Física Geral - Laboratório...

Física Geral - Laboratório(2013/1)

Aula 2: Organização e descrição de dados e parâmetros de dispersão e correlação

1

Física Geral - 2013/1 - Aula 2

Lembrando: Bibliografia

2

“Estimativas e Erros em Experimentos de Física”(EdUERJ)

Física Geral - 2013/1 - Aula 2

Resumo: conjuntos de dados

3

Idades dos estudantes:

{18; 19; 18} (anos)

Medidas do comprimento de uma mesa:

{150,3; 152,0; 150,4; 151,8} (cm)

Tipo sanguíneo dos estudantes de FG:

{‘O-’; ‘A-’; ‘O+’}

...

Mesa Comprimento (cm)1 150,32 152,03 150,44 151,8

Física Geral - 2013/1 - Aula 24

Para um conjunto de dados (de idades):

{10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos)

Resumo: organizando conjuntos de dados em Histogramas

Física Geral - 2013/1 - Aula 24

Para um conjunto de dados (de idades):

{10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos)

Classe de idades (anos) Frequências

6 1

7 3

8 3

9 3

10 6

11 1

12 3

13 1

14 2

15 1

Escolha 1:

Resumo: organizando conjuntos de dados em Histogramas

Física Geral - 2013/1 - Aula 24

Para um conjunto de dados (de idades):

{10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos)

Classe de idades (anos) Frequências

6 1

7 3

8 3

9 3

10 6

11 1

12 3

13 1

14 2

15 1

Escolha 1:

Classe de idades (anos) Frequências

[6 , 7) 1

[7 , 8) 3

[8 , 9) 3

[9 , 10) 3

[10 , 11) 6

[11 , 12) 1

[12 , 13) 3

[13 , 14) 1

[14 , 15) 2

[15 , 16) 1

Resumo: organizando conjuntos de dados em Histogramas

Física Geral - 2013/1 - Aula 24

Para um conjunto de dados (de idades):

{10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos)

Classe de idades (anos) Frequências

6 1

7 3

8 3

9 3

10 6

11 1

12 3

13 1

14 2

15 1

Escolha 1:

Classe de idades (anos) Frequências

[6 , 7) 1

[7 , 8) 3

[8 , 9) 3

[9 , 10) 3

[10 , 11) 6

[11 , 12) 1

[12 , 13) 3

[13 , 14) 1

[14 , 15) 2

[15 , 16) 1

Resumo: organizando conjuntos de dados em Histogramas

6 7

Física Geral - 2013/1 - Aula 24

Para um conjunto de dados (de idades):

{10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos)

Classe de idades (anos) Frequências

6 1

7 3

8 3

9 3

10 6

11 1

12 3

13 1

14 2

15 1

Escolha 1:

Classe de idades (anos) Frequências

[6 , 7) 1

[7 , 8) 3

[8 , 9) 3

[9 , 10) 3

[10 , 11) 6

[11 , 12) 1

[12 , 13) 3

[13 , 14) 1

[14 , 15) 2

[15 , 16) 1

Resumo: organizando conjuntos de dados em Histogramas

7 8

Física Geral - 2013/1 - Aula 24

Para um conjunto de dados (de idades):

{10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos)

Classe de idades (anos) Frequências

6 1

7 3

8 3

9 3

10 6

11 1

12 3

13 1

14 2

15 1

Escolha 1:

Classe de idades (anos) Frequências

[6 , 7) 1

[7 , 8) 3

[8 , 9) 3

[9 , 10) 3

[10 , 11) 6

[11 , 12) 1

[12 , 13) 3

[13 , 14) 1

[14 , 15) 2

[15 , 16) 1

Resumo: organizando conjuntos de dados em Histogramas

8 9

Física Geral - 2013/1 - Aula 25

Para um conjunto de dados (de idades):

{10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos)

Escolha 1:

Resumo: organizando conjuntos de dados em Histogramas

Classe de idades (anos) Frequências

[6 , 7) 1

[7 , 8) 3

[8 , 9) 3

[9 , 10) 3

[10 , 11) 6

[11 , 12) 1

[12 , 13) 3

[13 , 14) 1

[14 , 15) 2

[15 , 16) 1

Física Geral - 2013/1 - Aula 25

Para um conjunto de dados (de idades):

{10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos)

Escolha 1:

Resumo: organizando conjuntos de dados em Histogramas

Classe de idades (anos) Frequência

[6 , 8) 4

[8 , 10) 6

[10 , 12) 7

[12 , 14) 4

[14 , 16) 3

Escolha 2:Classe de idades (anos) Frequências

[6 , 7) 1

[7 , 8) 3

[8 , 9) 3

[9 , 10) 3

[10 , 11) 6

[11 , 12) 1

[12 , 13) 3

[13 , 14) 1

[14 , 15) 2

[15 , 16) 1

Física Geral - 2013/1 - Aula 2

Classe de idades (anos) Frequência

[6 , 8) 4

[8 , 10) 6

[10 , 12) 7

[12 , 14) 4

[14 , 16) 3

Conjunto de idades: {10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos)

6

Resumo: organizando conjuntos de dados em Histogramas

Física Geral - 2013/1 - Aula 2

Classe de idades (anos) Frequência

[6 , 8) 4

[8 , 10) 6

[10 , 12) 7

[12 , 14) 4

[14 , 16) 3

Conjunto de idades: {10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos)

6

Resumo: organizando conjuntos de dados em Histogramas

Física Geral - 2013/1 - Aula 2

Resumo: parâmetros de posição

7

x ⌘ x1 + x2 + x3 + . . . + xN

N

=1N

NX

i=1

xi

x ⇡ n1x1 + n2x2 + . . . + nMxM

N

=1N

MX

j=1

njxj

i) Média:

Dados em M classes (intervalos) com ponto médio {x1, x2, ..., xM} e frequência {n1, n2, ..., nM}:

Valor médio de um conjunto de dados {x1, x2, ..., xN}:

xrms ⌘r

x

21 + x

22 + x

23 + . . . + x

2N

N

=

vuut 1N

NX

i=1

x

2i

iii) Média quadrática:

ii) Moda: Valor mais frequente de um conjunto de dados {x1, x2, x3, ..., xN}

N (ımpar)! xmed = x(N+1)/2

N(par)! xmed =xN/2 + x(N/2+1)

2

iv) Mediana (Mesma quantidade de dados abaixo e acima da mediana):

Física Geral - 2013/1 - Aula 2

Atividade - Aula 1

8

Estudante Idade (anos) Massa (kg) Altura (cm)

1 22 64 174

2 21 110 185

3 20 75 174

4 23 80 170

5 25 61 168

6 30 86 173

7 20 54 162

8 25 84 176

9 19 51 166

10 26 64 168

11 21 66 177

12 23 103 174

13 25 91 175

Física Geral - 2013/1 - Aula 2

Estudante Idade (anos)1 222 213 204 235 256 307 208 259 1910 2611 2112 2313 25

Atividade - Aula 1

9

Física Geral - 2013/1 - Aula 2

Atividade - Aula 1

10

Estudante Idade (anos)1 222 213 204 235 256 307 208 259 1910 2611 2112 2313 25

Física Geral - 2013/1 - Aula 2

Atividade - Aula 1

11

Estudante Idade (anos)1 222 213 204 235 256 307 208 259 1910 2611 2112 2313 25

Física Geral - 2013/1 - Aula 2

Atividade - Aula 1

12

Estudante Massa (kg)1 642 1103 754 805 616 867 548 849 5110 6411 6612 10313 91

Física Geral - 2013/1 - Aula 2

Atividade - Aula 1

13

Estudante Massa (kg)1 642 1103 754 805 616 867 548 849 5110 6411 6612 10313 91

Física Geral - 2013/1 - Aula 2

Atividade - Aula 1

14

Estudante Massa (kg)1 642 1103 754 805 616 867 548 849 5110 6411 6612 10313 91

Física Geral - 2013/1 - Aula 2

Atividade - Aula 1

15

Estudante Altura (cm)1 1742 1853 1744 1705 1686 1737 1628 1769 16610 16811 17712 17413 175

Física Geral - 2013/1 - Aula 2

Atividade - Aula 1

16

Estudante Altura (cm)1 1742 1853 1744 1705 1686 1737 1628 1769 16610 16811 17712 17413 175

Física Geral - 2013/1 - Aula 2

Atividade - Aula 1

17

Estudante Altura (cm)1 1742 1853 1744 1705 1686 1737 1628 1769 16610 16811 17712 17413 175

Física Geral - 2013/1 - Aula 2

Parâmetros de dispersão

18

i) Amplitude: Diferença entre os valores máximo e mínimo de uma coleção de dados {x1, x2, ..., xN}

