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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS
DEPARTAMENTO DE GEOTECNIA
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE
ESTABILIDADE DE TALUDES
GENE STANCATI
SÃO CARLOS, 1979 PUBLICAÇÃO 023/94
REIMPRESSÃO
..
I
I ~~
~ ~ I t
•
-1-
ESTABILIVAVE VE TALUVES - MtTOVO VO TALUVE INFINITO
Exe~eZelo de Aplleac~o:
Para o talude abaixo, de comprimento infinito, determinar
qual as relações entre _a altura H e o ângulo de inclinação, i,
que podem provocar o seu deslizamento quando o solo estiver sa-
turado.
Sabe-se que
T 0 , 5 + C5 tg 20° t/m 2 =
2 t/m 3
Ysat =
1,8 t/m 3
Ynat =
Admitir o fluxo paralelo ao talude .
. , solo
i
rocha
-2-
.Solução: ---
Admitindo-se que o deslizamento ocorra para FS = 1, ou seja,
quando as forças de resistência se igualam as atuantes, teremos ,
para um elemento isolado do talude submerso
T b (Resistência disponível) o
• f
'
\
,- -;; •
L
Para · FS = 1,
c+
Ysat
Ou,
H = cos 2i
Ou ainda,
H =
então
Ysub H 2. cos 1 tg <I>
H sen i cos1
c
(y sat tg i -
c
Ysat (tgi -
Ysub
Ysub
Ysat
Para os dados fornecidos:
H = 0,5
i = 10,3 H = Cl)
i = 12,5 H = 6,61
i = 15 H = 3,12
i = 17,5 H = 2,06
i = 20 H = 1,56
i = 25 H = 1,07
i = 30 H = 0,84
-3-
tg</>)
tg</>)
0,25 =
cos 2 i (tg i - 0,182)
H(m)
8
.7
6
5
4
3
2
1
-4-
10 20 30
-5-
ESTABILIVAVE VE TALUVES - MtTOVO VE CULMANN
Exe~eleio de Apiieação:
Para o talude abaixo indicado, admitindo-se que haja
uma fenda de tração de 2,00 m de profundidade em toda a exte~
são do terrapleno, totalmente preenchida com igua, conformei~
dicado na seção, determinar o coeficiente de segurança global
ao e~corregamento para diversas local izaç~es da fenda.
4,00
8,0
2,00
0,0 y = 1,90 t7m3
T = 2,0 + cr tg 20° (t/m2 )
Escala: 1:100
Solução:
A
a l ~ Etapa -
X
. -6-
EA = 2 t/rn h
Cálculo do empuxo resultante da coluna de agua que
preenche a fenda.
Da distribuição de pressao de água, EA = 2 t/m, c_!e.,
qualquer que seja a posição da fenda.
... 1 • . •
-7-
2~ Etapa - Determ i nar os diversos valores de:
AB = comprimento da cunha de escorregamento
P = peso da cunha de terra
e =ângu l o que a cunha faz com a horizontal' pa
ra diversos valores de x
A' "6' "{!>l ~
X· AB p e
(m) (m) ( t) (o)
2 8,49 26,6 45,0
4 • 1 o ' o 45,6 36,9
6 1 1 '6 5 64,6 31
A res~stincia do solo devido a coesio e atrito dar-se-â ap~
n a s a o 1 o n g o da c u n h a A B , u ma v e z q u e a f e n d a i s o 1 o u o mate r i a 1 ,
'; e·contribuirá apenas com mais o Empuxo EA, para o escorrega-
menta.
a 3. Etapa - Determinar os coeficientes de segurança globais pa-
ra as dive~sas posiç6es da fen .da, a partir das for-
ças atuantes e resistentes
FScjJ =
FSc =
tgcjJ disponível
tgcjl mobilizado
c disponível c mo b i 1 i z a·d o
-
=
2 = em
tg 20°
tg cjJ m
Ç = em AB = força de coesa o resultante mobilizada
O polígono das forças genericamente seri constitui do pelas
seguintes componentes:
e
c
O Coeficiente de Segurança Global é
FS = FS c
Cd coesao disponivel cd . ~B
N componente normal ao plano AB
T componente tangente na direç~o AB, respons~vel pelo
deslizamento.
