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Escoamento Interno
Desenvolvimento de Camada Limite fluidodinâmica laminar num tubo circular.
Condições de EscoamentoConsiderações Fluidodinâmicas
1
Escoamento Interno
Condições de EscoamentoConsiderações Fluidodinâmicas
Experiência de Reynolds.
2
Esquema da experiência
Escoamento Interno
Condições de EscoamentoConsiderações Fluidodinâmicas
3
Padrões de Escoamento.
Escoamento Interno
Condições de EscoamentoConsiderações Fluidodinâmicas
4
Padrões de Escoamento
Escoamento Interno
Considerações Fluidodinâmicas
5
Escoamento Externo
Escoamento Interno
Laminar
Turbulento
Laminar
Turbulento
Região de Entrada
Região Plenamente Desenvolvida
Região de Entrada
Região Plenamente Desenvolvida
Escoamento Interno
Condições de Escoamento
6
● Número de Reynolds para escoamento num tubo circular
Onde:- um é a velocidade média do fluido na secção transversal- D é o diâmetro do tubo
● Número de Reynolds Crítico
Escoamento Interno
Condições de Escoamento
7
● Comprimento de entrada fluidodinâmica para escoamento laminar (Re ≤ 2300, entrada convergente arredondada)
● Comprimento de entrada fluidodinâmica para escoamento turbulento (Re > 2300)
Para escoamento turbulento será admitido x/D>10
Escoamento Interno
Condições de Escoamento
8
Velocidade Média
● Escoamento Externo → Velocidade da corrente livre
● Escoamento Interno → Velocidade média
m trm u Aρρρρ====&&&&
mtr
mu
Aρρρρ====
&&&&
O número de Reynolds fica então :
m2
tr
u D D m D m 4mRe
A DD
4
ρρρρ ρρρρ
µ µ ρ µ π µµ µ ρ µ π µµ µ ρ µ π µµ µ ρ µ π µππππ= = = == = = == = = == = = = ⇒⇒⇒⇒
& & && & && & && & & 4mRe
Dπ µπ µπ µπ µ====
&&&&
Isolando um resulta:
Escoamento Interno
9
Representando o caudal mássico pelo integral de ρρρρ.u na secção transversal, tem-se:
Como entãom trm u Aρρρρ====&&&&
Velocidade Média
Escoamento Interno
( ) ( ) drrrdrrdAtr
πππ 222
=−+=10
Velocidade Média
Escoamento Interno
Esta expressão pode ser usada para determinar um em qualquerlocalização x sobre o eixo, a partir do perfil de velocidades u(r)nessa localização.
11
Escoamento Interno
Na região completamente desenvolvida a velocidade u nãodepende de x. Logo
u(r,x) = u(r)12
( ) ( ) drrrdrrdAtr
πππ 222
=−+=
ro
dr
r
r
dr
r
o
Escoamento Interno
( )
−=
2
om r
r12
u
ru
Perfil de Velocidade na Região de Escoamento Plenamente Desenvolvido para regime laminar:
13
Considerações Térmicas
Escoamento Interno
Se o fluido entra no tubo a T(r,0) menor que Ts, ocorretransferência de calor por convecção e inicia-se odesenvolvimento de uma camada limite de temperaturas
Camada limite de T
14
Considerações Térmicas
Escoamento Interno
O fluido vai aquecendo ao longo do tubo => a diferença entre a T inicial do fluido e a temperatura média em cada x aumenta com x 15
● Comprimento de entrada térmica para escoamento laminar
em comparação com o comprimento de entrada hidrodinâmica
● Comprimento de entrada térmica para escoamento turbulento
cd ,t
tur
10D
χχχχ ====
cd ,t
D
lam
0,05 Re PrD
χχχχ ≈≈≈≈
Considerações Térmicas
Escoamento Interno
16
Considerações Térmicas
Escoamento Interno
A Temperatura Média
Escoamento Externo Escoamento Interno
Velocidade na corrente livre ⇒⇒⇒⇒ Velocidade Média
Temperatura na corrente livre ⇒⇒⇒⇒ Temperatura Média
● As temperaturas nas secções transversais não são uniformes para a convecção em escoamento interno
● É necessária a definição de uma temperatura média
17
= ∫tr
p m p tr
A
m c T uc TdAρρρρ&&&&
A Temperatura MédiaEscoamento Interno
Energia térmica transportada
pelo fluido
18
cp(Tout-Tin)
(Apenas válido para fluidos com perfil de temperatura uniforme)
Para escoamento num tubo circular com ρρρρ e cp constantes e :
= ∫tr
p m p tr
A
m c T uc TdAρρρρ&&&&
=∫
tr
p tr
A
m
p
uc TdA
Tm c
ρρρρ
&&&&
= ∫or
m 2
m 0 0
2T uT r dr
u r
m trm u Aρρρρ====&&&&
A Temperatura Média
Escoamento Interno
Energia térmica transportada
pelo fluido
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Lei do arrefecimento de Newton
′′ = −s s mq h(T T )
Onde h é o coeficiente de transferência de calor local
Tm (para esc. interno) e T∞
(para esc. externo) são essencialmente diferentes
- T∞
é constante ao longo do escoamento (ao longo de x)
- Tm varia ao longo do escoamento (ao longo de x) (porque há transferência de calor)
O valor de Tm com x, se houver transferência de calor da superfície para o fluido
O valor de Tm com x, se houver transferência de calor do fluido para a superfície
Considerações Térmicas
Escoamento Interno
20
Escoamento Interno
Condições Plenamente Desenvolvidas
≠h
f ( x )k
● No escoamento, completamente desenvolvido,de um fluido com propriedades constantes, ocoeficiente de transferência de calor porconvecção local (h) é uma constanteindependente de x .
