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Universidade Federal da Paraíba
Centro de Tecnologia
Programa de PósPrograma de PósPrograma de PósPrograma de Pós----graduação em Engenharia Mecânicagraduação em Engenharia Mecânicagraduação em Engenharia Mecânicagraduação em Engenharia Mecânica
-Mestrado - Doutorado
CONTROLE DE POSIÇÃO DE UM ROBÔ CARTESIANO
POR MEIO DE TÉCNICAS ADAPTATIVAS
por
Valentina Alessandra Carvalho do Vale
Dissertação de Mestrado apresentada à Universidade Federal da Paraíba para obtenção do
grau de Mestre
João Pessoa – Paraíba Agosto – 2011
ii
VALENTINA ALESSANDRA CARVALHO DO VALE
CONTROLE DE POSIÇÃO DE UM ROBÔ CARTESIANO
POR MEIO DE TÉCNICAS ADAPTATIVAS
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-
Graduação em Engenharia Mecânica da
Universidade Federal da Paraíba, em cumprimento
às exigências para obtenção do Grau de Mestre.
Orientador: Prof. Dr. Paulo Henrique de M. Montenegro
João Pessoa – Paraíba Agosto – 2011
V149c Vale, Valentina Alessandra Carvalho do.
Controle de posição de um robô cartesiano por meio de técnicas adaptativas / Valentina Alessandra Carvalho do Vale.--João Pessoa, 2011.
102f. : il. Orientador: Paulo Henrique de M. Montenegro Dissertação (Mestrado) – UFPB/CT
1. Engenharia Mecânica. 2. Sistema eletropneumático. 3. Robô manipulador. 4. Controle adaptativo preditivo. 5. Controle de posição.
UFPB/BC CDU: 621(043)
iv
“Meus trabalhos acalentaram longas horas de
solidão e me isolaram de um mundo que
transformou sua então benigna face para uma
outra, fulgurante de imaginação e poder.
Perguntarão meus leitores: como poderia eu
encontrar conforto em uma narrativa de mudanças
tristes e de lamentações? Esse é um dos mistérios
de nossa natureza, que se apoderou por completo
de mim e de cuja influência não posso escapar.”
(O Último Homem – Mary Shelley)
v
AGRADECIMENTOS
Inicialmente agradeço a Deus por ter me proporcionado forças quando pareciam
que as mesmas não existiam, nunca permitindo que eu desistisse.
Aos amigos conquistados durante o período de pós-graduação, aos amigos de
longas datas e aos meus familiares, que compreenderam minhas ausências, meus
momentos de devaneios, acreditando e apoiando meus objetivos.
Ao programa da CAPES, pelo apoio financeiro durante a vigência deste trabalho.
Ao coordenador Prof. Dr. Zaqueu Ernesto da Silva, ao meu orientador Prof. Dr. Paulo
Henrique de Miranda Montenegro e a Prof. Dr. José Antonio Riul meu agradecimento mais
que especial por terem acreditado em mim, proporcionando meios para o desenvolvimento
desse trabalho.
Aos meus pais, Frederico Antonio e Geysa Fátima, que sem dúvida foram e são
meus maiores mestres e exemplos de virtude.
vi
CONTROLE DE POSIÇÃO DE UM ROBÔ CARTESIANO POR MEIO
DE TÉCNICAS ADAPTATIVAS
RESUMO
Neste trabalho apresentam-se projetos de um controlador adaptativo preditivo e de
um híbrido para um robô manipulador eletropneumático de três graus de liberdade (3
GDL) cartesiano. O robô manipulador é composto basicamente por três válvulas
eletropneumáticas e por três cilindros pneumáticos, dois de 500mm formando o plano XZ e
um de 400mm no eixo vertical Y. Os cilindros são acionados através de três válvulas
eletropneumáticas proporcionais comandadas por computador, que direcionam o fluxo de
ar comprimido conforme a necessidade de posicionamento. Acopladas às hastes de cada
cilindro, estão réguas potenciométricas para medição de suas respectivas posições.
Através de duas placas de aquisição, as válvulas eletropneumáticas e as réguas
potenciométricas são conectadas ao computador e os dados são processados utilizando os
softwares LabVIEW® e Matlab®. Os controladores são desenvolvidos através de modelos
explícitos do robô manipulador eletropneumático estimados em tempo real pelo Algoritmo
dos Mínimos Quadrados Recursivo (MQR).
Palavras-chave: Sistema eletropneumático, controle adaptativo preditivo, identificação
em tempo real, controle de posição.
vii
POSITION CONTROL OF A CARTESIAN ROBOT THROUGH
ADAPTIVES TECHNIQUES
ABSTRACT
This paper presents a design of a predictive adaptive controller and a hybrid
controller for a electro pneumatic manipulator robot with three Cartesian degrees of
freedom (3 DOF). The manipulator robot is composed by three electro-pneumatic valves
and pneumatic cylinders for three, two with 500mm forming the XZ axis and a 400mm on
the vertical axis Y. The cylinders are driven by three electro-pneumatic proportional valves
controlled by computer, which directs the flow of compressed air as the needed position.
Attached to the rods of each cylinder, there are scales for potentiometric measurement of
their respective positions.
Through two acquisition boards, electro-pneumatic valves and potentiometric
scales are connected to the computer and the data is processed using the software
LabVIEW® and MATLAB®. The controllers are developed through explicit models of the
electropneumatic manipulator robot estimated in real time by Recursive Least Squares
Algorithm (RLS).
Keywords: Electropneumatic System, Adaptive Predictive Control, Real-time
Identification, Position Control.
viii
SUMÁRIO
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO ........................................................................................... 1
1.1 ROBÔS MANIPULADORES ......................................................................................... 4
1.1.1 Estado da arte para robô manipulador .......................................................................... 5
1.2 METODOLOGIA ............................................................................................................ 7
1.3 ESTRUTURA DO TRABALHO .................................................................................... 7
CAPÍTULO 2 - SISTEMAS DE ATUAÇÃO ELETROPNEUMÁTICOS .......................... 9
2.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 9
2.2 SISTEMAS DE ATUAÇÃO ELETROPNEUMÁTICO GENÉRICO ........................... 9
2.3 DETALHAMENTO DE UM SISTEMA DE ATUAÇÃO ELETROPNEUMÁTICO
GENÉRICO ......................................................................................................................... 10
2.4 CONCLUSÃO ............................................................................................................... 15
CAPÍTULO 3 - DESCRIÇÃO DA BANCADA EXPERIMENTAL ................................. 16
3.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 16
3.2 SISTEMA EXISTENTE ............................................................................................... 16
3.3 ESPECIFICAÇÕES TÉCNICAS DOS COMPONENTES DA BANCADA
EXPERIMENTAL .............................................................................................................. 21
3.4 CONCLUSÃO ............................................................................................................... 24
CAPÍTULO 4 - CONTROLE ADAPTATIVO ................................................................. 25
4.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 25
4.2 BREVE HISTÓRICO PARA CONTROLE ADAPTATIVO ....................................... 25
ix
4.3 CONTROLADOR ADAPTATIVO AUTO-AJUSTÁVEL EXPLÍCITO .................... 28
4.3.1 A identificação do sistema .......................................................................................... 30
4.4 CONCLUSÃO ............................................................................................................... 36
CAPÍTULO 5 - CONTROLE PREDITIVO ........................................................................ 37
5.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 37
5.2 DEFINIÇÕES GERAIS DO CONTROLE PREDITIVO ............................................. 37
5.3 CONTROLE PREDITIVO GENERALIZADO (GPC) ................................................ 40
5.3.1 O Algoritmo para o GPC adaptativo .......................................................................... 47
5.4 CONCLUSÃO ............................................................................................................... 50
CAPÍTULO 6 - IDENTIFICAÇÃO DO ROBÔ MANIPULADOR DE 3GDL ................. 51
6.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 51
6.2 DETERMINAÇÃO DO PERÍODO DE AMOSTRAGEM (ta) .................................... 51
6.3 A EXCITAÇÃO DO SISTEMA ................................................................................... 52
6.4 ESCOLHA DA ORDEM DO MODELO DO SISTEMA ............................................. 53
6.5 CRITÉRIOS DE DESEMPENHO DO SISTEMA ....................................................... 55
6.6 RESTRIÇÕES DO SISTEMA ...................................................................................... 57
6.7 CONCLUSÃO ............................................................................................................... 57
CAPÍTULO 7 - CONTROLE ADAPTATIVO PREDITIVO DO ROBÔ MANIPULADOR
............................................................................................................................................. 58
7.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 58
7.2 PROJETO DO CONTROLADOR GPC ADAPTATIVO PARA O ROBÔ
MANIPULADOR ................................................................................................................ 58
7.2.1 Resultados obtidos com o GPC adaptativo apenas com restrição fortemente ativa ... 63
7.3 GPC ADAPTATIVO COM RESTRIÇÃO FORTEMENTE ATIVA E COM
RESTRIÇÃO FRACAMENTE ATIVA ............................................................................. 78
x
7.3.1 Resultados obtidos com o GPC adaptativo com restrição fortemente ativa e com
restrição fracamente ativa .................................................................................................... 80
7.4 GPC HÍBRIDO (PD + GPC) ......................................................................................... 84
7.4.1 Resultados obtidos com o GPC híbrido (PD + GPC adaptativo) ............................... 85
7.5 RESPOSTAS DO SISTEMA SOB AÇÃO DOS CONTROLADORES ...................... 90
7.6 ESFORÇO DA VARIÁVEL DE CONTROLE ............................................................ 92
7.7 CONCLUSÃO ............................................................................................................... 92
CAPÍTULO 8 - CONCLUSÕES E CONSIDERAÇÕES FINAIS ..................................... 93
REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFIAS ................................................................................... 96
APÊNDICE A – FATOR DE ESQUECIMENTO .......................................................... 103
APÊNDICE B – EQUAÇÃO DIOFANTINA ................................................................ 104
APÊNDICE C – GRADIENTE DA FUNÇÃO CUSTO DO GPC ................................. 106
APÊNDICE D – ROTINA PARA O CONTROLADOR ADAPTATIVO ..................... 109
APÊNDICE E – ROTINA PARA O CONTROLADOR GPC ADAPTATIVO
ADICIONADO DE RESTRIÇÃO DA VARIÁVEL DE CONTROLE ........................... 115
APÊNDICE F – ROTINA PARA O CONTROLADOR GPC ADAPTATIVO HÍBRIDO
(PD + GPC ADAPTATIVO) ............................................................................................. 117
xi
LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1 – Diagrama de blocos para sistema de controle: (a) malha aberta; (b) malha
fechada ................................................................................................................................... 2
Figura 1.2 – Diagrama de blocos para sistema de controle com ajuste de ganho por tabela 3
Figura 1.3 – Diagrama de blocos para sistema de controle auto-ajustável............................ 3
Figura 1.4 – Esboços dos primeiros robôs manipuladores: (a) gantry-robot; (b) PlanetBot 5
Figura 2.1 – Diagrama de um sistema de atuação eletropneumático genérico .................... 10
Figura 2.2 – Fonte de ar comprimido: produção, distribuição e condicionamento ............. 11
Figura 2.3 – Sistema de atuação pneumático análogo a um dos elos do manipulador a ser
controlado nesse trabalho .................................................................................................... 12
Figura 2.4 – Representação do princípio clássico do eletromagnetismo ............................. 13
Figura 2.5 – Diagrama da válvula proporcional servo-assistida ......................................... 14
Figura 3.1 – Imagem da bancada experimental ................................................................... 17
Figura 3.2 – Imagem do compressor do sistema de alimentação pneumático .................... 17
Figura 3.3 – Imagem da fonte de alimentação elétrica ........................................................ 18
Figura 3.4 – Esboço da composição do deslocamento do robô ........................................... 18
Figura 3.5 – Esboço do manipulador cartesiano com três graus de liberdade..................... 19
Figura 3.6 – Imagem do robô manipulador cartesiano com três graus de liberdade
eletropneumático ................................................................................................................. 20
Figura 3.7 – Diagrama de blocos do funcionamento da bancada de testes ......................... 21
Figura 3.8 – Imagem das placas de aquisição de dados ...................................................... 22
Figura 4.1 – Diagrama de Blocos do controlador adaptativo por ganho escalonado .......... 27
Figura 4.2 – Diagrama de blocos do controlador STR explícito e sistema ......................... 28
Figura 4.3 – Diagrama de blocos do controlador STR implícito e sistema ......................... 28
Figura 4.4 – Diagrama de blocos para controle adaptativo ................................................. 29
Figura 5.1 – Diagrama de funcionamento do controle preditivo ......................................... 39
Figura 5.2 – Diagrama de blocos para o controle preditivo GPC........................................ 45
Figura 5.3 – Estrutura de um controlador adaptativo preditivo ........................................... 49
Figura 6.1 – Sinal de excitação para o sistema .................................................................... 53
xii
Figura 6.2 – Critérios de desempenho de um sistema ......................................................... 56
Figura 7.1 – Chaveamento após Tp amostras entre o controlador proporcional e o
adaptativo para armazenar inicialmente informações do passado ....................................... 63
Figura 7.2 – Resposta do sistema sob ação do controlador GPC adaptativo – Elo X teste 1
............................................................................................................................................. 66
Figura 7.3 – Resposta do sistema sob ação do controlador GPC adaptativo – Elo X teste 2
............................................................................................................................................. 66
Figura 7.4 – Resposta do sistema sob ação do controlador GPC adaptativo – Elo X teste 3
............................................................................................................................................. 67
Figura 7.5 – Resposta do sistema sob ação do controlador GPC adaptativo – Elo Y teste 1
............................................................................................................................................. 69
Figura 7.6 – Resposta do sistema sob ação do controlador GPC adaptativo – Elo Y teste 2
............................................................................................................................................. 69
Figura 7.7 – Resposta do sistema sob ação do controlador GPC adaptativo – Elo Y teste 3
............................................................................................................................................. 70
Figura 7.8 – Resposta do sistema sob ação do controlador GPC adaptativo – Elo Z teste 1
............................................................................................................................................. 72
Figura 7.9 – Resposta do sistema sob ação do controlador GPC adaptativo – Elo Z teste 2
............................................................................................................................................. 72
Figura 7.10 – Resposta do sistema sob ação do controlador GPC adaptativo – Elo Z teste 3
............................................................................................................................................. 73
Figura 7.11 – Resposta do elo X para o GPC adaptativo com os melhores parâmetros ..... 74
Figura 7.12 – Resposta do elo Y para o GPC adaptativo com os melhores parâmetros ..... 74
Figura 7.13 – Resposta do elo Z para o GPC adaptativo com os melhores parâmetros ...... 75
Figura 7.14 – Evolução dos parâmetros dos modelos das funções estimadas para o GPC
adaptativo com os melhores parâmetros .............................................................................. 76
Figura 7.15 – Erro em Volts entre a resposta experimental e a estimada para o GPC
adaptativo com os melhores parâmetros .............................................................................. 77
Figura 7.16 – Comportamento das variáveis de controle em Volts para o GPC adaptativo
com os melhores parâmetros ............................................................................................... 78
Figura 7.17 – Áreas de atuação da restrição das variáveis de controle em torno do set-point
............................................................................................................................................. 79
xiii
Figura 7.18 – Resposta do elo X para o GPC adaptativo com os melhores parâmetros com
restrição na variável de controle ux...................................................................................... 80
Figura 7.19 – Resposta do elo Y para o GPC adaptativo com os melhores parâmetros com
restrição na variável de controle uy...................................................................................... 81
Figura 7.20 – Resposta do elo Z para o GPC adaptativo com os melhores parâmetros com
restrição na variável de controle uz ...................................................................................... 81
Figura 7.21 – Comportamento das variáveis de controle em Volts para o GPC adaptativo
com os melhores parâmetros com restrição das mesmas .................................................... 82
Figura 7.22 – Evolução dos parâmetros dos modelos das funções estimadas para o GPC
adaptativo com os melhores parâmetros com restrição das variáveis de controle .............. 83
Figura 7.23 – Erro em Volts entre a resposta experimental e a estimada para o GPC
adaptativo com os melhores parâmetros com restrição das variáveis de controle .............. 83
Figura 7.24 – Diagrama de blocos do GPC híbrido (PD + GPC adaptativo) ...................... 84
Figura 7.25 – Interpretação Gráfica do controlador PD ...................................................... 85
Figura 7.26 – Resposta do elo X para o GPC adaptativo híbrido com os melhores
parâmetros ........................................................................................................................... 86
Figura 7.27 – Resposta do elo Y para o GPC adaptativo híbrido com os melhores
parâmetros ........................................................................................................................... 87
Figura 7.28 – Resposta do elo Z para o GPC adaptativo híbrido com os melhores
parâmetros ........................................................................................................................... 87
Figura 7.29 – Comportamento das variáveis de controle em Volts para o GPC adaptativo
híbrido com os melhores parâmetros ................................................................................... 88
Figura 7.30 – Evolução dos parâmetros dos modelos das funções estimadas para o GPC
adaptativo híbrido com os melhores parâmetros ................................................................. 89
Figura 7.31 – Erro em Volts entre a resposta experimental e a estimada para o GPC
adaptativo híbrido com os melhores parâmetros ................................................................. 89
Figura 7.32 – Respostas sobrepostas do elo X para o GPC adaptativo e suas variações com
seus melhores parâmetros .................................................................................................... 90
Figura 7.33 – Respostas sobrepostas do elo Y para o GPC adaptativo e suas variações com
seus melhores parâmetros .................................................................................................... 91
Figura 7.34 – Respostas sobrepostas do elo Z para o GPC adaptativo e suas variações com
seus melhores parâmetros .................................................................................................... 91
xiv
LISTA DE TABELAS
Tabela 3.1 – Especificações técnicas das válvulas eletropneumáticas proporcionais
utilizadas no do sistema do fabricante Festo® .................................................................... 22
Tabela 3.2 – Especificações técnicas dos cilindros pneumáticos utilizados nos elos do
sistema do fabricante Werk-Schott® ................................................................................... 23
Tabela 3.3 – Especificações técnicas do compressor utilizado no do sistema do fabricante
Schulz® ............................................................................................................................... 24
Tabela 4.1 – Exemplos de controladores clássicos e modernos .......................................... 30
Tabela 5.1 – Modelos de Controle Preditivo (MPC) ........................................................... 39
Tabela 6.1 – Modelos testados para cada elo do sistema .................................................... 55
Tabela 7.1 – Parâmetros da função custo e de desempenho do sistema sob ação do GPC
adaptativo (elo X), baseados nas respostas da Fig. (7.2), Fig. (7.3) e Fig. (7.4) ................. 65
Tabela 7.2 – Parâmetros da função custo e de desempenho do sistema sob ação do GPC
adaptativo (elo Y), baseados nas respostas da Fig. (7.5), Fig. (7.6) e Fig. (7.7) ................. 68
Tabela 7.3 – Parâmetros da função custo e de desempenho do sistema sob ação do GPC
adaptativo (elo Z), baseados nas respostas da Fig. (7.8), Fig. (7.9) e Fig. (7.10) ............... 71
Tabela 7.4 – Esforço médio da variável de controle para cada elo do robô manipulador ... 92
Tabela B.1 – Solução Analítica da Equação Diofantina ................................................... 105
Tabela D.1 – Variáveis de entrada do bloco do MatLab® no laço do LabView® (GPC
adaptativo) ......................................................................................................................... 113
Tabela D.2 – Variáveis de saída do bloco do MatLab® no laço do LabView® (GPC
adaptativo) ......................................................................................................................... 114
Tabela F.1 – Variáveis de entrada do bloco do MatLab® no laço do LabView® (PD +
GPC adaptativo) ................................................................................................................ 118
Tabela F.2 – Variáveis de saída do bloco do MatLab® no laço do LabView® (PD + GPC
adaptativo) ......................................................................................................................... 119
xv
LISTA DE ABREVIATURAS E SÍMBOLOS
an, bn – parâmetros estimados para o sistema
A(z), B(z), C(z), D(z) – polinômios discretos
d – atraso de transporte
e – perturbação
erp – erro de regime permanente
E – vetor de perturbações
G – matriz gerada a partir dos parâmetros do sistema para o GPC
J – função custo do GPC
k – instante de tempo discreto
K – ganho de Kalman
n – número total de parâmetros estimados
N – número de amostras
Nu – horizonte de controle
Ny – horizonte de predição
N1 – horizonte mínimo de predição
P – matriz de covariância
r – sinal de referência
R2 – coeficiente de correlação múltipla
ss – sobre-sinal
ta – tempo de amostragem
tr – tempo de subida
ts – tempo de estabelecimento (ou acomodação)
t95% – 95% do tempo de estabelecimento
u – entrada do sistema
(xmm, ymm, zmm) – posição do pistão do manipulador em milímetros
(xv, yv, zv) – posição do pistão do manipulador em Volts
y – resposta do sistema
xvi
( )ky∧
– saída estimada
Y – vetor de saída
z – 1 – operador atraso
λ – ponderação da variável de controle da função custo do GPC
λe – fator de esquecimento do algoritmo MQR
∆ – operador diferença
ϕ – matriz com vetores de medidas
φ – vetor de medidas de entradas e saídas do sistema
ρ – ponderação do erro da função custo do GPC
θ – vetor de parâmetros
AIC – Critério de Informação de Akaike
ARX – Modelo auto-regressivo com entradas externas
ARIMAX – Modelo auto-regressivo com média móvel e entradas exógenas
CPU – Central Processing Unit
CSA – Canada Space Agency
EPSAC – Extended Predictive Self Adaptative Control
EUA – Estados Unidos da América
GDL – Graus de Liberdade
GMV – Generalized Minima Variance Control
GPC – Generalized Predictive Control
GS – Gain Scheduling
ISO – International Organization for Standardization
LDMC – Linear Dynamic Matrix Control
MAC – Model Algorithmic Control
MBPC – Model Based Predictive Controllers
MPC – Model Predictive Controllers
MQ – Mínimos Quadrados
MQR – Mínimos Quadrados Recursivo
PC – Personal Computer
PD – Proporcional Derivativo
PFC – Predictive Functional Control
QDMC – Quadratic Dynamic Matrix Control
RAM – Random Access Memory
xvii
SCARA – Selective Compliance Assembly Robot Arm
SEQ – Somatório de erro quadrático
SPC – Statistic Predictive Control
STR – Self Tuning Regulators
UPC – Unified Predictive Control
USB – Universal Serial Bus
VDC – Voltage Direct Current
CAPÍTULO 1
-
INTRODUÇÃO
Os sistemas de controle automático estão cada vez mais presentes na sociedade
moderna.
