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Curso deTeoria

Assintótica

GaussCordeiro

Roteiro

Introdução

Expansõesde Gram-Charlier

Expansão deEdgeworth

Exemplos

Espansões deCornish-Fisher

Referências

Curso de Teoria Assintótica

Gauss Cordeiro

UFRPE e UFPE

28 de dezembro de 2007

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Assintótica

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Introdução

Expansõesde Gram-Charlier

Expansão deEdgeworth

Exemplos

Espansões deCornish-Fisher

Referências

1 Introdução

2 Expansões de Gram-Charlier

3 Expansão de Edgeworth

4 Exemplos

5 Espansões de Cornish-Fisher

6 Referências

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Espansões deCornish-Fisher

Referências

Seja f (y) uma função densidade conhecida, cujos cumulantessão dados por κ1, κ2, . . . . O interesse reside em usar f (y) paraaproximar uma função densidade g(y) (em geral desconhecida)a partir da aplicação de um operador T (D) a f (y). O operadoré formulado como

T (D) = exp

∞∑

j=1

ǫj(−D)j/j!

e a aproximação para g(y) é definida por

g(y) = T (D) f (y),

em que D é o operador diferencial, ou seja,

D j f (y) = d j f (y)/dy j .

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Referências

Os cumulantes de g(y) são determinados como os coeficientesde tr/r ! na expansão de

log

{∫ +∞

−∞

etyg(y)dy

}

Expandindo o operador T (D) em série de Taylor vem

T (D) =∞

∑

i=0

1i !

∞∑

j=1

ǫj(−D)j

de onde se conclui que os cumulantes de g(y) são dadas porκ1 + ǫ1, κ2 + ǫ2, . . . . A função g(y) pode não satisfazer acondição g(y) ≥ 0 para todo y , mas seus cumulantes κr + ǫrsão definidos mesmo que esta condição não seja satisfeita.

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De g(y) = T (D) f (y) obtém-se, pela expansão de T (D),

g(y) = f (y) − ǫ1Df (y) + 1

2(ǫ2

1+ ǫ2)D

2f (y)

−1

6(ǫ3

1+ 3ǫ1ǫ2 + ǫ3)D

3f (y)

+ 1

24(ǫ4

1+ 6ǫ2

1ǫ2 + 4ǫ1ǫ3 + ǫ4)D

4f (y) + · · ·

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Em muitos casos,

D j f (y) = Pj(y)f (y),

em que onde Pj(y) é um polinômio de grau j em y .Esses polinômios são geralmente ortogonais com relação àdistribuição associada a f (y), ou seja,

∫

Pj(y)Pk(y)f (y) = 0,

para j 6= k .

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No caso em que f (y) é a função densidade φ(y) da distribuiçãonormal reduzida, (−1)jPj(y) é o polinômio de Hermite Hj(y)de grau j definido pela identidade

(−D)r φ(y) = Hr (y)φ(y).

Os primeiros polinômios de Hermite são

H0(y) = 1, H1(y) = y , H2(y) = y2 − 1, H3(y) = y3 − 3y ,

H4(y) = y4 − 6y2 + 3, H5(y) = y5 − 10y3 + 15y ,

H6(y) = y6 − 15y4 + 45y2 − 15.

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Esses polinômios têm propriedades interessantes decorrentes daidentidade

exp(ty − t2/2) =∞

∑

j=0

t j

j!Hj(y),

tais como:d

dyHr (y) = r Hr−1(y),

D j Hr (y) = r (j) Hr−j(y)

para r ≥ j , em que r (j) = r(r − 1) · · · (r − j + 1).

Satisfazem ainda a relação de recorrência

Hr (y) = y Hr−1(y) − (r − 1) Hr−2(y) (r ≥ 2).

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Caso especial de maior aplicabilidade: f (y) é a funçãodensidade φ(y) da distribuição N(0, 1). Neste caso, κr = 0 parar > 2 e ǫ3, ǫ4, . . . são iguais aos cumulantes de g(y). Assim,

g(y) = φ(y) [1 + ǫ33!H3(y) + ǫ4

4!H4(y)

+ ǫ55!H5(y) +

(ǫ6+10ǫ23)6! H6(y) + · · · ].

Esta expansão é denominada expansão de Gram-Charlier para a

densidade.

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Integrando e usando a relação∫

Hr (y)φ(y)dy = −Hr−1(y)φ(y)(r ≥ 1)

vem

G (y) = Φ(y) − φ(y) [ ǫ33!H2(y) + ǫ4

4!H3(y) + ǫ55!H4(y)

+(ǫ6+10ǫ23)

6! H5(y) + · · · ],

em que Φ(y) é a função de distribuição da normal reduzida.

