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8/18/2019 Exame - Manha
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13. A função a( x) = 2.02 x5 - 1.28 x4 + 3.06 x3 - 2.92 x2 - 5.66 x + 6.08 é utilizada numestudo do comportamento mecânico dos materiais, representando a( x) o comprimento dafissura e x(> 0) uma fracção do número de ciclos de propagação.
Pretende-se saber para ue !alores de x a !elocidade de propagação é nula. "tilizeum método ue não recorre ao c#lculo de deri!adas, usando como critério de paragem ε =10-2 ou no m#$imo tr%s iteraç&es.
'esolução(
)este problema, a( x) representa o comprimento de uma fissura, mas pretende-seobter o ponto para o ual a !elocidade de propagação da mesma é nula, i.e., a′( x) = 0.
Para tal, é necess#rio encontrar o zero da deri!ada da função fornecida no enunciado,ue corresponde a(
a′( x) = 10.10 x4 - 5.12 x3 + 9.18 x2 - 5.84 x - 5.66.
*udança de !ari#!el( a′( x) → f ( x).
+oloca-se a função na forma f ( x) = 0, i.e., 10.10 x4-5.12 x3+9.18 x2-5.84 x-5.66 = 0.
"tiliza-se o *étodo da ecante, por não ser necess#rio o c#lculo de deri!adas, comk = 2. Para tal, são necess#rios dois pontos iniciais, correspondentes ao inter!alo onde seespera ue a solução se encontre. Pela obser!ação da figura, !erifica-se ue e$istem doiszeros para a !elocidade, um em [-0.6 , -0.4] e outro em [0.8 , 1]. +omo um número deciclos negati!o não faria sentido, utiliza-se apenas o zero do inter!alo positi!o, com x1 =0.8 e x2 = 1.
(1 - 0.8) 2.66
2.66 - (-2.94128)
+ritério de paragem.
| f ( x3)| = | - 0.445866| ≤ 0.01 also/0
critério de paragem não foi cumprido, e o método iterati!o prossegue até ue ambas ascondiç&es se !erifiuem em simultâneo. bt%m-se os !alores de x4 = 0.918657 e x5 =0.920524. 2erifica-se o critério de paragem(
| x5 - x4| | 0.9205 24 - 0.9186 5 7|=
| x5| |0.920524|
| f ( x5)| = |0.001327| < 0.01 2erdadeiro/0
A solução é obtida ao fim de 3 iteraç&es. ponto para o ual a !elocidade depropagação da fissura é nula é x∗ ≈ 0.920524.
x3 = x2 -( x2 - x1) f( x2)
f ( x2) - f ( x1)= 1 - =
=< 0.01 2erdadeiro/0
8/18/2019 Exame - Manha
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1. )um determinado circuito eléctrico, as correntes i1 , i2 e i3 passam atra!és dasimpedâncias Z 1 , Z 2 e Z 3 e são dadas por(
i1 + i2 + i3 = 0
Z 1i1 - Z 2i2 = e1 - e2
Z 2i1 - Z 3i3 = e2 - e3
,e Z 1 = 10 , Z 2 = 8 , Z 3 = 3 , e1 - e2 = 65 e e2 - e3 = 120:
a0 +alcule os !alores das correntes i1 , i2 e i3 por um método directo e est#!el.
b0 +alcule o determinante da matriz.
c0 +alcule a matriz in!ersa.
'esolução(
a0 *udança de !ari#!el( i → x.
ubstituindo as constantes, obtém-se(
+ x2
- 8 x2
1 1 0
-8 0
0 -3 120
Procede-se troca de lin4as →0 porue o elemento de maior m5dulo da
primeira coluna de!e colocar-se na primeira lin4a, na primeira etapa.1 1 1 | 0 16 -8 0 | 65
10 -8 0 | 65 1 1 1 | 0
8 0 -3 | 120 8 0 -3 | 120
1a etapa( 7lemento pivot 1 a110( 16 elemento de maior m5dulo da primeira coluna0
+#lculo dos multiplicadores(
a21 1
m21 =-
=-
pivot 1 10
multiplicador m21 !ai multiplicar a lin4a pi!ot lin4a 10 e adicionar lin4a 8.