direç~o AB
3.1 - Para x = 2 m
Direção C
e
2 mm 1 t
T Soluç~o
cd + N tg <P d FS
p T
cd ( 2 X 8. 59) t/m N
N 19,3 t/m
T 20,5 t/m
<Pd 20° FS 1. 17
-i8-
-9-
3.2 - Para x = 4 m
direção de c
1 mm 1 t e
Solução
T cd + N tg<jíd FS
T
cd = ( 2 X 1 o. o) t/m
N 36,5 t/m
T 30,0 t/m FS L 11
<Pd 20°
3.3 - Para x = 6 m
direção de C
1 mm 1 t
Solução
FS
cd ( 2 X 11,6 5) t/m
N 56 t/m
T 36 t/m
FS 1, 21
<Pd 20°
-10-
J.a . ·" Etapa - Estudo da Condição Crftica
FS 1 em = 1
X (1 em = 1 m)
Conclusão: A fenda torna-se crftica a estabilidade do talu
de quando se localizar a 4 m da extremidade.
-1,1-
ESTAB1L1VA'OE VE TALUVES - MtTOVO VE FELLENIUS
Exe4c1cio de Apticação:
Analisar a estabilidade do maciço abaixo, segundo o crrculo
de Centro O. Sabendo-se que:
Y • 1 ,85 t/m 3 e • 0,65
Considerar as condições de re-
sistinci~ idinticas para região saturada e natural.
Observaçio: As equipotenciais' em tracejado e a 1 inha freitica,
8.00
foram obtidas a partir de uma rede de fluxo traç~
da para o maciço em questão.
\
+o
" \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \
\
\ \
\
\ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ I I
freática
equipotenciais
Escala 1:100
-12-
Solução:
a 1. Etapa- Traçar o diagrama de pressoes neutras que agem per-
pendicu1ares ao cfrculo de centro O.
Cada equipotencial tem uma mesma carga ou energia
. u H • -·+
Yw c ido.
\ \
I
\ \
z ...
\ \
-to
\
u4
H =
\
c te. ,
\ \
\ \ \ u3
\ ' \
Yw
em relação a um R.N. estabele
freática
\ \
T \ \
\ \ ul
\ ·j I I I \ U I
\ 2 I
\ I
\ \
ul
I -H=O+z' r- . 2
I
RN
-13-
Numa mesma equipotencial de carga H, a pressao neutra de
um ponto da freática é igual a zero; a pressao neutra de
um ponto do cfrculo de centro O, será:
u = (H - z ) y 2 2 w
Logo, a pressao neutra no ponto de intersecção, equipote~
cial-cfrculo, será a diferença de cota, na vertical, entre
esse ponto e um pertencente à mesma equipotencial que inter-
septe a freática.
u • (z 1 - z ) y 2 2 2 w
Esta pressao neutra se distribui ao cfrculo perpendicula~
mente.
a 2. Etapa-
Dividir o cfrculo em lamelas.
Determinar as alturas médias,h, e as bases médias,
b, de cada uma das lamelas.
Determinar a pressao neutra média, u, que age em ca
da lamela que esteja sob a linha freática.
o
lam 2 lam 1 lam o
-15-
a 3. Etapa -
Determinar as componentes norm~1s e tangentes dos p~
sos de cada lamela, para as condiçÕes saturada e não saturada.
