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1 Tópicos sobre Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Polinómios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1
Números Complexos. Polinómios. Integração de Funções Racionais
1 Tópicos sobre Números Complexos
De�nição
O conjunto dos números complexos representa-se por C e é cons-tituido por todos os números da forma x + iy, sendo x, y ∈ R ei =√−1 a unidade imaginária.
x designa-se por parte real do número z = x + iy, e abrevia-se neste texto por Re(z); y designa-se por parte imaginária donúmero z, e abrevia-se neste texto por Im(z).
O conjunto dos números reais R está contido no conjunto dosnúmeros complexos C, porque qualquer número real x pode serescrito da forma x+ i0.
Se Im(z) = 0 o número z diz-se real; se Re(z) = 0, o número zdiz-se imaginário puro.
Exemplos.
z = −1/2− i3 Re(z) = −1/2 Im(z) = −3
z = π + i3√5 Re(z) = π Im(z) =
3√5
z = 22i− 27 Re(z) = −27 Im(z) = 22
z = 11i Re(z) = 0 Im(z) = 11
Unidade imaginária
i0 = 1
i1 =√−1
i2 = i.i =√−1√−1 = −1
i3 = i2i = −1i = −ii4 = i2i2 = −1(−1) = 1· · ·i32 =??
Representação de Números Complexos
Seja z um número complexo.� Representação cartesiana: z = x+ iy (�gura 1).
Mário Abrantes http://www.ipb.pt/∼mar/ 2
Números Complexos. Polinómios. Integração de Funções Racionais � 2018/19 ESTG/IPBragança
� Representação polar (ou trigonométrica): z =√x2 + y2eiθ (�gura
2), sendo eiθ = cos(θ) + isen(θ).
O ângulo θ designa-se por argumento de z e escreve-se arg(z). Esteargumento pode tomar uma in�nidade de valores que diferem entresi por múltiplos de 2π. O valor do argumento pertencente ao in-tervalo ]− π, π], chama-se argumento principal de z e representa-sepor Arg(z).
Figura 1: Plano Complexo (ou Plano de Argand)
Figura 2: |z| eiθ = x+ iy
Terminologia, Propriedades, Operações
1. Os números complexos z = x+ iy e w = a+ ib dizem-se iguais ssex = a e y = b.
2. Módulo do número complexo z = x+ iy:
|z| =√x2 + y2.
3. Conjugado do número complexo z = x+ iy = |z| eiθ:
z = x− iy = |z| e−iθ.4. Soma\Diferença dos números complexos z = x+ iy e w = a+ ib:
z ± w = (x+ a)± i(y + b).
5. Multiplicação\Divisão dos números complexos z = |z| eiθ ew = |w| eiϕ:
zw = |z| |w| ei(θ+ϕ) z/w =|z||w|
ei(θ−ϕ).
6. Potências de expoente inteiro do número complexo z = x+ iy:
zn =(|z| eiθ
)n= |z|n einθ.
Em particular
(cos(θ) + isen(θ))n =(eiθ)n
= einθ = cos(nθ) + isen(nθ).
Mário Abrantes http://www.ipb.pt/∼mar/ 3
Números Complexos. Polinómios. Integração de Funções Racionais
7. Multiplicação de z = x+ iy pelo seu conjugado:
zz = (x+ iy)(x− iy) = x2 + y2 = |z|2 .8. Conjugado do produto de z = x+ iy e w = a+ ib:
zw = (x+ iy)(a+ ib) = (xa− yb) + i(xb+ ya) =
(xa− yb)− i(xb+ ya) = (x− iy)(a− ib) = z w.
9. Uma consequência da propriedade anterior é, para n inteiro:
zn = (z)n.
Exercícios.Sejam z = 1 +
√3i e w = −
√3 + i.
