = 0.68996 Ea = 4.41751 Eb = 3.47614 FO = 0.690355 t = 4280 x1 = 352.919 S = 0.690004 Ea = 4.41814 Eb = 3.47727 FO = 0.690399 t = 4290 x1 = 352.897 S = 0.690048 Ea = 4.41877 Eb = 3.47839 FO = 0.690443 t = 4300 x1 = 352.874 S = 0.690091 Ea = 4.41939 Eb = 3.4795 FO = 0.690486 t = 4310 x1 = 352.852 S = 0.690133 Ea = 4.42 Eb = 3.4806 FO = 0.690528 t = 4320 x1 = 352.83 S = 0.690175 Ea = 4.42061 Eb = 3.48168 FO = 0.69057 t = 4330 x1 = 352.808 S = 0.690216 Ea = 4.42121 Eb = 3.48275 FO = 0.690611 t = 4340 x1 = 352.787 S = 0.690257 Ea = 4.4218 Eb = 3.48381 FO = 0.690652 t = 4350 x1 = 352.766 S = 0.690297 Ea = 4.42239 Eb = 3.48485 FO = 0.690692 t = 4360 x1 = 352.746 S = 0.690336 Ea = 4.42297 Eb = 3.48588 FO = 0.690732 t = 4370 x1 = 352.725 S = 0.690376 Ea = 4.42355 Eb = 3.4869 FO = 0.690771 t = 4380 x1 = 352.705 S = 0.690415 Ea = 4.42412 Eb = 3.48791 FO = 0.69081 t = 4390 x1 = 352.686 S = 0.690453 Ea = 4.42468 Eb = 3.48891 FO = 0.690849 t = 4400 x1 = 352.666 S = 0.690491 Ea = 4.42523 Eb = 3.48989 FO = 0.690887 t = 4410 x1 = 352.647 S = 0.690529 Ea = 4.42578 Eb = 3.49086 FO = 0.690924 t = 4420 x1 = 352.629 S = 0.690566 Ea = 4.42632 Eb = 3.49182 FO = 0.690962 t = 4430 x1 = 352.61 S = 0.690603 Ea = 4.42686 Eb = 3.49277 FO = 0.690999 t = 4440 x1 = 352.592 S = 0.690639 Ea = 4.42739 Eb = 3.4937 FO = 0.691036 t = 4450 x1 = 352.575 S = 0.690676 Ea = 4.42791 Eb = 3.49463 FO = 0.691072 t = 4460 x1 = 352.557 S = 0.690712 Ea = 4.42842 Eb = 3.49554 FO = 0.691108 t = 4470 x1 = 352.54 S = 0.690748 Ea = 4.42893 Eb = 3.49644 FO = 0.691144 t = 4480 x1 = 352.523 S = 0.690783 Ea = 4.42944 Eb = 3.49733 FO = 0.69118 t = 4490 x1 = 352.507 S = 0.690819 Ea = 4.42993 Eb = 3.49821 FO = 0.691215 t = 4500 x1 = 352.491 S = 0.690854 Ea = 4.43042 Eb = 3.49908 FO = 0.69125 t = 4510 x1 = 352.475 S = 0.690889 Ea = 4.4309 Eb = 3.49994 FO = 0.691285 t = 4520 x1 = 352.459 S = 0.690923 Ea = 4.43138 Eb = 3.50078 FO = 0.69132 t = 4530 x1 = 352.444 S = 0.690958 Ea = 4.43185 Eb = 3.50162 FO = 0.691355 t = 4540 x1 = 352.429 S = 0.690992 Ea = 4.43231 Eb = 3.50244 FO = 0.691389 t = 4550 x1 = 352.414 S = 0.691027 Ea = 4.43277 Eb = 3.50325 FO = 0.691423 t = 4560 x1 = 352.4 S = 0.691061 Ea = 4.43322 Eb = 3.50406 FO = 0.691458 t = 4570 x1 = 352.385 S = 0.691095 Ea = 4.43366 Eb = 3.50485 FO = 0.691492 t = 4580 x1 = 352.372 S = 0.691129 Ea = 4.4341 Eb = 3.50563 FO = 0.691526 t = 4590 x1 = 352.358 S = 0.691163 Ea = 4.43453 Eb = 3.5064 FO = 0.69156 t = 4600 x1 = 352.345 S = 0.691197 Ea = 4.43495 Eb = 3.50716 FO = 0.691594
180
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Tempo[s] Intersecção[µm] Área Energia [a] Energia [b] Função objetivo t = 4610 x1 = 352.332 S = 0.691231 Ea = 4.43537 Eb = 3.50791 FO = 0.691628 t = 4620 x1 = 352.319 S = 0.691265 Ea = 4.43578 Eb = 3.50865 FO = 0.691662 t = 4630 x1 = 352.307 S = 0.691299 Ea = 4.43618 Eb = 3.50938 FO = 0.691696 t = 4640 x1 = 352.295 S = 0.691333 Ea = 4.43658 Eb = 3.5101 FO = 0.69173 t = 4650 x1 = 352.283 S = 0.691367 Ea = 4.43697 Eb = 3.51081 FO = 0.691764 t = 4660 x1 = 352.271 S = 0.691401 Ea = 4.43735 Eb = 3.51151 FO = 0.691799 t = 4670 x1 = 352.26 S = 0.691435 Ea = 4.43773 Eb = 3.51219 FO = 0.691833 t = 4680 x1 = 352.249 S = 0.69147 