Controle de Processos Professor: Argimiro Facilitador: Perez

Controle de Processos

Professor: ArgimiroFacilitador: Perez

2

O que é o Controle Preditivo Multivariável

Odloak [1]

3

O que é o Controle Preditivo Multivariável

Odloak [1]

4

O que é o Controle Preditivo Multivariável

PC

carga

split-range

líquido condensado

gás nãocondensado

CA

TriSolutions [2]

5

O que é o Controle Preditivo Multivariável

u1min u1max

u2min

u2max

u1

S

6

FI

Controladavazão

Manipulada(Abertura)

retiradaproduto

TriSolutions [2]

7

FI

Setpoint FC

retiradaproduto

FC

Controladavazão

Manipuladaabertura

TriSolutions [2]

8

FI

Controladatemperatura

manipulada Setpoint FC

retiradaproduto

FC

TI

TriSolutions [2]

9

FI

retiradaproduto

FC

TI TC manipulada Setpoint FC

Controladatemperatura

TriSolutions [2]

10

FI

controlada

retiradaproduto

FC

TI TC

manipulada Setpoint TC

TriSolutions [2]

11

FI

retiradaproduto

FC

TI TC

manipulada Setpoint TC

ControladaPfe e vazão produtoCPM

Faixasde controle

TriSolutions [2]

12

OBJETIVOS

• Conceitos Básicos de Controle Preditivo• Fases de Implantação

– Elaboração do Projeto conceitual– Identificação de Processos– Ajustes dos modelos– Implantação– Sintonia

13

Conceitos Básicos de Otimização

14

Problema de otimização

Elementos importantes na Otimização:• Função Objetivo• Variáveis• Restrições• Graus de Liberdade

Otimização

15

Função Objetivo

• Indicador quantitativo da solução• É um escalar• Funções econômicas (lucros,custos)• Critérios de desempenho

somatório dos erros ao quadrado

Otimização

16

Variáveis

• Dimensões de equipamentos• Condições de operação• Saídas para o controle regulatório (u)• As variáveis podem ser:

•Variáveis Independentes ou de decisão ou de otimização•Variáveis Dependentes

Otimização

17

Restrições

• Relação entre variáveis• Podem ser inequações ou equações

• Balanços geram equações• Limites de Operação geram inequações

Otimização

18

Graus de Liberdade

• Número de variáveis – Número de equações • Em uma simulação, o grau de liberdade é zero• Em um problema de otimização, o grau de liberdade deve ser maior que zero.

Otimização

19

O Problema de OtimizaçãoMin f(y,u,x)sujeito a:

h(y,u,x) = 0g(y,u,x) < 0onde:y: variáveis discretasx: variáveis contínuasu: variáveis de decisão

Otimização

20

Resolução de um Problema de OtimizaçãoPara resolver o problema de otimização:1. Programação Linear (LP)2. Programação Não Linear (NLP)3. Programação Quadrática (QP)4. Programação Mista Inteira Linear (MILP)5. Programação Mista Inteira Não Linear

(MINLP)

Otimização

21

1. Programação Linear (LP)

Todas funções são lineares → f, g e h são lineares

Não há variáveis discretas (y=0)

Otimização

22

2. Programação Não Linear (NLP)

Pelo menos uma função é não linear → f, g e/ou h não linear

Não há variáveis discretas (y=0)

Otimização

23

3. Programação Quadrática (QP)

É um caso especial da NLP onde a função objetivo é do tipo quadrática

Não há variáveis discretas (y=0)

Otimização

AXXXCxf TT

Quadrático

24

Otimização

2

222212121122

111

222121

21211121

2

1

2221

121121

xaxxaxxaxa

xaxaxaxa

xxxx

aaaa

xx

AXX T

25

4. Programação Mista Inteira Linear (MILP)

Todas funções são lineares → f, g e h são lineares

Há variáveis discretas (y≠0)

Otimização

26

5. Programação Mista Inteira Não Linear (NMILP)

Pelo menos uma função não é linear → f, g e/ou h não lineares

Há variáveis discretas (y≠0)

Otimização

27

Controladores Preditivos• Histórico dos MPC’s:

o MAC – Model Algorithmic Control – 1976o DMC – Dynamic Matrix Control – Cutler,

1979o LDMC – Linear Dynamic Matrix Control,

1983 - utilizado no SICON da Petrobraso QDMC – Quadratic Dynamic Matrix

Control – Morshedt, 1985

28

Algoritmo de Um MPC 1 - Através de um modelo implementado no controlador,

o MPC é capaz de realizar a predição do comportamento da saída do processo, levando em consideração as entradas de controle atuais e futuras.

2 - Esta predição deve ser corrigida, a cada intervalo de instante, por uma leitura da planta. Um MPC opera, tipicamente, com intervalos de tempo na faixa de um minuto.

3 - Em cada iteração, o controlador calcula uma sequência de ações de controle que minimiza a função do erro das saídas previstas até um horizonte definido como horizonte de predição. O tamanho desta sequência é definido como horizonte de controle.

29

Algoritmo de Um MPC

4 - Após resolver o problema de otimização descrito no item 3, o controlador implementa na planta apenas a primeira ação de controle dentre a sequência de ações calculadas que vão do intervalo de instante atual até o intervalo correspondente ao horizonte de controle m ajustado no controlador.

5 - O controlador aguarda o próximo intervalo de tempo para retornar ao item 1.

30

Controladores Preditivos• O MPC é baseado em modelos lineares.

• Representação do processoo Resposta ao impulsoo Resposta ao degrauo Através de funções de transferência

Contínua Y(s)/u(s) = GP(s)=Q(s)/P(s) Discreta Y(z)/u(z) = HGP(z)=Q(z)/P(z)

o Através de variáveis de estado (equações em espaço de estados) x(k+1)=Ax(k) + Bu(k) y(k) = Cx(k) + Du(k) → um sistema normalmente não

responde imediatamente a entrada. Portanto, em um sistema real, D = 0.