1. Escrever as representações polares de z e w.z :
|z| =√12 + (
√3)2 =
√4 = 2
arg(z) = arctan(√3/1) = π/3
Rep. Polar z = 2eiπ/3
w :
|w| =√(−√3)2 + 12 =
√4 = 2
arg(z) = arctan
(1
−√3
)+ π = −π/6 + π =
5π
6
Rep. Polar w = 2ei5π/6
2. Escrever o conjugado de z na forma cartesiana e na forma polar.
Forma cartesiana z = 1−√3i Forma polar z = 2e−iπ/3
Forma cartesiana w = −√3− i Forma polar z = 2e−i5π/6
3. Calcular 2z − 3w.
2z − 3w = 2(1 +√3i)− 3(−
√3 + i) = (2 + 3
√3) + (2
√3− 3)i
4. Calcular zw na forma cartesiana e na forma polar.
Forma cartesiana zw = (1 +√3i)(−
√3 + i) =
−√3 + i− 3i+
√3i2 = −2
√3− 2i
Forma polar zw = 2eiπ/32ei5π/6 = 4ei(π/3+5π/6) = 4ei7π/6
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Números Complexos. Polinómios. Integração de Funções Racionais � 2018/19 ESTG/IPBragança
5. Mostrar que z6 = 64.
(1 + i√3)6 =
(2eiπ/3
)6= 26
(eiπ/3
)6= 64ei6π/3 =
64ei2π = 64(cos(2π) + isen(2π)) = 64(1 + i0) = 64
Por ser (1 + i√3)6 = 64 diz-se que 1 + i
√3 é uma raiz de índice 6
de 64. Quais são as raízes reais de índice 6 do número 64?
2 Polinómios
De�nição
Um polinómio na variável x é uma expressão na forma
anxn + an−1x
n−1 + · · ·+ a1x+ a0,
na qual n é um inteiro não negativo, designado por grau do polinó-mio, e os termos ai, 0 ≤ i ≤ n, são constantes reais ou complexasditas coe�cientes do polinómio.
Uma função cuja fórmula é um polinómio designa-se por fun-ção racional inteira.
Exemplos.
3
2x3 − x2 + 2 polinómio de grau 3
4 polinómio de grau 0; é igual a 4x0
x2 − x−1 + 2 não é um polinómio (o expoente de x−1 não é um
inteiro não negativo)
2ix2 − 3x+ 2− 4i polinómio de grau 2
Nesta breve abordagem estudam-se apenas polinómios de coe�cientesreais. Representa-se o grau de um polinómio p(x) por grau(p).
Raízes de Polinómios
Chama-se raiz ou zero do polinómio
p(x) = anxn + an−1x
n−1 + · · ·+ a1x+ a0,
a todo o número r, real ou complexo, tal que p(r) = 0.
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Números Complexos. Polinómios. Integração de Funções Racionais
Exemplos.
1. x = 2 é uma raiz do polinómio p(x) = 2x3 − 3x2 − 4 porquep(2) = 2× 23 − 3× 22 − 4 = 0.
2. x = i é uma raiz do polinómio p(x) = x2 + 1 porquep(i) = i2 + 1 = −1 + 1 = 0.
3. x = −1 não é uma raiz do polinómio p(x) = 2x3 − 3x2 − 4 porquep(−1) = 2× (−1)3 − 3× (−1)2 − 4 = −9 6= 0.
Divisão de Polinómios
A divisão de um polinómio p(x) por outro q(x), de grau menor ou igualao de p(x), decorre como exempli�cado nas �guras 3 e 4 e permite-nosescrever p(x) da forma
p(x) = q(x).Q(x) +R(x),
com grau(R) < grau(q). Se R(x) = 0, diz-se que p(x) é divisível porq(x) ou que q(x) divide p(x).
Figura 3: x4 +3 = (x2 +2x+1)(x2 − 2x+3)+ (−4x− 3) Figura 4: x3 − 6x2 + 11x− 6 = (x− 1)(x2 − 5x+ 6)
Exemplos.
1. O polinómio q(x) = x3 − 6x2 + 11x − 6 é divisível pelo polinómiox−1, uma vez que q(x) se pode escrever q(x) = (x−1)(x2−5x+6).q(x) é tambem divisível por x2 − 5x+ 6 (porquê?).
2. O polinómio q(x) = x3−6x2+11x−6 não é divisível pelo polinómiox− 5, uma vez que
x3 − 6x2 + 11x− 6 = (x− 5)(x2 − x+ 6) + 24.
