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Elasticidade aplicada à Infraestrutura de Transportes
CAP MONIZ DE ARAGÃO
DEFORMAÇÕES:
• Campo de deslocamentos; Componentes de deformação; Relações deformação-deslocamento; Deformação linear específica numa direção qualquer; Deformações Principais.
SEÇÃO DE ENSINO DE ENGENHARIA DE FORTIFICAÇÃO E CONSTRUÇÃO
Pós-graduação em Engenharia de Transportes
Referências bibliográficas:• Introdução à Teoria da Elasticidade, Villaça, S. F., Taborda
Garcia, L. F., COPPE/UFRJ, 4ª Ed., 2000.• Theory of Elasticity, Timoshenko, S. P., Goodier, J.N., McGraw-
Hill Classic Textbook Reissue Series, 3rd Ed., 1970.
Deformações:Campo de deslocamentos
Solicitações externas atuando em um corpo deformável:
Configuração inicial indeformada ⇒ Configuração final deformada
Mudança de forma e dimensões
Deformações:Campo de deslocamentos
Um ponto A do corpo, que na configuração inicial tem as coordenadas x, y, z, sofre um deslocamento u, e passa para a posição A*.
( )zyxvv ,,=
( )wvu ,,=u
( )zyxuu ,,=
( )zyxww ,,=
As coordenadas A* são então dadas por x+u, y+v, z+w, e o
CAMPO DE DESLOCAMENTOS determinado pelas funções u, v, w.
Deformações:Campo de deslocamentos
Observações:
• Tendo em vista a continuidade do sólido no processo de deformação, as funções escalares u, v, w devem ser contínuas e unívocas.
• O campo de deslocamentos pode ser decomposto em duas parcelas:
• Movimento de corpo rígido (translação do ponto)
• Deslocamento com mudança de forma e dimensões do corpo (alongamentos, encurtamentos)
• O movimento do corpo rígido pode ser sempre eliminado mediante a introdução adequada de vínculos.
Ex:
F
Deslocamento com mudança de dimensões
Movimento de Corpo rígido
Componentes de Deformação
• Deformação (strain)
• Deformação linear específica
• Alongamento relativosε
Deformação no ponto A e na direção s:
Relação entre o alongamento sofrido pelo segmento elementar e o seu comprimento inicial, ao passar da configuração inicial para a deformada.
( )ss dsds ds
dsdsAB
ABBA εε +=⇒−
=−
= 1****
Componentes de Deformação
• Deformação angular (shearing strain)
• Distorçãostγ
Distorção no ponto A associada às direções s, t :
BACst*** ˆ
2−=
πγ
Redução do ângulo originariamente reto entre AB e BC.
Componentes de Deformação
O estado de deformação em um ponto A fica completamente determinado se forem conhecidas as componentes de deformação (linear e angular) em três direções ortogonais.
Referindo-se ao sistema cartesiano global xyz, tem-se as seguintes componentes de deformação:
, , , , , yzxzxyzyx γγγεεε
De forma análoga ao estado de tensões, conhecidas essas componentes épossível calcular a deformação linear numa direção qualquer, ou a deformação angular associada a um par de direções ortogonais quaisquerno ponto A.
