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Universidade Estadual de Santa Cruz - UESC
Departamento de Ciencias Exatas e Tecnologicas - DCET
Programa de Pos-graduacao em Fısica
Leandro de Oliveira
Double Beta Decay using FQTDA model
Decaimento Duplo-Beta usando o modelo de FQTDA
Ilheus, BA, Brasil
2015
Leandro de Oliveira
Double Beta Decay using FQTDA model
Decaimento Duplo-Beta usando o modelo de FQTDA ∗
Dissertacao apresentada ao Programa de Pos-
graduacao em Fısica, Universidade Estadual de
Santa Cruz, para obtencao do grau de Mestre
em Fısica.
Area de Concentracao : Fısica
Orientador: Prof. Dr. Arturo Rodolfo Samana
Ilheus, BA, Brasil
2015
∗Trabalho financiado pela FAPESB
O48 Oliveira, Leandro de.
Double beta decay using FQTDA model/ Decaimento Duplo-Beta
usando o modelo de FQTDA/ Leandro de Oliveira. - Ilheus, BA:
UESC, 2015.
158f.: il.
Orientador: Arturo Rodolfo Samana
Dissertac~ao (Mestrado) - Universidade Estadual
de Santa Cruz. Programa de Pos-Graudac~ao em
Fısica.
Inclui referencias e apendices.
1. Estrutura nuclear. 2. Teoria de camadas nu-
cleares. 3. Partıcula (Fısica nuclear). I. Tıtulo.
CDD 539.7
AGRADECIMENTOS
Agradeco a todos que, de uma forma ou de outra, colaboraram para a realizacao deste
trabalho.
– Ao meu orientador Dr. Arturo Samana, que dedicou uma parte do seu tempo para
auxiliar a execucao deste trabalho, sanando minhas duvidas dotado de extrema paciencia e
comprensao com minhas dificuldades, sempre me apresentando novos horizontes. Grato por
tudo Arturo! Nao teria conseguido sem sua ajuda e amizade.
– Agradeco tambem ao Prof. Dr. Cesar A. Barbero, pelas dicas e analises feitas que
permitiram melhorar essa dissertacao, e tambem por ser corpo de minha banca. Do mesmo
modo ao Prof. Dr. Alejandro Dimarco, pela amizade e participacao, sem esquecer das cervejas
nesses anos de convıvio.
– A minha familia: meus pais, Fernando e Marlene, que sempre me deram apoio e
condicoes para continuar essa tarefa, mesmo no meu dia mais intepestuoso. Tambem as
minhas irmas, Fernanda e Sonia, que sempre me encorajaram a prosseguir este caminho. Sem
esquecer dos pequenos “banbinos”, sobrinhos, Bruno, Beatriz e Arthur, que me alegravam e
reviravam meu local de estudo de pernas pro ar a cada visita de final de semana e/ou feriados
prolongados.
– A minha namorada, Sumaia Suzart A. Nunesmaia, pelas horas abdicas para rea-
lizacao desse projeto. E todo carinho e compreesao que sempre demonstrou. Mesmo quando
houvesse um feriado ou um recesso prolongado em que ja tivesse programado algo para dis-
trair, eu surgisse com um porem e algo importante que tivesse que digitar, ou que ler. Mesmo
em prol de furia, ela sempre me entendia, ou tentava entender. Me lembrando que ja estava
proximo do fim.
– Aos “Caras” grandes amigos, parceiros, companheiros, que fui capaz de conhecer
e tive a grande oportunidade de conviver com eles durante todo esse tempo, em especial:
Willian, Cleiton ’Carai’, Audilucio, Ualace, Vitor, Enesson e ao mexicano Eduardo, que eram
capazes de me dar apoio, convidando para momentos de fuga para uma cerveja no inferninho
ou mesmo um churrasco na praia em plena quarta-feira de uma semana atarefada.
– As meninas do programa de Pos-graduacao da PROFISICA, sempre presente e dis-
postas a auxiliar na parte burocratica.
– A Fapesb pelo apoio financeiro a este projeto.
– A Universidade Estadual de Santa Cruz, pelo espaco cedido e condicoes disponibili-
zadas.
Assim como uma grande bagagem, levo comigo
grandes amigos, que mais parecem irmaos!
Que gostavam de dizer num bar, em uma partida
de sinuca ou domino, horas antes de uma prova:
“A gente se fode, mas se diverte, nessa porra!”
ABSTRACT
Double Beta Decay using FQTDA model
Author: Leandro de Oliveira
Supervisor: Dr. Arturo Rodolfo Samana
Date and place of defense: Ilheus, February 20, 2015.
In this work we study the nuclear double beta decay (ββ-decay) within the Four
Quasiparticle Tamm-Damcoff approximation (FQTDA) by Ram Raj in Phys. Rev.155(1966).
The FQTDA model in the ph-limit was previously employed for the ββ-decay of 48Ca by F.
Krmpotic in Fizika B14 (2005) 139. This model does not present some inconveniences that
usually appear in the QRPA calculations, as such as the ambiguity in treating the intermediate
states, and the need for performing a second charge-conserving QRPA to describe the ββ-
decays to the excited final states. Another issue that the authors claim is that this model
does not present a extreme sensitivity of the 2νββ decay amplitudes M2ν on the residual
interaction in the particle-particle (pp) channel when QRPA calculations are performed. Here,
we extended the calculations performed for 48Ca in the ph-limit to a complete FQTDA, to
improve and to impose constraints in the parameters of the used residual interaction trying to
reproduce the available experimental data. In this way, calculations with another possible ββ
emitters nuclei, as such as 76Ge, were implemented to compare the FQTDA with usual QRPA
in an open shell nuclei. We have noted that the new model comprises all essential nuclear
structure ingredients needed to describe the ββ-decay processes. Nevertheless, the extreme
sensitivity of the 2νββ decay amplitudes M2ν on the residual interaction is still preserved
with the emergence of a so-called colapse of FQTDA. We noted that nature of this new effect
is different when it is compared with that coming from QRPA. The colapse of QRPA is related
with complex eigenvalues energies merged as solutions from QRPA equations for certain values
of pp strength of residual interaction. In our case, the collapse of FQTDA is due that the
denominator of energy in M2ν goes to zero when the ground state energy of the the virtual
1+ intermediary state overlaps with the half energy of the 0+ ground state, for certain values
of the pp strength. On the other hand, the region of values for this strength parameter in
FTQDA case is enhanced in comparison with QRPA case, when the same residual interaction
is used.
Key-words: Nuclear struture; TDA; QTDA; FQTDA
RESUMO
Decaimento Duplo-Beta usando o modelo de FQTDA
Autor(a): Leandro de Oliveira
Orientador: Dr. Arturo Rodolfo Samana
Data e Local da Defesa: Ilheus, 20 de Fevereiro de 2015.
Neste trabalho, estudamos o decaimento nuclear duplo beta (decaimento-ββ) na apro-
ximacao de quatro Quasepartıculas Tamm-Danmcoff - FQTDA - segundo Ram Raj na Phys.
Rev.155(1966). O modelo FQTDA no limite-ph foi previamente usado no decaimento-ββ para
48Ca por F. Krmpotic em Fizika B14 (2005) 139. Este modelo nao apresenta os mesmos incon-
venientes que usualmente aparecem nos calculos de QRPA, tais como um tratamento ambıguo
para os estados intermediarios e a necessidade de realizar a segunda conservacao de carga na
QRPA para descrever o decaimento-ββ para os estados finais excitados. Outro ponto que
os autores mencionam e que este modelo nao apresenta uma extrema sensibilidade no decai-
mento de 2νββ para as amplitudes M2ν da interacao residual no canal de partıcula-partıcula
(pp). Aqui, nos estendemos os calculos feitos no para 48Ca do limite-ph para uma completa
FQTDA, para melhorar e impor restricoes aos parametros usados na interacao residual ten-
tando reproduzir os dados experimentais disponıveis. Nesse caminho, calculos com outros
possıveis emissores ββ foram implementados, como por exemplo para o 76Ge, para comparar
a FQTDA com a usual aproximacao de quasepartıculas de fase aleatoria - QRPA - num nucleo
de camada aberta. Nos temos notado que o novo modelo compreende todos os ingredientes de
estrutura nuclear essenciais necessarios para descrever o processo de decaimento-ββ. Porem,
a extrema sensibilidade no decaimento de 2νββ para as amplitudes M2ν da interacao residual
no canal pp ainda e preservada com o surgimento do chamado colapso da FQTDA. Notamos
que a natureza deste efeito e diferente quando se compara com aquele da QRPA. O colapso
da QRPA esta associado ao surgimento de autovalores de energia complexos nas equacoes de
QRPA para alguns valores da amplitude do canal pp da interacao residual. Em nosso caso, o
colapso da FQTDA e devido a que o denominador de energia no M2ν vai para zero quando
a energia do estado fundamental do estado virtual 1+ se sobrepoe com a metade da energia
do estado fundamental 0+ final, para certos valores da amplitude do canal pp. Por outro
lado, a regiao de valores para este parametro de amplitude e estendido na FQTDA quando
se compara com aquela da QRPA, usando a mesma interacao residual.
Palavras-chave: Estrutura Nuclear; TDA; QTDA; FQTDA
LISTA DE FIGURAS
1.1 Esquema dos decaimentos β-simples e duplo-β. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2 Esquema do decaimento-ββ para 76Ge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3 Esquema para: (a) decaimento-2νββ. (b) decaimento-0νββ. . . . . . . . . . . 28
3.1 M2ν na QTDA. O primeiro e segundo vertice correspondem, respectivamente, aos elementos
de matriz (3.11) e (3.12). O terceiro vertice representa a interacao residual no estado final. . 36
3.2 Diagrama do codigo FQTDA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.1 Na parte superior, apresentamos as amplitudes de transicao duplo-β−, do tipo
Sββ−
F Fermi (em vermelho) e do tipo Sββ−
GT Gamow-Teller (em azul) como funcao
das energia dos estados finais 0+ (em MeV). Na parte inferior, temos as ampli-
tudes de transicao duplo-β− como funcao dos 20 estados finais 0+ no espaco-ph
pelos codigos Q77 (lado esquerdo) e Q82 (lado direito). As s.p.e sao para 40Ca
corrigido para representar 48Ca (SET1). Os paramentros vs = 40 e vt = 60
(em MeV/fm3) usados ambos nos canais de interacao pp e ph na interacao-δ
residual. Conforme a Tabela (6.1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2 As componentes da funcao de onda, Yp1p2n1n2J , para o estado final 0+ no espaco-
ph com maior contribuicao da amplitude Fermi no duplo-ββ. Seja a contri-
buicao no (Q77) dada no estado 9 (linha vermelha), enquanto no pelo (Q82)
temos duas fortes contribuicoes dadas pelos estados 15 (linha verde) e 16 (linha
azul). (Conforme a Tabela (6.2) do Apendice.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3 Componentes da funcao de onda Yp1p2n1n2J para estado final do fundamental
(20) de 0+ no espaco-ph, conforme os parametros vs=40 e vt=60 (em MeV/fm3)
para SET1. A comparacao das funcoes de onda entre o Q77 (linha vermelha) e
Q82 (linha azul) foi realizada conforme aos valores apresentados na Tabela (6.3)
do Apendice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.4 Probabilidades de ocupacao v2j em funcao das energias de partıcula simples
(s.p.e.), dadas por ej (em MeV) da Tabela (4.1) para os SETS usados no
trabaho: (i) lado esquerdo SET1, (ii) centro SET2, (iii) lado direito SET3. Em
preto para neutrons e em vermelho para protons. . . . . . . . . . . . . . . . . 62
9
4.5 Amplitudes de transicao duplo-β−, do tipo Sββ−F Fermi (lado esquerdo) e do tipo
Sββ−GT Gamow-Teller (lado direito) como funcao dos denominadores de Ener-
gia(em MeV), para os 20 estados finais 0+ pelo codigo Q82 para espaco-ph
(linha preta) e espaco “reduzido”(RED) (linha vermelha). As s.p.e. utilizadas
correspondem ao SET1. Os parametros vs=40 e vt=60 (em MeV/fm3) sao usa-
dos ambos nos canais de interacao pp e ph na interacao-δ residual. Os valores
usados constan na Tabela (6.4) do Apendice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.6 As componentes da funcao de onda Yp1p2n1n2J como funcao da configuracao
dos estados para o estado final 0+ pelo SET1 segundo amplitudes de Fermi
no decaimento-ββ. Pelo lado esquerdo temos para o espaco-ph, o estado 17
(vermelho) e estado 18 (azul) com maior influencia na funcao de onda. Ja no
lado direito temos para o espaco “reduzido”, o estado 12 (vermelho) e o estado
11 (azul) como sendo aqueles com maior contribuicao para a funcao de onda.
Os valores usados constan na Tabela (6.5) do Apendice. . . . . . . . . . . . . . 64
4.7 As componentes da funcao de onda Yp1p2n1n2J como funcao da configuracao
dos estados para o estado final 0+ pelo SET1 segundo amplitudes de GT no
decaimento-ββ. Pelo lado esquerdo temos para o espaco-ph, o estado 1 (ver-
melho) e estado 7 (azul) com maior influencia na funcao de onda. Ja no lado
direito temos para o espaco “reduzido”, o estado 1 (vermelho) e o estado 4
(azul) como sendo aqueles com maior contribuicao para a funcao de onda. Os
valores usados constan na Tabela (6.6) do Apendice. . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.8 As componentes da funcao de onda Yp1p2n1n2J para o estado fundamental 20+
no espaco-ph (linha vermelha) e para espaco “reduzido” (linha azul), com as
maiores contribuicoes da amplitude de ββ como funcao das configuracoes dos
estados da funcao de onda. Os valores usados constan na Tabela (6.7) do
Apendice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.9 Sββ− como funcao das energias dos estados finais 0+, E (MeV), segundo os
varios s.p.e.:i) SET1 (vermelho), ii) SET2 (azul), iii) SET3 (preto). No painel
esquerdo temos Sββ−F , enquanto que no painel direito temos Sββ−
GT . Os valores
usados constam nas Tabelas (6.8) e (6.9) do Apendice. . . . . . . . . . . . . . 67
4.10 Amplitudes de SGTββ como funcao de E(MeV) para o SET 1 de FQTDA reduzido
para espaco de 1n4p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.11 Amplitudes de SGTββ como funcao de E(MeV) para o SET 2 de FQTDA reduzido
para espaco de 1n4p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
10
4.12 Amplitudes de SGTββ como funcao de E(MeV) para o SET 3 de FQTDA reduzido
para espaco de 1n4p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.13 MGT2ν como funcao de t para os tres parametros-ph (vs, vt) diferentes com SET1.
O FQTDA no espaco “reduzido” e mostrado com linhas tracejadas, enquanto
que os valores experimentais sao mostradas por linhas cheias. . . . . . . . . . 69
4.14 MGT2ν como funcao do parametro t do canal-pp utilizando o s.p.e. do SET1. No
painel esquerdo, temos o grafico para o espaco “reduzido” (1n4p) no limite-ph.
No painel direito, mostramos no espaco “reduzido” para FQTDA. Sendo os
parametros-ph (vs, vt): i) (27,64) linha preta, ii) (35,65) linha azul, iii) (40,60)
linha vermelha, iv) linha continua experimental. . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.15 MGT2ν como funcao do parametro-pp t para espaco “reduzido” no limite-PH.
No painel superior esquerdo, temos o grafico para o o SET1. No painel superior
direito, mostramos os resultados com os s.p.e. do SET2. No painel temos MGT2ν
para o s.p.e. SET3. Os parametros-ph (vs, vt) usados sao: i) (27,64) linha
tracejada preta, ii) (35,65) linha tracejada azul, iii) (40,60) linha tracejada
vermelha, iv) com a linha continua representamos o valor experimental. . . . 71
4.16 MGT2ν como funcao do parametro-pp de t para espaco “reduzido” para BCS
(FQTDA). No lado esquerdo superior, temos o grafico para o o SET1. No lado
direito superior, mostramos utilizando o s.p.e. do SET2. Na parte inferior
temos para o s.p.e. SET3. Onde os parametros-ph (vs, vt): i) (27,64) linha
tracejada preta, ii) (35,65) linha tracejada azul, iii) (40,60) linha tracejada
vermelha, iv) com a linha continua representamos o valor experimental [32]. . 72
4.17 MGT2ν como funcao do parametro-pp de t para espaco “reduzido” para FQTDA
(linhas continuas) comparado com o limite-ph (linhas tracejadas). No lado
esquerdo superior, temos o grafico para o o SET1. No lado direito superior,
mostramos utilizando o s.p.e. do SET2. Na parte inferior temos para o s.p.e.
SET3. Onde os parametros-ph (vs, vt): i) (27,64) em preta, ii) (35,65) em
azul, iii) (40,60) em vermelha, iv) com a linha continua representamos o valor
experimental [32]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
11
4.18 Comparacao das amplitude de decaimento SGTβ− e SGT
β+ (ambas em MeV−1) como
funcao da energia, E, do estados intermediarios 1+ (em MeV). Os respectivos
valores experimentais β− e β+ sao apresentados. Na parte superior temos os
valores com parametrizacao vs = vt = 0 nos canais-pp e ph, enquanto que a
BCS esta ligada. Na parte inferior, a comparacao e feita para os valores teoricos
no canal-ph (vphs =27,vpht =64) e, (s = 1, t = 0) no canal-pp. . . . . . . . . . . . 75
4.19 Comparacao das amplitudes de decaimento SGTβ− e SGT
β+ (ambas em MeV−1)
como funcao da energia, E, dos estados 1+ intermediarios, com sobreposicao
aos seus respectivos valores experimentais β−(β+). No painel superior, a pa-
rametrizacao adotada e vs=35 e vt=65, enquanto que no panel inferior a para-
metrizacao resulta vs=40 e vt=60. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.20 Amplitudes de decaimento SGTβ− e SGT
β+ (ambas em MeV−1) como funcao da
energia, E, dos estados 1+ intermediarios (em MeV). Os valores experimentais
β− (β+) sao apresentados, e os tres tipos de parametrizacao no canal-ph (vs,
vt): (27, 64), (35, 65) e (40, 60) sao apresentadas. . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.21 Amplitudes Sββ− como funcao da energia (MeV) dos estados finais 0+. Foi
utilizado o SET 1, com parametros: (i) vs=27, vt=64; (ii) vs=35, vt=65; (iii)
vs=40; vt=60 para o canal-ph. Os parametros do canal pp sao s = 1 e t = 0
(FQTDA completo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.22 Amplitudes do duplo GT, SββGT para 48Ca como funcao da energia do nucleo
final. O caso nao-perturbado (linha vermelha) e comparado com o caso pertu-
bado com parametros-ph vs=35, vt=65: (a) SET 2 em azul linha traco-ponto,
(b) SET 3 em linha solida verde, e (c) SET 1 em linha solida preta. . . . . . . 79
4.23 Amplitudes SGTββ (em MeV−1) em funcao da energia os estados finais 0+, E, em
MeV, para o SET 1. Painel esquerdo - Resultados para o caso nao-pertubado
no limite-ph (linha vermelha) com o FQTDA (linha preta), ainda comparado
com o caso pertubado FQTDA para os seguintes parametros-ph (vs, vt): (i)
(27,64) linha azul, (ii) (35,65) linha verde, (iii) (40,60) linha laranja. Painel
direito - Idem ao anterior no qual a o limite-ph nao pertubado foi eliminado. . 80
12
4.24 Amplitudes SGTββ (em MeV−1) em funcao da energia os estados finais 0+, E, em
MeV, para o SET 1. No lado esquerdo, temos o caso nao-pertubado no limite-ph
(linha vermelha) com o FQTDA (linha preta), ainda comparados com os casos
pertubado da FQTDA para os seguintes parametros-ph (vs, vt): (i) (27,64)
linha azul, (ii) (35,65) linha verde, (iii) (40,60) linha laranja. Pelo lado direito
- Idem ao anterior no qual a o limite-ph nao pertubado foi eliminado. . . . . . 81
4.25 Amplitudes SGTββ (em MeV−1) em funcao da energia os estados finais 0+, E,
em MeV, para o SET 3. No lado esquerdo, temos o caso nao-pertubado no
limite-ph (linha vermelha) com o FQTDA (linha preta), ainda comparados
com os casos pertubado da FQTDA para os seguintes parametros-ph (vs, vt):
(i) (27,64) linha azul, (ii) (35,65) linha verde, (iii) (40,60) linha laranja. Painel
direito - Idem ao anterior no qual a o limite-ph nao pertubado foi eliminado. . 81
4.26 Painel esquerdo - Amplitudes MGT2ν para varios parametros-ph (vs = 27, vt =
64), (vs = 35, vt = 65), e (vs = 40, vt = 6), em funcao do parametro variavel
t do canal pp e, com s = 1 fixo, para para SET1 no espaco completo. -
Painel direito- Comparacao das MGT2ν entre o limite-ph (linhas tracejadas) com
calculos de BCS onde incluimos - FQTDA - (linhas solidas) no espaco completo
para SET1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.27 MGT2ν para FQTDA no espaco completo para SET 3. Pode-se observar que o
comportamento e similar ao SET 1 da Fig. (4.31) (painel esquerdo). . . . . . 83
4.28 MGT2ν como funcao de vt para espaco completo SET1, para limite-PH (linhas
tracejadas) comparadas ao BCS (FQTDA) (linhas contınuas). . . . . . . . . . 84
4.29 MGT2ν como funcao do paramentro t no canal-pp, para o SET1. Lado esquerdo:
FQTDA “reduzida” e lado direito: FQTDA completo. . . . . . . . . . . . . . 85
4.30 MGT2ν como funcao do parametro t do canal-pp. No painel esquerdo temos
FQTDA “reduzido” para SET1 e no painel lado direito, a FQTDA completo
para SET3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.31 Painel esquerdo- Amplitudes MGT2ν como funcao do parametro t do canal-pp.
Painel direito - Comparacao das amplitudes MGT2ν dentro o limite-ph com o
espaco completo (linhas tracejadas) com aquelas amplitudes da FQTDA como
funcao dos parametros (vs, vt). Aqui os valores deMGT2ν na FQTDA se reduzem
ao valores correspondentes quando os calculos sao afetados pelo limite-ph. Em
ambos calculos foi usado o espaco completo 2p1f (7p7n) para SET1. . . . . . 86
13
4.32 Painel esquerdo - Amplitudes MGT2ν como funcao do parametro t do canal-
pp, utilizando o SET1 no espaco “reduzido” (1n4p), sendo as linhas tracejadas
para limite-ph e as linhas continuas para FQTDA para o SET1. Painel direito -
Comparacao dos MGT2ν para FQTDA no espaco completo pelo SET3, se mostra
similar ao da Fig. (4.31) do lado esquerdo dada para SET1. . . . . . . . . . . 87
4.33 MGT2ν como funcao do parametro t no canal-pp utilizando os s.p.e. do SET1 para
calculo de FQTDA. No lado esquerdo, temos o grafico para o espaco “reduzido”.
Ja do lado direito, mostramos o comportamento no espaco completo. Sendo os
parametros-ph (vs, vt): i) (27,64) linha preta, ii) (35,65) linha azul, iii) (40,60)
linha vermelha, iv) linha continua experimental [32]. . . . . . . . . . . . . . . 88
4.34 MGT2ν como funcao do parametro-pp de t. No lado esquerdo, temos o grafico
para o espaco “reduzido” (1n4p) para FQTDA utilizando o SET1. Ja do lado
direito, mostramos no espaco completo para FQTDA utilizando o s.p.e. do
SET3. Os parametros-ph (vs, vt) adotados sao: i) (27,64) linha tracejada preta,
ii) (35,65) linha tracejada azul, iii) (40,60) linha tracejada vermelha, iv) linha
continua experimental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.35 MGT2ν como funcao dos parametro-ph (vs, vt) para espaco completo de FQTDA.
No lado esquerdo superior, temos o grafico para o o SET1. No lado direito
superior, mostramos utilizando o s.p.e. do SET2. Na parte inferior temos para
o s.p.e. SET3. Os parametros-ph (vs, vt) sao: i) (27,64) linha preta, ii) (35,65)
linha azul, iii) (40,60) linha vermelha, iv) linha tracejada experimental [32]. . 90
4.36 MGT2ν como funcao do parametro t no canal-pp para espaco completo para
FQTDA. Painel superior esquerdo - Resultados para o SET1. Painel superior
direito - mostramos os resultados utilizando o s.p.e. do SET2. Na parte inferior
temos os resultados para o SET3. Os parametros-ph (vs, vt) usados sao: i)
(27,64) linha tracejada preta, ii) (35,65) linha tracejada azul, iii) (40,60) linha
tracejada vermelha, iv) linha continua experimental[32]. . . . . . . . . . . . . 91
4.37 MGT2ν como funcao do vt na interacao residual para espaco completo na FQTDA
(linhas continuas) comparado com limite-ph (linhas tracejadas). Painel supe-
rior esquerdo - Grafico para o o SET1. Painel superior direito - Grafico para
os s.p.e. do SET2. Painel inferior - Grafico para os s.p.e. do SET3. Os
parametros adotados sao: i) vs=27 (contınua preta), ii) vs=35 (contınua azul),
iii) vs=40 (contınua vermelha), iv) linha traco-ponto para experimental [32]. . 93
14
4.38 Painel esquerdo - Elemento de matriz nuclear do estado intermediario (M2NU)
como funcao do parametro vt obtidas na FQTDA no espaco completo para
o SET1. Painel direito - Variacao do denominador de energia do elemento de
matriz nuclear para estados intermediarios (DEN GS), como funcao de vt, para
o SET1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.39 Painel esquerdo - Elemento de matriz nuclear do estado intermediario (M2NU)
para FQTDA como funcao do parametro vt no espaco completo para o SET2.
Painel direito - Ampliacao do M2NU para o SET2 como funcao de vt. No
painel abaixo, mostra-se a variacao do denominador de energia para estados
intermediarios (DEN GS), como funcao de vt, para o SET2. . . . . . . . . . . 95
4.40 Painel esquerdo -Elementos de matriz nuclear do estado intermediaaio (M2NU)
como funcao do parametro vt obtidos para FQTDA no espaco completo para
o SET3. Painel esquerdo - Comparacao da variacao do denominador de energia
ma funcao de elemento de matriz nuclear para estados intermediarios (DEN GS),
como funcao de vt, para o SET3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.41 Painel esquerdo -Elementos de matriz nuclear GT (MGT2ν ) como funcao do
parametro do canal-ph vt no espaco completo por FQTDA para o SET1. No
lado direito, mostra um zoom para o parametro do canal-ph vt variando de 0
ate 100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.42 Painel esquerdo - Elementos de matriz nuclear GT (MGT2ν ) como funcao do
parametro vt no espaco completo por FQTDA para o SET2. Painel esquerdo -
Zoom para o parametro vt variando de 0 ate 100. . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.43 Painel esquerdo -Elementos de matriz nuclear GT (MGT2ν ) como funcao do
parametro vt no espaco completo por FQTDA para o SET3. Painel esquerdo -
Zoom da figura com vt variando de 0 ate 100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.44 Componentes da funcao do denominador da energia (DEN GS) no espaco com-
pleto por FQTDA para o SET1. No painel esquerdo temos (DEN GS) como
funcao do parametro do vt sendo vs dados por: (i) vs=27 (preto), (ii) vs=35
(azul), (iii) vs=40 (vermelho). As linhas inteiras representam o wλ no estado
intermediario 1+, enquanto as linhas tracejadas e o w0+ para estado final 0+.
No painel direito, o DEN GS como funcao do parametro-pp t, para SET1 com
vs=27, vt=64. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
15
4.45 Comportamento para os componentes da funcao do denominador da energia
(DEN GS) com funcao do parametro vt no espaco completo por FQTDA para
o SET2 sendo vs dados por: (i) vs=27 (preto), (ii) vs=35 (azul), (iii) vs=40
(vermelho). As linha inteiras representam o wλ no estado intermediario 1+,
enquanto as linhas tracejadas e o w0+ para estado final 0+. . . . . . . . . . . . 100
4.46 Comportamento para os componentes da funcao do denominador da energia
(DEN GS) com funcao do parametro do canal-ph vt no espaco completo por
FQTDA para o SET3 sendo vs dado como: i) vs=27 (preto), ii) vs=35 (azul), iii)
vs=40 (vermelho). As linhas inteiras representam o wλ no estado intermediario
1+, enquanto que as linhas tracejadas e o w0+fpara estado final 0+. . . . . . . 101
4.47 Amplitude de decaimento SGTβ− para 76Ge como funcao da energia (MeV), com
sobreposicao dos valores experimentais para β−, utilizando a parametrizacao
no canal-pp t: i) t=0 (barra azul), ii) t=1 (barra preta), iii) t=2 (barra roxa). 102
4.48 Amplitudes de decaimento-ββ (SGTββ ) para caso nao-pertubado para 76Ge 5n5p
como funcao da E(MeV). Lado esquerdo, decaimento-ββ-. Lado direito, decaimento-
ββ+. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.49 Amplitudes de decaimento-ββ (SGTββ ) para
76Ge como funcao da E(MeV). Lado
esquerdo, decaimento-ββ-. Lado direito, decaimento-ββ+. Sendo (i) nao-
pertubado limite-PH (em azul), (ii) nao-pertubado FQTDA (em preto), (iii)
pertubado (em vermelho). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.50 Comportamento para os componentes da funcao de onda Yp1p2n1n2J para 76Ge
com vphs =55, vpht =92 para as regioes de maior amplitude SGTββ− conforme Fig. (4.48)
comparando os resultados nao perturbado -ph, perturbado BCS e perturbado
FTQDA. Painel esquerdo - Yp1p2n1n2J , para o estado de maior amplitude GT,
como funcao das configuracoes (States) . Painel direito - Yp1p2n1n2J , para o
estado de fundamental, como funcao das configuracoes (States). . . . . . . . . 105
4.51 Elementos de matriz do estado intermediario (M2NU) como funcao do parametro
t do canal-pp, para 76Ge na FQTDA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.52 Elementos de matriz nuclear MGT2ν como funcao do parametro t do canal-pp,
para 76Ge na FQTDA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.53 Elementos de matriz nuclear MGT2ν como funcao do parametro vt, para
76Ge.
Pelo lado esquerdo temos MGT2ν para FQTDA, nota-se o surgimento de regioes
colapsadas com vt variavel de 130 ate 220, acompanhado de linhas tracejadas
dos valores experimentais. Ja pelo lado direito um comparativo entre FQTDA
(linha cheia) e limite-ph (linha tracejada). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.54 Elementos de matriz nuclear MGT2ν como funcao do parametro vt, para
76Ge no
limite-ph. Pelo lado esquerdo temos MGT2ν com valores obtidos. Ja pelo lado
direito temos MGT2ν no limite-ph dado os valores em modulo. . . . . . . . . . 108
4.55 Painel esquerdo - Denominador de energia (DEN GS) como funcao do t no
canal-pp pelo calculo de FQTDA. Painel direito - DEN GS como funcao do vt
pelo calculo de FQTDA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.56 Comportamento para os componentes do denominador da energia (DEN GS)
com funcao do parametro t no canal-pp por FQTDA para 76Ge. Temos aqui
vphs =55 e vpht =92. Linha cheia representa o wλ no estado intermediario 1+,
enquanto a linha tracejada e o w0+fpara estado final 0+. . . . . . . . . . . . . 109
4.57 Comportamento para os componentes do denominador da energia (DEN GS)
como funcao do parametro vt na FQTDA de 76Ge. Linha cheia representa o
wλ no estado intermediario 1+, enquanto a linha tracejada e o w0+fpara estado
final 0+. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
LISTA DE TABELAS
4.1 Energias de partıcula simples, (s.p.e), dada por ej (em Mev) para os SET 1,
SET 2 e SET 3 de s.p.e. utilizados para descrever 48Ca. A forca de empa-
relhamento vpairs (adimensional) para neutrons e protons dentro do BCS para
N = 28 e P = 20 tambem sao esbocados. Os s.p.e. sublinados fazem referencia
as energias usada no limite preliminar de partıcula-buraco para QTDA. . . . . 54
4.2 Componentes da funcao de onda Yp1p2n1n2J para estado final fundamental 0+
no espaco-ph com maior contribuicao para GT amplitude-ββ. Mesmo parame-
trizacao pp e ph na Tabela (6.2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3 Relacao de v’s e u’s para neutrons e protons em 48Ca para SET 1. . . . . . . . 62
4.4 Relacao de v’s e u’s para neutrons e protons em 48Ca para SET 2. . . . . . . . 62
4.5 Relacao de v’s e u’s para neutrons e protons em 48Ca para SET 3. . . . . . . . 63
4.6 Componente da funcao de onda do estado intermediario 1+ para 76Ge. . . . . . 102
6.1 Forcas de transicao duplo-β−, do tipo Sββ−
F Fermi e do tipo Sββ−
GT Gamow-Teller
e os denominadores de energia, D4 (em MeV), para os 20 estados finais 0+ no
espaco-ph pelos codigos Q77 e Q82. As s.p.e sao para 40Ca corrigido para
representar 48Ca. Os paramentros vs = 40 e vt = 60 (em MeV/fm3) usados
ambos nos canais de interacao pp e ph na interacao-δ residual. . . . . . . . . . 126
6.2 As componentes da funcao de onda de Yp1p2n1n2J para o estado final 0+ no
espaco-ph com maior contribuicao da forca de F ββ. A proxima notacao e usada
para as configuracoes de partıcula simples: 134 ≡ 1f7/2, 133 ≡ 1f5/2, 212 ≡
2p3/2 e 211 ≡ 2p1/2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.3 Componentes da funcao de onda Yp1p2n1n2J para estado final do fundamental
0+ no espaco-ph. Mesma parametrizacao pp e ph como na Tabela (6.2). . . . . 128
6.4 Forcas de transicao duplo-β−, do tipo Sββ−F Fermi e do tipo Sββ−
GT Gamow-Teller
e os denominadores de energia, D4 (em MeV), para os 20 estados finais 0+ pelo
codigo Q82 para espaco-ph e espaco “reduzido”(RED). As s.p.e. sao para 40Ca
corrigido para representar 48Ca. Os parametros vs=40 e vt=60 (em MeV/fm3)
usados ambos nos canais de interacao pp e ph na interacao-δ residual. . . . . . 129
6.5 As componentes da funcao de onda Yp1p2n1n2J para o estado final 0+ no espaco-
ph e para espaco “reduzido”, com maior contribuicao da amplitude de F ββ. . 130
6.6 As componentes da funcao de onda Yp1p2n1n2J para o estado final 0+ no espaco-
ph e para espaco “reduzido”, com maior contribuicao da amplitude de GT ββ. 131
6.7 As componentes da funcao de onda Yp1p2n1n2J para o estado fundamental 20+
no espaco-ph e para espaco “reduzido”, com maior contribuicao da amplitude
de ββ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.8 Observa-se a quebra das energias para o 1 estado mais excitado duplo-β+
para paramentros de vs=40, vt=60 para Fermi. Lembrando que o estado de
decaimento duplo-β− permaneceu nulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.9 Observa-se a quebra das energias para o 1 estado mais excitado duplo-β+ para
paramentros de vs=40, vt=60 para GT. Lembrando que o estado de decaimento
duplo-β− permaneceu nulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
SUMARIO
1 HISTORIA 21
2 INTRODUCAO 31
2.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 METODOLOGIA 34
3.1 Vidas medias para decaimento duplo-β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Formalismo dos modelos de Estrutura Nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.1 Modelo de BCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.2 Modelo de Tamm-Dancoff (TDA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.3 Modelo de quasepartıcula TDA (QTDA) . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3 O codigo FQTDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4 RESULTADOS NUMERICOS 53
4.1 Resultado para 48Ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.1.1 Comparacao dos resultados numericos com o antigo codigo . . . . . . . 53
4.1.2 Limite-ph de QTDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.1.3 FQTDA no espaco reduzido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.1.4 FQTDA no espaco completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.2 Resultados para 76Ge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5 CONCLUSOES E PERSPECTIVAS FUTURAS 111
5.1 Errata do 25/03/2015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6 APENDICE 114
6.1 Apendice A - Modelos Nucleares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.1.1 Modelo de Partıcula Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.1.2 Teoria de Hartree-Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.1.3 Modelo de Camada Nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.1.4 Aproximacao de fases ao azar de quasepartıculas (QRPA) . . . . . . . . 122
6.1.5 Duplo Beta por QTDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.2 Apendice B - Dados Numericos obtidos pelas simulacoes . . . . . . . . . . . . 126
6.3 Apendice C - Correcao da Programacao numerica no codigo FQTDA . . . . . 135
6.4 Apendice D - Resolucoes Auxiliares para o limite-ph no 48Ca . . . . . . . . . . 139
7 BIBLIOGRAFIA 154
1 HISTORIA
Muitas questoes fundamentais da fısica nuclear e da fısica de partıculas dependem
do nosso entendimento quantitativo dos fenomenos existentes entre as interacoes fracas e
nucleares. Dessa forma, tem-se que nos ultimos anos o estudo das interacoes fracas neutrino-
nucleo cresceu notavelmente atraves de esperimentos como NEMO[1], EXO[2], CUORE[3],
como teorico, para inferir propriedades ate agora desconhecidas do neutrino como por exemplo
sua massa absoluta, ou se e uma partıcula de Dirac ou Majorana, hierarquia nas massas,
processos de oscilacao, dentre outros. Conhece-se do ramo de teoria de poucos corpos (do
ingles, few-body theory) que se divide em diversos segmentos, tais como: a fısica atomica, a
fısica de estado solido, a fısica de partıculas fısicas elementares, porem cada uma destas partes
trabalham com semelhantes tecnicas.
Num nucleo que possui estados excitados nao estaveis, a situacao mais comum que
ocorre e o estado excitado decair para um estado de energia mais baixa (do mesmo nucleo) com
emissao de um raio-γ. A seguencia dessas transicoes leva normalmente ao estado fundamental
daquele nucleo. O proprio estado fundamental, pode no entanto nao ser estavel para muitos
nuclıdeos, sendo estes capazes de se transformar em outros nuclıdeos pela emissao espontanea
de uma ou mais partıculas ou fragmentos. Para o nosso caso, e de fundamental importancia
observar o decaimento β− e β+, onde seus nucleos leves estaveis tem seu numero de protons
Z semelhante ao numero de neutrons N . Nos nucleos pesados, um maior numero de neutrons
e necessario para compensar a forca coulombiana entre os protons. Em ambos os casos,
quando um nucleo tem um valor de N maior do que o necessario para o equilıbrio, ele pode
se desintegrar pela emissao de um eletron e um antineutrino pelo chamado decaimento β− na
forma:
AZXN →A
Z+1 YN−1 + e− + ν, (1.1)
se aproximando assim a uma situacao de maior equilıbrio. Se, por outro lado, N e menor do
que o necessario, pode ocorrer o decaimento β+:
AZXN →A
Z−1 YN+1 + e+ + ν, (1.2)
sendo agora as partıculas emitidas um positron e um neutrino.
