Cont Deriv

Disciplina: Cálculo I

Prof. Doherty Andrade

2014

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Orientação

1 Objetivos2 Continuidade3 Funções contínuas em intervalos fechados [a,b]4 Derivada5 Propriedades6 Interpretação da derivada7 Derivada implícita8 Taxas relacionadas9 Máximos e Mínimos

10 Assíntotas11 Esboço de gráfico12 Incrementos, diferenciais e aproximação linear13 Regra de L’Hospital14 Propriedades da funções deriváveis

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Objetivos

Objetivos

Apresentar os principais resultados das funções contínuas.

Apresentar os principais resultados das funções deriváveis.

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Continuidade

Definiçãoa Seja f : X ⊂ R → R. Dizemos que f é contínua em x0 se:(a) existe f (x0);(b) limx→x0 f (x) = f (x0).

aaqui supõe-se implicitamente que x0 seja um ponto de acumulação de X .

Dizemos que a função f é contínua em X , se f for contínua em todosos pontos de X .

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Continuidade

Outra definição equivalente: dizemos que f é contínua x0 se dadoqualquer ǫ > 0 existe δ > 0 tal que se |x − x0| < δ, então|f (x)− f (x0)| < ǫ.

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Continuidade

• Exemplo

a) Se T : R → R é função afim, isto é, T (x) = ax + b, então é contínuaem R. De fato, o resultado segue da igualdade

|T (x)− T (x0)| = |a(x − x0)| = |a||x − x0|.

b) Dizemos que f : X ⊆ R → R é Lipschitziana se existe K ≥ 0 tal que

|f (x)− f (y)| ≤ K |x − y |,

para todo par x , y ∈ X .Um caso particular importante ocorre quando 0 ≤ K < 1; neste casodizemos que a função é uma contração. Toda função Lipschitziana écontínua.

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Continuidade

Teorema (Construção de funções contínuas)

Sejam f ,g : X ⊂ C → R e x0 ∈ X. Se f e g são contínuas em x0, entãovalem:a) kf é contínua em x0, para todo k ∈ R.b) (f + g) é contínua em x0.c) (f .g) é contínua em x0.

d) Se g(x0) 6= 0, entãofg

é contínua em x0.

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Continuidade

Utilizando o teorema acima podemos concluir que as seguintesfunções são contínuas nos seus respectivos domínios:

1. Função constante: f (x) = c onde c, x ∈ R, c fixo.

2. Função identidade: f (x) = x , z ∈ R.

3. Função translação: f (x) = x + a, a ∈ R fixo e x ∈ R.

4. Função homotetias: f (x) = ax , a > 0 e x ∈ R.

5. Função potência natural f (x) = xn,n ≥ 0 e x ∈ R.

6. Função polinomial f (x) = anxn + an−1xn−1 + . . .+ a1x + a0,aj ∈ R e n ≥ 0 e x ∈ R.

7. Função racional q(x) =anxn + an−1xn−1 + . . .+ a1x + a0

bmxm + bm−1xm−1 + . . . + b1x + b0,

aj ,bk ∈ R e m,n ≥ 0. Note que o domínio de q(x) é conjuntodos números reais nos quais o denominador não se anula.

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Continuidade

Teorema (Continuidade da função composta)

Sejam X ⊂ R e Y ⊂ R, f : X → R e g : Y → R funções. Suponha quef (X ) ⊂ Y e assim (g ◦ f ) está definida em X. Se f em contínua emx0 ∈ X e g contínua em y0 = f (x0), então (g ◦ f ) é contínua em x0 ∈ X.

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Continuidade

Demonstração: Dado ǫ > 0, devemos provar que existe δ > 0 tal quex ∈ X e |x − x0| < δ implica que

|(g ◦ f )(x) − (g ◦ f )(x0)| < ǫ.

Dado ǫ > 0, como g é contínua em y0 = f (x0) existe γ > 0 tal que paray ∈ Y e |y − y0| < γ tem-se

|g(y)− g(y0)| < ǫ.

