Desenvolvimento de Sistemas Baseados em Conhecimento CSP - Constraint Satisfaction Problems

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CSP - Constraint Satisfaction Problems

Motivação

• Estratégias de busca– Cada estado é estado é uma caixa preta– Não existe uma estrutura que suporte operações

» Teste de objetivo, avaliação, função sucessor– Heurísticas específicas para cada domínio

• CSP– Estado é definido por variáveis Xi com possíveis valores dentro de

um domínio Di

– Teste é um conjunto de restrições que especificam as combinações de valores possíveis para subconjuntos de variáveis

– Exemplo de uma simples Linguagem de Representação Formal– Permite o uso de algoritmos de propósito geral com mais poder que

algoritmos de busca padrão

Definição Formal para um CSP

• CSP – Conjunto de variáveis X1, X2, ..., Xn

– Conjunto de restrições C1, C2,..., Cm

– Cada variável X1 tem um domínio Di de possíveis valores

– Um estado do problema é definido como uma atribuição de valores para todas as variáveis

» { xi = vi, xj = vj, ... }

– Uma atribuição que não viola qualquer restrição é dita consistente– Uma atribuição que considera todas as variáveis é dita completa– Uma atribuição consistente e completa é dita uma solução

Exemplo 1 – Coloração de mapas

• Colorir um mapa com três cores, de modo que nenhuma cor seja vizinha a outra

– Variáveis» WA, NT,Q,AS,NSW,V,T

– Domínios» Di = {red,green,blue}

– Restrições: regiões adjacentes devem ter cores diferentes

» WANT, WAAS, NTQ,...ou» (WA,NT) {(red,green),(red,blue),

(green,red),(green,blue)...}

Exemplo – Coloração de mapas

• Colorir um mapa com três cores, de modo que nenhuma cor seja vizinha a outra

Gráfico de Restrições

• CSP Binário: cada restrição está relacionada a no máximo duas variáveis– Facilmente representada via um gráfico de restrições

Arcos = restrições

Nós = variáveis

Tipos de Variáveis

• Variáveis discretas– Domínio finito– Exemplo: Coloração de mapas– Problema das oito rainhas pode ser modelado com variáveis

discretas?

• Variáveis contínuas– Domínios infinitos– Exemplo: agendamento das observações do telescópio Hubble

» Start/end times

Tipos de Restrições

• Restrições unárias– Envolvem uma simples variável

» E.g., SA green

• Restrições binárias– Envolvem pares de variáveis

» E.g., SA WA

• Restrições de alta ordem– Envolvem 3 ou mais variáveis

» E.g., Problemas de cryptarithmetic

• Preferências (soft-constraints)– Restrições que só são obedecidas se for possível (idéia de custo)

» Vermelho é melhor do que azul

Exemplo: cryptarithmetic

• Substitua letras por números de forma que a operação esteja correta

– Variáveis» F, T, U, W, R, O, X1, X2, X3

– Domínios» D = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

– Restrições:» alldiff(F,T,U,W,R,O)» O+O = R+ 10 . X1

» ...

Formulação Utilizando Busca Padrão

• Vamos iniciar com uma abordagem dump e melhorá-la– Estados são definidos como cada possível atribuição– Estado inicial: a atribuição vazia, { }– Função sucessor: atribui um valor para uma variável não utilizada

que não conflita com as atribuições atuais» Falha se não existe atribuição possível

– Teste de objetivo: a atribuição atual é completa

• Vantagens: – Solução solução em profundidade n, sendo n número de variáveis

• Desvantagem– Altamente ineficiente (Dump)

Formulação usando Backtracking

• Tomar vantagem da característica de comutatividade– Atribuição de variávei sem CSP são comutativas– [WAred e então NTgreen] [WAgreen e então NT red]

Formulação usando Backtracking

Formulação usando Backtracking

Formulação usando Backtracking

• Importância de se escolher uma boa estratégia

Melhorando a Eficiência

• Métodos de propósito geral podem gerar grandes ganhos em velocidade– Qual variável deve ser atribuída em seguinte?– Em que ordem os seus valores devem ser atribuídos?– É possível detectar falhas previamente?– Podemos tomar vantagem da estrutura do problema?

