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Ivan A. C. de Albuquerque
ÂNGULO
Ângulo é um ente geométrico fundamental, muito conseqüente e apreendido pela nossa
intuição sem maior esforço. Aqui faremos uma caminhada no sentido de defini-lo o mais
rigorosamente possível. Vamos nessa direção.
No plano, quaisquer dois pontos distintos determinam um segmento de reta que está contido
neste plano. Esta propriedade, óbvia, do plano conter o segmento de reta determinado por
estes dois pontos não é compartilhada com outros subconjuntos do plano. Os subconjuntos
do plano que compartilham com ele a propriedade acima são chamados de conjunto
convexo, ou região convexa, e os que não compartilham são chamados de conjunto
côncavo, ou região côncava. Para maior clareza observe a ilustração abaixo:
Considere no plano um ponto P qualquer e a partir dele duas semi-retas. Três possibilidades
essenciais podem ocorrer:
1. Semi-retas na mesma direção e no mesmo sentido, como a figura abaixo mostra:
1
.
côncavosconvexos
Ivan A. C. de Albuquerque
2. Semi-retas na mesma direção e sentido contrário, como indicado na figura abaixo:
3. Semi-retas em diferentes direções, como se mostra na figura abaixo:
Observação: As figuras acima representam casos particulares das infinitas posições
possíveis no plano.
No plano, qualquer par de semi-retas coma a mesma origem determinam nele duas regiões,
ou conjuntos, sendo uma convexa e a outra côncava. De fato: na primeira possibilidade,
semi-retas na mesma direção e no mesmo sentido, a região convexa é determinada pelas
semi-retas e a região côncava pelo seu complementar com relação ao plano. Veja figura a
seguir.
.
.
2
Região côncava
.
Região convexa
Ivan A. C. de Albuquerque
Na segunda possibilidade, semi-retas na mesma direção e sentido contrário, a região
convexa é determinada pelas semi-retas, neste caso uma reta, e a região côncava pelo seu
complementar com relação ao plano. Observe a ilustração abaixo.
Na terceira possibilidade, semi-retas em direções diferentes, a região convexa é determinada
pela união do conjunto formado pelas semi-retas com o conjunto convexo delimitado por elas,
e a região côncava pelo seu complementar com relação ao plano. Veja a figura abaixo
3
Região côncava
Região convexa
.
Região côncava
Região convexa
Ivan A. C. de Albuquerque
Neste ponto de nossa caminhada estamos em condições de darmos uma definição de
ângulo.
Definição – Dadas duas semi-retas com origem comum chama-se de ângulo ao
complementar, com relação ao plano, da região côncava determinada por elas.
O ângulo determinado por duas semi-retas com origem comum na mesma direção e no
mesmo sentido é chamado de ângulo nulo
e o ângulo determinado por duas semi-retas com origem comum na mesma direção e com
sentidos opostos será chamado de ângulo raso
ELEMENTOS DE UM ÂNGULO
Dado um ângulo a origem comum das semi-retas que o definem é chamado de vértice do e
estas semi-retas serão chamadas de lados do ângulo. O vértice e os lados são os elementos
do ângulo.
TRANSPORTE DE ÂNGULOS
Dado um ângulo como obter um outro ângulo que possa em certo sentido “ser confundido”
com o ângulo dado? As ações que respondem a esta pergunta é o que se chama em
Desenho Geométrico de TRANSPORTE DE ÂNGULO.
4
Ângulo nulo.
.Ângulo raso
Ivan A. C. de Albuquerque
Dado um ângulo, como por exemplo, o ângulo que segue.
Vamos transportá-lo.
Determine um ponto O e uma semi-reta com origem nele.
Com a ponta sega do compasso no vértice do ângulo e uma abertura conveniente, trace um
arco interceptando os dois lados do ângulo nos pontos A e B.
Em seguida, com a ponta sega no ponto O e a mesma abertura anterior determine um arco
conveniente interceptando a semi-reta com origem em O no ponto A’.
Neste arco com abertura do compasso igual à distância entre os pontos A e B e ponta sega
no ponto de interseção A’, obtenha o ponto B’.
5
O
V
V A
B
O A’
O A’
B’
Ivan A. C. de Albuquerque
Trace a semi-reta de origem em O que passa pelo ponto B’ que acabamos de obter.
O ângulo determinado por esta semi-reta e a anteriormente traçada é o ângulo desejado, o
ângulo transportado!
Nota. O procedimento acima esta justificado pelo fato de que os triângulos ,
obtidos nestas construções, serem congruentes.