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Continuidade

Como f é contínua em x0, para γ > 0 dado, existe um δ > 0 tal quepara x ∈ X e |x − x0| < δ tem-se

|f (x)− f (x0)| < γ.

Logo,|(g ◦ f )(x) − (g ◦ f )(x0)| < ǫ,

que é o que queríamos. �

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Funções contínuas em intervalos fechados [a, b]

As funções definidas em intervalos fechados possuem importantespropriedades. Vamos estudar algumas dessas.

TeoremaSeja f : [a,b] → R uma função contínua. Seja (xn) uma sequência queconverge para x0. Então, f (xn) converge para f (x0).

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Funções contínuas em intervalos fechados [a, b]

TeoremaSeja f : I → R uma função contínua não constante, onde I é umintervalo. Então, J = f (I) é um intervalo.

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Funções contínuas em intervalos fechados [a, b]

Teorema (Valor extremo)

Seja f : [a,b] → R uma função contínua. Então, existem x0 ∈ [a,b] ex1 ∈ [a,b] tais que

f (x0) ≤ f (x) ≤ f (x1).

Isto é, f assume o seu valor máximo e o seu valor mínimo.

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Funções contínuas em intervalos fechados [a, b]

Teorema (Teorema do valor intermediário)

Seja f : [a,b] → R contínua tal que f (a)f (b) < 0. Então, existec ∈ (a,b) tal que f (c) = 0.

-1

0

1

2

3

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2x

TVI

Figura: Ilustração do Teorema do valor intermediário

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Funções contínuas em intervalos fechados [a, b]

Seja f : X → X . Se existe c ∈ X tal que f (c) = c dizemos que c é umponto fixo para f .

Teorema

Toda aplicação contínua f : [a,b] → [a,b] tem pelo menos um pontofixo.

Demonstração: Defina a seguinte aplicação g : [a,b] → R dada porg(x) = f (x)− x . Assim g mede a distância orientada entre x e suaimagem f (x). Um ponto fixo de f é um ponto x onde g(x) = 0. Se umdos extremos do intervalo é ponto fixo nada temos a provar. Entãosuponha que nenhum deles seja ponto fixo. Como f (a) e f (b) estão nointervalo [a,b] segue que a < f (a) e f (b) < b e portanto g(a) > 0 eg(b) < 0. Como g é contínua, existe x0 ∈ [a,b] tal que g(x0) = 0 eportanto f (x0) = x0. �

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Funções contínuas em intervalos fechados [a, b]

Exercício: use o teorema do valor intermediário para mostrar que afunção f (x) =

( x2

)2 − sin(x), x em radianos, tem uma raiz.

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Derivada

A derivada de uma função f em um ponto x é dada por

limx→x0

f (x)− f (x0)

x − x0,

se este limite existe.Denotamos este limite por f ′(x0). Note que a derivada é o limite davariação média da f .É usual tomar x = x0 + h e reescrever f ′(x0) como

f ′(x0) = limh→0

f (x0 + h)− f (x0)

h.

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Derivada

Exercício: Calcule a deriva de f (x) = x2 − 5x utilizando a definição.Exercício: Utilizando a definição verifique que a função f (x) = |x | nãotem derivada em x0 = 0.

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Derivada

Observação

Se f é derivável em x0, então f é contínua em x0. De fato,

limx→x0

f (x) = limx→x0

[

f (x)− f (x0)

x − x0(x − x0) + f (x0)

]

= f ′(x0)0 + f (x0).

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Propriedades

Vamos resumir na tabela abaixo as principais regra de derivação.

Função Derivada

y = f + g y ′ = f ′ + g′

y = kf y ′ = kf , k constantey = fg y ′ = f ′g + fg′

y = fg y ′ = f ′g−fg′

g2

y = (f ◦ g)(x) y ′ = f ′(g(x)).g′(x) –regra da cadeia

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Propriedades

Nas tabela a seguir apresentamos as derivadas de algumas funções.

