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EstatísticaEstatísticaAula 16Aula 16

Universidade Federal de AlagoasUniversidade Federal de AlagoasCentro de Tecnologia

Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das NevesProf. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves

Adaptado do material elaborado pelos Prof. Wayne Adaptado do material elaborado pelos Prof. Wayne Santos de Assis e Christiano Cantarelli RodriguesSantos de Assis e Christiano Cantarelli Rodrigues

Aula 17Aula 17

Distribuição NormalDistribuição Normal

AplicaçõesAplicações

Distribuição UniformeDistribuição Uniforme

A área (isto é, a integral) sob a função de densidade de probabilidade em um determinado intervalo fornece a probabilidade de ocorrência de um valor dentro desse intervalo

Distribuição Contínua de ProbabilidadeDistribuição Contínua de Probabilidade

RevisãoRevisão

( ) 0f x

( ) ( )b

P a X b f x dx

( ) 1f x dx

( ) ( ) E X X f X dX Para uma variável aleatória contínua

Esperança de uma v.a. contínuaEsperança de uma v.a. contínua

)()( ii xfxXE v.a. discreta

Para uma variável aleatória contínua

Variância e Desvio Padrão de uma v.a. ContínuaVariância e Desvio Padrão de uma v.a. Contínua

2 2( ) ( ) ( )Var X X p X

2 2( ) ( ) ( ) Var X X f X dX

( )Var X

- v.a. discreta

Distribuição UniformeDistribuição Uniforme

DefiniçãoDefinição

1 2 … n

f(x)área = 1

1. Sempre positiva

2. Área abaixo da curva exatamente igual a 1

( ) 0f x

Distribuição UniformeDistribuição Uniforme

DefiniçãoDefinição

3. A área sob a curva e acima de qualquer intervalo de valores é a probabilidade (proporção) de todas as observações que se enquadram naquele intervalo.

1 se

( )a x b

f x b a 0 caso contrário

a b

f(x)

área = ( )P a X b

Distribuição UniformeDistribuição Uniforme

DemonstraçãoDemonstração

f(x)

Xa b

X = [a, b] a X b

f(x) = ?

( ) 1h b a

( )b

f x 1 (área do retângulo)

b a

1( )f x

b a

Distribuição UniformeDistribuição Uniforme

Esperança e VariânciaEsperança e Variância

X = [a, b] a X b

1( )f x

b a

( ) ?

E X

Var X

( ) ( )b

E X xf x dx

1 1( )

b b

a a

E X x dx xdxb a b a

2 2 21 1( )

2 2

x b aE X

b a b a

2 2 ( )( )( )

2( ) 2( )

b a b a b aE X

b a b a

a b

f(x)

Xa b

1/(b - a)

Distribuição UniformeDistribuição Uniforme

Esperança e VariânciaEsperança e Variância

X = [a, b] a X b

1( )f x

b a

2 2( ) ( )b

E X x f x dx

2 2 21 1( )

b b

a a

E X x dx x dxb a b a

3 3 32 1 1

( )3 3

x b aE X

b a b a

3 32( )

3( )

b aE X

b a

( )2

a bE X

2 2( ) ( ) [ ( )]Var X E X E X

f(x)

Xa b

1/(b - a)

continua ...

Distribuição UniformeDistribuição Uniforme

Esperança e VariânciaEsperança e Variância

1( )f x

b a

3 3 2( )( )

3( ) 4

b a a bVar X

b a

( )2

a bE X

3 3 24( ) 3( )( )( )

12( )

b a b a a bVar X

b a

3 3 3 2 2 34 4 3 3 3 3( )

12( )

b a b ab a b aVar X

b a

3 2 2 33 3( )

12( )

b ab a b aVar X

b a

3( )

12( )

b a

2( )

b a

f(x)

Xa b

1/(b - a) X = [a, b] a X b

2 2( ) ( ) [ ( )]Var X E X E X

Distribuição UniformeDistribuição Uniforme

Esperança e VariânciaEsperança e Variância

a X b

1( )f x

b a

( )2

a bE X

2( )( )

b aVar X

f(x)

Xa b

1/(b - a)

A Distribuição Normal é o modelo mais usado para expressar a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória

Esta distribuição também é conhecida como Curva de Gauss, e apresenta um gráfico em forma de sino, com média determinando o centro da função e com desvio padrão determinando a largura da função

Distribuição Normal (Gaussiana)Distribuição Normal (Gaussiana)

IntroduçãoIntrodução

É a mais usada e mais famosa distribuição de probabilidade para v.a. contínuas

Uma Distribuição de frequência pode ter o seguinte formato

Gráfico simétrico em relação à: média, mediana,....

ocorrendo isto, provavelmente os dados de origem se comportam segundo a distribuição normal

Distribuição Normal (Gaussiana)Distribuição Normal (Gaussiana)

( )

21( )

f x e

2,71828...