Melhorando a Eficiência

• Ordem das variáveis– Feita de forma estática

• Minimum Remaining Values (MRV)– Escolher variável com o menor conjunto de valores possíveis

Próximo melhor variável

Melhorando a Eficiência

• Característica do MRV– Se existe uma variável X com zero valores legais restantes, o

MRV irá selecionar X e uma falha será detectada imediatamente. Isso evita buscas “mortas” através de outras variáveis que irão sempre falhar quando X é finalmente selecionado.

– Considerável ganho, de acordo com a tabela anterior» Performance de 3 a 3000 melhor» Comparação justa?

Não é considerado o custo extra de calcular os valores heurísticos

Melhorando a Eficiência

• A heurística MRV não ajuda na escolha da primeira região da Austrália a ser colorida– No início todas as regiões possuem três cores legais

• Uso da Degree Heuristic como critério de desempate– Seleção da variável envolvida com maior número de constraints

sobre outras variáveis não atribuídas

5 constraints

Melhorando a Eficiência

• Métodos de propósito geral podem gerar grandes ganhos em velocidade– Qual variável deve ser atribuída em seguinte?– Em que ordem os seus valores devem ser atribuídos?– É possível detectar falhas previamente?– Podemos tomar vantagem da estrutura do problema?

Melhorando a Eficiência

• Heurística least-constraining-value– Prefere valores que excluem o menor número de escolhas para

as variáveis vizinhas no gráfico de restrição

Tentar uma máxima flexibilidade para a atribuição de variáveis subsequentes

Melhorando a Eficiência

• Métodos de propósito geral podem gerar grandes ganhos em velocidade– Qual variável deve ser atribuída em seguinte?– Em que ordem os seus valores devem ser atribuídos?– É possível detectar falhas previamente?– Podemos tomar vantagem da estrutura do problema?

Melhorando a Eficiência

• Até o momento consideramos as constraints sobre variáveis apenas no momento que a variável é escolhida pelo método SELECT-UNASSIGNED-VARIABLE

• Olhar previamente algumas constraints na busca, ou antes mesmo da busca, pode reduzir dramaticamente o espaço de busca

Melhorando a Eficiência

• Método FORWARD CHECKING– Toda vez que uma variável X é atribuída, o sistema olha cada

variável Yi não atribuída que está conectada a X por uma constraint e apaga do domínio de Yi qualquer valor que é inconsistente como valor escolhido para X.

Melhorando a Eficiência

• Método FORWARD CHECKING

Melhorando a Eficiência

• Método FORWARD CHECKING

Melhorando a Eficiência

• Método FORWARD CHECKING

Melhorando a Eficiência

• Limitações do FORWARD CHECKING– Não consegue detectar todas as inconsistências existentes

NT e SA não podem ter a cor azul ao mesmo tempo

Melhorando a Eficiência

• Propagação de Constraints– Termo geral para a propagação de implicações de uma constraint

sobre uma variável em outras variáveis

– Neste exemplo é necessário propagar de WA e Q para NT e SA

Melhorando a Eficiência

• Método ARCO CONSISTÊNCIA (Arc Consistency)– Arcos se referem a uma ligação direta no gráfico de restrições

Dado o domínio de SA e NSW, o arco é considerado consistente se, para todo valor x de SA, existe algum valor y de NSW que é consistente com x.

Melhorando a Eficiência

• Método ARCO CONSISTÊNCIA (Arc Consistency)– Uma simples forma de propagação é fazer cada arco consistente

X arc Y é consistente sss x (x X) y (y Y)

Melhorando a Eficiência

• Método ARCO CONSISTÊNCIA (Arc Consistency)– Lembrar que se um X perde um valor, os seus visinhos precisam

ser reavaliados

Melhorando a Eficiência

• Método ARCO CONSISTÊNCIA (Arc Consistency)– Obviamente esta técnica detecta falhas mais cedo do que a

forward checking

•Tecnica pode ser utilizada como um pre-processo ou depois de cada atribuição

Melhorando a Eficiência

• Método ARCO CONSISTÊNCIA (Arc Consistency)

Melhorando a Eficiência

• Busca Local para CSP– Usam uma formulação de estados completa

» No estado inicial é atribuído um valor para toda variável» A função sucessor modifica o valor de uma variável de cada vez

– Heurística Min-conflicts: seleciona o valor que resulta em um número mínimo de conflitos com outras variáveis

Estado inicial?