Logo, a opcao basica de um estado excitado num nucleo e decair para outro estado de
menor energia, emitindo radiacao-γ ou, ejetando um eletron das camadas atomicas. Sendo
22
assim, os nuclıdeos com excesso de neutrons, instaveis decaem por β− e, os com excesso
de protons tende a decair por β+. Quanto mais instavel o nuclıdeo, menor e o tempo de
decair. Os nucleos com balancos muito desiguais entre o numero de protons e de neutrons,
sao denominados nucleos raros.
Segundo a literatura, na natureza toma-se da existencia algo em torno de 50 nucleos, co-
nhecidos como nucleos raros, onde o processo de decaimento-β simples e energeticamente proi-
bida. Logo a unica possibilidade de desintegracao (Z,N)→(N-2,Z+2) e por um decaimento-ββ,
tambem chamado aqui de decaimento duplo-β [4]. O decaimento duplo-β e um raro processo
observado em nucleos para os quais o decaimento beta simples e proibido. Ha casos especiais
de decaimento-β que ocorrem quando o isobaro vizinho nao e acessıvel ao decaimento mas,
o isobaro seguinte a esse nao apresenta impedimento para a transicao permitindo assim a
transicao. Entao o decaimento pode acontecer com a emissao de dois eletrons simultanea-
mente. Sabe-se que isso ocorre em muitas outras cadeias de isobaros. O fenomeno nao e
de facil deteccao pois as meias-vidas para a emisao de 2 eletrons simultaneamente sao muito
altas, proximas ou superiores aos 1019 anos. A forte motivacao para detectar este fenomeno e
devida, principalmente, a possibilidade de constatar a existencia de decaimento duplo-β sem
o acompanhamento de neutrinos[5]. Essa possibilidade esta ligada a massa do neutrino ser
nao nula. Se a massa do neutrino nao e nula, a helicidade nao e um bom numero quantico e,
o neutrino e antineutrino carregam uma pequena componente da helicidade oposta ou acei-
tada pelo modelo padrao de partıculas elementares. Dessa maneira, o neutrino e um pouco
antineutrino, e vice-versa, ja que a helicidade e a unica grandeza que distinguen as duas
partıculas. Se for o caso o neutrino resultante do decaimento
n→ p+ e− + ν, (1.3)
poderia induzir (ν ≡ ν)
ν + n→ p+ e−, (1.4)
cujo resultado global e o decaimento duplo-β
2n→ 2p+ 2e−, (1.5)
sem emissao de neutrinos.
No entanto sabe-se que as forcas de paridade nuclear causam essa “anomalia”: aonde
dentro de um mesmo triplete isobarico (N,Z), (N − 1, Z + 1), (N − 2, Z + 2), os nucleos
23
Figura 1.1: Esquema dos decaimentos β-simples e duplo-β.
impar-impar acabam tendo maior massa que os seus vizinhos par-par, permitindo desse jeito
a existencia do decaimento duolo-β. A situacao esta esquematizada na Figura 1.1. Resumindo,
existem duas transicoes mais usuais pelo qual o decaimento duplo-β pode ocorrer:
i) decaimento duplo-β com emissao de dois neutrinos (2νββ), sendo (N,Z)ββ−−−→(N −
2, Z+2), que pode ser pensado como dois sucessivos decaimentos-β simples passando atraves
de um estado intermediario virtual (N-1, Z+1), e
ii) decaimento duplo-β sem emissao de neutrinos (0νββ).
Os primeiros artigos estudando o decaimento duplo-β comecaram a surgir nos anos de
1948-1949, com E.Fireman[6, 7], conforme indica Tretyak[8]. A confiabilidade nesses estu-
dos so ocorreu com o decorrer de decadas, quando realmente se comprovou as ideias desses
pesquisadores.
No ano de 1952 temos um estudo do duplo-β para 100Mo , atraves de experimento de
foto-emulsao de J.H.Fremmlin e M.C. Walters (J. H. Fremlin et al. 1952, apud Treatyak[8])
realizado a 567 metros de profundidade, onde se estudou se o 2β ocorria para 60 diferentes
nucleos. Eles observaram que a foto-emulsao era sensıvel a partıculas α e β, de modo que
o excesso de atividade β (sobre o nıvel de 6-12 σ) foi observado para Sn, 124Sn, Ba, W e
Os. Esses nucleos tambem detectaram atividade α, dessa forma eles foram relatados como
amostras contaminadas com U/Th. No caso do Mo, a atividade do β era excessiva(13 σ) e nao
estava acompanhado por α’s, podendo ser considerada como a alta indicacao de decaimento
duplo-β para o 100Mo (δ = 9.8%) com vida media de T1/2 = 1.5× 1016[8] anos. Porem nao foi
possıvel retirar nenhuma forte conclusao, sendo desejavel mais analises sobre outros nucleos.
Hoje em dia, ja se sabe que a T1/2 para 100Mo para decaimento 2β e T 2ν1/2 = 7.1 × 1018[8]
anos, e T 0ν1/2 > 4.6× 1023[8] anos. Enquanto que a maioria dos efeitos de contaminacao do Mo
deve-se a 90Sr/90Y e nao ao U/Th.
24
Figura 1.2: Esquema do decaimento-ββ para 76Ge.
Os estudos para o 48Ca, comecaram em 1955 por J.A. McCarthy, segundo Tretyak [8],
utilizando um metodo similar nos exemplos com CaCO3: enriquecido em 48Ca ate 84.3% (δ =
0.187%) e enriquecido em 44Ca ate 97.9%(δ = 2.1%). Dessa forma pode-se observar bons picos
apos de 755 h na diferenca de 48Ca-44Ca do espectro de coincidencia no intervalo de energia
de 3.75-4.50 MeV (48Ca Q2β=4274KeV). Com essa vidas media o autor do trabalho faz uma
forte conclusao: “Acredita-se na evidencia do duplo-decaimento-β sem emissao de neutrino,
a menos que a contagem observada seja devida a um fenomeno nao-usual e desconhecido do
original”. Hoje sabe-se que os valores sao: T 2ν1/2 = 4.4 × 1019anos[8], T 0ν
1/2 > 5.8 × 1022[8],
desse modo mais uma vez obteve-se uma falsa descoberta de 0ν devido a uma contaminacao
radioativa.
Outros exemplos de falsas descobertas do 0νββ nos nucleos de 96Zr, 82Se, 76Ge, 130Te,
82Se, 150Nd, 64Zn, 112Sn sao descritos por V.I. Tretyak [8], assim como as perspectivas dos
novos experimentos GERDA e Majorana [9].
Segundo A.S. Barabash [10, 11], os estudos de 0νββ, tem sido alvo de trabalhos reno-
vados nos ultimos anos, devido principalmente as pesquisas de fısica de neutrinos em areas
como: atmosferica, solar, reacoes com neutrinos de aceleradores. Os resultados obtidos aca-
baram por mostrar que o neutrino possui uma massa nao-nula. No trabalho de Avignone et
al. [12] sao relatados como questoes em aberto: (i) a nao-conservacao do numero leptonico, (ii)
a natureza do neutrino: se o neutrino e uma partıcula de Dirac ou Majorana, (iii) a escala de
25
massa absoluta do neutrino, e (iv) que diz respeito ao tipo da hierarquia do neutrino massivo
(normal, invertido ou quase-degenerado).
Do mesmo modo, o decaimento duplo-β esta conectado com o aumento de massa es-
tudada nos isotopos de um nucleo. Durante os anos 1948− 1980 foi muito utilizado isotopos
entre 1− 25 gramas[11]. Como por exemplo, a primeira observacao do decaimento-2νββ que
ocorreu atraves de uma experiencia feita em 1987 no estudo de 14 gramas de 82Se enriquecido
realizado por Elliott S.R. et al.[13]. Somente na decada de 80 − 90, foi que comecaram a
incrementar para centenas e ate mesmo kilogramas as massas dos isotopos. Na decada de
90, houve o experimento Heidelberg −Moscow[14] e o IGEX[15], aonde continham 11 kg
e 6,5 kg respectivamente, para 76Ge. Em menos de um ano surgiu o NEMO − 3[16], que
em contraste com experimentos de 76Ge, era capaz de detectar nao somente a energia to-
tal de deposicao, mas parametros dos processos, incluindo energia individual dos eletrons,
angulos entre eles - este localizado no Frejus Underground Laboratory na Franca. O expe-
rimento CUORICINO[17], equivalente ao detector CUORE[18] que ocorre no Gran Sasso
Underground Laboratory, na Italia, tentou uma reducao dos nıveis de fundo (background);
que continham 10 kg de isotopos, sendo 7 kg de 100Mo, 1 kg de 82Se para NEMO−3 e para o
CUORICINO 40 kg de cristais na forma natural de oxido de Te e, ainda 10 kg de 130Te [8].
No ano de 2011 surgiu o EXO − 200 (Enriched Xenon Observatory) [19], operando
desde 2011 noWaste Isolation Pilot Plant (WIPP) - o experimento media energia atraves de io-
nizacao e cintilacao, sendo o primeiro a observar decaimento 2νββ do 136Xe. O KamLAND−
Zen [20] que recebeu este nome em 2011, apos uma modificacao no detector ja existente,
KamLAND, experimentos que iniciaram com centenas de kilogramas de 136Xe. SNO+ en-
trou em atividade usando aproximadamente 100 kg [21], sendo ele um upgrade do Sudbury
Neutrino Observatory (SNO), Canada, onde investigam aos isotopos de 150Nd.
Da mesma forma que a parte experimental, surgiram nesse perıodo inumeros avancos na
parte teorica, voltadas para analise do decaimento-ββ. Este ocorre principalmente em nucleos
de massa-media distantes das regioes de camada fechada, e consequentemente as mais recente
descobertas, confirmaram a necessidade de avaliar os elementos de matriz nuclear M2ν e M0ν
usando o modelo de QRPA neutron-proton, como nos trabalhos de Iwata et al.[22], Yao et
al.[23], Civitarese et al.[24], Barbero et al. [25, 26, 27, 28, 29, 30, 31]. O modelo de QRPA e
mais simples computacionalmente que o modelo de camada SM (Shell Model). Porem, os tipos
de correlacoes que esses dois modelos incluem nao sao os mesmos. No QRPA trabalha-se com
uma grande fracao de nucleons num grande espaco de partıcula-simples, mas possuindo um
modesto espaco de configuracao. Ja no SM, se usa uma pequena fracao de nucleons limitados
26
num espaco limitado de partıcula-simples, mas permitindo fazer correlacoes arbitrarias para
um grande espaco de configuracao [32]. Nos ultimos tempos em virtude do avanco tecnologico
e o uso de supercomputadores permitiram estudar o decaimento duplo-β no SM [33, 34]. Entre
os nucleos estudados encontra-se, por exemplo, 130Te [35], 76Ge [36], e 48Ca [37].
Partindo do prıncipio da evolucao dos modelos nucleares do tipo RPA, temos que os
modelos para nucleos de massa media e pesada podem ser razoavelmente descritos dentro do
modelo de BCS da teoria de supercondutividade[38]. Nesse modelo se estuda o problema de
interacao de emparelhamento (do ingles, pairing) nos nucleos, permitindo explicar a existencia
os nıveis mais baixos de energia em nucleos pesados. Segundo os autores, um sistema de
nucleons que possuam correlacoes de emparelhamento podem ser descritos como um conjunto
de quasepartıculas que estao conectadas aos nucleos originais atraves da transformacao de
Bogoliubov-Valatin1, utilizada para descrever as correlacoes de emparelhamento em nucleos
esfericos com a presenca da forca nuclear generalizada. Baranger[39] relata o tratamento das
interacoes entre quasepartıculas atraves de uma linearizacao das equacoes de movimento.
Porem a explanacao deste e de muitas outras observacoes tem de ser procuradas alem
das correlacoes do movimento de partıcula independente. Assim e conveniente no estudo
dessas correlacoes considera-las como uma pertubacao no campo medio. Desse modo podemos
escrever:
H = HK +HR, (1.6)
onde HK e a energia cinetica em um campo onde os auto-estados sao determinador pelo
determinante de Slater e, HR e a interacao residual. A abordagem mais simples utilizada e
a diagonalizacao da HR na base de auto-estados de HHF . Esse tipo de calculo so e possivel
com auxılio de computadores para tratamento das interacoes dentro do modelo de camadas (o
nome modelo de camadas foi usando anteriormente para o modelo de partıcula-independente).
Muito grosseiramente ainda podemos dividir o HR numa interacao de curto-alcance (short-
range) e outra de longo-alcance (long-range). Sendo a parte de longo-alcance responsavel
pelas equacoes de movimento coletivo [40] com a chamada aproximacao de partıculas de fase
aletoria RPA (Random Phase Approximation). Esse tipo de avanco permitiu descrever as
excitacoes de partıcula simples como excitacoes de estados coletivos.
Assim, a funcao de |BCS⟩ pode em prıncipio ser obtida para um nucleo par-par, e tra-
1A transformacao de Bogoliubov-Valatin tem como caracteristicas, a nao-comutacao com o operadornumero de partıculas, nucleons neste caso, e conseguentemente a funcao de onda que resulta deste processonao correponde a um sistema que possui um numero definido de nucleons. As energias e outras quantidadesque sao calculadas com esta funcao de onda sao interpretadas como medias das correspondentes quantidadessobre um conjunto de nucleos vizinhos.
27
balha sobre um caroco (core), cujas excitacoes podem descrever os nucleos vizinhos adjacentes
impar-impar envolvidos. Com isso, o modelo de emparelhamento de BCS e considerado a me-
lhor opcao na utilizacao como funcao de onda do estado fundamental para nucleos pesados ao
inves de leves. Atraves da aproximacao de BCS, introduziu de forma adequada o tratamento
para a interacao de emparelhamento residual, responsavel pelo acoplamento a zero do mo-
mento angular em nucleos par-par, sendo atrativa e de curto alcance para prover a correlacao
desejada. No entanto, em nucleos com A ≥ 40, a amplitude de Gamow-Teller apresenta uma
forte estrutura de ressonancia com uma energia de excitacao que cresce sistematicamente
com o numero da massa dos nucleos situando-se numa regiao proxima de ≈15 MeV para
nucleos pesados. Esta ressonancia se denomina ressonancia gigante de Gamow-Teller GTGR
(Gamow-Teller Giant Ressonance), e nao pode ser tratada pela interacao de emparelhamento
que leva em conta a interacao residual entre protons e neutrons. O tratamento correto da
interacao residual que introduz correlacoes de longo-alcance e realizado com o modelo RPA
(Random Phase Approximation) - a aproximacao de fase aleatoria. Este nome foi introdu-
zido por Bohm e Pines (1953)[41] em uma conexao com as oscilacoes de plasma. A RPA e
tambem conhecida como aproximacao quase-bosonica, consistente no fato que as excitacoes de
duas-partıculas-dois-buracos, podem misturar seus estados partindo do estado fundamental
(de menor energia) pela interacao residual[42, 43]. Assim na RPA, somente excitacoes com
pares partıcula-buraco acopladas sao consideradas. Estes sao tratados como bosons, ou seja,
cumprem as regras de comutacao bosonicas para estados de nucleons emparelhados ph. Essas
excitacoes sao chamadas de correlacoes. A RPA, trabalha bem na descricao das transicoes
GT para nucleos de camada fechada, contudo, falha em nucleos de camada semi-fechada ou
nao-magicos. Uma solucao simples e de facil implementacao seria acoplar as solucoes de BCS
para interacao de emparelhamento com as equacoes de RPA para interacao residual de longo-
alcance, colocando ad-hoc as probabilidades de ocupacao surgidas da equacao do gap dentro
dos elementos de matriz nuclear. Esta aproximacao de RPA+BCS foi usada por Zinner et al.
[44] para descrever sistematicamente a taxa de captura de muons para um grande conjunto
de nucleos. Outro estudo como este, RPA+BCS foi realizado por Auerbach et al.[45] para
calcular as secoes de espalhamento de neutrinos no 12C, entre outros observaveis fracos. No
entanto, este procedimento de BCS+RPA nao e um procedimento RPA em quasepartıculas
auto-consistente, ou seja, uma QRPA (Quasiparticle Random Phase Aproximation). Em uma
QRPA, as probabilidade de ocupacao sao obtidas usando as transformacoes de Bogoliubov-
Valantin no canal de emparelhamento da interacao residual que resolve as equacoes de BCS. A
mesma interacao deveria ser utilizada na parte da interacao residual entre protons e neutrons,
28
Figura 1.3: Esquema para: (a) decaimento-2νββ. (b) decaimento-0νββ.
com contribuicoes de excitacoes tipo partıcula-partıcula e partıcula-buraco.
A QRPA com troca de carga proton-neutron (pn-QRPA), foi desenvolvida em 1967 por
Hableib e Sorensen[46] para dar conta do mecanismo de supressao(do ingles, quenching) das
transicoes-β permitidas, aplicada a decaimentos-β de massa leve e medias e para a ressonancia
coletiva do GT. Intensas implementacoes da QRPA para decaimento-ββ comecaram somente
nos meados de 1986 com Vogel et al.[47]. Quase 20 anos depois, descobriram que as correlacoes
do estado fundamental GSC (Ground State Correlations) desempenham um papel essencial
suprimindo as taxas de 2νββ. Em seguida, Civitarese[24], Faessler[48] tambem chegaram a
mesma conclusao. Simultaneamente, Civitarese et al.[49] e Engel et al.[47] revelaram que as
GSC apresentam semelhancas que sao obtidas no 2νββ, embora menor escala para 0νββ.
Por essas circunstancias, a QRPA se tornou um dos metodos mais utilizados para estrutura
nuclear para os calculos das taxas de duplo decaimento-β.
No entanto, observou-se que a amplitude de interacao (do ingles, strength) do canal
partıcula-partıcula origina uma alteracao nos valores de vida media dos nucleos com duplo
beta e gera uma inconsistencia de todo o metodo, rotulado com o nome de “colapso”do
QRPA. Pode-se entao questionar, que o colapso da QRPA pode ser originado pela quebra de
simetria no numero de partıculas, causada pela aproximacao de BCS2. Inumeras alteracoes
no modelo QRPA foram propostas afim de sanar o problema e lhe garantir uma maior con-
fiabilidade. Para solucionar esse problema adotou-se trabalhar com o numero de partıculas
2A funcao de onda de BCS pode descrever aqueles nucleos com N par assim como tambem aqueles comtemcorrelacoes de N+2, N+4, ... Esse efeito tambem esta contido na diagonalizacao do hamiltoniano de empa-relhamento ao agregar o operador numero de partıculas associado ao operador de Lagrange denominado depotencial quımico com a condicao de conservar o valor medio do numero de partıculas. Assim nao se trabalhacom um valor fixo de N, senao com o valor medio de N.
29
projetadas (projected QRPA, ou QRPA projetada no numero de partıculas) obtidas atraves
do princıpio variacional dependente do tempo. No entanto depois dos calculos realizados para
decaimento-2νββ no 76Ge observou que para o modelo as amplitudes de M2ν comportam-se
aproximadamente do mesmo jeito que a QRPA. Dizemos entao que a projecao no numero de
partıculas nao e capaz de evitar o colapso da QRPA[32].
Por outro lado, diversos tipos de QRPA tem sido imprementados, por exemplo a QRPA
renormalizado (RQRPA). Neste modelo, o efeito das GSC e incluıdo na equacao de movimento
QRPA. Um importante resultado para o colapso do QRPA, e que este se desenvolve em regiao
de parametros do canal partıcula-partıcula. A incorporacao das GSC ao modelo QRPA,
dependem ligeiramente dos medidas de amplitude de transicao-2νββ sobre esse parametro.
Porem, o preco a se pagar para evitar o “colapso” seria a nao-conservacao da Regra de Soma
de Ikeda (ISR- Ikeda Sum Rule) [50]. Essa regra corresponde a diferenca das amplitudes de
decaimento β− e β+ simples, sendo N − Z para a transicao de Fermi e 3 (N − Z) para a
transicao de Gamow-Teller. A regra de soma e independente do modelo utilizado e deve ser
cumprida por todo e qualquer modelo que se diz bom [51], sendo baseada nos comutadores, e no
fato de que sao operadores de partıcula simples [52]. Esta regra de soma e restaurada quando
se trabalha no espaco completamente renormalizado QRPA (Full Renormalized QRPA, FR-
QRPA) [53, 54], mas ainda o comportamento da amplitude-2νββ e similar ao aquele obtido
dentro da QRPA.
Outra aproximacao utilizada foi a QRPA “auto-consistente” (Self-consistent QRPA,
SCQRPA) [55] que incorpora por completo as GSC, levando simultaneamente o acoplamento
de partıculas-simples na QRPA. Porem na Ref. [56], foi feito um estudo comparativo das
QRPA, RQRPA e SCQRPA para excitacoes do tipo Fermi e encontrou-se que: (i) antes do
colapso da QRPA, as tres aproximacoes descrevem bem os resultados, (ii) proximo ao ponto de
transicao somente a SCQRPA reproduzem corretamente os resultados e, (iii) passando desse
ponto, a SCQRPA e RQRPA os valores obtidos sao diferentes dos exatos. Porem segundo
Krmpotic [56], as estimativas de que estes resultados sejam mantidos para a transicoes de GT
ainda devem ser exploradas.
Chegamos a conclusao entao, que as alteracoes na QRPA, propondo uma melhora desse
modelo nuclear, que avalia a mudanca qualitativa do comportamento da amplitude M2ν nao
sao completamente consistentes e nem contornam o problema do colapso. A menos que se
tolere a violacao da ISR, o que e extremamente perigoso no sentido de controlar os efeitos
nos valores de M2ν . Dentro do cenario de QRPA, ao inves de introduzir novas melhorias e
variacoes nas equacoes de movimento de QRPA, talvez seria melhor utilizar diferentes me-
30
canismos de supresao (“quenching”) para os elementos de matriz nuclear. Esta afirmativa
esta fundamentada principalmente porque outros modelos nao utilizariam o mesmo tipo de
interacao e/ou o mesmo espaco de configuracoes de partıculas independente, alem de possuir
outros conjuntos de correlacoes como por exemplo o modelo de camada nuclear SM [32].
Uma das proposta que surgiram para melhorar o analise da estrutura nuclear no pro-
cesso, foi introduzir o uso do Teorema de Brillouin. Este teorema diz que o hamiltoniano
nuclear nao se conecta ao vacuo de partıcula-buraco devido as excitacoes de p−n que condu-
zem a interacao residual de 1-partıcula-1-buraco, permitindo assim a mistura das excitacoes
de partıcula-buraco, o que produziria estados com configuracoes agora misturadas. Este
modelo recebeu o nome de aproximacao de Tamm-Dancoff - TDA - (Tamm-Dancoff Aproxi-
mation) [57]. Dessa maneira, utilizando um espaco gerado segundo uma variacao do espaco
restrito, pode-se determinar o menor estado de energia com uso do determinante de Slater.
Na TDA, diagonaliza-se a matriz da parte “eficaz‘” do hamiltoniano nuclear numa base de
partıcula unica. Temos entao orbitais abaixo do nıvel de Fermi, conhecidos tambem como o
vacuo de Hartree-Fock |HF ⟩, logo temos para as primeiras excitacoes no vacuo, que decorrem
de excitacoes do tipo 2-partıculas-2-buracos, proposto inicialmente por Hendekovic [42]. Com
a finalidade de descrever os estados fundamentais das vibracoes esfericas dos nucleos identicos
(sejam protons ou neutrons) para estados de zero-, duas-, ou quatro quasepartıculas, Ram
Raj et al.(1967) na Ref.[57, 58] propuseram entao o modelo de TDA de quasepartıculas QTDA
(Quaseparticle Tamm-Dancoff Aproximation).
31
2 INTRODUCAO
Segundo A.Samana [4] temos que alguns processos fracos envolvendo isotopos de 12C,
nao podem ser descritos de forma consistente pelos modelos do tipo da aproximacao por fase
aleatoria - RPA (Random Phase Aproximation) nem pela aproximacao aleatoria de quase-
partıculas - QRPA (Quase-Randon Particle Aproximation). No entanto, o modelo de QRPA
projetada no numero de partıculas resolveu um problema de coletividade presente no RPA e
QRPA para a triade 12C [4]. Porem, em nucleos que podem decair por decaimento duplo-β,
como 48Ca e 76Ge notou-se que o uso do modelo de PQRPA utilizado por F. Krmpotic et
al. [59], nao resolvia um dos maiores “defeitos”que possuem os modelos do tipo RPA. Numa
recente publicacao de F. Krmpotic [32], menciona que o principal inconveniente que se encon-
trava nos calculos de QRPA era a extrema sensibilidade dos elementos de matrizes M2ν para
decaimento dos nucleos que decaem pelo 2νββ no canal de partıcula-partıcula da interacao
residual. Ainda, a ambiguidade que existe no tratamento dos estados intermediarios pelo
modelo de QRPA, necessita-se recorrer a uma segunda conservacao de cargas para descrever
o decaimento-ββ do estado final excitado. Ambos problemas podem ser tratadas de maneira
mais conveniente pela FQTDA. Pelo outro modo de decaimento duplo beta sem emissao de
neutrinos, 0νββ, requer a violacao do numero leptonico (do ingles, Lepton-number-violating).
O processo 0νββ de nucleos atomicos e um dos atuais e principais objetivos experimentais
em fısica nuclear e de partıculas. Postula-se que esse processo de violacao leptonica, ocorre
apenas quando o neutrino e uma partıcula de Majorana, ou seja, o neutrino e sua propria
anti-partıcula.
A continuacao, descreveremos o esquema geral no qual trabalham as aproximacoes do
tipo RPA e QRPA. O Hamiltoniano da interacao nuclear e dado por:
H = Hp +Hn +Hres, (2.1)
que pode ser escrito em segunda quantificacao utilizando os operadores de criacao e destruicao
de partıculas c†pcp e c†ncn. A interacao de curto-alcance, ou interacao de emparelhamento, pode
ser tratada mediante uma transformacao de Bogoliubov sobre os operadores de partıcula (c†c)
obtendo os operadores de criacao e destruicao de quasepartıculas, (a†, a), que dependem da
probabilidade de ocupacao do estado (u, v). Para a parte da interacao de longo-alcance,
ou excitacao de estados coletivos do estado fundamental, pode-se usar a aproximacao quase-
32
bosonica. Temos assim que o espaco de estado vazio e dado por:
|0⟩RPA ≡ |0⟩HF , quando se trabalha com partıcula-buraco;
ou
|0⟩QRPA ≡ |0⟩BCS, quando trabalha com quasepartıculas.
Os estados dos nucleos vizinhos (impar-impar) ao nucleo par-par (definido como o
vazio, |0⟩) sao obtidos por aplicacoes simultaneas dos operadores de criacao e destruicao do
tipo: c†pcn|0⟩ ou c†ncp|0⟩. Assim os estados de energia mais baixos podem ser pensados como
excitacoes de uma partıcula-um buraco (1p − 1h) de um operador que contenha ambos os
tipos de excitacoes. Esse operador pode ser escrito como:
Λ = Xc†p cn|0⟩+ Y c†n cp|0⟩, (2.2)
sendo as amplitudes X e Y , chamadas de forward e de backward, respectivamente. No trata-
mento da aproximacao de Tamm-Dancoff ou teoria simples de partıcula-buraco, usada para
nucleos par-par com dupla camada fechada, ou em nucleos deformados com bandas de rotacao
bem estabilizadas e tambem em nucleos supercondutores, se utiliza unicamente a amplitude
de forward. No caso da RPA ou teoria sofisticada de partıcula-buraco, que e uma teoria sim-
ples para estados excitados de nucleos que admitem a possibilidade de nao serem puramente
caracteristicas de partıcula independente, mas poderiam conter correlacoes do estado funda-
mental, ambas amplitudes forward e backward sao usadas representando assim as excitacoes
1p− 1h para os dois ramos dos nucleos impar-impar vizinhos ao par-par.
No modelo de HF [60], o modelo de campo medio auto-consistentes negligencia as
trocas e inclusoes de partıculas. Porem no modelo de BCS [51], ja e tratada a forca de
emparelhamento (do ingles, paring). Na interacao de emparelhamento a existencia de estados
de quasepartıculas esta ligada aos estados dos nucleons originais de partıcula-simples obtidos
atraves da transformacao de Bogoliubov-Valatin (BV), permitindo demostrar a tendencia da
interacao de curto alcance de acoplar um par partıculas a configuracoes estaveis com J = 0.
Esse esquema de acoplamento conduz a densidades esfericas de distribuicao. Nesse caso o
vacuo esta dado por:
|0⟩ ≡ |BCS⟩. (2.3)
Temos que trabalhar com a transformacao dos operadores c† para a†, que agora sao funcoes
dos parametros de ocupacao dos estados (u, v), obtidas a partir da resolucao das equacoes
33
de BCS. Devido a transformacao de BV, escrevemos nosso novo hamiltoniano agora para o
espaco vazio em funcao dos operadores de quasepartıcula H → H ′ que contem termos do
tipo:
a†p ap, a†n an, a
†p a
†n ap an, (2.4)
representando excitacoes de 2 e 4 quasepartıculas. Uma melhor abordagem sobre modelos
utilizados voltara a ser tratado nos capitulos sequentes.
2.1 Objetivos
Este trabalho tem por ideal calcular as taxas do duplo decaimento-β com dois neutrinos
dentro da chamada aproximacao permitida1 utilizando o modelo de FQTDA [57]. Levanta-
remos uma comparacao entre QRPA e FQTDA, quando for possıvel, com intencao de avaliar
as taxas de amplitude do decaimento duplo-β. Uma outra comparacao sera feita entre os
elementos de matriz nuclear M2ν , para testar o modelo com alteracao dos paramentros nos
canais partıcula-partıcula e partıcula-buraco. Alem disso, faremos uma analise com base nos
dados experimentais previstos na literatura com intuito de verificar a exatidao e aplicabilidade
do modelo.
1Somente contribuim os termos de Fermi e de Gamow-Teller na probabilidade de transicao.
34
3 METODOLOGIA
3.1 Vidas medias para decaimento duplo-β
Para o decaimento duplo-β usualmente temos os seguintes modos de desintegracao:
(i) decaimento com dois neutrinhos duplo-beta (2νββ), que ocorre por dois sucessivos
decaimentos-β passando atraves de um estado virtual (N-1, Z+1), e
(ii) decaimento sem neutrino (0νββ).
As meia-vidas desses decaimentos sao escritas na forma:
T−12ν = G2νM2
2ν e T−10ν = G0νM2
0ν⟨mν⟩2, (3.1)
respectivamente, onde G ′s e o fator de fase geometrico, M′s sao os elementos de matriz
nuclear (NME’s) que apresentam muitas caracterısticas semelhantes, e ⟨mν⟩ e a massa media
do neutrino. No entanto, desconhecemos dois fatores cruciais do neutrino: (a) sua massa
absoluta, e (b) se o neutrino e uma partıcula de Majorana ou de Dirac. Somente o decaimento
0νββ e capaz de fornecer essas informacoes, no entanto, so e possıvel entender o decaimento-
0νββ quando se entenda o decaimento 2νββ.
Independente do modelo nuclear que e utilizado, considerando apenas as transicoes
permitidas, temos a seguinte expresao para os elementos de matriz de 2νββ no estado final
|0+f ⟩ [61]:
M2ν(f) =∑λ=0,1
(−)λ∑α
[⟨0+f ||O
β−
λ ||λ+α ⟩⟨λ+α ||Oβ−
λ ||0+⟩Dλ+
α ,f
]≡MF
2ν(f) +MGT2ν (f), (3.2)
onde o somatorio esta sobre todos os estados virtuais intermediarios |λ+α ⟩, e o operador de
transicao resulta em
Oβ−
λ = (2λ+ 1)−1/2∑pn
⟨p||Oλ||n⟩(c†pcn
)λ, onde
O0 = 1 , para F
O1 = σ , para GT. (3.3)
Assumimos que o Fermi (F) e o Gamow-Teller (GT) como operadores para o decaimento-β−,
e c† (c) como operador criacao (aniquilacao) de partıcula. Os operadores decaimentos-β+
35
correspondentes sao Oβ+
λ =(Oβ−
λ
)†, e
Dλ+α ,f = Eλ+
α−E0 + E0+f
2= Eλ+
α− E0 −
E0+f− E0
2, (3.4)
onde Dλ+α ,f e o denominador da energia. E0 e E0+f
sao respectivamente, os estados de energia
inicial |0+⟩ e estado de energia final |0+f ⟩.
O decaimento-ββ ocorre em nucleos de massa media que estao muitas vezes distantes
das regioes de camada fechada, e como conseguencia a maior parte das tentativas recentes
para avaliar M2ν e M0ν sao:
(i) o QRPA, onde se faz uma grande fracao de nucleos para participar de um grande
espaco de uma partıcula unica, mas dentro de um determinado espaco dotado de uma modesta
configuracao, por isso e de longe mais simples computacionalmente,
(ii) o modelo de camada (do ingles, Shell Model, SM) onde se lida com uma pequena
fracao de nucleos em um espaco limitado de partıcula unica, mas lhe permite correlacionar-
se de uma forma arbitraria dentro de um espaco grande de configuracoes, o que demanda
uma ardua tarefa computacional em virtude de diagonalizacao de grandes matrizes e com a
necessidade de realizar cortes (do ingles, cut-off ) para convergencia das rotinas numericas.
Na referencia [61] mostrou-se que os tipos de correlacoes que estes metodos incluem
nao sao os mesmos. Alem disso, varios e diferentes calculos com alteracoes do QRPA fo-
ram resolvidas e alteraram qualitativamente o comportamento da amplitude M2ν (o modelo
colapsa na regiao fısica da constante de acoplamento no canal de partıcula-partıcula), mas
nenhuma das alteracoes do QRPA ate agora foi capaz de sustentar a autoconsistencia do
modelo nuclear, a menos que se concorde em assumir a violacao da regra de soma de Ikeda
o que pode ser perigoso, pois nao temos controle sobre a forma de evolucao do sistema, nem
como isso afetaria o valor do M2ν .
Funcoes de onda e NME
Um esboco para avaliar as taxas de decaimento-ββ com um modelo nuclear simples
e feito dentro da aproximacao de QTDA [57, 58]. Nesse modelo, a principal diferenca em
comparacao com o modelo da QRPA, mais comumente utilizado, vem de como e descrito o
nucleo final (N − 2, Z + 2).
Semelhante a QRPA, podemos expressar o Hamiltoniano total como:
H = Hp +Hn +Hpn +Hpp +Hnn ≡ H0 +Hres, (3.5)
36
onde Hp e Hn sao respectivamente os Hamiltonianos de quasepartıcula unica para protons e
neutrons (com autovalores ϵp e ϵn). Hpn, Hpp, e Hnn sao os correspondentes Hamiltonianos
para duas-quasepartıculas. Assumimos entao:
i) o estado inicial e dado pelo vacuo de BCS para nucleo (N,Z), e
ii) os estados intermediarios e finais nucleares envolvidos no decaimento-ββ sao, res-
pectivamente, excitacoes de dois e quatro quaseparticulas no vacuo. Isto e:
• estado inicial: |0+⟩ = |BCS⟩,
• estado intermediario:
|λ+α ⟩ =∑pn
Xpn;λ+α|pn;λ+⟩, (3.6)
com
|pn;λ+⟩ = [a†pa†n]λ+ |BCS⟩, (3.7)
• estado final:
|0+f ⟩ =∑
p1p2n1n2J
Yp1p2n1n2J ;0+f|p1p2, n1n2; J⟩, (3.8)
com
|p1p2, n1n2; J⟩ = N(p1p2)N(n1n2){[a†p1a†p2]J [a
†n1a†n2
]J}0|BCS⟩, (3.9)
e
N(ab) = (1 + δab)−1/2. (3.10)
Aqui a† (a) e a criacao (aniquilacao) do operador de quasepartıcula em relacao ao vacuo
de BCS.
V
−
β−
β
n
n
p
1p
2
1
2
Figura 3.1: M2ν na QTDA. O primeiro e segundo vertice correspondem, respectivamente, aos elementos dematriz (3.11) e (3.12). O terceiro vertice representa a interacao residual no estado final.
37
Pode-se ler que os elementos de matriz de Hpn entre os estados intermediario |pn;λ+⟩
e o estado final |p1p2, n1n2; J⟩, respectivamente, a partir de [58, (4.9) e (4.5)], e os de Hpp
e Hnn entre os mesmos estados finais a partir de [57, (2.11)]. Assim, so mostramos aqui os
resultados explıcitos para os elementos de matriz de um-corpo que aparecem na Eq. (3.2).
Eles sao:
⟨λ+α ||Oβ−
λ ||0+⟩ =∑pn
Λ0+(pn;λ)Xpn;λ+
α, (3.11)
e
⟨0+f ||Oβ−
λ ||λ+α ⟩ = −∑pn
Xpn;λ+α
∑p1p2n1n2J
Yp1p2n1n2J;0+fN(p1p2)N(n1n2)P (p1p2J)P (n1n2J)
×√2J + 1(−)n1+p2+J+λ
p1 n1 λ
p n J
Λ0+(p1n1;λ)δp2pδn2n, (3.12)
onde
P (p1p2J) = 1− (−)p1+p2+JP (p1 ↔ p2), (3.13)
e o operador permutacao. As energias do denominador (3.2) sao
Eλ+α
= E0 + ωλ+α+ λp − λn,
E0+f= E0 + ω0+f
+ 2λp − 2λn, (3.14)
onde ωλ+αe ω0+f
sao os autovalores do Hamiltoniano (3.5) para o estado intermediario |λ+α ⟩
e o estado final |0+f ⟩, respectivamente, e λp e λn sao os potenciais quımicos. Portanto o
denominador de energia resulta em
Dλ+α ,f = ωλ+
α−ω0+f
2. (3.15)
Dentro da QTDA, o limite partıcula-buraco resulta em fazer : vp → 0, vn → 1, e
portanto, pode-se aplicar diretamente este modelo a nucleos com dupla camada fechada como
o 48Ca.
38
3.2 Formalismo dos modelos de Estrutura Nuclear
Diversas modificacoes foram implementadas afim de aprimorar as previsoes teoricas
para decaimento-ββ. Recentemente Krmpotic et al. [62] menciona que a propria QRPA
tambem teve de ser alterada. Anteriormente mencionamos que as varias modificacoes de
QRPA: PQRPA, SCQRPA, RQRPA, FR-QRPA, entre outras nao conseguiam evitar o cha-
mado colapso da QRPA, e o preco a se pagar para evitar o colapso da QRPA dentro da
RQRPA e a nao-conservacao da regra de soma de Ikeda para o operador GT [32]. Pode-se
concluir que nenhuma das modificacoes propostas ate agora foi capaz de modificar qualita-
tivamente o comportamento da amplitude M2ν , a menos que se aceite pagar um alto preco
que e a violacao da regra de soma de Ikeda.
