Diferentes abordagens do método de elementos finitos usando MATLAB para resolução de equações...

Diferentes Abordagens do Método de Elementos Finitos usando MATLAB para Resolução de Equações Diferenciais

Juliana Reina Martins Gomes*, Messias Meneguette Jr., Fernanda Paula Barbosa Depto Matemática ,Estatística e Computação, FCT- UNESP

19060-900, Presidente Prudente, SP

E-mail: juju_unesp@yahoo.com.br, messias@prudente.unesp.br,

fernanda@estudante.prudente.unesp.br

O método de elementos finitos é uma das principais técnicas numéricas utilizadas para se encontrar a solução aproximada de equações diferenciais, contudo este método necessita de uma prévia decomposição do domínio original que está sendo analisado, em elementos finitos.

A implementação computacional do método de elementos finitos consiste na montagem de sub-matrizes que computam as propriedades de cada elemento, através de coeficientes de influência, para então se formar o sistema de equações algébricas associadas para a discretização. A aplicação das condições de contorno processa-se de maneira simples, e tem-se a possibilidade de representação de problemas com domínios possuindo uma geometria intrincada [5].

A implementação baseada em elementos finitos pode ser feita com vários tipos de elementos, em cujos nós são computados os valores com base em funções de interpolação, que definem a equação através do interior do domínio. A definição da equação permite a aplicação dos princípios variacional e dos resíduos ponderados.

Dentre os métodos variacionais destacamos o Método de Rayleigh-Ritz e dentre os resíduos ponderados destacamos o Método de Galerkin. Esses são os métodos mais conhecidos e deles originou o Método de Elementos Finitos [1].

O método de elementos finitos surgiu como uma nova possibilidade de resolver problemas da teoria da elasticidade, superando as dificuldades e problemas inerentes aos métodos de Rayleigh-Ritz, Galerkin, Resíduos Ponderados e outros. Nos dois primeiros métodos, nem sempre é fácil obter as funções aproximadoras que satisfazem as condições de contorno irregular e saber se elas se aproximam da função exata [2]. ___________________ *Bolsista de Iniciação Científica FAPESP

Neste trabalho vamos utilizar a equação diferencial

- [ p(x) .u’ ]’ + q(x).u = f(x) , para 0 ≤ x ≤ 1, onde p(x)= x2 , q(x)= -4 e f(x)= x2. Além disso, temos que u(0)=0 e u(1)=0.

Com o exemplo acima seguindo [3] e [4] vamos fazer os algoritmos dos Métodos de Elementos Finitos, Rayleigh-Ritz e Galerkin, com as condições de contorno de Dirichlet e com 10 elementos. Depois será feita uma comparação dos três métodos com a solução exata da equação, para assim verificar qual o método que mais se aproxima da solução exata.

Todos os algoritmos e gráficos são programados em MATLAB, que é uma linguagem muito acessível.

Referências [l] Assan, A. E. Método dos Elementos Finitos:

primeiros passos. Campinas, São Paulo. Editora Unicamp, 1999. (Coleção Livro-Texto)

[2] Burden, R. L. & Faires, J.D. Análise Numérica. São Paulo, São Paulo. Pioneira Thomson Learning, 2003.

[3] Finlayson, B. A.. Numerical methods for problems with moving fronts. Seattle, Washington. Ravenna Park Publishing, Inc. 1992.

[4] Nakamura, S. Numerical analysis and Graphic Visualization with MATLAB. Upper Saddle River, New Jersey. Prentice Hall PTR, 2002.

[5] Wendlander, E. Modelos Matemáticos e Métodos Numéricos em Águas Subterrâneas. São Carlos, São Paulo. SBMAC, 2003.