A =
065
120
x1
10 x1
8 x1
65
+ x3 ==
- 3 x3 =
b =
1
10
8
-
1,8
a31 8
=-
pivot 1 10 =-
0.8=-
0.1; m31 =-
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multiplicador m31 !ai multiplicar a lin4a pi!ot lin4a 10 e adicionar lin4a 3.
7$emplo( -8 × (-0.1) + 1 = 1.8
A matriz ampliada obtida no final da 1a etapa é(
10 -8 0 | 65
0 1.8 1 | -
6.5
0 6.4 -3 | 68
etapa( 9rocam-se no!amente as lin4as →0, de modo a ue o elemento de maior m5dulo da segunda coluna da segunda lin4a para bai$o0 fiue na posição a22.
10 -8 0 | 65 10 -8 0 | 65
0 1.8 1 | -6.5 0 :.; -3 | 68
0 6.4 -
3 | 68 0 1.8 1 | -
6.5
7lemento pivot 2 a220( :.; elemento de maior m5dulo da segunda coluna, a partir da segunda lin4a0. +#lculo do multiplicador(
a32 1.8m32 = - = -
pivot 2 6.4
multiplicador m32 !ai multiplicar a lin4a pi!ot lin4a 80 e adicionar lin4a 3.
10-
8 0 | 65
0 6.4 -3 | 68
0 0 1.84375 | -25.625
Assim, obte!e-se o seguinte sistema, agora triangular, ue se resol!e porsubstituição in!ersa, ou seogo, os !alores das diferentes correntes correspondem a i1 = 9.788136 , i2 =4.110169 e i3 = -13.898305.
b0 +#lculo do determinante da matriz(
det ( A) = det (U ) × (-1)t = (uii) × (-1)t t é o número de trocas delin4as0.
A matriz U é a matriz triangular superior obtida no processo de eliminação de?auss(
10-
8 0
0 6.4 -3
-
8,3
= -0.281250
65
68
-25.625
i=1 ,...
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0 0 1.84375
Assim, det ( A) = u11 × u22 × u33 × (-1)2 = 10 × 6.4 × 1.84375 × (-1)2 = 118.
c0 +#lculo da matriz in!ersa
1 1 1 | 1 0 0
10 -8 0 | 0 1 0
8 0 -3 | 0 0 1
Aplica-se 7?PP ao con
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0.542373 0.067797 -0.152542
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8. "ma f#brica de tintas pretende utilizar as sobras de tinta de 3 tipos diferentesde cada tonalidades de tinta !erde para criar uma tonalidade de !erde maispopular. "ma unidade de medida u.m.0 da no!a tinta ser# composta por x1 u.m. de tinta tipo 1, x2 u.m. de tinta tipo 8 e x3 u.m. de tinta tipo 3. u.m. de tintano!a é composta por ; pigmentos ue estão relacionados pelo seguinte sistema deeuaç&es lineares(
30 x3
10 x3
60 x3
s coeficientes da matriz representam a percentagem de pigmento em cada umadas 3 diferentes tonalidades de tinta !erde, por e$emplo, a tinta com a no!atonalidade de!er# conter 31% de pigmento 3, sabendo ue a tinta tipo 1 contem16%, a tinta tipo 8 20% e a tinta tipo 3 60% do mesmo pigmento.
a0 'esol!a o sistema de euaç&es usando o método iterati!o de ?auss-eidel,utilizando para apro$imação inicial o ponto (0.5 , 0.2 , 0.2)T e utilizando para critériode paragem ε = 0.25 ou nmax = 2.