Esta igualdade representa uma divisão da seguinte forma: x3−6x2+11x− 6 é o dividendo; x− 5 é o divisor; x2 − 5x+ 6 é o quociente;24 é o resto da divisão (�gura 5).
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Números Complexos. Polinómios. Integração de Funções Racionais � 2018/19 ESTG/IPBragança
Figura 5: Resto = 24
Figura 6
Factorização de Polinómios
Um polinómio p(x) diz-se factorizado no produto dos k polinómiosg1(x), g2(x), · · · , gk(x), se aparece escrito como o produto destespolinómios, i.e
p(x) = g1(x)g2(x) · · · gk(x).
Exemplos.
1. O polinómio p(x) = 2x3−12x2+22x−12 pode ser escrito na formap(x) = 2(x− 1)(x− 2)(x− 3) (veri�car!).Os polinómios envolvidos na factorização de p(x) são g1(x) = 2,g2(x) = x− 1, g3(x) = x− 2, g4(x) = x− 3.
2. O polinómio q(x) = x3 − 6x2 + 11x − 6 pode ser escrito na formaq(x) = (x− 1)(x2 − 5x+ 6) (veri�car!).Os polinómios envolvidos na factorização de q(x) são g1(x) = x−1,g2(x) = x2 − 5x+ 6.
Teorema 1.(de Bézout) O resto da divisão de um polinómio p(x), de grau maior ouigual a 1, pelo binómio x− a é igual a p(a).�
Exemplo.Dado o polinómio q(x) = x3−6x2+11x−6, temos q(5) = 53−6×52+11 × 5 − 6 = 24, sendo 24 o resto da divisão de q(x) por x − 5 (�gura5).
O enunciado seguinte é uma consequência do teorema de Bézout.
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Números Complexos. Polinómios. Integração de Funções Racionais
Corolário 2.Se r é uma raiz do polinómio p(x), isto é, se p(r) = 0, então p(x) édivisível exactamente por x− r e pode por isso ser escrito na forma
p(x) = (x− r)q(x),com grau(p) = grau(q) + 1.�
Exemplos.
1. O polinómio q(x) = x3 − 6x2 + 11x− 6 anula-se para x = 1, isto éq(1) = 0. Então q(x) é divisível por (x− 1),
x3 − 6x2 + 11x− 6 = (x− 1)(x2 − 5x+ 6).
2. O polinómio s(x) = 2x2 + 3x + 5/4 anula-se para x = −3+i4 , isto é
s(−3+i4 ) = 0. Então s(x) é divisível por(x− −3+i4
)(ver �gura 6),
2x2 + 3x+ 5/4 =
(x− −3 + i
4
)(2x+
3 + i
2
)= 2
(x− −3 + i
4
)(x+−3 + i
4
).
O teorema seguinte é essencial para a factorização de um polinómioqualquer num produto de termos lineares.
Teorema 3.(Teorema Fundamental da Álgebra) Todo o polinómio p(x) de graumaior ou igual a 1 tem, pelo menos, uma raiz real ou complexa.�
Podemos fazer o seguinte raciocínio:� O Teorema Fundamental da Álgebra diz-nos que dado um polinómioqualquer p(x), grau(p) ≥ 1, existe uma raiz r de p(x).
� Pelo teorema 1 de Bézout se p(x) tem a raiz r, então podemosescrever p(x) = (x− r)q(x).
� Repetindo este procedimento com o polinómio q(x): se q(x) é umpolinómio de grau zero (uma constante), então temos p(x) facto-rizado em factores de grau 1 ou grau 0; se grau(q) ≥ 1, entãoq(x) tem uma raiz s e, usando o teorema de Bézout, podemosescrever q(x) = (x − s)t(x) e p(x) = (x − r)(x − s)t(x), comgrau(p) = grau(t) + 2.
Este argumento valida o seguinte resultado.