Função Derivada

y = k y ′ = 0y = x y ′ = 1y = xn y ′ = nxn−1

y =√

x y ′ = 12√

xy = ex y = ex

y = ax y = ln(a)ax

y = ln(x) y ′ = 1x

y = loga x y = 1x loga(e)

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Propriedades

Função Derivada

y = cos(x) y ′ = − sin(x)y = sin(x) y ′ = cos(x)y = tan(x) y ′ = sec2(x)y = sec(x) y ′ = sec(x) tan(x)y = cot(x) y ′ = − csc2(x)y = csc(x) y ′ = − csc(x) cot(x)y = arcsin(x) y ′ = 1√

1+x2

y = arccos(x) y ′ = −1√1+x2

y = arctan(x) y ′ = 11+x2

y = sinh(x) = ex−e−x

2 y ′ = cosh(x) = ex+e−x

2

y = cosh(x) = ex+e−x

2 y ′ = sinh(x) = ex−e−x

2

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Interpretação da derivada

A. Inclinação da reta tangente ao gráfico:

Figura: reta tangente

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Interpretação da derivada

A inclinação da reta secante é dada por

tan(α) =f (a + h)− f (a)

h.

Quando h → 0, a secante tende a uma reta tangente ao gráfico noponto (a, f (a)). Assim, obtemos f ′(a) como sendo a inclinação da retatangente ao gráfico de f no ponto (a, f (a)).

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Interpretação da derivada

Exercício: Determine a reta tangente ao gráfico de f (x) = x2 + 1 noponto P(2,5).

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Interpretação da derivada

B. Taxa de variação: A taxa média de variação de f no intervalo[a,b] é dada por

∆f∆x

=f (b)− f (a)

b − a.

Quando b = a +∆x se aproxima de a, a taxa média se aproxima dataxa instantânea:

lim∆x→0

f (a +∆x)− f (a)∆x

= f ′(a).

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Interpretação da derivada

Outra notação muito comum para a derivada de uma função y devariável x é dy

dx . Assim, y ′ = dydx . Esta notação tem origem na notação

para taxa média. Note que

dydx

= lim∆x→0

∆y∆x

.

Usando esta notação na regra da cadeia, se y = f (x) e x = g(t),então a variação instantânea de y com relação t é dada por

dydt

=dydx

dxdt

.

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Interpretação da derivada

Exemplo: Um objeto em queda livre tem altura dada no instante t porH(t) = −16t2 + 180. Determine a velocidade média durante o primeirosegundo. E entre o segundo e o terceiro segundo?No primeiro segundo, ∆f

∆x = f (1)−f (0)1−0 = −16m/s.

Entre o segundo e o terceiro segundo, ∆f∆x = f (3)−f (2)

3−2 = −80m/s.A velocidade instantânea quando t = 2 é dada por H ′(2): -64m/s.

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Interpretação da derivada

Exemplo: A medida que o sangue se move do coração através dasartérias principais em direção aos capilareas e de volta para as veias,a pressão arterial sistólica cai continuamente. Considere uma pessoacuja pressão arterial é dada por P (em mm de mercúrio), onde

P(t) =25t2 + 125

t2 + 1, t ∈ [0,10].,

em que t é medido em segundo. A que taxa a pressão arterial variaapós 5 segundos do sangue ter saído do coração?A taxa é dada por P ′(5) que é aproximadamente iguala -1,48 mm/seg.

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Derivada implícita

Algumas vezes uma função y(x) é definida implicitamente, como porexemplo, x2 − 2y2 + 4y = 3. Isto é, a função y foi dada satisfazendouma relação de igualdade. Uma maneira de encontrar y ′(x) éescrever y(x) explicitamente como função de x . Mas isto nem sempreé possível. A saída então é derivar implicitamente, é o que vamosmostrar com um exemplo.