'esolução(
a0
7uação iterati!a do *étodo de ?auss-eidel( ( D - L) xk +1 = U xk + b
1a iteração k = 10( ( D - L) x(2) = U x(1) + b
0 0 -30 -10
0 0 -10 -10
0 0 0-
72
)ota( A matriz
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2erificação do critério de paragem A.C0(
34
80
0.5
- =
| | x( 2 ) - x(1 ) | | (-
0.075)2 + 0.11252 + 0.09922 + 0.03752 0.1718|| x(2) ||
= 0.2828 < 0.25 also/0
critério de paragem não é !erificado, pelo ue se continua para a segunda iteração.
8a iteração k = 20(
0.425 40
0.3125 27
0.2992 31
30.649 0.3831
x(3) = ⇔ x(3) =
28.3 0.2710+ritério de paragem(
| | x( 3 ) - x(2 ) | | 0.0573=
|| x(3)
|| 0.5576
A estimati!a do erro relati!o é inferior a 6.8D, e o processo iterati!otermina. A apro$imação solução encontrada é(
x∗ ≈ 0.0584 u.m. de cada um dos tipos de tinta.
x(2) - x(1) =
0.3125 0.2 0.1125
0.0375 0 0.0375
= √ = =
0.425 -0.075
0.2992 0.09920.2
+
0
0
0 0
0 -30
0 0-
10 x
(3) =
80 0
0 80
16 20
0
0
60
0
80
20
23.633 0.29540
0
60
80
0
16
= 0.1027 < 0.25
x∗ ≈
1 2 3
x∗ ≈ 0.3831,
0.2954, x∗ ≈ 0.2710 e
4
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3. "m engen4eiro de Produção super!isiona a produção de uatro tipos decomputadores. 7$istem uatro espécies de recursos necess#rios produção(mão-de-obra, metais, pl#sticos e componentes electr5nicos. As uantidades destesrecursos, necess#rias para produzir cada computador são(
*ão de obra *etais Pl#sticos +omponentes
(h/comp.) ( !/comp.) ( !/comp.) (unid./comp.)
1 3 86 16 16
8 ; 8D 1D E
3 C ;6 86 16
+onsidere um consumo di#rio de 504 h de mão-de-obra, 1970 ! de metais,
970 ! de pl#sticos e 601 componente".
a0 "se um método directo para calcular o número de computadores númerointeiro0 de cada tipo produzidos por dia.
b0 "se o método iterati!o de ?auss-eidel, tomando como apro$imaçãoinicial x(1) = (9 , 10 , 12 , 10). Apresente apenas os c#lculos relati!os s duas primeirasiteraç&es, indicando uma estimati!a do erro relati!o.
'esolução(a0 ormulação do sistema de euaç&es lineares(
3 x1 + 4 x2 + 7 x3
20 x1 + 25 x2 + 40 x3
10 x1 + 15 x2 + 20 x3
3 4 7
20 25 40
10 15 20
'esol!e-se o sistema linear por 7?PP(
3 4 7 | 504 86 25 40
20 25 40 | 1970 1,8 3 4 7
10 15 20 | 970 10 15 20
= -0.15, m31 = -
20 25 40 | 1970 20
0 0.25 1 | 208.5 08,;
0 2.5 0 | -15 0
= 5041970
970
=
=
b=
504
1970
970
A =
1970
504
970
|
|
|
10 =20
25
-;.D
2.5
10 =20
320
m21 = - -0.5
40
-
10
0
| 1970
| -
384| -15
-10
-3
12.5
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2.5 0.25
-4.5 -4.5
50 | 1970
-10 | -384
-
8.555556 | -
228.333333
11.9444444 | 187.166667
m43 = - = 0.080000
50 | 1970
-10 | -384
-8.555556 | -228.333333
11.260000 | 169.900000
'esol!e-se o sistema por substituição in!ersa, obtendo-se x∗ = 10, x∗ = 12, x∗ = 18e x∗ = 15 computadores de cada tipo produzidos por dia.