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Números Complexos. Polinómios. Integração de Funções Racionais � 2018/19 ESTG/IPBragança
Teorema 4.Todo o polinómio p(x) = anx
n+an−1xn−1+ · · ·+a1x+a0 de grau ≥ 1,
se pode factorizar num produto do tipo
p(x) = an(x− r1)(x− r2) · · · (x− rn),sendo r1, r2, · · · , rn, as n raízes do polinómio, podendo algumas destasser iguais.�
Exercício.Veri�car que o polinómio q(x) = 3(x− 1)(x− 2)(x− 3) pode ser escritona forma 3x3 − 18x2 + 33x − 18, e que esta última expressão se anulapara x = 1, x = 2 e x = 3.
Uma consequência imediata deste teorema, é que todo o polinómio daforma ax2 + bx + c, com as raízes r1, r2, se pode factorizar na formaa(x− r1)(x− r2).
Exemplos.
1. O polinómio q(x) = x2− 2x+ 1 tem uma raiz dupla x = 1, comopode ser veri�cado usando a fórmula resolvente de Bhaskara:
x =−(−2)±
√(−2)2 − 4
2=
2±√0
2= 1.
Podemos escrever (veri�car!)
q(x) = (x− 1)2.
2. O polinómio q(x) = 2x2 − 4x + 2 tem igualmente a raiz duplax = 1 (veri�car!). Como o coe�ciente que multiplica x2 é 2, temos
q(x) = 2(x− 1)2.
3. O polinómio q(x) = x2 + x + 1 não tem raízes reais, como se podever usando a fórmula resolvente de Bhaskara,
x =−1±
√1− 4
2=−1±
√−3
2=−1± i
√3
2.
q(x) pode ser escrito (veri�car!)
q(x) =
(x− −1 + i
√3
2
)(x− −1− i
√3
2
).
Vale também o seguinte resultado.
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Números Complexos. Polinómios. Integração de Funções Racionais
Teorema 5.Se o número complexo z é raiz do polinómio de coe�cientes reais
p(x) = anxn + an−1x
n−1 + · · ·+ a1x+ a0
de grau ≥ 1, então o seu conjugado z é também raiz de p(x).Dito de outra forma, as raízes complexas de polinómios com coe�ci-entes reais aparecem aos pares de números conjugados.�
Prova.Se z é raiz de p(x), então p(z) = 0, i.e.,
anzn + an−1z
n−1 + · · ·+ a1z + a0 = 0.
Conjugando ambos os membros desta igualdade, ela continua válida(porquê?), e temos
anzn + an−1zn−1 + · · ·+ a1z + a0 = 0⇔
anzn + an−1zn−1 + · · ·+ a1z + a0 = 0⇔
anzn + an−1zn−1 + · · ·+ a1z + a0 = 0⇔
anzn + an−1z
n−1 + · · ·+ a1z + a0 = 0⇔
p(z) = 0 �
Esta igualdade signi�ca que z é raiz de p(x).�
Uma consequência deste teorema e do teorema da factorização na pá-gina 9, é o seguinte caso especí�co de factorização de polinómios decoe�cientes reais.
Teorema 6.Todo o polinómio de coe�cientes reais
p(x) = anxn + an−1x
n−1 + · · ·+ a1x+ a0
de grau ≥ 1, se pode factorizar num produto de termos lineares daforma (x − r), sendo r uma raiz real, de termos quadráticos da forma(x2 + bx + c), com duas raízes complexas conjugadas, e do coe�cientean. Alguns termos podem ser iguais.�
De facto, por as raízes complexas surgirem aos pares, a decomposiçãoem termos lineares contém um termo na forma (x− z) para cada termo(x−z), sendo z uma raiz complexa. Tal permite reduzir a factorização àforma enunciada, uma vez que (x−z)(x−z) é um polinómio do segundograu com coe�cientes reais (veri�car!).
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Números Complexos. Polinómios. Integração de Funções Racionais � 2018/19 ESTG/IPBragança
Polinómios Idênticos
Dois polinómios p(x), q(x) dizem-se idênticos sse têm os mesmoscoe�cientes para as mesmas potências de x.