O controle automático representa um papel vital no avanço da engenharia e da
ciência. Além de possuir importância extrema em sistemas de pilotagem de aviões, mísseis
guiados, veículos espaciais, navios, entre outras, tornou-se presente nos processos
industriais e de fabricação modernos. Os avanços na teoria e na prática de controle
automático propiciam meios para atingir-se desempenho ótimo de sistemas dinâmicos,
bem como melhoria na qualidade e diminuição do custo de produção, aumento da taxa de
produção, operações manuais repetitivas, entre outras (OGATA, 1985).
Um sistema de controle é um conjunto de dispositivos ou uma função matemática
que representa o mesmo, mantendo uma ou mais grandezas físicas (sistema a controlar ou
planta) dentro de condições definidas ou desejadas. O sistema pode ser elétrico, mecânico,
óptico, biológico, entre outros.
Quanto à estrutura, um sistema de controle pode ser de malha aberta (sem
retroação), no qual um sinal de entrada a referência define o comportamento do
controlador, ou de malha fechada (com retroação), no qual o erro, que é a diferença entre a
referência e saída define o comportamento do mesmo. A vantagem desse último é que,
para uma mesma referência, porém com distúrbios diferentes ou alterações no sistema a ser
controlado, o controlador responderá de forma ponderada a cada uma das situações.
2
(a) (b)
Figura 1.1 – Diagrama de blocos para sistema de controle: (a) malha aberta; (b) malha
fechada
Para projetar um controlador é necessário conhecer o sistema a ser controlado. Há
algumas formas de fazer sua modelagem, entre elas: modelagem caixa branca, modelagem
caixa cinza e modelagem caixa preta.
A modelagem caixa branca é a baseada na física do processo, ou seja, é necessário
conhecer as relações matemáticas que descrevem os sistemas, por isso é conhecida como
modelagem fenomenológica ou conceitual. Sua limitação é a complexidade dos sistemas,
sendo muitas vezes realizadas aproximações.
A modelagem caixa preta é obtida através de dados amostrados da excitação e
resposta do sistema, tratados com métodos numéricos, os quais buscam estabelecer
relações entre causa e efeito. Por isso é conhecida como modelagem empírica. Sua
limitação está na estrutura dos modelos e na capacidade de processamento dos
computadores. Além disso, é necessário conhecer as limitações do sistema que está sendo
identificado.
A modelagem caixa cinza é quando a identificação é feita por caixa preta,
entretanto com conhecimento de algumas relações entre os parâmetros do modelo e os
componentes do sistema.
As técnicas clássicas de controle para robôs manipuladores ou aquelas baseadas
em modelo (controle de posição e/ou forca) envolvem o conhecimento das equações que
descrevem o comportamento dinâmico do manipulador, que não são lineares, como
qualquer sistema real. Além de modelos não lineares exigirem maiores esforços
computacionais, existe certa dificuldade inerente ao processo de levantamento desse
modelo dinâmico, devido às incertezas a respeito dos parâmetros do sistema, estando esse
comportamento também sujeito às influências externas como perturbações e variações
paramétricas (BATTISTELLA, 1999). No mais, sistemas reais são variantes no tempo,
pois sofrem desgastes e interferências não determinísticas (estocásticas), assim a ação de
controle deverá ser robusta o suficiente para responder de forma adequada ou se adaptar a
3
cada alteração sofrida pelos mesmos. Essa última solução remete ao controlador
adaptativo, que é capaz de modificar seu comportamento em resposta às mudanças na
dinâmica do sistema e perturbações externas.
A Fig. (1.2) e a Fig. (1.3) mostram os diagramas de blocos de dois dos principais
tipos de controle adaptativo existentes. O primeiro é mais conhecido como ganho tabelado
(GS – gain scheduling), e pode ser caracterizado como sendo um adaptativo em malha
aberta (RÚBIO & SÁNCHEZ, 1996), e o segundo apresenta uma forma clássica de um
controle auto-ajustável (STR – Self Tuning Regulators).
Figura 1.2 – Diagrama de blocos para sistema de controle com ajuste de ganho por tabela
Figura 1.3 – Diagrama de blocos para sistema de controle auto-ajustável
O controlador auto-ajustável (STR) procura automatizar as tarefas de modelagem
matemática, projeto e implementação da lei de controle. No STR as estimativas dos
4
parâmetros do sistema são atualizadas e os parâmetros do controlador são obtidos pela
solução de um projeto que utiliza os parâmetros estimados do sistema (MONTENEGRO,
2007).
Ainda segundo MONTENEGRO (2007, apud COELHO e COELHO, 2004), o
STR apresenta grandes vantagens em relação a outros tipos de controladores, pois as
variações da dinâmica do sistema são acompanhadas pelo identificador e,
consequentemente, pelo controlador a cada período de amostragem.
1.1 ROBÔS MANIPULADORES
Ao longo das últimas décadas, a abertura de mercado e o processo de globalização
da economia têm levado o setor industrial a um novo padrão de concorrência, onde as
formas tradicionais de gestão e produção não são mais suficientes para garantir a
lucratividade e sobrevivência no mercado que se apresentam cada vez mais competitivas e
exigentes em qualidade, custo e atendimento de prazos. Visando o aumento de
produtividade e padronização na qualidade de produtos, muitas indústrias têm
implementado a automatização de sua produção baseada na utilização de robôs
manipuladores para realização de tarefas pré-determinadas e repetitivas. Neste panorama,
os robôs manipuladores estão sendo cada vez mais utilizados em atividades que envolvem
precisão e alta velocidade (UNECE, 2004).
Os robôs manipuladores são basicamente dispositivos de posicionamento que
podem ter inúmeros graus de liberdade, formados por cadeias de elos, em cuja extremidade
é fixada uma ferramenta ou dispositivo com o qual é realizada a tarefa. Os elos que
formam a cadeia são interligados através de juntas às quais determinam o grau de liberdade
do mecanismo e podem ter movimentos de translação (prismático) ou de rotação
(rotacional). Assim, um robô manipulador pode ser classificado, quanto ao sentido dos
movimentos realizados e quanto à fonte de alimentação requerida.
Quanto à configuração física, um robô manipulador pode ser de coordenadas
cartesianas, coordenadas cilíndricas, coordenadas esféricas, SCARA (Selective Compliance
Assembly Robot Arm), entre outros. Quanto à fonte de alimentação requerida, podem ser
hidráulicos, pneumáticos, hidro-pneumáticos, elétricos, eletro-hidráulicos, eletro-
pneumáticos, eletromagnéticos, entre outros.
5
1.1.1 Estado da arte para robô manipulador
Os primeiros trabalhos em robótica de manipulação datam do fim da Segunda
Guerra Mundial no ano de 1945, máquinas do tipo Mestre-Escravo foram introduzidas e
desenvolvidas para manipular materiais perigosos, como substâncias radioativas entre os
anos 1940 e 1950.
Em 1950 a General Mills Corporation (EUA) desenvolveu o robô gantry-robot,
que era um manipulador cartesiano. Em 1957 surgiu o primeiro robô de coordenadas
esféricas, o PlanetBot, ambos apresentados na Fig. (1.4).
(a) (b)
Figura 1.4 – Esboços dos primeiros robôs manipuladores: (a) gantry-robot; (b) PlanetBot
A investigação e desenvolvimento na área de controle durante os anos 50 e 60
conduziram aos primeiros robôs controlados por computador com sinal de retroação
sensorial. Desde então, os manipuladores mecânicos evoluíram, existindo inúmeras
propostas de técnicas de controle, de força, de velocidade, de posição com diversas
dimensões físicas e construídas com diversos materiais.
Um robô manipulador industrial é constituído por vários elos rígidos ligados em
série por juntas, que são geralmente atuadas por motores elétricos ou atuadores
pneumáticos ou hidráulicos, além de um sistema de controle computadorizado para
controlar e supervisionar o movimento do robô, recorrendo à informação sensorial para
obter o estado do robô e do ambiente.
Em GERVINI (2003) é avaliada a importância do estudo de vibrações em robôs
manipuladores, utilizando um robô manipulador espacial desenvolvido naquela data pela
6
Agência Espacial Canadense (CSA – Canada Space Agency). Em GONZALEZ e
VAQUERO (2003) também são analisados robôs manipuladores espaciais. Nesse mesmo
trabalho também são exemplificados robôs manipuladores utilizados na área de medicina
computadorizada, como em procedimentos de laparoscopia. Em RODRIGUES (2010) é
desenvolvido um sistema com robô manipulador a ser aplicado na medicina para
visualização de órgãos vitais.
Entretanto, por sua funcionalidade de posicionar objetos em posições estratégicas
em um sistema de coordenadas espaciais, os robôs manipuladores cartesianos estão
presentes em indústrias, onde o transporte e/ou posicionamento de alguns itens em pontos
do processo fabril é exigido com rapidez e precisão, em adição ao isolamento para não
contaminação ou para diminuição de riscos ocupacionais de contato. Além disso, somada à
crescente demanda de equipamentos de automação e controle de sistemas em ambientes
fabris, há o aumento de políticas ambientais, sendo importante a realização de uma
investigação sobre fontes de alimentação requeridas pelos robôs manipuladores. Assim,
técnicas de controle para robôs cartesianos pneumáticos vêm sendo objeto freqüente de
estudos, pois são capazes de operar com rapidez, além de possuírem as vantagens de
qualquer sistema pneumático, como a abundância de ar em ambientes sob condições
normais, facilidade para transporte (tubulações), facilidade de armazenamento por serem
compressíveis (reservatórios), além de matéria-prima não poluente.
Por outro lado, a utilização de servo-atuadores pneumáticos é limitada pelas não-
linearidades inerentes a estes sistemas, principalmente devido à compressibilidade do ar.
Este comportamento não-linear tem limitado a utilização destes servo-atuadores em tarefas
em que se exija um seguimento preciso de trajetória em que o movimento se dê de forma
suave e contínua (CARVALHO, 2009). Alguns estudos sobre controladores em sistemas
pneumáticos revelaram essa limitação, como em CANUDAS et al. (1995), NOURI et al.
(2000), NEGRI (2001), ZORLU et al. (2003), GUENTHER e PERONDI (2004),
MONETEGRO et al. (2004), GUENTHER et al. (2006), SOBRINHO (2009),
CARVALHO (2009).
Em atendimento à necessidade de realização de novas pesquisas que envolva o
controle em servo-atuadores para acompanhamento de trajetórias, sobretudo os
pneumáticos, o presente trabalho tem por objetivo o desenvolvimento de um sistema de
controle adaptativo preditivo auto-ajustável a ser aplicado em um robô cartesiano com três
graus de liberdade, comandados por sistemas eletropneumáticos pertencente ao
7
Laboratório de Dinâmica, do Departamento de Engenharia Mecânica, do Centro de
Tecnologia, da Universidade Federal da Paraíba, Campus I.
1.2 METODOLOGIA
Nesse trabalho será realizada a identificação em tempo real de cada cilindro do
manipulador e de forma recursiva por meio de um estimador, que utiliza o método dos
mínimos quadrados recursivo (MQR).
Em uma segunda etapa serão projetados controladores adaptativos auto-ajustáveis
independentes para cada cilindro do manipulador utilizando Generalized Predictive
Control (GPC).
Para efeito comparativo, a etapa seguinte constará da junção do GPC com um
Proporcional-Derivativo (PD), gerando uma forma híbrida.
Testes experimentais com o sistema operando sob a ação destes controladores
projetados serão realizados, sendo os resultados confrontados para a obtenção das
conclusões.
1.3 ESTRUTURA DO TRABALHO
Este trabalho está dividido em 9 capítulos e 6 apêndices, sendo a seguir descritos
resumidamente em seqüência.
No Capítulo 1 foi apresentado uma introdução sobre controle de sistemas, seguido
do histórico breve, descrições sobre robôs manipuladores e metodologia a ser seguida neste
trabalho.
No Capítulo 2 é apresentada uma síntese de conceitos básicos e fundamentais
sobre sistemas pneumáticos, descrevendo seu funcionamento, vantagens e limitações.
No Capítulo 3 é detalhada a bancada experimental composta pelo robô
manipulador mecânica e eletricamente.
No Capítulo 4 é realizado um estudo sobre controle adaptativo, apresentando suas
diferentes configurações, além de detalhamento do diagrama de blocos do controlador
adaptativo auto-ajustável.
No Capítulo 5 é apresentada a técnica de controle preditivo GPC, além de sua
junção ao controle adaptativo, formando o GPC adaptativo.
8
No Capítulo 6 é detalhada a identificação do sistema real, sendo apresentada a
técnica utilizada para definição do tempo de amostragem, para escolha da ordem do
modelo que irá representar o sistema, escolha do sinal de excitação, além de técnicas de
validação para modelamento do sistema, critérios de desempenho para sistemas e possíveis
restrições de sistemas reais.
No Capítulo 7 são detalhados os procedimentos experimentais realizados,
implementação do GPC, do GPC com restrição em torno do set-point e do GPC híbrido
(PD+GPC).
No Capítulo 8 são feitas as considerações finais e conclusões, indicando as
limitações, vantagens e contribuições, seguindo de sugestões para trabalhos futuros.
Nas Referências Bibliográficas é apresentada a relação das fontes utilizadas como
suporte teórico durante o desenvolvimento desse trabalho.
O Apêndice A consta do fundamento matemático para a inclusão do fator de
esquecimento relacionado à identificação online do sistema via técnica dos mínimos
quadrados recursivos.
O Apêndice B apresenta o conceito da Equação Diofantina, além de uma solução
analítica da mesma.
O Apêndice C possui o desenvolvimento da solução do gradiente da função custo
da técnica GPC.
O Apêndice D consta da rotina do controlador adaptativo preditivo sem restrição.
O Apêndice E consta da rotina do controle GPC com restrição do ganho.
O Apêndice F consta da rotina do GPC híbrido, PD+GPC adaptativo.
CAPÍTULO 2
-
SISTEMAS DE ATUAÇÃO ELETROPNEUMÁTICOS
2.1 INTRODUÇÃO
Este capítulo apresenta uma síntese de conceitos básicos e fundamentais sobre
sistemas de atuação eletropneumáticos, que são essenciais para levantamento de limitações
e compreensão do seu funcionamento, sendo detalhando alguns dos componentes e os
respectivos funcionamentos.
2.2 SISTEMAS DE ATUAÇÃO ELETROPNEUMÁTICO GENÉRICO
No contexto do projeto de sistemas de automação e controle, um sistema de
atuação corresponde ao conjunto de elementos capaz de receber uma informação
proveniente de um circuito elétrico, hidráulico ou pneumático, para estabelecer qual a ação
que deve ser executada. O sistema de atuação é alimentado com energia elétrica, hidráulica
ou pneumática (NEGRI, 2001).
A eletropneumática vem ampliando sua presença na indústria em face da
capacidade de realizar ações rápidas e de forma segura, principalmente quando é utilizado
como atuação mecânica em equipamentos com ciclos operacionais complexos.
A Fig. (2.1) apresenta um diagrama do sistema de atuação eletropneumático
genérico (SA), que, baseado no sinal elétrico (s) da ação de comando, recebe ar
comprimido (P) a uma pressão constante, fornecendo energia mecânica (M) manifestada
através das variáveis: aceleração, velocidade e deslocamento. O manipulador de posição
(MP) é formado pelo sistema de atuação e pelo mecanismo que desempenha a ação
mecânica. O sistema de atuação e a central de comando trocam informações através da rota
10
“c”, que é de via dupla. A fonte de alimentação elétrica (a) torna o sistema
eletropneumático com a alimentação das válvulas.
Figura 2.1 – Diagrama de um sistema de atuação eletropneumático genérico
Conforme estabelecido na ISO 5598, Sistemas e Componentes Hidráulicos e
Pneumáticos, a terminologia pneumática refere-se à ciência e à tecnologia que trata do uso
do ar ou gases neutros como meio de transmissão de potência.
2.3 DETALHAMENTO DE UM SISTEMA DE ATUAÇÃO
ELETROPNEUMÁTICO GENÉRICO
Os circuitos pneumáticos são alimentados por uma fonte de ar comprimido e
incluem válvulas e cilindros interligados através de tubulações, cujo objetivo é a
conversão, de forma controlada, da energia pneumática em energia mecânica de translação
ou de rotação. Assim, o sistema pneumático engloba sensores, controladores, circuitos
elétricos, válvulas e demais componentes que viabilizam a automação ou controle de um
processo, tornando-se um sistema eletropneumático.
A fonte de ar comprimido, que é a energia pneumática, inclui a unidade de
produção, distribuição e condicionamento de ar, como mostrado na Fig. (2.2) retirada do
texto de PINCHES & CALLEAR (1996).
11
Figura 2.2 – Fonte de ar comprimido: produção, distribuição e condicionamento
A unidade de produção inclui o compressor com filtro de admissão, resfriador
posterior, separador de condensado, reservatório com válvula de segurança, manômetro e
secador.
Uma unidade de distribuição compreende uma tubulação preferencialmente
composta de uma rede principal de onde derivam redes secundárias que alimentam os
pontos de ligação dos circuitos pneumáticos.
Nas extremidades das tubulações de alimentação da rede secundária são instaladas
as unidades de condicionamento específicas para cada equipamento, incluindo válvula
reguladora de pressão, purgador para extração de água condensada na rede e filtro.
O compressor comprime o ar para a pressão de trabalho desejada, e o reservatório
estabiliza a distribuição e nivela as oscilações de pressão na rede distribuidora, garantindo
uma reserva no momento de alto consumo de ar da pressão.
O sistema atuador é o responsável por receber o sinal de comando e a energia
pneumática, transformando essa em energia mecânica. Assim, o sistema atuador é
composto pelas válvulas, que, baseado em um sinal de comando “u” proveniente do PC
pelas placas de aquisição, transforma a energia proveniente da fonte de ar comprimido em
12
energia mecânica nos pistões dos cilindros, como indicado na Fig. (2.3) retirada de
CARVALHO (2009), que é uma analogia a um elo do sistema do manipulador a ser
controlado nesse trabalho, desprezando qualquer carga existente.
Figura 2.3 – Sistema de atuação pneumático análogo a um dos elos do manipulador a ser
controlado nesse trabalho
As válvulas podem ser classificadas quanto à forma que permitem ou impedem a
passagem de fluido, podendo sua abertura ser total ou proporcional. A última tem a
vantagem de possibilitar uma maior ação de controle, sendo empregada na maioria dos
sistemas automáticos pneumáticos.
As válvulas proporcionais têm sua abertura controlada por um sistema
eletromagnético que recebe o sinal da ação de controle, permitindo ou impedindo total ou
parcialmente a passagem do ar.
O funcionamento do sistema eletromagnético é baseado no princípio do
eletromagnetismo clássico (Lei de Lenz-Faraday), em que um condutor carregando uma
corrente (i) e imerso em um fluxo magnético (B) fica submetido a uma força
eletromagnética (F), Fig. (2.4). O fluxo magnético pode ser produzido por um imã
permanente ou um eletroímã. Observando que o sentido da força pode mudar se o sentido
do fluxo ou da corrente mudar.