Abordaremos na proxima secoes diferentes modelos de estrutura nucler utilizados para
a descricao dos nucleos que compoem os elementos de matriz-ββ.
3.2.1 Modelo de BCS
O Hamiltoniano da interacao nuclear dado por (2.1) pode ser escrito como:
H = Hp +Hn +Hpn, (3.16)
ondeHp eHn descrevem os Hamiltonianos para partıculas independentes de protons e neutrons,
respectivamente, sendo que Hpn representa a interacao residual entre protons e neutrons. No
formalismo da segunda quantificacao , podemos expressa-los como
Ht =∑t
(et − λt)c†tct +
1
4
∑t′s
< t1t2|V |t3t4 >A c†t1c
†t2ct4ct3 , t = p, n, (3.17)
Hpn =∑pp′nn′
< pn|V |p′n′ >A: c†pc
†ncn′cp′ : , (3.18)
onde os subındices p (n) indicam todo o conjunto de numeros quanticos para um nıvel1, ou
seja p ≡ {np, lp, jp,mp} (n ≡ {nn, ln, jn,mn}), onde esses elementos tem um significao usual; et
e a energia de partıcula independente, λt e o potencial quımico, c†t e (ct) sao os operadores de
criacao (aniquilacao) de partıculas independente. O sımbolo : : indica o produto normal de
operadores fermionicos com respeito ao vazio de partıculas , e o ındice A indica que elementos
1Estes correspondem ao campo medio gerado pelos nucleons que usualmente simulam mediante umpotencial de oscilador harmonico ou um potencial de Wood-Saxon. Onde ut, vt sao coeficientes, sendo que u2trepresenta a probabilidade de ocupacao de um estado t de quasepartıcula.
39
da matriz que estao corretamente antisimetrizados, sendo
< t1t2|V |t3t4 >A=< t1t2|V |t3t4 > − < t1t2|V |t4t3 > . (3.19)
O Hamiltoniano (3.16) pode ser diagonalizado atraves de uma transformacao canonica
de quasepartıculas [60] chamado de transformacao de Bogoliubov:
a†t = utc†t − vtct, u2t + v2t = 1, at = (−1)t+mtat,−mt . (3.20)
Utilizando o teorema de Wick com respeito ao vazio de quasepartıculas definido por
|BCS⟩ ≡ |0+⟩ = |0p⟩|0n⟩, |0t⟩ =∏t
(ut + vta†ta
†t)|⟩, t = p, n, (3.21)
onde | ⟩ e o vazio de partıculas. O Hamiltoniano (3.16) toma a forma
Ht = H0t +H11
t +H20t , (3.22)
onde
H0t =
∑t
(et − λt)v2t −
1
2utvt∆t,
H11t =
∑t
[(et − λt)(u2t − v2t ) + 2utvt∆t]a
†tat, (3.23)
H20t =
∑t
[(et − λt)utvt −1
2(u2t − v2t )∆t](a
†ta
†t + atat),
com os gaps de emparelhamento definidos por
∆t = −1
2
∑t′
jt′ j−1t ut′vt′ < tt; 0|V pair|t′t′; 0 > . (3.24)
V pair e a parte da interacao residual que descreve o emparelhamento das partıculas que se
acoplam ao momento angular J = 0. Exigindo que ao termino H20t se anule 2 obtemos a
chamada equacao de gap
2(et − λt)utvt = (u2t − v2t )∆t, (3.25)
que resolvidas em foma consistente com as condicoes de normalizacao , u2t + v2t = 1, temos
2Outra maneira de obter as equacoes de gap, consiste em minimizar a energia do estado fundamental dosrespectivos parametros ut e vt.
40
como solucoes as ocupacoes
u2t =1
2
(1 +
et − λtEt
), v2t =
1
2
(1− et − λt
Et
), (3.26)
onde Et =√
(et − λt)2 +∆2t , e definida como energia de quasepartıcula. A menos de um
termo constante que representa a energia do vazio, do Hamiltoniano (2.1) toma a forma
diagonal
Ht =∑t
Eta†tat, (3.27)
de onde fica claro que Et se interprete como a energia de quasepartıcula.
Como as equacoes de BCS sao resolvidas em nucleos com (Z,N) pares, tambem se
cumpre a seguinte condicao para o valor medio do operador numero N :
⟨BCS|N |BCS⟩∑
t=n(p)
(2jt + 1)v2jt = N(Z), (3.28)
Finalmente e conveniente definir as energias de quasepartıculas relativas ao nıvel de
Fermi
E(±)jk
= ±Ejk + λk; (k = p, n), (3.29)
para associar essas energias E± com as energias de partıcula simples dos nucleos vizinhos
impar-impar.
3.2.2 Modelo de Tamm-Dancoff (TDA)
Uma descricao das configuracoes mesclada de excitacoes partıcula-buraco em nucleos
duplamente magicos, e tratada simplesmente considerando excitacoes de uma partıcula- um
buraco (1p-1h). Este esquema e conhecido como aproximacao de Tamm-Dancoff (TDA).
Suhonen [51] deriva as equacoes de TDA usando teorema de Brillouin, que permite a diago-
nalizacao da interacao residual dentro da base de 1p-1h. Assim dentro da TDA, a interacao
residual e permitida misturar excitacoes partıcula-buraco para produzir estados nucleares com
configuracoes mistas. Nesta secao usaremos a descricao da TDA que sera feita de acordo com
o tratamento feita por Rowe [60] usando as equacoes de movimento, mas outras referencias
mais atuais como Suhonen [51] pode ser consultada.
41
O Hamiltoniano (2.1) dentro da representacao de HF, segundo Rowe[60], e dado por
H = H0 + VRES, (3.30)
onde,
H0 =∑ν
ϵνc†νcν , (3.31)
e
VRES =1
4
∑µνµ′ν′
Vµνµ′ν′: c†µc
†νcν′cµ′:, (3.32)
agora a separacao de HF (3.30) foi feita de tal maneira que o estado fundamental | ⟩ de
H0 deve ser uma boa aproximacao para o estado fundamental de H. Mas nao ha nenhuma
razao para que estados excitados de H0 devam ser semelhantes aos auto-estados de H. Em
particular, o mais baixo estado excitado de H0, nomea-se excitacao de partıcula-buraco
|m(i)−1⟩ ≡ c†mci| ⟩ (3.33)
sao diretamente acoplados pela interacao residual. Sendo m, n estados de partıcula e i, j
estado de buraco, assim
⟨m(i)−1|VRES|n(j)−1⟩ =1
4
∑µνµ′ν′
Vµνµ′ν′⟨ |a†iam:a†µa†νaµ′aν′:a†naj| ⟩,
=1
4(Vmjin − Vjmin − Vmjni + Vjmni),
= Vmjin. (3.34)
Desde que V esta antisimetrizado, Vmjin contem ambos elementos de matriz dos termos diretos
e de troca. Os elementos de matriz do hamiltoniano completo, para estado de partıcula-buraco
resultam
⟨m(i)−1|H|n(j)−1⟩ = δmnδij(E0 + ϵmi) + Vmjin, (3.35)
onde E0 e a energia do estado fundamental e ϵmi = ϵm − ϵi e a energia excitacao do estado
nao-pertubado para partıcula-buraco.
Se assumimos que os auto-estados |w⟩ de H podem ser expandidos em termos finitos
de uma combinacao linear de estados de partıcula-simples
|w⟩ =∑nj
Ynj(w)|n(j)−1⟩, (3.36)
42
obtendo a seguinte equacao secular
∑nj
⟨m(i)−1|H|n(j)−1⟩Ynj(w) = EwYmi(w). (3.37)
Expandindo esta ultima equacao resulta em
∑nj
(δmnδijϵmi + Vmjin)Ynj(w) = ~wYmi(w), (3.38)
onde ~w e a energia de excitacao
~w = Ew − E0. (3.39)
A anterior representacao, chamada de representacao desacoplada partıcula-buraco, e
formalmente muito simples e por essa razao muito usada. Mas com excecao para nucleos
deformados, ela nao e muito conveniente para propositos computacionais. Se possuimos um
bom numero quantico, assim como o momento angular, deve-se usar para reduzir as dimensoes
da matriz a ser diagonalizada. Ao inves da combinacao linear de estados de partıculas-buracos
da equacao (3.36), podemos fazer a expansao como
|wJM⟩ =∑nj
Ynj(wJ)|n(j)−1; JM⟩, (3.40)
onde
|n(j)−1; JM⟩ =∑
mn(mj)
(jnjjmnmj|JM)c†ncj| ⟩, (3.41)
e cj e a notacao abreviada para cj ≡ (−1)jj+mjcjj−mj. A equacao secular torna-se entao
∑nj
(δmnδijϵmi + ⟨m(i)−1; J |VRES|n(j)−1; J⟩)Ynj(wJ) = ~wYmi(wJ). (3.42)
Se o spin isotopico e um bom numero quantico, podemos interpretar ao J , nessas
equacoes, como simbolizando tanto momento angular, J , e o isospin, T .
Com ajuda do algebra de acoplamentos angulares, os elementos de matriz do estado de
partıcula-buraco, podem ser expressos em termos dos elementos de matriz de duas-partıculas.
43
Obtemos, na representacao acoplada-JT ,
⟨m(i)−1; JT |VRES|n(j)−1; JT ⟩ = −∑J1T1
(2J1 + 1)(2T1 + 1)W (jmjijjjn; JJ1)
W
(1
2
1
2
1
2
1
2;TT1
)⟨(jm)J1T1|V |(in)J1T1⟩, (3.43)
onde os W ’s sao os coeficientes de Racah.
O elemento de matriz para um operador geral de um-corpo W e dado pela representacao
desacoplada por
⟨w|W | ⟩ =∑nj
Y ∗nj(w)⟨n(j)−1|W | ⟩ =
∑nk
Y ∗nj(w)Wnj (3.44)
onde
Wnj = ⟨n|W |j⟩ ≡∫ψ∗nWψi. (3.45)
Agora na representacao acoplada resulta
⟨wJM |WJM | ⟩ =∑nj
Y ∗nj(nJ)⟨n(j)−1; JM |WJM | ⟩, (3.46)
com
⟨n(j)−1; JM |WJM | ⟩ =∑
mn(mj)
⟨n|WJM |j⟩(jnjjmnmj|JM). (3.47)
Simplificando a expressao usando os elementos de matriz reduzidos definidos pelo te-
orema de Wigner-Eckart, obtemos
⟨n|WJM |j⟩ = (−1)jj+mj(jjJ −mjM |jnmn)
(2jn + 1)12
⟨n||Wj||j⟩
=(jnjjmnmj|JM)
(2J + 1)12
⟨n||WJ ||j⟩. (3.48)
Combinando com (3.47)
⟨n(j)−1; J ||WJ || ⟩ = ⟨n||WJ |j⟩, (3.49)
e com (3.46) obtem-se finalmente
⟨wJ ||WJ || ⟩ =∑nj
Y ∗nj(wJ)⟨n||WJ |j⟩. (3.50)
44
3.2.3 Modelo de quasepartıcula TDA (QTDA)
Esse metodo proposto inicialmente por Raj, Pal, e Gambhir (1967) [57], que depois
retornou em (1968) com a colaboracao de Rustgy [58], foi desenvolvido para descrever os
estados de baixa energia de nucleos esfericos vibracionais com nucleons identicos (sejam eles
protons ou neutrons). O metodo descreve os estados vibracionais como superposicao de zero-
, duas-, ou quatro-quasepartıculas. Infelizmente, temos que os estados bases para o caso
de quatro-quasepartıculas dentro do formalismo de segunda HRPA (Higher Random Phase
Approximation - metodo que e uma extensao do RPA sugerido por Sawicki (1964) [63]) nao
formam um conjunto ortonormal linearmente independente e, as amplitudes de transicao
podem conduzir a resultados sem sentido. A solucao para este problema de redundancia
e nao-ortonormalizacao dos estados bases de quatro-quasepartıculas esta desenvolvida no
trabalho de MTDA(Modified Tamm-Dancoff Approximation) (1967) [57], tambem conhecido
por FQTDA (Four Quasiparticle Tamm-Dancoff Approximation).
O metodo FQTDA foi aplicado por Ram Raj et al.(1967) [57] para o calculo de nıveis
pares dos isotopos de Ni e Sn. A validade do metodo foi justificada por comparacao dos
resultados com isotopos pares de Ni e os resultados exatos do modelo de camadas dados por
Cohen et al. [64] e, mais tarde no mesmo ano, por Gambhir et al. [58].
Na Ref. [57], o metodo FQTDA para nucleos pares e impares com ambas quase-
partıculas de neutrons e protons, participando ativamente na mistura de configuracoes. Se o
neutrons e protons pertencem a nıveis de camadas bem separadas, entao a interacao entre eles
pode ser tratada como uma pertubacao sobre a interacao de emparelhamento de protons ou
sobre a de neutros. Em tais casos dentro de uma boa aproximacao, se faz primeiro as trans-
formacoes de quasepartıculas separadamente para neutrons e protons, seguido do tratamento
da interacao entre eles, Pal et al. [65] e Kissinger et al. [66]. Nessa aproximacao, o efeito da
interacao neutron-proton mantem as equacoes de emparelhamento inalteradas, e somente as
energias de partıcula-simples (single-particle) sao usadas e alteradas atraves da contribuicao
dos outros nucleons.
Em um nucleo par, as excitacoes importantes consistem de pares de quasepartıculas
de neutrons e pares de quasepartıculas de protons, enquanto que em nucleos impares temos
que sao importantes as excitacoes de pares de quasepartıculas neutron-proton. No limite
total de quatro-quasepartıculas, os estados de bases que trabalham sobre o vacuo serao: 2-
neutrons-2-protons, 4-neutrons, 4-protons e mistura de 2-neutrons-2-protons, para a descricao
dos nucleos pares e a mistura de quasepartıculas de 1-neutron-1-proton, 1-neutron-3-protons e
45
3-neutrons-1-proton para nucleos impares. O acoplamento entre excitacoes de quasepartıcula
de neutrons-protons, surge pela interacao residual. Para descrever corretamente os estados,
deve-se fazer os calculos de mistura das configuracoes da interacao residual de quasepartıculas
de neutrons-proton trabalhando num espaco gerado sobre as bases mencionadas. No calculo
dos elementos de matriz conectando diferentes sub-espacos e transicoes de probabilidade, um
bom conjunto de estados de bases de quasepartıcula sem redundancia e ortonormalizado e
usado.
A presenca de estados espurios 0+ surge pela nao-conservacao do numero de partıculas
no metodo de quasepartıculas e sera removido para estados identicos de 2-, 3-, 4-quasepartıculas
pelo procedemento descrito na Ref. [57]. Expressoes para os elementos de matrizes entre os
diferentes estados bases, que sao necessarios para o calculo da energia, as funcao de onda e a
transicao de probabilidade foram tambem reportadas na Ref. [58]. A seguir apresentaremos
um breve resumo do hamiltoniano transformado para o esquema de quasepartıculas, dos es-
tado bases, e os elementos de matriz que surgem da interacao residual entre as quasepartıculas
de neutron-proton.
3.2.3.1 O Hamiltoniano total
O hamiltoniano dado pela equacao (2.1), assume a forma da equacao (3.16), onde a
parte da interacao residual entre protons e neutrons e descrita pela equacao (3.18).
Se tivermos neutrons e protons em camadas bem definidas, a interacao entre eles pode
ser tratada como uma pertubacao sobre a interacao de emparelhamento entre protons ou entre
neutrons. Utilizando a transformacao de Bogoliubov Eq. (3.20), obtemos o tratamento para
quasepartıculas.
A versao de quasepartıcula de Hpn de eq. (3.18) consiste de duas partes, a primeira
modifica simplesmente a energia de partıcula-simples(sp) proton (neutron), ϵ, dando:
ϵp = ϵp +∑nJ
{[J ]/[p]}12G(pnpnJ)v2n, (3.51)
onde [J ] = 2J + 1 e, G(p1n1p2n2J) e o elemento de matriz de dois corpos de V entre o
momento angular dos estados acoplados ⟨(p1n1J)| e |(p2n2J)⟩. A troca de n↔ p na anterior,
nos da a expressao para ϵn. A segunda parte da interacao residual
Hnp(int) =∑pp′nn′
⟨pn|V |p′n′⟩ : c†pc†ncn′cp′ : (3.52)
46
representa a interacao residual entre quasepartıculas de neutrons-protons. O simbolo :: denota
o produto normal do operador de fermions.
Nos introduzimos os pares de operadores normalizados (para neutrons e/ou protons)
A† e A definidas por:
A†(abJM) = N(ab)A†(abJM), (3.53)
e
A(abJM) = N(ab)A(abJM), (3.54)
com o fator de normalizacao
N(ab) = (1 + δab)12 . (3.55)
Logo o operador nao-normalizado A† e A nos da
A†(abJM) = −(−)a+b−JA†(baJM) =∑αβ
a b J
α β M
a†αa†β, (3.56)
com
A(abJM) = [A†(abJM)]†, (3.57)
sendo o operador numero N e definido como
N(abJM) =∑αβ
a b J
α −β M
Sβa†αaβ, (3.58)
onde o sımbolo [ ] denota o coeficiente de Clebsch-Gordan. Em termo dos operadores aqui
em cima definidos, o hamiltoniano Hnp(int) pode-se escrever
Hpn = H40 + H04 + H13 + H31 + H22, (3.59)
onde as expressoes matematicas para H40 = H†04, H31 = H†
31 e, H22, sao dados pela equacoes
(2.9), (2.10) e (2.11) respectivamente da Ram Raj et al. [58]. Estas expressoes para H’s
contem os elementos de matriz partıcula-buraco dados por F (pp′nn′J) e, os elementos de
matriz de partıcula-partıcula dados por G(pp′nn′J). Logo, a relacao entre eles resulta
F (pp′nn′J) = −∑J ′
√2J ′ + 1 W (pp′n′n; JJ ′) G(n′pp′nJ ′), (3.60)
onde W(abcd; ef) sao os coeficientes de 6J de Racah’s.
47
3.1.4.2 FQTDA. Estados da Base
O estado de zero-partıcula e o estado do vacuo de quasepartıcula |0⟩. O estado de
uma-quasepartıcula e simplesmente o operador de quasepartıcula a†α operando sobre o vacuo
|0⟩:
|α⟩ = a†α|0⟩. (3.61)
O estado antisimetrico normalizado de duas-quasepartıculas (para quasepartıculas de
pares de neutrons ou protons) sao as produzidas pelo operador A†(abJM) = N(ab)A†(abJM)
operando em |0⟩, ou seja:
A†(abJM)|0⟩ = |abJM⟩A = (1/√2[|a(1)b(2)JM⟩ − (−1)a+b−J |b(1)a(2)JM⟩], (3.62)
que e diferente do operador para os pares de quasepartıculas de neutron-proton:
A†(npJM)|0⟩ = |npJM⟩. (3.63)
A mistura de quasepartıculas de dois-neutrons e dois-protons e dada por:
|n1n2J12, p1p2J34; J⟩A = [A†(n1n2J12A†(p1p2J34]J |0⟩. (3.64)
A base de estados de quatro-quasepartıculas (sendo todas quasepartıculas de neutrons ou de
protons) sao classificadas de acordo com o conhecido esquema da senhoridade 3 para assegurar
a independencia, ortogonalidade e a nao-redundancia das bases. Eles podem ser dado pelos
tipos de configuracoes:
1) |a4Jν⟩, 2) |a31J1ν1, a2; J⟩, 3) |a21J1, a22J2; J⟩,
4) |a21J1, a2a3J23; J⟩, 5) |a1a2J12, a3a4J34; J⟩, (3.65)
onde J e o momento angular, ν e a senhoridade e o J com subscrito (ex. J23) denota o
acoplamento intermediario do momento angular de pares de quasepartıculas. O supraındice
em a denota o numero de quasepartıculas presentes nesse estado. Em segunda quantizacao os
estados de quatro-quasepartıculas segundo (3.65) do tipo 3) e 4) e |a1a2J12, a3a4J34; J⟩ podem
ser representados por
[a†(a1a2J12)a†(a3a4J34)]
J |0⟩, (3.66)
3Fator que diz respeito a quantidade de acoplamentos existentes. Por exemplo, se todos os pares acopladostemos senhoridade ν=0, e algum desacoplado ν=1.
48
e para o tipo 5) da (3.65) por
[a†(a1a2J12)a†α3]
J |0⟩. (3.67)
Para reescrever a segunda quantizacao dos estados 1) faremos uso dos coeficientes de
parentesco fracional e sao dados por:
|a3JνM⟩ = [(√3!⟨a2(J1); a, J ||a3Jν⟩]−1 × [A†(aaJ1)a
†a]
JM |0⟩, (3.68)
e
|a4JνM⟩ = [(√4!⟨a2(J1), a2(J2); J ||a4Jν⟩]−1 × [A†(aaJ1)A
†(aaJ2)]JM |0⟩. (3.69)
Assim de (3.68) e (3.69) podemos ver que para um dado J (com M podendo ter qualquer
porjecao), o lado direito obtido para os valores permitidos J1 (e J2) sao equivalentes aos
correspondentes ao estados simples do lado esquerdo. Portanto, um pode assumir qualquer
valor de J1 (e J2) permitido pela regras de acoplamento de momento angular sendo capaz de
descrever os estados do modelo de camadas. Sempre que usamos J1 (e J2) nos coeficientes
de parentesco fracional que ocorrem em qualquer expressao, eles sempre vao estar permitido
pela regra de acoplamento de momentos angulares.
Os estados bases para quasepartıcula de 1-neutron (-proton) acoplados as quase-
partıculas de tres-protron (-neutron) dos tipos 2), 3) de (3.61), como o procedimento de
elimacao dos estados espurios 0+ estao detalhados na Ref. [58] e nao serao usados no presente
trabalho.
3.1.4.3 FQTDA: Elementos de Matriz
Daremos aqui os elementos de matriz que surgem da interacao residual entre quase-
partıculas de neutron-proton para os estados bases de zero- dois- e quatro-estados de quas-
partıcula necessarios para descrever o estado final no duplo decaimento beta. Tambem para
nao abusar na escrita de equacoes, temos que os elementos de matriz entre estados de quase-
partıcula de dois-neutrons (ou -protons) e aqueles entre estados de quasepartıcula de quatro-
neutrons (ou -protons) encontram-se nas Eqs. (5.1)-(5.10) de Ref. [57]. De igual maneira
na mesma Ref. [57], encontram-se os elementos de matriz entre estados de quasepartıcula
de: zero- , quatro-neutrons (ou -protons) e viceversa , e para dois- ate quatro-neutrons (ou
-protons) e viceversa, nas Eqs. (5.11)-(5.14) e Eqs. (5.16)-(5.18), respectivalmente.
Para o segundo termo de H22 na parte de Hnp, os elementos de matriz para os estados
49
de quasepartıcula de dois-protons (-neutrons) ou de dois-neutrons (-protons) sao:
⟨0|a(n1n2J1)H22a†(p1p2J2)|0⟩ = −δJ1J2N(n1n2)N(p1p2)P (p1p2J2)P (n1n2J1)×
Up1Vp2Vn2Un1F (p1p2n1n2J1), (3.70)
onde o operador permutacao P e dado por:
P (p1p2J) = 1− (−1)p1+p2−JP (p1 ↔ p2) (3.71)
O segundo termo de H22 tambem contribui para os estados do tipo de quatro-quasepartıculas.
Vamos descrever abaixo somente os elementos de matriz entre estados de quasepartıculas para
quatro-neutrons, pois para os estados de quasepartıculas de quatro-protons pode-se escrever
de formar similar. Assim temos que avaliar os elementos de matriz de:
⟨ψ1|H22|ψ2⟩, (3.72)
onde ψ1 e ψ2 sao os estados de quatro-quasepartıculas.
Os elementos de matriz para os estados de quatro-quasepartıculas para o primeiro
termo de H22 resulta:
⟨0|[a†(n1n2J1)a†(p1p2J2)]
†JH22[a†(n′
1n′2J
′1)× a†(p′1p
′2J
′2)]
J ′|0⟩ =
−δJJ ′N(n′1n
′2)N(p′1p
′2)×N(n1n2)N(p1p2)P (n
′1n
′2J
′1)P (p
′1p
′2J
′2)P (n1n2J1)×
P (p1p2J2)∑Jx
(−1)J1+J ′1−Jx[Jx]{[J1J2J ′
1J′2]}
12 ×
W (p2p1J′2Jx; J2p
′1)W (J1n2Jxn
′1;n1J
′1)×
W (JxJ2J′1J ; J
′2J1)δp2p′2δn2n′
2H(p1p
′1n1n
′1Jx), (3.73)
onde o simbolo H(p1p′1n1n
′1Jx) e definido como:
H(p1p′1n1n
′1Jx) = (up1up′1un1un′
1+ vp1vp′1vn1vn′
1)× F (p1p
′1n
′1n1Jx)
+(−1)n1+n′1−Jx × (up1up′1vn1vn′
1+ vp1vp′1un1un′
1)F (p1p
′1n1n
′1Jx). (3.74)
A mistura entre diferentes sub-espacos de quasepartıculas que surgem atraves de H40(H04)
e H31(H13) para mistura entre estados de |0⟩, com H31(H13) conectados a estados de qua-
separtıculas de dois-neutrons ou dois-protons, nao serao usadas neste trabalho. Porem, as
expressoes para estes elementos de matriz encontram-se no trabalho de Ram Raj [58].
50
3.3 O codigo FQTDA
A FQTDA (Four Quasiparticle Tamm-Dancoff Approximation) foi implementada
num codigo numerico de mesmo nome, escrito em linguagem FORTRAN 77. Ele permite
resolver numericamente as equacoes de movimento para modelos de estrutura nuclear TDA,
FTDA, QTDA e FQTDA, permitindo descrever por esses modelos os estados nucleares finais
e intermediarios. Em seguida obtem os NME para o decaimento-β duplo com 2 neutrinos
dentro do formalismo de interacao neutrino-nucleo conforme explicado nas referencias [4, 61].
O codigo FQTDA utiliza a interacao-δ como interacao residual, permitindo ajustar convenien-
temente as amplitudes dos canais de: emparelhamento, partıcula-partıcula e partıcula-buraco
num so canal acoplado, ou partıcula-partıcula e partıcula-buraco em canais separados. Esta
interacao-δ tem sido usada extensivamente na literatura para descrever processos de decai-
mento β-simples e duplo-β [59, 67, 68], tambem utilizada no processo TDA [32, 57, 58], e
tambem em calculos de processos semi-leptonicos [4, 61, 69, 70].
O codigo FQTDA foi aprimorado a partir do codigo original usado nas Refs. [32, 71],
onde uma nova abordagem para o calculo dos NME no duplo decaimento-β foi desenvolvido.
Neste trabalho, o codigo foi usado para calculos sistematicos do duplo decaimento-β, no
nucleo de 48Ca. Na Figura (3.2) mostramos o diagrama de fluxo que segue o FQTDA. O
primeiro passo foi obter de forma adequada o espaco de configuracao das energias de partıculas
independentes para os nucleos em analise. Em seguida as equacoes de BCS sao resolvidas
ajustando os parametros das amplitudes de emparelhamento (pairing) para reproduzir os
valores dos ’gaps’ ∆p e ∆n experimentais como esta explicado na Ref. [70].
Dependendo da opcao adotada no arquivo de dados, o FQTDA resolvera: (i) as
equacoes de BCS (nucleo inicial) e depois as equacoes de QTDA (nucleo intermediario), e por
fim as de FQTDA (nucleo final), ou (ii) resolvera as equacoes de TDA (nucleo intermediario)
no espaco de Hartree-Fock e em seguida as equacoes de FTDA (nucleo final). Observa-se que
em ambas situacoes, (i) e (ii) faz-se o uso da forca-δ para tratamento da interacao residual.
Uma vez resolvida o problema de estrutura nuclear, procede-se a calcular: o decaimento-ββ
com emissao de 2ν dentro da aproximacao das transicoes permitidas. Num futuro trabalho
planeja-se estender este codigo para calcular o decaimento-ββ sem emissao de neutrinos.
Tanto para o calculo das equacoes de BCS como para as equacoes de TDA, usamos
a mesma interacao residual tipo-δ. Os paramentros-ph para a interacao residual podem ser
adotados de um estudo sistematico das ressonancias Gamow-Teller [72], ja usado na Ref. [32].
Porem, podemos fazer algumas alteracoes nesses parametros para analisar o comportamento
51
FQTDA: F Q T D Aour uasiparticle amm- ancoff proximation
Single Particle State
XZ N
Ca48
Ge76
Mo100{
FTDAFQTDA
QTDA TDA
Figura 3.2: Diagrama do codigo FQTDA.
52
da FQTDA nesse canal-ph. Assim, os calculos da taxa de decaimento duplo-β foram realizados
com os parametros de partıcula-buraco ajustados por tres pares: i) (vPHs = 27.0, vPH
t = 64.0),
ii) (vPHs = 35.0, vPH
t = 65.0), iii) (vPHs = 40.0, vPH
t = 60.0). Enquanto que para os canais
de partıcula-partıcula foram escolhidos s = vppsvpairs
= 1, onde vpps e a constante de acoplamento
nos canais singlete S=1 e T=0 da interacao residual, e deixando o parametro t =vpptvpairs
(canal
triplete S=0 e T=1) como uma variavel ajustavel, de modo que as taxas de decaimento se
adequassem no possıvel aos dados experimentais disponıveis. Este procedimento de escolha
de parametros e o procedimento “usual” usado em calculos anteriores para os NME dentro
do formalismo da QRPA [25, 26, 27, 67, 68, 73] entre outros. Neste trabalho tambem imple-
mentamos o uso de um simples conjunto de parametros (vs, vt) para ambos canais ph e pp,
como foi realizado na Ref. [32].
Encontramos assim o estado final |0+f ⟩ como uma excitacao de quatro-quasipartıculas
sobre os vacuos |0⟩BCS ou |0⟩HF , e finalmente nossos elementos de matriz nuclear-NME (M2ν)
para decaimentos do tipo 2νββ.
53
4 RESULTADOS NUMERICOS
4.1 Resultado para 48Ca
4.1.1 Comparacao dos resultados numericos com o antigo codigo
Escolha do s.p.e. para 48Ca
Nessa primeira parte, desenvolveremos uma abordagem comparativa entre o antigo
codigo QTDA7.f (utilizado nas Refs. [32, 71]) e as melhorias implementadas numa nova versao
do codigo, chamado agora QTDA82.f, ambos escrito em FORTRAN 77. Temos agora, que o
codigo e capaz de reproduzir corretamente o limite-ph, impondo as condicoes vp → 0, vn → 1
e up → 1, un → 0, uteis para 48Ca quando as energias de partıcula simples - s.p.e - (do ingles,
single-particle energies) de 40Ca sao usadas.
Este trabalho, utilizou tres conjuntos de s.p.e. rotuladas como: SET 1: conjunto de
s.p.e. de neutrons e protons (corrigidos pela interacao Coulombiana) do 40Ca aplicado para
descrever o 48Ca. SET 2: s.p.e. experimental de neutrons e protons de 48Ca (usados previ-
amente nos calculos de QRPA) [68, 74]). SET 3: s.p.e. modificado do oscilador harmonico
usual, utilizando o procedimento das equacoes de gap inverso para produzir a s.p.e. experi-
mental de 48Ca. Este processo equacoes de gap inverso ja havia sido utilizado anteriormente
para o caso do 12C (Ref. [23] do [4]). Uma demonstracao com maiores detalhes e feita abaixo.
Na Tabela (4.1), temos um conjunto de s.p.e sublinhado que diz respeito ao SET 1, que foram
empregados para fazer o limite-ph do QTDA realizado anteriormente pelas nossas Refs.[61, 75]
para 48Ca. A extensao do s.p.e sublinadas foi necessaria para completar o espaco disponıvel
onde as equacoes de BCS devem ser resolvidas de forma consistente (i.e. nao podemos resol-
ver as equacoes de BCS com so 1 nıvel). Da mesma forma que foi feito pela Ref. [61], estes
s.p.e. adicionais foram tomados a partir de energias experimentais para neutrons em 40Ca
e de protons, sendo ainda que estas s.p.e. foram corrigidas pela energia coulombiana. Os
resultados dessas energias compoem o SET 1.
Com os diferentes conjuntos podemos realizar os seguintes estudos e comparacoes:
(i) No limite-ph de QTDA para o s.p.e. sublinhado pelo Set 1, podemos compa-
rar atuais resultados com o resultado anterior da Ref. [61] para o espaco de configuracao de
1-neutron-buraco |n⟩ ≡ 1f7/2 e 3-protons-partıculas |p⟩ ≡ 1f7/2, 1f5/2, 2p1/2, 2p3/2, que chama-
remos de espaco-ph.
(ii) A reducao do s.p.e do SET 1 para QTDA, e obtida solucionando as equacoes de
54
Tabela 4.1: Energias de partıcula simples, (s.p.e), dada por ej (em Mev) para os SET 1, SET 2 e
SET 3 de s.p.e. utilizados para descrever 48Ca. A forca de emparelhamento vpairs (adimensional)para neutrons e protons dentro do BCS para N = 28 e P = 20 tambem sao esbocados. Os s.p.e.sublinados fazem referencia as energias usada no limite preliminar de partıcula-buraco para QTDA.
neutrons protonsShell SET1 SET2 SET3 SET1 SET2 SET31f5/2 6.50 −1.54 −2.05 12.89 −5.80 −6.272p1/2 4.10 −3.11 −3.79 10.49 −4.58 −4.862p3/2 2.10 −5.14 −8.18 8.49 −6.93 −7.391f7/2 0.00 −9.94 −8.44 6.39 −9.62 −10.871d5/2 −12.73 −12.52 −11.71 −6.34 −15.69 −14.102s1/2 −10.50 −12.55 −11.68 −4.11 −15.30 −12.481d3/2 −7.24 −14.60 −14.05 −0.85 −26.40 −18.58vpairs 31.00 32.00 23.87 41.90 34.43 24.40
BCS pelo SET 1 (completo) e depois se restringindo ao espaco do SET 1 para o espaco-
ph. Sendo nosso objetivo quantificar varios efeitos nos observaveis quando as probabilidade
vp → 0, vn → 1 e up → 1, un → 0 se movem para vp = 0, vn = 1 e up = 1, up = 0, estas
ultimas obtidas das equacoes de BCS.
(iii) A reducao do s.p.e. pelo SET 2 no espaco-ph, serve para comparar o efeito das
probabilidades de BCS em outro s.p.e.
(iv) Para o espaco completo do s.p.e. do SET 2 no QTDA leva em consideracao a
dimensao do espaco de quatro-quasepartıculas.
(v) Para o espaco completo do s.p.e. pelo SET 3 no QTDA, leva em consideracao a
dimensao de espaco de quatro-quasepartıculas quando sao utilizadas as s.p.e. experimentais.
4.1.2 Limite-ph de QTDA
Fazendo o uso do SET 1 no limite-ph de QTDA, podemos comparar exatamente as
mudancas ocorridas nos elementos de matriz nuclear (NME), nas funcoes de onda final e as
amplitudes do duplo decaimento beta para alguns estados finais 0+ como o elemento de matriz
do estado fundamental, do primeiro excitado e dos estados isobaricos analogos.
A seguinte parametrizacao foi utilizada vphs =40 e vpht =60 para os canais de interacao de
partıcula-buraco. Estes parametros usados sao responsaveis por reproduzirem razoavelmente
bem os nıveis de energia do 48Sc como foi mostrado pela Figura 6 na Ref. [32]. Como as mo-
dificacoes foram implementadas na interacao residual (e nao na parte da interacao leptonica-
nuclear), toda a descricao dos estados intermediarios foi a mesma utilizada na Ref. [32]. Isso
55
quer dizer, que nossa funcao de onda para o estado de ressonancia Gamow-Teller (GTR) e a
mesma, ou seja:
|GTR⟩ = 0.972|f7/2, f5/2; 1+⟩ − 0.237|f7/2, f7/2; 1+⟩. (4.1)
Conhece-se da literatura do decaimento beta que a interacao residual age de forma
diferente nas transicoes dupla-beta de F e GT. Uma discussao foi aprofundada no caso da
transicao do tipo Fermi e, em particular no decaimento duplo-beta, onde autores, como por
exemplo Civitarese [24, 49], afirmam que nao e permitida uma transicao do tipo Fermi devido
a conservacao do isospin. Por outro lado, alguns autores, assumem a existencia de transicao
tipo Fermi pela nao-conservacao do isospin e da quebra da simetria SU(4) 1 [73], permitindo
assim a possibilidade dessa transicao. Esta fora dos objetivos desta dissertacao, analisar este
problema e nos limitaremos a comparar nossos resultados com os aqueles obtidos da Ref. [32]
dentro da FTDA, deixando essa discussao para um futuro trabalho.
Na Figura (4.1) (gerados pela Tabela (6.1) do Apendice) temos uma comparacao para
o espaco-ph das amplitudes de transicao-ββ, Sββ−F,GT , para as transicoes de Fermi e Gamow-
Teller. Na parte superior estao as Sββ−F,GT em funcao das energias dos estados finais 0+, equanto
que na parte inferior estao as Sββ−F,GT em funcao dos 20 estados finais 0+ criados neste espaco-
ph. A comparacao e feita entre o antigo codigo, rotulado como Q77 (lado esquerdo), e o
novo codigo rotulado por Q82 (lado direito), permitindo observar as diferencas obtidas pelos
calculos numericos. Segundo a Ref. [32] que utilizou o Q77, a distribuicao de amplitude F
ββ, Sββ−F =124, estao concentradas nos menores estados degenerados |f 2
7/2, f27/2; J = 0, 2, 4, 6⟩
(Duplo Estado Isobarico Analogo, DIAS) com energia perto de 2∆c=12.78 MeV (estado 9),
medido a partir do estado fundamental de energia do 48Ca. Por outro lado, com o codigo
correto, Q82, a amplitude F ββ e quebrada em dois ramos, com quase a mesma intensidade,
92% seguido de 83%, concentrado uma media de 8,31 MeV, entre os estados 15 e 16. Da mesma
forma que o anterior, corresponde aos menores estados degenerados, ou seja aos |f 27/2, f
27/2; J =
0, 2, 4, 6⟩.