Para tanto, decompor as alturas h, sa~urada em nor-
mais e tangentes em- rela~ão i base da lamela, como na figura
que se segue:
a 4. Etapa
Ysat
talude
freática
círculo
Cálculos:
2,67 + 1 X 0.65 X 1 3
2,01 t/m
1 + e
Solo nao saturado
( m) ( m)
lam. b n
o 0,45 0,25
1 3,0 o, 8 5
2 2, o 1,25
3 2. o 1, 6 5
4 1, g l, 25
5 2, o 0,30 . 6
7
E
1 + o, 65
y
( m)
t
o,. 6 o l, 1 o 1, o o 1, o o 0,25
o, 1 o
3 L 8 5 t/m
bnY
0,25
4,72
4,65
6, 11
4,39
L 11
bt y
o, 50
6,11
3,70
3,70
o, 8 8
l, 37
21,18 15,26
-16-
( m)
lam. b
1
2
3
4
5
6
7
L:
3' o
2' o
2, o
1. 9
2', o
2,2
2,0
n = n sat
b = R a o
( m)
n
1' 6
4,0
5,3
6, o
5. 5
3,8
1,2
Solo Saturado ysat 3
2,01 t/m
( m)
t
2,2
3. 1
2,55
1' 6 5
o' 5o
-o, 3
-o, 3
bt y
13,27
12,46
10,25
.6' 30
2,01
-1,33
-1' 21 f'
41,75
t t sat
bn y u
9' 6 5 1' 6 5
16,08 4,75
21,31 5' 5
22,91 5, o
2 2, 11 4, 1
16, 8 2, 9
4, 8 2 1, o
113,68
a
25
11
12
9
10
11
9
y
bo
5,28
2,28
2,52
l, 9 2
2,04
2,28
l, 92
y sat
-17-
u
8' 71
10,83
13,86
9,60
8,36
6, 61
l, 9 2
58,89
A força resultante U, é calculada, tomando-se a pressão neutra média
distribuída u, de cada lamela multiplicada por b {= seguimento de arco o
da lamela).
As forças tangentes das lamel~s 6 e 7, estão na realidade colaboran
do para conter o escorregamento, logo o momento atuante será diminuído.
FS
. FS
c L: b + ( ~ N + L ( N - U J) t g ,!.. o sat ~
"T + "T '-' '-' s at
c R e + (L: n b y + L: n b y - L u b 0
) t g ,!.. sat sat ~
L: t by + Lt t sa b Ysat
3 c = 3,5 t/m e 1,52 rd R
3,5 X 12 X 1,66 +(21,18 + 53,79) 0,53 FS
15,26 + 41,75
OBS:- c e cp idên
ticos para as
condiçÕes satu
rada ou não.
o 12 m; tg 28
l' 9 3
o, 53
~7.0 r-
-10.4 r-
-18-
ESTABILIVAVE VE TALUVES - MtTOVO VE BISHOP SIMPLIFICAVO
Exe~eZeio de Aplieação:
Analisar a estabilidade do talude abaixo, segundo um cír
culo de·cota O, passando pelo ponto P.
Características da argila siltosa:
+ o
+ p
y = 1,70 t;m3
s = 0,15 + tg 17° (Kg/cm2 )
0.0 v--
Argila siltosa
Argila composta
Escala 1:100
-19-
Solução:
a 1. Etapa - Dividir o semi-círculo em larnelas para determinação
Onde
dos parâmetros da fórmula
F = c b + p tg<jl \
Ma
r P sen a
Ma= (1 + cosa
a = ângulo indicado na figura seguinte.
c = coesao disponível do ~olo, ao longo do círculo de ruptura
<P = ângulo de atrito disponível do solo, ao longo do circulo de
atrito
Fi= coeficiente de segurança adotado para resolver o problema
por processo iterativo
P = peso de cada larnela
b = largura (medida na horizontal) de cada larnela
a 2. Etapa Montar urna tabela onde conste os parâmetros invariá
v eis (c, b, P,'q,, a) e os variáveis (Ma= f (Fi)
de forma a resolver o problema por iteração.
a 3. Etapa - Adotar um coeficiente de segurança inicial, geral -
mente é o determinado pelo Processo de Fellenius, ~
ra o mesmo problema.