Parâmetros da distribuiçãoParâmetros da distribuição

média da população

desvio padrão da população

Notação: X ~ N ( ; 2 )

Distribuição Normal (Gaussiana)Distribuição Normal (Gaussiana)

~ significa segue X ~ significa que a v.a. segue uma distribuição ...

Equação:

1xf

πσ

média

Desvio padrão

Distribuição Normal (Gaussiana)Distribuição Normal (Gaussiana)

- x

0 ,4

-3 -2 -1 0 1 2 3

f(x)

a) suave, unimodal e simétrica em relação à média

Propriedades da curva normal

b) aproxima-se do eixo das abscissas à medida que x se afasta da média curva muda a concavidade nos pontos – e +

c) a área total sob a curva representa 100% de probabilidade

d) por causa da simetria, à esquerda da média 50% e à direita da média também 50% médiaTambém a moda e a

mediana

Distribuição Normal (Gaussiana)Distribuição Normal (Gaussiana)

Distribuição NormalDistribuição Normal

0.1

40 50 60 70 80 90 100

Médias diferentes e desvios padrão iguais

0.1

40 50 60 70 80 90 100

Médias iguais e desvios padrão diferentes

Como calcularemos probabilidades?

A probabilidadeentre 150 e 200

média = 100 e desvio padrão 50

X ~ N (100, 502)

Distribuição NormalDistribuição Normal

Toda vez que um no estiverAfastado da média1áreacorresponde a68,26% daárea total

O mesmoraciocínio para:2 95,5%,2,575

99% ...

z vezes o desvio padrãoPara direita

Para esquerda

Distribuição NormalDistribuição Normal

P(µ-σ < X < µ-σ ) = 0,6826

P(µ-2σ < X < µ-2σ ) = 0,9545

P(µ-3σ < X < µ-3σ ) = 0,9973

Distribuição NormalDistribuição Normal

Exemplo 1Exemplo 1

Se a distribuição do consumo de Se a distribuição do consumo de sacos de cimentosacos de cimento no no período entre o pedido de compra e a entrega segue uma período entre o pedido de compra e a entrega segue uma distribuição normal, podemos utilizar a curva abaixodistribuição normal, podemos utilizar a curva abaixo

-10 0 10 20 30 40

= 15 sacos

= 6 sacos

X = consumo de sacos de cimento no período entre o pedido de compra e a entrega

X ~ N (15, 62)

Distribuição NormalDistribuição Normal

Exemplo 1Exemplo 1

Proporções e probabilidades do consumo de Proporções e probabilidades do consumo de sacos de sacos de cimentocimento no período entre o pedido de compra e a entrega no período entre o pedido de compra e a entrega

= 15 sacos

= 6 sacos

15 21 2793

68%

95%

probabilidade de consumir entre 9 e 21 sacos no período é de 0,68probabilidade de consumir entre 9 e 21 sacos no período é de 0,68 probabilidade de consumir entre 3 e 27 sacos no período é de 0,95probabilidade de consumir entre 3 e 27 sacos no período é de 0,95

Em 2,5% das vezes o consumo é superior a 27 sacosEm 2,5% das vezes o consumo é superior a 27 sacos Em 50% das vezes o consumo é superior a 15 sacosEm 50% das vezes o consumo é superior a 15 sacos

Portanto, em mais de 16% das vezes necessitou-se de mais cimento do que o disponível no estoque.

Distribuição NormalDistribuição Normal

Exemplo 1Exemplo 1

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40

(21 27) 0,135P X

( 21) 0,16P X

Distribuição Normal PadrãoDistribuição Normal PadrãoVimos que a curva normal possui áreas

padronizadasP(µ - σ < X < µ - σ) = 0,6827 z = 1 vez o desvio padrão distante de médiaP(µ - 2σ < X < µ - 2σ) = 0,9545 z = 2 vezes ...P(µ - 3σ < X < µ - 3σ) = 0,9973 z = 3 vezes ...

σμX

z é a chamada variável

reduzida, calculadaassim:

σμX

Com a variável

reduzida

1zf

A equação original se modifica:

Média = 0 e Desvio padrão = 1

Distribuição normal padrão Z ~ N(0,1)

As tabela fornecemo valores da áreaEntre 0 e z

Distribuição Normal PadrãoDistribuição Normal Padrão

Muitas vezes estamos interessados em valores deMuitas vezes estamos interessados em valores de probabilidade que a regra 68-95-99,7 não pode nosprobabilidade que a regra 68-95-99,7 não pode nos fornecer fornecer

Padronização daPadronização da

curva Normalcurva NormalTabela Tabela zz

Como calcular a área abaixo da curva (probabilidade) Como calcular a área abaixo da curva (probabilidade) nestes casos?nestes casos?