Na Figura (4.2) (gerado a partir da Tabela (6.2) do Apendice) mostra-se as amplitudes
Yp1p2n1n2J , componentes das funcoes finais de onda no estado 0+ com a maior contribuicao para
Sββ−
F Fermi (mostrado na anterior Fig. (4.1)), em funcao dos 20 estados finais 0+ criados no
1Simetria SU(4), acredita-se que alguns estados proibidos estejam ligados a problemas de simetria. Paracaso de transicoes dos elementos de matriz Gamow-Teller, a simetria quebrada e a SU(4), ou super-multipletede spin-isospin pertencentes a estados diferentes mesmo, no estado fundamental. Temos para estados desinglete a projecao do spin-isospin e y = 0, no estado de triplete temos [y − 1, y + 1, 0], ja para os estados de[y− 2, y− 1, 0, y+1, y+2] sao considerados como um multiplete, todos com respeito aos isobaricos analogos.
56
espaco-ph. Para os estados 15 e 16 de Q82, as componentes do DIAS sao ainda significativas,
como no estado 9 de Q77, mas tambem aparecem outras contibuicoes importante, tais como,
|f 27/2, p
23/2; J = 0⟩ e |f 2
7/2, f7/2p3/2; J = 2, 4⟩.
A Tabela (4.2) mostra as amplitudes Yp1p2n1n2J das funcoes de onda para 0+ finais
com maior contribuicao para Sββ−
GT Gamow-Teller apresentados na Fig. (4.1) (Veja-se tambem
Tabela (6.1) do Apendice). Estas contribuicoes sao analisadas para o ramo de estado 0+
fundamental e, aquele 0+ que venha do estado de dupla ressonancia GT. Para o QTDA77, as
contribuicoes parciais para amplitude Sββ−
GT provem do estado 1, estado 10, estado 11, estado
18.
Vamos comparar a contribuicao para Sββ−GT a partir dos diferentes estados de 4-qp
nas Yp1p2n1n2J dados na Tabela (4.2). Em ambos Q77 e Q82, notamos que a maior con-
tribuicao se formou no estado 1 (St.1 ), tendo-lhes as mesmas configuracoes (Conf.), com
amplitudes maximas muito similares. Para o Q77 outras contribuicoes foram dadas pela
conf. 8 ((1f ν7/2)
2, (1fπ5/2)
2; 2+) com (0.683), e conf. 17 ((1f ν7/2)
2, (1fπ5/2)
2; 4+) com (0.533),
enquanto que no Q82 as mesmas configuracoes apareceram em conf. 8 agora com (0.657) e
conf. 17 com (0.570). Em Q77 o segundo pico corresponde ao St. 10, onde a maior con-
tribuicao sao provenientes de conf. 20 com estados ((1f ν7/2)
2, 1fπ7/2, 1f
π5/2; 6
+) com (0.455),
e conf. 14 ((1f ν7/2)
2, 1fπ7/2, 1f
π5/2; 4
+) com (0.426). Em Q82, o segundo pico contem contri-
buicoes de conf. 20 com (-0.424), conf. 4 ((1f ν7/2)
2, (2pπ1/2)2; 4+) com (0.402), e tambem
conf. 14 com (0.013). Outra forte contribuicao para Sββ−GT em Q77 e proveniente de St. 11,
onde a maior intensidade corresponde a conf. 2 ((1f ν7/2)
2, (1fπ5/2)
2; 0+) com (0.626), seguido
da conf. 20 ((1f ν7/2)
2, (1fπ7/2, 1f
π5/2); 6
+) com (0.491). Por outro lado, para as contribuicoes
de Q82 vem do St. 9 com conf. 11 ((1f ν7/2)
2, (2pπ3/2, 2pπ1/2); 2
+) com (-0.483), e conf. 12
((1f ν7/2)
2, (2pπ3/2, 2pπ1/2); 2
+) com (0.368).
57
0 5 10 15 20
E(MeV)
0
20
40
60
80
100
Sββ−
F [77]
GT [77]
0 5 10 15 20
E(MeV)
0
20
40
60
80
Sββ−
F [82]
GT [82]
0 5 10 15 20
State
0
20
40
60
80
100
Sββ−
F [77]
GT [77]
0 5 10 15 20
State
0
20
40
60
80
Sββ−
F [82]
GT [82]
Figura 4.1: Na parte superior, apresentamos as amplitudes de transicao duplo-β−, do tipo Sββ−
F
Fermi (em vermelho) e do tipo Sββ−
GT Gamow-Teller (em azul) como funcao das energia dos estadosfinais 0+ (em MeV). Na parte inferior, temos as amplitudes de transicao duplo-β− como funcaodos 20 estados finais 0+ no espaco-ph pelos codigos Q77 (lado esquerdo) e Q82 (lado direito). Ass.p.e sao para 40Ca corrigido para representar 48Ca (SET1). Os paramentros vs = 40 e vt = 60 (emMeV/fm3) usados ambos nos canais de interacao pp e ph na interacao-δ residual. Conforme a Tabela(6.1).
58
0 5 10 15 20
State
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Yp1p
2n
1n2
J
9 [Q77]
15 [Q82]
16 [Q82]
Figura 4.2: As componentes da funcao de onda, Yp1p2n1n2J , para o estado final 0+ no espaco-ph commaior contribuicao da amplitude Fermi no duplo-ββ. Seja a contribuicao no (Q77) dada no estado9 (linha vermelha), enquanto no pelo (Q82) temos duas fortes contribuicoes dadas pelos estados 15(linha verde) e 16 (linha azul). (Conforme a Tabela (6.2) do Apendice.)
59
Tab
ela4.2:Com
pon
entesdafuncaodeon
daYp1p2n1n2Jpara
estadofinalfundamental0+
noespaco-phcom
maior
contribuicao
paraGT
amplitude-ββ.
MesmoparametrizacaoppephnaTab
ela(6.2).
Con
fYp1p2n1n2J
St
n1
n2
p 1p 2
J+
1(Q
77)
1(Q
82)
10(Q
77)
8(Q
82)
11(Q
77)
9(Q
82)
18(Q
77)
18(Q
82)
1134
134
134
134
0−0.033
−0.016
−0.056
0.097
−0.180
−0.082
−0.140
−0.107
2134
134
133
133
00.371
0.328
−0.419
−0.055
0.626
0.071
−0.098
−0.074
3134
134
212
212
0−0.039
−0.036
0.142
−0.205
−0.235
−0.288
0.001
0.021
4134
134
211
211
0−0.055
−0.044
−0.015
0.402
−0.013
0.174
−0.009
0.000
5134
134
134
134
2−0.026
0.000
−0.203
0.179
−0.066
−0.059
−0.618
−0.502
6134
134
134
133
2−0.118
−0.123
0.211
−0.219
0.008
0.128
0.136
0.132
7134
134
134
212
2−0.028
−0.024
−0.031
0.037
−0.124
−0.132
−0.228
−0.270
8134
134
133
133
20.683
0.657
0.321
−0.257
−0.088
0.017
−0.056
−0.057
9134
134
133
212
2−0.016
−0.023
0.183
−0.267
0.034
0.175
−0.044
−0.038
10134
134
133
211
2−0.012
−0.020
0.139
−0.288
−0.046
−0.066
−0.042
−0.036
11134
134
212
212
2−0.029
−0.025
−0.209
0.033
0.148
−0.483
−0.025
−0.019
12134
134
212
211
20.060
0.055
0.162
0.278
−0.136
0.368
0.021
0.017
13134
134
134
134
4−0.023
0.001
−0.174
0.076
0.060
−0.066
−0.223
−0.263
14134
134
134
133
4−0.188
−0.220
0.426
−0.313
0.322
0.306
−0.180
−0.196
15134
134
134
212
4−0.016
−0.013
−0.031
−0.026
−0.059
−0.138
0.043
0.029
16134
134
134
211
40.021
0.017
0.054
0.051
0.146
0.203
0.032
0.059
17134
134
133
133
40.533
0.570
0.222
−0.040
−0.006
0.181
−0.018
−0.022
18134
134
133
212
4−0.009
−0.026
0.121
0.332
0.012
0.349
0.005
0.012
19134
134
134
134
6−0.044
−0.032
−0.046
−0.072
0.276
0.040
0.597
0.681
20134
134
134
133
6−0.217
−0.248
0.455
−0.424
0.491
0.346
−0.261
−0.239
60
Em Q82, para St. 9, a configuracao 2 e fortemente suprimida (0.071), enquanto a
configuracao 20 tem intensidade ainda significativa (0.346). O ultimo pico identificado no Sββ−GT
esta chegando no mesmo St. 18 tanto para Q77 e Q82. Para Q77, este St. 18 tem intensidades
maiores em conf. 5 ((1f ν7/2)
2, (1fπ7/2)
2; 2+) com (-0.618), e de conf. 19 ((1f ν7/2)
2, (1fπ7/2); 6
+)
com (0.597). Em Q82, o St. 18 tem intensidade semelhantes para as mesmas configuracoes:
conf. 5 (-0.502) e conf. 9 com (0.681).
Em resumo, o antigo codigo Q77 (onde alguns erros numericos em elementos de ma-
triz de H22 foram programados para 4-quasepartıculas) foi modificado para Q82. Nao ha
qualquer alteracao na descricao numerica e fısica dos estados intermediarios. Isso significa
que o espaco configuracional, as energias, e as amplitudes de β-simples de Fermi e Gamow-
Teller sao as mesmas, mantendo os resultados e discussoes da Ref. [61]. As modificacoes na
parte de 4-quasepartıculas do movimento hamiltoniano e suavizado segundo as energias de 4-
quasepartıculas D4 como demonstrado na Tabela (6.1) do Apendice. Uma reorganizacao das
distribuicoes nas amplitudes de Sββ−F e Sββ−
GT e observado. Nao ha variacao da amplitude total,
pois o espaco configuracional de 4-quasepartıculas e o mesmo. Lembremos que mantemos os
mesmos parametros no canal emparelhamento, de ph e pp nos canais de interacao residual,
assim com os s.p.e. da base. A nova e velha amplitude Sββ−F,GT tambem sao apresentadas na
Tabela (6.1) do Apendice. Notou-se que a principal contribuicao do Sββ−F em Q77 era em-
purrando para baixo (3 MeV) o Q82 para energias menores de D4. A partir da analise das
componentes da funcao de onda Yp1p2n1n2J para o estado final 0+ nos picos de Sββ−F , observou-
se que as mesmas configuracoes de 4-quasepartıculas ((1f ν7/2)
2, (1fπ7/2)
2; J = 0+, 2+, 4+, 6+)
estao sendo levadas por amplitudes significativas nas funcoes de onda para ambos os calculos
Q77 e Q82.
As principais contribuicoes para Sββ−GT em Q77 e Q82 permanecem nas altas ener-
gias de D4, o segundo pico (mais coletivo) para Q82 esta lentamente empurrando para
cima em ∼1 MeV, e o terceiro pico e no mesmo estado e, com mesmo intervalo de ener-
gia. Contribuicoes similares de configuracoes ((1f ν7/2)
2; 1fπ7/2, 1f
π5/2; J = 4+, 6+), bem como
((1f ν7/2)
2; 2pπ3/2, 2pπ1/2; 2
+) e ((1f ν7/2)
2; (1fπ7/2)
2; J = 2+, 6+) aparecem em ambos os calculos.
No entanto, as amplitudes Y sao diferentes, temos que a conservacao das configuracoes e
mantida pela geometria na estrutura do modelo FQTDA.
Uma comparacao final esta relacionada com as funcoes de onda do estado fundamental.
A Figura (4.3) (obtida com a Tabela (6.3) do Apendice) mostra a comparacao das componen-
tes Yp1p2n1n2J da funcao de onda para estados 0+ finais do fundamental 0+ para ambos Q77 e
Q82. A maior contribuicao no Q77 e proveniente de conf. 1 ((1f ν7/2)
2; (1fπ7/2)
2; 0+) com (0.922).
61
0 5 10 15 20
State
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Yp
1p
2n1n
2J
20 [Q77]
20 [Q82]
Figura 4.3: Componentes da funcao de onda Yp1p2n1n2J para estado final do fundamental (20) de 0+
no espaco-ph, conforme os parametros vs=40 e vt=60 (em MeV/fm3) para SET1. A comparacao dasfuncoes de onda entre o Q77 (linha vermelha) e Q82 (linha azul) foi realizada conforme aos valoresapresentados na Tabela (6.3) do Apendice.
Apos este temos conf. 5 ((1f ν7/2)
2; (1fπ7/2)
2; 2+) com (-0.226), e conf. 2 ((1f ν7/2)
2; (1fπ5/2)
2; 0+)
com (0.211). A mesma conf. esta aparecendo como relevante na Q82: 1 com (0.917), 5 com (-
0.236), e 2 com (0.205). Emmenor importancia estao aparecendo conf. 13 ((1f ν7/2)
2; (1fπ5/2)
2; 4+)
com (-0.093) e (-0.122) em Q77 e Q82 respectivamente. Este resultado confirma a estrutura-
ph do estado fundamental de 4-quasepartıculas bem estabelecida na FQTDA, conservando as
configuracoes ((1f ν7/2)
2; (1fπ7/2)
2; J = 0+, 2+) e ((1f ν7/2)
2; (1fπ5/2)
2; 0+) como dominantes.
4.1.3 FQTDA no espaco reduzido
Efeito de probabilidade de ocupacao
Neste ponto, nos ganhamos a confianca nos calculos de estrutura nuclear de FQTDA
no limite-ph para 48Ca. O proximo passo foi seguir com a introducao da probabilidade de
ocupacao para as equacoes de BCS. O procedimento sera implementar a solucao da equacao
de BCS no espaco completo SET 1, e apos isso, restringimos o espaco SET 1 para o espaco-
ph. Nosso objetivo e quantificar varios efeitos quando as probabilidades vp → 0, vn → 1 e
up → 1, un → 0 sao movidas para vp = 0, vn = 1 e up = 1, un = 0, obtidas das equacoes de
BCS. Na Tabela (6.2) mostra o v’s e u’s para neutrons e protons em 48Ca.
Devido que 48Ca e um nucleo com dupla camada fechada, resolver as equacoes de
BCS e um procedimento fısico realmente difıcil, onde em algum momento somos forcados
ao esgotamento da superfıcie de Fermi. Esta particularidade de 48Ca tambem e de difıcil
62
-20 -10 0 10 20
et
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
νt2
V2 N
V2 P
-20 -16 -12 -8 -4 0
et
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
νt2
V2 N
V2 P
-20 -16 -12 -8 -4 0
et
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
νt2
V2 N
V2 P
Figura 4.4: Probabilidades de ocupacao v2j em funcao das energias de partıcula simples (s.p.e.),dadas por ej (em MeV) da Tabela (4.1) para os SETS usados no trabaho: (i) lado esquerdo SET1,(ii) centro SET2, (iii) lado direito SET3. Em preto para neutrons e em vermelho para protons.
SET 1 Neutrons ProtonsState Config. u v u v134 1f7/2 0.4159 −0.9094 0.9687 -0.2483133 1f5/2 0.9696 −0.2449 0.9935 -0.1141212 2p3/2 0.8697 −0.4935 0.9907 -0.1361211 2p1/2 0.9546 −0.2980 0.9940 -0.1095122 1d3/2 0.1262 0.9920 0.3329 0.9430201 2s1/2 0.1040 0.9946 0.1936 0.9811123 1d5/2 0.0843 0.9964 0.1593 0.9872
Tabela 4.3: Relacao de v’s e u’s para neutrons e protons em 48Ca para SET 1.
tratamento deste nucleo nos calculos de decaimento beta duplos com o QRPA. A Figura (4.4)
mostra o comportamento da superfıcie de Fermi para os tres conjuntos de s.p.e. usados para
descrever o 48Ca, notando que deflexao da mesma acontece de forma suave, justificando o
tratamento de BCS neste nucleo.
Amplitudes de decaimento-ββ no espaco reduzido
Na secao anterior, analisamos a inclusao da BCS no 48Ca para a FQTDA no espaco
reduzido-ph. Dentro do espaco “reduzido” FQTDA, as equacoes da BCS sao resolvidas no
SET 2 Neutrons ProtonsState Config. u v u v134 1f7/2 0.3165 −0.9486 0.9347 -0.3554133 1f5/2 0.9770 −0.2134 0.9829 -0.1843212 2p3/2 0.8819 −0.4714 0.9822 -0.1876211 2p1/2 0.9574 −0.2886 0.9907 -0.1361122 1d3/2 0.1705 0.9854 0.2170 0.9762201 2s1/2 0.2336 0.9723 0.4057 0.9140123 1d5/2 0.2241 0.9746 0.3819 0.9242
Tabela 4.4: Relacao de v’s e u’s para neutrons e protons em 48Ca para SET 2.
63
SET 3 Neutrons ProtonsState Config. u v u v134 1f7/2 0.5394 −0.8421 0.8581 -0.5134133 1f5/2 0.9776 −0.2107 0.9786 -0.2058212 2p3/2 0.5733 −0.8194 0.9715 -0.2372211 2p1/2 0.9589 −0.2839 0.9891 -0.1474122 1d3/2 0.1953 0.9808 0.2267 0.9740201 2s1/2 0.2860 0.9582 0.6851 0.7284123 1d5/2 0.2797 0.9601 0.4977 0.8673
Tabela 4.5: Relacao de v’s e u’s para neutrons e protons em 48Ca para SET 3.
-10 0 10 20 30 40E(MeV)
0
20
40
60
80
100
Sββ−
Q82 [PH] F
Q82 FQTDA [RED] F
-10 0 10 20 30 40E(MeV)
0
20
40
60
80
100
Sββ−
Q82 [PH] GT
Q82 FQTDA [RED] GT
Figura 4.5: Amplitudes de transicao duplo-β−, do tipo Sββ−F Fermi (lado esquerdo) e do tipo Sββ−GT
Gamow-Teller (lado direito) como funcao dos denominadores de Energia(emMeV), para os 20 estadosfinais 0+ pelo codigo Q82 para espaco-ph (linha preta) e espaco “reduzido”(RED) (linha vermelha).As s.p.e. utilizadas correspondem ao SET1. Os parametros vs=40 e vt=60 (em MeV/fm3) saousados ambos nos canais de interacao pp e ph na interacao-δ residual. Os valores usados constan naTabela (6.4) do Apendice.
espaco “completo” do SET 1, e depois uma reducao para o espaco-ph e empregado (sao
eliminados os estados adicionais na configuracao de 1n-4p usada para o espaco-ph).Em seguida
observamos o efeito dos numeros de probabilidade de ocupacao v2 tem sobre o Sββ−F,GT , a funcao
de onda e os NME do ββ−. Comparamos nesta secao o efeito do conjuntos diferente de
s.p.e.: SET 1, SET 2 e SET 3, no nıvel de aproximacao das FQTDA. Foram conservados os
parametros de ph e pp da interacao δ-residual para garantir a comparacao.
Na Figura (4.9) observa-se a quebra das amplitudes de Sββ− como funcao das energias
dos estados finais 0+, E, (em MeV), em razao da escolha do s.p.e. No lado esquerdo temos o
espaco “reduzido” para a Sββ−F do tipo Fermi, em relacao com o conjunto de s.p.e. utilizado: i)
SET1 (vermelho), ii) SET2 (azul), iii) SET3 (preto). As amplitudes Sββ−F estao concentradas
64
0 5 10 15 20
Config. State
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8Y
p1
p2
n1
n2
J17 (Q82) [PH]
18 (Q82) [PH]
0 5 10 15 20
Config. State
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Yp
1p
2n
1n
2J
12 (Q82) [FQTDA][RED]
11 (Q82) [FQTDA][RED]
Figura 4.6: As componentes da funcao de onda Yp1p2n1n2J como funcao da configuracao dos estadospara o estado final 0+ pelo SET1 segundo amplitudes de Fermi no decaimento-ββ. Pelo lado esquerdotemos para o espaco-ph, o estado 17 (vermelho) e estado 18 (azul) com maior influencia na funcaode onda. Ja no lado direito temos para o espaco “reduzido”, o estado 12 (vermelho) e o estado 11(azul) como sendo aqueles com maior contribuicao para a funcao de onda. Os valores usados constanna Tabela (6.5) do Apendice.
na regiao de 20-25 MeV. No lado direito, do mesmo modo para o espaco “reduzido”, temos
as Sββ−GT do tipo para Gamow Teller. Aqui as amplitudes Sββ−
GT apresentam os maximos nos
estados finais com energias de 28, 32 e 38 Mev aproximadamente para os SET 3, SET 2 e
SET 1, respectivamente. Assim as amplitudes Sββ−GT sao mais sensiveis a mudanca dos s.p.e.
Os valores usados constam nas Tabelas (6.8) e (6.9) do Apendice.
A Figura (4.10) mostra da comparacao para o espaco reduzido 1n4p de FQTDA para o
SET1, das amplitudes SGTββ como funcao das energias dos estados finais 0+,E , em MeV. Para
o caso nao-pertubado ph (linhas vermelhas) se mostram com maiores valores de amplitudes e
deslocada para esquerda, quando comparadado ao nao-pertubado FQTDA (linhas pretas). Da
mesma forma observa-se os valores das amplitudes para os casos pertubados FQTDA e redu-
zidos segundo os parametros-ph: i) (27,64) linha azul, ii) (35,65) linha verde, iii) (40,60) linha
laranja. Estes se mostram deslocados para a direita quando comparados ao nao-pertubado
FQTDA e com maiores valores paras as amplitudes, devido a que se rearranjam as aplitudes
com uma maior coletivida na regiao de energias superiores a 35 MeV.
Do mesmo modo ao estudo anterior feito para o SET1, a Figura (4.11) mostra uma
comparacao para o espaco reduzido 1n4p de FQTDA para o SET2, das amplitudes SGTββ
como funcao das energias dos estado finais 0+, E (em MeV). Para o caso nao-pertubado ph
(linhas vermelhas) se mostram com maiores valores de amplitudes e deslocadas para esquerda,
65
0 5 10 15 20
Config. State
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Yp
1p
2n
1n
2J
1 (Q82)[PH]
7 (Q82)[PH]
0 5 10 15 20
Config. State
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Yp
1p
2n
1n
2J
1 (Q82) [FQTDA][RED]
4 (Q82) [FQTDA][RED]
Figura 4.7: As componentes da funcao de onda Yp1p2n1n2J como funcao da configuracao dos estadospara o estado final 0+ pelo SET1 segundo amplitudes de GT no decaimento-ββ. Pelo lado esquerdotemos para o espaco-ph, o estado 1 (vermelho) e estado 7 (azul) com maior influencia na funcao deonda. Ja no lado direito temos para o espaco “reduzido”, o estado 1 (vermelho) e o estado 4 (azul)como sendo aqueles com maior contribuicao para a funcao de onda. Os valores usados constan naTabela (6.6) do Apendice.
quando comparado ao nao-pertubado FQTDA (linhas pretas). Da mesma forma observa-se os
valores de amplitudes para os casos pertubados FQTDA e reduzidos segundo os parametros-
ph: i) (27,64) linha azul, ii) (35,65) linha verde, iii) (40,60) linha laranja, estes se mostram
deslocados para a direita quando comparados ao nao-pertubado FQTDA e commaiores valores
das amplitudes. Esse resultado coincide para as amplitudes analisadas com o SET1.
Novamente do mesmo modo que tratado anteriormente, temos que a Figura (4.12)
mostra uma comparacao para o espaco reduzido 1n4p de FQTDA para o SET3, das amplitudes
SGTββ . Para o caso nao-pertubado ph (linhas vermelhas) se mostram com maiores valores de
strenght e deslocada para esquerda, quando comparadado ao nao-pertubado FQTDA (linhas
pretas). Os resultados obtidos para este SET3 coincide com aqueles obtidos para SET1 e
SET2.
NME-ββ no espaco reduzido
Um dos aprimoramentos feitos a FQTDA neste trabalho, foi a separacao dos canais-pp
e -ph na interacao residual. Anteriormente na versao da FQTDA apresentada na Ref. [32]
trabalhou-se com um mesmo par de parametros (vs, vt) nos canais-pp e -ph na interacao
residual. A separacao foi implementada para introduzir a comparacao segundo a variacao do
NME obtidos na FQTDA, com o parametro t do canal-pp e analisar o colapso presente nos
calculos de QRPA.
66
0 5 10 15 20
Config. States
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Yp1
p2n
1n2
J
20 (Q82) [PH]
20 (Q82) FQTDA [RED]
Figura 4.8: As componentes da funcao de onda Yp1p2n1n2J para o estado fundamental 20+ no espaco-ph (linha vermelha) e para espaco “reduzido” (linha azul), com as maiores contribuicoes da amplitudede ββ como funcao das configuracoes dos estados da funcao de onda. Os valores usados constan naTabela (6.7) do Apendice.
Assim, mostramos na Figura (4.13), a amplitude MGT2ν em funcao de t, parametro
canal-pp, com tres valores diferentes do parametro-ph (vs, vt). Para o SET 1, os resultados
do limite-ph de FQTDA (linhas tracejadas), sao comparadas com os obtidos no “reduzido”
FQTDA (linhas solidas). O “reduzido” FQTDA significa que as equacoes de BCS sao resol-
vidas no espaco completo do SET 1 e depois sofrem uma reducao para o espaco-ph de 1n-4p.
Aqui observamos o efeito dos numeros de probabilidade de ocupacao v2 tem sobre o NME.
Notamos em ambos os casos que o comportamento do MGT2ν como funcao de t e contınua
ate valores muito elevados do parametro t (valores que nao possuem significado fısico) e nao
ha um colapso da FQTDA. Uma breve discussao sobre esta questao e dada abaixo, quando
analisamos o comportamento do NME. O efeito da inclusao de emparelhamento e notavel
quando se move para valores constantes de MGT2ν em cada parametrizacao ph para suavizar
a curva decrescente em funcao de t. Este efeito aparece no espaco “reduzido” e no -ph e
tambem pode aparecer quando o espaco completo e usado.
Na Figura (4.14) mostra-se uma comparacao entre os elementos de matriz nuclearMGT2ν
como funcao do parametro t do canal-pp, utilizando o conjunto de s.p.e dado pelo SET1. No
painel esquerdo temos o espaco reduzido 1n4p, onde as linhas tracejadas representam os
calculos no limite-ph segundo os parametros no canal-ph (vs, vt) dados por: i) (27,64) em
preto, ii) (35,65) em azul, iii) (40,60) em vermelho, iv) linha continua em cinza representa os
67
0 10 20 30 40
E(MeV)
0
10
20
30
40
Sββ−
[F] [BCS][RED] SET 1
[F] [BCS][RED] SET 2
[F] [BCS] [RED] SET 3
0 10 20 30 40
E(MeV)
0
20
40
60
80
Sββ−
[GT] [BCS][RED] SET 1
[GT] [BCS][RED] SET 2
[GT] [BCS][RED] SET 3
Figura 4.9: Sββ− como funcao das energias dos estados finais 0+, E (MeV), segundo os varios s.p.e.:i)
SET1 (vermelho), ii) SET2 (azul), iii) SET3 (preto). No painel esquerdo temos Sββ−F , enquanto que
no painel direito temos Sββ−GT . Os valores usados constam nas Tabelas (6.8) e (6.9) do Apendice.
valores experimentais. Pode-se ver que nao ha modificacao quanto aos MGT2ν como funcao de t
no limite-ph. No painel direito, temos o comportamento dos MGT2ν com respeito ao parametro
do canal-pp t no espaco reduzido para BCS, com configuracoes dos parametros do canal-ph
(vs, vt) dados segundo: i) (27,64) linha tracejada preta, ii) (35,65) linha tracejada azul, iii)
(40,60) linha tracejada vermelha, iv) valores experimentais (linha continua cinza) como funcao
de t. Nota-se aqui um crescimento suave dos MGT2ν como funcao do parametro t do canal-pp.
Na Figura (4.15), mostra-se uma comparacao dos elementos de matriz nuclear MGT2ν
para o decaimento-ββ como funcao do parametro t do canal-pp utilizando os conjuntos de
s.p.e. para espaco reduzido no limite-ph, fixando diferentes valores para os parametros vs
do canal-ph: i) vs=27 (linha tracejada preta), ii) vs=35 (linha tracejada azul), iii) vs=40
(linha tracejada vermelha). Observa-se ate entao uma certa semelhanca no comportamento
dos MGT2ν como funcao de t, devido a nao alteracao dos valores do s.p.e. utilizados. No
painel esquerdo superior para o SET1, percebe-se os valores teoricos acima das regioes dos
dados experimentais. Ja para o painel superior direito dado para o SET2, observa-se que os
valores teoricos dos MGT2ν ja estao proximos da regiao experimental. Na parte inferior, temos
os resultados para o SET3. Tambem e possıvel ver que os dados do MGT2ν se fazem proximos
da regiao dos dados experimentais [32].
Na Figura (4.16), temos uma comparacao dos elementos de matriz nuclear MGT2ν para
o decaimento-ββ como funcao do parametro t do canal-pp, utilizando os conjuntos de s.p.e.
para a FQTDA no espaco reduzido. Assim a diferenca principal entre esta Fig.(4.16) e a
68
10 20 30 40
E(MeV)
0
20
40
60
Sββ-G
T
unpertubed FQTDA
unpertubed PH
pertubed FQTDA vs=27, vt=64
pertubed FQTDA vs=35, vt=65
pertubed FQTDA vs=40, vt=60
Figura 4.10: Amplitudes de SGTββ como funcao de E(MeV) para o SET 1 de FQTDA reduzido para
espaco de 1n4p.
0 10 20 30 40
0
20
40
60
80
Sββ-G
T
unpertubed FQTDA
unpertubed PH
pertubed FQTDA vs=27, vt=64
pertubed FQTDA vs=35, vt=65
pertubed FQTDA vs=40, vt=60
Figura 4.11: Amplitudes de SGTββ como funcao de E(MeV) para o SET 2 de FQTDA reduzido para
espaco de 1n4p.
69
-10 0 10 20 30
E(MeV)
0
10
20
30
40
Sββ-G
T
unpertubed FQTDA
unpertubed PH
pertubed FQTDA vs=27, vt=64
pertubed FQTDA vs=35, vt=65
pertubed FQTDA vs=40, vt=60
Figura 4.12: Amplitudes de SGTββ como funcao de E(MeV) para o SET 3 de FQTDA reduzido para
espaco de 1n4p.
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2
t
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
M2νG
T
vs=27, vt=64
vs=35, vt=65
vs=40, vt=60
Experimental
Figura 4.13: MGT2ν como funcao de t para os tres parametros-ph (vs, vt) diferentes com SET1. O
FQTDA no espaco “reduzido” e mostrado com linhas tracejadas, enquanto que os valores experi-mentais sao mostradas por linhas cheias.
70
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2
t
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1M
2νG
T
vs=27, vt=64
vs=35, vt=64
vs=40, vt=60
Experimental
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2
t
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
M2νG
T
vs=27, vt=64
vs=35, vt=65
vs=40, vt=60
Experimental
Figura 4.14: MGT2ν como funcao do parametro t do canal-pp utilizando o s.p.e. do SET1. No
painel esquerdo, temos o grafico para o espaco “reduzido” (1n4p) no limite-ph. No painel direito,mostramos no espaco “reduzido” para FQTDA. Sendo os parametros-ph (vs, vt): i) (27,64) linhapreta, ii) (35,65) linha azul, iii) (40,60) linha vermelha, iv) linha continua experimental.
anterior Fig. (4.15) e que as equacoes de BCS foram resolvidas no espaco completo e logo se
faz o corte para o espaco reduzido, enquanto que na anterior Fig. (4.15) usa-se o esquema
de ph no mesmo espaco. Novamente se foram fixando diferentes valores para os parametros
(vs, vt) do canal-ph: i) (27,64) linha tracejada preta, ii) (35,65) linha tracejada azul, iii) (40,60)
linha tracejada vermelha. Observa-se ate entao uma certa semelhanca no comportamento dos
MGT2ν como funcao de t. No painel superior esquerdo para o SET1, percebe-se os valores
acima das regioes de dados experimentais. Ja para o lado direito superior dado para o SET2,
observa-se que os valores dos MGT2ν estao abaixo da regiao experimental. Na parte inferior
para SET3, tambem e possıvel ver que os dados do MGT2ν se fazem proximos da regiao do
zero, compreendida entre as duas regioes com valores experimentais. Essencialmente para o
caso do SET1, a introducao da BCS aproxima os valores teoricos dos valores experimentais.
Tambem para todos os conjuntos nota-se uma diminuicao dos MGT2ν quando as proba-
bilidades de ocupacao surgidas das equacoes de BCS sao usadas. Essa comparacao explıcita e
mostrada na Figura (4.17), onde mostra-se uma comparacao dos elementos de matriz nuclear
MGT2ν o decaimento-ββ como funcao do parametro t do canal-pp, utilizando os conjuntos de
s.p.e. Por uma analise preliminar, nota-se a existencia de uma regiao pertubada entre t=1,4
ate t=2,0 onde percebe-se um pico para o MGT2ν .
71
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2
t
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
M2νG
T
vs=27, vt=64
vs=35, vt=64
vs=40, vt=60
Experimental
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2
t
-0.08
-0.04
0
0.04
0.08
M2νG
T
PH vs=27, vt=64
PH vs=35, vt=65
PH vs=40, vt=60
Experimental
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2
t
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
M2νG
T
PH vs=27, vt=64
PH vs=35, vt=65
PH vs=40, vt=60
Experimental
Figura 4.15: MGT2ν como funcao do parametro-pp t para espaco “reduzido” no limite-PH. No
painel superior esquerdo, temos o grafico para o o SET1. No painel superior direito, mostramos osresultados com os s.p.e. do SET2. No painel temos MGT
2ν para o s.p.e. SET3. Os parametros-ph(vs, vt) usados sao: i) (27,64) linha tracejada preta, ii) (35,65) linha tracejada azul, iii) (40,60) linhatracejada vermelha, iv) com a linha continua representamos o valor experimental.
72
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2
t
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
M2νG
T
vs=27, vt=64
vs=35, vt=65
vs=40, vt=60
Experimental
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2
t
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
M2νG
T
vs=27, vt=64
vs=35, vt=65
vs=40, vt=60
Experimental
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2
t
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
M2νG
T
vs=27, vt=64
vs=35, vt=65
vs=40, vt=60
Experimental
Figura 4.16: MGT2ν como funcao do parametro-pp de t para espaco “reduzido” para BCS (FQTDA).
No lado esquerdo superior, temos o grafico para o o SET1. No lado direito superior, mostramosutilizando o s.p.e. do SET2. Na parte inferior temos para o s.p.e. SET3. Onde os parametros-ph(vs, vt): i) (27,64) linha tracejada preta, ii) (35,65) linha tracejada azul, iii) (40,60) linha tracejadavermelha, iv) com a linha continua representamos o valor experimental [32].
73
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2
t
0
0.04
0.08
0.12
0.16
M2νG
T
PH vs=27, vt=64
PH vs=35, vt=65
PH vs=40, vt=60
BCS vs=27, vt=64
BCS vs=35, vt=65
BCS vs=40, vt=60
Experimental
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2
t
0
0.04
0.08
0.12
0.16
M2νG
T
PH vs=27, vt=64
PH vs=35, vt=65
PH vs=40, vt=60
BCS vs=27, vt=64
BCS vs=35, vt=64
BCS vs=40, vt=60
Experimental
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2
t
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
M2νG
T
PH vs=27, vt=64
PH vs=35, vt=65
PH vs=40, vt=60
BCS vs=27, vt=64
BCS vs=35, vt=65
BCS vs=40, vt=60
Experimental
Figura 4.17: MGT2ν como funcao do parametro-pp de t para espaco “reduzido” para FQTDA (linhas
continuas) comparado com o limite-ph (linhas tracejadas). No lado esquerdo superior, temos ografico para o o SET1. No lado direito superior, mostramos utilizando o s.p.e. do SET2. Na parteinferior temos para o s.p.e. SET3. Onde os parametros-ph (vs, vt): i) (27,64) em preta, ii) (35,65)em azul, iii) (40,60) em vermelha, iv) com a linha continua representamos o valor experimental [32].
74
4.1.4 FQTDA no espaco completo
Nessa secao vamos analizar o FQTDA no espaco completo. Na continuacao, des-
creveremos o comportamento das amplitudes de decaimento-β simples, SGTβ∓ , comparando
com resultados experimentais disponıveis. Posteriormente, descreveremos as amplitudes de
decaimento-β duplo e o comportamento dos NME variando os parametros da interacao resi-
dual.
Amplitudes de decaimento-β simples
Na Figura (4.18) temos uma comparacao das amplitudes de decaimento SGTβ− e SGT
β+
(ambas em MeV−1) com sobreposicao aos seus respectivos valores experimentais β−(β+).
Na parte superior encontram-se as SGTβ∓ como funcao da energia do estados intermediarios
1+ com parametrizacao vs = vt=0, onde somente temos ligado o canal de emparelhamento,
ou seja a BCS esta sendo resolvida. Na parte inferior temos a comparacao alterando a
parametrizacao para vphs =27 e vpht =64. Os parametros do canal pp sao s = 1 e t = 0.
A escolha destes parametros da interacao residual sera descrita na proxima secao quando
analisarmos as amplitudes para o duplo beta.
Na Figura (4.19) temos a comparacao das amplitudes de decaimento SGTβ− e SGT
β+ com
os valores experimentais β−(β+) para outro conjunto de parametros no canal-ph. Na parte
superior desta figura, a parametrizacao adotada foi vphs = 35 e vpht = 65, com os parametros
do canal pp sao s = 1 e t == 0. Na parte inferior, os parametros do canal-ph adotados foram
vphs = 40 e vpht = 60, com os parametros do canal pp sao s = 1 e t == 0.
Na Figura (4.20) temos a comparacao das amplitudes de decaimento SGTβ− e SGT
β+ (ambas
em MeV−1) como funcao das E(MeV), com sobreposicao aos seus respectivos valores experi-
mentais β− (β+), utilizando os tres tipos de parametrizacao no canal-ph (vs, vt): (27, 64),
(35, 65) e (40, 60). Como resultado desta comparacao notamos que as SGTβ− e SGT
β+ teoricas
estao deslocadas para a direita para energias mais altas relativas aos valores experimentais.
Ambas tres parametrizacoes teoricas esta muito proximas entre elas. Esse resultado e razoavel
pois elas foram adotadas da Ref. [71], onde onde o espectro de baixas energias para 48Sc era
reproduzido razoavelmente para estas parametrizacoes com o SET1.
Amplitudes de decaimento-ββ no espaco completo
Aqui analisamos as amplitudes Sββ− obtidas dentro da FQTDA no espaco completo
2p1f .