CONGRUÊNCIA DE ÂNGULOS
Dois ângulos são ditos congruentes quando transportados de forma que possuam o vértice e
um dos lados em comum, o outro lado de cada ângulo, desenhados no mesmo semiplano,
venha também a coincidir.
Nas condições descritas acima o ângulo transportado é congruente ao ângulo objeto do
transporte.
ADIÇÃO DE ÂNGULOS
No plano, duas retas concorrentes determinam quatro ângulos como indicado, por exemplo,
na figura abaixo.
6
O A’
B’
O
Ivan A. C. de Albuquerque
Há, porém, uma posição peculiar entre retas concorrentes para a qual os quatro ângulos
determinados por elas são congruentes entre si. Quando as retas estão nessa posição elas
são chamadas de perpendiculares e cada um dos ângulos de ângulo reto. Observe a figura
abaixo.
BISSETRIZ DE UM ÂNGULO
A BISSETRIZ de um ângulo é uma semi-reta com origem no vértice do ângulo, situada em
qualquer um dos semiplanos determinados por qualquer um dos lados do ângulo que
contenha necessariamente o outro lado, e que determina com cada um dos lados do ângulo
ângulos congruentes.
O nosso objetivo agora é traçar a bissetriz de um ângulo dado. Vamos proceder como
indicado a seguir:
Dado o ângulo como, por exemplo, o mostrado ma figura abaixo.
Retas perpendiculares
Ângulos retos
7
O
Ivan A. C. de Albuquerque
Com o compasso, trace um arco de circunferência de centro no vértice do ângulo, o ponto O,
e raio conveniente para determinar os pintos P e Q sobre os lados do ângulo, como indicado
na figura que segue.
Em seguida, construa dois arcos de circunferência centrados respectivamente nos pontos P
e Q, e raio d1, d1 maior que a distância entre os pontos P e Q, que se interceptam no ponto T,
como mostra a figura a seguir.
A solução é a semi-reta de origem no ponto O que passa pelo ponto P, como se vê abaixo.
Justificativa: Os triângulos são congruentes e portanto, o ângulo determinado
pelas semi-retas OP e OT é congruente ao ângulo determinado pelas semi-retas OQ e OT.
Ver apêndice.
8
O Q
P
O Q
P T
Ivan A. C. de Albuquerque
9
O Q
P T
BISSETRIZ
Ivan A. C. de Albuquerque
TRAÇANDO PARARELAS
Duas retas são ditas paralelas quando não há interseção entre elas. Um axioma da
geometria elementar afirma que dois pontos distintos determinam uma única reta.
É importante observar que se duas retas são paralelas então, a distância de pontos de uma
reta a outra se mantém constante. Feita esta observação fica claro que se determinarmos
dois pontos P e Q exteriores a uma dada reta r, ambos pertencentes ao mesmo semiplano,
cujas distâncias a reta r sejam iguais eles determinaram uma reta s paralela à reta r dada.
Os argumentos acima serão os nortes, para que possamos traçar paralelas a uma reta dada.
O traçado de uma reta paralela a uma reta dada pode se dar de uma maneira livre, onde se
traça arbitrariamente uma paralela a reta dada, onde nos referimos a ela por paralela livre,
ou de uma maneira determinada onde se conhece um ponto P dessa paralela, onde nos
reportamos a ela dizendo: paralela pelo ponto P.
Vamos aos traçados.
PARALELA LIVRE
Dada uma reta r vamos traçar, uma paralela livres a ela.
Determine um ponto O sobre a reta r.
Com uma abertura conveniente do compasso, do, e a ponta sega no ponto O trace uma
circunferência, C0, obtendo os pontos P e Q, interseção desta circunferência com a reta r
.O r
10
r
Ivan A. C. de Albuquerque
Em seguida, com abertura do compasso igual a d1, , construa as
circunferências centradas nos pontos P e Q respectivamente e raio igual a d1,
obtendo-se assim sobre C0 os pontos P’, P”, Q’ e Q”.
Observe agora que os triângulos , por exemplo, são congruentes, e, portanto,
a altura do triângulo com respeito ao lado é congruente coma a altura do triângulo
com respeito ao lado , que são lados correspondentes. É fácil concluir que a
distância de cada um dos pontos P’,P”,Q’ e Q” a reta r é a mesma e portanto, tomando dois
deles que estejam no mesmo semiplano determinado pela reta r, determinará a reta paralela
procurada.
.O rP Q
C0
P’
P”
Q’
Q”
C1 C2
11
.O rP Q
C0
Ivan A. C. de Albuquerque
PARALELA PELO PONTO P
Dados uma reta r e um ponto P fora dela, ,
Construa uma circunferência C0 centrada no ponto P e com raio d1, d1 maior que a distancia
da reta r ao ponto P, obtendo os pontos O e Q interseção da circunferência C0 com a reta r.