13
Figura 2.4 – Representação do princípio clássico do eletromagnetismo
Nas válvulas proporcionais o fluxo magnético é produzido por eletroímãs, que são
bobinas percorridas por correntes, no qual é possível variar sua intensidade e direção,
ficando o condutor submetido à força de intensidade e direção variada, possibilitando
infinitas posições de aberturas.
Na Fig. (2.5) retirada de BURKERT (2011), é possível observar que o movimento
do embolo da válvula é feito por diferença de pressão, sendo o fluxo de ar que impulsiona
os cilindros pneumáticos proveniente do canal principal (4). Quando o condutor (1) se
desloca para cima, a abertura (2) aumenta, permitindo a passagem de ar, fazendo com que
a pressão inferior seja maior do que a superior do embolo (3), deslocando o mesmo para
cima, até o nivelamento das pressões. Quando o condutor se desloca para baixo, a pressão
superior se torna maior que a inferior no embolo, deslocando o mesmo para baixo, até o
nivelamento da pressão.
14
Figura 2.5 – Diagrama da válvula proporcional servo-assistida
Os cilindros podem ser classificados quanto ao seu funcionamento, podendo ser
de simples ou dupla ação. O de simples ação a expansão do embolo é realizado pela
introdução de ar comprimido, enquanto que o retorno é feito por ação de uma mola. O de
dupla ação tanto a expansão quanto o retorno é realizado pela introdução de ar
comprimido.
Como qualquer outro sistema, o projeto de sistemas pneumáticos compreende a
análise e a seleção correta dos componentes da instalação. Nessa etapa, o sistema é
materializado, possibilitando a verificação das limitações impostas ao projeto, resultando
na qualidade do mesmo.
A seleção de componentes pneumáticos tem como principal fonte de consulta os
catálogos de fabricantes e, para que a utilização destes catálogos seja o mais eficiente
possível, é importante não só o conhecimento de princípios teóricos, mas também o
conhecimento de normas que estabelecem as condições de testes destes componentes e o
entendimento do significado dos termos empregados nestas normas, além da relação custo
e benefício.
No caso da escolha das válvulas, por exemplo, sabe-se que, se for escolhida uma
válvula muito pequena, a pressão de saída também será reduzida, consequentemente, para
alcançar a força mecânica desejada, será necessária a escolha de um cilindro maior,
acarretando um consumo de ar mais elevado, aumentando os custos de investimento e de
15
operação do sistema. Por outro lado, uma válvula de dimensões superiores normalmente
requererá maior tempo de resposta e maior custo.
Desta forma, o projeto de um robô manipulador eletropneumático é
interdisciplinar, envolvendo conhecimentos de engenharia mecânica, elétrica, eletrônica,
de controle, de materiais, além da ciência da computação (que propiciam ferramentas para
programação dos manipuladores robóticos, capacitando-os à realização das tarefas
específicas). Sendo importante nessa fase a utilização de materiais leves, para minimizar o
efeito de forças dissipativas, além de materiais de baixo custo por razões econômicas e que
atendam as especificações das normas regulamentadoras para seu determinado fim.
2.4 CONCLUSÃO
Nesse capítulo foram apresentados conceitos básicos e fundamentais sobre
sistemas de atuação eletropneumáticos genéricos, detalhando suas unidades de produção,
distribuição e condicionamento de ar.
Foram também apresentados alguns componentes e seus respectivos
funcionamentos, como compressor, válvulas, cilindros, direcionando essa apresentação
para a bancada experimental. Além disso, foi apresentada a importância do projeto desses
sistemas, e em que o mesmo se baseia.
CAPÍTULO 3
-
DESCRIÇÃO DA BANCADA EXPERIMENTAL
3.1 INTRODUÇÃO
Este capítulo apresenta todos os componentes da bancada experimental, que é
composta pelo robô manipulador eletropneumático de três graus de liberdade (3GDL),
sistema de alimentação pneumático, sistema de alimentação elétrico, placas de aquisição
de dados e computador PC. Descrevendo as características técnicas e o funcionamento da
bancada.
3.2 SISTEMA EXISTENTE
A bancada experimental se encontra no Laboratório de Dinâmica, do
Departamento de Engenharia Mecânica, do Centro de Tecnologia, da Universidade Federal
da Paraíba, Campus I, e é composta basicamente pelos sistemas de alimentação, pelo
manipulador cartesiano, por um computador PC e por placas de aquisição de dados,
conforme Fig. (3.1).
17
Figura 3.1 – Imagem da bancada experimental
O robô manipulador a ser controlado é alimentado por uma fonte de energia
pneumática proveniente de um compressor, um filtro de admissão, um manômetro e um
reservatório, como vemos na Fig. (3.2).
Figura 3.2 – Imagem do compressor do sistema de alimentação pneumático
Além da fonte pneumática, que operará com 0,3MPa de pressão, o sistema possui
uma fonte elétrica, como apresentada na Fig. (3.3), para proporcionar energia para o
acionamento das válvulas eletropneumáticas. Esse sinal elétrico associado ao sinal da ação
de controle enviado pelo computador, possibilitará o deslocamento das hastes dos cilindros
pneumáticos de dupla ação, recolhendo ou estendendo suas hastes impulsionadas pela
fonte de ar comprimido (compressor) com pressão constante e com capacidade de fornecer
a vazão consumida pelos componentes do sistema.
18
Figura 3.3 – Imagem da fonte de alimentação elétrica
O robô manipulador eletropneumático é composto por três elos perpendiculares
entre si, formando os eixos X, Y e Z do sistema de coordenadas cartesianas. O sistema de
eixos foi montado de forma que o eixo Z translada os outros dois eixos, e o eixo X
translada o eixo Y, possibilitando na extremidade do eixo Y um movimento espacial,
sendo o movimento final do robô manipulador cartesiano a composição dos movimentos
de translação em cada um dos eixos, ou seja, um vetor com componentes nas direções X, Y
e Z, como apresentado na Fig. (3.4).
Figura 3.4 – Esboço da composição do deslocamento do robô
O manipulador cartesiano, desenho da Fig. (3.5), é composto por três cilindros
pneumáticos (1), sendo dois de 500mm formando o plano horizontal XZ e um de 400mm
19
no eixo vertical Y. Esses cilindros são alimentados com ar comprimidos através de três
válvulas eletropneumáticas (5) comandadas por sinais provenientes da ação de controle. O
ar comprimido é proveniente de um compressor, que, através de dutos flexíveis,
impulsionam o fluxo de ar para as câmaras dos cilindros para estender ou recolher as
hastes. Acopladas às hastes de cada cilindro, estão as réguas potenciométricas (2) para
medição de suas respectivas posições, sendo as mesmas indispensáveis para a ação de
controle. As guias (3), que direcionam os deslocamentos lineares, estão paralelas aos
respectivos eixos, enquanto as patinas (4) possibilitam uma diminuição do atrito no
movimento. Sua imagem se encontra na Fig. (3.6).
Figura 3.5 – Esboço do manipulador cartesiano com três graus de liberdade
20
Figura 3.6 – Imagem do robô manipulador cartesiano com três graus de liberdade
eletropneumático
Os controladores são desenvolvidos com rotinas computacionais na plataforma
MatLab® em ambiente LabVIEW® em um computador PC e exercem sua ação sobre cada
um dos cilindros de maneira independente baseado no erro, que, nesse trabalho, é a
diferença entre a posição desejada e a posição medida do sistema.
Para a ação de controle existir, o sistema a ser controlado e sensores devem se
comunicar com o controlador, que nesse caso é a rotina implementada no PC. Os sensores
de posição enviam informações sobre a posição dos cilindros, o erro é calculado com
relação a uma referência desejada, em função deste erro é determinada a ação de controle,
que é enviada ao sistema.
Como em qualquer tipo de comunicação, são estabelecidos: emissor, receptor,
mensagem, código e canal. Quando o computador envia a ação de controle, o mesmo é o
emissor, cada válvula é um receptor, a mensagem é a ação de controle, o código é um sinal
elétrico e o canal é a placa de aquisição conectada ao PC pela porta USB. Quando o
computador recebe a informação sobre posições dos cilindros, o mesmo é o receptor, cada
régua potenciométrica é um emissor, as mensagens são as posições dos cilindros, o código
é um sinal elétrico e o canal é a placa de aquisição conectada ao PC pela porta USB.
Assim, as placas de aquisição de dados e a porta USB funcionam como via dupla, e o
21
computador alterna nas funções de emissor e receptor, como apresentado na Fig. (3.7)
retirada de MEIRA (2010), que descreve o funcionamento da bancada de testes.
Figura 3.7 – Diagrama de blocos do funcionamento da bancada de testes
3.3 ESPECIFICAÇÕES TÉCNICAS DOS COMPONENTES DA BANCADA
EXPERIMENTAL
O computador utilizado no trabalho possui um processador Intel® de 1,60GHz e
960MB de memória RAM.
As duas placas de aquisição de dados, imagem da Fig. (3.8), são de fabricação da
National Instruments® de especificação NI USB 6009, sendo uma para receber e enviar os
sinais relacionados aos elos X e Z, e a outra para receber e enviar os sinais relacionados ao
elo Y. A utilização de duas placas de aquisição é devido a limitação de canais de saída
analógicos, pois as mesmas possuem 8 canais de entrada analógica, 2 canais de saída
analógica e 12 canais de entradas/saídas digitais, interface USB com o computador na taxa
de amostragem 48kS/s, faixa de tensão de entrada de ±1 VDC a ±20 VDC e faixa de tensão
de saída de 0 a 5 VDC.
22
Figura 3.8 – Imagem das placas de aquisição de dados
As válvulas eletropneumáticas proporcionais de 5/3 vias são da série MPYE do
fabricante Festo®. Algumas de suas especificações técnicas apresentadas na Tab. (3.1).
Tabela 3.1 – Especificações técnicas das válvulas eletropneumáticas proporcionais
utilizadas no do sistema do fabricante Festo®
Modelo MPYE-5-1/8-HF-010-B
Tipo 5/3 vias
Tipo de acionamento elétrico
Pressão absoluta de trabalho Até 1,0 MPa (10 bar)
Vazão nominal 700 l/min
Sentido do fluxo Não reversível
Temperatura de trabalho 5 °C a 40 °C
Temperatura ambiente 0 °C a 50 °C
Tensão de alimentação 24 VDC ± 25%
Tensão de excitação 0 a 10 VDC
Observando pela Tab. (3.1), a tensão de excitação das válvulas (0 a 10 VDC) é
diferente da tensão de saída das placas de aquisição de dados (0 a 5 VDC), utilizou-se um
amplificador de potência para suprir a necessidade das válvulas. Observar também que
23
para possibilitar o movimento de avanço e recuo dos pistões, foi adicionado a toda ação de
controle 2,5V, de forma que de 0V < u < 2,4V os pistões recuam, e de 2,6V < u < 5V os
pistões avançam, em que u remete a ação de controle. Para a tensão de alimentação das
válvulas, foi utilizado um regulador de corrente contínua de fabricação Minipa®, modelo
MPL-3003, para fornecer a potência necessária de 24 VDC.
Os cilindros pneumáticos presentes no sistema são da série CWE da Wherk-
Schott®, as principais especificações técnicas estão na Tab. (3.2).
Tabela 3.2 – Especificações técnicas dos cilindros pneumáticos utilizados nos elos do
sistema do fabricante Werk-Schott®
Elos X e Z Elo Y
Modelo CWEA03273310X0400 CWEA03273310X0200
Curso efetivo 400mm 200mm
Tipo Dupla ação, haste simples Dupla ação, haste simples
Diâmetro 32mm 32mm
Pressão de trabalho Até 1,0MPa (10 bar) Até 1,0MPa (10 bar)
Fluido Ar comprimido filtrado Ar comprimido filtrado
Temperatura ambiente -10°C a 80°C -10°C a 80°C
Força teórica a 0,6MPa, avanço 482,55N 482,55N
Força teórica a 0,6MPa, retorno 414,70N 414,70N
As réguas potenciométricas são da Festo®, para o eixo X foi utilizada uma escala
de 450mm e resolução 0,01mm, sendo o modelo MLO-POT-450-TLF, para o eixo Y foi
utilizada uma escala de 225mm e resolução 0,01mm, sendo o modelo MLO-POT-225-TLF
e para o eixo Z foi utilizada uma escala de 500mm e resolução 0,01mm, sendo o modelo
MLO-POT-500-TLF.
Como o sinal de controle é em Volts, as posições dos cilindros correspondem a
tensões em Volts dadas pelas réguas, assim para saber a relação entre a posição em
milímetros e a tensão em Volts foram posicionadas as hastes dos cilindros em diversas
posições ao longo dos seus cursos, anotando as respectivas posições em milímetros e
tensões em Volts. Com o conjunto desses dados foi utilizada interpolação para ajuste de
curvas, obtendo as funções matemáticas aproximadas mostradas nas Eq. (3.1), Eq. (3.2) e
24
Eq. (3.3), em que xmm, ymm, zmm, xv, yv e zv correspondem às posições em milímetros e às
tensões em Volts dos eixos X, Y e Z, respectivamente.
vmm x55,4
400x ⋅= (3.1)
vmm y56,4
200y ⋅= (3.2)
vmm z1,4
400z ⋅= (3.3)
O compressor utilizado foi o MSL 10 ML-175 do fabricante Schulz®, cujas
principais especificações técnicas estão na Tab. (3.3)
Tabela 3.3 – Especificações técnicas do compressor utilizado no do sistema do fabricante
Schulz®
Modelo MSL 10 ML-175
Peso bruto 90kg
Peso líquido 81kg
Deslocamento teórico 283 litros/min
Pressão máxima de operação 8,3MPa (83bar)
Potência 2hp – 1,5kW
Volume do reservatório 178 litros
3.4 CONCLUSÃO
Nesse capítulo foi apresentada a bancada experimental do robô manipulador
cartesiano eletropneumático de três graus de liberdade. Sendo detalhando o funcionamento
e as características técnicas do computador utilizado, das placas de aquisição, das válvulas
eletropneumáticas, da fonte elétrica de alimentação, dos cilindros de dupla ação, das réguas
potenciométricas e do compressor. Também foram apresentadas as relações entre tensão e
posição das réguas potenciométricas.
CAPÍTULO 4
-
CONTROLE ADAPTATIVO
4.1 INTRODUÇÃO
Este capítulo apresenta um breve histórico de controle adaptativo, algumas
configurações do mesmo, detalhamento dos blocos que compõe o controlador adaptativo
auto-ajustável (STR – Self Tuning Regulators), técnica de identificação dos mínimos
quadrados recursivos (MQR) e combinação da técnica adaptativa com outros
controladores.
4.2 BREVE HISTÓRICO PARA CONTROLE ADAPTATIVO
Ao conceber, projetar e implementar um controlador, dois passos são
fundamentais, a identificação do sistema a controlar e o projeto do controlador.
A metodologia de controle convencional normalmente é baseada em uma
identificação fixa, requerendo um controlador suficientemente robusto para suportar as
variâncias dos sistemas reais, que sofrem alteração em sua dinâmica devido ao desgaste no
decorrer do tempo, além de mudanças bruscas e ruídos. Esse problema pode ser
contornado mediante a repetição periódica ou esporádica dos passos de identificação do
sistema e projeto do controlador.
Desde os anos 50, inúmeros pesquisadores vêm analisando formas de
implementar controladores cuja lei de controle não seja fixa, variando de acordo com as
alterações verificadas no modelo do sistema sobre o qual o controle exerce (RESENDE,
1995).
26
Nos últimos anos o interesse em sistemas de controle adaptativos aumentou
rapidamente junto com o interesse e o progresso em robótica e outros campos de controle.
O termo sistema adaptativo implica que o sistema é capaz de se ajustar a mudanças,
venham estas mudanças de dentro do sistema ou de fora dele. Este conceito é de muito
interesse para o projetista de sistema, pois um sistema adaptativo, além de se acomodar a
mudanças ambientais, também se acomodaria a erros de projeto de engenharia e
compensaria possíveis falhas ou incertezas moderadas de componentes secundários do
sistema, aumentando, portanto, a confiabilidade (ASSIS, 1993).
Assim a designação controle adaptativo é de uma metodologia de projeto de
controladores, que, periodicamente, realiza uma identificação do sistema, atualizando o
modelo do controlador.
Em relação às primeiras referências nesse âmbito, que datam dos anos 50, a
maioria remetia à indústria aeronáutica, em que os sistemas clássicos de controle para
pilotagem não eram capazes de responder adequadamente à diversidade de condições em
que as aeronaves ficavam sujeitas. Tal fato fez surgir o conceito de escalonamento de
ganho, no qual o controle é sintonizado em função de um conjunto de parâmetros para cada
situação de operação.
Por se adaptar a um conjunto de variáveis auxiliares, que apresentam uma
correlação com a saída, o controlador por escalonamento de ganho é modelado em malha
aberta, resultando na forma mais simples de controle adaptativo (controle adaptativo em
malha aberta), Fig. (4.1) retirada de RESENDE (1995), permitindo uma resposta rápida às
variações da dinâmica do sistema. Entretanto, o fato de sua ação de controle não observar a
saída, não permite qualquer correção da função de escalonamento em função do melhor ou
pior desempenho apresentado em malha fechada, além de necessitar de um estudo rigoroso
sobre quais variáveis exercem influência e suas ponderações sobre o ganho ótimo. A Fig.
(4.1) mostra o diagrama de blocos do controle adaptativo por ganho escalonado.
27
Figura 4.1 – Diagrama de Blocos do controlador adaptativo por ganho escalonado
No entanto, alguns sistemas apresentam variações amplas, como no caso das
aeronaves supersônicas. Não sendo um ganho de realimentação por tabela capaz de
fornecer a flexibilidade necessária para atender às especificações de desempenho, o que
desencadeou em acidentes em vôos testes, acarretando naquela época no desinteresse da
aeronáutica. Nesse contexto, inúmeras contribuições teóricas e desenvolvimento de
hardware surgiram, o que proveriam a esse tipo de controlador a estabilidade e a
confiabilidade mesmo frente a perturbações e variações nas características do sistema.
Dessas contribuições, pode ser destacada a teoria de Espaço de Estados e Controle
Estocástico, que facilitaram a análise e a manipulação matemática de sistemas dinâmicos,
além de possibilitar a consideração de modelos não determinísticos na análise de controle
(RESENDE, 1995).
Assim, na década de 70 consolidaram-se os resultados pretendidos, como as
contribuições de ASTROM & WITTENMARK (1997) na prática de Controle Adaptativo
de um sistema de dinâmica desconhecida.
Finalmente nos anos 80, a disseminação de computadores, além da própria
necessidade e exigência do mercado, favoreceu aos avanços práticos do controle
adaptativo.
Uma das primeiras e mais importantes mudanças na técnica de controle adaptativo
de ganho ajustável foi fechar a malha, surgindo o controle adaptativo auto-ajustável (STR),
que combina a ação da identificação (estimação do sistema em tempo real) com o
procedimento de projeto de controle. Essa técnica contempla dois métodos: algoritmos
28
auto-ajustáveis diretos ou explícitos e algoritmos auto-ajustáveis indiretos ou implícitos. O
primeiro tem a vantagem de observar o comportamento do sistema, enquanto que o
segundo tem a vantagem de ser relativamente mais rápido por projetar diretamente o
controlador. As Fig. (4.2) e (4.3) retiradas de MONTENEGRO (2007) mostram o diagrama
de blocos dos controladores STR.
Figura 4.2 – Diagrama de blocos do controlador STR explícito e sistema
Figura 4.3 – Diagrama de blocos do controlador STR implícito e sistema
4.3 CONTROLADOR ADAPTATIVO AUTO-AJUSTÁVEL EXPLÍCITO
O termo adaptativo expressa a possibilidade de modificar comportamentos e/ou
características de acordo com a situação e/ou o objetivo. Assim, defini-se controle
29
adaptativo como o método utilizado pelos controladores passíveis de modificar o seu
comportamento em função das características apreendidas do sistema que controlam
(RESENDE, 1995). Sendo a identificação periódica do sistema a ser controlado a essência
desse tipo de controle. Essa é aliada ao projeto do controlador realizado de forma
automática, ou seja, de forma iterativa e sem intervenção humana direta que resulta no
Controle Adaptativo Auto-Ajustável, mostrado na Fig. (4.4) retirada de HEMERLY
(2000).
Figura 4.4 – Diagrama de blocos para controle adaptativo
De forma resumida, a estrutura básica está relacionada com as funções de
identificação das características dinâmicas do sistema, de decisão ou projeto do
controlador, baseado no modelo identificado e na modificação ou atuação baseada na
decisão tomada (ASSIS, 1993).