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Derivada implícita

x2 − 2y2 + 4y = 3

2x − 4yy ′ + 4y ′ = 0

y ′(4 − 4y) = −2x

y ′ =2x

4y − 4

y ′ =x

2y − 2

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Derivada implícita

Calcule y ′ nos casos :(a) x2 + 4y2 = 4 no ponto (1,1).(b) y3 + y2 − 5y − x2 = 4 no ponto (1,-1).

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Taxas relacionadas

Muitas vezes precisamos calcular a taxa de variação de umaquantidade A. A melhor maneira de fazer isto é encontrar umaequação que relaciona A a uma segunda quantidade B, cuja variaçãoé mais simples de ser calculada. Então derivando ambos os lados daequação é possivel obter a variação procurada.Suponha que y = f (x) e x = g(t). Se as duas variáveis mudam com otempo, as suas taxas estão relacionadas pela regra da cadeia

dydt

=dydx

dxdt

.

Vamos ilustrar com um exemplo.

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Taxas relacionadas

Exemplo: Suponha que y = x2 + 3, sendo x e y uma função de t .

Quando x = 1 edxdt

= 2, determinedydt

.

Pela regra da cadeia,

dydt

=dydx

dxdt

dydt

= 2xdxdt

.

Quando x = 1 edxdt

= 2, temos

dydt

= 2xdxdt

dydt

= 2 × 2 = 4.

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Taxas relacionadas

Exercício: uma pedra é jogada em um lago, gerando ondas circularesconcêntricas. O raio r da ondulação externa aumenta a uma taxaconstante de 1m/s. Quando o raio atingir 4m, a que taxa varia a áreatotal da água perturbada?

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Taxas relacionadas

Note que a área A está associado ao raio por A = πr2. Assim, temos

dAdt

=dAdr

drdt

dAdt

= 2πrdrdt

.

Quando r = 4 e drdt = 2, temos

dAdt

= 2πrdrdt

dydt

= 8πm/s2.

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Taxas relacionadas

Exercício: Uma escada de 25m está apoiada contra a parede de umacasa. A base da escada está sendo afastada da casa a uma taxa de2m/s. Determine quão rápido o topo da escada escorrega pela parededa casa quando a base está a 7m da parede.

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Taxas relacionadas

Figura: problema da escada

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Taxas relacionadas

Note que a altura y do topo da escada está associado com a distânciax da base da escada até a parede. Essa relação é dada pelo teoremade Pitágoras:

y =√

252 − x2.

Agora continue.

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Taxas relacionadas

Exercício: Um balão esférico está inflando. O raio do balão cresce auma taxa de 0,2m/seg quando o raio r = 5cm. A que taxa seu volumeV está crescendo neste instante?Note que o volume do balão está associado ao seu raio por V = 4

3πr3.Agora continue.

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Taxas relacionadas

Exercício: Uma mancha de óleo em um lago está cercada por umabarrreira circular flutuante. Á medida que o comprimemto da barreira éencolhido, a área circular diminui por bombeamento. Se a barreiraestá sendo reduzida a uma taxa de 5m/s, a que taxa está diminuindo aárea da mancha, quando a área tiver um diâmetro de 100m?

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Máximos e Mínimos

Seja f : [a,b] → R e c ∈ [a,b]. Se f (c) ≤ f (x) para todo x ∈ [a,b],dizemos que f (c) é o valor mínimo de f em [a,b]. Neste caso dizemostambém que c é um ponto de mínimo.Se f (c) ≥ f (x) para todo x ∈ [a,b], dizemos que f (c) é o valor máximode f em [a,b]. Neste caso dizemos também que c é um ponto demáximo.Se existe algum intervalo aberto I contendo c tal que f (c) ≤ f (x) paratodo x ∈ I, dizemos que f (c) é o valor mínimo local de f .Do mesmo modo, se existe algum intervalo aberto I contendo c tal quef (c) ≥ f (x) para todo x ∈ I, dizemos que f (c) é o valor máximo localde f .