31

Controladores Preditivos

Tipos de processos e suas respostas ao pulso

32

33

Resposta ao FIR

u y

1 2 3 41 2 3 4

1 pulso unitário

h1

h2

h3

h4

t t

Modelo obtido a partir da resposta ao impulso (FIR: Finitive Impulse Response)Não tem sentido se falar em impulso em um sistema digital. Apenas em pulso

unitário.hi : Valor da saída no instante i após a aplicação do pulso – coeficientes da

resposta ao impulso.

34

Resposta ao FIR

Considerando um período de estabilização N

1

N

jj

y k i h u k i j

iy k i hu k

Para um dado instante i

35

Resposta ao FIRSe considerarmos que a cada novo instante j, o MPC aplica um

pulso de valor u(k+j)

1 2 31 2 3

i

y k i h u k i h u k i h u k i

hu k

1

i

jj

y k i h u k i j

Portanto, no instante i genérico

36

Resposta ao FIR Idéia do uso do FIR para sistemas integradores

1 nn hh

37

Controladores Preditivos• Para a obtenção do modelo incremental (a partir de Δu), ao

invés do modelo posicional:

onde: u u uk i k i k i 1 1

y h uk ii

N

k i

11

1

y y h uk k ii

N

k i

11

1

y h uk ii

N

k i

1

38

Resposta ao Degrau

u

'Pk i k

y

S2=(h1+h2) u

h2 u

S1=h1u

h1

39

Controladores Preditivos• Equação da Predição

'Pk N k

y Pk N k

y u

S1u S2u

y

kT

40

Controladores Preditivos• Equação da Predição para um horizonte de controle igual a 1

'1 1 1

P Pk kk k

y h u k y

'2 1 2 21P P

k kk ky h u k h u k y

'2 1 2 2

P Pk kk k

y h h u k y

'2 2 2

P Pk kk k

y S u k y

41

Controladores Preditivos

'3 1 2 3 32 1P P

k kk ky h u k h u k h u k y

'P Pk N N k Nk k

y S u k y

' '3 1 2 3 3 3 3

P P Pk k kk k k

y h h h u k y S u k y

• Generalizando para o instante N

42

Controladores Preditivos

• Equação da Predição para um horizonte de controle igual a 2

'Pk N k

y Pk N k

y u(k)

S1u S2u

y

kT

u(k+1)

43

Controladores Preditivos• Equação da Predição para um horizonte de controle igual a m

'1 1 1

P Pk kk k

y S u k y

'2 2 1 21P P

k kk ky S u k S u k y

'3 3 2 1 31 2P P

k kk ky S u k S u k S u k y

44

Controladores Preditivos• Equação da Predição para um horizonte de controle igual a m