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Seja Y uma variável aleatória com funções densidade f (y) egeratriz de cumulantes K (t). Os cumulantes padronizados de

Y são ρr = κr/κr/2

2para r ≥ 2. Tem-se κ1 = E (y) = µ e

κ2 = Var(Y ) = σ2. Suponha que Y1, . . . ,Yn são realizações iid

de Y e sejam as somas Sn =∑n

i=1Yi , e

S∗

n = (Sn − nµ)/(σ√

n).

Como as variáveis aleatórias são iid, as funções geratrizes decumulantes de Sn e S∗

n são dadas por KSn(t) = nK (t) e

KS∗n

(t) = −√

nµt

σ+ nK

(

σ√

)

, (1)

respectivamente.

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A expansão de K (t) em série de Taylor equivale a uma soma defunções dos cumulantes padronizados de Y

K (t) = µt + σ2t2/2 + ρ3σ3t3/6 + ρ4σ

4t4/24 + · · ·

que substituída em (1) implica

KS∗n

(t) = t2/2 + ρ3t3/(6

√n) + ρ4t

4/(24n) + O(n−3/2). (2)

A função geratriz de momentos MS∗n

(t) de S∗

n é obtida de (2)

tomando exponenciais. Logo,

MS∗n

(t) = exp(t2/2){1 + ρ3t3/(6

√n) + ρ4t

2/(24n)

+ρ2

3t6/(72n) + O(n−3/2)}.

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Para obter a função densidade de S∗

n , a equação anterior deveser invertida termo a termo usando a identidade

∫

etyφ(y)Hr (y)dy = tr exp(t2/2).

Então, a função densidade de S∗

n é dada por

fS∗n

(y) = φ(y){1 +ρ3

6√

nH3(y) +

ρ4

24nH4(y)

+ρ23

72nH6(y)} + O(n−3/2). (3)

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A integral de (3) produz a expansão da função de distribuiçãode S∗

n como

FS∗n

(y) = Φ(y) − φ(y)[ρ3

6√

nH2(y) +

ρ4

24nH3(y)

+ρ23

72nH5(y)] + O(n−3/2). (4)

As fórmulas (3) e (4) são as expansões de Edgeworth para asfunções densidade e de distribuição de uma soma padronizadaS∗

n , respectivamente.

É importante salientar que a expansões acima seguemdiretamente das expansões de Gram-Charlier, pois oscumulantes de S∗

n são, simplesmente, ǫr = O(n1−r/2) parar ≥ 3 com ǫ3 = ρ3/

√n e ǫ4 = ρ4/n.

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Sejam Y1, . . . ,Yn variáveis aleatórias iid com distribuiçãoexponencial de média um. A função densidade exata de S∗

n édada por

πS∗n

(y) =√

n(n + y√

n)n−1 exp(−n − y√

n)/(n − 1)!.

Para obter a expansão de Edgeworth tem-se

E (Sn) = n, Var(Sn) = n, ρ3 = 2 e ρ4 = 6. Logo,

fS∗n

(y) = φ(y)

{

1 +H3(y)

3√

H4(y)

4n+

H6(y)

18n

}

+ O(n−3/2).

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Na Tabela 1 compara-se para n = 5 o valor exato πS∗n

(y) com aaproximação normal φ(y) (termo principal) e com aquelasexpansões fS∗

(y) obtidas da equação anterior considerandoapenas o termo O(n−1/2) e com aqueles dois termos de ordemO(n−1).

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Tabela 1: Aproximações de Edgeworth para a função densidadeda soma padronizada de 5 variáveis exponenciais iid

Expansões de Edgeworthy Exato Normal até O(n−1/2) até O(n−1)

-2 0,0043 0,0540 0,0379 0,0178

-1,5 0,1319 0,1295 0,1512 0,1480

-1,0 0,3428 0,2420 0,3141 0,3329

-0,5 0,4361 0,3521 0,4242 0,4335

0 0,3924 0,3989 0,3989 0,3922

1 0,1840 0,2420 0,1698 0,1887

2 0,0577 0,0540 0,0701 0,0500

3 0,0144 0,0044 0,0163 0,0181

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Este exemplo ilustra o desempenho da expansão de Edgeworthno contexto discreto. Seja Sn a soma de n variáveis aleatóriasiid com distribuição de Poisson de média 1. Assim, Sn temdistribuição de Poisson de média n. Todos os cumulantes dadistribuição de Poisson são iguais e, então, ρ3 = ρ4 = 1.