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Máximos e Mínimos

Figura: max e min locais

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Máximos e Mínimos

TeoremaSeja f derivável em c e definida em um intervalo aberto contendo c.Se f (c) é um valor de máximo local ou um valor de mínimo local paraf , então f ′(c) = 0.

Demonstração: Suponha que f (c) seja um valor de máximo local.Então, temos

f ′(c) = limh→0+

f (c + h)− f (c)h

≤ 0

e

f ′(c) = limh→0−

f (c + h)− f (c)h

≥ 0.

Segue que f ′(c) = 0.Análogo para o caso em que f (c) é um valor de mínimo local. �

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Máximos e Mínimos

Cuidado: a recíproca do teorema acima não é verdadeira. Porexemplo, função y = x3 tem x0 = 0 tal que f ′(x0) = 0, mas este valornão é nem de máximo e nem de mínimo.

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Máximos e Mínimos

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Máximos e Mínimos

Definição

Chamamos de ponto crítico ao número c ∈ dom(f ) tal que f ′(c) = 0 ouf ′(c) não existe.

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Máximos e Mínimos

TeoremaSeja f : [a,b] → R derivável e suponha que f (c) seja um valor demáximo ou mínimo de f em [a,b]. Então, ou c é um ponto crítico ouum dos extremos do intervalo.

Demonstração: Se c não é extremo do intervalo, isto é, a ou b, entãof (c) é máximo ou mínimo local. Pelo teorema anterior f ′(c) = 0. �

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Máximos e Mínimos

Exemplo: Seja f (x) = x(30 − x), x ∈ [0,30]. Como f ′(x) = 30 − 2x ,segue que x0 = 15 é ponto crítico. Como f (0) = 0, f (30) = 0 ef (15) = 135, segue que o valor de máximo absoluto de f em [0,30] é135 e ocorre no ponto x = 15. O valor de mínimo global é 0 e ocorreou no ponto x = 0 ou no ponto x = 30.

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Máximos e Mínimos

Exercício: Determine e classifique os pontos críticos:(a) f (x) = 2x3 − 3x2 − 12x + 15, x ∈ [0,3].(b) f (x) = 2x3 − 9x2 + 12x + 1, x ∈ [−3,3].

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Máximos e Mínimos

Exercício: Uma chapa retangular de 5m por 8m deve ser cortado 4quadrados iguais nos cantos para que, dobrando os lados, construiruma caixa sem tampa. Qual o tamanho do lado do quadrado que daráo maior volume?

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Máximos e Mínimos

Exercício: Um fazendeiro tem 200m de arame para cercar uma árearetangular ao lado de um muro, assim ao lado deste não precisa decerca. Determine as dimensões desse retângulo para ele possua áreamáxima.

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Máximos e Mínimos

Exercício: Um objeto com massa M é arrastado ao londo de umplano horizontal por uma força agindo ao longo de uma corda presaao objeto. Se a corda faz um ângulo θ com o plano, então a itensidadeF da força é dada por

F (θ) =µMg

cos(θ) + µ sin(θ),

onde g é força de gravidade e µ é o coeficiente de atrito. Determine ovalor de θ que minimiza F .

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Máximos e Mínimos

Definição

Dizemos que uma função é crescente se x < y implicar f (x) < f (y). Édecrescente quando x < y implicar f (x) > f (y).

Teorema

Seja f : [a,b] → R derivável e suponha que f ′(x) > 0 em (a,b). Então,f é crescente.

De fato, como

f ′(x) = limh→0

f (x + h)− f (x)h

> 0

se h > 0, então f (x + h) > f (x) e portanto f é crescente. Se h < 0,então f (x + h) < f (x) e portanto f é crescente. �

Resultado análogo para função decrescente.