● Na entrada, h varia com x
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Escoamento Interno
Condições Plenamente Desenvolvidas
Figura: Variação de h num tubo.
22
Escoamento Interno
Resumindo:
�A temperatura média é uma variável muito importante nos
escoamentos internos.
�Para descrever estes escoamentos é necessário conhecer a
variação da velocidade média com x
�Esta variação pode ser determinada mediante um balanço global
de energia no escoamento
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O Balanço de EnergiaEscoamento Interno
Considerações Gerais
Partindo da Equação Eentra – Esai + Egerada= Eacumulada, e aplicandoacima:
( )entmTsaimTpcmconvdq,,
−= &
(((( ))))conv p m m mdq m c T dT T = + −= + −= + −= + − &&&& conv p mdq m c dT⇒⇒⇒⇒ ==== &&&&
Caudal mássico constante
Perímetro do tubo
Para todo o tubo vem: )(,0,
.
immpconv TTcmq −−−−==== 24
(((( ))))ms
pp
sm TThcm
P
cm
Pq
dx
dT−−−−====
′′′′′′′′====
&&
conv p mdq m c dT==== &&&&
representando conv sdq q P dx′′′′′′′′====
s p mq P dx m c dT′′′′′′′′ ==== &&&&
Rearranjando e substituindo (((( ))))s s mq h T T′′′′′′′′ = −= −= −= −
O Balanço de EnergiaEscoamento Interno
Considerações Gerais
25
(((( )))) )1(ms
pp
sm TThcm
P
cm
Pq
dx
dT−−−−====
′′′′′′′′====
&&
A solução desta equação depende da condição térmicada superfície. Serão considerados dois casos:
- Fluxo térmico constante na superfície;
- Temperatura superficial constante.
O Balanço de Energia
Escoamento Interno
Considerações Gerais
26
O Balanço de Energia
Escoamento Interno
Fluxo Térmico na Superfície Constante
T xxm s s
mp pT 0m ,ent
dT q P q PdT dx
dx m c m c
′′ ′′′′ ′′′′ ′′′′ ′′==== ⇒⇒⇒⇒ ====∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫& && && && &
Integrando a Equação (1) desde x=0:
′′′′= + =s
m m ,ent sp
q PT ( x ) T x q cons tan te
m c&&&&
A taxa de transferência de calor é dada por:
( )L.Pqq sconv ′′=
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O Balanço de EnergiaEscoamento Interno
Fluxo Térmico na Superfície Constante
•Tm(x) varia linearmente com x ao longodo tubo•(Ts - Tm) varia com x.•Esta diferença é inicialmente pequena(em virtude de h ser grande na entrada)(q’’ = h (Ts-Tm))•Esta diferença cresce com x porque hdecresce.•Na região completamente desenvolvida,h é cte, => (Ts - Tm) = cte
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Escoamento Interno
Temperatura Superficial Constante
( )Th
cm
P
dx
Td
dx
dT
p
m ∆∆∆∆∆∆∆∆
&=−=
Fazendo (Ts-Tm)= ∆∆∆∆T na equação (1)
( )mspp
sm TThcm
P
cm
Pq
dx
dT−=
′′=
&&
Separando variáveis e integrando
( )∫∫ −=
L
0p
T
T
dxhcm
P
T
Tdsai
ent&
∆∆∆∆
∆∆∆∆∆∆∆∆
∆∆∆∆
29
Resolvendo a integração, resulta:
−= ∫
L
0pent
sai dxhL
1
cm
PL
T
Tln
&∆∆∆∆
∆∆∆∆
Lembrando que é, por definição o∫L
0
1hdx
L
coeficiente de convecção médio ,ou tem-se:Lh
tetanconsThcm
PL
T
Tln sL
pent
sai =−=&∆∆∆∆
∆∆∆∆
h
Escoamento Interno
Temperatura Superficial Constante
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Reordenando resulta:= −saiL
ent p
T PLln h
T mc
∆∆∆∆
∆∆∆∆ &&&&
tetanconsThcm
PLexp
TT
TT
T
Ts
pent,ms
sai,ms
ent
sai =
−=
−
−=
&∆∆∆∆
∆∆∆∆
Considerando a integração da entrada do tubo até uma posição xno interior do tubo, o resultado tem a forma mais geral:
tetanconsThcm
Pxexp
TT
)x(TTs
pent,ms
ms =
−=
−
−
&
(Ts-Tm) Decai exponencialmente com x
Escoamento Interno
Temperatura Superficial Constante
31
Escoamento Interno
Temperatura Superficial Constante
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