Função sucessor?

Melhorando a Eficiência

• Busca Local para CSP– Pode ser usada em correções em tempo real quando o problema

é modificado– Característica muito importante para problemas de scheduling

“O schedule de uma companhia aérea pode envolver milhares de vôos e dezenas de milhares de alocações de funcionários, mas um mau tempo em um aeroporto pode

tornar o schedule inválido. Um sistema ideal deveria reparar o schedule com o mínimo de modificações. Isto pode ser facilmente feito com um algoritmo de busca local, que

tem o seu estado inicial setado como o schedule corrente”

Melhorando a Eficiência

• Métodos de propósito geral podem gerar grandes ganhos em velocidade– Qual variável deve ser atribuída em seguinte?– Em que ordem os seus valores devem ser atribuídos?– É possível detectar falhas previamente?– Podemos tomar vantagem da estrutura do problema?

Melhorando a Eficiência

• Tirando vantagem da estrutura do problema– Tasmania e a parte continental são sub-problemas independentes– Facilmente identificável– Solução final é a união das sub-soluções

Caso muito raro

Melhorando a Eficiência

• Tirando vantagem da estrutura do problema– Na maioria dos casos todos os nós estão conectados– Caso mais simples é quando o gráfico de restrições forma uma

árvore» Qualquer duas variáveis são conectadas no máximo por uma ligação

Melhorando a Eficiência

• Tirando vantagem da estrutura do problema– Algoritmo para uma árvore CSP estruturada

» 1. Escolha uma variável como root, ordene as variáveis do root para as folhas tal que todo pai do nó

» 2. Para j de n até 2, aplique REMOVEINCONSISTENT(Parent(Xj),Xj)

» 3. Para j de 1 até n, atribua Xj consistentemente com Parent(Xj)

Melhorando a Eficiência

• Árvores quase estruturadas– Tentar transformar para estruturadas

• Algoritmo– Instancie todas as variáveis de modo que as variáveis restantes

(não instanciadas) virem uma árvore– Ajuste os domínios visinhos

Melhorando a Eficiência

• O valor para SA pode ser escolhido erroneamente• Algoritmo geral

1. Escolha um subconjunto de S de VARIABLES[csp] tal que o gráfico de restrições torne-se um árvore depois da remoção de S. S é chamado de “Cycle cutset”

2. Para cada possível atribuição para a variável em S que satisfaça todas as restrições em Sa. Remova do domínio das variáveis restantes qualquer valor

que seja inconsistente com a atribuição para Sb. Se o CSP resultante tem uma solução, retorne ele com a

atribuição para S

Melhorando a Eficiência

• Outra abordagem é baseada na construção de uma árvore de decomposição do grafo de restrições em um conjunto de subproblemas conectados– Cada solução é trabalhada individualmente e as soluções combinadas

Melhorando a Eficiência

• A decomposição da árvore deve satisfazer três requisitos– Toda variável no problema original aparece no mínimo em um

subproblema– Se duas variáveis estão conectadas por uma restrição no problema

original, elas devem aparecer juntas (com suas restrições) no mínimo em um dos subproblemas

– Se uma variável aparece em dois subproblemas na árvore, deve haver uma restrição dizendo que o valor de tais variáveis deve ser igual

• Resolução– Se uma dos subproblemas não tem solução, o problema não tem

solução– Se todos os subproblemas tem solução, tenta-se encontrar uma solução

global

Melhorando a Eficiência

• Resolução (continuação)– Resolução global:

» Considerar cada subproblema como uma mega-variável cujo domínio é o conjunto de todas as soluções para o subproblema

» Utilizar o algoritmo para árvores anterior, onde as restrições entre subproblemas simplesmente forçam que as soluções para os subproblemas cheguem a um acordo quanto as variáveis compartilhadas

Domínio com 6 elementos:e.g. {WA = red, AS = blue, NT = green

Única solução possível{AS = blue, NT = green, Q = red}