.P
r
12
.O rP Q
C0
P’
P”
Q’
Q”
C1 C2
s
Ivan A. C. de Albuquerque
Trace com centro no ponto O e raio igual a d1 uma circunferência C1, e sobre esta com a
ponta sega no ponto P e abertura do compasso igual à distância entre os pontos O e Q
obtenha o ponto R no mesmo semiplano que contém o ponto P.
13
.P
OQ r
C0
C0
.P
OQ r
R
C1
Ivan A. C. de Albuquerque
A reta s determinada pelos pontos P e R é a reta procurada.
Observe que os triângulos isósceles são congruentes. Logo a altura de cada
triângulo com respeito ao lado não congruente de cada triângulo coincide. Observe que o
ponto S, eqüidistantes dos pontos P e R, está à mesma distância da reta r que o ponto P e
como a reta determinada por P e R é a mesma determinada por P e S conclui-se que a reta s
é paralela à reta r.
s.P
OQ r
R
14
Ivan A. C. de Albuquerque
TRAÇANDO PERPENDICULARES
Lembramos que duas retas r e s concorrentes no ponto O, , são ditas
perpendiculares quando dois quaisquer dos ângulos determinados por elas forem
congruentes.
Nosso objetivo agora é: dada uma reta r qualquer traçarmos uma reta s perpendicular a ela.
Há duas situações essenciais: a perpendicular a ser traçada é arbitrária, qualquer uma ou é
conhecido, a priori, um ponto P por onde traçaremos a perpendicular.
I – A perpendicular a ser traçada é arbitrária.
Dada a reta r
escolha arbitrariamente um ponto P onde a reta s ser traçada, deve passar.
Se o ponto P escolhido não pertence à reta r, procedemos como segue:
15
r
r
.P
Ivan A. C. de Albuquerque
Com a ponta sega do compasso no ponto P e uma abertura conveniente do mesmo,
construa a circunferência C0, obtendo os pontos O e Q, interseção desta circunferência com
a reta r. Em seguida, mantida a mesma abertura do compasso, construa as circunferências
C1 e C2 com centros nos pontos O e Q respectivamente obtendo o ponto R, não pertencentes
ao mesmo semiplano que o ponto P, interseção das circunferências C1 e C2.
16
r
.P
O Q
O Q r
.P
R .
Ivan A. C. de Albuquerque
A reta s determinada pelos pontos P e R é a reta procurada.
No caso em que o ponto P escolhido pertence à reta r então, proceda assim:
escolha um ponto O qualquer fora da reta r
17
O Q r
.P
R .
s
rP.
O .
rP.
Ivan A. C. de Albuquerque
Construa a circunferência centrada no ponto O e raio igual à distância do ponto O ao ponto
P, para obter o ponto Q interseção da circunferência com a reta r.
Trace um segmento de reta ligando os pontos Q a O, prolongando-o ate obter o ponto S
sobre a circunferência.
Areta s determinada pelos pontos P e S é a reta procurada.
18
O .
rP.
Q
O .
rP.
Q
.S
O .
rP.
Q
.S
s
Ivan A. C. de Albuquerque
O caso em que o ponto P está fora da reta dada o processo justifica-se pela congruência dos
triângulos que possui ainda o segmento determinado pelos pontos O e Q
como lado comum. Quando o ponto P esta sobre a reta é justificado pelo fato de que o
triângulo de vértices nos pontos Q, S e P, , é retângulo em P.
II – O ponto P por onde traçaremos a perpendicular é conhecido a priori.
Dados uma reta r e um ponto P fora dela, ,
Proceda como segue: tome dois pontos Q e R sobre a reta r, como indicado na figura abaixo,
por exemplo.
Trace uma circunferência centrada no ponto Q e raio igual à distância do ponto Q ao ponto P
e em seguida trace outra circunferência centrada no ponto R e raio igual à distância do ponto
R ao ponto P. Estas circunferências têm como interseção os pontos P e S
19
r
P.
r
P.
.QR
.
Ivan A. C. de Albuquerque
A reta procurada é a reta determinada pelos pontos P e S.
O ponto P pertence à reta dada.
20
r
P.
.QR
.
S
r
P.
.QR
.
S
Ivan A. C. de Albuquerque
Trace uma circunferência com centro no ponto P e raio qualquer para obter os pontos O e Q
sobre a reta r como interseção desta circunferência com a reta.