Cálculo IntegralCálculo Integral

Distribuição Normal PadrãoDistribuição Normal Padrão

Métrica dessa distância

Distância de X da média

N ( ; 2 ) N ( 0 ;1 )

z > 0 X maior que a média

z < 0 X menor que a média

= 0

= 1

Distribuição Normal PadrãoDistribuição Normal Padrão

A distribuição Normal Padrão é a distribuição de uma variável aleatória que possui igual a zero e 2 igual a 1. Nesta condição esta distribuição é representada por Z.

= 0 e 2 = 1

O cálculo da probabilidade normal, usando a função, algumas vezes requer métodos não elementares, portanto, esta probabilidade é determinada usando dados tabelados representados por:

(z) = P (Z z)

1zf

Qual a probabilidade da variável aleatória z, Qual a probabilidade da variável aleatória z, distribuição normal padrão, estar entre 0 e 1?distribuição normal padrão, estar entre 0 e 1?

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

(0 1) 0,34p z

Regra 68-95-99,7

Distribuição Normal PadrãoDistribuição Normal Padrão

z 0,00

0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,00000 0,00399 0,00798 0,01197 0,01595 0,01994 0,02392 0,02790 0,03188 0,03586

0,1 0,03983 0,04380 0,04776 0,05172 0,05567 0,05962 0,06356 0,06749 0,07142 0,07535

0,2 0,07926 0,08317 0,08706 0,09095 0,09483 0,09871 0,10257 0,10642 0,11026 0,11409

0,3 0,11791 0,12172 0,12552 0,12930 0,13307 0,13683 0,14058 0,14431 0,14803 0,15173

0,4 0,15542 0,15910 0,16276 0,16640 0,17003 0,17364 0,17724 0,18082 0,18439 0,18793

0,5 0,19146 0,19497 0,19847 0,20194 0,20540 0,20884 0,21226 0,21566 0,21904 0,22240

0,6 0,22575 0,22907 0,23237 0,23565 0,23891 0,24215 0,24537 0,24857 0,25175 0,25490

0,7 0,25804 0,26115 0,26424 0,26730 0,27035 0,27337 0,27637 0,27935 0,28230 0,28524

0,8 0,28814 0,29103 0,29389 0,29673 0,29955 0,30234 0,30511 0,30785 0,31057 0,31327

0,9 0,31594 0,31859 0,32121 0,32381 0,32639 0,32894 0,33147 0,33398 0,33646 0,33891

1,0 0,34134 0,34375 0,34614 0,34849 0,35083 0,35314 0,35543 0,35769 0,35993 0,36214

1,1 0,36433 0,36650 0,36864 0,37076 0,37286 0,37493 0,37698 0,37900 0,38100 0,38298

1,2 0,38493 0,38686 0,38877 0,39065 0,39251 0,39435 0,39617 0,39796 0,39973 0,40147

Segunda casa decimal de z

(0 1)P z

Distribuição Normal PadrãoDistribuição Normal Padrão

P(Z > 1,26) = 1 – P(Z 1,26) = 1 – 0,896165 = 0,103835

P(Z < -0,86) = 0,194894

P(Z > -1,37) = 1 – P(Z -1,37) = 1 – 0,085343 = 0,914657

P(-1,25 < Z < 0,37) = P(Z < 0,37)-P(Z < -1,25)

= 0,644309 – 0,105650 = 0,538659

Calcular as seguintes probabilidades:

Exemplo 2Exemplo 2

Distribuição Normal PadrãoDistribuição Normal Padrão

Controle de EstoqueControle de Estoque

O estoque de cimento em uma determinada obra acaba quando a O estoque de cimento em uma determinada obra acaba quando a demanda durante o tempo de espera (entre o pedido de compra e a demanda durante o tempo de espera (entre o pedido de compra e a entrega) é maior que 20 sacos. Qual a probabilidade de que isto entrega) é maior que 20 sacos. Qual a probabilidade de que isto aconteça?aconteça?

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40

( 20)P X

Distribuição Normal PadrãoDistribuição Normal Padrão

= 15 sacos

= 6 sacos

Exemplo 3Exemplo 3

20 150,83

( 20) ( 0,83)

0,5 0,2967 0,2033

P X P z

( 0,83)P z

A chance de que o estoque acabe antes do tempo de espera é de 20,33%.

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40

( 20)P X

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

0,83

Área da tabela z

Distribuição Normal PadrãoDistribuição Normal Padrão

z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09