Ea = 4.4381 Eb = 3.51287 FO = 0.691867 t = 4690 x1 = 352.239 S = 0.691504 Ea = 4.43846 Eb = 3.51354 FO = 0.691902 t = 4700 x1 = 352.228 S = 0.691539 Ea = 4.43882 Eb = 3.5142 FO = 0.691936 t = 4710 x1 = 352.218 S = 0.691573 Ea = 4.43917 Eb = 3.51485 FO = 0.691971 t = 4720 x1 = 352.208 S = 0.691608 Ea = 4.43951 Eb = 3.51549 FO = 0.692006 t = 4730 x1 = 352.199 S = 0.691643 Ea = 4.43985 Eb = 3.51612 FO = 0.692041 t = 4740 x1 = 352.19 S = 0.691678 Ea = 4.44017 Eb = 3.51675 FO = 0.692076 t = 4750 x1 = 352.181 S = 0.691713 Ea = 4.4405 Eb = 3.51736 FO = 0.692111 t = 4760 x1 = 352.172 S = 0.691749 Ea = 4.44081 Eb = 3.51796 FO = 0.692147 t = 4770 x1 = 352.164 S = 0.691785 Ea = 4.44112 Eb = 3.51855 FO = 0.692183 t = 4780 x1 = 352.156 S = 0.691821 Ea = 4.44142 Eb = 3.51914 FO = 0.692219 t = 4790 x1 = 352.148 S = 0.691857 Ea = 4.44172 Eb = 3.51971 FO = 0.692255 t = 4800 x1 = 352.14 S = 0.691894 Ea = 4.44201 Eb = 3.52028 FO = 0.692292 t = 4810 x1 = 352.133 S = 0.69193 Ea = 4.44229 Eb = 3.52084 FO = 0.692329 t = 4820 x1 = 352.126 S = 0.691968 Ea = 4.44257 Eb = 3.52138 FO = 0.692366 t = 4830 x1 = 352.119 S = 0.692005 Ea = 4.44283 Eb = 3.52192 FO = 0.692403 t = 4840 x1 = 352.113 S = 0.692043 Ea = 4.4431 Eb = 3.52245 FO = 0.692441 t = 4850 x1 = 352.107 S = 0.692081 Ea = 4.44335 Eb = 3.52297 FO = 0.692479 t = 4860 x1 = 352.101 S = 0.692119 Ea = 4.4436 Eb = 3.52348 FO = 0.692518 t = 4870 x1 = 352.095 S = 0.692158 Ea = 4.44384 Eb = 3.52399 FO = 0.692556 t = 4880 x1 = 352.09 S = 0.692197 Ea = 4.44407 Eb = 3.52448 FO = 0.692596 t = 4890 x1 = 352.085 S = 0.692237 Ea = 4.4443 Eb = 3.52497 FO = 0.692635 t = 4900 x1 = 352.08 S = 0.692277 Ea = 4.44452 Eb = 3.52545 FO = 0.692675 t = 4910 x1 = 352.075 S = 0.692317 Ea = 4.44473 Eb = 3.52592 FO = 0.692716 t = 4920 x1 = 352.071 S = 0.692358 Ea = 4.44494 Eb = 3.52638 FO = 0.692757 t = 4930 x1 = 352.067 S = 0.692399 Ea = 4.44514 Eb = 3.52683 FO = 0.692798 t = 4940 x1 = 352.063 S = 0.692441 Ea = 4.44533 Eb = 3.52727 FO = 0.69284 t = 4950 x1 = 352.06 S = 0.692483 Ea = 4.44552 Eb = 3.52771 FO = 0.692882 t = 4960 x1 = 352.057 S = 0.692526 Ea = 4.44569 Eb = 3.52813 FO = 0.692925 t = 4970 x1 = 352.054 S = 0.692569 Ea = 4.44587 Eb = 3.52855 FO = 0.692968 t = 4980 x1 = 352.051 S = 0.692613 Ea = 4.44603 Eb = 3.52896 FO = 0.693012 t = 4990 x1 = 352.049 S = 0.692657 Ea = 4.44619 Eb = 3.52937 FO = 0.693056 t = 5000 x1 = 352.047 S = 0.692702 Ea = 4.44634 Eb = 3.52976 FO = 0.693101 t = 5010 x1 = 352.045 S = 0.692747 Ea = 4.44648 Eb = 3.53015 FO = 0.693146 t = 5020 x1 = 352.044 S = 0.692793 Ea = 4.44662 Eb = 3.53052 FO = 0.693192 t = 5030 x1 = 352.042 S = 0.69284 Ea = 4.44675 Eb = 3.53089 FO = 0.693239 t = 5040 x1 = 352.041 S = 0.692887 Ea = 4.44687 Eb = 3.53126 FO = 0.693286 t = 5050 x1 = 352.041 S = 0.692934 Ea = 4.44698 Eb = 3.53161 FO = 0.693333 t = 5060 x1 = 352.04 S = 0.692983 Ea = 4.44709 Eb = 3.53196 FO = 0.693382 t = 5070 x1 = 352.04 S = 0.693031 Ea = 4.44719 Eb = 3.5323 FO = 0.69343 t = 5080 x1 = 352.04 S = 0.693081 Ea = 4.44729 Eb = 3.53263 FO = 0.69348 t = 5090 x1 = 352.04 S = 0.693131 Ea = 4.44737 Eb = 3.53295 FO = 0.69353 t = 5100 x1 = 352.041 S = 0.693182 Ea = 4.44745 Eb = 3.53327 FO = 0.693581 t = 5110 x1 = 