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CONTEÚDOS

QUESTÕES

INTERDISCIPLINARES

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1. Razões trigonométricas

Sen a = cateto oposto hipotenusa

Cos a = cateto adjacente hipotenusa

tan a = Sen a = cateto oposto Cos a cateto adjacente

a

Cateto adjacente

Cate

to o

post

o

• Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos. Daí, temos:

• Em todo triângulo, a soma dos ângulos internos é igual a 180º. Daí, temos:

Ops, Bichão!!!

222 cba

º180

• Quando a soma das medidas de dois ângulos é 90º, eles são chamados complementares. Daí, temos:

º90

()

(= (90º - )

c

b

a

C

A B

1)º90(.

1

)º90(

1

tgtg

ou

tgtg

ou

tgtg

()

(= (90º - )

c

b

a

C

A B

)º90(

Note que:

a

cCos

a

bSen

)º90(

)º90(

a

bCos

a

cSen

)º90(

)º90(

SenCos

CosSen

Euclides de Alexandria foi um dos maiores

matemáticos da Antiguidade, que viveu por volta

do século III a.C, na Grecia.

Sua obra Os elementos tornou-se muito

famosa. Trata-se de proposições que hoje são

conhecidas como Lei dos Cossenos.

No século VII viveu um matemático hindu

Bramagupta. Na obra sobre astronomia que ele

escreveu no ano 628, dois, dos 21 capítulos, são

dedicados à matemática, em especial a Lei dos

Senos.

Na obra de Bramagupta, a Lei dos Senos,

em linguagem atual, é assim escrita:

Em um triângulo qualquer, a razão entre

a medida de um lado e o seno do ângulo

oposto a esse lado é constante.

Assim, se a, b e c são as medidas dos

lados de um triângulo ABC e Â, ^B e ^C são

ângulos respectivamente opostos a esses lados.

Daí temos:

CSen

c

BSen

b

ASen

a

ˆˆˆ

b a

c

Demonstração: Tomemos um triângulo acutângulo ABC, de altura AH, relativa ao lado BC, como mostra a figura a seguir.

B C

A

a

H

Observando o triângulo AHB, podemos escrever:

c b

B C

A

a

H

)(ˆ.ˆ IBsencAHc

AHBSen

No triângulo AHC, temos:

)(ˆ.ˆ IICsenbAHb

AHCSen

De (I) e (II), temos:

c b

B C

A

a

H

CSen

c

BSen

b

ou

CsenbBsenc

ˆˆ

ˆ.ˆ.

Traçando a altura BK, relativa

ao lado AC, obtemos os

triângulos BAK e BCK. b

)(. IIISenÂcBKc

BKÂsen

No triângulo BAK temos:

b

)(ˆ.ˆ IVCSenaBKa

BKCsen

No triângulo BCK, temos:

Daí, temos:

CSen

c

SenÂ

a

Portanto:

ˆˆ CSen

c

BSen

b

SenÂ

a

Se Ligue, Bichão!!!

Se o triângulo ABC utilizado fosse

obtusângulo ou retângulo, teríamos chegado à

mesma expressão. Então, usamos a lei dos

senos:

Quando são dados dois ângulos e o lado

oposto a um destes ângulos;

Quando são dados dois lados e um ângulo

que não seja o formado pelos lados.

01-R) Qual é a distância entre as duas

árvores?

01-RESOLUÇÃO:

º45

500

º120 SenSen

d

º45

500.º120

Sen

Send

01-RESOLUÇÃO:

: temos,2

2 45ºSen

2

2

500.2

3

d

e 2

3 120ºSen Como

metros 612,5 d

2

500 . 2,45 d

2

500.6 d

500.2

2 .

2

3 d

02-R - Os ângulos de um triângulo medem x,

2x e 3x. O menor dos lados mede 5 cm.

Quanto mede o lado maior?

RESOLUÇÃO:

a 5 cm

B A

C

º30

º18032

x

xxx

º90º30

5

Sen

a

Sen

1

2

1

5 a

101

2.

1

5 aa

Sejam a, b e c as medidas dos lados de um

triângulo não-retângulo e , e as medidas dos

ângulos respectivamente opostos aos lados.

b h

A m H

a

c B

C

Demonstração:

b h

A m H

a

c B

C

Observando a figura, temos:

No triângulo CHB:

)()( 222 Imcha

No triângulo CHB:

)(222 IImhb

Demonstração:

De (I) e (II):

)(..2

)(

222

2222

IIImccba

mcmba

Retornando ao

triângulo CHA, temos:

)(Cos . b m

seja,ou ,

IV

b

mCos

Substituindo IV em III,

temos:

Coscbcba ...2222

Observe no triângulo que

e são ângulos

suplementares, e é

obtuso. Logo, Cos = -

Cos . Daí, temos:

Coscbcba ...2222

Observe no triângulo que e são ângulos

suplementares, e é obtuso. Logo, Cos = - Cos

. Daí, temos:

Ops, Bichão!!!