-10.4
'
-20-
.Argila siltosa
Argila compacta
Escala 1:100
T A B E L A
1 2 3 4 5 6
Lame1a b h p a sen a P sen a
1 3,2 3,6 19,58 56° 0,83 16,23
2 2,0 6,4 21,76 37° 0,60 13,10
3 2,0 7,6 25,84 25° 0,42 10,92
4 2,0 6,6 22,44 15° 0,26 5,81
5 2,0 . 3 '4 11,56 50 0,09 1,01
6 2,0 1,7 5,78 -50 -0,09 -0,50
7 2,0 1,3 4,42 -15° -0,26 -1,14
8 2,0 0,5 1,7 -26° -0,44 0,75
E 44,68
7 8 9
Ma
cb cb+tg<P p F= 1,35 F = 1, 48
4,8 10,79 0,75 0,73
3,0 9,75 0,94 0,92
3,0 11,01 1,0 0,99
3,0 9,96 1,03 1,02
3,0 6,58 1,02 1,02
3,0 4,79 0,98 0,98
3,0 4,37 0,91 0,91
3,0 3,53 0,80 0,81
10
8 .!. . F= F1
14,39
10,37
11,01
9,67
6,45
4,89
4,80
4,41
65,99
9
F == F2
14,78
10,6
11,12
9,76
6,45
4,79
4,37
4,36
66,23
I N I-' I
4~ Etapa - Cálculos Finais
Dados: y = 1,70 t/m3
1,5 t/m2 c =
tg<l> = 0,31
Coeficientes de Segurança Adotados:
Fl = 1,35 (Fellenius)
F2 = 1,48
tg<!> /Fl
tg<l> /F2
Determinação dos Coeficientes de Segurança:
Fl = 65,99 = 1,48
44,68
F2 = 66,23 = 1,48
44,68
Coeficiente Final: F = 1,48
-22-
= 0,23
= 0,21
-23-
ESTABILIVAVE VE TALUVES - MÉTOVO VAS CUNHAS '
Calcular o coeficiente de segurança do talude de montante
da barragem de terra - enrocamento representada na seção aba!
xo, segundo uma superficie de ruptura passando pelos pontos A
e B. Considerar o tipo de superficie de ruptura que apresen-
te a condição mais critica do talude e os seguintes parâmetros
dos materiais:
- Enroca.'llento: - Aterro
A
s = tg
y = 1,9
Ysat= 2,1
N.A. (857) v--
---------------
40° s =
t/m 3 y =
t/m 3
y sat-
ROCHA SÃ, IMPERMEÂVEL
0,5 kg/cm
1,8 t/m 3
2,0 t/m 3
2
800
' ESC. 1:1000
-24-
O problema apresenta superf~cies preferenciais de escorreg~
mento, logo a solução será melhor se feita pelo Processo das Cu
nhas; a análise será feita considerando-se que a parte do maci-
ço potencialmente deslizante se divide em duas cunhas,
ABCi e passiva BCiD.
A
NA (857)
' --------------------------
AT.EROO
ROCHA SÃ, IMPEru:'iEÁVEL
ativa
800
' ESC. 1:1000
Como a superfície, BCi, entre as duas cunhas nao está defi-
nida é necessário determinar a condição mais crítica, isto e, a
superfície BCi, que ocasionar o menor coeficiente de segurança
FS, ao. sistema.
a 1. Etapa - Análise dos coeficientes de segurança a serem adota-
dos.
CP FSp =
c
AB =
p
tg<Pp;
tg<Pp = =
-25-
cp AB = c - força p de coes ao disponivel na cunha passiva ABCi;
c força p de coes ao mobilizada na cunha passiva ABCi
<Pp ângulo de atrito disponivel na cunha Passiva ABCi
(/) ângulo de atrito mobilizado na cunha passiva ABCi p
<PA ângulo de atrito disponivel na cunha ativa BCiD
cpA ângulo de atrito mobilizado na cunha ativa BCiD
No problema, a cunha passiva terá o desenvolvimento de resis
tência ao longo da face AB, portanto com parâmetros do enrocame~
to, ou seja, c = O; a cunha ativa contribuirá com a resistência p
do aterro, ou seja, <PA = O, e resistirá apenas com a coesão cA,
ao longo da face BD.