Componentes de Deformação
A deformação em todo o corpo fica determinada conhecendo-se o campo de deformações, ou seja, as componentes de deformação como funções de posição:
( )( )( )⎪
⎩
⎪⎨
⎧
ε=εε=εε=ε
z,y,xz,y,xz,y,x
zz
yy
xx ( )( )( )⎪
⎩
⎪⎨
⎧
γ=γγ=γγ=γ
z,y,xz,y,xz,y,x
yzyz
xzxz
xyxy
Deformações: notação indicial
Na notação indicial pode-se definir a posição dos pontos após a deformaçãocomo:
( )321 xxxii ,,ξξ =
=iξ Coordenadas Eulerianas=ix Coordenadas Lagrangianas
ou inversamente por:
( )321 ξξξ ,,ii xx =
1x2x
22,ξx
33,ξx
1ξ
2ξ
11,ξx
3x
3ξ
A
A*
Deformações: notação indicial
Como as coordenadas Eulerianas podem ser escritas em função de
, suas diferenciais totais são:iξ
321 xxx ,,
jj
iiiii dx
xdx
xdx
xdx
xd
∂∂
=∂∂
+∂∂
+∂∂
=ξξξξξ 2
22
21
1
Analogamente, fazendo-se: , obtém-se:( )321 ξξξ ,,ii xx =
jj
ii dxdx ξ
ξ∂∂
=
Deformações: notação indicial
O comprimento ds do segmento AB fica então:
iidxdxdxdxdxds =++= 23
22
21
2
Na configuração deformada, temos analogamente:
iidddddds ξξξξξ =++= 23
22
21
2*
kjk
i
j
i dxdxxx
ds∂∂
∂∂
=⇒ξξ2*
Deformações: notação indicial
Quantificando-se a variação de comprimento do segmento através da diferença entre os quadrados dos segmentos, após e antes da deformação, tem-se:
é o TENSOR DEFORMAÇÃO DE GREEN, expresso em função das coordenadas Lagrangianas xi
{ {43421
kjjk
kikjij
dxdx
dxi
dxikj
k
i
j
i dxdxdxdxxx
dsds
δ
δδ
ξξ−
∂∂
∂∂
=− 22*
kjjkk
i
j
i dxdxxx
dsds44 344 21
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
∂∂
∂∂
=−⇒ δξξ22*
ij2ε
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
∂∂
∂∂
=⇒ jkk
i
j
iij xx2
1 δξξε[Eq. 1]
Relações Deformação – Deslocamento
Denominando-se de ui as componentes do deslocamento de um ponto A, tem-se a seguinte relação entre as coordenadas:
iii xu −= ξ
1x
2x
22,ξx
11,ξx
1ξ
2ξ2u
1u
A
A*
u
exprimindo também os deslocamentos em função das coordenadas Lagrangeanas, pode-se obter:
( )321 ,, xxxuu ii =
{ij
j
i
j
i
j
i
xx
xxu
∂
∂∂
−∂∂
=∂∂
⇒ξ
ijj
i
j
i
xu
x∂+
∂∂
=∂∂
⇒ξ [Eq. 2]
Relações Deformação – Deslocamento
Substituindo-se a Eq. 2 na Eq. 1, obtém-se a expressão do Tensor de Green em função dos deslocamentos:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
∂∂
=⇒ ijkjj
kki
i
kij x
uxu
21 δδδε
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
∂∂
+∂
∂+
∂∂
=j
k
i
k
i
j
j
iij x
uxu
xu
xu
21ε
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−+
∂∂
+∂∂
+∂∂
∂∂
=⇒ ijkjkij
kkikj
i
k
j
k
i
kij x
uxu
xu
xu
21 δδδδδε
Relações Deformação – DeslocamentoSimplificação para pequenas mudanças de configuração
Considerando a classe de problemas em que as derivadas dos deslocamentos em relação às coordenadas são muito pequenas em relação à unidade:
1u1xu
i
k
i
k <<∂∂
<<∂∂
ξ ,
( )ijjiij uu21
,, +=ε
os termos quadráticos na equação do tensor deformação se tornam de ordem inferior em relação aos lineares, podendo ser desprezados. Além disso, passa a ser irrelevante que as derivadas dos deslocamentos sejam calculadas para um certo ponto na sua posição inicial ou final, não sendo necessário portanto se distinguir entre coordenadas Lagrangeanas e Eulerianas nas expressões das componentes da deformação. Tem-se assim:
Relações Deformação – Deslocamento Lineares
Na notação algébrica usual:
...,,...,,,,,,,,,,
xyxx1211
321
321
wvuuuuzyxxxx
εεεε →
→
→
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂
=
∂∂
=
∂∂
=
zwyvxu
z
y
x
ε
ε
ε
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
=
yzyz
xzxz
xyxy
21
yw
zv
21
21
xw
zu
21
21
xv
yu
21
γε
γε
γε
⇒ εx é o alongamento relativo da projeção em x de um segmento elementaroriginalmente na direção x.
⇒ εx é o alongamento relativo de um segmento elementar na direção x.