Com raio d, maior que a distância entre os pontos O e P, trace uma circunferência com
centro no ponto O e outra centrada no ponto Q. Estas circunferências interceptam-se nos
pontos R e S.
21
. P
. P
O Q
. P
O Q
R
S
Ivan A. C. de Albuquerque
A reta solução é a reta s determinada pelos pontos R e S.
22
. P
O Q
R
S
s
Ivan A. C. de Albuquerque
TRAÇANDO POLÍGONOS
POLIGONAL – É uma linha, não retilínea, formada por mais de dois segmentos de reta
ligados a apenas um dos outros pelas extremidades.
Na figura abaixo se expõem um exemplo de cada tipo de poligonal.
POLÍGONO – É a porção “finita” do plano determinada por uma poligonal fechada simples.
Segue abaixo alguns exemplos de polígonos.
23
Poligonal aberta simples
poligonal aberta não simples
Poligonal fechada simples
Poligonal fechada não simples
Ivan A. C. de Albuquerque
Dado um polígono, cada segmento de reta que define a poligonal que o determina chama-se
lado do polígono e os extremos destes segmentos são chamados de vértices do polígono.
Veja a figura abaixo mostra um polígono e alguns de seus vértices e lados.
O interesse aqui é no traçado de alguns polígonos, os mais elementares da geometria plana,
a partir do conhecimento de algum de seus elementos. Iniciaremos pelo mais simples deles,
o trilátero (triângulo, como a tradição consagrou).
TRILÁTERO – (TRIÂNGULO) – É todo polígono que possui apenas três lados.
Observe que para construirmos um triângulo a partir de três segmentos de reta dados é
necessário o comprimento de qualquer um deles seja estritamente menor que a soma dos
comprimentos dos outros dois.
24
Vértices
Lados
Lado
Vértice
Ivan A. C. de Albuquerque
TRIÂNGULO EQÜILÁTERO - Chama-se triângulo eqüilátero a todo triângulo cujos lados
sejam congruentes entre se.
Construindo um triângulo eqüilátero dado um de seus lados. Dado um segmento l, designe
seus extremos por A e B respectivamente, como por exemplo, se representa abaixo.
Com centro em cada um dos extremos do segmento l e abertura do compasso igual ao
comprimento deste segmento, trace dois arcos de circunferência para obter os pontos C e C’,
interseção destes dos arcos, como ilustrado na figura a seguir.
A solução é, por exemplo, o triângulo cujos vértices estão nos pontos A, B e C. , figura 24(b)
abaixo.
25
C
C’
lA B
lA B
Ivan A. C. de Albuquerque
Construir um triângulo eqüilátero conhecendo-se o segmento de reta h cujo comprimento
coincide com a altura do triângulo.
Inicialmente construa uma semi-reta de origem O como mostra a figura abaixo.
26
C
l
C’
h
O
Ivan A. C. de Albuquerque
Com centro no ponto O e rio r conveniente, construa uma circunferência para determinando
o ponto B sobre a semi-reta, como mostra a figura que segue.
Agora com centro no ponto B e raio igual a r, desenhe um arco de circunferência
interceptando a circunferência anterior no ponto C como indicado na figura.
Agora construa a semi-reta com origem no ponto O e que passa pelo ponto C. Observe que
o triângulo é eqüilátero.
27
O
C
B
O B
Ivan A. C. de Albuquerque
Construa, com origem no ponto O, uma semi-reta perpendicular à semi-reta com origem no
ponto O e que contém o ponto B,
28
O
C
B
O
C
B
Ivan A. C. de Albuquerque
e nela determine o ponto P, cuja distância ao ponto O é igual ao comprimento do segmento
de reta h.
Em seguida, com origem no ponto P, construa uma semi-reta paralela à semi-reta
determinada pelos pontos O e B, determinando o ponto Q interseção desta semi-reta com a
semi-reta determinada pelos pontos O e C. Como mostra a figura abaixo.
29
O
C
B
P
O
C
B
Q
P
Ivan A. C. de Albuquerque
Com centro no ponto O e raio igual à medida do comprimento do segmento de reta
determinado pelos pontos O e Q determine sobre a semi-reta definida pelos pontos O e B o
ponto S.
A solução é o triângulo de vértices nos pontos O,Q e S como ilustrado na figura abaixo.
30
S
O
C
B
Q
S
P
O
C
B
Q
P
Ivan A. C. de Albuquerque
Convença-se de que o triângulo obtido acima é de fato a solução.
TRIÂNGULO ISÓSCELES – É todo triângulo no qual dois de seus lados são congruentes
entre se.
Construção de triângulos isósceles conhecidos dois segmentos de reta l1 e l2 congruentes a
dois de seus lados.