352.042 S = 0.693233 Ea = 4.44752 Eb = 3.53357 FO = 0.693632 t = 5120 x1 = 352.043 S = 0.693285 Ea = 4.44759 Eb = 3.53387 FO = 0.693685 t = 5130 x1 = 352.044 S = 0.693338 Ea = 4.44765 Eb = 3.53417 FO = 0.693737 t = 5140 x1 = 352.046 S = 0.693392 Ea = 4.4477 Eb = 3.53445 FO = 0.693791 t = 5150 x1 = 352.048 S = 0.693446 Ea = 4.44774 Eb = 3.53473 FO = 0.693845 t = 5160 x1 = 352.05 S = 0.693501 Ea = 4.44778 Eb = 3.535 FO = 0.6939 t = 5170 x1 = 352.053 S = 0.693557 Ea = 4.4478 Eb = 3.53526 FO = 0.693956 t = 5180 x1 = 352.055 S = 0.693613 Ea = 4.44783 Eb = 3.53552 FO = 0.694012 t = 5190 x1 = 352.058 S = 0.69367 Ea = 4.44784 Eb = 3.53577 FO = 0.694069 t = 5200 x1 = 352.061 S = 0.693728 Ea = 4.44785 Eb = 3.53601 FO = 0.694127 t = 5210 x1 = 352.065 S = 0.693787 Ea = 4.44785 Eb = 3.53624 FO = 0.694186 t = 5220 x1 = 352.069 S = 0.693847 Ea = 4.44784 Eb = 3.53647 FO = 0.694246 t = 5230 x1 = 352.073 S = 0.693907 Ea = 4.44782 Eb = 3.53669 FO = 0.694306 t = 5240 x1 = 352.077 S = 0.693968 Ea = 4.4478 Eb = 3.5369 FO = 0.694367 t = 5250 x1 = 352.081 S = 0.69403 Ea = 4.44777 Eb = 3.5371 FO = 0.694429 t = 5260 x1 = 352.086 S = 0.694093 Ea = 4.44773 Eb = 3.5373 FO = 0.694492
Tempo[s] Intersecção[µm] Área Energia [a] Energia [b] Função objetivo t = 5270 x1 = 352.091 S = 0.694156 Ea = 4.44769 Eb = 3.53749 FO = 0.694556 t = 5280 x1 = 352.097 S = 0.694221 Ea = 4.44764 Eb = 3.53767 FO = 0.69462 t = 5290 x1 = 352.102 S = 0.694286 Ea = 4.44758 Eb = 3.53785 FO = 0.694685 t = 5300 x1 = 352.108 S = 0.694352 Ea = 4.44751 Eb = 3.53802 FO = 0.694752 t = 5310 x1 = 352.114 S = 0.69442 Ea = 4.44743 Eb = 3.53818 FO = 0.694819 t = 5320 x1 = 352.12 S = 0.694488 Ea = 4.44735 Eb = 3.53833 FO = 0.694887 t = 5330 x1 = 352.127 S = 0.694556 Ea = 4.44726 Eb = 3.53848 FO = 0.694956 t = 5340 x1 = 352.134 S = 0.694626 Ea = 4.44716 Eb = 3.53862 FO = 0.695026 t = 5350 x1 = 352.141 S = 0.694697 Ea = 4.44706 Eb = 3.53876 FO = 0.695096 t = 5360 x1 = 352.148 S = 0.694769 Ea = 4.44694 Eb = 3.53889 FO = 0.695168 t = 5370 x1 = 352.156 S = 0.694841 Ea = 4.44682 Eb = 3.53901 FO = 0.695241 t = 5380 x1 = 352.164 S = 0.694915 Ea = 4.4467 Eb = 3.53912 FO = 0.695314 t = 5390 x1 = 352.172 S = 0.694989 Ea = 4.44656 Eb = 3.53923 FO = 0.695389 t = 5400 x1 = 352.18 S = 0.695065 Ea = 4.44642 Eb = 3.53933 FO = 0.695464 t = 5410 x1 = 352.189 S = 0.695141 Ea = 4.44627 Eb = 3.53942 FO = 0.695541 t = 5420 x1 = 352.198 S = 0.695219 Ea = 4.44611 Eb = 3.53951 FO = 0.695618 t = 5430 x1 = 352.207 S = 0.695297 Ea = 4.44594 Eb = 3.53959 FO = 0.695697 t = 5440 x1 = 352.216 S = 0.695377 Ea = 4.44576 Eb = 3.53966 FO = 0.695776 t = 5450 x1 = 352.226 S = 0.695458 Ea = 4.44558 Eb = 3.53973 FO = 0.695857 t = 5460 x1 = 352.236 S = 0.695539 Ea = 4.44539 Eb = 3.53979 FO = 0.695938 t = 5470 x1 = 352.246 S = 0.695622 Ea = 4.44519 Eb = 3.53984 FO = 0.696021 t = 5480 x1 = 352.256 S = 0.695705 Ea = 4.44499 Eb = 3.53989 FO = 0.696105 t = 5490 x1 = 352.267 S = 0.69579 Ea = 4.44477 Eb = 3.53993 FO = 0.696189 t = 5500 x1 = 352.277 S = 0.695876 Ea = 4.44455 Eb = 3.53997 FO = 0.696275 t = 5510 x1 = 352.289 S = 0.695963 Ea = 4.44432 Eb = 3.53999 FO = 0.696362 t = 5520 x1 = 352.3 S = 0.696051 Ea = 4.44408 Eb = 3.54002 FO = 0.69645 