O STR é muito flexível quanto à escolha do método de projeto do controlador e
do algoritmo para estimação dos parâmetros do sistema. Os parâmetros estimados são
considerados como se fossem os parâmetros reais. Esta abordagem é baseada no princípio
da equivalência à certeza (MONTENEGRO, 2007, apud HEMERLY, 1996).
Não há restrição para a escolha do projeto do controlador, podendo ser utilizadas
técnicas de controle clássico ou de controle moderno, citando exemplos como os
controladores PID, PI, PD, os controladores preditivos do tipo variância mínima (MV –
30
Minimum Variance), de Variância Mínima Generalizada (GMV – Generalized Minimum
Variance ), o Controlador Preditivo Generalizado (GPC – Generalized Predictive Control),
além do Linear Quadratico Gaussiano (LQG – Linear Quadratic Gaussian). A Tab. (4.1)
apresenta exemplos de controladores clássicos e modernos, que podem se combinar ou
sofrer alterações para atender a demanda do sistema.
Tabela 4.1 – Exemplos de controladores clássicos e modernos
Clássico Moderno
On/Off Ótimo
Auto-operado Preditivo
Proporcional integral derivativo Robusto
Avanço e atraso de fase Inteligente
4.3.1 A identificação do sistema
O problema em elaborar modelos matemáticos de sistemas dinâmicos baseados
em estimação dos parâmetros, pode ser entendido como o problema da área da engenharia
de controle denominada identificação de sistemas. O modelo de um sistema, por sua vez,
pode ser entendido como uma descrição de algumas das propriedades do sistema, adequada
a algum propósito específico (LJUNG, 1999).
As técnicas clássicas para a identificação de sistemas podem ser divididas em não
paramétricas e paramétricas. Os modelos que buscam determinar funções de transferência
através de técnicas diretas, sem selecionar um conjunto de modelos possíveis, nem
empregando um vetor de parâmetros de dimensão finita de forma direta, são ditos não-
paramétricos, destacam-se assim a análise da resposta transitória do sistema, a análise de
correlação e a análise espectral. Enquanto que nas técnicas paramétricas é selecionado um
modelo de sistema com um vetor de parâmetros, dado um vetor de observações da entrada
e da saída do sistema, objetivando-se obter os parâmetros do modelo que melhor
descrevem o sistema.
O tratamento do problema de controle em manipuladores robóticos empregando
metodologias da cinemática e da dinâmica, apesar de possuírem aspectos positivos, podem
levar o sistema a ser controlado a operar com limitações, além de poder cometer erros
31
devidos às limitações computacionais e efeitos mecânicos desprezados no ato da
modelagem, segundo CARVALHO (2009, apud LAMAS, et al., 2002).
Assim, devido às complexidades dos sistemas reais e mais especificamente dos
manipuladores robóticos, a análise empírica e paramétrica é a mais utilizada em controle
moderno, ou seja, as relações entre saídas e entradas são obtidas por métodos numéricos
para um dado modelo paramétrico (CARVALHO, 2009, apud KIRECCI et al., 2003).
Toda análise empírica é discreta, por terem seus dados amostrados, assim, o modelo
matemático do sistema passa a ser representado por uma razão de polinômios no domínio
Z. A Eq. (4.1) representa um modelo paramétrico geral, com um atraso (d), uma entrada
(u) e uma saída (y). O sinal “e” é a representação da perturbação, que, normalmente, é
considerado uma seqüência aleatória, não correlata e de média nula, enquanto que o ∆ é a
ação integrativa. Assim, o primeiro termo da equação é denominado Parte Determinística
e o segundo Parte Estocástica. Baseado nos polinômios A, B e C, são obtidos diversos
tipos de modelos matemáticos.
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )kezA
zCku
zA
zBzky 1
1
1
1d ⋅
⋅∆+⋅⋅= −
−
−
−− (4.1)
onde:
( )( )( )
−=∆
⋅++⋅+=
⋅++⋅+=
⋅++⋅+=
−
−−−
−−−
−−−
1
nn
110
1
nn
110
1
nn
11
1
z1
zc...zcczC
zb...zbbzB
za...za1zA
c
c
b
b
a
a
Existem diferentes métodos para estimação dos parâmetros dos modelos lineares
discretos, porém maior ênfase é dada ao estimador dos mínimos quadrados (MQ), uma vez
que é a base para o desenvolvimento de outros métodos de identificação (LJUNG, 1999).
O método consiste em partir de um modelo denominado ARX (Auto-Regressão Exógena)
para um dado sistema, Eq. (4.2), cuja representação por uma equação a diferenças com (na
+ nb + 1) parâmetros a estimar é dada pela Eq. (4.3). Agrupando as medidas e os
parâmetros nos vetores, φ e θ, respectivamente, podemos reescrever o modelo como
apresentado na Eq. (4.5).
( ) ( ) ( ) ( ) ( )kekuzBzkyzA 1d1 +⋅⋅=⋅ −−− (4.2)
32
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kendkub...dkubnkya...1kyaky bn0an1 ba+−−⋅++−⋅+−⋅−−−⋅−= (4.3)
( )
( )
( )
( )( )
( )
( )
−+⋅
−ϕ
ϕ=
− 1Ne
0e
kθ
1N
0
1Ny
0y
T
T
MMM (4.4)
Agrupando em vetores a Eq. (4.4) é obtida a Eq. (4.5).
( ) ( ) EkθkY +⋅φ= (4.5)
onde:
( )( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) [ ]
=
−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−
=
−ϕ
ϕϕϕ
=φ
Tn0n1
ba
ba
ba
T
T
T
T
babbaakθ
1ndNu2dNu1nNy2Ny
nd1ud1un1y0y
nduduny1y
1N
2
1
0
KK
LL
MMMM
LL
LL
M (4.6)
A resposta estimada no instante k sem contaminação da perturbação, é dada na
forma da Eq. (4.7).
( ) ( )kθkY∧∧
⋅φ= (4.7)
O erro de estimação é a diferença entre o Y real e o Y estimado, como dado na
Eq. (4.8).
( )kθYYY∧∧
⋅φ−=−=ε (4.8)
O estimador dos mínimos quadrados ponderado ou estimador de Markov é obtido
minimizando a função dada na Eq. (4.9).
33
⋅φ−⋅⋅
⋅φ−=⋅φ−=∧∧∧
∧θYWθYθYminJ
T2
Wθ
desemp (4.9)
Onde: Jdesemp – índice de desempenho
( )( )
( )
−
=
1Nw00
01w0
000w
W
L
MMM
L
L
w(i) – ponderação nos componentes do erro.
Derivando e igualando a zero a Eq. (4.9) para obter o mínimo da função, é obtida
a estimação dos parâmetros, Eq. (4.10).
( ) [ ] 0θW2WY2Jθ
TTTdesemp =
⋅φ⋅⋅φ⋅+φ⋅⋅⋅−=∂
∂ ∧
∧
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )kYkkkk T1T ⋅φ⋅φ⋅φ=θ−∧
(4.10)
Porém, para controle adaptativo, é necessário o reconhecimento em tempo real do
sistema. Assim, a Eq. (4.10) é inviável computacionalmente, pois a cada iteração seria
necessário o cálculo da inversa de uma matriz cada vez maior. Uma solução para esse
problema é o método dos mínimos quadrados recursivo (MQR), que parte da adição de
uma amostra à Eq. (4.10), obtendo os termos separados da Eq. (4.14) e da Eq. (4.15), que
são manipulados para a obtenção dos parâmetros de forma recursiva.
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )1kY1k1k1k1k T1T +⋅+φ⋅+φ⋅+φ=+θ−∧
(4.11)
( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )
+ϕφ
=
+ϕϕ
ϕ
=+φ→
ϕ
ϕ=φ
1k
k
1k
k
1
1k
k
1
k T
T
T
T
T
T
MM (4.12)
34
( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )
+=
+
=+→
=1kY
kY
1kY
kY
1Y
1kY
kY
1Y
kYM
M (4.13)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1k1kkk1k1k TT +ϕ⋅+ϕ+φ⋅φ=+φ⋅+φ (4.14)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1kY1kkYk1kY1k TT +⋅+ϕ+⋅φ=+⋅+φ (4.15)
Fazendo a mudança de variáveis da Eq. (4.16) nas Eq. (4.10), Eq. (4.11), Eq.
(4.14) e Eq. (4.15), são obtidas a Eq. (4.17) e Eq. (4.18).
[ ][ ]
⋅φ=
φ⋅φ=−
YR
PT
1T
(4.16)
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
+⋅+=+
⋅=∧
∧
1kR1kP1kθ
kRkPkθ (4.17)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
+⋅+ϕ+=++ϕ⋅+ϕ+=+ −−
1kY1kkR1kR
1k1kkP1kP T 11
→ ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )
+⋅+ϕ+=++ϕ⋅+ϕ+=+
−−
1kY1kkR1kR
1k1kkP1kP1T 1 (4.18)
Utilizando a equivalência matemática da Eq. (4.19), é obtida a Eq. (4.20).
( ) ( ) 111111 JNLJNMLJJNMLJ −−−−−− ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅−=⋅⋅+ (4.19)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
+⋅+ϕ+=++ϕ⋅⋅+ϕ+
⋅+ϕ⋅+ϕ⋅−=+
1kY1kkR1kR
1kkP1k1
kP1k1kkPkP1kP
T
T
(4.20)
Da Eq. (4.3) podemos obter o Y estimado de um instante de tempo k, dado a
estimação dos parâmetros no instante (k – 1), como vemos na Eq. (4.21). Para um instante
seguinte (k+1), temos a Eq. (4.22).
35
( ) ( ) ( ) ( )ke1kkkY T +−θ⋅ϕ=∧∧
(4.21)
( ) ( ) ( ) ( )1kek1k1kY T ++θ⋅+ϕ=+∧∧
(4.22)
Substituindo a Eq. (4.22) na Eq. (4.20), supondo que Y estimado é igual a Y,
obtemos a Eq. (4.23).
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
⋅+ϕ⋅+ϕ++⋅+ϕ+=+
+ϕ⋅⋅+ϕ+⋅+ϕ⋅+ϕ⋅−=+
∧kθ1k1k1ke1kkR1kR
1kkP1k1
kP1k1kkPkP1kP
T
T
T
(4.23)
Da Eq. (4.17) e da Eq. (4.18), respectivamente, tiramos R(k+1) e (φ.φT),
substituindo na Eq. (4.23) e manipulando, obtemos a Eq. (4.24).
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+⋅+ϕ⋅++=+
+ϕ⋅⋅+ϕ+=+
∧∧1ke1k1kPkθ1kθ
1kkP1k1
kP1kP
T (4.24)
Fazendo a mudança de variável da Eq. (4.25), conhecida como ganho de Kalman,
é obtido o algoritmo do MQR, Eq. (4.26).
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1kkP1k1
1kkP1k1kP1kK
T +ϕ⋅⋅+ϕ++ϕ⋅=+ϕ⋅+=+ (4.25)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
⋅+ϕ⋅+−=+
+⋅++θ=+θ
+ϕ⋅⋅+ϕ++ϕ⋅=+
θ⋅+ϕ−+=+
∧∧
∧
kP1k1kKkP1kP
1ke1kKk1k
1kkP1k1
1kkP1kK
k1k1kY1ke
T
T
T
(4.26)
Geralmente na inicialização é utilizado um valor elevado para a matriz de
covariância P, que é uma matriz identidade multiplicada por um valor elevado (≥103), isso
36
garante um elevado ganho inicial. Para o vetor de parâmetros θ geralmente é atribuído
inicialmente um vetor nulo. Porém também pode ser atribuído inicialmente um vetor de
parâmetros θ diferente de zero, caso sejam conhecidos valores aproximados do mesmo,
sendo atribuído nesse caso para a matriz de covariância P, uma matriz identidade
multiplicada por um valor pequeno (≤10). Nas n primeiras iterações são armazenados os
valores de saídas e entradas nos vetores de medidas (φ) e saídas (Y), em que n remete ao
número de parâmetros a serem estimados. Nas demais iterações, os vetores de medidas e
saídas são atualizados e segue a utilização das equações do sistema apresentado na Eq.
(4.26) na ordem exposta. A explicação detalhada desse algoritmo pode ser encontrada em
LJUNG (1999) e COELHO e COELHO (2004).
A matriz de covariância P tende ao longo das iterações a uma matriz diagonal com
valores baixos, caso a identificação seja adequada. Porém, para sistemas variantes no
tempo, é importante fornecer a esse algoritmo uma capacidade de adaptação regenerada,
impedindo que o ganho do estimador tenda a valores baixos. Esta capacidade pode ser
obtida dando-se uma maior importância às novas medidas pela inclusão de um fator de
esquecimento como é apresentado no Apêndice A (COELHO e COELHO, 2004).
4.4 CONCLUSÃO
Neste capítulo foi apresentado um breve histórico de controle adaptativo, algumas
configurações do mesmo, detalhamento dos blocos que compõe o controlador adaptativo
auto-ajustável (STR – Self Tuning Regulators), técnica de identificação dos mínimos
quadrados recursivos (MQR), combinação da técnica adaptativa com outros controladores
e a limitação do ganho do algoritmo MQR. O algoritmo MQR foi detalhado
matematicamente partindo de um modelo ARX do sistema, sendo essa técnica a ser
utilizada na identificação paramétrica do sistema.
CAPÍTULO 5
-
CONTROLE PREDITIVO
5.1 INTRODUÇÃO
Este capítulo apresenta um breve histórico de controle preditivo, algumas
classificações do mesmo, detalhamento matemático do controlador preditivo generalizado
(GPC) e a combinação da técnica adaptativa com o mesmo, formando o controlador GPC
adaptativo.
5.2 DEFINIÇÕES GERAIS DO CONTROLE PREDITIVO
Controle preditivo baseado em modelo (MBPC – Model Based Predictive
Controllers) ou, simplesmente, Controle Preditivo (MPC – Model Predictive Controllers)
é, segundo MELEIRO (2002, apud SEBORG, 1994), a estratégia de controle multi-
variável mais aplicada na indústria de processos. Os primeiros algoritmos MPC foram
desenvolvidos por dois grupos, RICHALET et al. (1976) e CUTLER e REMAKER
(1979). A idéia de CUTLER e REMAKER (1979) deu origem a um dos algoritmos
preditivos mais empregados na indústria química, o DMC (Controle por Matriz Dinâmica).
Apesar das inúmeras variações dos controladores preditivos, todos eles, como sua
própria denominação evidencia, utilizam o conhecimento dos valores futuros de referência
para calcular o sinal de controle mais adequado. O sucesso industrial dos controladores
preditivos é atestado pela variedade das versões comerciais aplicadas nas indústrias de
processamento químico. SEBORG (1994) e HENSON (1998) reportaram uma vasta
aplicabilidade mundial de controladores preditivos em refinarias de óleo e plantas
petroquímicas.
38
SANTOS (1998) analisou critérios de desempenho e aspectos de robustez no
desenvolvimento de controladores adaptativos preditivos. CAVALCANTI (2003)
desenvolveu um controlador preditivo generalizado bilinear compensado adaptativo.
GABIN e ZAMBRANO (2004) desenvolveram um controle preditivo por modo deslizante
para robôs manipuladores. SILVA (2004) aplicou um controle preditivo em uma bomba de
infusão de insulina para regulação de glicemia em diabéticos Tipo I. ALBÁN (2006)
desenvolveu um controle preditivo para um robô tipo SCARA. SOUZA (2006)
implementou em plantas físicas um controlador preditivo generalizado com restrições.
BARBOSA (2007) apresentou um controlador preditivo generalizado com função de pesos
variantes no tempo através de algoritmos genéticos. BESCH et al. (2009) implementou um
controlador preditivo generalizado escalonado em um CLP. CORREIA (2010) elaborou
um controle preditivo com restrição em um compressor de ar.
O MPC é uma família de técnicas de controle que prediz o comportamento futuro
do sistema através de um modelo interno dinâmico de previsão das variáveis controladas
em funções das variáveis manipuladas. As ações de controle são então calculadas visando
minimizar a diferença entre a trajetória prevista e a trajetória de referência, ou seja,
minimizando uma função custo que engloba as trajetórias dos erros previstos das variáveis
controladas, tratando-se de uma otimização da função custo ou de controle ótimo.
Há inúmeras variações para o MPC. A Tab. (5.1) lista algumas variações do MPC,
pode ainda haver combinações das mesmas ou com adição de características adaptativas,
entre outras.
39
Tabela 5.1 – Modelos de Controle Preditivo (MPC)
Abreviação Nome
EPSAC Extended Predictive Self Adaptative Control
GMV Generalized Minima Variance Control
GPC Generalized Predictive Control
LDMC Linear Dynamic Matrix Control
QDMC Quadratic Dynamic Matrix Control
MAC Model Algorithmic Control
PFC Predictive Functional Control
SPC Statistic Predictive Control
UPC Unified Predictive Control
Apesar das inúmeras variações, qualquer um desses modelos consiste em uma
técnica puramente discreta no tempo, em que o mesmo se relaciona com o modelo do
sistema para que seja calculada uma seqüência de controle futura, de modo que, a saída
predita siga uma determinada trajetória de referência, como é mostrado na Fig. (5.1).
Figura 5.1 – Diagrama de funcionamento do controle preditivo
As variáveis mostradas na Fig. (5.1), u(k), y(k) e r(k), representam os valores do
sinal de controle, da variável controlada e do sinal de referência, respectivamente, sendo os
valores futuros dessas variáveis representadas por vetores como indicado na Eq. (5.1).
40
[ ]
[ ]
++=
++=
−+=∧∧∧
T
T
T
)Nyk(r)1k(r
)Nyk(Y)1k(Y
)1Nuk(u)k(u
K
K
K
r
Y
u
(5.1)
A predição é feita dentro de um horizonte de predição denominado Ny, e esse
comportamento futuro, )1k(Y +∧
, é previsto a partir de um modelo do sistema e de um
conjunto de ações de controle dentro do horizonte de controle Nu. As ações de controle são
calculadas de modo que a saída predita siga uma trajetória de referência.
A lei de controle preditiva é obtida através da minimização de uma função
objetivo ou custo. Esta função mensura o rastreamento da saída predita em relação à
referência. A função objetivo é adequada aos requisitos do projeto do controlador, que
podem envolver tempo de estabilização, sobre-sinal, tempo de subida, entre outras.
5.3 CONTROLE PREDITIVO GENERALIZADO (GPC)
O GPC foi proposto por CLARKE et al. (1987) e desde então tem se tornado um
dos métodos mais populares no âmbito do controle preditivo, sendo utilizado com êxito em
numerosas aplicações, abrangendo desde sistemas estáveis em malha aberta, sistemas de
fase não mínima e sistemas com atraso de transporte variante no tempo. Possui ampla
aplicação na indústria química e petroquímica, mostrando-se robusto quanto à
sobreparametrização, atraso de transporte incerto (MONTENEGRO, 2007). Sendo por esse
motivo um dos modelos mais populares de MPC.
A idéia do GPC é calcular uma seqüência de sinais de controle futuros de maneira
a minimizar uma função custo, Eq. (5.2), definida sobre o horizonte de predição móvel, em
que ( )iky +∧
é a predição do sinal de saída i-passos à frente, r(k+i) é a trajetória de
referência futura, N1 é o horizonte mínimo de predição, Ny é o horizonte de predição, Nu é
o horizonte de controle. O princípio do horizonte móvel calcula uma seqüência de ações de
controle, porém só envia a ação (ou ações no caso de sistema multi-variável) de controle
atual.
41
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑∑==
−+⋅⋅+
+−+⋅=Nu
1i
2Ny
Ni
2^
1iku∆iλikrikyiρJ1
(5.2)
onde: ρ(i) seqüência ponderadora sobre o erro
λ(i) seqüência ponderadora sobre o controle
O GPC utiliza um modelo paramétrico para o sistema do tipo Auto-regressivo
Integral com Média Móvel e Exógeno (ARIMAX). Também é considerado que o sistema
possui um atraso natural somado ao atraso do segurador de ordem zero, sendo o modelo
ARIMAX apresentado na Eq. (5.3).
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )ikezAz1
zC1iku
zA
zBziky
11
1
1
1d +⋅
⋅−+−+⋅⋅=+ −−
−
−
−− (5.3)
( )( )( ) ( )
⋅=
=
−=
−−
−
−
11~
1
1
zA∆zA
1zC
z1∆
� ( ) ( )( )
( ) ( )( )1
~1
~
1
zA
iked1iku∆
zA
zBiky
−−
− ++−−+⋅⋅=+ (5.4)
Com o objetivo de separar a dependência de y(k + i) dos valores passados e
futuros, é utilizada uma identidade polinomial chamada de Equação Diofantina,
apresentada na Eq. (5.5), que substituindo na Eq. (5.4), é obtida a Eq. (5.6).