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Máximos e Mínimos

Teorema (Teste da derivada primeira)

Suponha que c seja ponto crítico de uma função contínua f .(a) Se f ′ muda de positiva para negativa em c, então f tem um máximolocal em c.(a) Se f ′ muda de negativa para positiva em c, então f tem um mínimolocal em c.

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Máximos e Mínimos

Figura: Teste da derivada primeira

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Máximos e Mínimos

Teorema (Teste da derivada segunda)

Suponha que f seja duas vezes derivável em algum intervalo aberto Icontendo ponto crítico c. Então:(a) Se f ′′(x) > 0 em I, então f (c) é o valor mínimo de f em I.(a) Se f ′′(x) < 0 em I, então f (c) é o valor máximo de f em I.

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Máximos e Mínimos

Teorema (Teste da concavidade)

Suponha que f seja duas vezes derivável em algum intervalo aberto I.Então:(a) Se f ′′(x) > 0 em I, então f é côncava para cima em cada ponto deI.(a) Se f ′′(x) < 0 em I, então f é côncava para baixo em cada ponto deI.

Chamamos ponto de inflexão de f ao ponto do domínio de f em que ográfico de f muda de concavidade. Alguns autores incluem pontocomo ponto de inflexão os pontos x onde não existe f ′′(x).

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Máximos e Mínimos

Teorema (Teste do ponto de inflexão)

Suponha que f seja duas vezes derivável em algum intervalo aberto Icontendo c. Então c é um ponto de inflexão se f ′′(x) > 0 em um ladode c e f ′′(x) < 0 do outro lado de c.

Note que em um ponto c de inflexão de f pode ocorrer f ′′(c) = 0 ouf ′′(c) não existe.

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Assíntotas

Se limx→∞ f (x) = L ∈ R ou limx→−∞ f (x) = L ∈ R dizemos que y = Lé uma assíntota horizontal.Se limx→a+ f (x) = ±∞ ou limx→a− f (x) = ±∞R dizemos que x = a éuma assíntota vertical.

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Assíntotas

A função y = x(x−2)2 possui assíntota vertical em x = 2. Possui

assíntota horizontal em y = 0.Existem assíntotas que não são nem horizontais e nem verticais, elassão inclinadas.Dizemos que a reta não vertical y = ax + b é uma assíntota ao gráficod y = f (x) se

limx→∞

(f (x)− ax − b) = 0 ou limx→−∞

(f (x)− ax − b) = 0.

Por exemplo, y = x2+x−1x−1 tem a reta y = x + 2 como assintota.

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Esboço de gráfico

Para esboçarmos gráfico de uma função podemos seguir o roteiroreunindo informações sobre a função para traçar o gráfico.Roteiro para esboçar gráfico:

1 Determinar o domínio.2 Determinar as interseções com os eixos coordenados.3 Simetria da função, se periódica, par ou ímpar.4 Determinar assintotas horizontais e verticais.5 Determinar os valores máximos e mínimos locais.6 Determinar as regiões de crescimento e decrescimento da função.7 Determinar as regiões de concavidade e pontos de inflexão.8 Esboço da curva.

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Esboço de gráfico

Exercício: Esboce o gráfico de f (x) = x + 4x .

Exercício: Esboce o gráfico de f (x) = x (x − 4)3 .

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Incrementos, diferenciais e aproximação linear

Os termos dx e dy apareceram até agora apenas como parte da

notação de derivadadydx

, que não era olhada como um quociente de

dois números.No entanto, é possível dar um significado para dx e para dy . A ideia éolhar para dx e dy como duas novas variáveis. Olhando destamaneira, dx e dy são chamadas de diferenciais.

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Incrementos, diferenciais e aproximação linear

Dada uma função diferenciável y = f (x), tomemos dx como umavariável independente e dy como sendo uma nova variáveldependente e relacionada a dx pela equação

dy = f ′(x)dx .