Para c = O, então c = O e c = O. Ou, na cunha passiva, p p p
nao haverá imobilização de resistência devido a coesao.
Para <PA = O, então (/)A = O. Ou, na cunha ativa não haverá
mobilização de resistência devido ao atrito.
Assim,
=
A obliquidade da força entre a~ duas cunhas sera:
FS p =
tg<Pp
tga = <Pp
2~ Etapa - Análise dos coeficientes de segurança da cunha ativa
BCiD, a serem determinados.
=
= força de coesao disponivel na cunha ativa BCiD
CA força de coesão mobilizada na cunha ativa BCiD
-26-
a 3. Etapa - Esquema das Forças atuantes e resistentes nas duas cu
nhas.
A
~p
c. 1
B
D
As superficies BCi serao três, como ilustradas na fi-
gura abaixo.
NA (857)
---------------------------------------
800
A ROCHA SÃ, IMPERMEÁVEL ESCALA 1:1000
-27-
4~ Etapa - Análise do Equilibrio das cunhas ABC1 e BC1D, onde
Bc1 é a primeira superfície de deslizamento adota-
da entre as duas cunhas
4.1- Cálculo dos pesos das cunhas
D
A
Considerando-se o enrocamento de montante e o ater
ro do núcleo central totalmente submersos, o peso específico do
solo será o submerso (y' = Ysub - Yw).
Outra solução do problema poderia levar ao mesmore
sultado se considerássemos a distribuição das pressões de água
nas cunhas, e o peso das mesmas como sendo o saturado.
Então para a hipótese adotada
=
=
1 2
1
2
. 22,5 . 67 . 1,1
. 22,5 . 67 . 1,1
= 829,1 t/m
= 829,1 t/m
p p
4.2 -Para FS = 1,98 p
tg 40°
Tg ~p
dir. BD
F
= 1,98
AB
-28-
=
dir. l BCl
Para essas condições, nos poli
gonos de forças, construídos
para as duas cunhas, obtemos:
CA = 130 t/rn
5 X 71 =
130
FS = A
CA BD ---=
c A
FSA '= 2,7
-29-
4.3 - Para FS = p
2,30
tg 40° = 2,30 = =
tg <Pp
direção BD
c
a =
dir. 1 BC1
Escala 1 em = 100 t/m
Para essas condições, nos poli -
gomos de forças, construído p~ p
p r a as duas cunhas, obtemos:
CA BD -CA = 230 t/m FS = A
CA
dir. AB
8,5 5 X 71 = FSA = 1,53
23.0
R
4.4 - Para FS p
tg 40°
tg (jip
dir. BD
F
'"' = 15,6° 't'p
=
-30-= 3,0
3,0 cpp = 15,6° = a
a = 15,6°
dir. 1 a BD
AB
= 430 t/m
cA BD 5 X 71 = = 0,82
430
4.5 - Para FS = 5,6 p
Nesse caso F =
dir. BD
dir. 1 BC 1
F
::;:: = 8,5° '~'p
AB
-31-
E = O e o <Pp = 8,5 =
Escala 1 em = 100 t/m
Para o polígono de forças
das duas cunhas, obtemos:
c A = 575 t/m
CA BD 5 X 71 FSA = =
CA 575 = 0,62
-32-
4.6 - Determinação do Coeficiente de Segurança do Sis
tema cosntituido pelas duas cunhas ABC 1 e BC1D,
tal que
5
1
1
=
5
=
FS . p
5~ Etapa - Análise do equilibrio das cunhas ABC2 e BC 2D, onde
BC2
e a segunda super:Eicie de deslizamento adotada
entre as duas cunhas.