( )( ) ( )
( )1~
1ii1
i1
~
zA
zFzzR
zA
1
−
−−−
−+= (5.5)
onde: ( ) ( )( )
( ) ( )
⋅++⋅+=
⋅++⋅+⋅=⋅−−−−
−−−
−−−−
1inai,
1i,1
1i
1n1i,i
1i,1i,0
i1i
i
zr...zr1zR
zf...zffzzFz a
42
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
( )( )
( ) ( ) ( )
+⋅+⋅+
+
−−⋅⋅
⋅+−−+⋅⋅⋅=+
−
−
−
−
−−−−
ikezRkezA
zF
d1ku∆
zA
zFzBd1iku∆zRzBiky
1i
1~
1i
1~
1i
11
i1
(5.6)
Da Eq. (5.4): ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1ku∆zBzkyzAke 1d1~
−⋅⋅⋅−⋅= −−− , substituindo na Eq. (5.6) e fazendo
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1inn0
1inai,
1i,1
nn
110
1i
11i
b
g
b
bzg...gzr...zr1zb...zbbzRzBzG −+−−−−−−−−− ⋅++=⋅++⋅+⋅⋅++⋅+=⋅= :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ikezRkyzFd1iku∆zGiky 1i
1i
1i +⋅+⋅+−−+⋅⋅=+ −−− (5.7)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )kyzFd1iku∆zGiky 1i
1i
^
⋅+−−+⋅⋅=+ −− (5.8)
Assim:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+≥
⋅+−+⋅⋅=++
⋅++⋅⋅=++
⋅++⋅⋅=++
⋅+⋅⋅=++
+<⋅+−+⋅⋅=+
⋅+−⋅⋅=+
−+
−+
−+
−+
−+
−+
−+
−+
−−
−−
d1i
kyzF1Nku∆zGNdky
kyzF2ku∆zG3dky
kyzF1ku∆zG2dky
kyzFku∆zG1dky
d1ikyzFd1ku∆zG2ky
kyzFdku∆zG1ky
1Nd
1Nd
^
13d
13d
^
12d
12d
^
11d
11d
^
12
12
^
11
11
^
M
M
(5.9)
Ou seja, para i < 1+d, temos que a estimativa de y depende apenas dos valores
passados, enquanto para i ≥ 1+d, temos que a estimativa de y depende dos valores
presentes e futuros, podendo Gi ser reescrito na forma da Eq. (5.10), em que foram
separados os termos relacionados ao passado dos demais.
43
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( )1di1
z
1dinn
dn
z
1dnn0
1inn
dnn
1dnn
22
110
1inn0
1i
zzz
zg...gzzg...g
zg...zgzg...zgzgg
zg...gzG
1
g2
b
1
b
1
b
g
b
2
b
1
b
g
−−−−
β
−−−+−
α
−+−
−+−+−−+−−−
−+−−
β⋅+α=
⋅++⋅+⋅++=
⋅++⋅+⋅++⋅+⋅+=
⋅++=
−−4444 34444 214444 34444 21
(5.10)
Substituindo a Eq. (5.10) na Eq. (5.8), é obtida a Eq. (5.11).
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )1ku∆zzGzkyzFd1iku∆ziky
d1iku∆zzGkyzFd1iku∆ziky
kyzFd1iku∆zzziky
11i
di1i
1^
11i
1i
1^
1i
1di1^
−⋅⋅α−+⋅+−−+⋅⋅α=+
−−+⋅⋅α−+⋅+−−+⋅⋅α=+
⋅+−−+⋅⋅β⋅+α=+
−−−−−
−−−−
−−−−−
Assim: ( ) ( )1ku∆ky −⋅⋅+⋅+⋅= G'FuGy (5.11)
Observar pela Eq. (5.9) que, como y chapéu remete a saída predita (futura), temos
que ( )i varia de ( )1d + até ( )Nd + , sendo então as variáveis da Eq. (5.11) dadas por:
onde:
( )
( )
++
++=
Ndky
1dky
^
^
My ( )
( )
−+⋅
⋅=
1Nku∆
ku∆
Mu ( )( )
( )
=−
+
−+
−
1Nd
11d
1
zF
zF
z MF
=
−− 02N1N
01
0
ggg
0gg
00g
L
MMM
L
L
G
( )( )
( ) ( )
⋅⋅−−⋅−−
⋅⋅−−
⋅−
=
−−−
−−+
−−+
−+
N1N1N
110
1Nd
2110
12d
01
1d
zzgzggzG
zzggzG
zgzG
'
K
MG
Os dois últimos termos da Eq. (5.11) remete ao tempo passado e presente, tendo
em vista que são conhecidas as variáveis de entrada do sistema passadas e as variáveis de
saída do sistema passadas e presente. Assim podem ser agrupados no vetor f, Eq. (5.12),
que representa a resposta livre, sendo a Eq. (5.11) reescrita na Eq. (5.13), fazendo o atraso
nulo.
44
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )1ku∆zzGzkyzFikf 11i
i1i −⋅⋅α−+⋅=+ −−−
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )ku∆zzGzkyzFikf 11i
1i1i ⋅⋅α−+⋅=+ −−−−
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] ( )ku∆zgzggzGzkyzFikf 1i1i
110
1i
1i1i ⋅⋅⋅++⋅+−+⋅=+ −−
−−−−− K (5.12)
fuGy +⋅= (5.13)
Substituindo a Eq. (5.13) na função custo, Eq. (5.2), fazendo os ponderadores ρ(i)
e λ(i) constantes, é obtida a Eq. (5.14), em que ( ) ( ) ( )[ ]Ndkr2dkr1dkrr ++⋅++⋅++⋅= L .
( ) ( ) uurfuGrfuG ⋅⋅λ+−+⋅⋅−+⋅⋅ρ= TTJ (5.14)
Para obter o mínimo da função custo é aplicado o operador diferencial gradiente
na mesma igualado a zero (Apêndice C), resultando na lei de controle da Eq. (5.15).
( ) ( )frGIGGu −⋅⋅ρ⋅⋅λ+⋅⋅ρ=− TT 1
(5.15)
Para cada instante k tem-se a lei de controle dada na Eq. (5.16).
( ) ( ) ( ) ( )kkTkkk
Tk frGIGG −⋅⋅ρ⋅⋅λ+⋅⋅ρ=−
−11-kuku
( ) ( ) ( ) ( )kkTkkk
Tk frGIGG −⋅⋅ρ⋅⋅λ+⋅⋅ρ+=
−11-kuku (5.16)
Na Eq. (5.15), r é a referência, e f depende dos valores de y e ∆u, conforme Eq.
(5.12). Assim, observando as simplificações a seguir, temos a Eq. (5.17), da qual é possível
obter um diagrama de blocos para o controle GPC, Fig. (5.2).
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )kyFsrKuHz1∆
∆uHzkyzFKRKu
∆uKzkyzFKRKu
u∆zkyzFRK
K
1i
1i1S
1i1i
1i1i
1
⋅−⋅=⋅⋅+⋅
⋅⋅−⋅⋅−⋅=∆
⋅Μ⋅⋅−⋅⋅−⋅=∆
⋅⋅Μ⋅−⋅−⋅=
−⋅=
−⋅⋅ρ⋅⋅λ+⋅⋅ρ=
−
−−
−−
−−
−
u
fru
frGIGGu TT
45
( )( )( )Hz1∆
kyFsrKu
1i ⋅+⋅⋅−⋅
=−
(5.17)
Figura 5.2 – Diagrama de blocos para o controle preditivo GPC
Na Eq. (5.15) é conhecida a referência “r”, e as ponderações ρ e λ são
sintonizadas de acordo com o sistema, através de testes, podendo ser constantes ou
variáveis. Entretanto a matriz G e o vetor f podem ser obtidos através da solução da
Equação Diofantina.
A solução da Equação Diofantina requer um elevado esforço computacional. Uma
forma alternativa em cada instante de tempo é a solução numérica conforme mostra a Eq.
(5.18) e Eq. (5.19), que renomeando seus termos podem ser escritas na forma Eq. (5.20) e
Eq. (5.21).
( ) ( )321321
F
1i
i~
E
1i zFzAzR1 −−− ⋅+⋅= (5.18)
( ) ( ) ( )4342143421
S
11i
1i~
R
11i zFzAzR1 −
++−−
+ ⋅+⋅= (5.19)
FzAE1 i~
⋅+⋅= − (5.20)
( ) SzAR1 1i~
⋅+⋅= +− (5.21)
Da Eq. (5.20), observando a igualdade dos polinômios e isolando F, é possível
chegar à condição inicial dada na Eq. (5.22).
46
( )( ) ( )
( ) ( )nfinf
1i1
i0
an
an1
121
nfinf
1i1
i0
anan
~1
1
~
nfnf
110
ianan
~1
1
~
zf...zfzfzE...zEE1
zf...zfzfzaE...zaEE1
zf...zffzza...za1E1
~
~
~~
~~
+−+−−−
+
−
+−+−−−−
−−−−−
⋅++⋅+⋅+⋅++⋅+=
⋅++⋅+⋅+⋅⋅++⋅⋅+=
⋅++⋅+⋅+
⋅++⋅+⋅=
⋅−⋅=
⋅−=
⋅−=
~
11
~
ii
i
~i
AE1zF
AE1zF
AE1zF
−⋅=
=~
1
1
A1zF
1E
(5.22)
Subtraindo as Eq. (5.20) e Eq. (5.21), é obtida a Eq. (5.23), em que o polinômio
resultante da subtração de R e E é de grau “i” e pode ser escrito na forma da Eq. (5.24).
( ) ( )FSzzERA0 1i~
−⋅⋅+−⋅= −− (5.23)
( )( ) ( )( )i
i
1inai,
1i,1
inai,
1inai,
1i,1
i1i
zr
zr...zr1zrzr...zr1
RRER
−
−−−−−−−+
⋅=
⋅++⋅+−⋅+⋅++⋅+=
−=−
(5.24)
Da Eq. (5.24) pode ser obtido a Eq. (5.25).
ii
i1i
zr
EEER−
+
⋅=
−=−
iii1i zrEE −
+ ⋅+= (5.25)
Substituindo a Eq. (5.24) na Eq. (5.23), é obtida a Eq. (5.26) ou, reescrevendo
essa, a Eq. (5.27).
i
~1 rAFSz ⋅−=⋅− (5.26)
( ) ( ) ian
an
~1
1
~nf
nf1
10ns
ns1
101 rza...za1zf...zffzs...zssz
~~ ⋅
⋅++⋅+−⋅++⋅+=⋅++⋅+⋅ −−−−−−− (5.27)
47
Fazendo igualdade de polinômios na Eq. (5.27), tem-se a Eq. (5.28) e a Eq. (5.29).
( ) ( ) ...zrafrfzs...zszs0 1i1
~
1i01ns
ns2
11
0 +⋅
⋅−+−=⋅++⋅+⋅+ −+−−−
( ) ii0i F de termoPrimeiro0Ffr →== (5.28)
( ) S degrau o até 0 k para , ra1kFrafs i1k
~
ii1k
~
1kk =⋅−+=⋅−= +++ (5.29)
Além disso, foi definido que ( ) ( ) ( )1i
11i zRzBzG −−− ⋅= , ou:
( ) ( ) ( )1i
11i zEzBzG −−− ⋅= (5.30)
Assim, para a obtenção da matriz G da lei de controle dada na Eq. (5.15) sem a
utilização da solução da Diofantina, foi obtido o algoritmo da Eq. (5.31) com as condições
iniciais dadas pela Eq. (5.22).
=⋅=
−⋅=
=
BBEG
A1zF
1E
11
~
1
1
(5.22)
( )
( )
BEG
...zszssF
ra1kFs
zrEE
0Fr
1i1i
2-2
1-101i
i1k
~
ik
iii1i
ii
⋅=+⋅+⋅+=
⋅−+=
⋅+=
=
++
+
+
−+
(5.31)
5.3.1 O Algoritmo para o GPC adaptativo
Até alguns anos atrás, notava-se na literatura de controle avançado de processos
químicos, uma clara distinção entre as duas grandes classes de controladores avançados:
Adaptativo e Preditivo (DECHECHI, 1998).
48
A habilidade para preservar o desempenho do sistema sob ação de controle
adaptativo em malha fechada a partir da identificação das variações na dinâmica do
sistema e do meio por um algoritmo online, bem como uma sintonização adequada para o
controlador em diferentes pontos de operação, motiva um crescente número de aplicações
de algoritmos de controle adaptativo auto-ajustável preditivo. Nas últimas três décadas,
várias técnicas de controle preditivo têm sido propostas na literatura de controle de
processos para substituir os métodos de controle clássicos convencionais na indústria, em
virtude aos desenvolvimentos promovidos nas teorias da estabilidade e controle moderno
(SANTOS, 1998).
Para o algoritmo do GPC adaptativo foram obtidos os passos a seguir, o qual
possui resulta na estrutura da Fig. (5.3) retirada de SANTOS (1998).
• Definir os parâmetros do sistema (A e B): identificação online (MQR)
• Obter os termos da matriz G:
=⋅=
−⋅=
=
BBEG
A1zF
1E
11
~
1
1
(5.22)
( )
( )
BEG
...zszssF
ra1kFs
zrEE
0Fr
1i1i
2-2
1-101i
i1k
~
ik
iii1i
ii
⋅=+⋅+⋅+=
⋅−+=
⋅+=
=
++
+
+
−+
(5.31)
• Montar a matriz G:
=
−− 02N1N
01
0
ggg
0gg
00g
K
MMM
K
K
G
• Obter os termos referentes aos dados passados da lei de controle:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] u∆zgzggzGzkyzFikf 1i1i
110
1i
1i1i ⋅⋅⋅++⋅+−+⋅=+ −−
−−−−− K (5.12)
49
• Montar os vetores f e r:
( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]
+++=
+++=T
T
Nkr2kr1kr
Nkf2kf1kf
K
K
r
f
• Encontrar a ação de controle:
( ) ( )frGIGGu −⋅⋅ρ⋅⋅λ+⋅⋅ρ=− TT 1
(5.15)
( ) ( ) ( ) ( )kkTkkk
Tk frGIGG −⋅⋅ρ⋅⋅λ+⋅⋅ρ+=
−11-kuku (5.16)
Figura 5.3 – Estrutura de um controlador adaptativo preditivo
50
5.4 CONCLUSÃO
Neste capítulo foi apresentado um breve histórico de controle preditivo, algumas
classificações do mesmo, detalhamento matemático do controlador preditivo generalizado
(GPC) e a combinação da técnica adaptativa com o mesmo, formando o controlador GPC
adaptativo, sendo apresentado seu diagrama de blocos e algoritmo. Também é apresentada
a equação Diofantina, que é essencial para a separação dos termos referentes ao passado
dos termos referentes ao futuro na lei de controle preditiva.
CAPÍTULO 6
-
IDENTIFICAÇÃO DO ROBÔ MANIPULADOR DE 3GDL
6.1 INTRODUÇÃO
Este capítulo apresenta as etapas de modelamento e identificação do sistema com
seus critérios de validação, bem como a determinação do período de amostragem e do sinal
de excitação do sistema. Também constará das definições de alguns critérios de
desempenho de sistemas, além de restrições possíveis para um sistema.
6.2 DETERMINAÇÃO DO PERÍODO DE AMOSTRAGEM (t a)
Geralmente sistemas reais não são lineares, enquanto que a maioria dos
controladores é linear. Uma solução para essa questão é a geração de modelos lineares
adequados para períodos de amostragem pequenos, diminuindo o erro proveniente da
linearização.
Assim, na identificação de sistemas o tempo de amostragem é um parâmetro
fundamental a ser definido, caso seja grande, é possível que ocorra perda de informação da
dinâmica do sistema (sub-amostrado), caso seja pequeno, ocorrerá sobre-amostragem. Na
prática, em controle digital, o tempo de amostragem é escolhido de acordo com o tempo de
resposta do sistema. SOUZA (2010, apud ISERMANN, 1980) recomenda que o tempo de
amostragem esteja entre o intervalo dado na Eq. (6.1), cujo t95% correspondente ao tempo
necessário para que a resposta do sistema à entrada degrau atinja 95% do seu valor final.
5
tt
15
t %95a
%95 ≤≤ (6.1)
52
SOUZA (2010) determinou que o tempo de amostragem para o robô em questão é
de 200ms. Os procedimentos para determinação desse tempo foram: posicionamento do
sistema na posição tida como origem, excitação dos elos com um pulso de duração
suficiente para atingir um deslocamento considerável de aproximadamente meio segundo,
medição com um cronômetro que cada elo levou para atingir 95% da resposta final. Esse
tempo cronometrado foi dividido pelo número de amostras no tempo , resultando no valor
da amostragem (ta).
6.3 A EXCITAÇÃO DO SISTEMA
A qualidade do modelo estimado de um sistema depende em parte da natureza do
sinal de entrada aplicado durante a fase de coleta de amostras. Deve-se escolher um sinal
de excitação que demonstre toda a dinâmica do sistema, minimizando erros de modelagem,
ou seja, o sinal de entrada deve forçar o sistema a revelar na saída todas as suas
características dinâmicas.
Uma forma de excitar os elos do robô manipulador é através de uma seqüência de
pulsos construídos, de tal forma que o sistema efetue movimentos de avanço e retorno.
Para esse trabalho a seqüência de pulsos para excitar o sistema foi análoga para os três
elos. A Fig. (6.1) mostra o sinal de excitação aplicado ao robô.
53
Figura 6.1 – Sinal de excitação para o sistema
6.4 ESCOLHA DA ORDEM DO MODELO DO SISTEMA
Conforme AGUIRRE (2000), se a ordem utilizada para o modelo for muito menor
do que a ordem efetiva do sistema real, o modelo não possuirá a complexidade estrutural
necessária para reproduzir a dinâmica do sistema. Por outro lado, se a ordem do modelo for
muito maior do que a necessária, a estimação de parâmetros será provavelmente mal
condicionada, ocasionando cancelamento de pólos e zeros na função de transferência do
sistema.
Critérios como: somatório do erro quadrático (SEQ), Eq. (6.2), coeficiente de
correlação múltipla R2, Eq. (6.3), e critério de informação de Akaike (AIC), Eq. (6.4),
podem ser utilizados para validação da estrutura do modelo. Nessas equações N significa
número de amostras, y são amostras, n é o número de parâmetros, a indicação “^” são as
estimações e a indicação “-” é a média.
54
( ) ( )2N
1k
kykySEQ ∑=
∧
−= (6.2)
( ) ( )
( )[ ]
−
−−=
∑
∑
=
=
∧
N
1k
2
N
1k
2
2
yky
kyky
1R (6.3)
( ) ( ) n2kykyN
1lnNAIC
2N
1k
⋅+
−⋅⋅= ∑=
∧ (6.4)
A condição ideal para qualquer que seja o sistema seria que a diferença entre a
saída real e a estimação fosse nula, assim, na condição ideal teríamos a Eq. (6.5).
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )[ ]
( ) ( )( ) ( )
−∞=
⋅+
−⋅⋅=
=
−
−−=
=
−=
∑
∑
∑
∑
=
∧
→ξ−ξ
=
=
∧
→ξ−ξ
=
∧
→ξ−ξ
∧
∧
∧
n2kykyN
1lnNlimAIC
1
yky
kyky
1limR
0kykylimSEQ
2N
1k0kk
N
1k
2
N
1k
2
0kk
2
N
1k0kk
(6.5)
MEIRA (2010) e SOUZA (2010) realizaram procedimentos semelhantes para
determinar a ordem do modelo do sistema em questão, e consistiu em excitar os elos do
sistema com uma seqüência de pulsos, armazenando todos os dados de excitações e das
respectivas respostas com uma taxa de amostragem de 200ms, que foi determinada
anteriormente. Com esses valores e o algoritmo do estimador MQR da seção (4.3.1) com
fator de esquecimento unitário, variando a quantidade de parâmetros e o valor do atraso no
algoritmo, conforme Tab. (6.1), e sendo utilizadas em cada variação as equações de
validação de modelo, Eq. (6.2), Eq. (6.3) e Eq. (6.4), foram obtidos resultados análogos em
ambos os trabalhos. Os resultados expostos na Tab. (6.1), foram retirados do trabalho de
MEIRA (2010).