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Incrementos, diferenciais e aproximação linear

Muitas vezes precisamos de estimar rapidamente e de modo simplesa variação de y = f (x) que resulta da variação de x . Suponha que xsofreu um incremento ∆x . Assim, x muda para x +∆x . A mudançano valor de y é o incremento ∆y , calculado pela diferença

∆y = f (x +∆x)− f (x).

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Incrementos, diferenciais e aproximação linear

Figura: incrementos

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Incrementos, diferenciais e aproximação linear

Do gráfico acima vemos que f ′(x) ≈ ∆y∆x . Portanto,

f (x +∆x) ≈ f (x) + f ′(x)∆x .

Substituindo x por a na expressão acima temosf (a +∆x) ≈ f (a) + f ′(a)∆x .Se escrevermos ∆x = x − a, e portanto, x = a +∆x , a expressãoacima fica

f (x) ≈ f (a) + f ′(a)(x − a).

O lado direito, L(x) = f (a) + f ′(a)(x − a), é a equação de uma reta quepassa pelo ponto (a, f (a)) e tem inclinação f ′(a), é a reta tangente aográfico da f neste ponto. Esta é uma aproximação linear de f (x) pertodo ponto x = a.

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Incrementos, diferenciais e aproximação linear

Exemplo: Determine a aproximação linear da função f (x) =√

1 + xperto do ponto a = 0.Como f ′(x) = 1

2(1 + x)−12 segue que f ′(0) = 1

2 . Assim, como f ′(0) = 12

e f (0) = 1 temos L(x) = 1 + 12(x − 0) = 1 + 1

2x .Quando x está próximo de a = 0, o valor de f (x) é próximo de L(x).Assim, se x = 0.1 (perto de 0), temosf (0.1) =

√1.1 ≈ L(0.1) = 1 + 1

20,1 = 1,05.Mas f (2) =

√3 ≈ L(2) = 1 + 1

22 = 2, um valor muito diferente de√

3.

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Incrementos, diferenciais e aproximação linear

Exemplo: Determine uma aproximação para√

36.1.Vamos usar a função f (x) =

√x e a aproximação de f no ponto

a = 36. Como L(x) = f (a) + f ′(a)(x − a), então

√

36,1 = f (36 + 0,1) ≈ 6 +112

0,1 = 6,00833.

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Regra de L’Hospital

Suponha que f e g sejam diferenciáveis perto de um ponto a, excetopossivelmente no próprio ponto a. Suponha que

limx→a

f (x) = 0 e limx→a

g(x) = 0

oulimx→a

f (x) = ±∞ e limx→a

g(x) = ±∞.

Então,

limx→a

f (x)g(x)

= limx→a

f ′(x)g′(x)

,

se o limite do lado direito existir ou for +∞ ou −∞..

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Regra de L’Hospital

Exemplos Calcule os limites abaixo.

a) limx→1

ln xx − 1

.

b) limx→1

ln xx − 1

.

c) limx→0+

x ln x . Sugestão escreva como limx→0+

ln x1x

.

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Propriedades da funções deriváveis

As funções deriváveis em intervalos possuem importantespropriedades que fornecem muitas informações sobre ocomportamento dessas funções.

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Propriedades da funções deriváveis

Teorema (Rolle)

: Seja f : [a,b] → R contínua, tal que f (a) = f (b). Se f é derívalvel em(a,b) então existe um ponto c ∈ (a,b) onde f ′(c) = 0.

