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S11 • Domínios planos e condições em variável complexa
Dados dois pontos A e B, afixos dos números complexos 1z e 2z , respetivamente, tem‐se que 2 1AB z z
1 1 1z x y i e 2 2 2z x y i
1 1,A x y e 2 2,B x y
2 22 1 2 1AB x x y y
2 1 2 2 1 1
2 1 2 1
2 22 1 2 1
z z x y i x y i
x x y y i
x x y y
Em , conjunto dos números complexos, sejam
19
11 31
iz
i
e 32
2 3i
z ke
, com k
Sabe‐se que, no plano complexo, a distância entre o afixo de 1z e o afixo de 2z é igual a 5.
Qual é o valor de k ?
19
1
1 3 11 32
1 1 1i ii
z ii i i
e
32
2 3 3i
z ke ki
Como a distância entre os afixos de 1z e de 2z é igual a 5 vem que:
1 2
2
2 22
2
5 2 1 3 5
9 6 5 5
9 6 5 5
29 6 0 0
3
z z i k
k k
k k
k k k k
Como k temos que 23
k
Qual é o conjunto de pontos do plano complexo que estão à distância 2do afixo de 2 i ?
2 2z i
Um número complexo z satisfaz esta condição se a distância do seu afixo ao afixo de 2 i for igual a 2 . O lugar geométrico dos pontos que estão à distância de 2 de um ponto fixo é a circunferência de centro nesse ponto e raio igual a 2.
Circunferência e círculo
Seja 1P o afixo do número complexo 1 1 1z x y i e 0r
1z z r
1z z r 1z z r
Circunferência de centro no afixo de 1z , o ponto 1P , e de raio r
Círculo de centro no afixo de
1z , o ponto 1P , e de raio r Parte interna da circunferência de centro no afixo de 1z , o ponto 1P , e de raio r
Represente geometricamente a região do plano definida pelas condições seguintes:
1.
1 2z i
2. 2 1 1 3i z z i
3. 1 3 2 2z i
Sejam 1P e 2P os afixos dos números complexos 1 1 1z x y i e 2 2 2z x y i
respetivamente.
1 2z z z z 1 2z z z z 1 2z z z z
Mediatriz do segmento de reta 1 2PP
Semiplano aberto, limitado pela mediatriz de 1 2PP e que
contém o ponto 1P .
Semiplano fechado, limitado pela mediatriz de 1 2PP e que
contém o ponto 2P .
Represente geometricamente, no plano complexo, a região do plano definida pelas condições seguintes:
1. 2 3z i z i
2. 1z z i
3. 42 2 2 2
iz i z z e
42 2 cos sin 14 4
ie i i
Em , conjunto dos números complexos, sejam 1z e 2z tais que
1 2z i e 1 2 4 3z z i
Considere a condição 1 2z z z z 1
Mostre que o número complexo 42i
e verifica esta condição e interprete
geometricamente este facto.
1 2 2 2 2 2
1 1
4 3 24 3 4 34 3 1 2
2 2i ii i
z z i z z z z iz z i i
42 2 cos sin 14 4
ie i i
1 2z z z z 1
1 2z i , 2 1 2z i e 1z i
1 1 2 1 1z z i i e 2 1 1 2 1z z i i i
Como o número complexo 42i
e verifica a condição 1 então o afixo deste número
complexo é equidistante de 1z e de 2z .
Seja o número complexo z a bi , tal que Re z a e Im z b
Retas paralelas ao eixos coordenados e semiplanos
Re z a Re z a Re z a
Reta vertical que passa no ponto de coordenadas ,0a .
Im z b Im z b Im z b
Reta horizontal que passa no ponto de coordenadas 0,b .
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