Na Figura (4.21) se apresentam as amplitudes Sββ− como funcao da energia (MeV)
dos estados finais 0+ medido a partir do estado fundamental de 48Ca. Foi utilizado o SET 1,
75
0 10 20 30
E(MeV)
0
1
2
3
4
Sβ−G
T(M
eV
-1)
Experimental
FQTDA BCS (vs=vt=0)
FQTDA Modified BCS
0 10 20 30
E(MeV)
0
0.1
0.2
0.3
Sβ+G
T(M
eV
-1)
Experimental
FQTDA BCS (vs=vt=0)
FQTDA Modified BCS
0 10 20 30
E(MeV)
0
1
2
3
4
5
Sβ−G
T(M
eV
-1)
Experimental
FQTDA
FQTDA Modified
0 10 20 30
E(MeV)
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Sβ+G
T(M
eV
-1)
Experimental
FQTDA
FQTDA Modified
Figura 4.18: Comparacao das amplitude de decaimento SGTβ− e SGT
β+ (ambas em MeV−1) como funcao
da energia, E, do estados intermediarios 1+ (em MeV). Os respectivos valores experimentais β−e β+ sao apresentados. Na parte superior temos os valores com parametrizacao vs = vt = 0 noscanais-pp e ph, enquanto que a BCS esta ligada. Na parte inferior, a comparacao e feita para osvalores teoricos no canal-ph (vphs =27,vpht =64) e, (s = 1, t = 0) no canal-pp.
76
0 10 20 30
E(MeV)
0
1
2
3
4
5
Sβ−G
T(M
eV
-1)
Experimental
FQTDA
FQTDA Modified
0 10 20 30
E(MeV)
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Sβ+G
T(M
eV
-1)
Experimental
FQTDA
FQTDA Modified
0 10 20 30
E(MeV)
0
1
2
3
4
5
Sβ−G
T(M
eV
-1)
Experimental
FQTDA
FQTDA Modified
0 10 20 30
E(Mev)
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Sβ+G
T(M
eV
-1)
Experimental
FQTDA
FQTDA Modified
Figura 4.19: Comparacao das amplitudes de decaimento SGTβ− e SGT
β+ (ambas em MeV−1) como
funcao da energia, E, dos estados 1+ intermediarios, com sobreposicao aos seus respectivos valoresexperimentais β−(β+). No painel superior, a parametrizacao adotada e vs=35 e vt=65, enquantoque no panel inferior a parametrizacao resulta vs=40 e vt=60.
77
0 10 20 30
E(MeV)
0
1
2
3
4
5
Sβ−G
T(M
eV
-1)
Experimental
FQTDA vs=27, vt=64
FQTDA vs=35, vt=65
FQTDA vs=40, vt=60
0 10 20 30
E(MeV)
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Sβ+G
T(M
eV
-1)
Experimental
FQTDA vs=27, vt=64
FQTDA vs=35, vt=65
FATQD vs=40, vt=60
Figura 4.20: Amplitudes de decaimento SGTβ− e SGT
β+ (ambas em MeV−1) como funcao da energia, E,
dos estados 1+ intermediarios (em MeV). Os valores experimentais β− (β+) sao apresentados, e ostres tipos de parametrizacao no canal-ph (vs, vt): (27, 64), (35, 65) e (40, 60) sao apresentadas.
com os seguintes parametros para o canal-ph: (i) vs=27, vt=64; (ii) vs=35, vt=65; (iii) vs=40;
vt=60. Os parametros do canal pp sao s = vppsvpairs
= 1 e t =vpptvpairs
= 0, onde vpairs = (vpairs (p) +
vpairs (n))/2 [73]. A parametrizacao (ii) ja foi utilizada em anteriores calculos de duplo beta com
e sem neutrinos dentro da QRPA. Foi obtida a partir de um estudo sistematico da ressonancias
de GT [72]. As outras duas parametrizacoes foram adotadas da Ref.[71] onde o espectro de
baixas energias para 48Sc era reproduzido razoavelmente para estas parametrizacoes com
o SET1. A Figura (4.22) mostra a dependencia energetica das amplitudes de duplo beta
GT SββGT , quando sao implementados com uma funcao lorentziana com largura de 0,5 MeV
obtendo assim uma distribucao contınua em funcao da energia. A amplitude nao-pertubada
(a interacao residual e completamente apagada) e comparada com os proximos resultados
pertubados (com a interacao residual ligada). Os resultados pertubados sao obtidos com os
parametros-ph vs = 35, vt = 65 e parametros-pp s = 1 e t = 0. De acordo com a escolha
do conjunto de s.p.e. Tabela (4.1), estes resultado sao separados em: (a) ajustado SET 2,
(b) SET 3 e, (c) SET 1. Em (a), (b) e (c) as equacoes de BCS foram resolvidas de forma
consistente em um espaco completo com o vpairs conforme mostrado na Tabela (4.1). Podemos
observar que o calculo nao pertubado para as amplitudes, SββGT , tem-se centrado em tres
regioes de energia. Por outro lado, os casos pertubados (a) SET2 e (b) ajustado SET 3,
levam a uma mudanca das amplitudes para a esquerda, em vez disso o caso (c) SET 1 mostra
a transferencia para o outro lado. Este e um efeito da escolha eficaz das energias de partıculas
adequadas. Nos vemos abaixo como a escolha adequada do s.p.e. eficaz afeta do mesmo modo
78
0 20 40 60 80
E(MeV)
0
1
2
3
4
Sββ−
vs=27, vt=64
0 20 40 60 80
E(MeV)
0
1
2
3
4
Sββ−
vs=35, vt=65
0 20 40 60 80
E(MeV)
0
1
2
3
4
Sββ−
vs=40, vt=60
Figura 4.21: Amplitudes Sββ− como funcao da energia (MeV) dos estados finais 0+. Foi utilizadoo SET 1, com parametros: (i) vs=27, vt=64; (ii) vs=35, vt=65; (iii) vs=40; vt=60 para o canal-ph.Os parametros do canal pp sao s = 1 e t = 0 (FQTDA completo).
79
0 10 20 30 40 50
E(MeV)
0
10
20
30
40
50
Sβ
β−
GT
(E)(
Me
V-1)
unpertubed
(a) pertubed
(b) pertubed
(c) pertubed
Figura 4.22: Amplitudes do duplo GT, SββGT para 48Ca como funcao da energia do nucleo final. Ocaso nao-perturbado (linha vermelha) e comparado com o caso pertubado com parametros-ph vs=35,vt=65: (a) SET 2 em azul linha traco-ponto, (b) SET 3 em linha solida verde, e (c) SET 1 em linhasolida preta.
o comportamento do NME, pois o SββGT sao numerados na equacao (3.44).
Os resultados mostrados nas Figuras (4.22) e anterior Fig. (4.13) foram obtidos com
diferentes parametros para canais de -pp e -ph da interacao residual a diferenca dos resultados
da Refs. [32, 71], onde apenas um par de parametros foi adotada na interacao residual: vphs =
vpps = vs e vpht = vppt = vt. Nessa ocasiao, esse requerimento foi adotado por simplicidade, e
implementado por duas razoes principais: (i) para evitar um ajuste fino da interacao residual
e, (ii) para mostrar como o mecanismo de extincao ou apagado (“quenching”) na QTDA
funciona. Entao podemos aprender, usando esta receita, que o efeito de quenching resulta
similar quando o BCS e implementado, sem se preocupar com a parametrizacao na interacao
residual.
Na Figura (4.23) mostra-se uma comparacao das amplitudes SGTββ como funcao da ener-
gias dos estados finais 0+, E, (em MeV) utilizando nosso conjunto de s.p.e. SET1. No painel
esquerdo, mostramos uma comparacao entre as amplitudes do caso nao-pertubado no limite-
ph (linha vermelha) com o caso nao-pertubado de FQTDA (linha preta). Podemos observar
que as amplitudes do nao-pertubado ph estao deslocadas a esquerda e possuem maiores valo-
res das amplitudes SGTββ quando comparadas com o nao-pertubado FQTDA e tambem com os
outros casos de pertubados com variacoes no canais-ph, onde a acao dos fatores de reducao
80
-20 0 20 40 60 80
E(MeV)
0
40
80
120
Sββ−G
T
unpertubed FQTDA
unpertubed PH
pertubed FQTDA vs=27, vt=64
pertubed FQTDA vs=35, vt=65
pertubed FQTDA vs=40, vt=60
0 20 40 60 80
E(MeV)
0
5
10
15
20
25
Sββ−G
T
unpertubed FQTDA
pertubed FQTDA vs=27, vt=64
pertubed FQTDA vs=35, vt=65
pertubed FQTDA vs=40, vt=60
Figura 4.23: Amplitudes SGTββ (em MeV−1) em funcao da energia os estados finais 0+, E, em MeV,
para o SET 1. Painel esquerdo - Resultados para o caso nao-pertubado no limite-ph (linha vermelha)com o FQTDA (linha preta), ainda comparado com o caso pertubado FQTDA para os seguintesparametros-ph (vs, vt): (i) (27,64) linha azul, (ii) (35,65) linha verde, (iii) (40,60) linha laranja.Painel direito - Idem ao anterior no qual a o limite-ph nao pertubado foi eliminado.
vindas da BCS (u′s e v′s) ou da interacao residual reduzem as amplitudes nao-perturbadas.
No painel direito, a comparacao e levantada para FQTDA no caso nao-pertubado (linha
preta) com os casos pertubados segundo os parametros-ph (vs, vt): i) (27,64) linha azul, ii)
(35,65) linha verde, iii) (40,60) linha laranja. Aqui tambem nota-se o deslocamento do caso
nao-pertubado para esquerda (menores energia) com maiores valores de amplitudes.
Na Figura- (4.24) temos uma comparacao das amplitudes de SGTββ como no caso an-
terior, mas utilizando agora o conjunto de s.p.e. do SET2. Pelo lado esquerdo, realizamos
uma comparacao entre as amplitudes do caso nao-pertubado no limite-ph (linha vermelha)
com o caso nao-pertubado de FQTDA (linha preta). Podemos observar que as amplitudes do
nao-pertubado-ph estao deslocadas a esquerda em energia e possuem maiores valores na ampli-
tude SGTββ quando comparadas com o nao-pertubado FQTDA. Da mesma forma comparamos
os outros casos pertubados com variacoes no canais-ph. No lado direito, um comparativo das
strenght FQTDA para caso nao-pertubado (linha preta) com os casos pertubados segundo
os parametros-ph (vs, vt): i) (27,64) linha azul, ii) (35,65) linha verde, iii) (40,60) linha la-
ranja. Tambem nota-se o deslocamento do caso nao-pertubado para esquerda em energia com
maiores valores de amplitudes.
Da mesma forma que abordada anteriormente, temos agora na Figura (4.25) uma
comparacao das amplitudes SGTββ como funcao de E(MeV) utilizando o conjunto de s.p.e.
do SET3. Pelo lado esquerdo, realizamos uma comparacao entre as amplitudes do caso
81
-40 -20 0 20 40 60
E(MeV)
0
40
80
120
Sββ−G
T
unpertubed FQTDA
unpertubed PH
pertubed FQTDA vs=27, vt=64
pertubed FQTDA vs=35, vt=65
pertubed FQDTA vs=40, vt=60
0 20 40 60
E(MeV)
0
5
10
15
20
25
Sββ−
GT
unpertubed FQTDA
pertubed FQTDA vs=27, vt=64
pertubed FQTDA vs=35, vt=65
pertubed FQDTA vs=40, vt=60
Figura 4.24: Amplitudes SGTββ (em MeV−1) em funcao da energia os estados finais 0+, E, em MeV,
para o SET 1. No lado esquerdo, temos o caso nao-pertubado no limite-ph (linha vermelha) como FQTDA (linha preta), ainda comparados com os casos pertubado da FQTDA para os seguintesparametros-ph (vs, vt): (i) (27,64) linha azul, (ii) (35,65) linha verde, (iii) (40,60) linha laranja. Pelolado direito - Idem ao anterior no qual a o limite-ph nao pertubado foi eliminado.
-40 -20 0 20 40 60
E(MeV)
0
40
80
120
Sββ-G
T
unpertubed FQTDA
unpertubed PH
pertubed FQTDA vs=27, vt=64
pertubed FQTDA vs=35 vt=65
pertubed FQTDA vs=40, vt=60
-10 0 10 20 30 40 50
E(MeV)
0
4
8
12
16
Sββ-G
T
unpertubed FQTDA
pertubed FQTDA vs=27, vt=64
pertubed FQTDA vs=35 vt=65
pertubed FQTDA vs=40, vt=60
Figura 4.25: Amplitudes SGTββ (em MeV−1) em funcao da energia os estados finais 0+, E, em MeV,
para o SET 3. No lado esquerdo, temos o caso nao-pertubado no limite-ph (linha vermelha) como FQTDA (linha preta), ainda comparados com os casos pertubado da FQTDA para os seguintesparametros-ph (vs, vt): (i) (27,64) linha azul, (ii) (35,65) linha verde, (iii) (40,60) linha laranja.Painel direito - Idem ao anterior no qual a o limite-ph nao pertubado foi eliminado.
82
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2
t
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
M2νG
Tvs=27, vt=64
vs=35, vt=65
vs=40, vt=60
Experimental
0 20 40 60 80 100
Vt
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
M2νG
T
BCS vs=27
BCS vs=35
FQTDA vs=40
PH vs=27
PH vs=35
PH vs=40
Experimental
Figura 4.26: Painel esquerdo - Amplitudes MGT2ν para varios parametros-ph (vs = 27, vt = 64),
(vs = 35, vt = 65), e (vs = 40, vt = 6), em funcao do parametro variavel t do canal pp e, coms = 1 fixo, para para SET1 no espaco completo. - Painel direito- Comparacao das MGT
2ν entre olimite-ph (linhas tracejadas) com calculos de BCS onde incluimos - FQTDA - (linhas solidas) noespaco completo para SET1.
nao-pertubado no limite-ph (linha vermelha) com o caso nao-pertubado de FQTDA (linha
preta). Podemos observar que as amplitudes do nao-pertubado-ph estao deslocadas a esquerda
em energia e possuem maiores valores das amplitudes SGTββ , quando comparadas com o nao-
pertubado FQTDA e da mesma forma quando comparada com os outros casos de pertubados.
No lado direito, um comparativo das amplitudes FQTDA para caso nao-pertubado (linha
preta) com os casos pertubados segundo os parametros-ph (vs, vt): i) (27,64) linha azul, ii)
(35,65) linha verde, iii) (40,60) linha laranja. Tambem nota-se, ao igual que nos casos dos
SET1 e SET2, o deslocamento do caso nao-pertubado para esquerda em energia e com maiores
valores de amplitudes.
NME-ββ no espaco completo
Nesta secao apresentaremos os resultados dos NME-ββ no espaco completo 2p1f
(7n7p). Os resultados para os NME sao apresentados com as parametrizacoes anteriormente
usadas na interacao residual. Podera ser assim: (i) com os canais -ph e -pp por separado
(vphs , vpht ) = (27, 64), (35, 65) ou (40, 60), e s = 1 com t variavel; ou (ii) com os canais juntos,
ou seja os mesmos (vs, vt) em ambos dois canais como na Ref. [32]. Tambem sao realizadas
comparacoes dos efeitos dos diferentes conjuntos de s.p.e, e o comportamento do NME com
os anteriores resultados nao-pertubado e reduzido.
No painel esquerdo da Figura (4.31), apresenta-se uma comparacao de MGT2ν como
funcao de t, para diversos parametros de ph (vs, vt) em calculos FQTDA. Em ambas figuras
83
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2
t
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
M2νG
T
vs=27, vt=64
vs=35, vt=65
vs=40, vt=60
Experimental
Figura 4.27: MGT2ν para FQTDA no espaco completo para SET 3. Pode-se observar que o compor-
tamento e similar ao SET 1 da Fig. (4.31) (painel esquerdo).
estao representados os resultados para o SET 1 no espaco completo. Nos obtemos anterior-
mente que o comportamento do MGT2ν como funcao de t em um espaco “reduzido” rendeu
altos valores de t, e esse efeito poderia ser levado quando um espaco completo e implemen-
tado. No entanto, quando o conjunto completo SET 1 e usado, as MGT2ν ainda sao fracamente
dependente de t. No lado direito, se mostra o MGT2ν por completo no SET 2. Eles sao mais
sensıveis para parametros-ph (vs = 27, vt = 64) fazendo que o FQTDA resulte em t ≈ 0.4
assumindo uma descontinuidade e, bem como com os outros parametros (vs = 35, vt = 65) e
(vs = 40, vt = 60) onde o FQTDA colapsa em t ≈ 0.54 e t ≈ 0.6 respectivamente. A principal
diferenca entre os MGT2ν esta na escolha dos s.p.e.
A Figura (4.27), mostra uma comparacao dos MGT2ν no espaco completo pelo SET3,
similar aquele do lado esquerdo da Figura (4.31) dada para SET1.
A Figura (4.28) mostra uma comparacao da MGT2ν em funcao de vt para diferentes
valores de vs com o SET 1. Neste caso trabalhamos com um so conjunto de parametros
na interacao residual, similar ao procedimento usado na Ref. [32]. Tambem foi observado
o limite-ph no espaco completo do SET 1 com linhas tracejadas. Quando os calculos de
BCS sao incluıdos em um completo FQTDA (linhas solidas) o MGT2ν aumenta seus valores,
como um efeito de extincao no NME. E necessario observar que o limite-ph e obtido quando
vp → 0, vn → 1, enquanto que com BCS-on significa que o v2p(n), composto a partir das
84
0 20 40 60 80 100
Vt
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
M2νG
T
BCS vs=27
BCS vs=35
FQTDA vs=40
PH vs=27
PH vs=35
PH vs=40
Experimental
Figura 4.28: MGT2ν como funcao de vt para espaco completo SET1, para limite-PH (linhas tracejadas)
comparadas ao BCS (FQTDA) (linhas contınuas).
equacoes de BCS, fornecem as probabilidadse de ocupacao para os nıveis de quasepartıculas
p(n).
Pela simplicidade introduzida quando se escolhe os mesmos parametros nos canais -pp
e -ph da interacaor residual, isso poderia levar a valores nao-fısicos quando ambos os canais
trabalham separadamente. Ja mencionamos que uma melhoria haveria separando esses canais
e em seguida, os parametros de interacao-δ devem ser selecionados. Adotamos tres conjunto
diferentes de parametros (vPHs , vPH
s ) = {(27, 64), (35, 65), (40, 60)} (em unidades de MeV.fm3)
que reproduziam razoavelmente bem os dados experimentais de nıveis de energia do 48Sc (da
Figura 5, [75]). Os parametros do canal-pp sao fixados na base de SU(4) e simetria iso-spin,
como vpps = vpairs , e vppt>∼ vpps [74]. Em seguida, fixamos s = 1 mantendo o t variavel. Este
ultimo parametro e considerado em muitas referencias como sendo responsavel pelo colapso
da QRPA.
Na (4.30), estao as MGT2ν como funcao do paramentro t no canal-pp, para o SET1. A
comparacao e feita para FQTDA “reduzida” (painel esquerdo) e FQTDA completo (painel
direito). Notamos uma maior sensibilidade com valor de t para t > 1, 6 e o aparecimento de
pontos singulares em todas as parametrizacoes ph associados ao efeito de colapso de QRPA.
Nos comparamos MGT2ν obtido com outro conjunto de s.p.e. Na Figura (4.30) e mos-
trada essa comparacao. Podemos observar que o comportamento do MGT2ν no SET 3 e similar
85
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2
t
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
M2νG
T
vs=27, vt=64
vs=35, vt=65
vs=40, vt=60
Experimental
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2
t
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
M2νG
T
vs=27, vt=64
vs=35, vt=65
vs=40, vt=60
Experimental
Figura 4.29: MGT2ν como funcao do paramentro t no canal-pp, para o SET1. Lado esquerdo: FQTDA
“reduzida” e lado direito: FQTDA completo.
ao SET 1, os valores estao diminuindo quando t aumenta, de forma suave. A propagacao em
relacao aos diferentes valores de forca-ph e observado em t=0. Uma propagacao semelhante
apareceu com outro conjunto, SET 2, mas no SET 1 este fenomeno nao aparece. Pelo SET
3, os valores do MGT2ν estao de acordo com o paramentro-ph (vs = 27, vt = 64) e sao mais
sensıveis no parametro t ate para valores t ≈ 1 , onde aparece uma descontinuidade. Com
os valores (vs = 35, vt = 65) e (vs = 40, vt = 60) os valores de t sao estendidos para ate
t ≈ 2. As irregularides apresentadas nos NME para SET 2 e SET 3 sao similares a um tipo de
colapso como em calculos QRPA. Elas tem valores nao complexos nas equacoes QTDA e as
descontinuidades no NME, de acordo para os diferentes conjunto de s.p.e., obedecem a relacao
entre o numerador (produto de simples decaimento-beta NME) e as energias do denominador.
Nestas descontinuidades, a energias do denominadores sao proximas de zero podendo afirmar
que sao polos de MGT2ν .
No Figura (4.31) mostra uma comparacao entre os elementos de matriz nuclear MGT2ν
utilizando o conjunto de s.p.e dado pelo SET1 no espaco completo 2p1f (7n7p). No painel
esquerdo, temos o comportamento dos MGT2ν como funcao do parametro t do canal-pp, com
respeito a escolha dos parametros do canal-ph (vs, vt): i) (27,64) linha tracejada preta, ii)
(35,65) linha tracejada azul, iii) (40,60) linha tracejada vermelha, iv) valores experimentais
(linha continua cinza). Observa-se um colapso na regiao de t=1,8 inicialmente mais sensivel
para vs=27, vt=64. No painel direito, temos as MGT2ν como funcao dos parametro do canal-ph
(vs, vt). Pode-se observar dois conjuntos de dados, aqueles que foram resolvidas as equacoes
de BCS (FQTDA) linha continuas, e aqueles em que os calculos foram realizados no limite-ph
86
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2
t
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
M2νG
T
vs=27, vt=64
vs=35, vt=65
vs=40, vt=60
Experimental
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2
t
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
M2νG
T
vs=27, vt=64
vs=35, vt=65
vs=40, vt=60
Experimental
Figura 4.30: MGT2ν como funcao do parametro t do canal-pp. No painel esquerdo temos FQTDA
“reduzido” para SET1 e no painel lado direito, a FQTDA completo para SET3.
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2
t
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
M2νG
T
vs=27, vt=64
vs=35, vt=65
vs=40, vt=60
Experimental
0 20 40 60 80 100
Vt
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
M2νG
T
BCS vs=27
BCS vs=35
FQTDA vs=40
PH vs=27
PH vs=35
PH vs=40
Experimental
Figura 4.31: Painel esquerdo- Amplitudes MGT2ν como funcao do parametro t do canal-pp. Painel
direito - Comparacao das amplitudes MGT2ν dentro o limite-ph com o espaco completo (linhas tra-
cejadas) com aquelas amplitudes da FQTDA como funcao dos parametros (vs, vt). Aqui os valoresde MGT
2ν na FQTDA se reduzem ao valores correspondentes quando os calculos sao afetados pelolimite-ph. Em ambos calculos foi usado o espaco completo 2p1f (7p7n) para SET1.
87
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2
t
0
0.04
0.08
0.12
0.16
M2νG
TPH vs=27, vt=64
PH vs=35, vt=65
PH vs=40, vt=60
BCS vs=27, vt=64
BCS vs=35, vt=65
BCS vs=40, vt=60
Experimental
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2
t
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
M2νG
T
vs=27, vt=64
vs=35, vt=65
vs=40, vt=60
Experimental
Figura 4.32: Painel esquerdo - Amplitudes MGT2ν como funcao do parametro t do canal-pp, utilizando
o SET1 no espaco “reduzido” (1n4p), sendo as linhas tracejadas para limite-ph e as linhas continuaspara FQTDA para o SET1. Painel direito - Comparacao dos MGT
2ν para FQTDA no espaco completopelo SET3, se mostra similar ao da Fig. (4.31) do lado esquerdo dada para SET1.
(sem BCS) linhas tracejadas, dados segundo os parametros do canal-ph vs: i) vs=27 em preto,
ii) vs=35 em azul, iii) vs=40 em vermelho, iv) dados experimentais em cinza. Visivelmente
nota-se uma regiao de colapso no canal-ph para FQTDA em vt ≈50 para vs=27, enquanto para
vs=35 esta presente vt ≈60, e para vs=40 na regiao de vt ≈70. Olhando limite-ph, observa-
se um comportamento suave ao respeito dos parametros do canal-ph quando comparado ao
FQTDA.
A Figura (4.32) mostra uma comparacao entre os elementos de matriz nuclear MGT2ν
como funcao do parametro t do canal-pp, utilizando o conjunto SET1 e SET3 de s.p.e. Pelo
lado esquerdo temos, dado pelo SET1 no espaco reduzido 1n4p, onde as linhas tracejadas
representam os calculos no limite-ph enquanto as linhas continuas sao para os calculos de BCS
(FQTDA) usando o s.p.e. SET1, sendo segundo os parametros no canal-ph (vs, vt) dados por:
i) (27,64) em preto, ii) (35,65) em azul, iii) (40,60) em vermelho, iv) linha continua em cinza
representa os valores experimetais. Observa-se que para limite-ph se mantem fixo em funcao
do parametro t do canal-pp. Ja para BCS pode-se ver um crescimento suave do MGT2ν como
funcao do t. Pelo lado direito, temos o comportamento dos MGT2ν com respeito ao parametro
t do canal-pp utilizando o s.p.e. SET3, com configuracoes dos parametros do canal-ph(vs, vt)
dados segundo: i) (27,64) linha tracejada preta, ii) (35,65) linha tracejada azul, iii) (40,60)
linha tracejada vermelha, iv) valores experimentais (linha continua cinza). E possivel ver que
os MGT2ν crescem de forma suave a medida que o parametro t aumenta, assim se mostrando
88
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2
t
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
M2νG
T
vs=27, vt=64
vs=35, vt=65
vs=40, vt=60
Experimental
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2
t
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
M2νG
T
vs=27, vt=64
vs=35, vt=65
vs=40, vt=60
Experimental
Figura 4.33: MGT2ν como funcao do parametro t no canal-pp utilizando os s.p.e. do SET1 para
calculo de FQTDA. No lado esquerdo, temos o grafico para o espaco “reduzido”. Ja do lado direito,mostramos o comportamento no espaco completo. Sendo os parametros-ph (vs, vt): i) (27,64) linhapreta, ii) (35,65) linha azul, iii) (40,60) linha vermelha, iv) linha continua experimental [32].
similar aquele da Figura (4.31) do lado esquerdo, que e dado para o SET1.
Na Figura (4.33) mostramos uma comparacao entre os elementos de matriz nuclear
MGT2ν como funcao do parametro t do canal-pp, utilizando o conjunto de s.p.e dado pelo SET1
para FQTDA. Pelo lado esquerdo temos o espaco reduzido 1n4p, onde as linhas tracejadas
estao representando segundo os parametros do canal-ph (vs, vt) dados por: i) (27,64) em
preto, ii) (35,65) em azul, iii) (40,60) em vermelho, iv) linha continua em cinza representa os
valores experimetais. Percebe-se um crescimento gradativo dos MGT2ν como funcao de t. Pelo
lado direito, temos o comportamento dos MGT2ν com respeito ao t no espaco completo para
FQTDA, com configuracoes dos parametros do canal-ph (vs, vt) dados segundo: i) (27,64)
linha tracejada preta, ii) (35,65) linha tracejada azul, iii) (40,60) linha tracejada vermelha,
iv) valores experimentais (linha continua cinza) como funcao de t. Agora e possıvel notar um
crescimento mais suave que o do espaco reduzido, porem nota-se uma regiao de pertubacao
mais sensıvel para vs=27 a partir de t ≈ 1, 8.
Na Figura (4.34) mostra-se uma comparacao entre os elementos de matriz nuclear
MGT2ν como funcao do parametro t do canal-pp. Pelo lado esquerdo temos o espaco reduzido
1n4p para o SET1, onde as linhas tracejadas representam os calculos para BCS (FQTDA)
segundo os parametros no canal-ph (vs, vt) dados por: i) (27,64) em tracejado preto, ii) (35,65)
em tracejado azul, iii) (40,60) em tracejado vermelho, iv) linha continua em cinza representa
os valores experimentais, onde percebe-se um crescimento gradativo dos MGT2ν como funcao
89
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2
t
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
M2νG
T
vs=27, vt=64
vs=35, vt=65
vs=40, vt=60
Experimental
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2
t
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
M2νG
T
vs=27, vt=64
vs=35, vt=65
vs=40, vt=60
Experimental
Figura 4.34: MGT2ν como funcao do parametro-pp de t. No lado esquerdo, temos o grafico para o
espaco “reduzido” (1n4p) para FQTDA utilizando o SET1. Ja do lado direito, mostramos no espacocompleto para FQTDA utilizando o s.p.e. do SET3. Os parametros-ph (vs, vt) adotados sao: i)(27,64) linha tracejada preta, ii) (35,65) linha tracejada azul, iii) (40,60) linha tracejada vermelha,iv) linha continua experimental.
de t. Pelo lado direito, temos o comportamento dos MGT2ν com respeito ao parametro t no
espaco completo de FQTDA utilizando o SET3, com configuracoes dos parametros do canal-
ph (vs, vt) dados segundo: i) (27,64) linha tracejada preta, ii) (35,65) linha tracejada azul, iii)
(40,60) linha tracejada vermelha, iv) valores experimentais (linha continua cinza). Nota-se
aqui um crescimento suave para os valores dos MGT2ν em funcao de t.
Na Figura (4.35), temos uma comparacao dos elementos de matriz nuclear MGT2ν do
decaimento-ββ como funcao dos parametros do canal-ph (vs, vt), utilizando os conjuntos de
s.p.e. para diferentes valores para os parametros vs do canal-ph: i) vs=27 (linha preta),
ii) vs=35 (linha azul), iii) vs=40 (linha vermelha). Observa-se uma certa semelhanca no
comportamento dos MGT2ν para uma regiao de vt=50 ate vt=100, quando se altera o valor do
parametro vs no canal-ph. Sendo ainda em uma primeira analise, notamos que existe uma
regiao pertubada entre vt=50 ate vt=80, onde e possıvel observar diferentes picos de MGT2ν
segundo os valores adotados pelos parametrizacao no canal-ph pelos SET1, SET2 e SET3. No
painel superior esquerdo da Fig. (4.35) dado para o SET1, apresenta uma regiao de colapso
dos MGT2ν para FQTDA entre vt=50 e vt=80. Ja no painel lado direito superior, onde e usado
o SET2, a regiao de colapso dos MGT2ν da FQTDA tambem e no intervalo entre vt=50 e vt=80.
Na painel inferior, resultados obtidos para o SET3, a regiao de colapso se desloca para entre
vt=60 e vt=100.
Na Figura (4.36), temos uma comparacao dos elementos de matriz nuclear MGT2ν para
90
0 20 40 60 80 100
Vt
-0.8
-0.4
0
0.4
M2νG
T
FQTDA vs=27
FQTDA vs=35
FQTDA vs=40
Experimental
0 20 40 60 80 100
Vt
-0.8
-0.4
0
0.4
M2νG
T
FQTDA vs=27
FQTDA vs=35
FQTDA vs=40
Experimental
0 20 40 60 80 100
Vt
-0.8
-0.4
0
0.4
M2βG
T
FQTDA vs=27
FQTDA vs=35
FQTDA vs=40
Experimental
Figura 4.35: MGT2ν como funcao dos parametro-ph (vs, vt) para espaco completo de FQTDA. No lado
esquerdo superior, temos o grafico para o o SET1. No lado direito superior, mostramos utilizando os.p.e. do SET2. Na parte inferior temos para o s.p.e. SET3. Os parametros-ph (vs, vt) sao: i) (27,64)linha preta, ii) (35,65) linha azul, iii) (40,60) linha vermelha, iv) linha tracejada experimental [32].
91
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2
t
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
M2νG
T
vs=27, vt=64
vs=35, vt=65
vs=40, vt=60
Experimental
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2
t
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
M2νG
T
vs=27, vt=64
vs=35, vt=65
vs=40, vt=60
Experimental
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2
t
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
M2νG
T
vs=27, vt=64
vs=35, vt=65
vs=40, vt=60
Experimental
Figura 4.36: MGT2ν como funcao do parametro t no canal-pp para espaco completo para FQTDA.
Painel superior esquerdo - Resultados para o SET1. Painel superior direito - mostramos os resultadosutilizando o s.p.e. do SET2. Na parte inferior temos os resultados para o SET3. Os parametros-ph(vs, vt) usados sao: i) (27,64) linha tracejada preta, ii) (35,65) linha tracejada azul, iii) (40,60) linhatracejada vermelha, iv) linha continua experimental[32].
92
o decaimento-ββ como funcao do parametro t do canal-pp, utilizando os conjuntos de s.p.e.
Os valores para os parametros (vs, vt) do canal-ph foram: i) (27,64) linha tracejada preta,
ii) (35,65) linha tracejada azul, iii) (40,60) linha tracejada vermelha. Observa-se entao uma
certa semelhanca no comportamento dos MGT2ν , quando se altera o valor do parametro do
canal-ph. Temos ainda em uma primeira analise, para painel superior esquerdo dado pelo
SET1, a existencia de uma regiao pertubada entre t=1,8 ate t=2,0 onde e possıvel observar
diferentes picos de MGT2ν segundo os valores adotados pelo parametro vs no canal-ph. Ja do
painel superior direito dado para o SET2, tambem e notavel o inıcio de uma regiao pertubada
a partir de t = 1, 8. No painel inferior temos os resultados para o SET3, mostrando que a
variacao do MGT2ν acontece de forma mais suave como funcao do t para este conjunto de s.p.e.
Na Figura (4.37), temos uma comparacao dos comportamentos dos elementos de matriz
nuclearMGT2ν para o decaimento-ββ como funcao dos parametros (vt, vt), na interacao residual,
utilizando diferentes conjuntos de s.p.e. Os valores adotados para os parametro vs foram: i)
vs=27 (linha preta), ii) vs=35 (linha azul), iii) vs=40 (linha vermelha), enquanto permitimos
uma variacao de vt. Percebe-se agora uma semelhanca no comportamento do MGT2ν para uma
regiao de vt=50 ate vt=100, quando se altera o valor do parametro vs do canal-ph. Existe
tambem uma regiao pertubada segundo os valores adotados pelos parametros (vs, vt). Pode-
se ver ainda, que para o calculo de FQTDA existem regioes pertubadas um pouco acima do
limite dos dados experimentais, enquanto que no limite-ph mostra um comportamento suave
em funcao de vt e proximo a regioes de dados experimentais. No painel esquerdo superior,
temos a variacao do MGT2ν como funcao vt, dado para o SET1, no painel direito superior,
temos a variacao para o SET2 e, na parte inferior da figura, para o SET3.
Efeito “colapso” da QRPA na FQTDA
Temos notado dos comportamento dos NME como funcao do parametro t no canal-pp,
ou do parametro vt da parte triplete na interacao residual, que existem pontos singulares nos
NME ao variar estes parametros, da mesma forma que acontece no fenomeno conhecido como
“colapso” da QRPA. Assim analisaremos a origem de tais pontos nos NME, e se eles correspon-
dem a valores com significado fısico no espaco dos parametros usados. Para isso analisaremos
no MGT2ν o termo, numerador e denominador de energia, que apresenta singularidade.
No Figura (4.38), do lado esquerdo uma comparacao dos elementos de matriz nuclear
(M2NU) para os estados intermediarios do decaimento-ββ para o termo de GT como funcao
do parametro do vt (canais -ph e -pp juntos) utilizando o conjunto de s.p.e. dado pelo SET1.
Foram fixados diferentes valores para os parametros vs: (i) vs=27 (linha preta), (ii) vs=35
(linha azul), (iii) vs=40 (linha vermelha). Temos entao uma pertubacao no comportamento
93
0 20 40 60 80 100
Vt
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
M2νG
T
BCS vs=27
BCS vs=35
FQTDA vs=40
PH vs=27
PH vs=35
PH vs=40
Experimental
0 20 40 60 80 100
Vt
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
M2νG
T
BCS vs=27
BCS vs=35
BCS vs=40
PH vs=27
PH vs=35
PH vs=40
Experimental
0 20 40 60 80 100
Vt
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
M2νG
T
BCS vs=27
BCS vs=35
BCS vs=40
PH vs=27
PH vs=35
PH vs=40
Experimental
Figura 4.37: MGT2ν como funcao do vt na interacao residual para espaco completo na FQTDA (linhas
continuas) comparado com limite-ph (linhas tracejadas). Painel superior esquerdo - Grafico para oo SET1. Painel superior direito - Grafico para os s.p.e. do SET2. Painel inferior - Grafico para oss.p.e. do SET3. Os parametros adotados sao: i) vs=27 (contınua preta), ii) vs=35 (contınua azul),iii) vs=40 (contınua vermelha), iv) linha traco-ponto para experimental [32].
94
0 40 80 120 160 200
Vt
-1
0
1
2
M2N
UFQTDA vs=27
FQTDA vs=35
FQTDA vs=40
0 40 80 120 160 200
Vt
-20
-15
-10
-5
0
5
10
DE
N_G
S
vs=27
vs=35
vs=40
Figura 4.38: Painel esquerdo - Elemento de matriz nuclear do estado intermediario (M2NU) comofuncao do parametro vt obtidas na FQTDA no espaco completo para o SET1. Painel direito -Variacao do denominador de energia do elemento de matriz nuclear para estados intermediarios(DEN GS), como funcao de vt, para o SET1.
do M2NU para uma regiao de vt=40 ate vt=100, quando se altera o valor do parametro do
canal-ph vs, notando um deslocamento para a direita dos picos de M2NU segundo os valores
adotados por vs. No painel direito, temos a variacao o denominador da energia da funcao de
elementos de matriz para o estado intermediario que leva a singularidade, como uma funcao
de vt para o SET1.
Na Figura (4.39), temos no lado esquerdo superior, uma comparacao dos elementos de
matriz nuclear(M2NU) para os estados intermediarios do decaimentoββ para GT como funcao
do parametro vt no canal triplete, utilizando o conjunto de s.p.e. dado pelo SET2. Foram
fixados diferentes valores para os parametros vs no canal singlete: (i) vs=27 (linha preta),
(ii) vs=35 (linha azul) e, (iii) vs=40 (linha vermelha). E visıvel nesse ponto uma semelhanca
no comportamento do M2NU para uma regiao de vt=40 ate vt=100, quando se altera o valor
do parametro vs. Notamos que existe uma regiao pertubada entre vt=40 ate vt=80 onde e
possıvel observar diferentes picos de M2NU segundo os valores adotados pelos parametro vs.
No lado direito superior, atraves de uma reducao de limites no eixo, conseguimos uma melhor
visualizacao da situacao abordada. No figura inferior, temos a variacao do denominador da
energia da funcao de elementos de matriz nuclear para o estado intermediario (DEN GS),
como uma funcao de vt para o SET2, no espaco completo 2p1f (7n7p) de FQTDA.