Dados os segmentos de reta l1 e l2,
escolha aquele de menor comprimento para iniciar o processo. No caso é o segmento l2.
Construa com cento em cada um dos extremos do segmento l2, pontos O e P, uma
circunferência de raio igual ao comprimento do segmento l1.
31
l1
l2
l2
l2O P
Ivan A. C. de Albuquerque
Obtêm-se assim os pontos Q e R, interseção destas circunferências e a solução é qualquer
um dos triângulos ou .
Traçar um triângulo isóscele, conhecidos o segmento de reta congruente a um de seus lados
e também um de seus ângulos.
Sejam então dados o segmento e o ângulo como, por exemplo, indicados na figura que
segue.
Teremos duas opções:
1ª - O segmento l determina o comprimento dos lados congruentes do triângulo.
2ª - O segmento l determina o comprimento do lado não congruente aos outros dois lados do
triângulo.
No primeiro caso proceda como segue.
32
l2O P
Q
R
l
Ivan A. C. de Albuquerque
Transporte o ângulo dado de forma que tenha o seu vértice coincidindo com um dos
extremos do segmento e, além disso, tenha este segmento sobre um de seus lados. Como
indicado, por exemplo, na figura abaixo.
Agora, com a abertura do compasso igual ao comprimento de segmento l, e centro no vértice
do ângulo determine um arco de circunferência para obter o ponto Q interseção do arco com
o prolongamento do outro lado do ângulo. Veja a figura.
33
Q
PO
Ivan A. C. de Albuquerque
A solução é o triângulo cujos vértices são os pontos O,P e Q indicado na figura abaixo.
No segundo caso o processo é o seguinte. Transporte o ângulo dado de tal forma que cada
extremo O e P do segmento l seja vértice do ângulo transportado e que o segmento l seja
também lado comum aos ângulos transportados. Veja a figura abaixo.
Prolongando-se cada um dos lados dos ângulos transportados obtêm-se o ponto Q.
34
Q
PO
O Pl
Ivan A. C. de Albuquerque
Solução, é o triângulo de vértices nos pontos.O,P e Q veja figura.
TRIÂNGULO RETÂNGULO – É todo triângulo no qual um de seus ângulos é reto.
Em um triângulo retângulo o maior de seus lados chama-se hipotenusa e os outros dois são
chamados de catetos, os quais são sempre lados do ângulo reto.
Traçar um triângulo retângulo, conhecidos seus catetos . Sejam com se
mostra na figura abaixo, por exemplo.
35
O Pl
Q
O Pl
Q
Ivan A. C. de Albuquerque
Construa duas semi-retas com origem no mesmo ponto O e perpendiculares entre se, como
indicado na figura que segue.
Com centro no ponto O e abertura do compasso igual a trace duas circunferências
concêntricas uma de raio igual ao comprimento do segmento e a outra com raio igual ao
comprimento do segmento , como se mostra na figura abaixo.
Obtêm-se então, os pontos P e Q sobre um das semi-retas e os pontos R e S sobre a outra
com se vê na figura que segue.
36
O
O
Ivan A. C. de Albuquerque
Como solução têm-se os triângulos: . Veja por exemplo o triângulo na figura
abaixo.
37
O P Q
R
S
O P Q
R
S
Ivan A. C. de Albuquerque
Traçar um triângulo retângulo dado um de seus catetos, , e um ângulo que tem neste cateto
um de seus lados.
Seja então, o cateto e o ângulo como ilustra a figura a seguir.
Proceda como segue. Trace por um dos extremos do segmento l, o ponto O, por exemplo,
uma semi-reta perpendicular a este segmento, e transporte o ângulo dado de modo que seu
vértice esteja sobre o outro extremo do segmento, o ponto P, e tenha o seu lado neste
segmento. Como se vê na figura a seguir.
Observação: Tome cuidado para que a semi-reta e o ângulo estejam no mesmo semiplano.
Prolongue o lado do ângulo para obter o ponto Q interseção deste prolongamento com a
perpendicular ao segmento l. Veja a figura que segue.
38
l
l
O
P
Ivan A. C. de Albuquerque
A solução é o triângulo de vértices nos pontos O,P e Q como se ver na figura abaixo.
TRIÂNGULO ESCALENO – É todo triângulo para o qual não há dois lados congruentes ente
se.
Dados três segmentos de reta , onde o comprimento de um deles é diferente do
comprimento de cada um dos outros dois, trace um triângulo.
39
P
l
O
P Q
l
O
Q
l1
l2
l3
Ivan A. C. de Albuquerque
Procedimento. Escolha um dos segmentos, por exemplo, l2, para iniciar o processo. Trace
um outro segmento de reta congruente a ele, indicando seus extremos por A e B como
ilustrado na figura abaixo.
