fundamentos imagens 2d 3d 2007-sf - USP · 2007-11-01 · 0 2 4 6 8 10 0 50 100 150 200 250 300...

SF 1/11/2007 - 1

Plano Plano dada aula de aula de hojehoje

Fundamentos de Imagens Digitais 2D e 3DMotivação: preparatório p/ as próximas aulas

– Compressão, transformadas geométricas, segmentação, filtragem, PACS, visualização, tomografia

Conceitos básicos de proc. imagens– pixel/voxel, resolução espacial, discretização, faixa

dinâmica, resolução temporal– histograma e segmentação por threshold– sistemas lineares– medidas de qualidade em imagens– visualização– Transformadas, convolução– interpolação

SF 1/11/2007 - 2

Formação da Imagem no OlhoFormaFormaçção da Imagem no Olhoão da Imagem no Olho

Mecanismos de Adaptação: Foco

SF 1/11/2007 - 3

Formação da Imagem no OlhoFormaFormaçção da Imagem no Olhoão da Imagem no Olho

Mecanismos de Adaptação: Brilho e Cor

Cones e Bastonetes(7M e 70M células)Cones e Bastonetes(7M e 70M células)

Íris

SF 1/11/2007 - 4

Processo de DiscretizaçãoProcesso de Processo de DiscretizaDiscretizaççãoão

95 80 80 8095 90 90 105

150 20 100 130220 150 160 150256 tons de cinza

SF 1/11/2007 - 5

Imagens: representaImagens: representaççãoão

FunFunçção contão contíínuanuaf(x,y) f(x,y) f: Rf: Rnn => => RRpp

FunFunçção discretaão discretaf(i,j)f(i,j)f: Zf: Z++

n n => Z=> Z++pp

Pixel (Pixel (picturepicture elementelement))f(i,j)f(i,j)

VoxelVoxel (volume (volume elementelement))f(i,j,k)f(i,j,k)

SpelSpel ((spacespace elementelement))f(i,j, ... n)f(i,j, ... n)

RepresentaRepresentaçção matricialão matricialf[i][j][...]f[i][j][...]

F

f f ff f f

f f f

nXm

m

m

n n nm

=

11 12 1

21 22 2

1 2

SF 1/11/2007 - 6

ResumoResumo: : ConceitosConceitos bbáásicossicos

ImagemImagem digital => digital => matrizmatriz nn--dimensionaldimensional2D => pixel (picture element)2D => pixel (picture element)

–– raioraio X X -- CR (4096 x 4096 x 2B)CR (4096 x 4096 x 2B)–– short f[4096][4096]short f[4096][4096]

3D => 3D => voxelvoxel (volume element)(volume element)–– CT multiCT multi--slice (700cortes x 512 x 512 x 2B)slice (700cortes x 512 x 512 x 2B)–– XA (1000 XA (1000 quadrosquadros x 512 x 512 x 1B)x 512 x 512 x 1B)–– byte f[1000][512][512]byte f[1000][512][512]

4D => 4D => spelspel (space element)(space element)–– gated SPECT, RM, ..gated SPECT, RM, ..

multimulti--atributosatributos–– RM (PD, T1, T2)RM (PD, T1, T2)

F:IF:Inn --> > RRmm

SF 1/11/2007 - 7

ResumoResumo: : MatrizMatriz

nnúúmeromero de de dimensõesdimensões ((espaespaççoo))nnúúmeromero de de elementoselementos porpor dimensãodimensãonnúúmeromero de de atributosatributos ((medidasmedidas porpor elem.)elem.)nnúúmeromero de bits de bits ouou bytes bytes porpor elementoelemento

CT multiCT multi--slice (700cortes x 512 x 512 x 2B)slice (700cortes x 512 x 512 x 2B)3D, 700 em z, 512 em x e y, 1 3D, 700 em z, 512 em x e y, 1 atributoatributo, 2 , 2 bytes bytes porpor elementoelemento367 MB367 MBshort f[700][512][512]short f[700][512][512]

xy z

SF 1/11/2007 - 8

Criar uma matrizCriar uma matriz

gated RM=> 4D (16 gated RM=> 4D (16 fasesfases, 128 slices, 256 x 256, 2 , 128 slices, 256 x 256, 2 bytes) com 3 bytes) com 3 atributosatributos parapara cadacada spelspel (PD, T1, T2)(PD, T1, T2)

short f [16][128][256][256][3]short f [16][128][256][256][3]

