Disciplina: Mecânica Geral -Estática. Centroide • Analogamente ao cálculo da posição do ponto...

Disciplina:Mecânica Geral - Estática

Prof. Dr. Eng. Fernando Porto

III. Área e Centro de Gravidade de Superfície Plana

y

x

x

y

dy

dx

dA

SCG

Como localizar o centro de gravidade de uma superfície qualquer?

Válido para qualquer carregamento distribuído!

Relembrando:

Intensidade da força resultante

Localização da força resultante

1. Centroide

• Analogamente ao cálculo da posição do ponto de aplicação da força resultante em um carregamento distribuído, podem ser determinadas as coordenadas cartesianas do centro de gravidade (centroide) de uma superfície plana.

• e ou xg e yg ... coordenadas cartesianas do CG da figura plana em relação aos sistema de eixos x e y;

• dA ... elemento infinitesimal de área da superfície;

• x e y ... coordenadas cartesianas de cada dA em relação aos eixos x e y.

CG: centro de gravidade

Fazendo

então

Þ

Analogamente

Não esquecendo que dA = dx.dy

1.a. Centroide do Retângulo

• Seja a área retangular ao lado.

��

�

��

�

Analogamente

Lembrando que

então

��

�

1.b. Centroide do Triângulo

• Seja a área triangular ao lado.

�

�

Analogamente...

Lembrando que

então

1.c. Centroide do Semicírculo

• Seja a área do semicírculo abaixo.

�

�

Vale 0 neste sistema de coordenadas!

�

Ou seja, é necessário determinar y e dAem função de r e q.

Nesta situação, é necessário trabalhar com coordenadas polares.

Atenção: para ângulos muito pequenos, pode ser considerado

sen(q) » q

Assim

r. sen(dq) » r. dq

onde

Então...

numerador

denominador

É importante observar que o denominador òdA é a área da superfície, tal como nos casos anteriores.

Desenvolvendo o numerador:

cosp = -1

cos0 = 1

Desenvolvendo o denominador:

Assim...

numerador

denominador

1.d. Quadrante do Círculo

• Seja a área do quadrante do círculo abaixo.

�

�

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III. Área e Centro de Gravidade de Superfície Plana

Aplicação

1.a. Centroide do Retângulo

1.b. Centroide do Triângulo

1.c. Centroide do Semicírculo

1.d. Quadrante do Círculo

1. Aplicação

• Dado a figura abaixo determinar, determinar a área e seu centro de gravidade.

(m)

(m)

Centroide do Retângulo

Centroide do Quadrante do

Círculo

2. Aplicação

• Dado a figura abaixo determinar, determinar a área e seu centro de gravidade.

(m)

Centroide do Retângulo

Centroide do Triângulo

Centroide do Semicírculo

3. Aplicação

• Dado a figura abaixo determinar, determinar a área e seu centro de gravidade.

(m)

4. Aplicação

• Dado a figura abaixo determinar, determinar a área e seu centro de gravidade.

(mm)

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III. Área e Centro de Gravidade de Superfície Plana

Série de Exercícios

Exercício 1

• Estime a área e a posição do centroide da figura ao lado.

Respostas: x = 54,8 mm; y = 36,6 mm; A = 13282 mm2

Exercício 2

• Estime a posição do centroide da figura ao lado.

Respostas:

x = 175,6 mm; y = 94,4 mm

30 mm

300 mm

240 mm

30 mm

Exercício 3

• Estime a posição do centroide da figura ao lado.

Respostas:

x = 5,67 m; y = 5,17 m

6 m 6 m

6 m6 m

3 m

Exercício 4

• Estime a posição do centroide da figura ao lado.

Respostas:

x = 7,22 m; y = 9,56 m

6 m 8 m

8 m

12 mr = 4 m

Exercício 5

• Estime a posição do centroide da figura ao lado.

Respostas:

x = 92,0 mm; y = 23,3 mm

Exercício 6

• Estime a posição do centroide da figura ao lado.

Respostas:

x = 1,643 m; y = 17,46 m

20 m

16 m

r = 38 m

Exercício 7

• Estime a posição do centroide da figura ao lado.

Respostas:

x = -10,0 mm; y = 87,5 mm

Exercício 8

• Estime a posição do centroide da figura ao lado.

Respostas: x = 0 m; y = 6,45 m

r1 = 8 mr2 = 12 m

Exercício 9

• Estime a posição do centroide da figura ao lado.

Respostas:

x = 16,21 mm; y = 31,9 mm

Bibliografia

BEER, FERDINAND P.; JOHNSTON, E. RUSSELL; EISENBERG, ELLIOT R.

Mecânica Vetorial Para Engenheiros - Estática

Editora: MCGRAW HILL – BOOKMAN; 2010

ISBN: 8580550467