t = 5530 x1 = 352.311 S = 0.69614 Ea = 4.44384 Eb = 3.54003 FO = 0.696539 t = 5540 x1 = 352.323 S = 0.69623 Ea = 4.44358 Eb = 3.54004 FO = 0.696629 t = 5550 x1 = 352.335 S = 0.696321 Ea = 4.44332 Eb = 3.54004 FO = 0.696721 t = 5560 x1 = 352.348 S = 0.696414 Ea = 4.44305 Eb = 3.54004 FO = 0.696813 t = 5570 x1 = 352.36 S = 0.696507 Ea = 4.44277 Eb = 3.54003 FO = 0.696907 t = 5580 x1 = 352.373 S = 0.696602 Ea = 4.44249 Eb = 3.54001 FO = 0.697001 t = 5590 x1 = 352.386 S = 0.696698 Ea = 4.44219 Eb = 3.53998 FO = 0.697097 t = 5600 x1 = 352.399 S = 0.696795 Ea = 4.44189 Eb = 3.53995 FO = 0.697194 t = 5610 x1 = 352.412 S = 0.696893 Ea = 4.44158 Eb = 3.53992 FO = 0.697292 t = 5620 x1 = 352.426 S = 0.696993 Ea = 4.44126 Eb = 3.53988 FO = 0.697392 t = 5630 x1 = 352.44 S = 0.697093 Ea = 4.44093 Eb = 3.53983 FO = 0.697492 t = 5640 x1 = 352.454 S = 0.697195 Ea = 4.4406 Eb = 3.53977 FO = 0.697594 t = 5650 x1 = 352.469 S = 0.697298 Ea = 4.44025 Eb = 3.53971 FO = 0.697697 t = 5660 x1 = 352.483 S = 0.697402 Ea = 4.4399 Eb = 3.53964 FO = 0.697801 t = 5670 x1 = 352.498 S = 0.697508 Ea = 4.43954 Eb = 3.53957 FO = 0.697907 t = 5680 x1 = 352.513 S = 0.697615 Ea = 4.43917 Eb = 3.53949 FO = 0.698014 t = 5690 x1 = 352.528 S = 0.697723 Ea = 4.43879 Eb = 3.5394 FO = 0.698121 t = 5700 x1 = 352.544 S = 0.697832 Ea = 4.43841 Eb = 3.53931 FO = 0.698231 t = 5710 x1 = 352.56 S = 0.697942 Ea = 4.43801 Eb = 3.53921 FO = 0.698341 t = 5720 x1 = 352.576 S = 0.698054 Ea = 4.43761 Eb = 3.53911 FO = 0.698453 t = 5730 x1 = 352.592 S = 0.698167 Ea = 4.4372 Eb = 3.53899 FO = 0.698566 t = 5740 x1 = 352.608 S = 0.698281 Ea = 4.43678 Eb = 3.53888 FO = 0.69868 t = 5750 x1 = 352.625 S = 0.698397 Ea = 4.43635 Eb = 3.53875 FO = 0.698796 t = 5760 x1 = 352.642 S = 0.698514 Ea = 4.43591 Eb = 3.53862 FO = 0.698913 t = 5770 x1 = 352.659 S = 0.698632 Ea = 4.43546 Eb = 3.53849 FO = 0.699031 t = 5780 x1 = 352.676 S = 0.698752 Ea = 4.43501 Eb = 3.53835 FO = 0.69915 t = 5790 x1 = 352.694 S = 0.698873 Ea = 4.43454 Eb = 3.5382 FO = 0.699271 t = 5800 x1 = 352.711 S = 0.698995 Ea = 4.43407 Eb = 3.53805 FO = 0.699394 t = 5810 x1 = 352.729 S = 0.699119 Ea = 4.43359 Eb = 3.53789 FO = 0.699517 t = 5820 x1 = 352.747 S = 0.699244 Ea = 4.4331 Eb = 3.53772 FO = 0.699642 t = 5830 x1 = 352.766 S = 0.69937 Ea = 4.4326 Eb = 3.53755 FO = 0.699768 t = 5840 x1 = 352.784 S = 0.699498 Ea = 4.43209 Eb = 3.53737 FO = 0.699896 t = 5850 x1 = 352.803 S = 0.699627 Ea = 4.43157 Eb = 3.53719 FO = 0.700025 t = 5860 x1 = 352.822 S = 0.699757 Ea = 4.43105 Eb = 3.537 FO = 0.700156 t = 5870 x1 = 352.841 S = 0.699889 Ea = 4.43051 Eb = 3.5368 FO = 0.700288 t = 5880 x1 = 352.86 S = 0.700022 Ea = 4.42997 Eb = 3.5366 FO = 0.700421 t = 5890 x1 = 352.879 S = 0.700157 Ea = 4.42942 Eb = 3.53639 FO = 0.700556 t = 5900 x1 = 352.899 S = 0.700293 Ea = 4.42885 Eb = 3.53618 FO = 0.700692 t = 5910 x1 = 352.919 S = 0.700431 Ea = 4.42828 Eb = 3.53596 FO = 0.700829 t = 5920 x1 = 352.939 S = 0.70057 Ea = 4.4277 Eb = 3.53573 FO = 0.700968
182