55
Tabela 6.1 – Modelos testados para cada elo do sistema
SEQ R2 AIC
Modelo na nb d n X Y Z X Y Z X Y Z
1 1 0 1 2 1,76 4,797 0,924 0,958 0,901 0,954 –44,609 –24,554 –57,492
2 2 0 1 3 0,515 0,962 0,188 0,988 0,98 0,991 –67,205 –54,688 –87,288
3 2 0 2 3 0,151 3,033 0,073 0,996 0,937 0,996 –91,684 –31,721 –106,29
4 2 1 1 4 0,033 0,322 0,037 0,999 0,993 0,998 –119,92 –74,583 –117,94
5 3 0 1 4 0,386 0,473 0,14 0,991 0,99 0,993 –70,929 –66,875 –91,251
6 3 0 2 4 0,116 2,34 0,045 0,997 0,952 0,998 –94,987 –34,915 –113,72
7 3 0 3 4 0,3 2,076 0,188 0,993 0,957 0,991 –76,009 –37,307 –85,343
8 3 1 1 5 0,029 0,286 0,03 0,999 0,994 0,999 –120,71 –74,916 –118,08
9 3 1 2 5 0,084 2,141 0,047 0,998 0,956 0,998 –99,432 –34,691 –110,96
10 3 2 1 6 0,015 0,218 0,029 1 0,996 0,999 –131,36 –78,382 –120,83
Modelo:
( )( ) a
a
b
b
nn
11
nn
110d
za...za1
zb...zbbz
ku
ky−−
−−−
⋅++⋅+⋅++⋅+
⋅= (6.6)
Baseado na Eq. (6.5), foram destacadas as três linhas com melhores resultados.
Apesar dos modelos 8 e 9 terem tido resultados melhores, foi escolhido o modelo de
número 4, sendo justificado pelo princípio da parcimônia, tendo em vista o funcionamento
em tempo real do sistema de identificação do controle adaptativo, o qual possui quatro
parâmetros a serem determinados e um atraso de uma amostragem, transcrito na Eq. (6.7).
( )( ) 2
21
1
21
10
22
11
1101
zaza1
zbzb
zaza1
zbbz
ku
ky−−
−−
−−
−−
⋅+⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅+⋅= (6.7)
6.5 CRITÉRIOS DE DESEMPENHO DO SISTEMA
Em muitos casos práticos, as características de desempenho desejadas de um
sistema a ser controlado são especificadas em termos de grandezas no domínio do tempo.
56
Os sistemas com energia armazenada não podem responder instantaneamente e vão
fornecer respostas transitórias sempre que estiverem sujeitos a sinais de entrada e/ou
distúrbios. (OGATA, 2005).
Assim, as características de desempenho de um sistema são estabelecidas em
função da resposta transitória no domínio do tempo, sendo as características mais
comumente especificadas o tempo de subida (tr), o tempo de pico (tp), o tempo de
acomodação (ts), erro de regime permanente (erp) e o sobre-sinal (ss).
O tempo de subida nesse trabalho remeterá ao tempo necessário para o sistema
sair de 0% a 100% do valor final, que é o comumente utilizado para sistemas de segunda
ordem. O tempo de acomodação é o tempo necessário para que a resposta alcance valores
em uma faixa de ±2% ou ±5% em torno da referência, nesse trabalho será utilizado ±5%,
pois essa será a faixa de tolerância para o erro de regime permanente. Sobre-sinal é o valor
de pico da curva de resposta, que pode ser dado pela Eq. (6.8). O tempo de pico é o tempo
referente ao sobre-sinal. Esses critérios de desempenho podem ser observados na Fig.
(6.2).
%100ferênciaRe
ferênciaRecUP% max ⋅
−= (6.8)
Figura 6.2 – Critérios de desempenho de um sistema
57
6.6 RESTRIÇÕES DO SISTEMA
As condições operacionais são normalmente definidas por uma intersecção de
restrições, em que a função é minimizada se necessária. Muitos algoritmos de previsão
levam em consideração as limitações do sistema, e, portanto, têm sido bem sucedido na
indústria, enquanto outros podem incorporá-lo a posteriori. Ao adicionar restrições para a
função objetivo, a minimização se torna mais complexa, de modo que a solução não pode
ser obtida explicitamente como no caso sem restrição. (CAMACHO & BORDON, 1999).
Segundo LARA (2005) e CORREIA (2010), restrições podem ser impostas nas
variáveis de entrada e de saída. A primeira devido a limitações no atuador, tais como
saturação ou restrições na rapidez de câmbio, a segunda usualmente associada a limitações
operacionais, tais como considerações de segurança, qualidade final do produto ou
especificações do equipamento. As restrições podem ser fortemente ativa (rígidas),
fracamente ativa (flexíveis) e por aproximação de set-point (restrições terminais). As
fortemente ativas indicam uma região que as restrições não podem ser violadas sob
nenhuma hipótese, as fracamente ativas permitem violação das restrições em instantes
específicos e as de aproximação de set-point são restrições fracamente ativas impostas pelo
set-point, resultando em uma função objetivo penalizada em ambos os lados da restrição.
Nesse sistema temos a restrição fortemente ativa das tensões máximas suportadas
pelos atuadores, que são de 4,55V, 4,56V e 4,1V para os elos X, Y e Z, respectivamente,
assim, um filtro na entrada desses atuadores vai restringir a lei de controle em 4V para
todos os elos.
6.7 CONCLUSÃO
Nesse capítulo foram apresentados critérios de desempenho de sistemas, restrições
de sistemas e procedimentos para determinação do tempo de amostragem e ordem do
modelo matemático paramétrico do sistema. Além de serem justificados as escolhas dos
sinais de excitação para os elos do sistema. Os trabalhos de MEIRA (2010) e SOUZA
(2010) foram bases para o desenvolvimento desse capítulo, os quais constataram a
presença de dois pólos, um zero e um atraso de transporte do sistema, além de que o
modelo em questão representava bem a dinâmica do sistema.
CAPÍTULO 7
-
CONTROLE ADAPTATIVO PREDITIVO DO ROBÔ
MANIPULADOR
7.1 INTRODUÇÃO
Nesse capítulo serão apresentadas as etapas experimentais da implementação do
controlador adaptativo preditivo desenvolvido para os três elos do robô manipulador,
mostrando gráficos de respostas no tempo, além de serem desenvolvidos variações do
controlador GPC, uma adicionando restrições, outra somando ao mesmo uma ação
proporcional-derivativa. Também serão os esforços médios das variáveis de controle.
7.2 PROJETO DO CONTROLADOR GPC ADAPTATIVO PARA O ROBÔ
MANIPULADOR
Nesse foram projetados três controladores GPC adaptativos, um para cada elo,
cujas leis de controle são dadas na Eq. (7.1), obtidas a partir da Eq. (5.15).
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
−⋅⋅ρ⋅⋅λ+⋅⋅ρ+=
−⋅⋅ρ⋅⋅λ+⋅⋅ρ+=
−⋅⋅ρ⋅⋅λ+⋅⋅ρ+=
−
−
−
zzz
1
zzzzz
yyy
1
yyyyy
xxx
1
xxxxx
1-kuku
1-kuku
1-kuku
frGIGG
frGIGG
frGIGG
Tzz
Tz
Tyy
Ty
Txx
Tx
(7.1)
59
Cada elo terá seus valores passados de “u” e “f”, além de parâmetros, referências
e matrizes G, distintos, possibilitando que os cálculos da lei de controle sejam realizados
de forma independente.
Baseado na seção (5.3.1), para o algoritmo GPC, temos que identificar os
polinômios A e B do modelo pré-definido na seção (6.4) através do algoritmo MQR da
seção (4.3.1), obter a matriz G das leis de controle da Eq. (7.1), obter os termos referentes
ao passado “f” da mesma equação, montar os vetores f e r, aplicando na lei de controle.
Esses cálculos são realizados para cada elo e a cada iteração.
Para esse trabalho foi definido o horizonte mínimo de predição igual a “um”, o
horizonte de predição (Ny) e o horizonte de controle (Nu) para o controle GPC iguais a
“três”, observar que se os horizontes forem muito extensos, pode exigir um elevado
esforço computacional. A seguir o algoritmo GPC para esses horizontes. As Eq. (7.2), Eq.
(7.3), Eq. (7.4), Eq. (7.5), Eq. (7.6), Eq. (7.7), Eq. (7.8), Eq. (7.9), Eq. (7.10) e Eq. (7.11)
mostram a determinação dos parâmetros do GPC em função dos polinômios A e B que
formam a função de transferência de cada elo do robô.
• Definir os parâmetros do sistema (A e B): identificação online (MQR)
( )( ) 2
21
1
21
10
zaza1
zbzb
ku
ky−−
−−
⋅+⋅+⋅+⋅
=
( ) ( ) ( ) ( )
=⋅+=
⋅−⋅−+⋅−+=⋅+⋅+⋅−=
⋅+⋅+=
−
−−−−−−
−−
1d
zbbB
zazaaz1a1zaza1z1A
zaza1A
110
32
212
11
22
11
1~
22
11
(7.2)
• Obter os termos da matriz G:
( ) ( )
⋅+=
⋅+⋅−+−=
=
=−
−−
1101
22
12111
1
zbbG
zazaaa1F
1E
0i
60
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( )
( )[ ] ( )( ) ( )
za1bza1bzbb
zbbza11BEG
za1aza1aaa
a11aaazszssF
a1aa1a0ra3Fs
a1aaara2Fs
a11aaara1Fs
za11zrEE
a10Fr
1i
211
110
110
110
1122
212
11122
11212
21-
102
121213
~
12
112212
~
11
112111
~
10
11
1112
111
⋅−⋅+⋅−⋅+⋅+=
⋅+⋅⋅−+=⋅=
⋅−⋅+⋅−⋅−−+
−⋅−−−=⋅+⋅+=
−⋅=−⋅−−=⋅−=
−⋅−−=⋅−=
−⋅−−−=⋅−=
⋅−+=⋅+=
−==
=
−−−
−−
−−
−
−−
( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ }( ) ( ) ( )[ ]( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]{ } ( )
( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ){ }( ) ( ) ( )[ ]
zba11aaa
zba1ba11aaazbba1b
zbbza11aaaza11BEG
za11aaaa
za11aaaaaa1a
a11aaa1aa1aaa
zszssF
a11aaaaa11aaaa0ra3Fs
a11aaaaaa1ara2Fs
a11aaa1aa1aaara1Fs
za11aaaza11zrEE
a11aaa0Fr
2i
311121
21101121
11010
110
21121
1133
2-11212
111211212
112111122
2-2
1-103
112121121223
~
22
1121121222
~
21
11211112221
~
20
21121
11
2223
112122
⋅⋅−⋅−−−+
⋅⋅−+⋅−⋅−−−+⋅+⋅−+=
=⋅+⋅⋅−⋅−−−+⋅−+=⋅=
⋅−⋅−−−⋅+
⋅−⋅−−−⋅−−−⋅+
−⋅−−−⋅−−−⋅−−=⋅+⋅+=
−⋅−−−⋅=−⋅−−−⋅−−=⋅−=
−⋅−−−⋅−−−⋅=⋅−=
−⋅−−−⋅−−−⋅−−=⋅−=
⋅−⋅−−−+⋅−+=⋅+=
−⋅−−−==
=
−
−−
−−−
−
−−−
=
012
01
0
ggg
0gg
00g
G
( )[ ]( ) ( ) ( )[ ] ( ){ } ( )[ ]
+⋅−⋅−+⋅−⋅−−−+⋅−=
01011101121
0101
0
bbba1ba1ba11aaa
0bbba1
00b
G (7.3)
61
• Obter os termos referentes aos dados passados da lei de controle:
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2kub1kub2kya1kyaakya1
ku∆gzGkyzF1kf
112211
01
11
1
−⋅−−⋅+−⋅+−⋅−+⋅−=⋅⋅−+⋅=+ −−
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2kuf1kuf2kyf1kyfkyf1kf 1413121110 −⋅+−⋅+−⋅+−⋅+⋅=+ (7.4)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2kua1b1kua1b2-kya1a
1kya1aaakya11aaa
ku∆zggzGzkyzF2kf
111112
11221121
110
12
112
−⋅−⋅−−⋅−⋅+⋅−⋅+−⋅−⋅−−+⋅−⋅−−−=
⋅⋅⋅+−+⋅=+ −−−
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2kuf1kuf2kyf1kyfkyf2kf 2423222120 −⋅+−⋅+−⋅+−⋅+⋅=+ (7.5)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ } ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ } ( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( )[ ] ( )2kuba11aaa
1kuba11aaa2-kya11aaaa
1kya11aaaaaa1a
kya11aaa1aa1aaa
ku∆zgzggzGzkyzF3kf
11121
1112111212
11211212
112111122
22
110
13
213
−⋅⋅−⋅−−−−−⋅⋅−⋅−−−+⋅−⋅−−−⋅+
+−⋅−⋅−−−⋅−−−⋅+⋅−⋅−−−⋅−−−⋅−−=
⋅⋅⋅+⋅+−+⋅=+ −−−−
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2kuf1kuf2kyf1kyfkyf3kf 3433323130 −⋅+−⋅+−⋅+−⋅+⋅=+ (7.6)
• Montar os vetores f e r:
+++
=3)f(k
2)f(k
1)f(k
f
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ } ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ } ( )( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( )[ ] ( )
−⋅⋅−⋅−−−−−⋅⋅−⋅−−−+
⋅−⋅−−−⋅++−⋅−⋅−−−⋅−−−⋅+
⋅−⋅−−−⋅−−−⋅−−=+−⋅−⋅−−⋅−⋅+⋅−⋅+−⋅−⋅−−+⋅−⋅−−−=+
−⋅−−⋅+−⋅+−⋅−+⋅−=+
2kuba11aaa
1kuba11aaa
2-kya11aaaa
1kya11aaaaaa1a
kya11aaa1aa1aaa)3k(f
2kua1b1kua1b2-kya1a
1kya1aaakya11aaa)2k(f
2kub1kub2kya1kyaakya1)1k(f
11121
11121
11212
11211212
112111122
111112
11221121
112211
(7.7)
A trajetória de referência pode ser considerada constante e igual ao set point atual:
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]TT krkrkr3kr2kr1kr =+++=r (7.8)
62
• Conhecendo todas as variáveis da lei de controle, é possível encontrar a ação de
controle:
( ) ( )frGIGGu −⋅⋅ρ⋅⋅λ+⋅⋅ρ=− TT 1
( )
=⋅ρ⋅⋅λ+⋅⋅ρ=−
333231
232221
1312111
ppp
ppp
ppp
P TT GIGG (7.9)
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
=
−⋅−−⋅−−⋅−−⋅−⋅−−⋅−−⋅−−⋅−−⋅−⋅−−⋅−−⋅−−⋅−−⋅−⋅−
=−
3
2
1
3433323130
2423222120
1413121110
rf
rf
rf
2kuf1kuf2kyf1kyfkyfkr
2kuf1kuf2kyf1kyfkyfkr
2kuf1kuf2kyf1kyfkyfkr
fr (7.10)
⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅
=
333232131
323222121
313212111
rfprfprfp
rfprfprfp
rfprfprfp
u
Para um instante k:
( ) ( ) 313212111 rfprfprfp1kuku ⋅+⋅+⋅+−=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )krppp2kupfpfpf
1kupfpfpf12kypfpfpf
1kypfpfpfkypfpfpfku
131211133412241114
133312231113133212221112
133112211111133012201110
⋅+++−⋅⋅+⋅+⋅−−⋅⋅+⋅+⋅+−−⋅⋅+⋅+⋅−
−⋅⋅+⋅+⋅−⋅⋅+⋅+⋅−= (7.11)
Outro aspecto importante a ser considerado é que a lei do controlador adaptativo
necessita de informações de dados passados e que, durante as primeiras iterações, não há
nenhum dado armazenado, necessitando de um controlador inicial que não requer os
mesmos, ou ser conhecido ou atribuído valores pertinentes para os mesmos. Nesse trabalho
será implementado um controlador proporcional discreto para as primeiras iterações (Tp
amostras), cuja lei de controle é dada na Eq. (7.12), resultando no diagrama de blocos da
Fig. (7.1).
( ) ( )keKku pp ⋅= (7.12)
63
Figura 7.1 – Chaveamento após Tp amostras entre o controlador proporcional e o
adaptativo para armazenar inicialmente informações do passado
7.2.1 Resultados obtidos com o GPC adaptativo apenas com restrição fortemente
ativa
Os resultados de importância para esse trabalho é o deslocamento do robô em
relação à referência, sendo necessária a inclusão das equações na rotina de relação entre
tensão e posição das réguas potenciométricas, dadas na Eq. (3.1), Eq. (3.2) e Eq. (3.3).
Porém, para diminuir o esforço computacional a cada iteração, as mesmas só foram
utilizadas ao final do programa, quando todos os valores de entradas e saídas estavam
armazenados. Para esses mesmos vetores, foram também observados os valores de tempo
de subida (ou descida), tempo de acomodação, sobre-sinal e erro de regime permanente,
observando que as condições exigidas para meu sistema era de um sobre-sinal inferior a
20% e erro de regime permanente inferior a ±5%.
Os valores dos parâmetros dos controladores proporcionais iniciais foram
definidos de forma que o sistema respondesse sem apresentar um sobre-sinal elevado
durante seu período de atuação de 25 amostras. Sendo obtido experimentalmente para os
mesmos, os ganhos Kp’s apresentados na Eq. (7.13).
64
=
=
=
3,0K
3,0K
3,0K
pz
py
px
(7.13)
Para os fatores de esquecimento foram atribuídos valores iguais à unidade, Eq.
(7.14), pois o sistema não sofre grandes variações sobre o período de tempo analisado.
=λ
=λ
=λ
1
1
1
mqrZ
mqrY
mqrX
(7.14)
Diversas combinações foram atribuídas para os parâmetros ponderadores da
variável de controle e do erro quadrático da função custo do GPC, algumas das quais
expostas na Tab. (7.1), Tab. (7.2) e Tab. (7.3), obtendo os respectivos resultados para os
critérios de desempenho do sistema. Observar que os resultados obtidos foram para sete
pulsos, cada um com 100 amostras, ou seja, aproximadamente 2 minutos e 20 segundos de
operação.
65
Tabela 7.1 – Parâmetros da função custo e de desempenho do sistema sob ação do GPC
adaptativo (elo X), baseados nas respostas da Fig. (7.2), Fig. (7.3) e Fig. (7.4)
λgpcX ρgpcX Pulso ts(s) tr(s) emáx ss
Teste 1
0,5 0,5
1 0,68 - 11% 17%
2 0,55 - 29% 7%
3 0,55 - 20% 32%
4 0,6 - 22% 10%
5 1,06 - 25% 18%
6 1,13 - 35% 7%
7 0,65 - 15% 25%
Teste 2
0,5 1,0
1 0,6 - 30% 11%
2 0,55 - 25% 7%
3 0,55 - 26% 24%
4 1,3 - 35% 10%
5 0,7 - 33% 30%
6 0,8 - 32% 12%
7 0,52 - 35% 26%
Teste 3
1,0 0,5
1 0,54 - 7% 16%
2 0,57 - 12% 10%
3 0,45 - 38% 38%
4 0,6 - 6% 1%
5 1,24 - 9% 31%
6 0,55 - 17% 6%
7 0,55 - 21% 8%
66
Figura 7.2 – Resposta do sistema sob ação do controlador GPC adaptativo – Elo X teste 1
Figura 7.3 – Resposta do sistema sob ação do controlador GPC adaptativo – Elo X teste 2
68
Tabela 7.2 – Parâmetros da função custo e de desempenho do sistema sob ação do GPC
adaptativo (elo Y), baseados nas respostas da Fig. (7.5), Fig. (7.6) e Fig. (7.7)
λgpcY ρgpcY Pulso ts(s) tr(s) emáx ss
Teste 1
0,5 0,5
1 6,25 - 25% 0%
2 1 - 20% 10%
3 0,25 - 70% 42%
4 0,66 - 30% 25%
5 1,45 - 90% 38%
6 1,46 - 40% 3%
7 0,4 - 33% 70%
Teste 2
0,5 1,0
1 6 - 45% 0%
2 1,1 - 70% 35%
3 0,18 - 72% 70%
4 0,75 - 40% 25%
5 0,91 - 63% 60%
6 0,89 - 70% 17%
7 0,73 - 74% 70%
Teste 3
1,0 0,5
1 6,1 - 7% 0%
2 1,1 - 60% 9%
3 0,27 - 10% 36%
4 0,26 - 8% 27%
5 1,2 - 7% 9%
6 1,7 - 9% 0%
7 0,56 - 15% 100%
69
Figura 7.5 – Resposta do sistema sob ação do controlador GPC adaptativo – Elo Y teste 1
Figura 7.6 – Resposta do sistema sob ação do controlador GPC adaptativo – Elo Y teste 2
71
Tabela 7.3 – Parâmetros da função custo e de desempenho do sistema sob ação do GPC
adaptativo (elo Z), baseados nas respostas da Fig. (7.8), Fig. (7.9) e Fig. (7.10)
λgpcZ ρgpcZ Pulso ts(s) tr(s) emáx ss
Teste 1
0,5 0,5
1 5,84 - 42% 0%
2 0,75 - 20% 6%
3 0,5 - 32% 30%
4 0,54 - 21% 23%
5 0,55 - 75% 15%
6 1,38 - 40% 10%
7 0,78 - 38% 39%
Teste 2
0,5 1,0
1 5,8 - 22% 0%
2 0,7 - 35% 13%
3 0,68 - 70% 41%
4 0,69 - 41% 18%
5 0,98 - 62% 20%
6 0,88 - 42% 19%
7 0,96 - 61% 75%
Teste 3
1,0 0,5
1 0,75 - 24% 10%
2 0,81 - 15% 20%
3 0,53 - 30% 13%
4 0,67 3,14 4% 10%
5 0,55 - 12% 12%
6 1,66 - 25% 10%
7 0,71 - 14% 20%
72
Figura 7.8 – Resposta do sistema sob ação do controlador GPC adaptativo – Elo Z teste 1
Figura 7.9 – Resposta do sistema sob ação do controlador GPC adaptativo – Elo Z teste 2
73
Figura 7.10 – Resposta do sistema sob ação do controlador GPC adaptativo – Elo Z teste 3
Em vista dos resultados obtidos, temos que os melhores resultados entre os
listados anteriormente para todos os elos ocorreram quando λ = 1 e ρ = 0,5, assim foram
realizados outros testes com combinações de λ e ρ, de forma que λ fosse maior do que ρ,
visto que essa condição se mostrou a mais satisfatória na maioria dos testes experimentais
para todos os três elos.
