Cultura Alexandrina ASSUNTO: EUCLIDES Componentes: Isaias, Marcos e Raimundo

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Cultura Alexandrina

ASSUNTO: EUCLIDES

Componentes:

Isaias, Marcos e Raimundo

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 OBJETIVO

O presente trabalho tem como meta de aprimorarmos nossos conhecimentos a:

• Biografia do Euclides;• Contexto Histórico;• Postulados e Teoremas;• Obra dos “Elementos”;• Algoritmo de Euclides e • Conclusão

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 Biografia

• Euclides de Alexandria (360 a.C. — 295 a.C.), Professor,

matemático platônico e escritor de origem desconhecida, criador da

famosa geometria euclidiana: o espaço euclidiano, imutável,

simétrico e geométrico, metáfora do saber na antiguidade clássica, que

se manteve incólume no pensamento matemático medieval e

renascentista, pois somente nos tempos modernos, puderam ser

construídos modelos de geometrias não-euclidianas.

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 Biografia

• Teria sido educado em Atenas e freqüentado a Academia de Platão,

em pleno florescimento da cultura helenística, em Atenas, mas não há

provas.

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011Contexto Histórico

• Em 338 a.C., Filipe II, da Macedônia, passou a controlar a maior parte

do mundo grego.

• Após ser assassinado em 336 a.C., o poder passou às mãos de seu

filho, Alexandre de apenas 20 anos.

• Em 334 a.C., Alexandre deu início à conquista do Império Persa. O

Egito foi conquistado em 332 a.C., e ali no delta do Nilo, ele fundou

Alexandria

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011Contexto Histórico

• Após sua morte, em 323 a.C., o império foi dividido, cabendo o Egito

a Ptolomeu, terminando a dinastia com Cleópatra.

• Criação da Universidade de Alexandria

• Por volta de 300 a.C., surgiu um gênio que se encarregou de sintetizar

e sistematizar o conhecimento matemático.

• Este homem foi Euclides, autor dos Elementos.

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011Contexto Histórico

• Não se sabe onde nasceu;

• Parece provável que tenha estudado em Atenas;

• Revelou seu talento em Alexandria, onde dirigiu a área de Matemática

do Museu e escreveu vários livros, entre eles os célebres Elementos.

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011Postulados e Teoremas

• Euclides recolheu todo o saber matemático, organizá-lo, suprimir

lacunas, e introduzir novas noções. O resultado desse trabalho foi uma

obra imortal Os Elementos , compêndio em treze livros, dos quais

cinco dedicados à geometria de figuras planas, e três versando a

geometria a três dimensões.  

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011Postulados e Teoremas

• Postulados - Duas coisas iguais a uma terceira são iguais entre si.

• Axiomas - Dados dois pontos, há um segmento de reta que os une.

• Postulados - Se parcelas iguais forem adicionadas a quantidades

iguais, as somas continuarão a ser iguais.

• Axiomas - Um segmento de reta a pode ser prolongado

indefinidamente para construir uma reta .

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011Postulados e Teoremas

• Postulados - Se as mesmas quantidades forem subtraídas de

quantidades iguais, os restos continuarão a ser iguais.

• Axiomas - Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer

pode-se construir um circulo de centro naquele ponto e com raio igual

à distância dada.

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011Postulados e Teoremas

• Postulados - Coisas que coincidem uma com a outra são iguais.

• Axiomas - Todos os ângulos retos são iguais.

• Postulados - 0 todo é maior que as partes.

• Axiomas - Se uma reta cortar duas outras retas de modo que a soma

dos dois ângulos internos de um mesmo lado seja menor do que dois

retos, então essas duas retas, quando suficientemente prolongadas,

cruzam-se do mesmo lado em que estão esses dois ângulos.