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Tempo[s] Intersecção[µm] Área Energia [a] Energia [b] Função objetivo t = 5930 x1 = 352.959 S = 0.700711 Ea = 4.42711 Eb = 3.5355 FO = 0.701109 t = 5940 x1 = 352.98 S = 0.700853 Ea = 4.42651 Eb = 3.53526 FO = 0.701251 t = 5950 x1 = 353 S = 0.700996 Ea = 4.4259 Eb = 3.53502 FO = 0.701394 t = 5960 x1 = 353.021 S = 0.701141 Ea = 4.42528 Eb = 3.53477 FO = 0.701539 t = 5970 x1 = 353.042 S = 0.701288 Ea = 4.42466 Eb = 3.53451 FO = 0.701686 t = 5980 x1 = 353.063 S = 0.701435 Ea = 4.42402 Eb = 3.53425 FO = 0.701833 t = 5990 x1 = 353.084 S = 0.701585 Ea = 4.42337 Eb = 3.53398 FO = 0.701983 t = 6000 x1 = 353.106 S = 0.701736 Ea = 4.42272 Eb = 3.53371 FO = 0.702134 t = 6010 x1 = 353.127 S = 0.701888 Ea = 4.42205 Eb = 3.53343 FO = 0.702286 t = 6020 x1 = 353.149 S = 0.702042 Ea = 4.42138 Eb = 3.53314 FO = 0.70244 t = 6030 x1 = 353.171 S = 0.702198 Ea = 4.42069 Eb = 3.53285 FO = 0.702596 t = 6040 x1 = 353.193 S = 0.702355 Ea = 4.42 Eb = 3.53256 FO = 0.702753 t = 6050 x1 = 353.215 S = 0.702514 Ea = 4.41929 Eb = 3.53225 FO = 0.702911 t = 6060 x1 = 353.238 S = 0.702674 Ea = 4.41858 Eb = 3.53194 FO = 0.703072 t = 6070 x1 = 353.26 S = 0.702836 Ea = 4.41785 Eb = 3.53163 FO = 0.703233 t = 6080 x1 = 353.283 S = 0.702999 Ea = 4.41712 Eb = 3.53131 FO = 0.703397 t = 6090 x1 = 353.306 S = 0.703164 Ea = 4.41637 Eb = 3.53098 FO = 0.703562 t = 6100 x1 = 353.329 S = 0.703331 Ea = 4.41562 Eb = 3.53065 FO = 0.703728 t = 6110 x1 = 353.352 S = 0.703499 Ea = 4.41486 Eb = 3.53031 FO = 0.703897 t = 6120 x1 = 353.375 S = 0.703669 Ea = 4.41408 Eb = 3.52997 FO = 0.704066 t = 6130 x1 = 353.398 S = 0.703841 Ea = 4.4133 Eb = 3.52962 FO = 0.704238 t = 6140 x1 = 353.422 S = 0.704014 Ea = 4.4125 Eb = 3.52926 FO = 0.704411 t = 6150 x1 = 353.445 S = 0.704189 Ea = 4.4117 Eb = 3.5289 FO = 0.704586 t = 6160 x1 = 353.469 S = 0.704365 Ea = 4.41089 Eb = 3.52853 FO = 0.704762 t = 6170 x1 = 353.493 S = 0.704543 Ea = 4.41006 Eb = 3.52816 FO = 0.70494 t = 6180 x1 = 353.517 S = 0.704723 Ea = 4.40923 Eb = 3.52778 FO = 0.70512 t = 6190 x1 = 353.541 S = 0.704904 Ea = 4.40838 Eb = 3.52739 FO = 0.705301 t = 6200 x1 = 353.565 S = 0.705087 Ea = 4.40752 Eb = 3.527 FO = 0.705484 t = 6210 x1 = 353.589 S = 0.705272 Ea = 4.40666 Eb = 3.5266 FO = 0.705669 t = 6220 x1 = 353.613 S = 0.705459 Ea = 4.40578 Eb = 3.5262 FO = 0.705855 t = 6230 x1 = 353.637 S = 0.705647 Ea = 4.40489 Eb = 3.52579 FO = 0.706043 t = 6240 x1 = 353.662 S = 0.705837 Ea = 4.40399 Eb = 3.52537 FO = 0.706233 t = 6250 x1 = 353.686 S = 0.706029 Ea = 4.40308 Eb = 3.52495 FO = 0.706425 t = 6260 x1 = 353.711 S = 0.706222 Ea = 4.40216 Eb = 3.52452 FO = 0.706618 t = 6270 x1 = 353.736 S = 0.706417 Ea = 4.40123 Eb = 3.52409 FO = 0.706814 t = 6280 x1 = 353.76 S = 0.706614 Ea = 4.40029 Eb = 3.52365 FO = 0.70701 t = 6290 x1 = 353.785 S = 0.706813 Ea = 4.39934 Eb = 3.52321 FO = 0.707209 t = 6300 x1 = 353.81 S = 0.707013 Ea = 4.39837 Eb = 3.52276 FO = 0.70741 t = 6310 x1 = 353.835 S = 0.707216 Ea = 4.3974 Eb = 3.5223 FO = 0.707612 t = 6320 x1 = 353.86 S = 0.70742 Ea = 4.39641 Eb = 3.52184 FO = 0.707816 t = 6330 x1 = 353.885 S = 0.707626 Ea = 4.39542 Eb = 3.52137 FO = 0.708022 t = 6340 x1 = 353.91 S = 0.707833 Ea = 4.39441 Eb = 3.5209 FO = 0.708229 t = 6350 x1 = 353.935 S = 0.708043 Ea = 4.39339 Eb = 3.52042 FO = 0.708439 t = 6360 x1 = 353.96 S = 0.708254 Ea = 4.39236 Eb = 3.51993 FO = 0.70865 