A = x

max

� x

min

Física Geral - 2013/1 - Aula 2

Parâmetros de dispersão

19

ii) Desvio médio: Média dos módulos dos desvios, em relação à média

|�x| =1N

NX

i=1

|�xi| =1N

NX

i=1

|xi � x| =|x1 � x| + . . . + |xN � x|

N

Física Geral - 2013/1 - Aula 2

Parâmetros de dispersão

20

iii) Variância: Média dos quadrados dos desvios (δxi)

�

2x

=1N

NX

i=1

(�xi

)2 =1N

NX

i=1

(xi

� x)2 =(x1 � x)2 + . . . + (x

N

� x)2

N

�

2x

=1N

NX

i=1

x

2i

�

1N

NX

i=1

x

i

!2

= x

2 � x

2Note que a expressão para a variância pode ser simplificada por:

Física Geral - 2013/1 - Aula 2

Parâmetros de dispersão

21

iv) Desvio padrão: Raiz quadrada da variância, ou média quadrática dos desvios

�

x

=

vuut 1N

NX

i=1

(�xi

)2 =

s(x1 � x)2 + . . . + (x

N

� x)2

N

�

x

=q

x

2 � x

2

Física Geral - 2013/1 - Aula 2

Parâmetros de dispersão

22

maxf

/2maxf

1x 2x x

Γ

v) Largura a meia altura: Comprimento do intervalo limitado pelos valores (x1,x2) correspondentes à metade da frequência máxima

�Símbolo:

� = |x2 � x1|

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Representando duas variáveis

23

Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2), ..., (xN, yN)}

Exemplo: Considere um conjunto de dados de duas variáveis (x,y) (x1, y1)

N = 1

Física Geral - 2013/1 - Aula 2

Representando duas variáveis

24

Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2), ..., (xN, yN)}

Exemplo: Considere um conjunto de dados de duas variáveis (x,y) (x1, y1)

(x2, y2)

(x3, y3)N =3

Física Geral - 2013/1 - Aula 2

Representando duas variáveis

25

Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2), ..., (xN, yN)}

Exemplo: Considere um conjunto de dados de duas variáveis (x,y)

N = 6

Física Geral - 2013/1 - Aula 2

Representando duas variáveis

26

Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2), ..., (xN, yN)}

Exemplo: Considere um conjunto de dados de duas variáveis (x,y)

N = 12

Física Geral - 2013/1 - Aula 2

Representando duas variáveis

27

Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2), ..., (xN, yN)}

Exemplo: Considere um conjunto de dados de duas variáveis (x,y)

N = 20

Física Geral - 2013/1 - Aula 2

Representando duas variáveis

28

Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2), ..., (xN, yN)}

Exemplo: Considere um conjunto de dados de duas variáveis (x,y)

N = 50

Física Geral - 2013/1 - Aula 2

Representando duas variáveis

29

Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2), ..., (xN, yN)}

Exemplo: Considere um conjunto de dados de duas variáveis (x,y)

N = 100

Física Geral - 2013/1 - Aula 2

Representando duas variáveis

30

Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2), ..., (xN, yN)}

Outro exemplo: dados de altura e massa de uma lista de estudantes:

Física Geral - 2013/1 - Aula 2

Parâmetros de correlação

31

i) Covariância: média dos produtos dos desvios nas duas variáveis (δxi e δyi)

�

xy

=1N

NX

i=1

�x

i

�y

i

=1N

NX

i=1

(xi

� x) (yi

� y)

=(x1 � x) (y1 � y) + . . . + (x

N

� x) (yN

� y)N

Física Geral - 2013/1 - Aula 2

Parâmetros de correlação

31

i) Covariância: média dos produtos dos desvios nas duas variáveis (δxi e δyi)

�

xy

=1N

NX

i=1

�x

i

�y

i

=1N

NX

i=1

(xi

� x) (yi

� y)

=(x1 � x) (y1 � y) + . . . + (x

N

� x) (yN

� y)N

�

xy

= xy � xy

Note que a expressão para a covariância pode ser simplificada por:

Física Geral - 2013/1 - Aula 2

Parâmetros de correlação

31

i) Covariância: média dos produtos dos desvios nas duas variáveis (δxi e δyi)

�

xy

=1N

NX

i=1

�x

i

�y

i

=1N

NX

i=1

(xi

� x) (yi

� y)

=(x1 � x) (y1 � y) + . . . + (x

N

� x) (yN

� y)N

�

xy

= xy � xy

Note que a expressão para a covariância pode ser simplificada por:

�xy

= �yx

e que não importa a ordem das variáveis:

Física Geral - 2013/1 - Aula 2

Parâmetros de correlação: covariância

32

�

xy

=1N

NX

i=1

(xi

� x) (yi

� y)