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Propriedades da funções deriváveis

Demonstração: Se f (x) = k uma constante f (x) = f (b) em todointervalo [a,b], neste caso sua derivada é indenticamente nula. Se fnão for constante, ela terá que assumir valores maiores e menoresque f (a) = f (b).Se f (x) > f (a), para algum x em (a,b), pelo Teorema de extremo, fassume um valor máximo em algum ponto de [a,b]. Como f (a) = f (b)ela deve assumir esse valor em um número c no intervalo (a,b).Então f tem um máximo local em c e f é diferenciavél no intervalo(a,b). Portanto f ′(c) = 0.Se f (x) < f (a), para algum x em (a,b), pelo Teorema do valorExtremo f tem um valor mínimo em [a,b] e como f (a) = f (b), elaassume esse valor mínimo em um número c em (a,b). Novamentef ′(c) = 0. �

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Propriedades da funções deriváveis

O teorema de Rolle afirma que existe um ponto (c, f (c)) onde a retatangente é horinzontal ao gráfico e portanto f ′(c) = 0. Faça algunsdesenhos para visualizar.

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Propriedades da funções deriváveis

A seguir apresentamos o teorema do valor médio. Podemos usar oteorema de Rolle para demonstrá-lo.O teorema do valor médio apresenta uma explicação para o seguintefato: se a média de velocidade em uma viagem de carro de umacidade a outra é 80 km/h, então em algum momento da viagem ocarro atingiu a velocidade de 80 km/h. Seja S(t) a posição do carro noinstante t (horas). Se a viagem começou em t = a e terminou emt = b, então a velocidade média é

vm =S(b)− S(a)

b − a.

A afirmação de que em algum momento a velocidade foi igual àvelocidade média significa que vm = S′(t0), para algum t0. Isto é,

S′(t0) =S(b)− S(a)

b − a.

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Propriedades da funções deriváveis

O teorema do valor médio estabelece as condições para que aigualdade acima seja verdadeira.

Teorema (valor médio)

Seja f : [a,b] → R uma função que satisfaz a seguintes condições:1o- f é contínua no intervalo fechado [a,b].2o- f é derivável no intervalo aberto (a,b).Então, existe um número c em (a,b) tal que

f ′(c) =f (b)− f (a)

b − a.

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Propriedades da funções deriváveis

Em outras palavras, existe uma reta tangente ao gráfico que é paralelaà reta secante que une os pontos (a, f (a)) e (b, f (b)).

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Propriedades da funções deriváveis

Notemos que a importância do teorema do valor médio reside no fatode ele nos possibilita obter informações sobre uma função a partir dedados sobre sua derivada.

Corolário

Se f ′(x) = 0 para todo x ∈ (a,b), então f é uma função constante em[a,b].

Demonstração: De fato, como f (x)− f (a) = f ′(c)(x − a), para algumc entre a e x e f ′(c) = 0, segue que f (x) = f (a). Como esta igualdadevale para todo x ∈ (a,b), temos que f (x) = f (a). �

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Propriedades da funções deriváveis

Corolário

Se f ′(x) = g′(x) para todo x ∈ (a,b), então f e g é diferem por umaconstante.

Demonstração: De fato, tomemos h(x) = f (x)− g(x), x ∈ [a,b].Como h′(x) = para todo x ∈ [a,b], segue que h(x) = k é funçãoconstante. Logo, f (x)− g(x) = k para todo x ∈ [a,b]. �

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Propriedades da funções deriváveis

Demonstração do teorema do valor médio: A demonstração desseteorema consiste de duas etapas:1o- Definir uma função F (x) no intervalo [a,b] que satisfaz àshipoteses do Teorema de Rolle.2o- Aplicar a F (x) o Teorema de Rolle.

Considere a função auxiliar dada por

F (x) = f (x)− f (a)− f (b)− f (a)b − a

× (x − a).

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Propriedades da funções deriváveis

Podemos observar facilmente que F (a) = F (b) = 0, além do que F éderivavél nos pontos internos ao intervalo [a,b]. Logo o Teorema deRolle é aplicável a essa função: existe um ponto c, entre a e b tal queF ′(c) = 0. Mas

F ′(c) = f ′(c)− f (b)− f (a)b − a

,

de sorte que F ′(c) = 0 significa

f ′(c) =f (b)− f (a)

b − a.

Ou ainda f (b)− f (a) = f ′(c)(b − a). Isso completa a demonstração doTeorema. �

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