t = 6370 x1 = 353.984 S = 0.708467 Ea = 4.39132 Eb = 3.51944 FO = 0.708863 t = 6380 x1 = 354.009 S = 0.708682 Ea = 4.39026 Eb = 3.51894 FO = 0.709078 t = 6390 x1 = 354.034 S = 0.708899 Ea = 4.3892 Eb = 3.51844 FO = 0.709295 t = 6400 x1 = 354.059 S = 0.709118 Ea = 4.38812 Eb = 3.51793 FO = 0.709513 t = 6410 x1 = 354.084 S = 0.709339 Ea = 4.38703 Eb = 3.51741 FO = 0.709734 t = 6420 x1 = 354.109 S = 0.709561 Ea = 4.38593 Eb = 3.51689 FO = 0.709956 t = 6430 x1 = 354.134 S = 0.709786 Ea = 4.38482 Eb = 3.51636 FO = 0.710181 t = 6440 x1 = 354.159 S = 0.710012 Ea = 4.3837 Eb = 3.51583 FO = 0.710407 t = 6450 x1 = 354.184 S = 0.71024 Ea = 4.38256 Eb = 3.51529 FO = 0.710635 t = 6460 x1 = 354.209 S = 0.71047 Ea = 4.38141 Eb = 3.51474 FO = 0.710865 t = 6470 x1 = 354.233 S = 0.710702 Ea = 4.38025 Eb = 3.51419 FO = 0.711097 t = 6480 x1 = 354.258 S = 0.710936 Ea = 4.37908 Eb = 3.51363 FO = 0.711331 t = 6490 x1 = 354.283 S = 0.711172 Ea = 4.3779 Eb = 3.51307 FO = 0.711567 t = 6500 x1 = 354.307 S = 0.71141 Ea = 4.3767 Eb = 3.5125 FO = 0.711804 t = 6510 x1 = 354.332 S = 0.71165 Ea = 4.37549 Eb = 3.51192 FO = 0.712044 t = 6520 x1 = 354.356 S = 0.711892 Ea = 4.37427 Eb = 3.51134 FO = 0.712286 t = 6530 x1 = 354.38 S = 0.712135 Ea = 4.37304 Eb = 3.51075 FO = 0.712529 t = 6540 x1 = 354.404 S = 0.712381 Ea = 4.37179 Eb = 3.51015 FO = 0.712775 t = 6550 x1 = 354.428 S = 0.712629 Ea = 4.37053 Eb = 3.50955 FO = 0.713023 t = 6560 x1 = 354.452 S = 0.712879 Ea = 4.36926 Eb = 3.50895 FO = 0.713273 t = 6570 x1 = 354.475 S = 0.71313 Ea = 4.36798 Eb = 3.50834 FO = 0.713524 t = 6580 x1 = 354.499 S = 0.713384 Ea = 4.36668 Eb = 3.50772 FO = 0.713778
Tempo[s] Intersecção[µm] Área Energia [a] Energia [b] Função objetivo t = 6590 x1 = 354.522 S = 0.71364 Ea = 4.36537 Eb = 3.50709 FO = 0.714034 t = 6600 x1 = 354.545 S = 0.713898 Ea = 4.36405 Eb = 3.50646 FO = 0.714291 t = 6610 x1 = 354.568 S = 0.714158 Ea = 4.36271 Eb = 3.50583 FO = 0.714551 t = 6620 x1 = 354.591 S = 0.71442 Ea = 4.36136 Eb = 3.50518 FO = 0.714813 t = 6630 x1 = 354.614 S = 0.714684 Ea = 4.36 Eb = 3.50453 FO = 0.715077 t = 6640 x1 = 354.636 S = 0.71495 Ea = 4.35862 Eb = 3.50388 FO = 0.715343 t = 6650 x1 = 354.658 S = 0.715218 Ea = 4.35723 Eb = 3.50322 FO = 0.715611 t = 6660 x1 = 354.68 S = 0.715489 Ea = 4.35583 Eb = 3.50255 FO = 0.715882 t = 6670 x1 = 354.702 S = 0.715761 Ea = 4.35442 Eb = 3.50187 FO = 0.716154 t = 6680 x1 = 354.723 S = 0.716036 Ea = 4.35299 Eb = 3.50119 FO = 0.716429 t = 6690 x1 = 354.744 S = 0.716313 Ea = 4.35154 Eb = 3.50051 FO = 0.716705 t = 6700 x1 = 354.765 S = 0.716591 Ea = 4.35008 Eb = 3.49982 FO = 0.716984 t = 6710 x1 = 354.785 S = 0.716872 Ea = 4.34861 Eb = 3.49912 FO = 0.717265 t = 6720 x1 = 354.805 S = 0.717156 Ea = 4.34713 Eb = 3.49841 FO = 0.717548 t = 6730 x1 = 354.825 S = 0.717441 Ea = 4.34563 Eb = 3.4977 FO = 0.717833 t = 6740 x1 = 354.844 S = 0.717728 Ea = 4.34412 Eb = 3.49698 FO = 0.71812 t = 6750 x1 = 354.864 S = 0.718018 Ea = 4.34259 Eb = 3.49626 FO = 0.71841 t = 6760 x1 = 354.882 S = 0.71831 Ea = 4.34105 Eb = 3.49553 FO = 0.718702 t = 6770 x1 = 354.901 S = 0.718604 Ea = 4.33949 Eb = 3.49479 FO = 0.718996 t = 6780 x1 = 354.918 S = 0.7189 Ea = 4.33792 Eb = 3.49405 