Na Figura (4.40), temos pelo lado esquerdo uma comparacao dos elementos de matriz
nuclear(M2NU) para os estados intermediarios do decaimento-ββ como funcao do parametro
95
0 40 80 120 160 200
Vt
-40
-30
-20
-10
0
10
M2N
U
FQTDA vs=27
FQTDA vs=35
FQTDA vs=40
0 40 80 120 160 200
Vt
-2
-1
0
1
2
3
M2N
U
FQTDA vs=27
FQTDA vs=35
FQTDA vs=40
0 40 80 120 160 200
Vt
-20
-10
0
10
DE
N_G
S
vs=27
vs=35
vs=40
Figura 4.39: Painel esquerdo - Elemento de matriz nuclear do estado intermediario (M2NU) paraFQTDA como funcao do parametro vt no espaco completo para o SET2. Painel direito - Ampliacaodo M2NU para o SET2 como funcao de vt. No painel abaixo, mostra-se a variacao do denominadorde energia para estados intermediarios (DEN GS), como funcao de vt, para o SET2.
96
0 40 80 120 160 200
Vt
-1
0
1
2
M2N
UFQTDA vs=27
FQTDA vs=35
FQTDA vs=40
0 40 80 120 160 200
Vt
-20
-15
-10
-5
0
5
10
DE
N_G
S
vs=27
vs=35
vs=40
Figura 4.40: Painel esquerdo -Elementos de matriz nuclear do estado intermediaaio (M2NU) comofuncao do parametro vt obtidos para FQTDA no espaco completo para o SET3. Painel esquerdo -Comparacao da variacao do denominador de energia ma funcao de elemento de matriz nuclear paraestados intermediarios (DEN GS), como funcao de vt, para o SET3.
vt, utilizando o conjunto de s.p.e. dado pelo SET3. Novamente, usamos os valores para os
parametros vs: (i) vs=27 (linha preta), (ii) vs=35 (linha azul), (iii) vs=40 (linha vermelha).
Observa-se uma correpondencia no comportamento do M2NU para uma regiao de vt=40
ate vt=120, quando se altera o valor do parametro do vs. Nota-se tambem que os picos se
deslocam para direita a medida que se aumentam os valores de vs. Pelo lado direito, temos a
variacao do denominador da energia da funcao de elementos de matriz nuclear para estados
intermediarios (DEN GS), como uma funcao de vt para o SET3, num espaco completo 2p1f
(7n7p) de FQTDA.
Na Figura (4.41), temos no lado esquerdo uma comparacao dos elementos de matriz
nuclear MGT2ν para os estados do decaimento 2νββ como funcao do parametro vt variando-lho
de 0 ate 200, utilizando o espaco completo 2p1f (7n7p) do conjunto de s.p.e. dado pelo SET1.
Foram fixados diferentes valores para os parametros vs: (i) vs=27 (linha preta), (ii) vs=35
(linha azul), (iii) vs=40 (linha vermelha). Observa-se uma semelhanca no comportamento
do M2NU para uma regiao de vt=40 ate vt=120, quando se altera o valor do parametro vs,
onde surge uma regiao de colapso da FQTDA que se faz quando o denominador se vai a zero
como na Fig. (4.38), ou seja surge um polo na regiao dependente do valor de vt adotado.
Nota-se tambem que os picos se deslocam para direita a medida que se aumenta os valores
do parametro vs. Pelo lado direito, reduzimos a regiao de variacao de vt para 0 ate 100.
Na Figura (4.42), temos pelo lado esquerdo uma comparacao dos elementos de matriz
97
0 40 80 120 160 200
Vt
-2
-1
0
1
2
3
M2νG
T
FQTDA vs=27
FQTDA vs=35
FQTDA vs=40
Experimental
0 20 40 60 80 100
Vt
-2
-1
0
1
2
3
M2νG
T
FQTDA vs=27
FQTDA vs=35
FQTDA vs=40
Experimental
Figura 4.41: Painel esquerdo -Elementos de matriz nuclear GT (MGT2ν ) como funcao do parametro
do canal-ph vt no espaco completo por FQTDA para o SET1. No lado direito, mostra um zoompara o parametro do canal-ph vt variando de 0 ate 100.
0 40 80 120 160 200
Vt
-40
-30
-20
-10
0
10
M2νG
T
FQTDA vs=27
FQTDA vs=35
FQTDA vs=40
Experimental
0 20 40 60 80 100
Vt
-2
-1
0
1
2
3
M2νG
T
FQTDA vs=27
FQTDA vs=35
FQTDA vs=40
Experimental
Figura 4.42: Painel esquerdo - Elementos de matriz nuclear GT (MGT2ν ) como funcao do parametro
vt no espaco completo por FQTDA para o SET2. Painel esquerdo - Zoom para o parametro vtvariando de 0 ate 100.
98
0 40 80 120 160 200
Vt
-1
0
1
2
M2βG
TFQTDA vs=27
FQTDA vs=35
FQTDA vs=40
Experimental
0 20 40 60 80 100
Vt
-2
-1
0
1
2
3
M2βG
T
FQTDA vs=27
FQTDA vs=35
FQTDA vs=40
Experimental
Figura 4.43: Painel esquerdo -Elementos de matriz nuclear GT (MGT2ν ) como funcao do parametro
vt no espaco completo por FQTDA para o SET3. Painel esquerdo - Zoom da figura com vt variandode 0 ate 100.
nuclear MGT2ν para os estados do decaimento 2νββ como funcao do parametro vt variando
de 0 ate 200, utilizando o espaco completo (7n7p) do conjunto de s.p.e. dado pelo SET2.
Fixamos os valores para os parametros vs: (i) vs=27 (linha preta), (ii) vs=35 (linha azul),
(iii) vs=40 (linha vermelha). Observa-se uma semelhanca no comportamento do M2NU para
uma regiao de vt=40 ate vt=80, quando se altera o valor do vs, onde surge uma regiao de
colapso da FQTDA que se faz quando o denominador se vai a zero como na Fig. (4.39). Ou
seja surge um polo na regiao dependente do valor de vt adotado. Nota-se tambem que os
picos se deslocam para direita a medida que se aumenta os valores do vs. Pelo lado direito,
reduzimos a regiao de variacao de vt para 0 ate 100.
Na Figura (4.43), temos pelo lado esquerdo uma comparacao dos elementos de matriz
nuclear MGT2ν para os estados do decaimento-2νββ como funcao do parametro vt variando de
0 ate 200, utilizando o espaco completo (7n7p) do conjunto de s.p.e. dado pelo SET3. Os
diferentes valores para os parametros vs sao: (i) vs=27 (linha preta), (ii) vs=35 (linha azul),
(iii) vs=40 (linha vermelha). Observa-se uma semelhanca no comportamento do M2NU para
uma regiao de vt=40 ate vt=120, quando se altera o valor do parametro vs, onde surge
uma regiao de colapso da FQTDA que se faz quando o denominador se vai a zero como na
Fig. (4.40), ou seja surge um polo na regiao dependente do valor de vt adotado. Nota-se
tambem que os picos se deslocam para direita a medida que se aumenta os valores do vs. Pelo
lado direito, reduzimos a regiao de variacao de vt para 0 ate 100.
Na Figura (4.44), temos uma comparacao do comportamento dos componentes da
99
0 40 80 120 160 200
Vt
-12
-8
-4
0
4
8
12
W
Wλ vs=27
Wλ vs=35
Wλ vs=40
W0+vs=27
W0+vs=35
W0+vs=40
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2
t
4
5
6
7
8
9
10
W
Wλ
WF / 2
Figura 4.44: Componentes da funcao do denominador da energia (DEN GS) no espaco completopor FQTDA para o SET1. No painel esquerdo temos (DEN GS) como funcao do parametro do vtsendo vs dados por: (i) vs=27 (preto), (ii) vs=35 (azul), (iii) vs=40 (vermelho). As linhas inteirasrepresentam o wλ no estado intermediario 1+, enquanto as linhas tracejadas e o w0+ para estadofinal 0+. No painel direito, o DEN GS como funcao do parametro-pp t, para SET1 com vs=27,vt=64.
funcao do denominador de energia (DEN GS) para o espaco completo utilizando o s.p.e.
SET1. O lado esquerdo, mostra a comparacao entre o comportamento da componente do
estado intermediario 1+, wλ (linhas cheias), com o comportamento do estado final 0+, w0+f
(linhas tracejadas), ambos como funcao do vt sendo: (i) vs=27 (linha preta), (ii) vs=35 (linha
azul), (iii) vs=40 (linha vermelha). Nota-se que, para as componentes da DEN GS se anulam
na regiao entre vt=60 ate vt=80, dessa forma enquanto o wλ descreve um movimento suave
decrescente, o w0+fdescreve um movimento crescente tambem de forma suave. Ja pelo lado
direito, temos o comportamento para as componentes de DEN GS como funcao do canal-pp
t, no espaco completo pelo SET1 com parametrizacao vs=27, vt=64. Pode-se perceber que o
valor do w0+ (wf/2) nao se altera segundo as modificacoes do canal-pp. No entanto, o wλ no
canal-pp descreve uma curva suave descrecente de forma semelhante a descrita no canal-ph.
Do mesmo modo e possıvel observar as componentes do DEN GS se anulam numa regiao de
t entre 1.8 ate 2.
Na Figura (4.45), temos uma comparacao do comportamento dos componentes da
funcao do denominador de energia (DEN GS) para o espaco completo utilizando o s.p.e.
SET2. Observa-se a comparacao entre o comportamento da componente do estado inter-
mediario 1+, wλ (linhas cheias), com o comportamento do estado final 0+, w0+f(linhas tra-
cejadas), ambos como funcao do vt sendo (i) vs=27 (linha preta), (ii) vs=35 (linha azul),
100
0 40 80 120 160 200
Vt
-15
-10
-5
0
5
10
W
Wλ vs=27
Wλ vs=35
Wλ vs=40
W0+ vs=27
W0+ vs=35
W0+ vs=40
Figura 4.45: Comportamento para os componentes da funcao do denominador da energia (DEN GS)com funcao do parametro vt no espaco completo por FQTDA para o SET2 sendo vs dados por: (i)vs=27 (preto), (ii) vs=35 (azul), (iii) vs=40 (vermelho). As linha inteiras representam o wλ noestado intermediario 1+, enquanto as linhas tracejadas e o w0+ para estado final 0+.
(iii) vs=40 (linha vermelha). Percebe-se que para as componentes da DEN GS se anulam
na regiao entre vt=60 ate vt=80, dessa forma enquanto o wλ descreve um movimento suave
decrescente, o w0+ descreve um movimento crescente tambem de forma suave.
Na Figura (4.46), temos uma comparacao do comportamento dos componentes da
funcao do denominador de energia (DEN GS) para o espaco completo utilizando o s.p.e.
SET3. E notavel a comparacao entre o comportamento da componente do estado inter-
mediario 1+, wλ (linhas cheias), com o comportamento do estado final 0+, w0+f(linhas trace-
jadas), ambos como funcao do vt sendo (i) vs=27 (linha preta), (ii) vs=35 (linha azul), (iii)
vs=40 (linha vermelha). Observa-se para as componentes da DEN GS acabam se anulando
na regiao entre vt=60 ate vt=100, dessa forma enquanto o wλ descreve um movimento suave
decrescente, o w0+ descreve um movimento crescente tambem de forma suave.
4.2 Resultados para 76Ge
Analisaremos agora o uso da FQTDA para o 76Ge. Como 76Ge nao e um nucleo
de camada fechada, a descricao de um esquema -ph utilizada no 48Ca nao conduz a bons
resultados e o esquema de FQTDA e mais indicado. Assim trabalharemos com um espaco
101
0 40 80 120 160 200
Vt
-12
-8
-4
0
4
8
W
Wλ vs=27
Wλ vs=35
Wλ vs=40
W0+vs=27
W0+vs=35
W0+vs=40
Figura 4.46: Comportamento para os componentes da funcao do denominador da energia (DEN GS)com funcao do parametro do canal-ph vt no espaco completo por FQTDA para o SET3 sendo vsdado como: i) vs=27 (preto), ii) vs=35 (azul), iii) vs=40 (vermelho). As linhas inteiras representamo wλ no estado intermediario 1+, enquanto que as linhas tracejadas e o w0+f
para estado final 0+.
restrito a 5 nıveis de protons e 5 nıveis de neutrons usados anteriormente em calculos de
QRPA [74, 76]. Seria melhor e mais conveniente usar as camadas 2p1f2d1g3s1h (espaco
mostrada na Tabela 1 de Ref.[76]) com 11 nıveis para comparar em forma explıcita com os
calculos de QRPA, nosso atual estudo sera exploratorio a fim de descrever os aspectos gerais
da FQTDA num nucleo de massa media. Num espaco reduzido poderemos ter mais controle
sobre os calculos de estrutura, quando comparado ao uso de um espaco maior, onde se tornaria
bem mais complicado analisar a estrutura nuclear, as amplitudes-β simples e dupla, os NME
do 2νββ, e aprender como atua o colapso da QRPA na FQTDA.
Amplitudes de decaimento-β simples no 76Ge
Na Figura (4.47) mostra-se o comportamento das amplitude de decaimento beta sim-
ples SGTβ− para 76Ge, como funcao da energia dos estados intermediarios 1+ em MeV, sobreposto
com o espectro experimental mostrado na Ref. [76]. Para descrever as transicoes β, utiliza-
mos a parametrizacao para t no canal-pp : (i) t=0 (barra azul), (ii) t=1 (barra preta),e (iii)
(t=2 (barra roxa). A parametrizacao no canal-ph corresponde aquilo obtido de um estudo
sistematico relativo as amplitudes GT realizado pela Ref. [72], sendo assim vphs = 55, vpht = 92,
em unidades de MeV.fm3 .
A Tabela (4.6) mostra os autovalores, X , da funcao de onda para o estado intermediario
102
0
1
2
3
4
5
Experimental
t=0
t=1
t=2
0
1
2
3
4
5
0 4 8 12 16 20
E(MeV)
0
1
2
3
4
5
Sβ−
GT
(Me
V-1)
Figura 4.47: Amplitude de decaimento SGTβ− para 76Ge como funcao da energia (MeV), com sobre-
posicao dos valores experimentais para β−, utilizando a parametrizacao no canal-pp t: i) t=0 (barraazul), ii) t=1 (barra preta), iii) t=2 (barra roxa).
Tabela 4.6: Componente da funcao de onda do estado intermediario 1+ para 76Ge.
X tST n p 0 1 21 223 223 -0.307 -0.085 0.1842 145 145 0.251 0.212 0.1023 211 211 0.175 0.153 0.0724 212 211 0.693 0.831 0.9295 133 133 0.263 0.237 0.1436 212 133 -0.114 -0.101 -0.0487 211 212 -0.242 -0.194 -0.1208 133 212 0.056 0.038 0.0129 212 212 -0.434 -0.359 -0.224
103
0 5 10 15 20 25 30
E(MeV)
0
2
4
6
8
Sββ−G
T
-5 0 5 10 15 20 25
E(MeV)
0
0.004
0.008
0.012
0.016
0.02
Sββ+G
TFigura 4.48: Amplitudes de decaimento-ββ (SGT
ββ ) para caso nao-pertubado para 76Ge 5n5p comofuncao da E(MeV). Lado esquerdo, decaimento-ββ-. Lado direito, decaimento-ββ+.
1+2 para 76Ge como funcao do t no canal-pp. Foram obtidos 9 estados 1+ quando utilizamos
o espaco de s.p.e com 5p5n. A funcao de onda do estado 1+2 e aquele com o maior valor das
amplitudes Sβ− . Asssim realizamos uma analise segundo variacao de t no canal-pp sendo: i)
t=0, ii) t=1, iii) t=2. Assim a contribuicao na Sβ− veio do mesmo estado, nesse conjunto de
parametros t analisados, levando a configuracao (2pν3/2, 2pπ1/2), a maior componente na funcao
de onda.
Amplitudes de decaimento-β duplo no 76Ge
A Figura (4.48) apresenta uma comparacao entre amplitudes SGTββ como funcao da
energia dos estados 0+ finais com respeito ao zero de energia do nucleo inicial (MeV), para o
caso nao-pertubado utilizando o s.p.e. do 76Ge no espaco de 5n5p. Logo nota-se facilmente,
que a condicao mais provavel, de maiores valores de strenght, e pelo decaimento-ββ−.
Na Figura(4.49) temos uma comparacao entre amplitudes SGTββ como funcao da energia
(MeV), para casos: (i) nao-pertubado (unpertubed) limite-ph (barra azul), (ii) nao-pertubado
FQTDA (barra preta), (iii) pertubado (pertubed) FQTDA com parametros do canal-ph
vs=55, vt=92. Pelo lado esquerdo, temos as amplitudes SGTββ−. Podemos observar que as SGT
ββ−
do caso nao-pertubado no limite-ph, possui maiores valores para menores energias (MeV)
quando comparado com as SGTββ− do caso nao-pertubado para FQTDA. Ja no caso pertubado,
as SGTββ− possuem menores valores quando comparado aos casos nao-pertubados. Pelo lado di-
reito, temos as SGTββ+. Pode-se notar que para os valores das SGT
ββ− para o caso nao-pertubado o
limite-ph nao sofre mudancas nos valor de energia. Ja para o caso de FQTDA nao-pertubado
nota-se que as SGTββ− possui maiores valores quando comparado ao caso pertubado FQTDA
104
-20 0 20 40
E(MeV)
0
5
10
15
20
25
Sββ−G
Tunpertubed PH
unpertubed FQTDA
pertubed FQTDA vs=55, vt=92
-80 -40 0 40
E(MeV)
0
0.004
0.008
0.012
0.016
0.02
Sββ+G
T
unpertubed PH
unpertubed FQTDA
pertubed FQTDA vs=55, vt=92
Figura 4.49: Amplitudes de decaimento-ββ (SGTββ ) para 76Ge como funcao da E(MeV). Lado esquerdo,
decaimento-ββ-. Lado direito, decaimento-ββ+. Sendo (i) nao-pertubado limite-PH (em azul), (ii)nao-pertubado FQTDA (em preto), (iii) pertubado (em vermelho).
com parametros vs=55, vt=92.
A Figura(4.50) mostra o comportamento dos componentes da funcao de onda Yp1p2n1n2J
para 76Ge com vphs =55, vpht =92 para as regioes de maior amplitude SGTββ− conforme Fig. (4.48)
e para o estado fundamental. Pelo lado esquerdo, observa-se as componentes da funcao de
onda Yp1p2n1n2J como funcao das configuracoes dos estados (States). Sao apresentadas as
aproximacoes segundo: (i) FQTDA nao-pertubado (unpertubed), onde os parametros dos
canais-pp e -ph sao dados por vphs = vpht =0 e s = t=0, de onde obtemos a maior amplitude
SGTββ− para estado 175 (em azul), (ii) ph nao-pertubado onde os parametro dos canais-pp e
-ph sao dados por vphs = vpht =0 e s = t=0, onde obtemos a maior amplitude SGTββ− para o
estado 53 e (iii) FQTDA pertubado (pertubed) com vphs = 55 e vtph = 92 de maior amplitude
SGTββ− dado no estado 73. No lado direito, temos as componentes da funcao de onda Yp1p2n1n2J
como funcao das configuracoes dos estados (States) para o estado fundamental 225. Segundo:
(i) FQTDA nao-pertubado (unpertubed), (ii) -ph nao-pertubado, (iii) FQTDA . E notavel
que a FQTDA no estado final 0+f possui maiores valores para as componentes da Yp1p2n1n2J
e do mesmo modo, maiores valores de energia. Ja o FQTDA unpertubed apresenta maiores
valores dos componentes da Yp1p2n1n2J com respeito a energia quando comparado ao caso -ph
unpertubed.
NME na FQTDA para 76Ge
A Figura (4.51) apresenta o comportamento dos elementos de matriz nuclear dos esta-
dos intermediario (M2NU) como funcao de t para o 76Ge. Sendo a parametrizacao do canal-ph
105
0 50 100 150 200
State
-0.4
0
0.4
0.8
1.2
Yp
1p2
n1
n2
J
[175] FQTDA unpertubed
[53] PH unpertubed
[73] FQTDA pertubed
0 50 100 150 200
State
-0.8
-0.4
0
0.4
0.8
1.2
Yp
1p
2n
1n
2J
FQTDA unpertubed
PH unpertubed
FQTDA
Figura 4.50: Comportamento para os componentes da funcao de onda Yp1p2n1n2J para 76Ge com
vphs =55, vpht =92 para as regioes de maior amplitude SGTββ− conforme Fig. (4.48) comparando os
resultados nao perturbado -ph, perturbado BCS e perturbado FTQDA. Painel esquerdo - Yp1p2n1n2J ,para o estado de maior amplitude GT, como funcao das configuracoes (States) . Painel direito -Yp1p2n1n2J , para o estado de fundamental, como funcao das configuracoes (States).
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2
t
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
M2
NU
vs=55, vt=92
Figura 4.51: Elementos de matriz do estado intermediario (M2NU) como funcao do parametro t docanal-pp, para 76Ge na FQTDA.
106
0 2 4 6 8 10
t
-20
-15
-10
-5
0
5
M2νG
T
vs=55, vt=92
Experimental
0 1 2 3 4 5
t
-0.3
-0.2
-0.1
0
M2νG
T
vs=55, vt=92
Experimental
Figura 4.52: Elementos de matriz nuclear MGT2ν como funcao do parametro t do canal-pp, para 76Ge
na FQTDA.
utilizada dada por vs=55 e vt=92. Observa-se um descrescimo acentuado no intervalo de t=0
ate t=0,2, em seguida uma suavizacao na curva ate t=2,0, mostrando uma comportamento
razoavel e tendo resolvidos a QTDA e FQTDA sem a presenca de autovalores complexos como
solucao das equacoes de movimento.
Pela Figura (4.52) mostra-se o comportamento dos elementos de matriz nuclear MGT2ν
como funcao de t para o 76Ge. A parametrizacao do canal-ph utilizada dada por vs=55
e vt=92, ja usada na QRPA. Para o lado esquerdo, observa-se uma regiao de pertubacao
(colapso) da FQTDA em t ≈6. Para o lado direito, mostra o comportamento do MGT2ν em
funcao de t de forma suave ate t=5. Observa-se pela linha tracejada a regiao dos valores de
|M2ν exp| dada para os valores experimentais ∼ 0, 21± 0, 01 conforme Barabash [5, 77] para
o 76Ge. Temos assim, que a presenca do colapso acontece para valores muitos grandes de t
sem significado fısico.
Na Figura (4.53) temos o comportamento dos elementos de matriz nuclear MGT2ν como
funcao de vt, parametro de acoplamento triplete em ambos canais -pp e -pp para o 76Ge. Para
o Grafico do lado esquerdo, segundo a parametrizacao: (i) vs=30 (linha preta), (ii) vs=40
(linha azul), (iii) vs=50 (linha verde), (iv) vs=55 (linha vermelha), (vi) vs=60 (linha roxa).
Observa-se que a medida que aumenta o valor do parametro vs a curva paraMGT2ν como funcao
de vt se torna mais suave e ainda esta entre o limite das regioes para valores experimentais
(linha tracejada). Ja pelo lado direito, temos um comparativo dos MGT2ν de FQTDA (linha
cheia), com limite-ph (linha tracejada), conforme a parametrizacao: (i) vs=30 (linha preta),
(ii) vs=40 (linha azul), (iii) vs=50 (linha verde), (iv) vs=55 (linha vermelha), vi) vs=60 (linha
107
80 120 160 200
Vt
-1
0
1
2
3
M2νG
T
vs=30
vs=35
vs=40
vs=50
vs=55
vs=60
Experimental
80 90 100 110 120
Vt
0
0.04
0.08
0.12
0.16
M2νG
T
BCS vs=30
BCS vs=40
BCS vs=50
BCS vs=55
BCS vs=60
PH vs=30
PH vs=40
PH vs=50
PH vs=55
PH vs=60
Figura 4.53: Elementos de matriz nuclear MGT2ν como funcao do parametro vt, para
76Ge. Pelo ladoesquerdo temos MGT
2ν para FQTDA, nota-se o surgimento de regioes colapsadas com vt variavel de130 ate 220, acompanhado de linhas tracejadas dos valores experimentais. Ja pelo lado direito umcomparativo entre FQTDA (linha cheia) e limite-ph (linha tracejada).
roxa). E possıvel observar que no calculo limite-ph foi capaz de reduzir os valores dos MGT2ν
obtidos pelo FQTDA.
Pela Figura (4.54) observa-se o comportamento dos elementos de matriz nuclear MGT2ν
como funcao de vt para o 76Ge para limite-ph. Segundo a parametrizacao: (i) vs=30 (linha
preta), (ii) vs=40 (linha azul), (iii) vs=50 (linha verde), (iv) vs=55 (linha vermelha), (vi)
vs=60 (linha roxa). Pelo lado esquerdo temos os MGT2ν como obtidos. Ja pelo lado direito
os valores de MGT2ν sao dados em modulo e e possivel observar que a regiao de valores fica
abaixo do limite dos valores experimentais (linha preta tracejada). Observa-se que a medida
que aumenta o valor do parametro vs a curva para MGT2ν como funcao de vt se torna mais
suave. Porem os bons resultados no limite-ph apresentados nas Fig. (4.53) e Fig. (4.54) sao
questionaveis pois como 76Ge e um nucleo de camada aberta, o limite-ph nao representa uma
situacao fısica razoavel para esse nucleo.
Efeito do “colapso” na FQTDA no 76Ge
Pela analise do comportamento dos NME como funcao do parametro t no canal-pp, ou
em funcao do parametro vt notamos que existe um efeito similar ao conhecido “colapso da
QRPA” na FQTDA. O efeito de “colapso da QRPA” na FQTDA ja apareceu no estudo feito
para o 48Ca.
Na Figura (4.55) mostra-se o comportamento do denominador de energia (DEN GS)
para 76Ge pelo calculo de FQTDA. No lado esquerdo temos o DEN GS como funcao do
108
80 90 100 110 120
Vt
-0.06
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
M2νG
T
vs=30
vs=40
vs=50
vs=55
vs=60
80 90 100 110 120
Vt
0
0.04
0.08
0.12
0.16
0.2
M2νG
T
vs=30
vs=40
vs=50
vs=55
vs=60
Experimental
Figura 4.54: Elementos de matriz nuclear MGT2ν como funcao do parametro vt, para
76Ge no limite-ph. Pelo lado esquerdo temos MGT
2ν com valores obtidos. Ja pelo lado direito temos MGT2ν no
limite-ph dado os valores em modulo.
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2
t
3.8
4
4.2
4.4
4.6
DE
N_G
S
vs=55, vt=92
80 90 100 110 120
Vt
1
2
3
4
5
6
7
DE
N_G
S
vs=30
vs=40
vs=50
vs=55
vs=60
Figura 4.55: Painel esquerdo - Denominador de energia (DEN GS) como funcao do t no canal-pppelo calculo de FQTDA. Painel direito - DEN GS como funcao do vt pelo calculo de FQTDA.
109
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2
t
1
2
3
4
5
6
W
Wλ
WF / 2
Figura 4.56: Comportamento para os componentes do denominador da energia (DEN GS) com
funcao do parametro t no canal-pp por FQTDA para 76Ge. Temos aqui vphs =55 e vpht =92. Linhacheia representa o wλ no estado intermediario 1+, enquanto a linha tracejada e o w0+f
para estado
final 0+.
parametro do t no canal-pp, com uma forma suave segundo o crescimento de t. Ja no lado
direito, temos o DEN GS como funcao do parametro vt variavel. No canal singlete usa-se a
parametrizacao: (i) vs=30 (linha preta), (ii) vs=40 (linha azul), (iii) vs=50 (linha verde), (iv)
vs=55 (linha vermelha), (vi) vs=60 (linha roxa). Nota-se tambem um comportamento suave
a medida que se cresce os valores do vt.
Pela Figura (4.56) apresenta-se o comportamento dos componentes do denominador
de energia (DEN GS) para 76Ge pelo calculo de FQTDA como funcao do t no canal-pp.
Observa-se que o wλ que representa a energia do estado intermediario 1+ (linha cheia) tem
um comportamento suave a medida que se aumenta o valor para t. Ja para w0+fque representa
a energia do estado final 0+ (linha tracejada) nao se modifica com variacao de t no canal-pp.
110
80 90 100 110 120
Vt
-2
0
2
4
6
W
Wλ vs=30
Wλ vs=40
Wλ vs=50
Wλ vs=55
Wλ vs=60
W0+
vs=30
W0+
vs=40
W0+
vs=50
W0+
vs=55
W0+
vs=60
Figura 4.57: Comportamento para os componentes do denominador da energia (DEN GS) comofuncao do parametro vt na FQTDA de 76Ge. Linha cheia representa o wλ no estado intermediario1+, enquanto a linha tracejada e o w0+f
para estado final 0+.
Na Figura (4.57) mostra-se o comportamento dos componentes do denominador de
energia (DEN GS) para 76Ge pelo calculo de FQTDA como funcao do vt. Os valores adotados
para vs sao: (i) vs=30 (linha preta), (ii) vs=40 (linha azul), (iii) vs=50 (linha verde), (iv)
vs=55 (linha vermelha), (v) vs=60 (linha roxa). Observa-se que, tanto o wλ que representa
a energia do estado intermediario 1+ (linha cheia), como o w0+fque representa a energia do
estado final 0+ (linha tracejada), tem um comportamento suave a medida que se aumenta o
valor para canal vt, no mesmo sentido que obtemos para o parametro t (canal-pp) quando os
canais -pp e -ph trabalham por separado na interacao residual.
5 CONCLUSOES E PERSPECTIVAS FUTURAS
Segundo Krmpotic Ref.[32], o uso do modelo de FQTDA seria capaz de contornar o
problema de colapso encontrado no modelo de QRPA, no qual os elementos de matriz nuclear
M2ν vao a zero para determinados valores de interacao no canal de partıcula-partıcula. Como
na Ref Ref.[32] foi analisada a FQTDA no limite-ph para 48Ca, nos fizemos uma extensao da
FQTDA para verificar essa suposicao. De modo ampliar o estudo de decaimento-ββ com a
FQTDA realizado no 48Ca, analisamos o 2νββ para 76Ge afim de verificar a confiabilidade do
modelo de FQTDA.
O colapso da QRPA esta relacionado com o aparecimento dos autovalores complexos
nas equacoes de QRPA para certos valores do canal-pp. Isso leva a obter uma funcao de onda
nao fısica do estado fundamental com valores de energia iguais a zero (ou complexas). Outra
caracterıstica do colapso de QRPA era a obtencao de um zero e por fim um polo na expressao
dos elementos de matriz nuclear para 2ν, MGT∈ν , [73]. Alem disso, o colapso da equacao
indica que a equacao de RPA com componentes 1+ e ambıgua e, portanto, limita tambem a
confianca do resultados sobre o decaimento 0νββ.
O procedimento FQTDA restaura a simetria SU(4) de Wigner, conforme foi tratada
por Krmpotic na Ref.[32]. Em nosso trabalho, foi possıvel resgatar alguns resultados dos
elementos de matriz nuclear (NME) para o decaimento duplo-β em 48Ca, onde empregou-se
o limite-ph ao modelo FQTDA. Tres conjuntos de s.p.e. foram utilizados e, de forma similar
tiveram os mesmos resultados, mostrando semelhanca na descricao do NME experimental.
Pelas Figuras (4.52) e (4.56) para 76Ge, e Figuras (4.36) e (4.38) para 48Ca, por
exemplo, e possivel observar a extrema sensibilidade do M2ν no canal de interacao-pp, aqui
representados pelo parametro t, quando a interacao residual foi tratada com os canais -pp e -ph
separados, ou pelo valor vt do canal triplete quando a interacao residual e tratada com os os
canais -pp e -ph juntos como foi feito na Ref. [32]. Observa-se uma evolucao semelhante para
os conjuntos com os parametros do canal-ph (vs, vt). Surge uma diferenca no comportamento
dos MGT2ν onde e mais notavel para os parametros do canal-ph (27,64) que se mostra mais
sensıvel as variacoes do t no canal-pp e, aumenta ainda mais explicitamente para (40, 60).
E possıvel notar indicacoes do chamado “colapso da QRPA” que aparecem no modelo
de FQTDA, quando se observa a descontinuidado para os M2ν como funcao do t no canal-pp
com respeito aos parametros fixos do canal-ph (vphs , vpht ), ou seja com separacao dos canais
de interacao residual. Do mesmo modo, tambem se observa pela Figura (4.31) como funcao
112
do canal-ph vt, a existencia de regioes pertubadas que desencadeam em um polo seguido de
uma regiao de “colapso” dada pela FQTDA, quando nao usamos a separacao dos canais de
interacao. Assim, todos aqueles valores de MGT2ν mostradas nas figuras anteriores para 48Ca
ou 48Ca, obtidos depois do “colapso de FQTDA” nao possuim significado fısico e devem ser
eliminados das respectivas figuras, quando se prepare um artigo pra submissao a revista in-
dexada. Na dissertacao conservamos estes valores para uma simples ilustracao do problema.
No ponto do colapso o valor de MGT2ν aumenta significamente neste ponto (polo), mas ne-
nhuma energia da funcao de onda do estado fundamental final 0+ apresentou alguma tipo de
irregularidade. O mesmo aconteceu com as energias dos estados intermediarios 1+.
Da mesma forma, e notavel que a escolha efetiva da energia de partıcula unica (s.p.e.)
contribui para melhorar as observacoes para osM2ν , mas nao soluciona o problema do colapso
da FQTDA, como ja e conhecido da literatura. No entanto, uma boa aproximacao com os
dados experimentais foi obtidas ajustando os parametros de interacao residual sendo capaz
de descrever os NME no estado fundamental. Reforcamos entao que a ideia de uma escolha
adequada da s.p.e. e um fator que auxilia substanciamente e passa a ser uma questao delicada
no modelo de FQTDA.
Portanto, percebeu-se que o “colapso da QRPA” ocorre de forma similar no modelo de
FQTDA. Decorre de forma natural, devido ao que a energia do estado intermediario funda-
mental 1+ (w1+), se superpoe com a metade da energia do estado fundamental 0+ (w+
0f
2). Ou
seja, no denominador de energia (Dλ+α ,f ) da equacao (3.4), onde deve ser satisfeita a relacao
wλ−w+
0f
2= 0 nao se cumpre. No entanto, como podemos observar pelos graficos (4.44), (4.45),
(4.46), independente do s.p.e. utilizado vai existir uma regiao aonde teremos wλ =w+
0f
2, ou seja
a formacao de um polo, e posterior colapso da FQTDA. Em forma mais especıfica, consegui-
mos notar, que assim como para o s.p.e. do 48Ca (nucleo de camadas duplamente fechadas),
existe uma regiao em que os MGT2ν vai colapsar conforme graficos (4.52), (4.53) para o s.p.e.
do 76Ge (nucleo de camadas abertas). Na mesma medida, quando observarmos o denomina-
dor de energia (Dλ+α ,f ) podemos perceber que a relacao wλ −
w+0f
2= 0 chega em um momento
que nao e mais satisfeita conforme graficos (4.56), (4.57), sendo assim obtemos uma regiao de
colapso da FQTDA para 76Ge.
Resumindo, o modelo de FQTDA nao e capaz de solucionar por completo o problema
de “colapso” existente na QRPA. Ele consegue restaurar a simetria SU(4) de Wigner, e
resgastar alguns NME’s que foram comprometidos pelo modelo de QRPA. No entanto, do
mesmo modo que na QRPA, o modelo de FQTDA vai enfrentar um problema causado pelo
metodo matematico aonde os elementos do denominador de energia (Dλ+α ,f ) nao cumprem a
113
devida relacao e se fazem iguais, ou muito proximos, sem significado fısico, o que nos leva ao
denominador de valor igual a zero (polo no NME), e com isso surge o “colapso da FQTDA”.
Nossa proposta futura e estender o estudo do modelo, e testa-lo para 100Mo para
continuar testando a confiabilidade do modelo de FQTDA. Este nucleo e de especial interesse
devido que seus NME experimentais existem para o estado fundamental e o primeiro estado
excitado de 100Ru.
5.1 Errata do 25/03/2015
Depois de ter terminado o trabalho de dissertacao, e em virtude de reanalisar e testar
mais uma vez nossos resultados dentro do modelo de SMM (Single mode Model) [67], encon-
tramos um misprint numa fase do elemento de matriz de H22. Como o misprint pertence ao
termo de 4qp, nenhuma modificacao deve ser feita nos estados intermediarios e os resultados
para essa parte do hamiltoniano permanecen inalteraveis. Analisando os efeitos desta fase
nos resultados provenientes de H22, notamos que os efeitos nao sao notaveis e as conclusoes
finais para a dissertacao sao as mesmas. Porem, para uma maior clareza, confiabilidade e
apresentacao correta dos resultados algumas figuras devem ser alteradas. Estas modificacoes
estao em andamento para que os resultados e importantes conclusoes da dissertacao sejam
apresentados em breve numa revista cientıfica de alto impacto.
L.O., A.R.S & C.A.B.
114
6 APENDICE
6.1 Apendice A - Modelos Nucleares
6.1.1 Modelo de Partıcula Simples
Desde o inıcio das pesquisas na area, por volta dos meados dos anos 1937-38, surgiu a
necessidade de elaborar ummodelo que fosse capaz de resolver problemas de interacao nucleon-
nucleon, embora predominantemente atrativo, em nucleos macivos(caroco) repulsivos. Este
modelo mais tarde ficou conhecido como Modelo de Partıcula Simples(do ingles, single-particle
- SPE).
Na tentativa de determinacao da confiabilidade do modelo, na realizacao dos calculos
para o efeito macivo, concluiu-se que o Modelo de Partıcula Simples tende a ser destrutivo.
Evidencias da estrutura de camada, apos a inclusao da interacao spin-orbita realizada por
Haxel et al. e Mayer(1949), o tornaram inegavel.
Mais tarde se fez apreciavel, atraves das melhorias pelo Princıpio de Exclusao de
Pauli, a notoriedade da capacidade de conter nucleos no espalhamento de longo alcance e
amplamente do modelo de camadas de orbitais. Nos dias atuais, com a existencia de partıculas
independentes introduzida no modelo de camadas, na qual os nucleons movem-se de forma
independe no interior do nucleo atraves de um potencial medio gerado por todos os outros
nucleons.