1

'2 1

1

2 1

Pk m m mk

Pk m k

y S u k S u k

S u k m S u k m y

1 1

'2 1

1

+ 1

Pk m m mk

Pk m k

y S u k S u k

S u k m S u k m y

45

Controladores Preditivos• Equação da Predição

'11 1

'2 12 2

'1 1

Matriz Dinamica

0 010

1

P Pk kP Pk k

P PN N N mk N k Nk

u kSy yu kS Sy y

u k mS S Sy y

'P Py S u y 1Py N ' 1Py N 1u m

S N m

46

Função Objetivo

2 2 2 21 2 3min npJ e e e e

ondeei: erro entre setpoint e predição no instante

k+i

min TJ e e 1e np

47

48

DMC Caso SISO

'1 1 2 3 11 2P P

k kk ky h u k h u k h u k y

'1 11

P P Pk kk k kk

y y y

1 2 31 1 2P

kk

y h u k h u k h u k

49

DMC Caso SISO

11

1 (1)NP

ikk i

y hu k i

1 1

(2)NP

ikk i

y hu k i

11 1 1

1N NP P

i ik kk k i i

y y hu k i hu k i

11 1

1NP P

ik kk k i

y y h u k i u k i

11 1

1 (3)NP P

ik kk k i

y y h u k i

50

DMC Caso SISO

1 21 1 2

P P

k j k jk k

N

y y h u k j h u k j

h u k j N

11

(4)NP P

ik j k jk k i

y y h u k j i

Para um instante j qualquer

51

DMC Caso SISOIncluindo a realimentação

11

(5)NC C

ik j k jk k i

y y h u k j i

1 1

C C P P

k j k j k j k jk k k k

y y y y

1 1

C P C P

k j k j k j k jk k k k

y y y y

52

Predição do DMC Caso SISO

11

1NC C

ik kk k i

y y h u k i

1 2 31 1 2

C

k kk

y y h u k h u k h u k

1

112

1NC

ik kk i

y y h u k h u k i

1 11 (6)C

k kk

y y S u k

53

Predição do DMC Caso SISO

2 11

2NC C

ik kk k i

y y h u k i

1 2 3 42 1

desconhecido desconhecido conhecido conhecido

1 1 2C C

k kk k

y y h u k h u k h u k h u k

2

1 22 13

1 2NC C

ik kk k i

y y h u k h u k h u k i

54

Predição do DMC Caso SISO 1 1 1 2 22 1

C

k kk

y y S u k h u k h u k

1 1 2 1 22 1C

k kk

y y h u k S h u k

2 1 1 22 1 (7)C

k kk

y y S u k S u k

55

Predição do DMC Caso SISO

3 21

3NC C

ik kk k i

y y h u k i

1 2 3 43 2

desconhecido desconhecido desconhecido conhecido

2 1 1C C

k kk k

y y h u k h u k h u k h u k

3

1 2 33 24

2 1 3NC C

ik kk k i

y y h u k h u k h u k h u k i

56

Predição do DMC Caso SISO

1 2 1 2 1 2 3 33 1 2 1C

k kk

y y S u k S u k h u k h u k h u k

3 2 1 1 2 33 1 2 (8)C

k kk

y y S u k S u k S u k

57

Predição do DMC Caso SISO

1

j

j nn

P

1 11

C

k kk

y y S u k P

2 1 22 1C

k kk

y y S u k S u k P

3 2 1 33 1 2C

k kk

y y S u k S u k S u k P

1 2 11 2 1C

j j j jk j kk

y y S u k S u k S u k S u k j P

58

Predição do DMC Caso SISO

1

11

22 12

3 2 13

1 2 3 11

1 2 2 1

0 0 0 00 0 0 1

0 0 2

0 21

C kkC

kkCk

Cnp np npk np

Cnp np npk np k

y PS u kyy PS S u ky

S S S u ky

S S S S u k npyS S S S S u k npy

3

1

(9)k

npk

npk

y P

y P

y P

Ck

y S u y P

59

Predição do DMC Caso SISO

11

2 12

3 2 13

1 2 3 11

1 2 2 1

0 0 0 00 0 0 1

0 0 2

0 21

C kkCkCkSP SP

Cnp np npk np

Cnp np npk np k

yS u kyS S u kyS S S u ky

y y

S S S S u k npyS S S S S u k npy

1

2

3

1

k

k

npk

npk

P

y P

y P

y P

y P

11

2 12

3 2 13

1 2 3 11

1 2 2 1

0 0 0 00 0 0 1

0 0 2

0 21

SP Ck

SP Ck

SP Ck

SP Cnp np npk np

SP Cnp np npk np

S u ky yS S u ky yS S S u ky y

S S S S u k npy yS S S S S u k npy y

1

2

3

1

SPk

SPk

SPk

SPnpk

SPk npk

y y P

y y P

y y P

y y P

y y P

60

Predição do DMC Caso SISO

1 11

2 1 22

3 2 13

1 2 3 11

1 2 2 1

0 0 0 00 0 0 1

0 0 2

0 21

kk

kk

kk

np np npk np

np np npk np k

S e Pu keS S e Pu keS S S e Pu ke

S S S S u k npeS S S S S u k npe

3

1k np

k np

e Pe P

ke S u e P 'ke e P

' (10)e S u e

Definindo

61

Predição do DMC Caso SISO

11

2 12

3 2 13

1 2 3 11

1 2 2 1

0 0 0 00 0 0 1

0 0 2

0 21

k

k

k

np np np np mk np

np np np np m np mk np k

S eu keS S u keS S S u ke

S S S S u k meS S S S S u k me

1

2

3

1

k

k

k

k np

k np

Pe Pe P

e Pe P

1e np

1u m

' 1e np

S np m

62

Função Objetivo

' 'TJ S u e S u e

' ' ' 'T TT TJ S u e S u e u S e S u e

' ' ' 'T TT T T TJ u S S u u S e e S u e e

' (10)e S u e TJ e e

63

Função Objetivo

' '2 0 0TT TJ S S u S e e S

u

'2 2T TS S u S e 1 ' (11)T Tu S S S e

1u m

' 1e np

S np m

64

Função Objetivo Modificada

(12)T TJ e e u R u

1

2

00 0

0 0 m

RR

R

R

1 ' (13)T Tu S S R S e

65

k

Leitura da planta yk

e'=ySP- yk - Pk=k+1

Cálculo das ações de controle

Predição

Cálculo das ações passadas

Fluxograma DMC

1 'T Tu S S R S e

Ck

y S u y P 1

N

n ii n

h u k n i

1

j

j nn

P

66

O Problema MIMO

MIMO (nu X ny)

.

.

....