FO = 0.719292 t = 6790 x1 = 354.936 S = 0.719199 Ea = 4.33633 Eb = 3.4933 FO = 0.71959 t = 6800 x1 = 354.953 S = 0.719499 Ea = 4.33473 Eb = 3.49254 FO = 0.719891 t = 6810 x1 = 354.97 S = 0.719802 Ea = 4.33312 Eb = 3.49178 FO = 0.720194 t = 6820 x1 = 354.986 S = 0.720108 Ea = 4.33149 Eb = 3.49101 FO = 0.720499 t = 6830 x1 = 355.001 S = 0.720415 Ea = 4.32984 Eb = 3.49024 FO = 0.720806 t = 6840 x1 = 355.017 S = 0.720725 Ea = 4.32818 Eb = 3.48946 FO = 0.721116 t = 6850 x1 = 355.031 S = 0.721037 Ea = 4.32651 Eb = 3.48867 FO = 0.721428 t = 6860 x1 = 355.045 S = 0.721351 Ea = 4.32482 Eb = 3.48788 FO = 0.721742 t = 6870 x1 = 355.059 S = 0.721668 Ea = 4.32311 Eb = 3.48708 FO = 0.722058 t = 6880 x1 = 355.072 S = 0.721987 Ea = 4.32139 Eb = 3.48627 FO = 0.722377 t = 6890 x1 = 355.084 S = 0.722308 Ea = 4.31965 Eb = 3.48546 FO = 0.722698 t = 6900 x1 = 355.096 S = 0.722632 Ea = 4.3179 Eb = 3.48464 FO = 0.723022 t = 6910 x1 = 355.107 S = 0.722958 Ea = 4.31613 Eb = 3.48381 FO = 0.723348 t = 6920 x1 = 355.117 S = 0.723286 Ea = 4.31434 Eb = 3.48298 FO = 0.723676 t = 6930 x1 = 355.127 S = 0.723616 Ea = 4.31254 Eb = 3.48214 FO = 0.724006 t = 6940 x1 = 355.136 S = 0.723949 Ea = 4.31072 Eb = 3.48129 FO = 0.724339 t = 6950 x1 = 355.144 S = 0.724285 Ea = 4.30889 Eb = 3.48044 FO = 0.724674 t = 6960 x1 = 355.152 S = 0.724623 Ea = 4.30704 Eb = 3.47958 FO = 0.725012 t = 6970 x1 = 355.159 S = 0.724963 Ea = 4.30517 Eb = 3.47871 FO = 0.725352 t = 6980 x1 = 355.165 S = 0.725305 Ea = 4.30329 Eb = 3.47784 FO = 0.725694 t = 6990 x1 = 355.17 S = 0.72565 Ea = 4.30139 Eb = 3.47696 FO = 0.726039 t = 7000 x1 = 355.174 S = 0.725998 Ea = 4.29947 Eb = 3.47607 FO = 0.726386 t = 7010 x1 = 355.178 S = 0.726347 Ea = 4.29754 Eb = 3.47518 FO = 0.726736 t = 7020 x1 = 355.18 S = 0.7267 Ea = 4.29559 Eb = 3.47428 FO = 0.727088 t = 7030 x1 = 355.182 S = 0.727054 Ea = 4.29362 Eb = 3.47337 FO = 0.727443 t = 7040 x1 = 355.183 S = 0.727412 Ea = 4.29163 Eb = 3.47246 FO = 0.7278 t = 7050 x1 = 355.182 S = 0.727771 Ea = 4.28963 Eb = 3.47154 FO = 0.728159 t = 7060 x1 = 355.181 S = 0.728133 Ea = 4.28761 Eb = 3.47061 FO = 0.728521 t = 7070 x1 = 355.179 S = 0.728498 Ea = 4.28557 Eb = 3.46968 FO = 0.728886 t = 7080 x1 = 355.175 S = 0.728865 Ea = 4.28351 Eb = 3.46874 FO = 0.729253 t = 7090 x1 = 355.171 S = 0.729235 Ea = 4.28144 Eb = 3.46779 FO = 0.729622 t = 7100 x1 = 355.165 S = 0.729607 Ea = 4.27934 Eb = 3.46684 FO = 0.729994 t = 7110 x1 = 355.159 S = 0.729982 Ea = 4.27723 Eb = 3.46588 FO = 0.730369 t = 7120 x1 = 355.151 S = 0.730359 Ea = 4.2751 Eb = 3.46491 FO = 0.730746 t = 7130 x1 = 355.142 S = 0.730739 Ea = 4.27295 Eb = 3.46393 FO = 0.731126 t = 7140 x1 = 355.131 S = 0.731121 Ea = 4.27079 Eb = 3.46295 FO = 0.731508 t = 7150 x1 = 355.119 S = 0.731506 Ea = 4.2686 Eb = 3.46196 FO = 0.731893 t = 7160 x1 = 355.106 S = 0.731894 Ea = 4.2664 Eb = 3.46097 FO = 0.73228 t = 7170 x1 = 355.092 S = 0.732284 Ea = 4.26417 Eb = 3.45996 FO = 0.73267 t = 7180 x1 = 355.076 S = 0.732676 Ea = 4.26193 Eb = 3.45895 FO = 0.733063 t = 7190 x1 = 355.059 S = 0.733072 Ea = 4.25966 Eb = 3.45794 FO = 0.733458 t = 7200 x1 = 355.04 S = 0.73347 Ea = 4.25738 Eb = 3.45691 FO = 0.733855
184
184
Work index
Quartzo