Em seguida construa duas circunferências, uma com centro no ponto A e raio igual ao
comprimento de segmento l1 e a outra com centro no ponto B e raio igual ao comprimento de
segmento l3. Observe a figura que segue.
40
l2
A B
l2
A B
l3
l1
Ivan A. C. de Albuquerque
Obtêm-se assim os pontos C e C’como interseção destas circunferências. A solução é
qualquer um dos triângulos , como se mostra na figura abaixo.
Dados os segmentos l e h e um ângulo, traçar um triângulo escaleno que tenha um lado
congruente ao segmento l, altura congruente ao segmento h e tenha o ângulo dado como um
de seus ângulos. Na figura abaixo se dar um exemplo.
41
l
h
l2
A B
l3
l1
C
C’
Ivan A. C. de Albuquerque
Trace um segmento de reta congruente ao segmento l e determine seus extremos pelos
pontos A e B. Em seguida transporte o ângulo de forma que o ponto A seja o seu vértice,
como se mostra na figura abaixo.
Por um ponto qualquer do segmento de reta l, digamos A, construa uma perpendicular a este
segmento e com o auxilio do compasso marque sobre ela o ponto P cuja distância ao ponto
A coincide com comprimento do segmento h. Veja a figura abaixo.
Trace pelo ponto P uma paralela ao segmento de reta l, como se vê abaixo.
r
42
A Bl
A B
P
l
A B
P
l
Ivan A. C. de Albuquerque
Prolongue o lado do ângulo que não corresponde ao segmento l ate que este intercepte a
paralela traçada anteriormente no ponto C. Como se mostra a seguir.
A solução e o triângulo como se mostra abaixo.
43
A B
P
l
C
P
A Bl
C
Ivan A. C. de Albuquerque
CONSSTRUÇÕES DE QUADRILÁTEROS
Quadrilátero é todo polígono que possui quatro lados.
Nosso interesse está no traçado de quadrados, retângulos, paralelogramos, losango e
trapézios.
Quadrado – Quadrilátero com os ângulos retos e os lados iguais entre si - Construção de um
quadrado, conhecido seu lado , figura 3.3.
Trace um segmento cujo comprimento seja igual a . Pelo ponto A trace uma semi-reta,
, perpendicular ao segmento . Com centro no ponto A e
raio igual a , determine sobre Ax o ponto C. Em seguida, com mesmo raio e centro nos
pontos C e B determine, como interseção dos dois arcos, o ponto D, figura 3.2(a) acima. A
solução é o quadrado de vértices nos pontos A,B,C e D ilustrado na figura 3.3(b) abaixo.
44
l
Fig. 3.3
C D
A B Fig. 3.3(b)
C D
A B Fig. 3.3(a)
Ivan A. C. de Albuquerque
Construir um quadrado, dado sua diagonal . Construa um segmento cujo comprimento
seja igual a , como ilustrado na figura 3.4 abaixo.
Construa a mediatriz do segmento determinando sua interseção O com o segmento,
como se indica na figura 3.34(a) abaixo.
Com centro no ponto O e raio igual a , obtenha sobre a mediatriz os ponto C e D, cujo
comprimento é obviamente igual a . Veja a figura 3,4(b) a seguir.
45
A
B Fig. 3.4
A O
B
Fig. 3.4
A O
B
C
Fig. 3.4(b)
D
Ivan A. C. de Albuquerque
A solução é o quadrado de vértices nos pontos A,C,B e D co explicado na figura 3.34(c)
abaixo.
Retângulo – Quadrilátero com os quatro ângulos retos – Construção de um retângulo dado a
diagonal e a base . Construa os segmentos de reta com o comprimento igual a e
cujo comprimento é igual a , como indicado na figura 3.5 logo a seguir.
Determine o ponto médio,M, da diagonal e com centro neste e raio igual ao comprimento do
segmento trace uma circunferência, figura 3.5(a) abaixo.
46
D
A O
B
C
Fig. 3.4(b)
C D
A B
Fig. 3.5
A B M
Fig. 3.5(a)
Ivan A. C. de Albuquerque
Com centro nos pontos A e B trace com raio igual a circunferências para determinar os
pontos C e D como indicado na figura 3.5(b) abaixo.
A solução é paralelogramo de vértices nos pontos A,C,B, e D como está indicado na figura
3.5 (c)
47
A B M
Fig. 3.5(a)
C
D
C
D
A B M
Fig. 3.5 (c)
Ivan A. C. de Albuquerque
Construir um retângulo, conhecendo sua diagonal e o anglo que esta forma com um dos
lados. Figura 3.6 abaixo.