Covariância:

Física Geral - 2013/1 - Aula 2

Parâmetros de correlação: covariância

32

x ⇡ 0

y ⇡ 0

�

xy

=1N

NX

i=1

(xi

� x) (yi

� y)

Covariância:

Física Geral - 2013/1 - Aula 2

Parâmetros de correlação: covariância

32

x ⇡ 0

y ⇡ 0

�xy

> 0

�

xy

=1N

NX

i=1

(xi

� x) (yi

� y)

Covariância:

Física Geral - 2013/1 - Aula 2

Parâmetros de correlação: covariância

33

�

xy

=1N

NX

i=1

(xi

� x) (yi

� y)

Covariância:

Física Geral - 2013/1 - Aula 2

Parâmetros de correlação: covariância

33

x ⇡ 0

y ⇡ 0

�

xy

=1N

NX

i=1

(xi

� x) (yi

� y)

Covariância:

Física Geral - 2013/1 - Aula 2

Parâmetros de correlação: covariância

33

x ⇡ 0

y ⇡ 0

�

xy

=1N

NX

i=1

(xi

� x) (yi

� y)

Covariância:

�xy

< 0

Física Geral - 2013/1 - Aula 2

Parâmetros de correlação

34

ii) Coeficiente de correlação linear de Pearson: covariância entre duas variáveis, dividida por seus desvios padrão

r =�

xy

�x

�y

�1 � r 1

Correlação linear, perfeita e positiva: r = 1

Correlação linear, perfeita e negativa: r = �1

Física Geral - 2013/1 - Aula 2

Atividade - Aula 1

35

Estudante Massa (kg) Altura (cm)1 64 1742 110 1853 75 1744 80 1705 61 1686 86 1737 54 1628 84 1769 51 16610 64 16811 66 17712 103 17413 91 175

Física Geral - 2013/1 - Aula 2

Atividade - Aula 1

36

Estudante Idade (anos) Altura (cm)1 22 1742 21 1853 20 1744 23 1705 25 1686 30 1737 20 1628 25 1769 19 16610 26 16811 21 17712 23 17413 25 175

Física Geral - 2013/1 - Aula 2

Atividade - Aula 1

37

Estudante Idade (anos) Massa (kg)1 22 642 21 1103 20 754 23 805 25 616 30 867 20 548 25 849 19 5110 26 6411 21 6612 23 10313 25 91

Física Geral - 2013/1 - Aula 2

Atividade de aula

38

1- Com as coleções de dados das idades, massas e alturas dos estudantes da turma de Física Geral, determine:

i) Amplitude, desvio médio, variância, desvio-padrão para cada variável;

ii) Covariância de todos os pares de variáveis (massa x idade, altura x idade, altura x massa) e respectivo coeficiente de correlação

2- Exercícios 2.5.1 - 2.5.5 do livro “Estimativas e erros em Experimentos de Física”

Física Geral - 2013/1 - Aula 239

Exercício (2.5.4):

MecânicaMédia: 36,58Desvio padrão: 24,36

aluno Nota Mecânica Nota Eletricidade

1 42 75

2 57 70

3 15 40

4 74 56

5 23 50

6 20 61

7 5 42

8 60 54

9 11 32

10 12 55

11 45 76

12 75 60

EletricidadeMédia: 55,92Desvio padrão: 13,12

Covariância: 174,05Coef. de correlação: 0,54

Física Geral - 2013/1 - Aula 240

Exercício (2.5.4):

MecânicaMédia: 36,58Desvio padrão: 24,36

EletricidadeMédia: 55,92Desvio padrão: 13,12

Covariância: 174,05Coef. de correlação: 0,54

Física Geral - 2013/1 - Aula 241

Exercício (2.5.5):

Velocidade (km/h)Média: 75,00Desvio padrão: 40,31

Velocidade (km/h) Gasolina (l)

10 21

20 13

30 10

40 8

50 7

60 5,9

70 6,3

80 6,9

90 7,6

100 8,3

110 9

120 9,9

130 10,8

140 11,8

Gasolina (l)Média: 9,68Desvio padrão: 3,73

Covariância: -44,82Coef. de correlação: -0,30

Física Geral - 2013/1 - Aula 242

Exercício (2.5.5):

Velocidade (km/h)Média: 75,00Desvio padrão: 40,31

Gasolina (l)Média: 9,68Desvio padrão: 3,73

Covariância: -44,82Coef. de correlação: -0,30