Massa da alimentação do moinho:
1 Proveta
2 Proveta 1.025 Kg
3 Proveta
a
a
a
Média
Análise Granulométrica da Alimentação:
Massa: 217,17
Peneiras PESO RS RA PASSANTE
8 # 68,93 31,89 31,89 68,11310 # 41,71 19,29 51,18 48,81812 # 17,22 7,97 59,15 40,85214 # 19,64 9,09 68,23 31,76716 # 9,34 4,32 72,55 27,44620 # 13,7 6,34 78,89 21,10828 # 13,58 6,28 85,17 14,82635 # 10,17 4,70 89,88 10,12248 # 11,35 5,25 95,13 4,87165 # 4,85 2,24 97,37 2,628100 # 3,35 1,55 98,92 1,078150 # 2,2 1,02 99,94 0,060200 # 0,08 0,04 99,98 0,023270 # 0,05 0,02 100,00 0,000325 # 0,00 0,00 100,00 0,000400 # 0,00 0,00 100,00 0,000Total 216,17
Alimentação
0
20
40
60
80
100
120
10 100 1000 10000
abertura [µm]
pass
ante
[%}
Tabela
M = 1025,0 Kg
AAR = 293,0 Kg
1 2 3 4 5 6 7 8PRODUTOS
CICLOS NR MA MAR MAP MAL DESVIO MOB.+ 100 # - 100 g
1 200 2,33 865,94 159,06 156,73 -133,94 0,782 372 2,36 669,28 355,72 353,36 62,72 0,953 304 3,44 695,58 329,42 325,98 36,42 1,074 270 3,31 697,37 327,63 324,32 34,63 1,25 241 2,78 711,21 313,79 311,01 20,79 1,296 224 3,65 741,74 283,26 279,61 -9,74 1,247 234 3,15 730,6 294,4 291,25 1,4 1,24
Análise Granulométrica do Produto Final
Massa: 195,82 Kg
Peneiras PESO RS RA PASSANTE
150 # 56,71 35,81 35,81 64,19200 # 33,99 21,46 57,27 42,73270 # 32,5 20,52 77,79 22,21325 # 19,82 12,51 90,31 9,69400 # 12,47 7,87 98,18 1,82
- 400 # 2,88 1,82 100,00 0,00Total 158,37
186
186
Produto
0,00
20,00
40,00
60,00
80,00
100,00
120,00
10,00 100,00 1000,00
Abertura [µm]
Pas
sant
e [%
]
O valor do índice de treabalho, WI, em tonelada é:
0,23 0,82
40,361515,12 kwh/t
1 1150 1,26 10
124,4 2564
WI
= = × × × −
Calcita
Massa da alimentação do moinho:
1 Proveta
2 Proveta 1.177 Kg
3 Proveta
a
a
a
Média
Análise Granulométrica da Alimentação:
Massa: 215,83
Peneiras PESO RS RA PASSANTE
8 # 35,08 16,29 16,29 83,70910 # 36,75 17,07 33,36 66,64312 # 20,30 9,43 42,78 57,21614 # 25,10 11,66 54,44 45,56116 # 13,41 6,23 60,67 39,33320 # 17,30 8,03 68,70 31,29928 # 17,56 8,15 76,86 23,14535 # 13,18 6,12 82,98 17,02448 # 15,44 7,17 90,15 9,85465 # 8,49 3,94 94,09 5,912
100 # 6,83 3,17 97,26 2,740150 # 4,70 2,18 99,44 0,557200 # 0,56 0,26 99,70 0,297270 # 0,34 0,16 99,86 0,139325 # 0,20 0,09 99,95 0,046400 # 0,10 0,05 100,00 0,000Total 215,34
Alimentação
0
20
40
60
80
100
120
10 100 1000 10000
abertura [µm]
pass
ante
[%]
Tabela
M = 1.177,00 Kg
AAR = 336,30 Kg
188
188
1 2 3 4 5 6 7 8PRODUTOS
CICLOS NR MA MAR MAP MAL DESVIO MOB.+ 100 # - 100 g
1 200 5,9 913,15 263,85 257,95 -72,45 1,32 254 8,3 779,66 397,34 389,04 61,04 1,533 214 10,33 844,28 332,72 322,39 -3,58 1,514 215 8,1 805,59 371,41 363,31 35,11 1,685 195 12,17 803,73 373,27 361,1 36,97 1,85
Análise Granulométrica do Produto Final
Massa: 195,82 Kg
Peneiras PESO RS RA PASSANTE
150 # 50,64 25,96 25,96 74,04200 # 38,78 19,88 45,84 54,16270 # 60,26 30,89 76,74 23,26325 # 32,38 16,60 93,34 6,66400 # 10,72 5,50 98,83 1,17
- 400 # 2,28 1,17 100,00 0,00Total 195,06
Produto
0,00
20,00
40,00
60,00
80,00
100,00
120,00
10,00 100,00 1000,00
Abertura [µm]
Pas
sant
e [%
]
O valor do índice de treabalho, WI, em tonelada é:
0,23 0,82
40,361511,52 kwh/t
1 1150 1,68 10
114,7 2253,7
WI
= = × × × −
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