Relações Deformação – Deslocamento(coordenadas cartesianas)Sejam (A*), (B*), (C*) as projeções de A*, B*, C* no plano xy. Logo:
O deslocamento (de primeira ordem) na direção x do ponto Bé igual a:
dxxuu∂∂
+
devido ao aumento de
da função u com o aumento da coordenada x
dxxu∂∂
Relações Deformação - Deslocamento
Sejam (A*), (B*), (C*) as projeções de A*, B*, C* no plano xy. Logo:
( )( ) φ+=∂∂
++ cosBAudxxuudx **
( )( ) ψ+=∂∂
++ cosCAvdyyvvdy **
( )( )( )*** BAC−π
=ψ+φ2
( )( )** BA
dxxv
sen ∂∂
=φ
( )( )** CA
dyyu
sen ∂∂
=ψ
Relações Deformação - Deslocamento
⇒ Hipótese de pequenas mudanças de configuração;
⇒ Componentes de deformação consideradas muito pequenas em presença da unidade;
( )( ) ( )( )( ) ( )y
****x
****
dyCACA
dxBABA
ε+=≅
ε+=≅
1
1
11≅ψψ≅ψ
≅φφ≅φcos ;sen
cos ;sen
( )( )( ) xy****** BACBAC γ=−
π≅−
π22
Relações Deformação - Deslocamento
⇒ Reescrevendo-se as equações, tem-se:
( )( ) ( )xu1dxuBAudx
xuudx xx ∂
∂=⇒++≅+=
∂∂
++ εεφ cos**
( )( ) ( )yv1dyvCAvdy
yvvdy yy ∂
∂=⇒++≅+=
∂∂
++ εεψ cos**
( )( )( ) xyxy*** BAC γ=ψ+φ⇒γ≅−
π=ψ+φ
2
( )( ) ( ) xv
dx
dxxv
BA
dxxv
senx** ∂
∂≅
ε+∂∂
≅∂∂
=φ≅φ1
( )( ) ( ) yu
dy
dyyu
CA
dyyu
seny** ∂
∂≅
ε+∂∂
≅∂∂
=ψ≅ψ1
xv
yu
xy ∂∂
+∂∂
=γ
⇒ Com as projeções nos outros dois planos cartesianos, são obtidas as demais expressões das relações deformação-deslocamento.
Deformação linear numa direção qualquer
Na figura abaixo, um segmento elementar PQ de comprimento ds e direção s érepresentado na sua configuração inicial.
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
=
=
ndsdz
mdsdydsdx
l
co-senos diretores:
Deformação linear numa direção qualquer
Após a deformação o segmento passa para a posição P*Q* de comprimento ds*.
As projeções dos deslocamentos up e uq sobre a direção s são dadas por:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
=
=
ndsdz
mdsdydsdx
l
co-senos diretores:
( ) wnvmuuu PPs ++=⋅= llr
( ) ( ) dsds
duuu sPsQs ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=
Deformação linear numa direção qualquer
Considerando-se a hipótese de pequenas mudanças de configuração:
dsdu
ds
dsuds
duuds
dsdsds s
ss
s
s =−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛++
=−
=*
ε
Desenvolvendo a derivada direcional da função u na direção s....
Deformação linear numa direção qualquer
⇒ Na notação indicial temos: ijsjsis εε ll=
A expressão nos dá a deformação linear em torno de um ponto em uma direção qualquer (definida pelos seus co-senos diretores) em função das deformações lineares segundo os eixos coordenados e das distorções nos planos coordenados.
Vê-se assim que as deformações segundo três eixos coordenados são suficientes para definir o estado de deformação em torno de um ponto quaquer (assim como nas tensões).
mnnmnm yzxzxy2
z2
y2
xs γγγεεεε +++++= lll
Obtém-se finalmente:
Deformação linear numa direção qualquer
{ }⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
εεεεεεεεε
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
εεε
=ε⇒nm
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
zs
ys
xs
s
l
( )
( )
( )⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
==
==
==
ysdsdzn
ysdsdym
xsdsdx
,cos
,cos
,cosl
co-senos diretores:
s⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
εεεεεεεεε
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
εεε
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=ε⇒
nm
nm
nm
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxxT
zs
ys
xsT
s
lll
Deformação linear numa direção qualquer
Analogamente, pode-se demonstrar que a distorção entre duas direções s e t pode ser colocada como:
( )( ) ( )tstsyztstsxz
tstsxytsztsytsxst
mnnmnn
mmnn2mm22
++++
++++=
γγ
γεεεγ
ll
llll
⇒ Na notação indicial temos: ijtjsist εε ll=
Deformações Principais
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
εεεεεεεεε
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
εεεεεεεεε
⇒
z'zz'yz'x
y'zy'yy'x
x'zx'yx'x
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
z'zy'zx'z
z'yy'yx'y
z'xy'xx'x
'z'z'y'z'x'z
'z'y'y'y'x'y
'z'x'y'x'x'x
lll
lll
lll
lll
lll
lll
Pode-se mostrar pela análise das expressões anteriores de deformação linear e distorção segundo direções arbitrárias, ou pelas propriedades dos Tensores, que o Tensor deformação segundo três novas coordenadas x’, y’, z’ pode ser colocado como:
Deformações Principais
Tal como na análise de tensões, pode-se considerar por hipótese que num ponto de um sólido em estado de deformação existem três direções ortogonais (principais) em relação às quais a distorção é nula.