b0
0 0 0
25 0 0
0 20 0
3 0 020 25 0
10 15 20
0 -1.3333 -2.3333
0 1.0667 0.2667
0 -0.1333 0.9667
7uação iterati!a de ?auss-eidel( ( D-
L) xk +1 = U xk + b
x(1) =
1a iteraçãok = 10(
3 0 0
20 25 0 0
10 15 20
) o ta ( A matriz
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;. c3 gGm30 numa série de 3 reactores como função da uantidade de massa
entrada de cada reactor termo independente do sistema em ! 0(
17c1 -2c2 -3c3
-
5c
1 +21c
2 -
2c
3
-5c1 -5c2 +22c3
a0 Apliue o método de ?auss-eidel ao sistema, considerando comoapro$imação inicial o ponto (34 , 19 , 13) e ε1 = 0.0025 ou no m#$imo 8 iteraç&es.
'esolução(
a0 7uação iterati!a do *étodo de ?auss-eidel( ( D - L) xk +1 = U xk + b
17 0 0
0 21 0
0 0 22
17 0 0
D - L =
-5 -5 22
1a iteração k = 10(
0 0 2 3
0 0 0 2
22 0 0 0
226 18.843137
30 13.360071
2erificação do +ritério de Paragem A.C0(
| | x( 2 ) - x(1 ) | | 0.397136=|| x(2) || 41.055557
critério não é !erificado e o processo iterati!o prossegue.
8a iteração k = 20(
33.941176 500
18.843137 200
13.360071 30
0 577.766487 33.986264
= 500
= 200= 30
D = L = U =
0
5
5
0 2 3
0 0 2
0 0 0
0 0
0 0
5 0
-5 21
19 200
13 30-
5 x(2)
=
34 500
+
-5
17 0
21
-5 -5
17 0
x(2)
=
0 577 33.941176
⇔ x(2) =21 0
-5 -5 22
= 0.009673 < 0.0025 also/0
0 0 2 3
0 0 0 2
22 0 0 0
-5 x(3)
=
+
-
5
17 0
21
-5 -5
17 0
0 226.720142 18.888165
22 30 13.380552
x(3)
= ⇔ x(3)
= 21
-5 -5
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2erificação do +ritério de Paragem(
| | x( 3 ) - x(2 ) | | 0.066932=
|| x(3) || 41.120167
critério de paragem é cumprido. A solução é encontrada ao fim de 8 iteraç&es ecorresponde a c∗ ≈ 33.986264, c∗ ≈ 18.888165 e c∗ ≈ 13.380552 gGm3.
= 0.001628 < 0.0025 2erdadeiro/0
1 2 3
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D. +onsidere a figura representando um sistema de ; molas ligadas em sériesu
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C. "ma transportadora tem tr%s tipos de cami&es, +amião1, +amião2 e +amião3,ue estão euipados para le!ar tr%s tipos diferentes de m#uinas de acordo com aseguinte tabela(
m#uina A m#uina ' m#uina #
+amião1 1 6 8+amião2 1 1 1
+amião3 1 8 1
Por e$emplo, o +amião1 pode le!ar uma m#uina A, nen4uma m#uina ' eduas m#uinas # . upondo ue cada camião !ai com carga m#$ima, uantoscami&es de cada tipo de!emos en!iar para transportar e$actamente 12 m#uinas A,10 m#uinas ' e 16 m#uinas # H
a0 'esol!a o problema por um método directo e est#!el.
'esolução(
a0 "m método directo e est#!el é a 7liminação de ?auss
1 1 1 | 12 2 1 1 | 16
0 1 2 | 10 0 1 2 | 10
2 1 1 | 16 1 1 1 | 12
2
1 | 16
2 | 10
0.5 | 4
1 | 16
2 | 10
-
0.5 | -
1
'esol!endo por substituição in!ersa obtém-se x1 = 4, x2 = 6 e x3 = 2. Be!emutilizar-se ; cami&es do tipo 1, : cami&es do tipo 8 e 8 cami&es do tipo 3 paratransportar a carga dese
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