DMC Caso MIMO

1 2

TTnyy y y y

1 2TT

nuu u u u

67

DMC Caso MIMO

1 1

(2)NP

ikk i

y hu k i

, ,,1 1 1

N nuP

j l i lj kk i l

y h u k i

68

Para a variável controlada j = 1

DMC Caso MIMO

1,1,1 1 1,2,1 2 1, ,11,1

1,1,2 1 1, ,2

1,1, 1 1,2, 2 1, ,

1 1 1

2 2

P

nu nukk

nu nu

N N nu N nu

y h u k h u k h u k

h u k h u k

h u k N h u k N h u k N

, ,1 1

ny nu

j l iij l

H h

Para cada variável controlada j de 1 a ny

69

• Definindo

DMC Caso MIMO

11, 12, 1 ,

21, 22, 2 ,

1, 2, ,

i i nu i

i i nu ii

ny i ny i nynu i

h h hh h h

H

h h h

iH ny nu

70

DMC Caso MIMO

1 1

NP

ikk i

y H u k i

, ,,1 1 1

N nuP

j l i lj kk i l

y h u k i

71

A predição para o instante k+1

DMC Caso MIMO

1

1

1NP

ikk i

y H u k i

1

1 1 1 1

1 1N N NP P

i i ik kk k i i i

y y H u k i H u k i H u k i

1 1

NP

ikk i

y H u k i

72

Generalizando a predição para o instante k+j

DMC Caso MIMO

1 1

NP P

ik j kk k j i

y y H u k j i

73

Corrigindo a predição

DMC Caso MIMO

1 1

C P C P

k j k j k j k jk k k k

y y y y

1 1

C C P P

k j k j k j k jk k k k

y y y y

1

1

NC C

ik j k jk k i

y y H u k j i

74

Predição j=1

DMC Caso MIMO

1

1

Valor Atual lido da Planta

1NC C

ik kk k i

y y H u k i

75

Predição j=1

DMC Caso MIMO

1 2 31Valor desconhecido Passado

1 2C

k kk

y y H u k H u k H u k

1

112

1NC

ik kk i

y y H u k H u k i

1

1 11

C

k kk P

y y S u k

76

Predição j=2

DMC Caso MIMO

2 1

1

2NC C

ik kk k i

y y H u k i

1 121

2NC

ik kk i

y y S u k H u k i

1 1 1 2 321 1

C

k kk

y y S u k H u k H u k H u k

1 1 2 1 321 1

C

k kk

y y H u k H H u k H u k

77

Predição j=2

DMC Caso MIMO

1 1 2 1 321 1

C

k kk

y y H u k H H u k H u k

2

1 2 123

1 2NC

ik kk i

y y S u k S u k H u k i

2

1 2 1 221

C

k kk

P

y y S u k S u k

78

Predição j=3

DMC Caso MIMO

3 2

1

3NC C

ik kk k i

y y H u k i

1 2 1 231

1 3NC

ik kk i

y y S u k S u k H u k i

1 2 1 2 1 2 33

4

1 2 1

1

C

k kk

y y S u k S u k H u k H u k H u k

H u k

79

Predição j=3

DMC Caso MIMO

1 2 3 1 2 432 1 1

C

k kk

y y S u k S u k S u k H u k

3

1 2 3 1 234

2 1 3NC

ik kk i

y y S u k S u k S u k H u k i

3

1 2 3 1 2 332 1

C

k kk

P

y y S u k S u k S u k

80

Predição um instante j genérico

DMC Caso MIMO

1 2 3

1 2 3

1 2 3

j

C

k j kk

i j j

P

y y S u k j S u k j S u k j

S u k j i S u k

81

• Montando a predição em modelo de matriz

DMC Caso MIMO

11

2 12

3 2 13

1 2 1

0 0 0

0 0 10 2

1

C

ny nu ny nu ny nuk kC

ny nu ny nuk kC

ny nukk

C np np np np mkk np

y S yu k

S Sy yu kS S S u k yy

u k mS S S S yy

1

2

3

np

P

P

P

P

Cky S u y P

1

i

i nn

P

1

N

n lj n

H u k n j

82

DMC Caso MIMO• Cada matriz kS

2 1 2S H H 1

k

k ll

S H

11, 12, 1 ,

21, 22, 2 ,

1, 2, ,

l l nu l

l l nu ll

ny l ny l nynu l

h h hh h h

H

h h h

83

DMC Caso MIMO• Subtraindo o set point para gera o vetor de erros

CSP SPky y y S u y P

'

k

e

e S u e P

'e S u e

84

DMC Caso MIMO• Função Objetivo

' 'T TJ S u e S u e u R u

' ' ' 'T TT T T T TJ u S S u u S e e S u e e u R u

' '2 2 0TT TJ S S u S e e S R u

u

1 'T Tu S S R S e

85

DMC Caso MIMO• Vetor de soluções

,

1

1

k

k

k j

k m

uu

uu

u

1,

2,

,

, 0,1 1

k j

k jk j

nu k j

uu

u j m

u

,

86

DMC Caso MIMO• Matriz R

1

1

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

nu nu nu nu nu nuk

nu nu nu nu nu nuk

nu nu nu nu nu nuk j

nu nu nu nu nu nu k m

R

R

RR

R

1 0, 0,1 1

0k j

nu k j

rR j m

r

,

87

DMC Caso MIMO• Derivando e igualando a zero a função objetivo

T T TJ e W W e u R u

1 'T T T Tu S W W S R S W We

0Ju

88

DMC Caso MIMO• Função Objetivo Modificada

T T TJ e W W e u R u

1

2

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

kny ny ny ny ny ny

kny ny ny ny ny ny

k jny ny ny ny ny ny

k npny ny ny ny ny ny

W

W

WW

W

1

2

0 00 0

, 1,2

0 0

k j

ny

WW

W j np

W

89

QDMC

T T TJ e W W e u R u

'e S u e

'

' ' '

TT T T T

TT T T T

J u S W W S R u e W W S u

u S W We e W We

90

QDMC

' ' '2T TT T T T TJ u S W W S R u e W W S u e W We

'2Tf

TT T T T

CH

J u S W W S R u e W W S u

91

QDMC• Problema QDMC

2T TfJ u H u C u

max maxu u u

min maxu u u

min max

Cy y y

T TH S W W S R

'T TTfC e W W S

s.a

92

QDMC• Problema QP

1min2

. . 0

T Tfx H x C x

s a Ax b

93

DMC por realinhamentoInício

Leitura da planta yk

yP= yk

Cálculo das ações de controle

Leitura da planta yk

1

1

1C P

k k

P C

k

y y S u k d k

y M y

min 2T Tfu

J u H u C u

1

P P

k

u k

y y S u k

k k

1 111

P

k kkk

d y y S u k

'

'