Teorema 7.Se os valores de dois polinómios p(x), q(x), de grau n, coincidem paran + 1 valores diferentes x1, x2, · · · , xn, xn+1 da variável x, então estesdois polinómios são idênticos, isto é, têm os mesmos coe�cientes dasmesmas potências de x.�
Exemplo.Mostrar que se (ax + b) e (3x + 4) forem iguais para dois valores de xdistintos, então a = 3 e b = 4, i.e., os polinómios são idênticos.Suponhamos que os polinómios são iguais para, por exemplo, x = 2e x = −1. Podemos escrever{
a2 + b = 3× 2 + 4
a(−1) + b = 3(−1) + 4⇒{2a+ b = 10
−a+ b = 1
Resolvendo o sistema é imediato veri�car que se tem a = 3 e b = 4.
3 Funções Racionais
Chama-se função racional a uma função cujos numerador edenominador são polinómios.
A função p(x)q(x) diz-se própria se grau(p(x)) < grau(q(x)). De
contrário diz-se imprópria.
Exemplos.
x4
x2 + 2x+ 1função imprópria
x
x2 + 2x+ 1função própria
Uma função imprópria pode ser escrita como a soma de um polinómioe de uma função própria. Tal pode ser conseguido efectuando a divisãodo numerador pelo denominador.
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Números Complexos. Polinómios. Integração de Funções Racionais
Exemplos.
(i) x4−3x2+2x+1
= x2 − 2x + 3− 4x+6x2+2x+1
(veri�car!)
(ii) x2+5x−3x2−2x+1
= 1 + 7x−4x2−2x+1
(veri�car!)
Decomposição em Fracções Parciais
Uma função racional própria pode ser decomposta na soma de fracçõesparciais mais simples. Esta decomposição é útil para a integração defunções racionais.
Trata-se de, dada a função p(x)/q(x) na qual q(x) aparece factorizadoem termos da forma (x− r)k, ou (x2 + bx+ c)s, ou an, sendo an o co-e�ciente da potência de x mais elevada em q(x) e k, s inteiros positivos,fazer o seguinte:
� Para cada factor do tipo (x− r)k escrever a expressão
Ak
(x− r)k+
Ak−1
(x− r)k−1+ · · ·+ A1
x− r,
sendo os As constantes reais;
� Para cada factor do tipo (x2 + bx+ c)s escrever a expressão
Bs + Csx
(x2 + bx+ c)s+
Bs−1 + Cs−1x
(x2 + bx+ c)s−1+ · · ·+ B1 + C1x
x2 + bx+ c,
sendo os Bs e Cs constantes reais.
Cada uma das fracções que aparece nestas expressões designa-se porfracção parcial de p(x)/q(x).
Exemplos.
1.1
(x+1)(x−2) =Ax+1 +
Bx−2
2.x2+2
(x+1)3(x−2) =A
(x+1)3+ B
(x+1)2+ C
x+1 +Dx−2
3.x4−2
(x2+x+1)x2= A
x2+ B
x + Cx+Dx2+x+1
4.x4−2
(x2+x+1)2x= A
x +Bx+C
(x2+x+1)2+ Dx+E
x2+x+1
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Números Complexos. Polinómios. Integração de Funções Racionais � 2018/19 ESTG/IPBragança
Podemos usar esta decomposição para escrever uma função racional pró-pria como uma soma de fracções parciais, e uma função racional impró-pria como soma de um polinómio e de fracções parciais.
As constantes As,Bs, Cs, etc, designam-se por coe�cientes da decom-posição e são calculadas como mostra o exemplo seguinte.
Exemplo.
� Consideremos a função racional
p(x)q(x) =
x4−2(x2+x+1)x2
.
� Como grau(p) = grau(q) = 4, a função racional é imprópria. Co-meçamos por efectuar a divisão de p(x) por q(x), que nos permiteescrever (veri�car!),
p(x)q(x) = 1− x3+x2+2
(x2+x+1)x2.
Observa-se que, no segundo membro, já não temos funções impró-prias.