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011Os elementos

• Trata-se de um texto introdutório cobrindo toda a matemática

elementar;

• Aritmética – teoria dos números;

• Geometria sintética – pontos, retas, círculos e esferas;

• Álgebra – no campo geométrico e

• Foi considerada a mais renomada na historia da matemática

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011Os elementos

• Os Elementos de Euclides chegaram até nós através de numerosas

transcrições, sobretudo de copistas árabes, e tiveram um profundo

impacto não apenas na matemática, mas na construção da própria

identidade lógica do mundo ocidental.

• Escritos em 13 livros, realizam o prodigioso trabalho de sistematizar

os conhecimentos da Geometria elementar, de forma rigorosa e ,

partindo de um mínimo de definições e de verdades aceitas sem

provas.

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011Os elementos

• Os elementos trata-se de um texto introdutório cobrindo toda a

matemática elementar – isto é , ( no sentido da “teoria dos

números” ), geometria sintética ( de pontos, retas, círculos e esferas ),

e álgebra ( não no sentido simbólico moderno, mas um equivalente em

roupagem geométrica ).

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011Outras Obras

• Os Dados;

• Divisão de figuras – Divisão de configurações planas.

• Os fenômenos – Semelhante a A esfera de Autolico (geometria usada

para uso dos astrônomos)

• Optica – Grande influencia em fenômenos físicos.

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011Algoritmo de Euclides

• algoritmo de Euclides busca encontrar o máximo divisor comum entre

dois números inteiros diferentes de zero. É um dos algoritmos mais

antigos conhecidos, desde que apareceu na obra Elementos de

Euclides por volta de 300 aC. O algoritmo não requer fatoração.

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011Algoritmo de Euclides

• O Algoritmo de Euclides para a obtenção do máximo divisor comum

entre dois números naturais é um processo bem simples. Não desista

ao ler a explicação pelo roteiro, mas acompanhe o roteiro juntamente

com os exemplos numéricos que virão a seguir - vai ficar bem mais

fácil.

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011Algoritmo de Euclides

• Obtendo o mdc entre dois números naturais X e Y onde X > Y.• Divida X por Y e obtenha o resto R1. Se R1 for zero, o mdc entre X e

Y é Y.• Se R1 não for zero, divida Y por R1 e obtenha o resto R2. Se R2 for

zero, o mdc entre X e Y é R1. • Se R2 não for zero, divida R1 por R2 e obtenha o resto R3. Se R3 for

zero, o mdc entre X e Y é R2. • ... • Se Rn não for zero, divida Rn-1 por Rn e obtenha o resto Rn+1. Se

Rn+1 for zero, o mdc entre X e Y é Rn.

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011Algoritmo de Euclides

• Exemplo - Obter, pelo Algoritmo de Euclides, o mdc entre 10 e 15.

• Dividimos 15 por 10 (porque 15 é maior que 10).Dividendo: 15Divisor: 10Resto: 5Quociente: 2

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011Algoritmo de Euclides

• Como o resto é 5 (não vale zero), devemos dividir o divisor 10 por 5,

temos: Dividendo: 10Divisor: 5Resto: 0Quociente: 2

• O resto é zero, portanto o mdc entre 15 e 10 é 5 (o divisor da divisão cujo resto é zero).

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011Algoritmo de Euclides

• O Algoritmo de Euclides pode requistar muitas divisões sucessivas até

que se chegue ao resto zero (sempre se chegará). Por conta disso, é

melhor usar uma chave que aproveita melhor os resultados anteriores

deixa espaços para os próximos, caso sejam necessários.

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011CONCLUSÃO

Esperamos contribuir com todos que, de uma forma ou de outra, participam

do processo de ensino-aprendizagem do conteúdo Histórico de Euclides na

matemática e de uma maneira direta com a Geometria e na algebra. Todo

esforço é no intuito de mostrar nós, futuros docentes o que houve no

passado e que se aplica nos dias atuais.

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011BIBLIOGRAFIA

• Biblioteca da Matemática Moderna;

• BOYERR, Carl Beijamin, História da Matemática 2ª ed. São Paulo, Edgard Blucher, 1996.

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FIM