sp p

TT Tf

T T

e y y

c e W WS

H S W WS R

94

DMC por realinhamento

Cky S u y P

1

i

i nn

P

1

N

n jj n

H u k n j

95

DMC por realinhamento

11 1

2 1 22

3 2 1 33

1 2 1

0 0 0

0 0 10 2

1

C

ny nu ny nu ny nuk kC

ny nu ny nuk k

Cny nu

kk

C np np np np mk

k np

y S y Pu k

S Sy y Pu kS S S u k y Py

u k mS S S S y Py

np

96

DMC por realinhamento

1 2

1

P P

k kk k

y y

• Cuttler propôs o realinhamento

• Inserindo as ações de entrada

21 21

P P

k kk k

y y S u k

97

DMC por realinhamento• A predição em k+1 para um instante genérico j

111

P P

jk j k jk k

y y S u k

98

DMC por realinhamento• Predição até o horizonte np

1

2

3

1

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0 0

0 0 0 00 0 0 0

P

ny ny ny ny ny ny ny ny ny nyk

Pny ny ny ny ny ny ny ny ny ny

kny ny ny ny ny ny ny ny ny nyP

k

ny ny ny ny ny ny ny ny ny nyP

ny ny ny ny ny ny nyk np k

y IIy

y

I

y

1

2

3

0 0 0 00 0 0 00 0 0

P

k

P

k

P

k

Pny ny ny

k np kM

ny ny ny ny ny ny ny ny ny ny

ny ny ny ny ny ny ny ny ny ny

ny ny ny ny ny

y

y

y

I y

II

1

2

3

0 0

0 0 0 00 0 0 0

ny ny ny ny ny

ny ny ny ny ny ny ny ny ny ny

npny ny ny ny ny ny ny ny ny nySM

S

S

S u k

ISI

1

P P

k ky M y M S u k

. .M np ny np ny

.S np ny nu

99

DMC por realinhamento• Predição para o instante np

1

1 1

P P P

k np k np k npk k k

y y y

• Correção da Predição

1 11 1

P

k k kk

d y y S u k

100

DMC por realinhamento

1

2

3

1

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0 0

0 0 0 00 0 0 0

C

ny ny ny ny ny ny ny ny ny nyk

Cny ny ny ny ny ny ny ny ny ny

kny ny ny ny ny ny ny ny ny nyC

k

ny ny ny ny ny ny ny ny ny nyC

ny ny ny ny ny ny nyk np k

y IIy

y

I

y

11 1

2 2 1

133

1

P

kkP

k kP

kk

kP npny ny nyk np k

M

y S dy S d

S u k dy

dSI y

101

LDMC• Função Objetivo do LDMC

' ' '2TT T T T T TJ u S W W S R u S W W e u e W We

'2 2T T T TJ S W W S R u S W W eu

'T T T TS W W S R u S W W e

102

LDMC• Função Objetivo do LDMC

'T T T TS W W S R u S W W e

1 1 .T

nu m

103

LDMC• Função Objetivo do LDMC

.

1

minm nu

iu i

0 0i i i ix z

0 0i i i iz x

i i ix z

104

LDMC• Problema LDMC

.

1

minm nu

i i iu i

x z

'T T T Ti ix z S W W S R u S W W e

max maxu u u

min maxu u u

0; 0;i ix z

sujeito a

105

LDMC• Se não tivermos restrições ativas

' 0T T T Ti ix z S W W S R u S W W e

'T T T TS W W S R u S W W e

1 '

DMC

T T T T

K

u S W W S R S W W e

'DMCu K e

106

LDMC'

DMCu K e

11 12 1 '

'21 22 2

'

1 2

11 2

1

np

np

m m mnp

K K Ku k e k

K K Ku k e k

u k m e k npK K K

'11 12 1 1Nu k K K K e k

107

MPC em Malha Fechada• Equação de Predição do DMC com matriz de

realinhamento

1

1C P

k ky M y M S u k d k

1x k Ax k Bu k

y k Cx k

0 0ny ny nyC I

108

MPC em Malha Fechada

1

1

planta k

P

prediçao k

y k C y S u k

y k C y S u k

1 2

T

k k k k N ky y y y

1 2

T

NS S S S

109

MPC em Malha Fechada

1P

k kd k C y S u k C y S u k

1

1

planta k

P

prediçao k

y k C y S u k

y k C y S u k

110

MPC em Malha Fechada

1

1C P

k ky M y M S u k d k

1P

k kd k C y S u k C y S u k

1

C P P

Fk k k ky M y M S u k K C y S u k C y S u k

111

MPC em Malha FechadaT

F ny ny nyK I I I

1 2

TP P P P

k k k k Nk

y y y y

112

1

C P

F F F Fk k ky M K C y M S K CS K CS u k K C y

MPC em Malha Fechada

1

C P P

Fk k k ky M y M S u k K C y S u k C y S u k

1

C P P

F F F Fk k k ky M y M S u k K C y K CS u k K C y K CS u k

1

C P

F F Fk k ky M K C y M S K C S S u k K C y

• Predição do modelo no controlador

113

MPC em Malha Fechada

1

C P P

Fk k k ky M y M S u k K C y S u k C y S u k

• Predição para a planta

1

P

k ky M y M S u k

114

MPC em Malha Fechada• Sistema Controlador e Processo

10

PCFF F

k k

M S K C S SM K C K C yyu k

M yy M S

1x k Ax k B u k

y k Cx k

115

MPC em Malha Fechada• Subtraindo do set point

10

PCSP SPFF F

SP SP

k k

M S K C S Sy y M K C K C yyu k

My y yy M S

10 0

PCSP SPFF F F F

SP SP

k k

M S K C S Sy yM K C K C M K C K C yyu k

M My y yy M S

116

MPC em Malha Fechada

' '

' '1

0

FF F

k k

M S K C S Se eM K C K Cu k

Me e M S

'

DMCu K e

'' '

' ' '1

0

DMCFF F

DMCk kk

K eM S K C S Se eM K C K C

Me e K eM S

117

MPC em Malha Fechada• Autovalores de A definem a estabilidade da malha

fechada

*

' '

' '1

1

F F DMC F

k kDMCx kx k

A

M K C M S K C S S K K Ce e

e eM SK M

118

MPC em duas camadas• Autovalores de A definem a estabilidade da malha

fechada

Camada de Otimização (LP ou QP)