A soma padronizada S∗

n = (Sn − n)/√

n tem função dedistribuição aproximada, decorrente de (4), dada por

FS∗n

(y) = Φ(y)−φ(y)

{

H2(y)

6√

H3(y)

24n+

H5(y)

72n

}

+O(n−3/2).

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No uso desta expansão para aproximar P(Sn ≤ r), pode-seadotar uma correção de continuidade comoy = (r − n + 0, 5)/

√n de modo que P(Sn ≤ r) = FS∗

(y).

A Tabela 2 compara a aproximação Φ(y) e as expansões deFS∗

(y) até ordens O(n−1/2) e O(n−1) com o valor exato deP(Sn ≤ r) quando n = 8. Ambas as expansões de Edgeworthaproximam melhor P(Sn ≤ r) do que a função de distribuiçãonormal Φ(y).

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Tabela 2: Aproximações para a função de distribuição dePoisson de média n = 8.

Expansões de Edgeworthr Exato Normal até O(n−1/2) até O(n−1)

2 0,0138 0,0259 0,0160 0,0148

4 0,0996 0,1079 0,1021 0,1011

6 0,3134 0,2981 0,3128 0,3141

8 0,5926 0,5702 0,5926 0,5919

10 0,8159 0,8116 0,8151 0,8146

12 0,9362 0,9442 0,9340 0,9374

14 0,9827 0,9892 0,9820 0,9824

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Suponha que uma variável aleatória contínua padronizada Y

tem média zero, variância um e cumulantes ρj de ordensO(n1−j/2) para j ≥ 3. Neste caso, a expansão de Edgeworthpara P(Y ≤ y) segue diretamente de (4). Suponha agora queyα e uα são definidos por

P(Y ≤ yα) = Φ(uα) = 1 − α

As expansões de Cornish-Fisher são duas expansões assintóticasrelacionando os quantis yα e uα: uma expansão normalizadoraque expressa uα como função de yα e sua expansão inversadando yα em termos de uα.

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Expandindo Φ(uα) em série de Taylor vem

Φ(uα) = Φ{yα +(uα − yα)} = Φ(yα)+

∞∑

r=1

(uα − yα)r

r !DrΦ(yα)

(5)e, então,

Φ(uα) = Φ(yα) +∞

∑

r=1

(uα − yα)r

r !(−1)r−1Hr−1(yα)φ(yα). (6)

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Igualando P(Y ≤ yα) proveniente de (5) à equação (6),pode-se expressar uα em função de yα até ordem O(n−1) comoum polinômio do terceiro grau

uα = p(yα) = yα − ρ3

6√

n(y2

α − 1) +ρ23

36n(4y2

α − 7yα)

− ρ4

24n(y3

α − 3yα). (7)

O polinômio p(Y ) de Cornish-Fisher representa a transformação

normalizadora da variável Y até ordem O(n−1), isto é,p(Y ) ∼ N(0, 1) + Op(n

−3/2).

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O objetivo da expansão inversa de Cornish-Fisher é expressar osquantis yα de Y como função dos correspondentes quantis uα

da distribuição normal reduzida. A inversão da expansão (7)para calcular yα em termos do quantil uα da normal reduzida éobtida expandido yα = uα + g(yα) em termos de uα como

yα − uα = g(uα) +Dg2(uα)

2!+

D2g3(uα)

3!+ · · · (8)

Identificando g(yα) = yα − p(yα) em (7), substituindo em (8) ecalculando as potências de g(uα) e suas derivadas, obtém-se yα

em função de uα até ordem O(n−1) como

yα = uα +ρ3

6√

n(u2

α − 1) − ρ23

36n(2u3

α − 5uα)

+ρ4

24n(u3

α − 3uα). (9)

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Suponha que Z ∼ χ2n e seja Y = (Z − n)/

√2n a variável

aleatória qui-quadrado padronizada, cujos terceiro e quartocumulantes são ρ3 = 2

√2 e ρ4 = 12. Logo,

P(Z ≤ zα) = P(Y ≤ (zα − n)/√

2n)

e, portanto, juntando os dois termos de ordem n−1 em (9) vem

zα = n +√

{

uα +

√2

3√

n(u2

α − 1) +1

18n(u3

α − 7uα)

}

A Tabela 3 mostra a adequação das aproximações para zα

provenientes da equação acima usando apenas o termo deordem O(1) (uα) e aquelas incluindo os termos O(n−1/2) eO(n−1). Observa-se desta tabela que a correção O(n−1/2) jámelhora substancialmente a aproximação normal, sendo queesta aproximação é ruim mesmo para n = 100, ao nível designificância de 1%.

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Tabela 3: Comparação das expansões de Cornish-Fisher para osquantis da χ2

Expansões atéα n Exato O(1) O(n−1/2) O(n−1)