Entre os testes realizados, os melhores valores para os parâmetros dos
controladores foram os dados na Eq.(7.15), cujas respostas estão nas figuras a seguir.
=ρ
=λ
=ρ
=λ
=ρ
=λ
4,0
7,1
5,0
7,2
4,0
6,2
gpcZ
gpcZ
gpcY
gpcY
gpcX
gpcX
(7.15)
74
Figura 7.11 – Resposta do elo X para o GPC adaptativo com os melhores parâmetros
Figura 7.12 – Resposta do elo Y para o GPC adaptativo com os melhores parâmetros
75
Figura 7.13 – Resposta do elo Z para o GPC adaptativo com os melhores parâmetros
Os parâmetros em todos os experimentos convergiram para valores relativamente
próximos. Para os melhores resultados, o comportamento dos parâmetros pode ser visto na
Fig. (7.14), em que os parâmetros convergiram para os valores da Eq. (7.16), Eq. (7.17) e
Eq. (7.18).
76
Figura 7.14 – Evolução dos parâmetros dos modelos das funções estimadas para o GPC
adaptativo com os melhores parâmetros
−
=
5,0
15,0
23,0
23,1
b
b
a
a
X1
X0
X2
X1
(7.16)
−
=
01,0
72,0
68,0
66,1
b
b
a
a
Y1
Y0
Y2
Y1
(7.17)
−
=
64,0
02,0
18,0
17,1
b
b
a
a
Z1
Z0
Z2
Z1
(7.18)
Como apresentado na Eq. (4.23), transcrita a seguir, a estimação dos parâmetros
está diretamente relacionada ao erro de estimação, assim, quando o mesmo vai diminuindo,
77
os mesmos tendem a se estabilizar, como apresentado na Fig. (7.14). A seguir na Fig.
(7.15) temos, para o mesmo teste, que o erro de estimação vai tendendo a valores próximos
de zero, justificando a convergência dos parâmetros.
( ) ( ) ( ) ( )1ke1kKk1k +⋅++θ=+θ∧∧
Figura 7.15 – Erro em Volts entre a resposta experimental e a estimada para o GPC
adaptativo com os melhores parâmetros
Nos gráficos das respostas de cada elo, Fig. (7.11), Fig. (7.12) e Fig.(7.13), é
possível observar que os resultados melhoraram, entretanto continuam a não satisfazer os
critérios de desempenho desejado, visto que o erro de regime permanente ultrapassa a
margem dos ±5%, além de que a maioria dos sobre-sinais ultrapassa a margem desejada de
20%.
Para essas condições foram observadas grandes oscilações da variável de controle,
como apresentada na Fig. (7.16).
78
Figura 7.16 – Comportamento das variáveis de controle em Volts para o GPC adaptativo
com os melhores parâmetros
7.3 GPC ADAPTATIVO COM RESTRIÇÃO FORTEMENTE ATIVA E COM
RESTRIÇÃO FRACAMENTE ATIVA
Devido ao funcionamento oscilatório da variável de controle apresentado na Fig.
(7.16), que apresenta um dos melhores resultados obtidos experimentalmente, foi
procurada uma solução para esse controlador no sistema em questão.
Uma solução possível é restringir a variável de controle quando a resposta do
sistema se aproxima do set-point, tal técnica foi descrita na seção (6.6).
Nesse sistema, em que o sinal de excitação está representado pela linha vermelha
na Fig. (7.17), foi observado que estando o pistão em uma posição inferior a da referência,
conforme áreas rosas na Fig. (7.17), o atuador precisa avançar o pistão para alcançar a
referência, porém com menor intensidade, requerendo um truncamento nesse trabalho de
(2,5 + 0,024)V.
79
Enquanto que estando o pistão em uma posição superior a da referência, conforme
áreas azuis na Fig. (7.17), o atuador precisa recuar o pistão para alcançar a referência,
analogamente, requerendo um truncamento nesse trabalho de (2,5 – 0,024)V.
A área verde da Fig. (7.17) está distante da condição de set-point, não requerendo
restrição da variável de controle. Nesse trabalho foi considerada uma margem de 0,2V em
torno do set-point, cujas relações com o posicionamento podem ser obtidas pelas Eq. (3.1),
Eq. (3.2) e Eq. (3.3).
Figura 7.17 – Áreas de atuação da restrição das variáveis de controle em torno do set-point
Por não ser aplicada em todos os pontos de operação, essa restrição é tida como
fracamente ativa por aproximação do set-point, a rotina completa para o GPC adaptativo
com restrição na variável de controle se encontra no Apêndice E.
80
7.3.1 Resultados obtidos com o GPC adaptativo com restrição fortemente ativa e com
restrição fracamente ativa
Partindo da melhor solução obtida sem a restrição da variável de controle, obtida
para os parâmetros da função custo do GPC da Eq. (7.15), temos os resultados
apresentados na Fig. (7.18), na Fig. (7.19) e na Fig. (7.20).
Figura 7.18 – Resposta do elo X para o GPC adaptativo com os melhores parâmetros com
restrição na variável de controle ux
81
Figura 7.19 – Resposta do elo Y para o GPC adaptativo com os melhores parâmetros com
restrição na variável de controle uy
Figura 7.20 – Resposta do elo Z para o GPC adaptativo com os melhores parâmetros com
restrição na variável de controle uz
82
Para o elo X, a condição de sobre-sinal menor que 20% foi satisfeita, enquanto
que a condição de erro de regime permanente em alguns pontos não foi satisfeita. Para os
elos Y e Z nenhuma das condições foi satisfeita, exceto por alguns pulsos. Entretanto o
controlador melhorou significativamente com a inclusão da restrição por set-point. Segue
na Fig. (7.21) o comportamento da variável de controle, que apresentou uma oscilação de
menor amplitude devido à restrição.
Figura 7.21 – Comportamento das variáveis de controle em Volts para o GPC adaptativo
com os melhores parâmetros com restrição das mesmas
Foram também obtidos os comportamentos dos parâmetros e do erro de
estimação, respectivamente Fig. (7.22) e Fig. (7.23).
83
Figura 7.22 – Evolução dos parâmetros dos modelos das funções estimadas para o GPC
adaptativo com os melhores parâmetros com restrição das variáveis de controle
Figura 7.23 – Erro em Volts entre a resposta experimental e a estimada para o GPC
adaptativo com os melhores parâmetros com restrição das variáveis de controle
84
7.4 GPC HÍBRIDO (PD + GPC)
Segundo CORREIA (2010) um mecanismo de controle adaptativo deve incluir
amostras da saída do sistema e do sinal de controle, além de atualizar parâmetros do
controlador de modo a garantir o seguimento de referência. Neste sentido, pode-se
imaginar a existência de outro sinal de controle que possa coexistir com o sinal do GPC
calculado. Esta idéia se fundamenta no princípio da hibridização de controladores, em que
dois tipos de controladores são combinados para produzir um único sinal de controle.
A saída de qualquer sistema apresenta uma inércia com relação a modificações na
variável de entrada. Essa inércia faz com que uma mudança na variável de controle
provoque uma mudança na saída do sistema somente após certo intervalo de tempo,
podendo esse atraso gerar transitórios com grande amplitude e período de oscilação.
Sabendo que a principal função do compensador avanço de fase é reconfigurar a
curva de resposta em freqüência para conseguir um ângulo de avanço de fase suficiente
para compensar o atraso de fase excessivo associado aos componentes de um sistema
(OGATA, 200%). E supondo a possibilidade das oscilações do GPC adaptativo serem
devidas a inércia do sistema, foi projetado um compensador em avanço para atuar em
conjunto ao GPC adaptativo. Esse compensador foi o controlador Proporcional-Derivativo
(PD), resultando no diagrama de blocos da Fig. (7.24).
Figura 7.24 – Diagrama de blocos do GPC híbrido (PD + GPC adaptativo)
85
A escolha do PD foi devido ao fato do mesmo funcionar como um "antecipador"
da ação de controle e, consequentemente, do sistema reagir mais rapidamente. Assim, o
sinal de controle a ser aplicado é proporcional a uma predição da saída do sistema, Fig.
(7.25). Esta ação preditiva a princípio tende a aumentar a estabilidade relativa do sistema e
a tornar a resposta transitória mais rápida.
Figura 7.25 – Interpretação Gráfica do controlador PD
A lei de controle para o PD discreto é dada na Eq. (7.18).
( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ } ( ) ( ) ( )[ ]1kekeTKkeK1kekeTkeKku dppdppd −−⋅⋅+⋅=−−⋅+⋅= (7.19)
Observar que a lei de controle do GPC adaptativo não será alterada, tendo suas
equações que utilizam a variável de controle apenas influência da própria variável de
controle gerada pelo GPC adaptativo, não da soma resultante dos dois controladores (PD +
GPC adaptativo), como é possível observar na rotina do Apêndice F.
7.4.1 Resultados obtidos com o GPC híbrido (PD + GPC adaptativo)
Partindo da solução para os parâmetros da função custo do GPC da Eq. (7.15) e
após testes com várias combinações para os Kp’s e os Td’s do PD discreto, foi obtido com
os GPC híbridos as respostas dos elos X, Y e Z, respectivamente apresentadas na Fig.
(7.26), na Fig. (7.27) e na Fig. (7.28), em que os parâmetros do PD com os melhores
resultados obtidos estão expostos na Eq. (7.20), observar que o tempo derivativo (Td) é o
intervalo de tempo pelo qual a ação derivativa avança o efeito da ação proporcional.
86
=
==
==
=
005,1T
3,0K
2,1T
3,0K
1T
3,0K
dZ
Z2p
dY
Y2p
dX
X2p
(7.20)
Figura 7.26 – Resposta do elo X para o GPC adaptativo híbrido com os melhores
parâmetros
87
Figura 7.27 – Resposta do elo Y para o GPC adaptativo híbrido com os melhores
parâmetros
Figura 7.28 – Resposta do elo Z para o GPC adaptativo híbrido com os melhores
parâmetros
88
Para o elo X, a condição de sobre-sinal menor que 20% foi satisfeita, enquanto
que a condição de erro de regime permanente em alguns pontos não foi satisfeita. Para os
elos Y e Z nenhuma das condições foi satisfeita, exceto por alguns pulsos. Entretanto o
controlador melhorou significativamente com a inclusão do PD. Segue na Fig. (7.29) o
comportamento da variável de controle.
Figura 7.29 – Comportamento das variáveis de controle em Volts para o GPC adaptativo
híbrido com os melhores parâmetros
Foram também obtidos os comportamentos dos parâmetros e do erro de
estimação, respectivamente Fig. (7.30) e Fig. (7.31).
89
Figura 7.30 – Evolução dos parâmetros dos modelos das funções estimadas para o GPC
adaptativo híbrido com os melhores parâmetros
Figura 7.31 – Erro em Volts entre a resposta experimental e a estimada para o GPC
adaptativo híbrido com os melhores parâmetros
90
7.5 RESPOSTAS DO SISTEMA SOB AÇÃO DOS CONTROLADORES
Foram sobrepostos os gráficos obtidos para as respostas das três variações de GPC
projetados nesse trabalho, com o objetivo de facilitar a comparação de desempenho do
sistema sob ação dos mesmos. A Fig. (7.32), Fig. (7.33) e Fig. (7.34) apresentam as
respostas sobrepostas para os elos, X, Y e Z, respectivamente.
Figura 7.32 – Respostas sobrepostas do elo X para o GPC adaptativo e suas variações com
seus melhores parâmetros
91
Figura 7.33 – Respostas sobrepostas do elo Y para o GPC adaptativo e suas variações com
seus melhores parâmetros
Figura 7.34 – Respostas sobrepostas do elo Z para o GPC adaptativo e suas variações com
seus melhores parâmetros
92
7.6 ESFORÇO DA VARIÁVEL DE CONTROLE
Um fator que foi analisado em todos os experimentos expostos nesse capítulo foi
o esforço médio da variável de controle, Eq. (7.21). Este fator indica o valor médio do
quadrado da variável de controle “u”. De uma forma geral, quanto menor o seu valor,
melhor é o desempenho do sistema.
( )
N
ku
Esforço
N
1k
2
MédioU
∑== (7.21)
Na Tab. (7.4) são apresentados os valores para cada elo nos experimentos
realizados anteriormente para o GPC adaptativo, GPC adaptativo com restrição em torno
do set-point e GPC híbrido, para os parâmetros da função custo do GPC dados na Eq.
(7.15).
Tabela 7.4 – Esforço médio da variável de controle para cada elo do robô manipulador
Elo X Elo Y Elo Z
GPC adaptativo 0,01363460 V2 0,00931446 V2 0,02288360 V2
GPC adaptativo com restrição de u 0,00375111 V2 0,00506663 V2 0,00500708 V2
GPC híbrido 0,00466070 V2 0,00515047 V2 0,00507018 V2
7.7 CONCLUSÃO
Nesse capítulo foi apresentado as etapas experimentais da implementação do
controlador adaptativo preditivo desenvolvido para os três elos do robô manipulador,
mostrando gráficos de respostas no tempo, além de serem desenvolvidos variações do
controlador GPC, uma adicionando restrições, outra somando ao mesmo uma ação
proporcional-derivativa. Também foram apresentados gráficos de evolução dos parâmetros
do sistema, de erro de estimação entre a resposta experimental e a estimada,
comportamentos e esforços médios das variáveis de controle.
CAPÍTULO 8
-
CONCLUSÕES E CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este trabalho teve como objetivo apresentar o projeto de controladores adaptativos
para o posicionamento dos três elos de um robô manipulador eletropneumático.
No projeto do controlador para o sistema, foi considerado a independência de
cada um dos três controladores, como três sistemas SISO (Simple Input, Simple Output),
assim o erro do sistema foi considerado independente em cada elo, não levando em
consideração a soma dos vetores i, j e k para os respectivos elos.
A modelagem do sistema foi feita de forma empírica, utilizando o método dos
mínimos quadrados recursivo para um modelo paramétrico obtido em SOUZA (2010) e
MEIRA (2010), que possui dois pólos, um zero e um atraso de transporte.
O controlador adaptativo desenvolvido para o sistema foi o GPC, além de suas
variações, GPC com restrição da variável de controle e GPC híbrido. As especificações de
desempenho exigidas para o sistema foram, quanto ao sobre-sinal e ao erro de regime
permanente, 20% e ±5%, respectivamente.
Para o controlador GPC adaptativo a especificação de sobre-sinal, para os três
elos, foi atendida na maioria dos experimentos realizados, entretanto a condição de erro em
regime permanente não foi atendida para os três elos em quase nenhum pulso dos
experimentos.
Com os resultados não satisfatórios com o uso do controlador GPC adaptativo
diante de trabalhos com outros controladores para o mesmo sistema (SOUZA, 2010,
MEIRA 2010), foram buscadas alternativas para melhorar seu desempenho.
Como foi observada uma grande oscilação da variável de controle do GPC
adaptativo em torno da referência, foi realizada uma restrição do tipo terminal
(aproximação da referência) como primeira alternativa.
94
Uma segunda alternativa foi justificada pelas oscilações da resposta do sistema
serem, possivelmente, devido a inércia do sistema. Sendo então proposto a adição de um
controlador proporcional derivativo à ação do GPC adaptativo.
As duas alternativas apresentaram uma melhora no comportamento, apresentando
uma resposta oscilatória com menor amplitude e freqüência, como é possível observar nas
curvas de respostas sobrepostas da Fig. (7.31), Fig. (7.32) e Fig. (7.34).
Ao comparar as duas alternativas, os resultados para as respostas foram similares
para os elos X e Z, enquanto para o elo Y a resposta para o GPC restrito foi mais adequada
que a do GPC híbrido, uma vez que o último apresentou elevados picos durante recuos da
referência. Somado a isso, os valores obtidos para os esforços médios das variáveis de
controle apresentados na Tab. (7.4) e os obtidos para os erros de estimação atribuíram os
melhores resultados para o GPC restrito. Entretanto analisando o comportamento das
variáveis de controle, o GPC híbrido apresentou uma resposta mais condizente com o
esperado, pois é oscilatória em todos os pontos, diferentemente do GPC com restrição, que
apresentou apenas curvas saturadas em sua limitação.
Uma outra característica identificada para o GPC adaptativo foi que a variável de
controle deveria possuir menor ponderação sobre o erro, ou seja, o parâmetro “ρ”, da sua
lei de controle, deveria ser menor que o “λ”, pois os resultados apresentaram respostas com
oscilações de menores freqüências.
A inclusão do fator de esquecimento do estimador MQR não apresentou melhoras
significativas na resposta do sistema, pois o sistema não sofre grandes variações sobre o
período de tempo analisado.
Os sistemas pneumáticos possuem as seguintes vantagens: facilidade de obtenção
(volume ilimitado), não apresenta riscos de faísca em atmosfera explosiva, fácil
armazenamento e transporte, matéria prima não poluente, entre outras.
Entretanto, todos os sistemas pneumáticos sofrem de uma limitação severa,
caracterizada pela compressibilidade do ar. Esse efeito é não-linear e apresenta
conseqüências significativas sobre o desempenho desses sistemas, particularmente no que
concerne seu grau de precisão em tarefas de posicionamento. (SOBRINHO, 2009). Além
disso, a fonte de ar comprimido não ideal, vazamentos em diversos pontos do sistema
(bocais, orifícios, válvulas), atrito dos elos, resistência do ar, influência da gravidade,
vibrações devido a não simetria dos elos, desconsideração das massas sobre os elos,
95
corrente de ar nas tubulações não laminar, baixo poder de processamento do PC, são
algumas das possíveis causas para o difícil controle do sistema.
Como sugestões para trabalhos futuros estão: análise da influência de uma carga
no sistema, desenvolvimento de um sistema de controle para pressão da fonte de ar não
ideal, análise quantitativa do efeito da pressão de alimentação no sistema, utilização de um
modelo para o sistema de ordem superior, além de variações de controladores adaptativos e
preditivos.
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APÊNDICE A
–
FATOR DE ESQUECIMENTO
Como o algoritmo do MQR trabalha com valores passados de forma recursiva e se
os dados forem adequados para a identificação, o ganho do estimador (K) tende a zero,
tendo em vista que o mesmo é calculado a partir do erro que tem média nula. Assim, as
estimativas tendem a se tornar constantes e, consequentemente, se o sistema sofrer alguma
alteração, será necessário um tempo elevado para que as estimativas convirjam para o novo
valor, dizendo então que o algoritmo adormeceu.
Assim, para um algoritmo de capacidade de adaptação mínima é atribuído um
peso maior às novas medidas, esse peso é denominado fator de esquecimento, como o
nome sugere, ele dar menor ênfase aos valores de medidas mais ultrapassadas.
O valor do fator de esquecimento tem de estar entre zero e um, tendo em vista o
funcional de custo, Eq. (A.1), pois valores mais passados do erro recebem uma
exponencial maior na ponderação e, consequentemente, uma menor ponderação, ou seja, as
medidas velhas são exponencialmente “esquecidas”.
( ) ( ) ( )[ ]{ } ( ) ( )[ ]∑∑=
−
=
− ⋅λ=θ⋅ϕ−⋅λ=N
1t
2tNe
N
1t
2TtNemqr tettyJ (A.1)
Assim, partindo do algoritmo do MQR sem fator de esquecimento e adicionando
o mesmo, é obtido um algoritmo mais adequado a sistemas variantes no tempo.
