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FISC7006

Eletrodinâmica Clássica II

Prof. Dante H. Mosca

2018

Reação RadiativaConcepção de Abraham- Lorentz

Resulta numa auto-interação da partícula com seu próprio campo.

o

Análise energética

elétrons

v = xd

Força de reação radiativa

Movimento periódico ou particularmente são descorrelacionados:

Equação de movimento de Abraham-Lorentz

Soluções não-causais

Se Fext = 0 então ???

Aproximação por expansão

Caso de um elétron numa órbita em situação fracamente radiativa

Equação secular do momento angular

Logo,

e

varia num intervalo

Exercício 13

[ ]

Átomo de Bohr:

Irradiação instantânea numa órbita:

Transição radiativa:

Massa eletromagnéticaEm1893, Thomson notou que o momento e a energia eletromagnética de um corpo com carga elétrica não nula e, portanto, sua massa dependia da sua velocidade.

Em 1897, Searle deduziu uma expressão para a energia eletromagnética de uma esfera carregada em movimento.

G. F. C. Searle, (1897), On the Steady Motion of an Electrified EllipsoidPhilosophical Magazine, Serie 5 Volume 44, Issue 269 : 329–341 (1897)

Fulton and Rohrlich, "Classical Radiation from a Uniformly Accelerated Charge" Annals of Physics, 9, 499-547 (1960)

Einstein, 1905

The concept of the electromagnetic (relativistic) mass is a kind of resistance of theeletromagnetic media, not a mass of matter. The Classical Electrodynamics has never solved this problem.

Kaufman´s and Buchener´s experimental apparatus

Feynman physics lectures, 1962

Mass in Standard ModelThe hadrons were organized into SU(3) representation multiplets, octets and decuplets, of roughly the same mass, due to the strong interactions; and smaller mass differenceslinked to the flavor quantum numbers.

The Gell-Mann–Okubo mass formula systematized the quantification of these small mass differences among members of a hadronic multiplet (explicit symmetry breaking)their isospin (I) and strangeness (S) or alternatively hypercharge (Y):

masses range from 938-1321 MeV/c2

Elétron num campo eletromagnético externoAbraham (1903) e Lorentz (1904)

Auto-campos:

total electromagnetic momentum

Qual é o modelo?

Partícula instantaneamente em repouso

aCGS

Expansão ....

n = 0 ( força auto-eletrostática)

Distribuições esféricas e simétricas levam a contribuições nulas para n = 0 e n = 1.

n = 2

Distribuição esférica e rígida

-

via integração por partes:

usando

se n = 0

então

média espacial = 1/3

=

Análise de Fourier

Massa eletromagnética efetiva

Admitindo

Consequências

carga puntiforme:

Observações :

- a contribuição do auto-campo para a massa efetiva depende de um fator de forma da distribuição de carga - a dependência em frequência no caso puntiforme conduz a eq. de Abraham-Lorentz

- soluções causais são obtidas para a > c que é da ordem do raio clássico do elétron

- a contribuição da auto-força conduz para auto-energia eletrostática uma fração: mem = (4/3c2) Eem

- hipótese de Poincaré da existência de um tensor de tensão adicional.

Problemas nos fundamentos da Eletrodinâmica

Elétron num campo de força externo

~ 10-24

s

F. Rohrlich, Am. J. Phys. 65 (11): 1051, November 1997

Dinâmica de uma esfera de raio a com carga e

stress de Poincaré

Exercício 14

Exercício 15

Nota sobre a formulação covariante:

,,,

cte

Cálculo explícito de energia, momentum e massa eletromagnéticas

Densidade de energia (u), vetor de Poynting (g) e tensor de Maxwell (T )

Energia e massa eletromagnéticas

μνΘ

Formulação covariante (partícula carregada (spinless) clássica e estável)

No referencial de repouso K ' :

Quadri-coordenada perpendicular à velocidade:

Tal que, em K ' :

=

Modelos covariantes

Proposta de Schwinger=

Cap. 6 --> Cap.12

parte simétrica e invariante ao calibre

Tensor de tensão de Poincaré

(hipótese arbitrária geral e de natureza não eletromagnética)

Admite variantes (h’s) na formulação covariante

&

=

=

Análise

= casca esférica! esfera rígida!

Massa total do elétron e do campo “efetivo” associado ao tensor P

Comentário: apesar da energia e do momento relativísticos adequados

Nota: a modelagem Poincaré-Schwinger não resolve a reação radiativa.

Exercício 16

(a) Discutir a proposta Wheeler-Feynman (modelo do absorvedor ideal)

(b) Discutir a proposta de Dirac (superposição das soluções avançadas e retardadas)

(c) Discutir a proposta de Cramer (Mecânica Quântica)

Exercício 17

Discutir as questões de fundamentos de eletrodinâmica:

(a) Fator 4/3 na massa eletromagnética de uma partícula elementar clássica livre.

Sugestão: artigo de H. Kolbenstvedt, Physics Letters A 234 (1997) 319.-321.