Uma questao bastante discutida e a relacao considerada para os possıveis caminhos
que uma partıcula pode se acoplar resultando em uma forma equilibrada. Essencialmente
existem duas formas de esquemas de acoplamentos, cujas referem-se aos dois tipos mais uti-
lizados em correlacoes entre nucleos(Mottelson,1960). O primeiro, favorece a tendencia de
cada nucleon se alinhar ao orbital com campo medio produzido pelos outros nucleons, isto
estabelece uma forma de equilibrio deformada. O segundo e mais usual, para interacoes de
pequeno alcance entre nucleons cujo tende a um esquema de acoplamento de partıculas em
pares com configuracao J=0. Este por sua vez tem forma esferica equilibrada.
Em nucleos de camada fechada, todos orbitais de j-camadas de partıcula simples, ou
estao totalmente ocupadas ou totalmente vazias. Fazendo uma consideracao de adicao de
partıculas para a j-camada subseguente vazias, teremos entao no primeiro momento; que foi
colocado (j,m=j) no orbital, e sua densidade de distribuicao concentra-se no plano equatorial.
Este, capaz de gerar um campo nao esferico com atracao de partıculas para alinhar-se a orbita
115
plana com o equatorial, permitida pelo princıpio de Pauli.
Observa-se tambem, quando o campo torna-se deformado, o momento angular do or-
bital de partıcula cessa, quando temos bons numeros quanticos, logo a funcao de onda da
partıcula propaga-se sobre o numero de j-orbitais.
O esquema de alinhamento dos acoplamentos nao se faz assegurar o numero total do
momento angular de um sistema de bons numeros quanticos. Em geral, funcoes de onda
alinhas nao geram bons momento angulares, com excessao clara das camadas fechadas.
Dessa forma, acredita-se que o campo gerado por acoplamento em pares de partıcula
produz forcas importantes no alinhamento do esquema de acoplamento, exceto aqueles de
dupla camada fechada que podem-se deformar. Por esse motivo entende-se que a forma
esferica e muito mais estavel.
Temos pelas forcas de campo de longo alcance na interacao de dois corpos tende a
alinhar os orbitais nucleares e criar deformacao no nucleo, enquanto que as forcas de empare-
lhamento de curto alcance tende a espalhar nucleons isotropicamente e estabilizar-se na forma
esferica. Logo a forma de esquilibrio do nucleon, depende portanto do equilibrio desses dois
tipos.
Outra observacao posta em analise, denota que a forca de interacao de curto alcance
das forcas de emparelhamento afeta profundamente os parametros de vibracao do momento de
rotacao de inercia, transicoes eletromagneticas e outras formas de observaveis. Infelizmente
isso tende a destruir a estrutura de partıcula independente, caracteristica dos campos fortes
e causa das difusao da superfıcie de Fermi. Assim temos o estado de partıcula simples, ν,
do modelo de partıcula simples sendo estado ocupado(estado de buraco) colocado abaixo do
nıvel de Fermi e desocupado(estado de partıcula), µ, acima do nıvel de Fermi, tendo ainda as
probabilidades de amplitude Vν para estado ocupado e estado desocupado Uµ.
Na teoria de forca de emparelhamento, a simplicidade do modelo de partıcula simples
recupera-se por introducao da quasepartıcula independente. Essas sao ditas partıculas hibridas
que se movem em um campo adicional - o campo de emparelhamento-generalizado para forcas
de curto alcance. Eles sao de fato fermion, generalizando temos que sao parte partıcula
(amplitude Uν) e parte buraco (amplitude Vµ).
No modelo de partıcula simples, o estado excitado |i⟩ e criado por um estado funda-
mental ”| ⟩” por promover o nucleon para o estado de buraco ν, ou seja abaixo da superfıcie
de Fermi, e para estado de partıcula µ, para acima da superfıcie de Fermi. Nas palavras
de Bohr e Mottelson[78], este formalismo se baseia na criacao e aniquilacao de operadores
apropriados para expressar a simetria entre partıcula-buracos. Temos entao para o estado de
116
partıcula-buraco |i⟩:
|i⟩ = |(ν)−1⟩ (6.1)
os elementos de matrix ⟨i|w| ⟩ para um operador arbitrario de corpo-simples W, torna-se a
integral sobre afuncao de onda sobre a partıcula-simples:
⟨i|W | ⟩ = ⟨µ|W |ν⟩ =∫ψ∗µWψν (6.2)
A energia e diferente para a energia de partıcula-simples:
Wi −Wo = ϵµ − ϵν (6.3)
Podemos definir como:
ϵµ =Wµ(A+ 1)−Wo(A) estado de partıcula
−ϵν =Wν(A− 1)−Wo(A) estado de buraco
onde Wµ(a + 1) e a energia do nucleo A+1 com nucleon extra no estado µ, e Wν(A− 1) e a
energia do nucleo A-1 com nucleon removido para o estado ν.
6.1.2 Teoria de Hartree-Fock
Para obter o potencial de uma unica partıcula em meio a uma interacao de duas
partıculas se aplica o principio variacional (metodo cientıfico utilizado no calculo das va-
riacoes, com intuito de maximinizar ou minimizar o valor de quantidades que dependem
de funcoes, ou seja, qualquer lei fısica que pode ser expressa um expressao auto-adjunta ou
Hermitianas, capaz de descrever uma invariante sob uma tranformacao Hermitiana) no hamil-
toniano nuclear e em seguida, realiza uma antissimetrizacao das funcoes de todos os nucleons
envolvidos atraves do determinante de Slater. Este metodo e conhecido como aproximacao
de Hatree-Fock , ou metodo para determinar a funcao de onda e\ou energia para um sistemas
de muitas partıculas em estado estacionario, ou ainda, segundo a literatura antiga conhecido
como metodo de campo auto-consistente, pois deve possuir uma distribuicao de carga que
tem de ser auto-consistente com o campo inicial assumido para se obter a aproximacao da
equacao de Schrodinger, tambem dita equacao de Hartree.
Pela teoria da estrutura atomica, os calculos podem ter um espectro com muitos nıveis
de energia, e conseguentemente, o metodo Hartree-Fock desses atomos, assume a funcao de
117
onda como sendo uma unica funcao de estado de configuracao com numeros quanticos bem
definidos e que o nıvel de energia nao e necessariamente o estado fundamental (do ingles,
ground state).
Considerando um nucleo, com numero de massa A, significando que neste nucleo existe
A nucleons interagindo fortemente. Logo para resolver o problema de A nucleons interagentes
utiliza-se a equacao de Schrodinger, para cada nucleon, porem ela nao possui uma solucao
exata quando A > 10 [51]. Um meio de resolver este problema e atraves de metodos apro-
ximativos, no qual em vez de considerar um sistema de partıculas interagindo fortemente
considera-se um conjuntode A nucleons interagindo fracamente e estes nucleons passam a se-
rem consideradas quasepartıculas. Este novo sistema de quasepartıculas pode ser aproximado
para um conjunto de quasepartıculas nao interagentes, de modo que a interacao residual seja
tratada como uma perturbacao.
Temos entao para o Hamiltoniano nuclear de muitos nucleons e dado pela soma da
energia cinetica (T) de todos os nucleons com a soma de todas as interacoes de pares de
partıculas dado pelo potencial, conforme a
H = T + V =A∑i=1
t(ri) +A∑
i,j=1i<j
v(ri, rj) =A∑i=1
−~2
2mN
∇2i +
A∑i,j=1i<j
v(ri, rj) (6.4)
Como o interesse e separar o hamiltoniano acima em duas partes, uma para o modelo
de partıcula unica e outra com a interacao residual, na qual, e o responsavel pela interacao
entre os nucleons, deve-se soma e subtrair na equacao (7.8), a soma de todos os potenciais sem
considerar o efeito de interacao par de partıculas, mas sim levando em consideracao o efeito de
um potencial medio de todo o sistema, gerando um hamiltoniano de partıcula independente
(hamiltoniano de campo medio HMF )
H = [T +A∑i
v(ri)] + [V −A∑i
v(ri)] ≡ HMF + VRES (6.5)
onde a interacao residual nao leva em conta os efeitos do potencial central.
VRES = V −A∑i
v(ri) =A∑
i,j=1i<j
v(ri, rj)−A∑i
v(ri) (6.6)
A aproximacao de campo medio considera que os nucleons estao sob efeito de um
campo externo criado por (A - 1) nucleons, de modo que o potencial externo e dado pela
media temporal em um curto intervalo de tempo ∆T , da interacao de um nucleon com todos
118
os outros, este potencial e descrito como
VMF =A∑i=1
1
∆T
∫ T+∆T
T
dtA∑
i,j=1i=j
v(r(t)i, r(t)j). (6.7)
Assim a aproximacao de campo medio para um sistema de muitos fermions interagindo for-
temente passa a ser um sistema de A nucleons nao interagentes onde agora se considera estes
nucleons como quase partıculas, numa regiao onde se apresenta um potencial externo v(ri),
que possibilita encontrar estados estacionarios de uma partıcula. Para isto deve-se resolver
a equacao de Schrodinger com o hamiltoniano da equacao (7.9), onde se resolve o hamilto-
niano de campo medio e a interacao residual e considerada como uma perturbacao. Para o
hamiltoniano do campo medio temos:
HMFψ0(r1, r2, ..., rA) = Eψ0(r1, r2, ..., rA) (6.8)
sendo que ψ0(r1, r2, ..., rA) e a funcao de onda de A nucleons. Por se tratar de um sistema de
fermions nao interagente podemos fazer a seguinte separacao de variaveis
ψ0(r1, r2, ..., rA) = ϕα1(r1)ϕα2(r2)...ϕαA(rA) (6.9)
levando a equacao (7.13) em (7.12), teremos “A” equacoes de Schrodinger para um sistema
de partıculas identicas, reduzindo a equacao (2.5) em
[−~2
2mN
∇2 + v(r)]ϕα(r) = εαϕα(r) (6.10)
para cada nucleon, de modo que a constante εα satisfaz a seguinte condicao
E =A∑i=1
εαi, (6.11)
com isso a equacao de Schrodinger torna-se possıvel de resolver, pois inves de ter uma equacao
para A nucleons, tem-se uma equacao de Schrodinger para cada nucleon, para o qual a solucao
geral do sistema e o produto de todas as funcoes de onda para a partıcula independente:
ψ0(r1, r2, ..., rA) =A∏i=1
ϕαi(ri) (6.12)
Deste modo a aproximacao de campo medio transforma um problema complicado de
119
muitos corpos em um problema simples de um unico corpo. Este metodo e conhecido como
Teoria de Hartree. Pode-se aperfeicoar o campo medio atraves da minimizacao da interacao
residual utilizando o principio variacional que minimizara a energia do estado fundamental,
E0, do nucleo
E0 = ⟨ψ0|H|ψ0⟩, onde H = T + VMF + VRES (6.13)
Como os nucleons sao partıculas fermionicas, ou seja, possuem spin semi-inteiro, o
conjunto das funcoes de onda devem estar antisimetrizada. A consideracao das funcoes de
onda antissimetrica e conhecida como teoria de Hatree-Fock, onde se aplica o operador de
antissimetrizacao A, que possui a finalidade de fazer permutacoes entre os nucleons. Logo a
funcao de onda antissimetrica e dada por:
ψ0(r1, r2, ..., rA) = A[A∏i=1
ϕαi(ri)] (6.14)
que pode ser representada em termos do determinante de Slater
Ψ =1√A!
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
ψ1(r1) ψ1(r2) . . . ψ1(rA)
ψ2(r1) ψ2(r2) . . . ψ2(rA)...
.... . .
...
ψA(r1) ψA(r2) . . . ψA(rA)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(6.15)
sendo que A representa o numero total de nucleons.
A equacao de Hatree-Fock e similar a equacao de Schrodinger, no entanto o que dife-
rencia e o potencial que ao inves de ser um potencial simples este potencial passa a ser um
funcional, a funcao de uma funcao, fazendo com que a equacao seja nao linear, tornando-se
mais complicado de resolver. A equacao de Hatree-Fock e dada por
−~2
2mN
∇2ϕα(r) + VH(F )(ϕi(r))ϕα(r) = εαϕα(r), i = 1,2, ...,A e α = 1,2, ...,∞. (6.16)
sendo o potencial um funcional de funcoes de onda descohecidas
V (r) → VH(F )(ϕi(r)). (6.17)
Desta forma esta equacao so possui solucao numerica, que e encontrada atraves do
metodo de recorrencia seguindo os seguintes passos. Primeiramente com o conjunto de funcoes
de onda de partıcula unica cria-se um potencial inicial V 0HF que e o potencial de campo medio,
120
em seguida utiliza-se este potencial para resolver a equacao de Schrodinger obtendo um novo
conjunto de funcoes de ondas ϕ1α(r)
∞α=1 e energias ε
(1)α , que a partir deste novo conjunto de
funcoes gera-se um novo potencial de Hatree-Fock V 1HFque sera utilizado novamente para
resolver a equacao de Hatree-Fock. Este processo e repetido ate haja a convergencia da
energia gerando um campo medio alto consistente v0HF (r) associado aos autoestados ϕα(r) e
as autoenergias εα todos simultaneamente.
6.1.3 Modelo de Camada Nuclear
Admitimos que os nucleons se movem de forma mais ou menos independentes uns dos
outros dentro do nucleo, no mesmo espırito do modelo do gas de Fermi. A diferenca e que
agora os nucleons nao sao tratados como partıculas livres mas sujeitos a um potencial central
nuclear que atua sobre os eletrons no atomo. Como nao se pode no caso atomico, identificar
o agente criador de um tal potencial, essa dificuldade e contornada supondo que cada nucleon
se move em um potencial medio criado pelos demais nucleons, potencial esse que deve ser
determinado de modo a melhor reproduzir resultados experimentais.
Partindo da Hamiltoniana exata para um problema de A corpos pode ser escrita como
H =A∑i
Ti(ri) + V (r1, ..., rA) (6.18)
onde T e o operador de energia cinetica e V a funcao potencial.
Se nos restringirmos a interacoes a dois corpos (nucleon-nucleon), assume a forma de
H =A∑i
Ti(ri) +∑i
∑j<i
Vij(ri, rj). (6.19)
Para o modelo, o nucleon i nao sente o potencial∑
Vij mas sim um potencial central
U(ri), que so depende das coordenadas do nucleon i. Esse potencial pode ser introduzido no
resultado como
H =A∑i
Ti(ri) +∑
U(ri) +Hres (6.20)
onde
Hres =∑i
∑i<j
Vij(rirj)−∑i
U(ri) (6.21)
Hres se refere as chamadas interacoes residuais, isto e, a parte do potencial V nao abrangido
121
pelo potencial central U. A ideia do modelo de camadas e que a contribuicao de Hres seja
pequena ou, de outra forma, que a Hamiltoniana do modelo de camadas,
H0 =A∑i=1
[Ti(ri) + U(ri)] (6.22)
represente com boa aproximacao a expressao exata H.
Partindo da equacao de Schroendinger para potenciais esfericos simetricos temos:
ϕ(r) = Rl(r)Ylm(θ, ϑ) ∴ Rl(r) (6.23)
e a solucao da equacao
1
r2d
dr(r2
d
dr) +
2µ
~2[E − V (r)− l(l + 1)~2
2µr2]Rl = 0 (6.24)
Onde µ e a massa reduzida dada por µ=A−1A
m∼=m, sendo m a massa nuclear. E e a
energia.
Pelas funcoes de Bessel e Neumann:
Besseu : jl(Kr) = (− rk)l(
d
rdr)l(sen(kr)
kr) (6.25)
Neumann : nl(kr) = (− rk)l(
1
r)l(−cos(kr)
Kr
) ∴ k =
√2µE
~(6.26)
Para o caso de jl(kr), aos seus zeros sao dispostos na seguinte ordem: 1s, 1p, 1d, 2s,
2p, 2d, 3s, 3p, 3d...
A notacao e nl, onde l e o numero quantico do momento angular e n a ordem em que
o zero aparece ao longo do eixo. Logo teremos para cada nıvel l, que havera 2l+1 valores
diferentes da componente magnetica.
Sendo assim, pela distribuicao dos nıveis de energia, o fato de que alguns nıveis sao
muito proximos uns dos outros, encaramos como constituindo uma camada no espaco das
energias (de momento) e cada camada e caracterizada pelo numero total de protons (ou
neutrons) que seus nıveis de energia sao capazes de aceitar. Logo as camadas sao caracteri-
zadas por esses numeros, e acrescidas dos numeros das demais camadas de energia abaixo.
Observando os efeitos de camada fechada, notamos que sao analogas aos numeros magicos
dos eletron atomico e por isso, “numeros magicos nucleares”.
Sendo afim de tornar mais realisticas os resultados, obtemos uma aproximacao que
fornece basicamente os mesmos resultados apenas com os nıveis levemente deslocado para
122
baixo, quando consideramos outros novos efeitos e comparando com o anterior.
Quando Green, resolveu testar com um novo numero quantico, o j, o termo spin-orbita,
obteve uma grande melhoria nos dados, sendo que os subnıveis de menor valor de j, desloca-
se para cima, e os de maior valor para baixo, notou-se tambem entrelacamento de alguns
subnıveis o que permitiu a reproducao correta dos numeros magicos.
6.1.4 Aproximacao de fases ao azar de quasepartıculas (QRPA)
Com a aproximacao de BCS estamos incluindo o campo medio Hp e Hn e uma parte
de curto alcance da interacao residual, a interacao de emparelhamento. A interacao residual
entre protons e neutrons sera incluida dentro do marco da aproximacao de fases ao azar de
quasepartıculas (pn-QRPA).
Aplicando a transformacao de Bogoliubov (3.20) para a interacao residual proton-
neutron
Hpn = H22pn +H04
pn +H40pn, (6.27)
com
H22pn =
∑pp′nn′
[< pn|V |p′n′ >A (upunup′un′ + vpvnvp′vn′)
− < pn′|V |p′n >A (upvnup′vn′ + vpunvp′un′)]α†pα
†nαn′αp′ ,
H04pn = H40
pn =∑pp′nn′
< pn|V |p′n′ >A upunvp′vn′α†pα
†nα
†n′α
†p′ . (6.28)
onde H22 representa a interacao de 2-protons-2-neutrons e H04 representa a interacao de zero-
proton-quatro-neutrons, ambos trabalhando no estado de quatro-quasepartıculas.
Dentro da QRPA os estados nucleares dos nucleos vizinhos impar-impar |JπαM⟩ se ob-
tem pela acao dos operadores com troca de carga Γ†(JπαM) sobre o estado fundamental cor-
relacionado exato |0⟩, |JπαM⟩ = Γ†(Jπ
αM)|0⟩. Nesta aproximacao o operador de excitacao na
representacao de bosons com bom momento angular esta dado por
Γ†(JπαM) =
∑pn
[XJπ
α(pn)A†
JM(pn)− YJπα(pn)AJM(pn)
], (6.29)
na base de operadores
A†JM(pn) = (α†
pα†n)JM , AJM(pn) = (−1)J+MAJ−M(pn). (6.30)
123
Neste operador de excitacao se introduz as correlacoes do estado fundamental medi-
ante as amplitudes YJπαvistas anteriormente que contemplam este estado fundamental po-
dendo existir quasepartıculas e que um estado excitado pode obter-se por aniquilacao de
quasepartıculas. A amplitude XJπαvista adiante corresponde a criacao quasepartıculas sobre
a componente BCS do estado fundamental. O vazio |0⟩ deve ser gerado na forma autoconsis-
tente aplicando a condicao Γ†(JπαM)|0⟩ = 0, para todo estado α com momento angular total
J e projecao M . Para chegar as equacoes de pn-QRPA partimos da equacao de movimento
[60]
⟨0|[δΓ(Jπ
α), [H,Γ†(Jπ
α)]]|0⟩ = ωJπ
α⟨0|
[δΓ(Jπ
α),Γ†(Jπ
α)]|0⟩, (6.31)
onde ωJπαe a energia de excitacao e δΓ(Jπ
α) representa uma variacao arbitraria do operador.
Para calcular as matrizes que entram na equacao de movimento (6.29) se assume: |0⟩ ≃ |BCS⟩;
conhecida como aproximacao quasebosonica Os operadores AJ±M(pn) se comportam dentro
desta aproximacao como bosons nos valores esperados dos comutadores, ou seja, eles cumprem
⟨0| [AJ±M(pn), AJ±M(p′n′)] |0⟩ ≃ 0,
⟨0|[A†
J±M(pn), A†J±M(p′n′)
]|0⟩ ≃ 0, (6.32)
⟨0|[AJM(pn), A†
JM(p′n′)]|0⟩ ≃ δpp′δnn′ .
Desta maneira, a equacao de movimento (6.29) nos conduz aos coeficientes XJπα(pn) e
YJπα(pn) e aos autovalores ωJπ
αcomo uma solucao do problema de autovalores
A B
B A
X
Y
= ω
X
−Y
, (6.33)
com
A(pnp′n′; J) = ⟨BCS|[AJ(pn), [H,A
†J(p
′n′)]]|BCS⟩
= (Ep + En)δpp′δnn′ + (upvnup′vn′ + vpunvp′un′)F (pnp′n′; J)
+ (upunup′un′ + vpvnvp′vn′)G(pnp′n′; J),
B(pnp′n′; J) = −⟨BCS| [AJ(pn), [H,AJ(p′n′)]] |BCS⟩
= (vpunup′vn′ + upvnvp′un′)F (pnp′n′; J)
+ (upunvp′vn′ + vpvnup′un′)G(pnp′n′; J), (6.34)
onde F e G sao , respectivamente, os elementos de matriz dos graus de liberdade da partıcula-
124
buraco e partıcula-partıcula para a interacao residual definidos como
G(pnp′n′; J) =< pn; J |V |p′n′; J >, F (pnp′n′; J) =< pn−1; J |V |p′n′−1; J > . (6.35)
Observemos que na aproximacao quasebosonica nos necessitamos conhecer a estrutura
do estado fundamental exato. Ainda com a pn-QRPA conseguimos o mesmo espectro de ener-
gia para os nucleos com numeros de protons e neutrons dados por (Z±1, N∓1). O problema
de autovalores nas equacoes de pn-QRPA tem a importante propriedade de obter a simetria de
um conjunto de autovalores ±ω, onde as energias ω positivas com autofuncoes (X,Y ) repre-
sentam o nucleo (Z + 1, N − 1) nestas que as energias ω negativas com autofuncoes (Y ∗, X∗)
representam o nucleo (Z − 1, N + 1), onde ambas autofuncoes tem o mesmo valor absoluto
da norma pela diferenca inscrita[60]. Sendo assim basta resolver uma unica equacao de au-
tovalores e extender as solucoes vistas a outros ramos com as consideracoes mencionadas.
Finalmente, as energias perturbadas na pn-QRPA estao definidas por
Eµ = ω + µ(λp − λn), (6.36)
onde µ = ±1 para o nucleo ha (Z ± 1, N ∓ 1).
6.1.5 Duplo Beta por QTDA
As amplitudes de decaimento por transicoes-β para estados excitados por interacoes
do tipo pn-QTDA para o estado fundamental de BCS pode ser tomada como
(BCS||β∓F/GT ||w) =
∑pn
XwpnM∓
F/GT (pnJ → BCS) (6.37)
Onde os elementos de matrizes apropriadas de Fermi(M∓F ) e Gamow-Telle(M∓
GT ) para
β− e β+ sao dados por
M(−)F (pnJ → BCS) = δJ0δpnjnvpun, (6.38)
M(−)GT (pnJ → BCS) = δJ1
√3vpunMGT (pn) (6.39)
M(+)F (pnJ → BCS) = δJ0δnpjpvnup, (6.40)
M(+)GT (pnJ → BCS) = −δJ1
√3vnupMGT (pn) (6.41)
125
para estado incial do nucleo par-par no estado fundamental, temos de modo similar;
(w||β∓F/GT ||BCS) =
∑pn
Xw∗pn M∓
F/GT (BCS → pnJ) (6.42)
utilizando das transicao de densidade nos elementos de matriz
(ab; J ||[c†ccd]λ||BCS) = δλJNab(J)J × [δcaδdbuavb − (−1)ja+jb+Jδcbδdaubva] (6.43)
resulta nas suas apropriadas transicoes dos elementos de matriz dadas por
M(−)F (BCS → pnJ) = δJ0δpnjnupvn, (6.44)
M(−)GT (BCS → pnJ) = δJ1
√3upvnMGT (pn), (6.45)
M(+)F (BCS → pnJ) = δJ0δnpjpunvp, (6.46)
M(+)GT (BCS → pnJ) = −δJ1
√3unvpMGT (pn). (6.47)
Dessa forma chegamos as formulas de correspondencia as k-transicoes unicas proibidas
obtidas fazendo as seguintes substiuicoes
M(∓)F/GT (pnJ → BCS) → M(∓)
Ku(pnJ → BCS), (6.48)
M(∓)F/GT (BCS → pnJ) → M(∓)
Ku(BCS → pnJ), (6.49)
onde os elementos de matriz sao trocados segundo
M(−)ku (pnJ → BCS) = δJ,K+1JvpunM(ku)(pn), (6.50)
M(+)ku (pnJ → BCS) = −δJ,K+1Jvnupθ
kM(ku)(pn), (6.51)
onde θ(k) e o fator de fase; θ(k) = (−1)K convensao de fase de Condon-Shortley; se θ(k) = 1
convensao de fase de Biedenharn-Rose. De novo fazendo a troca de u↔ v. As duas direcoes
de decaimento sao relatadas como
M(+)ku (BCS → pnJ) = −θkM(∓)
ku (pnJ → BCS). (6.52)
126
Tabela 6.1: Forcas de transicao duplo-β−, do tipo Sββ−
F Fermi e do tipo Sββ−
GT Gamow-Teller e osdenominadores de energia, D4 (em MeV), para os 20 estados finais 0+ no espaco-ph pelos codigosQ77 e Q82. As s.p.e sao para 40Ca corrigido para representar 48Ca. Os paramentros vs = 40 evt = 60 (em MeV/fm3) usados ambos nos canais de interacao pp e ph na interacao-δ residual.
Q77 Q82
St D4 Sββ−
F Sββ−
GT D4 Sββ−
F Sββ−
GT
1 21.256 0.408 72.606 22.180 0.067 79.8332 19.066 0.137 0.292 19.139 0.047 0.1543 17.425 0.221 0.010 17.484 0.103 0.1884 16.856 0.681 0.508 16.895 0.058 0.5755 15.938 0.027 0.243 16.081 0.007 0.2026 15.126 0.142 0.098 15.567 0.010 0.2187 14.230 0.164 0.856 14.370 0.363 9.5198 13.412 3.796 0.325 13.883 0.863 17.3199 12.779 97.118 1.521 13.710 0.279 12.18410 12.162 5.752 24.499 11.719 2.927 1.10111 11.187 2.854 19.688 11.588 0.010 1.00512 10.795 0.039 1.190 10.307 0.035 0.00013 10.304 0.010 0.434 9.633 0.002 0.02114 9.508 0.068 0.032 9.493 1.655 0.22115 9.049 0.344 0.209 8.501 54.412 0.07816 8.047 0.146 0.000 7.618 49.144 0.25717 6.939 0.076 0.224 6.911 0.904 0.30918 4.472 0.007 2.905 4.801 0.757 2.44419 3.247 0.001 0.038 3.433 0.114 0.00120 −3.849 0.008 0.036 −3.983 0.243 0.084
6.2 Apendice B - Dados Numericos obtidos pelas simulacoes
Aqui de maneira mais simplificada, exibimos nossos dados numericos obtidos durante
o processo de simulacao utilizando o codigo FQTDA (Q82), que se fizeram necessarios para
desenvolvimentos deste trabalho.
127
Tabela 6.2: As componentes da funcao de onda de Yp1p2n1n2J para o estado final 0+ no espaco-phcom maior contribuicao da forca de F ββ. A proxima notacao e usada para as configuracoes departıcula simples: 134 ≡ 1f7/2, 133 ≡ 1f5/2, 212 ≡ 2p3/2 e 211 ≡ 2p1/2.
Config Yp1p2n1n2J
St n1 n2 p1 p2 J+ 9 (Q77) 15 (Q80) 16 (Q80)1 134 134 134 134 0 −0.209 0.256 0.0042 134 134 133 133 0 0.200 0.004 0.2393 134 134 212 212 0 −0.095 −0.490 0.5154 134 134 211 211 0 0.071 −0.133 0.1845 134 134 134 134 2 −0.371 0.217 0.3276 134 134 134 133 2 −0.046 −0.047 0.0397 134 134 134 212 2 −0.020 0.175 0.0048 134 134 133 133 2 −0.174 0.054 −0.0279 134 134 133 212 2 −0.097 0.029 −0.01110 134 134 133 211 2 −0.110 0.051 −0.01711 134 134 212 212 2 −0.025 0.103 −0.06012 134 134 212 211 2 0.092 −0.111 0.07213 134 134 134 134 4 −0.522 0.382 0.40514 134 134 134 133 4 −0.052 −0.097 0.14515 134 134 134 212 4 −0.035 0.317 −0.37416 134 134 134 211 4 0.067 −0.005 0.08417 134 134 133 133 4 −0.072 0.021 −0.01518 134 134 133 212 4 0.002 0.071 −0.07619 134 134 134 134 6 −0.644 0.499 0.43120 134 134 134 133 6 0.003 0.239 −0.042
128
Tabela 6.3: Componentes da funcao de onda Yp1p2n1n2J para estado final do fundamental 0+ noespaco-ph. Mesma parametrizacao pp e ph como na Tabela (6.2).
Conf Yp1p2n1n2J
St n1 n2 p1 p2 J+ 20 (Q77) 20(Q82)1 134 134 134 134 0 0.922 0.9172 134 134 133 133 0 0.211 0.2053 134 134 212 212 0 0.138 0.1344 134 134 211 211 0 0.076 0.0745 134 134 134 134 2 −0.226 −0.2366 134 134 134 133 2 0.055 0.0477 134 134 134 212 2 −0.087 −0.0868 134 134 133 133 2 −0.026 −0.0269 134 134 133 212 2 −0.010 −0.01110 134 134 133 211 2 −0.017 −0.01811 134 134 212 212 2 −0.013 −0.01312 134 134 212 211 2 0.016 0.01513 134 134 134 134 4 −0.093 −0.12214 134 134 134 133 4 0.052 0.04415 134 134 134 212 4 −0.028 −0.03116 134 134 134 211 4 0.034 0.03317 134 134 133 133 4 −0.009 −0.00918 134 134 133 212 4 −0.009 −0.01019 134 134 134 134 6 −0.025 −0.07520 134 134 134 133 6 0.064 0.058
129
Tabela 6.4: Forcas de transicao duplo-β−, do tipo Sββ−F Fermi e do tipo Sββ−GT Gamow-Teller e osdenominadores de energia, D4 (em MeV), para os 20 estados finais 0+ pelo codigo Q82 para espaco-phe espaco “reduzido”(RED). As s.p.e. sao para 40Ca corrigido para representar 48Ca. Os parametrosvs=40 e vt=60 (em MeV/fm3) usados ambos nos canais de interacao pp e ph na interacao-δ residual.
Q82[PH] Q82[RED]
St D4 Sββ−
F Sββ−
GT D4 Sββ−
F Sββ−
GT
1 20.510 0.021 82.389 38.531 0.029 53.8782 17.028 0.030 0.099 33.732 0.003 0.0103 15.369 0.052 0.274 31.334 0.029 2.2454 14.689 0.020 0.630 30.656 1.027 19.0365 13.977 0.003 0.153 29.517 1.080 2.9896 13.614 0.003 0.289 28.323 0.428 0.2747 12.399 0.815 22.007 28.122 0.324 0.3308 11.973 0.593 11.815 26.805 0.867 0.0219 11.658 0.106 3.360 26.592 0.182 0.00910 9.828 1.296 1.254 26.399 0.164 0.07811 9.625 0.211 0.315 25.003 50.930 0.12012 7.934 0.006 0.016 24.848 5.914 0.02413 7.533 0.124 0.019 24.471 1.632 0.00714 7.344 0.526 0.152 23.765 2.927 0.02515 6.250 4.932 0.022 22.490 0.074 0.63516 4.588 0.044 0.220 21.630 1.074 0.56617 4.121 88.300 1.067 20.936 0.020 0.20918 2.716 12.667 1.562 19.628 0.001 0.02019 1.398 1.089 0.001 18.913 0.526 0.00020 −5.574 1.163 0.069 13.535 0.217 0.026
130
Tab
ela6.5:
AscomponentesdafuncaodeondaY
p1p2n1n2Jpara
oestadofinal0+
noespaco-pheparaespaco
“reduzido”,com
maior
contribuicao
da
amplitudedeFββ.
[F]
Con
fYp1p2n1n2J
Yp1p2n1n2J
St
n1
n2
p 1p 2
J+
17(Q
82)[PH]
18(Q
82)[PH]
12(Q
82)[RED]
11(Q
82)[RED]
1134
134
134
134
00.234
−0.034
−0.225
0.073
2134
134
133
133
00.183
−0.027
−0.126
0.094
3134
134
212
212
00.161
0.057
0.166
0.288
4134
134
211
211
00.070
0.016
0.048
-0.312
5134
134
134
134
20.586
−0.338
−0.465
-0.087
6134
134
134
133
2−0.001
0.128
−0.032
0.091
7134
134
134
212
20.068
−0.277
0.103
0.390
8134
134
133
133
20.027
−0.051
−0.021
0.009
9134
134
133
212
20.012
−0.034
−0.119
-0.145
10134
134
133
211
20.013
−0.028
−0.027
0.031
11134
134
212
212
20.001
−0.014
0.324
0.343
12134
134
212
211
2−0.002
0.012
0.016
-0.149
13134
134
134
134
40.542
−0.138
−0.473
0.141
14134
134
134
133
40.128
−0.184
−0.094
-0.225
15134
134
134
212
4−0.127
0.014
0.113
0.223
16134
134
134
211
40.028
0.076
−0.032
-0.457
17134
134
133
133
40.010
−0.021
−0.025
-0.021
18134
134
133
212
4−0.018
0.011
−0.073
-0.060
19134
134
134
134
60.424
0.828
−0.531
0.351
20134
134
134
133
60.157
−0.193
−0.144
0.143
131
Tab
ela6.6:
AscomponentesdafuncaodeondaY
p1p2n1n2Jpara
oestadofinal0+
noespaco-pheparaespaco
“reduzido”,com
maior
contribuicao
da
amplitudedeGT
ββ.
[GT]
Con
fYp1p2n1n2J
Yp1p2n1n2J
St
n1
n2
p 1p 2
J+
1(Q
82)[PH]
7(Q
82)[PH]
1(Q
82)[RED]
4(Q
82)[RED]
1134
134
134
134
0−0.010
−0.100
−0.014
0.138
2134
134
133
133
00.325
−0.125
0.343
-0.015
3134
134
212
212
0−0.033
0.120
−0.022
0.022
4134
134
211
211
0−0.039
0.239
−0.019
-0.133
5134
134
134
134
20.010
−0.178
0.004
0.214
6134
134
134
133
2−0.122
0.189
−0.127
-0.174
7134
134
134
212
2−0.020
0.054
−0.015
0.043
8134
134
133
133
20.650
0.286
0.654
-0.328
9134
134
133
212
2−0.021
−0.180
−0.013
0.252
10134
134
133
211
2−0.015
−0.081
−0.002
-0.320
11134
134
212
212
2−0.022
0.430
−0.013
0.054
12134
134
212
211
20.047
0.065
0.021
0.089
13134
134
134
134
40.008
−0.108
0.004
0.137
14134
134
134
133
4−0.230
0.474
−0.229
-0.543
15134
134
134
212
4−0.011
0.055
−0.008
0.019
16134
134
134
211
40.014
−0.015
0.007
0.076
17134
134
133
133
40.573
0.220
0.561
-0.112
18134
134
133
212
4−0.023
0.182
−0.008
-0.002
19134
134
134
134
6−0.030
0.103
−0.032
-0.104
20134
134
134
133
6−0.261
0.438
−0.261
-0.507
132
Tabela 6.7: As componentes da funcao de onda Yp1p2n1n2J para o estado fundamental 20+ no espaco-ph e para espaco “reduzido”, com maior contribuicao da amplitude de ββ.
Conf Yp1p2n1n2J
St n1 n2 p1 p2 J+ 20 (Q82)[PH] 20 (Q82)[RED]1 134 134 134 134 0 0.907 0.8622 134 134 133 133 0 0.172 0.2113 134 134 212 212 0 0.073 0.2804 134 134 211 211 0 0.035 0.0905 134 134 134 134 2 −0.298 −0.2546 134 134 134 133 2 0.057 0.0617 134 134 134 212 2 −0.088 −0.1678 134 134 133 133 2 −0.024 −0.0359 134 134 133 212 2 −0.009 −0.02210 134 134 133 211 2 −0.013 −0.02711 134 134 212 212 2 −0.007 −0.04812 134 134 212 211 2 0.007 0.04013 134 134 134 134 4 −0.151 −0.10614 134 134 134 133 4 0.051 0.05115 134 134 134 212 4 −0.031 −0.04316 134 134 134 211 4 0.030 0.03617 134 134 133 133 4 −0.007 −0.01118 134 134 133 212 4 −0.007 −0.01919 134 134 134 134 6 −0.097 −0.04920 134 134 134 133 6 0.065 0.060
133
Tab
ela6.8:Observa-seaquebra
dasenergiaspara
o1estadomais
excitadoduplo-β+
para
paramentros
dev s=40,v t=60
paraFermi.
Lem
brandoqueo
estadodedecaim
ento
duplo-β−
permaneceu
nulo.
SPIN
FinalState
D4
Doubleβ
−[82]
BCS
red
[SET1]
D4
Doubleβ
−[82]
BCS
red
[SET2]
D4
Doubleβ
−[82]
BCS
red
[SET3]
01
38.220
0.050
32.081
0.021
27.757
0.008
02
33.716
0.003
27.817
0.100
23.856
0.029
03
31.233
0.102
26.653
2.802
22.558
0.424
04
30.429
0.995
26.566
9.637
22.211
8.434
05
29.437
1.515
25.384
12.490
21.200
10.885
06
28.180
0.877
24.492
36.853
20.534
8.784
07
27.942
0.930
24.405
0.126
20.172
0.899
08
26.778
3.098
24.009
1.262
19.543
0.114
09
26.645
1.183
23.426
3.624
19.088
0.395
010
26.332
1.675
22.920
0.504
18.768
0.111
011
25.922
5.161
22.488
0.006
18.344
0.002
012
24.771
0.350
22.369
0.112
17.958
0.145
013
24.317
0.115
21.542
0.740
17.230
0.119
014
23.751
0.682
21.389
0.232
17.130
0.002
015
22.350
0.066
20.561
0.156
16.012
0.001
016
21.688
0.313
19.831
0.192
15.324
0.077
017
20.909
0.018
19.220
0.005
14.669
0.002
018
19.547
0.000
18.072
0.001
13.585
0.002
019
18.683
0.238
17.117
0.244
12.517
0.058
020
13.160
0.075
12.565
0.122
8.587
0.044
134
Tab
ela6.9:
Observa-se
aquebra
dasenergiaspara
o1estadomais
excitadoduplo-β+
para
paramentros
dev s=40,v t=60
paraGT.Lem
brandoqueo
estadodedecaim
ento
duplo-β−
permaneceu
nulo.