Se o triângulo ABC utilizado fosse acutângulo ou

retângulo, chegaríamos às mesmas conclusões.

Usamos a lei dos cossenos:

• Quando são dados dois lados do triângulo e o

ângulo por eles formado.

• Quando são dados os três lados do triângulo.

Conhecendo dois lados de um triângulo e o

ângulo que eles formam, podemos calcular a área

desse triângulo aplicando a lei das áreas.

A área de um triângulo qualquer é igual ao

semi-produto das medidas de dois de seus lados

pelo seno do ângulo formado por eles.

Note que:

Sejam a, b e c as medidas dos lados de um

triângulo ABC, e Â, e os ângulos

respectivamente opostos a esses lados. A área S

desse triângulo é dada por:

CSenbaS ˆ...2

1 BSencaÂSencb ˆ...

2

1...

2

1

Demonstração:

Considere o triângulo obtusângulo ABC da

figura, cuja área é dada por:

B C

Pelo triângulo ACD, temos:

b

hÂSen )º180(

Como Sen (180º - Â) = Sen Â, podemos escrever:

ÂSenbhb

hÂSen .

b h

D

C

A B

a

Â

c

180º - Â

Substituindo o valor de h em (I), obtemos:

ÂSencbS ..2

1

h

D

C

A B

a

Â

c

180º - Â

1. Introdução

Equivalência: rd = 180o

A

B Arco AB

O

Ângulo central

Dois pontos quaisquer de uma circunferência, divide essa circunferência em duas partes, cada uma delas chama-se arco de circunferência.

Todo ângulo que tem o vértice coincidente com o centro de uma circunferência é denominado ângulo central.

A cada arco de circunferência corresponde um ângulo central.

Ops, Bichão!!!

A medida do ângulo central é igual à medida do arco correspondente.

A

B Arco AB

O

Ângulo central

As unidades mais usadas para medir arcos e ângulos são o grau e o radiano.

Ops, Bichão!!!

O grau (º) corresponde 1/360º da circunferência na qual está o arco a ser medido.

Submúltiplos do grau:

• O minuto (´); 1º = 60´

• O segundo (´´) 1´ = 60´´

raiodomedida

ABarcodoocomprimentABmed )(

radr

2

: temosr, raio do medida e

AB arco do ocompriment , (AB) med

:que Note

etc. 2,3

a igual é medida essa que se-subtende

etc, ,2 igual ,3 a igual é arco um de

medida a que escreve se quando Assim,

radianos. em expressas medidas

nas rad do omissão a comum muito É

raio. do valor do teindependen

rad,2 mede inteira voltade arco O

!!Bichão! ligue, Se

radrad

versa.- vicee radianos para

graus, em dada arco, um de medida ar transforma

podemos simples, trêsde regra uma o Utilizand

. a

emcorrespond 180º:quedizer podemos então,ou

,2ou 360º mede nciacircunferê Uma

!!Bichão! Ops,

rad

rad

01. (UFRN-2010) - Dois garotos

estavam conversando ao lado de uma

piscina, nas posições A e B, como

ilustra a figura ao lado. O garoto que

estava na posição A observou que o

ângulo CÂB era de 90º e que as

distâncias BD e AD eram de 1m e 2m,

respectivamente. Sabendo que o

garoto da posição B gostava de

estudar geometria, o da posição A

desafiou-o a dizer qual era a largura da

piscina. A resposta, correta, do garoto

da posição B deveria ser:

A)4 m B) 5 m C) 3 m D) 2 m

02. (UFSCar-2007) - Os satélites de comunicação são

posicionados em sincronismo com a Terra, o que

significa dizer que cada satélite fica sempre sobre o

mesmo ponto da superfície da Terra. Considere um

satélite cujo raio da órbita seja igual a 7 vezes o raio da

Terra. Na figura, P e Q representam duas cidades na

Terra, separadas pela maior distância possível em que

um sinal pode ser enviado e recebido, em linha reta,A

por esse satélite.

Se r é a medida do raio da Terra, para ir de P até Q, passando pelo satélite, o sinal percorrerá, em linha reta, a distância de:

36A) r

37B) r

38C) r

311D) r

03. (UNICAMP-2011) - Quando um carro não se move di

retamente na direção do radar, é preciso fazer uma

correção da velocidade medida pelo aparelho (Vm) para

obter a velocidade real do veículo (Vr). Essa correção

pode ser calculada a partir da fórmula Vm = Vr . cos (α) ,

em que α é o ângulo formado entre a direção de tráfego

da rua e o segmento de reta que liga o radar ao ponto da

via que ele mira. Suponha que o radar tenha sido

instalado a uma distância de 50 m do centro da faixa na

qual o carro trafegava, e tenha detectado a velocidade do

carro quando este estava a 130 m de distância, como

mostra a figura abaixo.