(b) Momentum do campo eletromagnético, momentum de fótons e controvérsia de Abraham–Minkowski ( p

Minkowski = (hf/c)n e p

Abraham = (hf/c) / n )

Sugestão: artigo de David J. Griffiths, Am. J. Phys. 80, 7 (2012) Doi: 10.1119/1.3641979

Simetrização da reversão temporal&

Teoria do absorvedor de Wheeler - Feynman

O elétron não interage com seu próprio campo, mas há um campo livre atuando sobre o elétron em cada posição que ocupa !

J. A. Wheeler & R. P. Feynman, Rev. Mod. Phys.,17, 157 (1945) 21, 425 (1949

Proposta de Dirac

Termo de amortecimento sem a necessidade de auto-interação retardada,mas é preciso saber a aceleração inicial ou, equivalentemente via equações de Maxwell, conhecer os campos iniciais e as condições de contorno.

A absorção total elimina os efeitos de não causalidade!

Interpretação quantum-mecânica

Postulado: partículas elementares não são auto-interagentes !

Contra-argumento: a descrição do deslocamento de Lamb necessita do termo de auto-energia.

Conjectura : interpretação alternativa da Mecânica Quântica proposta em 1986 por John Cramer* que descreve interações quânticas em termos de uma onda estacionária formada por ondas retardadas (forward-in-time) e avançados (backward-in-time) :

*J. Cramer,The Transactional Interpretation of Quantum MechanicsReviews of Modern Physics 58 (1986) 647-688

VA e VR são os potenciais de Liénard-Wieckert avançados e retardados.

3 : 1 300 K

1 : 1 < 20 K

estados de spin nuclear na água

http://phys.org/news/2014-09-electric-prism-nuclear-states.html

Interação do elétron com o vácuo

- comutação dos spins do elétron e do próton no H.

- causa um mínúsculo deslocamento de energia nos estados eletrônicos 2S1/2 and 2P1/2 conhecido por Lamb shift (Nobel Prize in Physics, 1955).

Lamb Shift

Como o elétron no H(1s) ou H*(2p) não tem blindagem, as energias são quase similares.

Descrição heurística(http://en.wikipedia.org/wiki/Lamb_shift)

> c/a0

kmin

> /ao

kmax

< mc/ħ

ɛ0E

k2 ~ mc2/2Ω

Experimental shift: ~ 1 GHz !

Lamb Shift Electrodynamics

Osciladores e transições radiativas

Radiação de um dipolo elétrico oscilante clássico

Momento dipolar:

Fórmula de Larmor:

Energia total do oscilador:

Se haverá amortecimento das oscilações devido à radiação:

Assumindo e que :

elétrons)m(

)s/rad(~ o

1410

irradiação e amortecimento

Alargamento e deslocamento dos níveis de energia de osciladores irradiando

Constante de decaimento radiativo e de deslocamento :

Perfl da linha espectral

Comentário: transições eletrônicas na região do visível

Espalhamento e absorção de radiação por um oscilador

desconsiderado

dissipação

Largura total: Γt(ω) = Γ’ + (ω/ω

o)2 Γ

onde Γ = ω

02τ

Amplitude de espalhamento da radiação

Espalhamento Rayleigh para

0 Fluorescência resonante

Espalhamento Thomson ( )

momento angular dos estados fundamental e excitado:

Espalhamento Thomson

Seção de choque total

No espalhamento elástico, há corresponde a radiação incidente sendo absorvida

e ' corresponde aos processos de espalhamento e de absorção que levam ao

estado final.

Limites em três regiões ...

A energia removida da radiação incidente é convertida em movimentomecânico dos osciladores: modelos microscópicos !!!

Exercício 18Considere um elétron descontinuamente ligado (undriven) a um oscilador harmônico.

(a) Mostre que o perfil é Lorentziano.

(b) Mostre que:

(c) Mostre que = 1 é uma relação equivalente ao Princípio da Incerteza estando ligada ao tempo de vida do estado.

Considere a radiação de um elétron harmonicamente ligado, mas excitado por umaonda eletromagnética descrita como:

(a) Mostre que a potência total emitida é:

(b) Mostre que:

Exercício 19

Amortecimento radiativo Radiação de um elétron descontinuamente ligado (undriven)

a um oscilador harmônico

Aproximação dipolar:

Perfl intrínseco (Lorenziano):

Condições iniciais: &

Exercício 20

(a) Explique contribuições que determinam o alargamento e/ou o deslocamento de linhas espectrais de radiação de átomos.

(b) Explique a razão do uso de perfiis Voigt:

Interação da matéria com o campo eletromagnético (aproximação dipolar)

Quantização do campo eletromagnético: hamiltoniana de fótons

Reformulação ou Releitura

Aproximação dipolar elétrica

Probabilidade de transição: Regra de Fermi

Emissão espontânea: estado de vácuo

Absorção estimulada

Absorção u()

emissão estimulada densidade de

emissão espontânea energia de radiação

Emissão espontânea, absorção e emissão estimuladas

Coeficientes de Einstein : A [s-1] e B [m

3 J

-1 s

-2-]

Balanço das populações de estados no equilíbrio termodinâmico

Obs.: há correlação entre os coeficientes A e B, pois obtido B é possível inferir A.

Corpo Negro: Fórmula de PlanckDensidade espectral de energia na frequência

Se A é intrínseco (independente de T), então T deve desaparecer na direita.

&

Obs.: há diferentes tipos de correlação entre os coeficientes A e B.

FIM