Trace um semi-reta Ax e em seguida transporte o ângulo de formas que este tenha vértice
no ponto A e um dos lados sobre a semi-reta, como indicado na figura 3.6(a).
Com origem no ponto A construa a semi-reta Ay, contendo o outro lado do ângulo. Figura
3.6(b) abaixo
48
d
Fig. 3.6
A
x
Y
A x Fig.3.6(b)
Ivan A. C. de Albuquerque
Com centro no ponto A e raio igual ao comprimento da diagonal, determine sobre a semi-
reta Ay o ponto C, ilustrado na figura 3.6(c) abaixo.
elo ponto C trace uma perpendicular a semi-reta Ax obtendo o ponto B. Com centro no
ponto C e raio igual ao comprimento do segmento trace um arco e pelo ponto A com raio
igual ao comprimento do segmento um outro arco cuja interseção com o arco anterior é o
ponto D. Observe a figura 3.6(d) abaixo.
49
C
Y
A x Fig.3.6(c)
Y
A B x
Fig.3.6(d)
DC
Ivan A. C. de Albuquerque
A solução é o retângulo de vértices nos pontos A,B,C e D, ilustrado na figura 3.6(e).
Construção de um retângulo conhecido sua diagonal e um dos ângulos formados por
elas. Figura 3.7 abaixo.
Construa um segmento de reta cujo comprimento seja igual ao comprimento da diagonal,
e determine o seu ponto médio M, como se mostra na figura 3.7(a) mais a frente. Transporte
o ângulo de forma que este tenha suo vértice no ponto M e um dos lados sobre a diagonal,
como ilustrado na figura 3.7(b), e determine a reta s passando pelo ponto M e fazendo com a 50
DC
Y
A B x
Fig.3.6(e)
d
Fig. 3.7
Ivan A. C. de Albuquerque
diagonal um ângulo , como se ilustra na figura 3.7(b) abaixo. Com centro no ponto M e
raio igual a , determine sobre a reta s os pontos C e D.
A solução é o retângulo de vértices nos pontos A,B,C, e D ilustrado na figura 3.7 (c) abaixo
Paralelogramo – Quadrilátero com os lados opostos paralelos – Construção de um
paralelogramo conhecidos os lados e a altura relativa a um dele, digamos . Figura 4.1.
51
A B
Fig.3.7(a)
A M B
Fig.3.7(b)
C
D
s
A M B
Fig.3.7(c)
C
D
s
2
1
2
l
l
hl
Fig. 4.1
Ivan A. C. de Albuquerque
Trace um segmento de reta cujo comprimento seja igual ao comprimento do lado ,
tomado como base. Por um ponto qualquer do segmento de reta , por exemplo o ponto A,
trace uma perpendicular a este segmento, e nela com centro no ponto A e raio igual ao
comprimento da altura, , determine o ponto P e por ele trace uma paralela ao segmento
, veja figura 4.1(a) abaixo.
Com centro nos pontos A e B , e raio igual ao comprimento de determines os pontos C e
D, como por exemplo indicados na figura 4.1(b) abaixo.
A solução é o paralelogramo de vértices nos pontos A,B,C e D, ilustrado na figura 4.1(c)
abaixo.
52
P
Fig. 4.1(a)
A B
A B
P
Fig. 4.1(b)
DD
Fig. 4.1(c)
D C
A B
Ivan A. C. de Albuquerque
Losango – Quadrilátero com os lados iguais e dois ângulos agudos. Construção de um
losango, conhecido seu lado e um dos ângulos internos, . Figura 5.1.
Construa um segmento de resta de comprimento igual ao comprimento do lado , e
transporte o ângulo de formas que seu vértice coincida com o ponto A e um de seus lados
esteja sobre o segmento como indicado na figura 5.1(a) abaixo.
Construa a semi-reta Ax , sobre o lado do ângulo que não esta sobre o segmento , e
sobre ela, com centro no ponto A e raio igual a determine o ponto C., conforme ilustrado na
figura 5.1(b) acima. Com centro nos pontos C e B e raio igual a trace arcos para determina
o ponto D como interseção destes, como vai indicado na figura 5.1(c) abaixo.
53
l
Fig. 5.1
A B
Fig. 5.1(a)
A B
Fig. 5.1(b)
C
A B
Fig. 5.1(c)
CD
Ivan A. C. de Albuquerque
A solução é o losango cujos vértices são os pontos A,B,D e C, ilustrado na figura 5.1(d)
abaixo.