MPC (DMC, QDMC, LDMC)

ySP uirv

ySS

uk-1

119

MPC em duas camadas• Predição do MPC

11 1

2 1 22

3 2 1 33

1 2 1

0 0 0

0 0 10 2

1

C

ny nu ny nu ny nuk kC

ny nu ny nuk k

Cny nu

kk

C np np np np mk

k np

y S y Pu k

S Sy y Pu kS S S u k y Py

u k mS S S S y Py

np

1 2 1

12

1

C

npnp np np np mk np k

u ku k

y S S S S u k y P

u k m

P

k npy

120

MPC em duas camadasnp→∞

1 2 1

12

1

C P

mk k

u ku k

y S S S S u k y

u k m

NS S

P P

k k Ny y

12

1

C P

N N N Nk k N

u ku k

y S S S S u k y

u k m

121

MPC em duas camadas

12

1

C P

N N N Nk k N

u ku k

y S S S S u k y

u k m

1

0

mC P

Nk k Ni

y S u k i y

122

MPC em duas camadas

1

0

mC P

Nk k Ni

y S u k i y

1

0

1 1 1 1m

i

u k i u k u k u k m u k m u k

1 1C P

Nk k Ny S u k m u k y

1u k u k

123

MPC em duas camadas

1 1C P

Nk k Ny y S u k m u k

Ny S u

124

MPC em duas camadas• A camada interna do MPC está preocupada com a dinâmica para se atingir o setpoint definido pela camada externa, tendo como índice o

somatório quadrático dos erros durante o horizonte de predição do controlador.• A camada externa de otimização está preocupada em definir esse setpoint, também chamado de target, observando, normalmente,

aspectos econômicos. Dentro desta camada de otimização tem-se apenas a informação do ganho estático, visto que a dinâmica não é relevante para esta camada, enquanto que na camada do MPC a informação completa do processo, dinâmica e estática, é importante.

125

MPC em duas camadas

1 1C P

Nk k Ny y S u k m u k

1

C PSS kNSS k N

y y S u u

126

MPC em duas camadasC

SSy

P

k Ny

NS

1ku

SSu irvu

: predição para o novo estado estacionário obtido de uma função objetivo econômica

: situação no futuro N caso nenhuma ação de controle seja tomada

: ganho estático do processo

: valor atual das manipuladas

: valor desejado para as variáveis manipuladas,

127

MPC em duas camadas

u2

u1

T TSSy SS u

p y p u

128

MPC em duas camadas• Programação Linear na camada superior

,minCSS SS

T C TSSy SS uy u

p y p u

1

C PSS kNSS k N

y y S u u

min maxSSu u u

min max

C C C

SSy y y

s. a. C

SSy

SPy

SSu irvu

129

MPC em duas camadas• Se o modelo fosse exatamente o real, ao definir a controlada, fica definida a manipulada e vice-versa. Como isso não ocorre, não conseguimos satisfazer o par controlada-

manipuladas desejado.

• Ex: Se o ganho estático do modelo for maior que o real, tem-se, para um dado yss, um valor menor de u1 que poderia ser retirado:

1

C PSS kNSS k N

y y S u u

1

C P

SS k NSS k

N

y yu u

S

130

MPC em duas camadas• Para resolver este problema, a função objetivo do MPC

pode ser alterada:

1 1TT T T

k m irv k m irvuJ e W W e u u R u u u R u

131

QDMC em duas camadas• Função objetivo do QDMC em duas camadas

1 11

1

1

k kk m nu nu nu

u ku k

u I I I u I u u

u k m

1 1 1 1

TTk m irv k m irv k irv k irvu u

u u R u u I u u u R I u u u

132

QDMC em duas camadas 1 1 1 1

TTk m irv k m irv k irv k irvu u

u u R u u I u u u R I u u u

1 1 1

1 1 1 1 1

T TT T Tk irv k irv k irvu u u u

T TT T T T T Tk k k irv k irv k irv irv irvu u u u u u

I u u u R I u u u u I R I u u R I u u R I u

u I R u u R u u R u u I R u u R u u R u

1 1 1

1 1

2T T TT

k irv k irv k irvu u u

Tk irv k irvu

I u u u R I u u u u I R I u u u R I u

u u R u u

133

QDMC em duas camadas• Função objetivo do QDMC com a inclusão de uirv

2T TfJ u H u C u

1 1 1

1 1

2T T TT

k irv k irv k irvu u u

Tk irv k irvu

I u u u R I u u u u I R I u u u R I u

u u R u u

12T TT T

k irvfu uJ u H I R I u C u u R I u

134

Controle de saídas por faixa• Nos processos a serem controlados, a maioria das saídas não tem um setpoint bem definido e sim uma faixa onde a saída, variável

controlada, tem que ser mantida. • Essa faixa é conhecida como restrição leve ou, do inglês, “soft constraints”. • Desta forma, permite-se um grau de liberdade para as controladas, o que “relaxa” o problema de otimização. Estas variáveis só passam a

ser efetivamente controladas pelas manipuladas disponíveis quando uma das restrições for atingida (ymax, ymin).

135

Controle de saídas por faixa

ymax

ymin

y

t

136

Controle de saídas por faixa• Função objetivo do MPC por faixa

1

1 11 0

np mT TC b T C b Tk m irv k m irv k j k juk j k j k j k j

j j

J y y W W y y u u R u u u R u

min maxP

k jy y y

max,Pi k j iy y max

,bi k j iy y

, 0i k jW

min,Pi k j iy y

min,bi k j iy y

137

MPC com ações não igualmente espaçadas• Para processos com período de estabilização N muito grande, o horizonte de controle m tende ao

valor unitário, pois tudo se passa como, apesar de ter ocorrido várias ações de controle, esta ação fosse única. Se a ação de controle fosse executada em tempos maiores, mais espaçados, teríamos uma ação mais eficaz do controlador.