SF 1/11/2007 - 9

MãosMãos nana massamassa: : lerler / / verver c/ IJc/ IJ

ArquivoArquivo rawrawtype of data: byte, type of data: byte, intint, float, ..., float, ...[little, big] [little, big] endianendian: : endereendereççoo emem memmemóóriariaapontaaponta p/ little p/ little ouou big partbig partescalaescala de coresde coressegmentasegmentaççãoão porpor thresholdingthresholding

ArquivoArquivo JPEGJPEGArquivoArquivo DICOMDICOM

SF 1/11/2007 - 10

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Conceitos básicos de proc. imagens– pixel/voxel, resolução espacial, discretização, faixa

dinâmica, resolução temporal– histograma e segmentação por threshold– sistemas lineares– medidas de qualidade em imagens– visualização– Transformadas, convolução– interpolação

SF 1/11/2007 - 11

HistogramaHistograma

95 80 80 8095 90 90 105

150 20 100 130220 150 160 150

0

2

4

6

8

10

0 50 100 150 200 250 300

Seqüência1

SF 1/11/2007 - 12

distr. const, 32x32distr. const, 32x32

0

10

20

30

40

50

60

70

0

400

800

1200

1600

2000

2400

2800

3200

3600

4000

4400

Seqüência1

SF 1/11/2007 - 13

SegmentaSegmentaçção por não por níívelvel

T atributo

P1

P2

p1(x)p2(x)

SF 1/11/2007 - 14

ExemplosExemplos prprááticosticos

contrastecontraste / / brilhobrilho (window / level)(window / level)

0

2

4

6

8

10

0 50 100 150 200 250 300

Seqüência1

Histograma

inte

nsid

ade

do m

onito

r

valor pixel

100%

windowlevel

SF 1/11/2007 - 15

mãosmãos nana massamassa: : segmentasegmentaççãoão

SegmentaSegmentaççãoão porpor thresholdingthresholdingimagemimagem DICOM de MRI (sample)DICOM de MRI (sample)CT => simples p/ CT => simples p/ segmentarsegmentar porpor faixafaixa de HUde HU

SF 1/11/2007 - 16

MMúúltiplos atributosltiplos atributos

VE

VD

x=f(c)

( ) ( ) ( )d x x x S x xj jT

j j2 1= − −−. .

j

SF 1/11/2007 - 17

GeneralizaGeneralizaçção: clustersão: clusters

0

1

2

)

)

)

K classes com centro em c

Inicializar c

Para cada x => atribuir x p / classe j com menor distancia

3) Recalcular c

4) Repetir 2) e 3) ate nao haver mais alter.

i

j(0)

i i

j

atrib. 1

atrib

.2

SF 1/11/2007 - 18

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SF 1/11/2007 - 19

Modelo de formação: imag. médicas

ObjetoSistema deAquisição Imagem

transmissãoreflexãoemissão

foto-eletr. .raio-X,piezo-elétr. .USfoto-eletr, .MN, MRI

y

x

y’

x’

f(x,y) g(x’,y’)h(.)

h(.) = h(x’,y’,x,y,f(x,y) ) (2D)h(.) = h( u’, u, f(u) ) (nD)

Função geral p/ formação de imagens

SF 1/11/2007 - 20

Sistemas: invariânciaSistemas: invariância

Invariante com o Invariante com o ““tempotempo””

h(t)x(t) y(t)

x(t-t0) => y(t-t0)

Variante com o Variante com o ““tempotempo””

)()()()()(

000 ttyttxtttxtxtty

−≠−+→−+=

SF 1/11/2007 - 21

Sistemas linearesSistemas lineares

PrincPrincíípio da superposipio da superposiççãoão

)(.)(.)(.)(.)()(

)()(

2121

22

11

tybtyatxbtxatytxtytx

+→+→→

h(t)x(t) y(t)

SF 1/11/2007 - 22

Sistemas aditivos , linearesSistemas aditivos , lineares

ff11(x,y) (x,y) gg11(x(x’’,y,y’’))ff22(x,y)(x,y) gg22(x(x’’,y,y’’))

Sistemas aditivosSistemas aditivos

Sistemas linearesSistemas linearesg x y h x y x y f x y d x d y( ' , ' ) ( ' , ' , , , ( , ) ) . .= ∫ ∫

h(x’,y’,x,y,f(x,y) ) = h(x’,y’,x,y) . f(x,y)a.f1( ) + b.f2( ) a.g1( ) + b.g2( )

g x y h x y x y f x y d x d y( ' , ' ) ( ' , ' , , ) . ( , ) . .= ∫ ∫

PSF : point spread function

SF 1/11/2007 - 23

Sistema nãoSistema não--linearlinear

Incrementalmente linearIncrementalmente linear

))()(.(52)()()(.52)(

)(.52)()(.52)(

2121

22

11

txtxtxtxtxtytxtytxty

++→++=+=+=

5x(t)

y(t)