Construção de um losango, conhecidos o lado , e a diagonal . Figura 5.2.
54
d
l
Fig. 5.2
A B
C
D
Fig.5.2(a)
A B
Fig. 5.1(d)
CD
Ivan A. C. de Albuquerque
Construa um segmento de comprimento igual ao comprimento de e com centro nos
pontos A e B e raio igual a , construa arcos para determinar os pontos C e D como
indicados na figura 5.2(a) acima. A solução é o losango de vértices nos pontos A,B,C e D,
também indicado na figura 5.2(a).
Trapézio – Quadrilátero com dois de seus lados não paralelos – Construção do trapézio
isósceles, conhecendo-se suas bases e sua altura , como se mostra na figura 5.3.
Construa um segmento cujo comprimento seja igual ao comprimento de uma das bases,
por exemplo a base . Em seguida, construa a mediatriz do segmento , localizando o
ponto médio M do segmento, e sobre ela com centro no ponto M e raio igual determine o
ponto P, como ilustrado na figura 5.3(a) abaixo. .cuja distância ao segmento seja igual a
altura.
55
h
b1
b2
Fig. 5.3
P
M
Fig. 5.3(a)
A B
Ivan A. C. de Albuquerque
Trace pelo ponto P, uma paralela s ao segmento , e com centro no ponto P e raio igual a
determine sobre esta paralela os pontos C e D, como se mostra na figura 5.3(b) abaixo
A solução é o trapézio de vértices nos pontos A,B,C e D ilustrado na figura 5.3(c) abaixo.
56
P
M
Fig. 5.3(b)
A B
CD s
A BM
P
Fig. 5.3(c)
CD s
Ivan A. C. de Albuquerque
Construção do trapézio isósceles, conhecendo sua base maior b, seu lado l e o ângulo
compreendido entre a base e o lado. Veja figura 5.4 abaixo.
Construa o segmento com comprimento igual a b e transporte o ângulo de forma que
tenha um dos lados sobre o segmento e vértices nos pontos A e B, como indicado na figura
5.4(a) abaixo.
Determine as semi-retas Ax e By . Com centro nos pontos A e B e raio igual a , determine
sobres as semi-retas os pontos C e D, conforme indicado na figura 5.4(b) abaixo.
57
Fig.5.4
A
B
Fig. 5.4(a)
D
A
B
Fig. 5.4(b)
C D
A
B
Fig. 5.4(c)
C
Ivan A. C. de Albuquerque
A solução é o trapézio de vértices nos pontos A,B,C e D ilustrado na figura 5.4(c) acima.
Construir um trapézio escaleno conhecendo, sua altura , um de seus lados e suas bases:
menor e maior . Veja figura 5.5 abaixo
Construa um segmento de reta cujo comprimento seja igual a . Por um ponto qualquer
do segmento, por exemplo o ponto A, determine uma semi-reta Ax perpendicular ao
segmento. Sobre esta semi-reta determine o ponto P de forma que o segmento de reta
tenha comprimento igual a , conforme indicado na figura 5.5(a) abaixo.
58
h
l
b1
b2
Fig.5.5
P
A
B
Fig. 5.5(a)
Ivan A. C. de Albuquerque
Pelo ponto P trace uma paralela ao segmento . Em seguida, com centro em qualquer um
dos pontos A ou B, digamos B, e raio igual a determine o ponto C sobre esta paralela e em
seguida com centro neste ponto C e raio igual a determine ainda sobre esta paralela o
ponto D, veja a figura 5.5(b) abaixo.
A solução é o trapézio de vértices nos pontos A,B,C e D, ilustrado na figura 5.5(c) abaixo.
Construir um trapézio retângulo, conhecidos a base maior um lado e a altura . Figura
5.6 abaixo.
59
P
A
B
Fig. 5.5(b)
CD
A
B
Fig. 5.5(c)
CD
Fig. 5.6
Ivan A. C. de Albuquerque
Cons um segmento rua de comprimento igual a e por qualquer ponto do segmento , por
exemplo A, determine uma semi-reta perpendicular ao segmento. Com centro no ponto A e
raio igual a determine sobre a semi-reta o ponto D , interseção da semi-reta com a
circunferência. Trace por D uma paralela ao segmento . Com centro no ponto B e raio
igual a determine sobre a paralela o ponto C, veja a figura 5.6(a) abaixo
A solução é o trapézio de vértices nos pontos A,B,C e D ilustrado na figura 5.6(b) abaixo.
TRAÇADO DOS POLÍGNOS REGULARES
60
CD
A
B
Fig. 5.6(a)
CD
A
B
Fig. 5.6(b)
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