� O passo seguinte é decompôr a função x3+x2+2(x2+x+1)x2 numa soma de
fracções parciais. Como x2 + x+ 1 tem as raízes complexas(−1± i
√3)/2, a decomposição em fracções parciais �ca
x3 + x2 + 2
x2(x2 + x+ 1)=A
x2+B
x+
C +Dx
x2 + x+ 1. (1)
� O cálculo dos coe�cientes A, B, C, D faz-se do seguinte modo:� Começa-se por eliminar as divisões em (1), multiplicando ambosos membros por x2(x2 + x+ 1). Obtém-se
x3 + x2 + 2 = A(x2 + x+ 1) +Bx(x2 + x+ 1) + (C +Dx)x2;
� Expande-se o segundo membro desta igualdade e agrupam-se oscoe�cientes de iguais potências de x
x3 + x2 + 2 = (B +D)x3 + (A+B + C)x2 + (A+B)x+ A.
Como se quer que os polinómios nos dois membros da igualdadesejam idênticos, os coe�cientes dos polinómios devem ser iguais(teorema 7, pg. 11). Obtemos o sistema de equações lineares
B +D = 1
A+B + C = 1.
A+B = 0
A = 2
Resolvendo temos A = 2, B = −2, C = 1, D = 3.
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Números Complexos. Polinómios. Integração de Funções Racionais
� A decomposição pretendida é
p(x)q(x) =
x4−2(x2+x+1)x2
= 1− 2
x2+
2
x− 1 + 3x
x2 + x+ 1.
(Veri�car a correcção da segunda igualdade transformando o terceiromembro no segundo!)
Integração de Funções Racionais
A integração de uma função racional p(x)q(x) consiste em 3 etapas:
1. Dividir p(x) por q(x), se grau(p(x)) ≥ grau(q(x));
2. Decompôr em fracções parciais a função racional própria resultanteda divisão, ou a função p(x)/q(x) se nenhuma divisão foi efectuada.
3. Integrar a expressão equivalente a p(x)q(x) obtida � o integral �ca agora
reduzido a casos que admitem uma resolução sistemática.
Exemplo.
Calcular∫
x2+2(x+1)3(x−2)dx.
1. Como grau(x2 + 2) < grau((x + 1)3(x − 2)), a função racional éprópria. Podemos decompô-la em fracções parciais.
x2 + 2
(x+ 1)3(x− 2)=
A
(x+ 1)3+
B
(x+ 1)2+
+C
x+ 1+
D
x− 2.
� Segue-se o cálculo dos coe�cientes A, B, C, D.� Elimina-se as divisões em ambos os membros da igualdade.
x2 + 2 = A(x− 2) +B(x+ 1)(x− 2)+
+ C(x+ 1)2(x− 2) +D(x+ 1)3. (2)
� Pode-se tirar partido de os polinómios nos dois membros seremidênticos para fazer o cálculo dos coe�cientes. Substitui-se nestaexpressão x pelo valor de cada raiz de (x+1)3(x−2) e utilizam-se
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Números Complexos. Polinómios. Integração de Funções Racionais � 2018/19 ESTG/IPBragança
as igualdades resultantes para calcular A,B,C,D
Substituindo x por− 1 :
(−1)2 + 2 = A(−1− 2) +B(−1 + 1)(−1− 2)+
+ C(−1 + 1)2(−1− 2) +D(−1 + 1)3
⇔3 = −3A⇔ A = −1Substituindo x por 2 :
22 + 2 = A(2− 2) +B(2 + 1)(2− 2)+
+ C(2 + 1)2(2− 2) +D(2 + 1)3
⇔6 = 27D ⇔ D = 2/9
Substituem-se estes valores na identidade 2 e simpli�ca-se.
x2 + 2 = −1(x− 2) +B(x+ 1)(x− 2)+
+ C(x+ 1)2(x− 2) + 2/9(x+ 1)3
⇔
x2 + 2 = −x+ 2 +B(x2 − x− 2)+
+ C(x3 − 3x− 2) + 2/9(x3 + 3x2 + 3x+ 1)
⇔
x2 + 2 = (2/9 + C)x3 + (B + 2/3)x2+
+ (−1−B − 3C + 2/3)x+ (2− 2B − 2C + 2/9)
Igualando os coe�cientes de iguais potências nos dois membros,obtém-se o sistema de equações lineares
2/9 + C = 0
B + 2/3 = 1
−1−B − 3C + 2/3 = 0.