138

MPC com ações não igualmente espaçadas

MPC não igualmente espaçado

139

MPC com ações não igualmente espaçadas

• Exemplo para m=3. 1 2, ,u k u k n u k n

11

11

2 2 1

2

2 2 1

2

1

1 1

2 2

1 11

2 22

1 11

2 1 2

2

0 0

0 0

0

0

C

k ny nu ny nuC

k ny nu ny nu

C

n ny nuk n

Cn ny nu

k n

Cn n n

k n

C n n n

k n

np np n npC

k np

y S

y S

S Sy

S Sy

S S SyS S S

y

S S Sy

2

1

2

1 3

2

k

k

k

npk

n

y P

y Pu ku k n y Pu k n

y P

140

MPC com ações não igualmente espaçadas

• Exemplo para m=3. 1 2, ,u k u k n u k n

11

11

2 2 1

2

2 2 1

2

1

1 1

2 2

1 11

2 22

1 11

2 1 2

2

0 0

0 0

0

0

C

k ny nu ny nuC

k ny nu ny nu

C

n ny nuk n

Cn ny nu

k n

Cn n n

k n

C n n n

k n

np np n npC

k np

y S

y S

S Sy

S Sy

S S SyS S S

y

S S Sy

2

1

2

1 3

2

k

k

k

npk

n

y P

y Pu ku k n y Pu k n

y P

2 12n n

141

Sistema Integrador com Espaço de Estados

1

quanto y aumentou no periodoatual e no periodo anterior

1 1y k y k y k y k S u k

11 2 1y k y k y k S u k

12

y kx k y k

y k

1 0 0y k x k

142

Sistema Integrador com Espaço de Estados

1

1

1

1 2 1 01 0 0 1 00 1 0 01 2

k kA Bx k x k

Sy k y k

y k y k u k

y k y k

1x k Ax k B u k

143

Sistema Integrador com Espaço de Estados

• Colocando a correção da leitura da planta

Predicao feita no instante k-1

11

1 1

Pplanta F planta

planta

y k calculox k y k y k K y k y k

y k y k

144

MPC com Modelo em Espaço de Estados

• Equação de predição para o instante 1

1x k Ax k B u k

• Equação de predição para o instante 2

2 1 1x k Ax k B u k

y k Cx k

2 1x k A Ax k B u k B u k

145

MPC com Modelo em Espaço de Estados

• Equação de predição para o instante 2

22 1x k A x k AB u k B u k

2 2y k Cx k

22 1y k C A x k AB u k B u k

22 1y k CA x k CAB u k CB u k

146

MPC com Modelo em Espaço de Estados

• Equação de predição para o instante 3

2

2

3 2

3 2

3 2

3 3

onde 3 2 2

2 1

3 1 2

3 1 2

3 1 2

3 1 2

y k Cx k

x k Ax k B u k

x k A x k AB u k B u k

x k A A x k AB u k B u k B u k

x k A x k A B u k AB u k B u k

y k C A x k A B u k AB u k B u k

y k CA x k CA B u k CAB u k CB u k

147

MPC com Modelo em Espaço de Estados

• Equação de predição para o instante np

1 2 31 2

1

np np np np

np m

y k np CA x k CA B u k CA B u k CA B u k

CA B u k m

2

23

1 2 3

1 0 0 00 02

03

np np np np mnp

CAy k CBCAB CBCAy kCA B CAB CBx k uCAy k

CA B CA B CA B CA By k np CA

148

MPC com Modelo em Espaço de Estados

• Um modelo pode ser escrito no domínio discreto z

1

0

i nbi

ii

i nai

ii

b zY zU z a z

1 2 1 21 2 1 21 na nb

na nbY z a z a z a z b z b z b z U z

1 2 1 21 2 1 2

na nbna nbY z a z Y z a z Y z a z Y z b z U z b z U z b z U z

149

MPC com Modelo em Espaço de Estados

• Transformando em equações de diferenças

1 2 1 21 2 1 2

na nbna nbY z a z Y z a z Y z a z Y z b z U z b z U z b z U z

1 2 1 21 2 1 2na nby k a y k a y k a y k na bu k b u k b u k nb

1 1

na nb

i ii i

y k A y k i B u k i

150

MPC com Modelo em Espaço de Estados

• Estado não mínimo

1 1 1 1T

x k y k y k y k na u k u k nb

1 2 1 21 2 1 2

na nby k A y k A y k A y k na B u k B u k B u k nb

• Predição para um instante genérico k

151

MPC com Modelo em Espaço de Estados

• As leituras do passado podem ser obtidas a partir das informações disponíveis da planta

1 2 3 1 2 2 1

1 0 0 0 0 0 0 0 02 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 010 0 0 0 0 0 0 0 010 0 0 0 0 0 0 02

0 0 0 0 0 0 0 01

na na nb nb nb

k

y k A A A A A B B B By k Iy k I

Iy k na

u kIu k

Iu k nb

1

1

1

2 03 0

10

203

0k

y k By k

y k

u ky k naIu k

u k

u k nb

1 1x k Ax k Bu k

152

1 2 1 2 2 1( )0 0 0 0 0 0 0( 1)

0 0 0 0 0 0 0( 2)

( 1)( 1)( 2)

( 2)( 1)

na na nb nb nb

ny ny ny ny ny nu ny nu ny nu ny nu

ny ny ny ny ny nu ny nu ny nu ny nu

a a a a b b b by kIy k

Iy k

y k nau ku k

u k nbu k nb

0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

ny ny ny ny ny nu ny nu ny nu ny nu

nu ny nu ny nu ny nu ny nu nu nu nu

nu ny nu ny nu ny nu ny nu nu nu nu

nu ny nu ny nu ny nu ny nu nu nu nu

nu ny nu ny nu ny nu ny nu nu

I

I

II

1( 1)0( 2)0

( 1)( ) 0 ( 1)( 2)

0( 2)( 1) 0

( ) 00

ny nu

ny nu

ny nu

nu

nu

nu

nunu nu

by ky k

y k nay k na u ku k I

u k nbu k nbu k nb

( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 2) ( 2) ( 1) Tx k y k y k y k na u k u k u k nb u k nb

MPC com Modelo em Espaço de Estados

153

MPC com Modelo em Espaço de Estados na forma incremental

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 1 2 ... 1

1 2 ... 1

1 2 3 ...