SPIN
FinalState
D4
Doubleβ
−[82]
BCS
red
[SET1]
D4
Doubleβ
−[82]
BCS
red
[SET2]
D4
Doubleβ
−[82]
BCS
red
[SET3]
11
38.220
53.173
32.081
70.771
27.757
39.155
12
33.716
0.027
27.817
0.037
23.856
0.032
13
31.233
1.674
26.653
1.209
22.558
0.092
14
30.429
18.942
26.566
13.914
22.211
6.739
15
29.437
4.036
25.384
0.169
21.200
0.012
16
28.180
0.367
24.492
0.758
20.534
1.065
17
27.942
0.477
24.405
0.074
20.172
0.058
18
26.778
0.008
24.009
0.033
19.543
0.003
19
26.645
0.014
23.426
0.002
19.088
0.028
110
26.332
0.081
22.920
0.085
18.768
0.055
111
25.922
0.041
22.488
0.051
18.344
0.004
112
24.771
0.042
22.369
0.193
17.958
0.202
113
24.317
0.012
21.542
0.143
17.230
0.049
114
23.751
0.024
21.389
0.071
17.130
0.003
115
22.350
0.607
20.561
0.203
16.012
0.146
116
21.688
0.581
19.831
0.069
15.324
0.012
117
20.909
0.342
19.220
0.087
14.669
0.035
118
19.547
0.023
18.072
0.009
13.585
0.001
119
18.683
0.001
17.117
0.007
12.517
0.005
120
13.160
0.029
12.565
0.002
8.587
0.000
135
6.3 Apendice C - Correcao da Programacao numerica no codigo FQTDA
Dados os objetivos da pesquisa, nosso levantamento biblioGrafico apontou dois autores
de especial interesse. Os trabalhos realizados por Francisco Krmpotic [4, 32, 59, 61] et al.
[69, 70, 80], e os de Ram Raj et al. [57, 58]. Segundo ambos trabalhos, o elemento de matriz
nuclear H22 entre estados de 4-quasepartıculaS, resulta:
⟨0|[A†(n1n2J)A†(p1p2J)
]†0H22
[A†(n′
1n′2J
′)A†(p′1p′2J
′)]0 |0⟩
= −N(n1n2)N(n′1n
′2)N(p1p2)N(p′1p
′2)P (n1n2J)P (n
′1n
′2J
′)P (p1p2J)P (p′1p
′2J
′)δp2p′2δn2n′2
×∑Jx
J2x J J
′(−)p2+p1+n2+n′1+Jx
J p2 p1
p′1 Jx J ′
J n2 n1
n′1 Jx J ′
H(p1p′1n1n
′1Jx) (6.53)
com
N(p1p2) =1√
1 + δp1p2, P (p1p2J) = 1− (−)p1+p2+JP (p1 ↔ p2) (6.54)
e
H(pp′nn′Jx) = F (pp′n′nJx)(upunup′un′ + vpvnvp′vn′)
+ (−)n+n′−JxF (pp′nn′Jx)(upvnup′vn′ + vpunvp′un′). (6.55)
Em Outubro de 2013, encontramos uma incompatibilidade na programacao das for-
mulas (6.53) no codigo chamado QTDA77.f, onde observamos que esse codigo nao era capaz
de reproduzir o limite-ph para o 48Ca.
A incompatibilidade estava na expressao numerica codificada para H(pp′nn′Jx), que
nao reproduzia o limite ph-QTDA para 48Ca. Foi necessaria a alteracao da expressao usado
dada como HPNPN(P1,P3,N1,N3,J3) por HPNPN(N1,P1,N3,P3,J3). Dessa forma, modifi-
camos a ordem para (npn’p’) na funcao HPNPN(IN,IP,INP,IPP,ISPIN). Afim de aumentar
a confiabilidade nos calculos, verificamos todas as sub-rotinas relativas ao H(pp′nn′Jx), e se
seus elementos de matriz estao de acordo com a interacao residual H22 entre dois estados de
136
4-quasepartıculas. Temos para os elementos de matriz dados por:
⟨0|[A†(n1n2J)A†(p1p2J)
]†0H22
[A†(n′
1n′2J
′)A†(p′1p′2J
′)]0 |0⟩
= −N(n1n2)N(n′1n
′2)N(p1p2)N(p′1p
′2)P (n1n2J)P (n
′1n
′2J
′)P (p1p2J)P (p′1p
′2J
′)δp2p′2δn2n′2
×∑Jx
J2x J J
′(−)p2+p1+n2+n′1+Jx
J p2 p1
p′1 Jx J ′
J n2 n1
n′1 Jx J ′
H(p1p′1n1n
′1Jx) (6.56)
No codigo TDA3.f, que usa FUNCTION F4AUX(P1,P2,N1,N2,J1,P3,P4,N3,N4,J2)
com elementos de matriz FPNPN(N1,P1,N3,P3,J3) ao inves do FPNPN(P1,N1,P3,N3,J3),
e pelo QTDA7.f, os elementos de matriz sao avaliados com ajuda de uma funcao auxiliar
F4AUX, que contem outra definicao anterior a esta. A expressao e dada pelo TDA3.f como
⟨0|[A†(n1n2J1)A†(p1p2J1)]†0H22[A†(n′
1n′2J
′1)A†(p′1p
′2J
′1)]
0|0⟩
= N(n1n2)N(p1p2)N(n′1n
′2)N(p′1p
′2)J1J
′1P (p1p2J1)P (p
′1p
′2J
′1)P (n1n2J1)P (n
′1n
′2J
′1)δn2n′
2δp2p′2
×(−)n2+p1+J1+n′2+p′1+J ′
1
∑J3
J23
n1 n2 J1
p2 p1 J3
n′
1 n′2 J ′
1
p′2 p′1 J3
F (n1p1n′1p
′1; J3), (6.57)
trabalhando em paralelo e substituindo (J1, J′1, J3) por (J, J
′, Jx), respectivamente temos:
⟨0|[A†(n1n2J)A†(p1p2J)
]†0H22
[A†(n′
1n′2J
′)A†(p′1p′2J
′)]0 |0⟩
= −N(n1n2)N(n′1n
′2)N(p1p2)N(p′1p
′2)P (n1n2J)P (n
′1n
′2J
′)P (p1p2J)P (p′1p
′2J
′)δp2p′2δn2n′2
×∑Jx
J2x J J
′(−)p2+p1+n2+n′1+Jx
J p2 p1
p′1 Jx J ′
J n2 n1
n′1 Jx J ′
H(p1p′1n1n
′1Jx) (4.4)
e
⟨0|[A†(n1n2J)A†(p1p2J)]†0H22[A†(n′
1n′2J
′)A†(p′1p′2J
′)]0|0⟩
= N(n1n2)N(p1p2)N(n′1n
′2)N(p′1p
′2)P (p1p2J)P (p
′1p
′2J
′)P (n1n2J)P (n′1n
′2J
′)δn2n′2δp2p′2
×(−)n2+p1+J+n′2+p′1+J ′ ∑
Jx
J2x J J
′
n1 n2 J
p2 p1 Jx
n′
1 n′2 J ′
p′2 p′1 Jx
F (n1p1n′1p
′1; Jx), (4.5)
Onde o H(pp′nn′J) e dado por:
H(pp′nn′Jx) = F (pp′n′nJx)(upunup′un′ + vpvnvp′vn′)
+ (−)n+n′−JxF (pp′nn′Jx)(upvnup′vn′ + vpunvp′un′). (6.58)
137
e dentro da limite-ph: vp → 0, vn → 1 e up → 1, un → 0, o H vai para:
H(pp′nn′Jx)ph−limit → (−)n+n′−JxF (pp′nn′Jx)(upvnup′vn′),
= (−)n+n′−JxF (pp′nn′Jx) (6.59)
Em seguida, a introducao do limite e possivel notar que (−)p2+p1+n2+n′1+n1+n′
1−Jx =
(−1)(−)p2+p1+n2+n1 pois (−)2n′1 = (−1) devido que n′
1 e semi-inteiro. Este(-1) cancela o outro
(-1) da frente da equacao.
⟨0|[A†(n1n2J)A†(p1p2J)
]†0H22
[A†(n′
1n′2J
′)A†(p′1p′2J
′)]0 |0⟩ →limite ph
N(n1n2)N(n′1n
′2)N(p1p2)N(p′1p
′2)P (n1n2J)P (n
′1n
′2J
′)P (p1p2J)P (p′1p
′2J
′)δp2p′2δn2n′2
×(−)p2+p1+n2+n1
∑Jx
J2x J J
′
J p2 p1
p′1 Jx J ′
J n2 n1
n′1 Jx J ′
F (p1p′1n1n
′1Jx) (4.4′)
Comparando a equacao acima Eq.(4.4’) com a demonstrada abaixo Eq.(4.5)
⟨0|[A†(n1n2J)A†(p1p2J)]†0H22[A†(n′
1n′2J
′)A†(p′1p′2J
′)]0|0⟩ =
N(n1n2)N(p1p2)N(n′1n
′2)N(p′1p
′2)P (p1p2J)P (p
′1p
′2J
′)P (n1n2J)P (n′1n
′2J
′)δn2n′2δp2p′2
× (−)n2+p1+J+n′2+p′1+J ′ ∑
Jx
J2x J J
′
n1 n2 J
p2 p1 Jx
n′
1 n′2 J ′
p′2 p′1 Jx
F (n1p1n′1p
′1; Jx), (4.5)
obtemos os seguintes pontos de analise
1. Os elementos de matriz F de partıcula-buraco sao diferentes F (p1p′1n1n
′1Jx) = F (n1p1n
′1p
′1; Jx).
Estas expressoes tambem sao diferentes no ’delta.tex ’ e eles foram codificados de uma
forma diferente, tal que FPPNN(IP, IPP, IN, INP, ISPIN )= FPNPN(IN, IP, INP,
IPP, ISPIN).
2. A ordem do acoplamento 6j nao e a mesma:
J p2 p1
p′1 Jx J ′
J n2 n1
n′1 Jx J ′
=
n1 n2 J
p2 p1 Jx
n′
1 n′2 J ′
p′2 p′1 Jx
(6.60)
3. Os sinais das fases nas equacoes acima tambem se mostram diferentes. Temos abaixo
uma tabela em que podemos descrever essa comparacao das fases das equacoes:
138
Fase (1′) Fase (F.29)
(−)p2+p1+n2+n1 (−)n2+p1+J+n′2+p′1+J ′
(−)(p′1−J+p1+n2)+n1 (−)(p
′1+J+p1+n2)+n′
2+J ′
onde a relacao triangular para p2 (p′1, p2, J′) e aplicada ao 6j. No entanto, nenhuma
das relacoes triangulares disponıveis para n1: (J, n2, n1) e (n′1, Jx, n1) no simbolo de 6j,
poderia ser utilizado para reduzir a expressao e obter a fator de fase na equacao (F29).
4. Temos pelas Eq. (1) e Eq. (4.5)[58], que foi expandida o resultado em uma adicao de 16
termos. Mostrado no Apendice B. Nos adotamos Eq.(F29) em TDA3.f e estes termos
de adicao estao sendo utilizados em F4AUXQTDA7 definida como sendo a funcao
F4AUXQTDA7 = (−)n2+p1+J1+n′2+p′1+J ′
1∑
J3J23
n1 n2 J1
p2 p1 J3
n′
1 n′2 J ′
1
p′2 p′1 J3
F (n1p1n
′1p
′1; J3). (6.61)
Esta funcao e diferente da funcao F4AUX(6.61), sendo agora definida a partir de (6.56)
(Eq. (4.5) [58]):
F4AUX = −∑Jx
J2x(−)p2+p1+n2+n′
1+Jx
J p2 p1
p′1 Jx J ′
J n2 n1
n′1 Jx J ′
H(p1p′1n1n
′1; Jx)
= (−)p2+p1+n2+n1+1∑Jx
J2x
J p2 p1
p′1 Jx J ′
J n2 n1
n′1 Jx J ′
H(p1p′1n1n
′1; Jx), (6.62)
onde a relacao triangular(n′1, Jx, n1) tem sido usada no fator de fase como n′
1+Jx = n1..
5. O fator F4I(15) esta errado na formula para a soma da funcao sobre o FUNCTION
F4(I,J).
Desse modo, optou-se por (6.56) para codificar a Eq.(6.56) utilizando a funcao cor-
reta de F(pp′nn′Jx); para (2,3,4) como podemos nao reorganizar os simbolos-6j de forma a
satisfazer a igualdade, e nao obter o mesmo fator de fase, temos depois uma nova funcao
codificada para F4AUX. Em resumo, demosntrou que a Eq.(4.4’) e (4.5) nao sao consistentes,
dessa forma, nos modificamos o codigo de acordo com a Eq.(4.4), a mesma encontrada nos
trabalhos de Raj et al.[58].
139
6.4 Apendice D - Resolucoes Auxiliares para o limite-ph no 48Ca
Observamos pelas analises dos dados de nossa Referencia [32], queremos reproduzir os
dados encontrados, nos deparamos com algumas peculialidades:
1) Calculando F4AUX para o primeiro termo da matriz E4 de energia, temos:
E4(I, J) → E4(1, 1)
I = 1 → P1 = 1 P2 = 1 N1 = 1 N2 = 1 J1 = 0 (6.63)
J = 1 → P3 = 1 P4 = 1 N3 = 1 N4 = 1 J2 = 0
Onde J3 = J1 + J2 e J =√2J + 1 logo temos os seguintes estado possiveis:
J =7
2+
7
2= 7
J =7
2− 7
2= 0 (6.64)
daı segue: J=0+, 1+, 2+, 3+, 4+, 5+, 6+, 7+ com π = (−1)l = (−1)3.(−1)3 = +1 temos que o
QTDA80 nos indica que F4AUX e calculado como:
F4AUX = Jx2
J P2 P1
P ′1 Jx J ′
.
J N2 N1
N ′1 Jx J ′
.F (PP ′N ′N, Jx).(−1)n2+p1+n′2+p′1+Jx
(6.65)
Sendo ainda F(PP’N’N,Jx)1 dado como:
F (PP ′N ′N, Jx) =R
4(−1)lp+l′p [(vs + vt)H(pp′Jx)H(nn′Jx)
+(−vs(−1)lp+l′p+Jx + vt(2 + (−1)lp+l′p+Jx)]G(pp′Jx)G(nn′Jx) (6.66)
sendo ainda H(abJ) dado como:
h(abJ) = (−1)jp+lp JaJb
Ja Jb J
m1 m2 m
(6.67)
h(abJ) = (−1)jp+lp JaJb
Ja Jb J
12
12
−1
(6.68)
1Estes resultados foram obtidos com a antiga funcao F(PP’N’N,Jx) que na realidade se corresponde comF (pnp′nn′, Jx). Deveriam se refazer estes numeros para a correta F (pp′nn′, Jx). Como a intencao de fazereste apendice foi revisar os elementos de matriz do antigo codigo QTDA7.f, o procedimento e aceitavel.
140
para G(abJ) temos:
g(abJ) = (−1)ja−12+la JaJb
Ja Jb J
m1 m2 m
(6.69)
g(abJ) = (−1)ja−12+la JaJb
Ja Jb J
12
−12
0
(6.70)
sendo assim, temos para os calculos de E4(1,1):
Jx = J1 + J2 = 0 + 0 = 0 (6.71)
Jx2= JxJx (6.72)
Jx2= (
√2(0) + 1)2 = (
√1)2 = 1 (6.73)
temos para nosso 6J: j1 j2 j3
0 j3 j2
= (−1)j1+j2+j3 [(2j2 + 1)(2j3 + 1)]−12 (6.74)
0 72
72
72
0 0
=
72
72
0
0 0 72
=−1
2√2
(6.75)
logo para nosso F4AUX temos:
F4AUX = (1)
72
72
0
0 0 72
7
272
0
0 0 72
F (7
2
7
2,7
2
7
2, 0).(−1)
72+ 7
2+ 7
2+ 7
2+0 (6.76)
F4AUX = (−1
2√2)(
−1
2√2)F (
7
2
7
2,7
2
7
2, 0).(−1)14 (6.77)
F4AUX = (1
8)F (
7
2
7
2,7
2
7
2, 0) (6.78)
Agora calculando nosso F(7272, 7272, 0)
F (PP ′N ′N, Jx) = F (7
2
7
2,7
2
7
2, 0)
=R
4(−1)3+3[(vs+vt)H(
7
2
7
2, 0)H(
7
2
7
2, 0)+(−vs(−1)3+3+0+vt(2+(−1)3+3+0)]G(
7
2
7
2, 0)G(
7
2
7
2, 0)
141
F (7
2
7
2,7
2
7
2, 0) =
R
4(−1)6[(vs+vt)H(
7
2
7
2, 0)H(
7
2
7
2, 0)+(−vs(−1)6+vt(2+(−1)6)]G(
7
2
7
2, 0)G(
7
2
7
2, 0)
=R
4[(vs + vt)H(
7
2
7
2, 0)H(
7
2
7
2, 0) + (−vs + vt(3))]G(
7
2
7
2, 0)G(
7
2
7
2, 0)
=R
4[(vs + vt)H(
7
2
7
2, 0)H(
7
2
7
2, 0) + (3vt − vs)]G(
7
2
7
2, 0)G(
7
2
7
2, 0) (6.79)
Logo para H(7272,0) temos:
h(7
2
7
2, 0) = (−1)
72+3
√2(7
2) + 1
√2(7
2) + 1
72
72
0
12
12
−1
(6.80)
onde por 3J temos que: 72
72
0
12
12
−1
= 0 (6.81)
uma vez que nao se cumple a relacao de triangulacao.
Da mesma forma para G(7272, 0) temos pelo 3J:
g(7
2
7
2, 0) = (−1)
72− 1
2+3
√27
2+ 1
√7
2+ 1
72
72
0
12
−12
0
7
272
0
12
12
−1
= (−1)72− 1
2 (27
2+ 1)
−12 = (−1)3(8)
−12 =
−1
2√2
(6.82)
logo G(7272,0) assume:
g(7
2
7
2, 0) = (−1)3+3
√8√8(
−1
2√2)
g(7
2
7
2, 0) = (−1)6(8)(
−1
2√2)
g(7
2
7
2, 0) = (
−8
2√2) (6.83)
142
Retornando ao calculo de F(PP’N’N,Jx), temos:
F (PP ′N ′N, Jx) = F (7
2
7
2,7
2
7
2, 0) =
R
4[(vs + vt)H(
7
2
7
2, 0)H(
7
2
7
2, 0) + (3vt − vs)]G(
7
2
7
2, 0)G(
7
2
7
2, 0)
=R
4[(vs + vt)(0).(0) + (3vt − vs)]G(
7
2
7
2, 0)G(
7
2
7
2, 0)
=R
4[(3vt − vs)](
−8
2√2)(
−8
2√2)
=R
4[(3vt − vs)](
64
8)
=8R
4[(3vt − vs)]
= 2R[(3vt − vs)] (6.84)
sendo pelas nossas configuracoes, onde adotamos vs = 35 e vt = 65 e R=0.022056090, obtemos:
F (PP ′N ′N, Jx) = F (7
2
7
2,7
2
7
2, 0) = 2R[(3vt − vs)] =
= 2(0.022056090)[(3(65)− 35)] = 0.04411218(195− 35) = 0.04411218(160)
F (PP ′N ′N, Jx) = F (7
2
7
2,7
2
7
2, 0) = 7.0579488 (6.85)
Temos entao para nosso F4AUX:
F4AUX = (1
8)F (
7
2
7
2,7
2
7
2, 0) (6.86)
logo;
F4AUX = (1
8)(7.0579488) =
F4AUX = 0.8822436 (6.87)
Da mesma forma, temos para vs = 40 e vt = 60:
F (7
2
7
2,7
2
7
2, 0) =
0.022056090
4{(3(60)− 40)× 7.99984} =
= 5.5140225.10−3 (140× 7.99984) =
F (7
2
7
2,7
2
7
2, 0) = 6.175581686
F4AUX =F (7
272, 7272, 0)
8= 0.77194771 (6.88)
por fim temos que nosso F4 e dado como:
143
F4=√1√1× F4AUX = 1 ×0.77194771 = 0.77194771 , onde F4 ×16= 12.35136
2) Realizando os mesmos calculos, agora para E4(1,5):
E4(I, J) → E4(1, 5)
I = 1 → P1 = 1 P2 = 1 N1 = 1 N2 = 1 J1 = 0 (6.89)
J = 5 → P3 = 1 P4 = 1 N3 = 1 N4 = 1 J2 = 2 (6.90)
Onde J3 = J1 + J2 e J =√2J + 1 logo temos os seguintes estado possiveis:
J =7
2+
7
2= 7
J =7
2− 7
2= 0 (6.91)
daı segue: J=0+, 1+, 2+, 3+, 4+, 5+, 6+, 7+ com π = (−1)l = (−1)3.(−1)3 = +1 sendo assim,
temos para os calculos de E4(1,1):
Jx = J1 + J2 = 0 + 2 = 2
Jx2= JxJx
Jx2= (
√2(2) + 1)2 = (
√5)2 = 5 (6.92)
temos para nosso 6J: j1 j2 j3
0 j3 j2
= (−1)j1+j2+j3 [(2j2 + 1)(2j3 + 1)]−12 (6.93)
Fazendo Jx=0:
0 72
72
72
0 2
= 0 pois nao satisfaz a relacao triangular.
Fazendo Jx=1:
0 72
72
72
1 2
= 0 tambem nao satisfaz a relacao triangular.
Fazendo Jx=2, temos: 0 72
72
72
2 2
=
72
2 72
0 72
2
= (−1)72+ 7
2+2[(2×2+1)(2× 7
2+1)]−
12 = (−1)9[5×8]−
12 =
−1
2√10
(6.94)
144
logo para nosso F4AUX temos:
F4AUX = (5)
0 72
72
72
2 2
0 7
272
72
2 2
F (7
2
7
2,7
2
7
2, 2).(−1)
72+ 7
2+ 7
2+ 7
2+2 (6.95)
F4AUX = (−1
2√10
)(−1
2√10
)F (7
2
7
2,7
2
7
2, 2).(−1)16 (6.96)
F4AUX = (1
40)F (
7
2
7
2,7
2
7
2, 2) (6.97)
Agora calculando nosso F(7272, 7272, 2)
F (PP ′N ′N, Jx) = F (7
2
7
2,7
2
7
2, 02)
=R
4(−1)3+3[(vs+vt)H(
7
2
7
2, 2)H(
7
2
7
2, 2)+(−vs(−1)3+3+2+vt(2+(−1)3+3+2)]G(
7
2
7
2, 2)G(
7
2
7
2, 2)
F (7
2
7
2,7
2
7
2, 2) =
R
4(−1)6[(vs+vt)H(
7
2
7
2, 2)H(
7
2
7
2, 2)+(−vs(−1)8+vt(2+(−1)8)]G(
7
2
7
2, 2)G(
7
2
7
2, 2)
=R
4[(vs + vt)H(
7
2
7
2, 2)H(
7
2
7
2, 2) + (−vs + vt(3))]G(
7
2
7
2, 2)G(
7
2
7
2, 2)
=R
4[(vs + vt)H(
7
2
7
2, 2)H(
7
2
7
2, 2) + (3vt − vs)]G(
7
2
7
2, 2)G(
7
2
7
2, 2) (6.98)
Logo para H(7272,2) temos:
h(7
2
7
2, 2) = (−1)
72+3
√2(7
2) + 1
√2(7
2) + 1
72
72
2
12
12
−1
(6.99)
onde por 3J temos que: 72
72
2
12
12
−1
= 0 (6.100)
uma vez que nao se cumple a relacao de triangulacao.
Da mesma forma para G(7272, 2) temos pelo 3J:
g(7
2
7
2, 2) = (−1)
72− 1
2+3
√27
2+ 1
√7
2+ 1
72
72
2
12
−12
0
7
272
2
12
12
−1
=1
2
√5
42(6.101)
145
logo G(7272,2) assume:
g(7
2
7
2, 2) = (−1)3+3
√8√8(1
2
√5
42)
g(7
2
7
2, 2) = (−1)6(8)(
1
2
√5
42)
g(7
2
7
2, 2) = (
8
2
√5
42) (6.102)
Retornando ao calculo de F(PP’N’N,Jx), temos:
F (PP ′N ′N, Jx) = F (7
2
7
2,7
2
7
2, 2) =
R
4[(vs + vt)H(
7
2
7
2, 2)H(
7
2
7
2, 2) + (3vt − vs)]G(
7
2
7
2, 2)G(
7
2
7
2, 2)
=R
4[(vs + vt)(0).(0) + (3vt − vs)]G(
7
2
7
2, 2)G(
7
2
7
2, 2)
=R
4[(3vt − vs)](
8
2
√5
42)(8
2
√5
42)
=R
4[(3vt − vs)](4
√5
42)(4
√5
42)
=R
4[(3vt − vs)](16
5
42)
= R[(3vt − vs)](45
42)
= R[(3vt − vs)](20
42) (6.103)
sendo pelas nossas configuracoes, onde adotamos vs = 40 e vt = 60 e R=0.022056090, obtemos:
F (PP ′N ′N, Jx) = F (7
2
7
2,7
2
7
2, 2) = R[(3vt − vs)](
20
42) =
= (0.022056090)[(3(60)− 40)(20
42)]
= 0.022056090[(180− 40)20
42]
= 0.022056090(140× 2−42
)
= 0.022056090[2800
42]
F (PP ′N ′N, Jx) = F (7
2
7
2,7
2
7
2, 2) = 0.022056090(66.66666) =
F (7
2
7
2,7
2
7
2, 2) = 1.470406 (6.104)
146
Temos entao para nosso F4AUX:
F4AUX = (5
40)F (
7
2
7
2,7
2
7
2, 2) (6.105)
logo;
F4AUX = (5
40)(1.470406) =
F4AUX = 0.18380075 (6.106)
por fim, temos para nosso F4:
F4 =√1√5× F4AUX =
√5× 0.1838 = 0.4109892994, onde : F4× 16 = 6.5740039
(6.107)
3) Realizando os mesmos calculos, agora para E4(1,13):
E4(I, J) → E4(1, 13)
I = 1 → P1 = 1 P2 = 1 N1 = 1 N2 = 1 J1 = 0
J = 13 → P3 = 1 P4 = 1 N3 = 1 N4 = 1 J2 = 4 (6.108)
Onde J3 = J1 + J2 e J =√2J + 1 logo temos os seguintes estado possiveis:
J =7
2+
7
2= 7
J =7
2− 7
2= 0 (6.109)
daı segue: J=0+, 1+, 2+, 3+, 4+, 5+, 6+, 7+ com π = (−1)l = (−1)3.(−1)3 = +1 sendo assim,
temos para os calculos de E4(1,13):
Jx = J1 + J2 = 0 + 4 = 4
Jx2= JxJx
Jx2= (
√2(4) + 1)2 = (
√9)2 = 9 (6.110)
147
temos para nosso 6J: j1 j2 j3
0 j3 j2
= (−1)j1+j2+j3 [(2j2 + 1)(2j3 + 1)]−12 (6.111)
Fazendo Jx=0: 0 72
72
72
0 4
= 0 pois nao satisfaz a relacao triangular.
Fazendo Jx=1: 0 72
72
72
1 4
= 0 tambem nao satisfaz a relacao triangular.
Fazendo Jx=2: 0 72
72
72
2 4
= 0 tambem nao satisfaz a relacao triangular.
Fazendo Jx=3: 0 72
72
72
3 4
= 0 tambem nao satisfaz a relacao triangular.
Fazendo Jx=4, temos: 0 72
72
72
4 4
=
72
4 72
0 72
4
= (−1)72+ 7
2+4[(2×4+1)(2× 7
2+1)]−
12 = (−1)11[9×8]−
12 = −1
6√2
logo para nosso F4AUX temos:
F4AUX = (√2× 4 + 1)2
0 72
72
72
4 4
0 7
272
72
4 4
F (7
2
7
2,7
2
7
2, 4).(−1)
72+ 7
2+ 7
2+ 7
2+4
F4AUX = 9 (−1
6√2)(
−1
6√2)F (
7
2
7
2,7
2
7
2, 4).(−1)18
F4AUX = 9 (1
36× 2)F (
7
2
7
2,7
2
7
2, 4) (6.112)
Agora calculando nosso F(7272, 7272, 4)
F (PP ′N ′N, Jx) = F (7
2
7
2,7
2
7
2, 4)
=R
4(−1)3+3[(vs+vt)H(
7
2
7
2, 4)H(
7
2
7
2, 4)+(−vs(−1)3+3+4+vt(2+(−1)3+3+4)]G(
7
2
7
2, 4)G(
7
2
7
2, 4)
F (7
2
7
2,7
2
7
2, 4) =
R
4(−1)6[(vs+vt)H(
7
2
7
2, 4)H(
7
2
7
2, 4)+(−vs(−1)10+vt(2+(−1)10)]G(
7
2
7
2, 4)G(
7
2
7
2, 4)
148
=R
4[(vs + vt)H(
7
2
7
2, 4)H(
7
2
7
2, 4) + (−vs + vt(3))]G(
7
2
7
2, 4)G(
7
2
7
2, 4)
=R
4[(vs + vt)H(
7
2
7
2, 4)H(
7
2
7
2, 4) + (3vt − vs)]G(
7
2
7
2, 4)G(
7
2
7
2, 4) (6.113)
Logo para H(7272,4) temos:
h(7
2
7
2, 4) = (−1)
72+3
√2(7
2) + 1
√2(7
2) + 1
72
72
4
12
12
−1
(6.114)
onde por 3J temos que: 72
72
4
12
12
−1
= 0 (6.115)
uma vez que nao se cumple a relacao de triangulacao.
Da mesma forma para G(7272, 4) temos pelo 3J:
g(7
2
7
2, 4) = (−1)
72− 1
2+3
√27
2+ 1
√7
2+ 1
72
72
4
12
−12
0
7
272
4
12
12
0
= −3
2
√1
154(6.116)
logo G(7272,4) assume:
g(7
2
7
2, 4) = (−1)3+3
√8√8(−3
2
√1
154)
g(7
2
7
2, 4) = (−1)6(8)(−3
2
√1
154)
g(7
2
7
2, 4) = −24
2
√1
154
g(7
2
7
2, 4) = −12
√1
154(6.117)
149
Retornando ao calculo de F(PP’N’N,Jx), temos:
F (PP ′N ′N, Jx) = F (7
2
7
2,7
2
7
2, 4) =
R
4[(vs + vt)H(
7
2
7
2, 2)H(
7
2
7
2, 4) + (3vt − vs)]G(
7
2
7
2, 4)G(
7
2
7
2, 4)
=R
4[(vs + vt)(0).(0) + (3vt − vs)]G(
7
2
7
2, 4)G(
7
2
7
2, 4)
=R
4[(3vt − vs)](−12
√1
154)(−12
√1
154)
=R
4[(3vt − vs)](144
1
154)
= R[(3vt − vs)](361
154) (6.118)
sendo pelas nossas configuracoes, onde adotamos vs = 40 e vt = 60 e R=0.022056090, obtemos:
F (PP ′N ′N, Jx) = F (7
2
7
2,7
2
7
2, 4) = R[(3vt − vs)](36
1
154) =
= (0.022056090)[(3(60)− 40)(36
154)] = 0.022056090[(180− 40)
36
154]
= 0.022056090(140× 36
154) = 0.022056090[
5040
154]
F (PP ′N ′N, Jx) = F (7
2
7
2,7
2
7
2, 4) = 0.022056090(32.72727273) =
F (7
2
7
2,7
2
7
2, 4) = 0.721835672 (6.119)
Temos entao para nosso F4AUX:
F4AUX = (9
36× 2)F (
7
2
7
2,7
2
7
2, 4) (6.120)
logo;
F4AUX = (9
72)(0.721835672) =
F4AUX = (0.125)(0.721835672) =
F4AUX = 0.090229459 (6.121)
por fim, temos para nosso F4:
F4=√1√(2× 4) + 1× F4AUX =
√1√9× 0.09022 = 0.270688377 , onde: F4×16= 4.3310
150
4) Realizando os mesmos calculos, agora para E4(1,19):
E4(I, J) → E4(1, 19)
I = 1 → P1 = 1 P2 = 1 N1 = 1 N2 = 1 J1 = 0
J = 19 → P3 = 1 P4 = 1 N3 = 1 N4 = 1 J2 = 6 (6.122)
Onde J3 = J1 + J2 e J =√2J + 1 logo temos os seguintes estado possiveis:
J =7
2+
7
2= 7
J =7
2− 7
2= 0 (6.123)
daı segue: J=0+, 1+, 2+, 3+, 4+, 5+, 6+, 7+ com π = (−1)l = (−1)3.(−1)3 = +1 sendo assim,
temos para os calculos de E4(1,19):
Jx = J1 + J2 = 0 + 6 = 6
Jx2= JxJx
Jx2= (
√2(6) + 1)2 = (
√13)2 = 13 (6.124)
temos para nosso 6J: j1 j2 j3
0 j3 j2
= (−1)j1+j2+j3 [(2j2 + 1)(2j3 + 1)]−12 (6.125)
Fazendo Jx=0: 0 72
72
72
0 6
= 0 pois nao satisfaz a relacao triangular.
Fazendo Jx=1: 0 72
72
72
1 6
= 0 tambem nao satisfaz a relacao triangular.
Fazendo Jx=2: 0 72
72
72
2 6
= 0 tambem nao satisfaz a relacao triangular.
Fazendo Jx=3:
151 0 72
72
72
3 6
= 0 tambem nao satisfaz a relacao triangular.
Fazendo Jx=4: 0 72
72
72
4 6
= 0 tambem nao satisfaz a relacao triangular.
Fazendo Jx=5: 0 72
72
72
5 6
= 0 tambem nao satisfaz a relacao triangular.
Fazendo Jx=6, temos: 0 72
72
72
6 6
=
72
6 72
0 72
6
= (−1)72+ 7
2+6[(2× 6 + 1)(2× 7
2+ 1)]−
12 = (−1)13[13× 8]−
12 =
−1√104
= −12√26
logo para nosso F4AUX temos:
F4AUX = (√2× 6 + 1)2
0 72
72
72
6 6
0 7
272
72
6 6
F (7
2
7
2,7
2
7
2, 6).(−1)
72+ 7
2+ 7
2+ 7
2+6
(6.126)
F4AUX = 13 (−1
2√26
)(−1
2√26
)F (7
2
7
2,7
2
7
2, 6).(−1)20
F4AUX = 13 (1
4× 26)F (
7
2
7
2,7
2
7
2, 6)
(6.127)
Agora calculando nosso F(7272, 7272, 6)
F (PP ′N ′N, Jx) = F (7
2
7
2,7
2
7
2, 6)
=R
4(−1)3+3[(vs+vt)H(
7
2
7
2, 6)H(
7
2
7
2, 6)+(−vs(−1)3+3+6+vt(2+(−1)3+3+6)]G(
7
2
7
2, 6)G(
7
2
7
2, 6)
F (7
2
7
2,7
2
7
2, 6) =
R
4(−1)6[(vs+vt)H(
7
2
7
2, 6)H(
7
2
7
2, 6)+(−vs(−1)12+vt(2+(−1)12)]G(
7
2
7
2, 6)G(
7
2
7
2, 6)
=R
4[(vs + vt)H(
7
2
7
2, 6)H(
7
2
7
2, 6) + (−vs + vt(3))]G(
7
2
7
2, 6)G(
7
2
7
2, 6)
=R
4[(vs + vt)H(
7
2
7
2, 6)H(
7
2
7
2, 6) + (3vt − vs)]G(
7
2
7
2, 6)G(
7
2
7
2, 6) (6.128)
152
Logo para H(7272,6) temos:
h(7
2
7
2, 6) = (−1)
72+3
√2(7
2) + 1
√2(7
2) + 1
72
72
6
12
12
−1
(6.129)
onde por 3J temos que: 72
72
6
12
12
−1
= 0 (6.130)
uma vez que nao se cumple a relacao de triangulacao.
Da mesma forma para G(7272, 6) temos pelo 3J:
g(7
2
7
2, 6) = (−1)
72− 1
2+3
√27
2+ 1
√7
2+ 1
72
72
6
12
−12
0
7
272
6
12
12
0
=5
2
√1
858(6.131)
logo G(7272,6) assume:
g(7
2
7
2, 6) = (−1)3+3
√8√8(5
2
√1
858)
g(7
2
7
2, 6) = (−1)6(8)(
5
2
√1
858)
g(7
2
7
2, 6) =
40
2
√1
858
g(7
2
7
2, 6) = 20
√1
858(6.132)
Retornando ao calculo de F(PP’N’N,Jx), temos:
F (PP ′N ′N, Jx) = F (7
2
7
2,7
2
7
2, 6) =
R
4[(vs + vt)H(
7
2
7
2, 6)H(
7
2
7
2, 6) + (3vt − vs)]G(
7
2
7
2, 6)G(
7
2
7
2, 6)
=R
4[(vs + vt)(0).(0) + (3vt − vs)]G(
7
2
7
2, 6)G(
7
2
7
2, 6)
=R
4[(3vt − vs)](20
√1
858)(20
√1
858)
=R
4[(3vt − vs)](400
1
858) (6.133)
153
sendo pelas nossas configuracoes, onde adotamos vs = 40 e vt = 60 e R=0.022056090, obtemos:
F (PP ′N ′N, Jx) = F (7
2
7
2,7
2
7
2, 6) =
R
4[(3vt − vs)](400
1
858) =
= (0.022056090
4)[(3(60)− 40)(400
1
858)] = (
0.022056090
4)[(180− 40)(
400
858)]
= (0.022056090
4)[(140)(0.466200466)]
F (PP ′N ′N, Jx) = F (7
2
7
2,7
2
7
2, 6) = (5.5140225× 10−3)[65.26806527]
F (7
2
7
2,7
2
7
2, 6) = 0.35988958 (6.134)
Temos entao para nosso F4AUX:
F4AUX = (1
8)F (
7
2
7
2,7
2
7
2, 6) (6.135)
logo;
F4AUX = (1
8)(0.35988958) =
F4AUX = 0.044986197 (6.136)
por fim, temos para nosso F4:
F4 =√1√
(2× 6) + 1× F4AUX =√1√13× 0.044986197 = 0.162200041, onde :
F4× 16 = 2.545200668
(6.137)
154
7 BIBLIOGRAFIA
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