2

Sistema linear

SF 1/11/2007 - 24

Sistemas lineares invariantes Sistemas lineares invariantes

Sistemas lineares e invariantes (LTI)Sistemas lineares e invariantes (LTI)são suficientemente caracterizados pela são suficientemente caracterizados pela resposta ao impulsoresposta ao impulsopossibilita tratamento matempossibilita tratamento matemáático tico simplificadosimplificado

–– convoluconvoluççãoão => resposta do sistema=> resposta do sistema–– ananáálise no domlise no domíínio da nio da frequênciafrequência

qqqq. LTI pode ser representado por . LTI pode ser representado por produtprodutóóriasrias de termos de sistemas de de termos de sistemas de ordens 1 e 2ordens 1 e 2

SF 1/11/2007 - 25

ImpulsoImpulso

)()()(1)(

)(lim)(0

tfdttfd

tst

=−→=

=

∫∫∞

∞−

∞

∞−

→∆

ττδττδ

δ

][][].[

0i se 10i se 0

][

nknkx

i

kδδ

δ

=−

=≠

=

∑∞

−∞=

∆

1/∆

No caso discreto:

No caso contínuo:

SF 1/11/2007 - 26

LTILTI h(t)x(t) y(t)

)()(

)().()(

tht

dtxtx

ττδ

ττδτ

→−

−= ∫∞

∞−

Linearidade=> ττ τ∫∞

∞−

= dthxty )().()(

=>Combinação linear de x( )

Invariante=>

)(*)()(

)().()(

)()(

thtxty

dthxty

thth

=

−=

−=

∫∞

∞−

τττ

ττ

Convolução=>

SF 1/11/2007 - 27

LTI: caso discretoLTI: caso discreto h[k]x[k] y[k]

Linearidade=> ∑∞

∞−

= ][].[][ nhkxny k

Invariante=>

][*][][

][].[][

][][

nhnxny

knhkxny

knhnh k

=

−=

−=

∑∞

∞−

][][

][].[][

nhkn

knkxnx

k

k

→−

−= ∑∞

−∞=

δ

δ

Convolução=>

SF 1/11/2007 - 28

ConvoluConvoluççãoão: intuitivo: intuitivof hconv = g

h(-t)

SF 1/11/2007 - 29

LTILTI

Causalidade => h(t)=0, t<0Causalidade => h(t)=0, t<0Estabilidade => Estabilidade =>

∞<∫∞

∞−

ττ dh |)(|

SF 1/11/2007 - 30

ConvoluConvoluççãoão, , TransfTransf. de Fourier. de Fourier

ConvoluConvoluççãoão: comutativo, associativo, distributivo: comutativo, associativo, distributivoConvoluConvoluççãoão => multiplica=> multiplicaçção no domão no domíínio da nio da frequênciafrequência

)().()(

').'().()(

).().()(

)().()(

)(2

2

fHfXfY

dtdethxfY

dtdethxfY

dthxty

tfj

ftj

=

=

−=

−=

∫ ∫

∫ ∫

∫

∞

∞−

∞

∞−

+−

∞

∞−

∞

∞−

−

∞

∞−

ττ

τττ

τττ

τπ

π

SF 1/11/2007 - 31

ConvoluConvoluççãoão 2D2D

95 80 80 8095 90 90 105

150 20 100 130220 150 160 150

*1

0 1 01 -4 1

00=> -75

∑ ∑ −−==m n

njmihnmfMN

hfjig ),().,(1*),(

SF 1/11/2007 - 32

NotaNotaççãoão

Geral (Geral (nDnD) vetorial) vetorial1D, 2D, 3D, ...1D, 2D, 3D, ...