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
⋅+ϕ⋅+−⋅λ
=+
+⋅++θ=+θ
+ϕ⋅⋅+ϕ+λ+ϕ⋅=+
θ⋅+ϕ−+=+
∧∧
∧
kP1k1kKkP1
1kP
1ke1kKk1k
1kkP1k
1kkP1kK
k1k1kY1ke
T
e
Te
T
(A.2)
APÊNDICE B
–
EQUAÇÃO DIOFANTINA
O termo “diofantina” é uma homenagem ao grego Diofante, que por volta de
250d.C. realizou um estudo sistemático de soluções de equações com coeficientes e
incógnitas inteiras.
Segundo SILVA (2004, apud KUCERA, 1979), essa terminologia foi estendida
para equações polinomiais, devido ao fato que, sob o ponto de vista da álgebra abstrata, os
inteiros e polinômios são “entidades” semelhantes, além de que as equações diofantinas
polinomiais lineares são dadas na forma da Eq. (B.1), em que A(z – 1), B(z – 1) e C(z – 1) são
polinômios conhecidos em z – 1, enquanto R(z – 1) e F(z – 1) são suas incógnitas também na
forma polinomial.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )11111 zCzFzBzRzA −−−−− =⋅+⋅ (B.1)
Nesse trabalho é utilizado um caso específico da Eq. (B.1), que é dado na Eq.
(B.2).
( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( ) 1zFzzRzA
1zC
zzB
zAzAzA1i11
~
1
11
1~
11
=⋅+⋅→
=
=
=⋅∆=−−−−
−
−−
−−−
(B.2)
Como no problema tratado nesse trabalho, A(z – 1) é um polinômio mônico
(coeficiente unitário para o termo de maior potência), sendo Ã(z – 1) mônico também.
Assim, reescrevendo a Eq. (B.2) na forma da Eq. (B.3), a solução analítica é dada na Tab.
(B.1).
105
( )( ) ( )
( )1~
1i1
1~
zA
zFzzR
zA
1
−
−−−
−⋅+= (B.3)
Tabela B.1 – Solução Analítica da Equação Diofantina
Passo Resultado
1
Solução analítica é na forma:
( )
( )
( )1i
1
1i
1~
zFz
zR
zA1
−−
−
−
⋅
M
2
Sabendo que:
( )( )
( )[ ]( ) ( )
( ) ( )( )
⋅++⋅+=
⋅++⋅+=
⋅++⋅+⋅=⋅
+−−−
−−−−
−−−−−−
+
−
1n~
1~
1~
1i11
1n1i1i
a1an1
nai,i,1i
a
1ii,i,1i,0i
za...za1zA
zr...zr1zR
zf...zffzzFz
3
Substituindo:
( )( )
( )
( )
−⋅−−−⋅
+⋅+
⋅++⋅−
⋅++⋅+
−−
−−−
+−−
+
+
+
...za...az
...za1za...az
za...za11
a1an1
1a
1an1
a1an1
n~~
i
1~
n~~
1
1n~
1~
M
4
Observar:
A solução de R e de F vai depender da ordem desejada para o
polinômio R, ou seja, do valor de i, entretanto a ordem de F sempre
será a mesma do polinômio A.
APÊNDICE C
–
GRADIENTE DA FUNÇÃO CUSTO DO GPC
Em engenharia, um fator importante é a análise de custo do projeto desde sua
concepção a sua aplicação, sempre existindo a necessidade de minimizar as perdas em
todas as etapas. Essas perdas podem ser de matéria prima, energia, entre outras.
Sendo conhecida a função de perdas de um sistema, é possível calcular as
condições que a minimizam, bastando encontrar seus pontos críticos (pontos onde a
derivada é nula). Assim, aplicando o operador diferencial e igualando a zero, encontra-se
os possíveis pontos que minimizam a função.
Nesse trabalho, a função a ser minimizada possui mais de uma variável de
entrada, sendo mais adequado aplicar o operador gradiente, que resulta em um vetor com o
mínimo da função em relação a cada uma das variáveis, como apresentada na Eq. (C.1),
em que f é uma função de xf, yf e zf.
( )
∂∂
∂∂
∂∂=
→
fff z,
y,
xgrad
ffff (C.1)
Entretanto, é desejado saber apenas o valor da variável de controle (u) que
minimiza a função custo do sistema, Eq. (5.14).
( ) ( ) uurfuGrfuG ⋅⋅λ+−+⋅⋅−+⋅⋅ρ= TTJ (5.14)
Na equação reescrita anteriormente, é aplicado o operador diferencial com relação
à variável de controle (u), fazendo algumas manipulações, é obtida a lei de controle da Eq.
(5.15).
0u
J =∂∂
107
( ) ( )[ ] 0u
T =⋅⋅λ+−+⋅⋅−+⋅⋅ρ∂∂
uurfuGrfuG T
( ) ( )[ ] [ ] 0uu
T =⋅∂∂⋅λ+−+⋅⋅−+⋅
∂∂⋅ρ uurfuGrfuG T
( ) ( )[ ] [ ] 0TT =+⋅λ+⋅−+⋅+−+⋅⋅⋅ρ uuGrfuGrfuGG T
( ) ( ) 0uuGrfuGrfuGG =⋅λ+⋅λ+⋅−+⋅⋅ρ+−+⋅⋅⋅ρ TTT
Sabendo que:
( )TauxTauxaux
Taux ABBA ⋅=⋅ (C.2)
( )Tauxaux
Taux
Taux BABA +=+ (C.3)
Baseada na relação da Eq. (C.2), obtemos:
( ) ( )[ ] 0uurfuGGrfuGG =⋅λ+⋅λ+−+⋅⋅⋅ρ+−+⋅⋅⋅ρ TTTT
Utilizando a relação da Eq. (C.3), temos:
( )[ ] ( )[ ] 0urfuGGurfuGG =⋅λ+−+⋅⋅⋅ρ+⋅λ+−+⋅⋅⋅ρTTT
Fazendo ( ) urfuGGM ⋅λ+−+⋅⋅⋅ρ= T , a condição a seguir deve ser satisfeita:
TT MM 0MM −=→=+
A única solução possível é M ser uma matriz nula, como mostrado a seguir:
108
=
−=
→
=
=
000
000
000
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
jii2i1
2j2212
1j2211
ij2i1i
j22221
j11211
jii2i1
2j2212
1j2211
T
ij2i1i
j22221
j11211
L
MMM
L
L
L
MMM
L
L
L
MMM
L
L
L
MMM
L
L
L
MMM
L
L
M
M
Assim:
( ) 0urfuGGM =⋅λ+−+⋅⋅⋅ρ= T
( ) 0urfGuGG =⋅λ+−⋅⋅ρ+⋅⋅⋅ρ TT
( ) ( )rfGuIGG −⋅⋅ρ−=⋅⋅λ+⋅⋅ρ TT
( ) ( )frGIGGu −⋅⋅ρ⋅⋅λ+⋅⋅ρ=− TT 1 (5.15)
APÊNDICE D
–
ROTINA PARA O CONTROLADOR ADAPTATIVO
A seguir a rotina desenvolvida para MatLab®, observar que algumas variáveis de
entrada e saída são provenientes do ambiente LabView®, conforme Tab. (D.1) e Tab.
(D.2), em que a rotina se encontra dentro de um laço (loop).
%%% Indentificador MQR % Vetor de medida: 4x1 fix = [-x1; -x2; ux1; ux2]; fiy = [-y1; -y2; uy1; uy2]; fiz = [-z1; -z2; uz1; uz2]; % Calculo do erro: 1x1 Xest = tetax*fix; Yest = tetay*fiy; Zest = tetaz*fiz; errox = x - Xest; erroy = y - Yest; erroz = z - Zest; % Vetor ganho: 4x1 kx = px*fix/(lambbx + fix'*px*fix); ky = py*fiy/(lambby + fiy'*py*fiy); kz = pz*fiz/(lambbz + fiz'*pz*fiz); % Parametros estimados: 4x1 tetax = tetax' + kx*errox; tetay = tetay' + ky*erroy; tetaz = tetaz' + kz*erroz; % Matriz de covariancia: 4x4 px = 1/lambbx*(px - kx*fix'*px); py = 1/lambby*(py - ky*fiy'*py); pz = 1/lambbz*(pz - kz*fiz'*pz);
110
% Parametros estimados: 1x4 tetax = tetax'; tetay = tetay'; tetaz = tetaz'; if i <= TP %%% Controlador P ux = kpx*ex; uy = kpy*ey; uz = kpz*ez; else %%% Controle GPC %matriz identidade auxiliar I = [1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]; %Vetor f(k+i) = Fi0*y(k) + Fi1*y(k-1) + Fi2*y(k-2) + Fi3*u(k-1) + Fi4*u(k-2) F10x = (1-a1x); F11x = (a1x-a2x); F12x = a2x; F13x = b1x; F14x = -b1x; F10y = (1-a1y); F11y = (a1y-a2y); F12y = a2y; F13y = b1y; F14y = -b1y; F10z = (1-a1z); F11z = (a1z-a2z); F12z = a2z; F13z = b1z; F14z = -b1z; F20x = F11x + F10x*F10x; F21x = F12x + F11x*F10x; F22x = F12x*F10x; F23x = b1x*F10x; F24x = -b1x*F10x; F20y = F11y + F10y*F10y; F21y = F12y + F11y*F10y; F22y = F12y*F10y; F23y = b1y*F10y; F24y = -b1y*F10y;
111
F20z = F11z + F10z*F10z; F21z = F12z + F11z*F10z; F22z = F12z*F10z; F23z = b1z*F10z; F24z = -b1z*F10z; F30x = F21x + F10x*F20x; F31x = F22x + F11x*F20x; F32x = F12x*F20x; F33x = b1x*F20x; F34x = -b1x*F20x; F30y = F21y + F10y*F20y; F31y = F22y + F11y*F20y; F32y = F12y*F20y; F33y = b1y*F20y; F34y = -b1y*F20y; F30z = F21z + F10z*F20z; F31z = F22z + F11z*F20z; F32z = F12z*F20z; F33z = b1z*F20z; F34z = -b1z*F20z; %Matriz G Gx=[b0x 0 0;(b1x+F10x*b0x) b0x 0;(F20x*b0x+F10x*b1x) (b1x+F10x*b0x) b0x]; Gy=[b0y 0 0;(b1y+F10y*b0y) b0y 0;(F20y*b0y+F10y*b1y) (b1y+F10y*b0y) b0y]; Gz=[b0z 0 0;(b1z+F10z*b0z) b0z 0;(F20z*b0z+F10z*b1z) (b1z+F10z*b0z) b0z]; %P=(beta*G'*G+lamb*I)^(-1)*beta*G'=[p11 p12 p13; p21 p22 p23; p31 p32 p33] PPx = ((betax*Gx'*Gx + lambx*I)^(-1))*betax*Gx'; p11x = PPx(1,1); p12x = PPx(1,2); p13x = PPx(1,3); p21x = PPx(2,1); p22x = PPx(2,2); p23x = PPx(2,3); p31x = PPx(3,1); p32x = PPx(3,2); p33x = PPx(3,3); PPy = ((betay*Gy'*Gy + lamby*I)^(-1))*betay*Gy'; p11y = PPy(1,1); p12y = PPy(1,2); p13y = PPy(1,3); p21y = PPy(2,1); p22y = PPy(2,2); p23y = PPy(2,3); p31y = PPy(3,1); p32y = PPy(3,2); p33y = PPy(3,3); PPz = ((betaz*Gz'*Gz + lambz*I)^(-1))*betaz*Gz'; p11z = PPz(1,1); p12z = PPz(1,2); p13z = PPz(1,3); p21z = PPz(2,1); p22z = PPz(2,2); p23z = PPz(2,3); p31z = PPz(3,1); p32z = PPz(3,2); p33z = PPz(3,3);
112
%Predicao w1x = wx; w1y = wy; w1z = wz; w2x = wx; w2y = wy; w2z = wz; w3x = wx; w3y = wy; w3z = wz; %Termos LeiControle: u = L1*y(k)+L2*y(k-1)+L3*y(k-2)+L4*u(k-1)+L5*u(k-2)+L6 L1x = -(F10x*p11x + F20x*p12x + F30x*p13x); L2x = -(F11x*p11x + F21x*p12x + F31x*p13x); L3x = -(F12x*p11x + F22x*p12x + F32x*p13x); L4x = 1 - (F13x*p11x + F23x*p12x + F33x*p13x); L5x = -(F14x*p11x + F24x*p12x + F34x*p13x); L6x = (p11x*w1x + p12x*w2x + p13x*w3x); L1y = -(F10y*p11y + F20y*p12y + F30y*p13y); L2y = -(F11y*p11y + F21y*p12y + F31y*p13y); L3y = -(F12y*p11y + F22y*p12y + F32y*p13y); L4y = 1 -(F13y*p11y + F23y*p12y + F33y*p13y); L5y = -(F14y*p11y + F24y*p12y + F34y*p13y); L6y = (p11y*w1y + p12y*w2y + p13y*w3y); L1z = -(F10z*p11z + F20z*p12z + F30z*p13z); L2z = -(F11z*p11z + F21z*p12z + F31z*p13z); L3z = -(F12z*p11z + F22z*p12z + F32z*p13z); L4z = 1 -(F13z*p11z + F23z*p12z + F33z*p13z); L5z = -(F14z*p11z + F24z*p12z + F34z*p13z); L6z = (p11z*w1z + p12z*w2z + p13z*w3z); %Lei de controle final ux = (L4x*ux1 + L5x*ux2 + L1x*x + L2x*x1 + L3x*x2 + L6x); uy = (L4y*uy1 + L5y*uy2 + L1y*y + L2y*y1 + L3y*y2 + L6y); uz = (L4z*uz1 + L5z*uz2 + L1z*z + L2z*z1 + L3z*z2 + L6z); end
113
Tabela D.1 – Variáveis de entrada do bloco do MatLab® no laço do LabView® (GPC
adaptativo)
Nome das Entradas Significado
i Contador de amostras.
TP Número de amostras em que o controlador proporcional
inicial atua.
kpx, kpy, kpz Ganhos proporcionais relativos aos controladores
proporcionais iniciais.
x, y, z Posições dos elos medidas pelas réguas potenciométricas
no tempo amostrado (k).
x1, y1, z1 Posições dos elos medidas pelas réguas potenciométricas
no tempo amostrado (k – 1).
x2, y2, z2 Posições dos elos medidas pelas réguas potenciométricas
no tempo amostrado (k – 2).
wx, wy, wz Referências no tempo amostrado (k).
wx1, wy1, wz1 Referências no tempo amostrado (k – 1).
ex, ey, ez Erros entre posição medida e referência.
ux1, uy1, uz1 Variáveis de controle no tempo amostrado (k – 1).
ux2, uy2, uz2 Variáveis de controle no tempo amostrado (k – 2).
px, py, pz Matriz de covariância.
tetax, tetay, tetaz Vetor de parâmetros de cada elo.
lambbx, lambby, lambbz Fatores de esquecimento relacionado a cada elo.
lambx, lamby, lambz Ponderadores da variável de controle da função custo do
GPC.
betax, betay, betaz Ponderadores do erro da função custo do GPC.
114
Tabela D.2 – Variáveis de saída do bloco do MatLab® no laço do LabView® (GPC
adaptativo)
Nome das Saídas Significado
i Contador de amostras.
x, y, z Posições dos elos medidas pelas réguas potenciométricas
no tempo amostrado (k).
Xest, Yest, Zest Posições estimadas dos elos no tempo amostrado (k).
wx, wy, wz Referências no tempo amostrado (k).
errox, erroy, erroz Erro de estimação.
ux, uy, uz Variáveis de controle no tempo amostrado (k).
px, py, pz Matriz de covariância.
tetax, tetay, tetaz Vetor de parâmetros de cada elo.
APÊNDICE E
–
ROTINA PARA O CONTROLADOR GPC ADAPTATIVO
ADICIONADO DE RESTRIÇÃO DA VARIÁVEL DE CONTROLE
A rotina desenvolvida para MatLab® adicionando a restrição da variável de
controle foi análoga a rotina do Apêndice D, substituindo as últimas linhas (a partir do
comentário “Lei de controle final”) pela rotina a seguir, observar que as variáveis de
entrada e saída se mantiveram as mesmas da Tab. (D.1) e Tab. (D.2).
%Lei de controle final uux = (L4x*ux1 + L5x*ux2 + L1x*x + L2x*x1 + L3x*x2 + L6x); uuy = (L4y*uy1 + L5y*uy2 + L1y*y + L2y*y1 + L3y*y2 + L6y); uuz = (L4z*uz1 + L5z*uz2 + L1z*z + L2z*z1 + L3z*z2 + L6z); if ((x>=wx-0.2)&(x<=wx+0.2)&(abs(uux)>0.025)) if (x<wx) ux = 0.024; else ux = -0.024; end else ux = uux; end if ((y>=wy-0.2)&(y<=wy+0.2)&(abs(uuy)>0.025)) if (y<wy) uy = 0.024; else uy = -0.024; end else uy = uuy; end
116
if ((z>=wz-0.2)&(z<=wz+0.2)&(abs(uuz)>0.025)) if (z<wz) uz = 0.024; else uz = -0.024; end else uz = uuz; end end
APÊNDICE F
–
ROTINA PARA O CONTROLADOR GPC ADAPTATIVO HÍBRIDO
(PD + GPC ADAPTATIVO)
A rotina desenvolvida para MatLab® adicionando a ação preditiva-derivativa foi
análoga a rotina do Apêndice D, substituindo as últimas linhas (a partir do comentário “Lei
de controle final”) pela rotina a seguir, observar que foram adicionadas novas variáveis de
entrada e saída conforme Tab. (F.1) e Tab. (F.2).
%Lei de controle final (ux1 e ux2 devem ser sem ser somados com upd) uux = (L4x*ux1 + L5x*ux2 + L1x*x + L2x*x1 + L3x*x2 + L6x); uuy = (L4y*uy1 + L5y*uy2 + L1y*y + L2y*y1 + L3y*y2 + L6y); uuz = (L4z*uz1 + L5z*uz2 + L1z*z + L2z*z1 + L3z*z2 + L6z); uxpd = kp2x*ex + kdx*(ex-ex1); uypd = kp2y*ey + kdy*(ey-ey1); uzpd = kp2z*ez + kdz*(ez-ez1); ux = uux+uxpd; uy = uuy+uypd; uz = uuz+uzpd; end
118
Tabela F.1 – Variáveis de entrada do bloco do MatLab® no laço do LabView® (PD +
GPC adaptativo)
Nome das Entradas Significado
i Contador de amostras.
TP Número de amostras em que o controlador proporcional
inicial atua.
kpx, kpy, kpz Ganhos proporcionais relativos aos controladores
proporcionais iniciais.
kp2x, kp2y, kp2z Ganhos proporcionais relativos ao PD.
kdx, kdy, kdz Ganhos derivativos relativos PD.
x, y, z Posições dos elos medidas pelas réguas potenciométricas
no tempo amostrado (k).
x1, y1, z1 Posições dos elos medidas pelas réguas potenciométricas
no tempo amostrado (k – 1).
x2, y2, z2 Posições dos elos medidas pelas réguas potenciométricas
no tempo amostrado (k – 2).
wx, wy, wz Referências no tempo amostrado (k).
wx1, wy1, wz1 Referências no tempo amostrado (k – 1).
ex, ey, ez Erros entre posição medida e referência no tempo
amostrado (k).
ex1, ey1, ez1 Erros entre posição medida e referência no tempo
amostrado (k – 1).
ux1, uy1, uz1 Variáveis de controle no tempo amostrado (k – 1).
ux2, uy2, uz2 Variáveis de controle no tempo amostrado (k – 2).
px, py, pz Matriz de covariância.
tetax, tetay, tetaz Vetor de parâmetros de cada elo.
lambbx, lambby, lambbz Fatores de esquecimento relacionado a cada elo.
lambx, lamby, lambz Ponderadores da variável de controle da função custo do
GPC.
betax, betay, betaz Ponderadores do erro da função custo do GPC.
119
Tabela F.2 – Variáveis de saída do bloco do MatLab® no laço do LabView® (PD + GPC
adaptativo)
Nome das Saídas Significado
i Contador de amostras.
x, y, z Posições dos elos medidas pelas réguas potenciométricas
no tempo amostrado (k).
Xest, Yest, Zest Posições estimadas dos elos no tempo amostrado (k).
wx, wy, wz Referências no tempo amostrado (k).
ex, ey, ez Erros entre posição medida e referência.
errox, erroy, erroz Erro de estimação.
ux, uy, uz Variáveis de controle no tempo amostrado (k).
uux, uuy, uuz Contribuição apenas do GPC às variáveis de controle.
px, py, pz Matriz de covariância.
tetax, tetay, tetaz Vetor de parâmetros de cada elo.
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