2− 2B − 2C + 2/9 = 2
Resolvendo temos A = −1, B = 1/3, C = −2/9, D = 2/9.
� A decomposição em fracções parciais �ca
x2 + 2
(x+ 1)3(x− 2)=
−1(x+ 1)3
+1/3
(x+ 1)2+−2/9x+ 1
+2/9
x− 2.
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O cálculo do integral faz-se agora do seguinte modo:∫x2 + 2
(x+ 1)3(x− 2)dx =
∫ (− 1
(x+ 1)3+
1/3
(x+ 1)2− 2/9
x+ 1+
2/9
x− 2
)dx =
−∫
1
(x+ 1)3dx+
1
3
∫1
(x+ 1)2dx− 2
9
∫1
x+ 1dx+
2
9
∫1
x− 2dx =
−∫
(x+ 1)−3dx+1
3
∫(x+ 1)−2dx− 2
9
∫1
x+ 1dx+
2
9
∫1
x− 2dx =
− (x+ 1)−2
−2+
1
3
(x+ 1)−1
−1− 2
9ln(|x+ 1|) + 2
9ln(|x− 2|) + C
(x+ 1)−2
2− 1
3(x+ 1)−1 − 2
9ln(|x+ 1|) + 2
9ln(|x− 2|) + C.
Caso geral
As fracções parciais que podem aparecer numa decomposição são dos4 tipos seguintes:
Tipo I:A
x− rTipo II:
A
(x− r)k
Tipo III:A+Bx
x2 + bx+ cTipo IV:
A+Bx
(x2 + bx+ c)k.
sendo k um inteiro positivo. A resolução de integrais dos primeirosdois tipos já foi tratada em exemplos anteriores. Vamos agora ver, pormeio de exemplos, como se resolvem integrais envolvendo fracções dostipos III e IV.
Exemplo.
(Tipo III) Calcular o integral I =∫
3x+1x2+5x+8
dx.
� Começa-se por escrever o integral I como a soma de dois integrais
I =
∫3x
x2 + 5x+ 8dx+
∫1
x2 + 5x+ 8dx. (3)
� Por a derivada do denominador ser 2x + 5, modi�ca-se o primeirointegral de modo a obter, por integração, um logaritmo. Notar que∫(u′/u)dx = ln(|u|) + C.
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∫3x
x2 + 5x+ 8dx = 3
∫x
x2 + 5x+ 8dx =
3
2
∫2x
x2 + 5x+ 8dx =
3
2
∫2x+ (5− 5)
x2 + 5x+ 8dx =
3
2
∫2x+ 5
x2 + 5x+ 8dx− 3
2
∫5
x2 + 5x+ 8dx =
3
2ln
(∣∣∣x2 + 5x+ 8∣∣∣)− 3
2
∫5
x2 + 5x+ 8dx
Substituindo este resultado na fórmula (3), tem-se
I =3
2ln
(∣∣∣x2 + 5x+ 8∣∣∣)− 13
2
∫1
x2 + 5x+ 8dx. (4)
O cálculo de I �ca completo com a resolução do integral
I2 =
∫1
x2 + 5x+ 8dx.
� O integral I2 resolve-se da forma seguinte:
� Começa-se por completar o quadrado no denominador
x2 + 5x+ 8 = (x+ 5/2)2 + 7/4;
� Usa-se esta forma para obter, por integração, uma função arctan(u).Recordar que
∫u′
1+u2dx = arctan(u) + C.
I2 =
∫1
(x+ 5/2)2 + 7/4dx = (5)
4
7
∫1(
x+5/2√7/4
)2
+ 1
dx =4
7
∫1(
2x+5√7
)2+ 1
dx (6)
4
7
√7
2
∫2/√7
1 +(2x+5√
7
)2dx = (7)
2√7arctan
(2x+ 5√
7
)(8)
De (5) para (6), dividiu-se ambas as partes da fracção por 7/4;
de (6) para (7), colocou-se u′ =(x+5/2√
7/4
)′=√4/7 = 2/
√7
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no numerador; de (7) para (8), usou-se a fórmula de integração∫u′
1+u2dx = arctan(u) + C.