As deformações lineares em tais direções são as deformações principais:
Pelas propriedades dos tensores, as três direções principais (ortogonais) correspondem à representação do tensor deformação segundo uma matriz diagonal.
Logo, as raízes da equação característica do tensor de deformações correspondem às deformações principais, e seus coeficientes são denominados de invariantes do estado de deformação.
321 εεε ,, ( )321 εεε ≥≥
Deformações Principais
{ }⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
εεεεεεεεε
=ε⇒nm
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
e
l
Seja a direção “e” uma direção onde há apenas deformações lineares, sem distorções:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
εεεεεεεεε
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
εε
ε
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⇒
z,'zy,'zx,'z
z,'yy,'yx,'y
z,'xy,'xx,'x
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
e
e
e
z,'zy,'zx,'z
z,'yy,'yx,'y
z,'xy,'xx,'x
lll
lll
lll
lll
lll
lll
000000
( ) 0=ε−ε R eij I
Deformações Principais
( ) 0eij =− Iεεdet 0
ezzyzx
yzeyyx
xzxyex
=−
−−
⇒εεεε
εεεεεεεε
0JJJ 3e22e1
3e =−+−⇒ εεε
321iizyx1J εεεεεεε ++==++=
323121zzy
yzy
zzx
xzx
yyx
xyx2J εεεεεε
εεεε
εεεε
εεεε
++=++=
321
zzyzx
yzyyx
xzxyx
3J εεεεεεεεεεεε
==
Deformações Principais: sólidos isotrópicos
Tensões Principais, Deformações principais, Direções Principais
Deformações Principais: sólidos isotrópicos
Tensões Principais, Deformações principais, Direções Principais
Deformações Principais: sólidos isotrópicos
Tensões Principais, Deformações principais, Direções Principais
Deformações Principais: sólidos isotrópicos
Tensões Principais, Deformações principais, Direções Principais
Rosetas de Deformações
( )yxOBxy 2 ε+ε−ε=γ
Compatibilidade de Deformações
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂
=
∂∂
=
∂∂
=
zwyvxu
z
y
x
ε
ε
ε
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
=
yzyz
xzxz
xyxy
21
yw
zv
21
21
xw
zu
21
21
xv
yu
21
γε
γε
γε
2
3
2
2
yxu
yx
∂∂∂
=∂ε∂
⇒
2
3
2
2
xyv
xy
∂∂∂
=∂
ε∂⇒
2
3
2
32
xyv
yxu
yxxy
∂∂∂
+∂∂∂
=∂∂
γ∂⇒
02
2
2
2
2=
∂∂
γ∂−
∂
ε∂+
∂ε∂
⇒yxxyxyyx
• é preciso garantir a integrabilidade das relações deformações-deslocamentos;
• obtenção de um campo de deslocamentos cinematicamente admissível, representado por funções contínuas e unívocas;
• preservação do meio sólido no processo.
Compatibilidade de Deformações
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=∂∂
γ∂−
∂
ε∂+
∂
ε∂
=∂∂γ∂
−∂
ε∂+
∂
ε∂
=∂∂
γ∂−
∂
ε∂+
∂
ε∂
0zyyz
0zxxz
0yxxy
yz2
2z
2
2y
2
xz2
2z
2
2x
2
xy2
2y
2
2x
2
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂
γ∂−
∂∂
γ∂+
∂∂γ∂
=∂∂ε∂
∂
γ∂−
∂∂
γ∂+
∂∂
γ∂=
∂∂
ε∂∂
γ∂−
∂∂
γ∂+
∂∂γ∂
=∂∂ε∂
2xy
2zy
2zx
2z
2
2xz
2yz
2yx
2y
2
2yz
2xy
2xz
2x
2
zxzyzyx2
yxyzyzx2
xzxyxzy2
Equações de compatibilidade:
Bibliografia Complementar
Propriedades dos Tensores:Reddy, J.N., “Energy Principles and Variationl Methods in Applied Mechanics”, John Wiley & Sonx, 2nd Ed., 2002 (Capítulo 2.3)
Deformações na notação indicial:Taborda, L. F., “Elasticidade Não-linear”
Círculo de MohrBeer Johnston, Resistência dos MateriaisRiley, Mecânica dos Materiais
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