1 2 3 ...

na

nb

na

nb

y k a y k a y k a y k a y k na

b u k b u k b u k b u k nb

y k a y k a y k a y k a y k na

b u k b u k b u k b u k nb

1 2 1 3 2

1

1 2 3

1 1 2 ...

1

1 2 ... 1

ny

na na na

nb

y k y k I a y k a a y k a a

y k na a a a y k na

b u k b u k b u k b u k nb

154

MPC com Modelo em Espaço de Estados na forma incremental

1 2 1 3 2 4 3 1 2 3 4... ...0 0 0 ... 0 0 0 0 0 ... 0

10 0 0 ... 0 0 0 0 0 ... 0

1

1

2

ny na na na nb

ny ny ny ny ny ny ny nu ny nu ny nu ny nu

ny ny ny ny ny ny ny nu ny nu ny nu n

a I a a a a a a a a a b b b bI

y kI

y ky k

y k nau k

u k nb

0 0 0 ... 0 0 0 0 0 ... 0... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0

y nu

ny ny ny ny ny ny ny nu ny nu ny nu ny nu

ny ny ny ny ny ny ny nu ny nu ny nu ny nu ny nu

nu ny nu ny nu ny nu ny nu ny nu ny nu nu nu nu nu

nu ny nu n

I

I

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...0 0 0 0

y nu ny nu ny nu ny nu ny nu nu nu nu nu

nu ny nu ny nu ny nu ny nu ny nu ny nu nu nu nu nu

nu ny nu ny nu ny nu ny nu ny nu ny nu nu nu nu nu

nu ny nu ny nu ny

II

I

10010

...10

100

2 01 ...

00 0 0 0 0 0

ny nu

ny nu

ny nu

ny nu

nu

nu

nu

nu

nunu ny nu ny nu ny nu nu nu nu nu

b

y ky k

y k nay k na

Iu k

u k nbu k nb

I

u k

155

MPC com Modelo em Espaço de Estados na forma incremental

2

23

1 2 3

1 0 0 00 02

03

np np np np mnp

CAy k CBCAB CBCAy kCA B CAB CBx k uCAy k

CA B CA B CA B CA By k np CA

156

Melhorias no MPC• Redução dos parâmetros de sintonia• Robustez quanto a estabilidade

– o modelo real da planta não coincidir com o modelo previsto no controlador, que é considerado o caso nominal;– quando uma saída do processo se tornar ativa ou inativa no controle de faixas;– quando uma entrada do processo comutar da condição de restrição para a condição de não restrição, ou vice-versa;

157

Melhorias no MPC• Portanto, a robustez quanto à estabilidade deve ser analisada em 3 condições distintas

– Chaveamento das variáveis controladas da situação ativa para a situação inativa, ou da condição inativa para a condição ativa– Chaveamento das entradas da situação disponível para a situação indisponível ou da situação indisponível para a situação disponível– Incerteza de modelo – um controlador sintonizado para a condição nominal é robusto para variações em torno de 20% do modelo esperado pelo

controlador. Além disso, a estabilidade pode ficar comprometida;

158

Controladores Nominalmente Estáveis

• A literatura fornece diversos controladores nominalmente estáveis, mas, devido a incertezas de modelo ou restrições nas entradas de processo, tornam-se instáveis;

• Como a estabilidade de um controlador pode ser garantida para o caso nominal?

159

Controladores Nominalmente Estáveis

• Introdução de restrições que garantam que o estado final do sistema seja nulo.

1x k Ax k Bu k

y k Cx k

0x k np

160

Controladores Nominalmente Estáveis

• Introdução de restrições que levem o estado final a um conjunto de estados onde existe um controlador estável.

A

MPC DMC sem restrições

161

MPC de Horizonte Infinito

1x k Ax k Bu k

y k Cx k

C é a matriz identidade, ou, em outras palavras, o estado é medido

x e u representam variáveis incrementaisPortanto, para um sistema estável, ,o que traz, como consequência, desde que não hajam perturbações desconhecidas, ou simplesmente,

0u k m

162

Função Objetivo do MPC de Horizonte Infinito

1

, 1 , 1 1 0

minm

T Tku k u k u k m j j

J x k j Qx k j u k j Ru k j

1

1 1

mT T T

j j j m

x k j Qx k j x k j Qx k j x k j Qx k j

0

T T

j m j

x k j Qx k j x k m j Qx k m j

163

Função Objetivo do MPC de Horizonte Infinito

0

T T

j m j

x k j Qx k j x k m j Qx k m j

1x k Ax k Bu k

2

1

2 1 1 1

j

x k m Ax k m Bu k m Ax k m

x k m Ax k m Bu k m Ax k m A x k m

x k m j A x k m

164

Função Objetivo do MPC de Horizonte Infinito

0

T T

j m j

x k j Qx k j x k m j Qx k m j

0

TT j j

j m j

x k j Qx k j A x k m QA x k m

0

TTT j j

j m j

x k j Qx k j x k m A QA x k m

165

Função Objetivo do MPC de Horizonte Infinito

0

TTT j j

j m j

x k j Qx k j x k m A QA x k m

0

TT T j j

j m j

x k j Qx k j x k m A QA x k m

0

Tj j

j

P A QA

166

Função Objetivo do MPC de Horizonte Infinito

0

Tj j

j

P A QA

2 2 3 3

0

T T T TTj j

j

P A QA Q A QA A QA A QA A QA

2 2 3 3 4 4 1 1T T T TT TA PA A QA A QA A QA A QA A QA

Δ

1 1TTA PA P A QA Q TA PA P Q

167

Formulação do MPC de Horizonte Infinito

1 1

, 1 , 1 1 0

minm m

T T Tku k u k u k m

j j

J x k j Qx k j x k m Px k m u k j Ru k j

min max , 0,1,2 1u u k j u j m

0 u k j j m

sujeito a