Se o radar detectou que o

carro trafegava a 72 km/h,

sua velocidade real era igual

a

A) 66,5 km/h.

B) 78 km/h.

C) 36 3 km/h.

D) 144 / 3 km/h.

04. (UFRN-2009) - Para medir a altura de uma

árvore, da qual não podia aproximar-se, um

ambientalista colocou, a certa distância dessa

árvore, um cavalete de 1 m de altura e observou

seu ponto mais alto, segundo um ângulo de 300.

Aproximando-se mais 10 m, observou o mesmo

ponto segundo um ângulo de 450, conforme a

figura abaixo.

Com esse procedimento, o ambientalista obteve

como resultado que a altura da árvore era de:

A) 5 3 +15

B) 5 3 + 5

C) 5 3 + 6

D) 5 3 + 16

05. (UFRN-2006) - Na figura abaixo, o triângulo

BCD é eqüilátero e AB = BC. Sabendo-se que o

comprimento da viga AE é igual a 10 m, pode-se

afirmar que a altura h da extremidade E mede:

06. (UFRN-2008) - A casa central de uma fazenda

situa-se a 9 km, contados ao longo de um caminho

perpendicular à estrada reta que limita a fazenda.

Na beira da estrada e a uma distância de 15 km

da casa central, o fazendeiro construiu uma casa

para seu filho. O fazendeiro agora quer construir,

na beira da mesma estrada, um escritório que

fique igualmente distanciado da casa do filho e da

casa central.

A distância comum deverá ser:

A) entre 8 e 9 km

B) entre 11 e 12 km

C) entre 12 e 13 km

D) entre 9 e 10 km

06. (UFRN-2006) - O relógio ao

lado está marcando 2h30min.

Passadas duas horas e quinze

minutos, a medida do menor

ângulo formado pelos ponteiros

do relógio será:

A) 127,5º

B) 105º

C) 112,5º

D) 120º

07. (UFSM-2006) – No último pleito, o horário de

encerramento das votações, segundo determinação

do TSE para todo o Estado do Rio Grande do Sul,

foi às 17 horas. Passados 5 minutos do

encerramento, o menor ângulo entre os ponteiros

do relógio era de:

A) 123º

B) 122º30’

C) 122º

D) 120º30’

09. (UFVC-2010) - Quantos graus têm o arco

descrito pelos ponteiros de um relógio, quando eles se encontram pela primeira vez após as 14 horas? A) 5º 27’ B) 5º 37’ C) 5º 40’ D) 5º 45’

10. (UFVC-2009) – Determine a medida do arco

descrito pelos ponteiros de um relógio, quando eles se

encontram pela primeira vez após as 17 horas?

A) 13º 38’ para o ponteiro menor e 163º38’ para o

ponteiro menor.

B) 23º 28’ para o ponteiro menor e 263º38’ para o

ponteiro menor.

C) 43º 38’ para o ponteiro menor e 263º38’ para o

ponteiro menor.

D) 53º 38’ para o ponteiro menor e 163º38’ para o

ponteiro menor.

11. (UFVC-2009) - O Sr. Trigonométrico um dos

maiores professores da historiografia da literatura

Matemática, nas suas horas vagas costuma

passar o seu tempo em um salão de beleza. Certo

dia ao embelezar-se em sua casa de frente ao

espelho plano S, vertical e de costas para uma

planta com altura igual a 6,0 m, quis medir o

comprimento do espelho para que possa ver a

imagem completa da planta. Qual deve ser o

mínimo comprimento desse espelho? Observe a

ilustração abaixo.

6,0 m 3,0 m

12. (UNISSINOS-2006) - O esquema abaixo

representa uma casa em construção, com um

telhado de 20º de “caimento”. Sabendo-se que o

telhado mede 6 m em cada lado e que, até a laje

do teto, a casa tem 3 m de altura, o ponto mais

alto da casa se encontra a uma altura de: (sen 20º

0,34; cos 20º 0,94; tg 20º 0,36)

a) 9 m

b) 8,6 m

c) 7,64 m

d) 5,04 m

OBS: AS QUESTÕES FORAM EXTRAÍDAS DOS SEGUINTES SITES: www.fuvest.br link: provas www.comperve.ufrn.br link:provas www.ufscar.br www.unicamp.br