� Finalmente, substituindo a expressão (8) na fórmula (4), obtém-se
I =3
2ln
(∣∣∣x2 + 5x+ 8∣∣∣)− 13√
7arctan
(2x+ 5√
7
)+ C.
Os integrais do tipo IV são geralmente trabalhosos. É um treino muitobom ler a resolução abaixo e procurar perceber todos os passos.
Exemplo.
(Tipo IV) Calcular o integral I =∫
3x+1(x2+5x+8)2
dx.� Começa-se por escrever o integral como a soma de dois integrais
I =
∫3x
(x2 + 5x+ 8)2dx+
∫1
(x2 + 5x+ 8)2dx. (9)
� Por a derivada do denominador ser 2x + 5, modi�ca-se o primeirointegral de modo a obter, por integração, uma potência de basex2 + 5x+ 8.∫
3x
(x2 + 5x+ 8)2dx = 3
∫x
(x2 + 5x+ 8)2dx =
3
2
∫2x
(x2 + 5x+ 8)2dx =
3
2
∫2x+ (5− 5)
(x2 + 5x+ 8)2dx =
3
2
∫2x+ 5
(x2 + 5x+ 8)2dx− 3
2
∫5
(x2 + 5x+ 8)2dx =
− 3
2(x2 + 5x+ 8)−1 − 15
2
∫1
(x2 + 5x+ 8)2dx
Substituindo esta expressão no primeiro integral de (9), temos
I = −32(x2 + 5x+ 8)−1 − 13
2
∫1
(x2 + 5x+ 8)2dx. (10)
O cálculo de I �ca completo com a resolução do integral
I2 =
∫1
(x2 + 5x+ 8)2dx. (11)
� O integral I2 resolve-se da forma seguinte.� Começa-se por completar o quadrado na base do denominador
x2 + 5x+ 8 = (x+ 5/2)2 + 7/4;
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� Substitui-se esta expressão na fórmula (11)
I2 =
∫1(
7/4 + (x+ 5/2)2)2dx.
� Para simpli�car faz-se a substituição u = x+ 5/2, du = dx,
I2 =
∫1(
7/4 + u2)2du.
� Modi�ca-se a forma de I2.
I2 =4
7
∫7/4(
7/4 + u2)2du =
4
7
∫u2 + 7/4− u2(7/4 + u2
)2 du
� Escreve-se este integral como soma de dois integrais.
I2 =4
7
∫1
7/4 + u2du− 4
7
∫u2(
7/4 + u2)2du (12)
� Primitiva-se por partes o segundo integral.
I3 =
∫u2(
7/4 + u2)2du =
∫u
u(7/4 + u2
)2duf = u g′ = u
1
2(u2 + 7/4)−2 f ′ = 1 g = −1
2(u2 + 7/4)−1
Fica
I3 = −u
2(u2 + 7/4)−1 +
1
2
∫1
7/4 + u2du.
� Substituindo I3 em I2
I2 =4
7
∫1
7/4 + u2du+
2
7u(u2 + 7/4)−1 − 2
7
∫1
7/4 + u2du
=2
7
∫1
7/4 + u2du+
2
7
u
u2 + 7/4
� Um integral do tipo do que aparece nesta expressão foi calculadono exemplo anterior. Podemos escrever, com a substituição u =x+ 5/2
I2 =2
7
2√7arctan
(2x+ 5√
7
)+
2
7
x+ 5/2
x2 + 5x+ 8
=4√73
arctan
(2x+ 5√
7
)+
2x+ 5
7x2 + 35x+ 56
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� Finalmente, substituindo esta expressão para I2 na equação (10),obtém-se
I = −32
1
x2 + 5x+ 8− 13
2
4√73
arctan
(2x+ 5√
7
)−
− 13
2
2x+ 5
7x2 + 35x+ 56+ C
I = − 26√73
arctan
(2x+ 5√
7
)− 13x+ 43
7x2 + 35x+ 56+ C
Bibliogra�a1. Cálculo Diferencial e Integral, vol I, N. Piskounov.2. Calculus, Howard Anton.
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