5.1 - Cálculo dos pesos das cunhas:
D
A
Para essa hipótese teremos:
PA 1 7,9 22,5 1,1 977,6 t/m = . . = 2
1 680,6 t/m PB = . 55 22,5 . 1,1 =
2
' I
I
I
5.2- Para FS = 1,80 p
tg 40°
Tg cjlp
direção BD
= 1,80
dir. l BC 2
~p =
Escala 1 em = 100 t/m
-33-
= a
Para essas condições no polígono
de forças em equilíbrio das cu-
nhas , te remos :
-CA = 130 t/m
5 X 71 FSA = = 2,70
130
-c A
5.3 - Para FSP = 3,0
tg 40° = 3,0
tg ~p
dir. BD
p p
th = 15,6° 't'p
-34-
cpD = 15,6° = a
Escala 1 em = 100 t/m
Para essas condições, no
polígono de forças, tere
mos:
=
FS = A
380 t/m
5 X 11 = 1,00
350
5.4
\p A
F
8,5°
- Para
tg: 40°
tg (j)p
Nesse
FS = 5,6 p
= 5,6 e
caso E = o
dir. AB
-35-
<Pp = 8,5 = a
e F = pp
Escala 1 em = 100 t/m
Para essas condições, do
polígono de forças, tere
mos:
CA = 465 t/m
5 X 71 FSA = = 0,76
465
a 6. Etapa
-36-
5.5 - Determinação do Coeficiente de Segurança do
sistema constituido pelas duas cunhas ABC 2
e BC 2D, tal que
5
1
1
=
FS 2 = 2,0
5
=
FS p
Análise do equilibrio das cunhas ABC 3 e BC 3D, on
de BC 3 é a terceira superficie de deslizamento ado
tada entre as duas cunhas.
6.1 -Cálculo dos pesos das cunhas
D
A
1 p = . 102 . 22,5 . 1,1 = 1262,3 t/m
p 2
1 PA = 32 . 22,5 . 1,1 = 396 t/m
2
p p
6.2 - Para FS p
tg 40° =
tg <Pp
Dir. BD
dir AB
8,5°
=
-37-
2,31
2~31 - 20° <Pp = a
Escala 1 em = 100 t/m
Nessas condições, para o polig~
no de forças das duas cunhas em
equi1ibrio, teremos CA = 120 t/m
5 X 71 = = 2,93
120
R
6.3 - Para FS = 3,0 p
tg 40°
tg cpp = 3,0
dir. BD
A: = 15,6° '+'p
a = 15,6°
dir 1 BC 3
di r AB
-38-
= =
Escala 1 em = 100 t/m
Para essas condições do p~
lígono de forças temos:
-CA = 170 t/m
5 X 71 FSA = = 2,06
170
-39-
6 . 4 - Par a• F S p = 5,6
tg 40° = 5,6 = 8,5 = a
-tg cpp
Para esse caso E = O e F =
-dir. BD
R
E
Escala l em = 100 t/rn
Para essas condições
5 X 71
F CA = 280 t/rn =
280
= 1,3
dir AB
5
l
-40-
6.5 - Determinação do Coeficiente de Segurança do
l
sistema constituído pelas duas cunhas ABC 4
tal que:
FS 4 = 2,5
5
FS = FS A p
FS p
=
7C:: Etapa - Determinação da superfície critica BC i em · função
dos coeficientes de segurança FSi.
FS
3,0
2,0
1,0
Ângulo da s~ .,. :
perf1cie BCi
com a horizontal
-41-
BCl - forma um ângulo de 117° com a horizontal
BC 2 - forma um ângulo de 90° com a horizontal
BC 3 - forma um ângulo de 61° com a horizontal
A condição crítica será com o coeficiente de segurança
1,55 para uma superficie BC inclinada de 99° em relação à ho
rizontal.
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