OperaOperaçções algões algéébricas, aritmbricas, aritmééticas, ticas, matriciaismatriciais

=

222120

121110

020100

33

fffffffff

F X

=02

01

00

fff

Fr

SF 1/11/2007 - 33

SistSist. lineares: representa. lineares: representaççõesões

PuntualPuntualOperadorOperadorg = g = HH ff

MatricialMatricialG = A.F.B G = A.F.B ((separavelseparavel))

VetorialVetorialg = H . fg = H . f

∫∫= dydxyxfyxyxhyxg .).,().,,','()','(

=g fH

H A B T= ⊗

SF 1/11/2007 - 34

NotaNotaçção vetorialão vetorial

G G N X NN X N g g NN2 2

x 1x 1

H H N2 x N2N2 x N2

F F N X NN X N f f NN2 2

x 1x 1

i=g fH

g h fi ijj

j= ∑

g = H. f

SF 1/11/2007 - 35

ExemplosExemplosC A Bp q r p q r p q r, , , , , ,= +

Algoritmo:n=p*q*r;for (i=0; i< n ; i++) c[i]=a[i] + b[i];

][.][);;0(

Algoritmo

.

.espaco var.lineares Sistemas

0

1,.1,..,.1,.

,,.,.,

infhiginiifor

nfHg

nFHG

jj

ij

qpnmnmqpqp

qpnmnmqpqp

+=

++<=

+=

+=

∑=

rrr

SF 1/11/2007 - 36

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Conceitos básicos de proc. imagens– pixel/voxel, resolução espacial, discretização, faixa

dinâmica, resolução temporal– histograma e segmentação por threshold– sistemas lineares– Medidas de qualidade em imagens– visualização– Transformadas, convolução– interpolação

SF 1/11/2007 - 37

Imagens: caracterImagens: caracteríísticassticas

ContrasteContrasteResoluResoluçção espacialão espacialResoluResoluçção ão intensintens.:1/256 =>.:1/256 =>Faixa dinâmicaFaixa dinâmica

[0, 255] =>[0, 255] =>Desafio: compactaDesafio: compactaçção de ão de infoinfo. p/ . p/ apresentar os apresentar os parâmparâm. . diagndiagnóósticos fundam.sticos fundam.

ca ba b

=−+

ba

ab

FWHM

Resp. impulso

SF 1/11/2007 - 38

Modelo p/ degradaModelo p/ degradaççãoão

PuntualPuntualCromCromááticoticoDegradaDegradaçção pelo processo da vizinhanão pelo processo da vizinhançça (a (BlurBlur))

difradifraççãoãomovimentomovimentodesfocamentodesfocamento

SF 1/11/2007 - 39

Modelo p/ degradaModelo p/ degradaççãoão

g = H. f

=g fH j

j

......

h iji

∑ = 1 (Conservação de energia)

PSF de j

SF 1/11/2007 - 40

PointPoint spread spread functionfunction (PSF)(PSF)

Conceito: resposta impulsivaConceito: resposta impulsivaSVPSF: SVPSF: spacespace variantvariant PSFPSF

g = H.fg = H.fSIPSF : SIPSF : spacespace invariantinvariant PSFPSF

h(xh(x’’,y,y’’,x,y) = h(x,x,y) = h(x’’-- x, yx, y’’ -- y)y)

∫∫= dydxyxfyxyxhyxg .).,().,,','()','(

g x y h x x y y f x y d x d y( ' , ' ) ( ' , ' ) . ( , ) . .= − −∫ ∫

g (x’,y’) = (h * f ) (x’,y’) (Convolução)H : matriz circulante

h h hh h hh h h

h h h

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0 0 2 11 0 0 22 1 0 0

0 2 1 0G(u,v) = H(u,v). F(u,v)

H A B T= ⊗

SF 1/11/2007 - 41

Modelo com ruModelo com ruíídodo

Modelo realModelo realíístico simplificadostico simplificadoblurblurruruíídodosistema linearsistema linearSpaceSpace invariantinvariant PSFPSF

g x y h x x y y f x y d x d y r x y( ' , ' ) ( ' , ' ) . ( , ) . . ( ' , ' )= − −∫∫ +

G(u,v) = H(u,v). F(u,v) + R(u,v)

g = H.f + r

fh

g

r

+

SF 1/11/2007 - 42

Estimativa de parâmetrosEstimativa de parâmetros

PSFPSFFonteFonte PerfilPerfil PSFPSF

∑ −=

=

)log(log.1log

.),(~ 2

FGM

H

PvuHP ffgg

médiasimetria circ.

Blocos: derivada

SF 1/11/2007 - 43

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Fundamentos de Imagens Digitais 2D e 3DMotivação: preparatório p/ as próximas aulas

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Conceitos básicos de proc. imagens– pixel/voxel, resolução espacial, discretização, faixa

dinâmica, resolução temporal– histograma e segmentação por threshold– sistemas lineares– medidas de qualidade em imagens– visualização– Transformadas, convolução– interpolação

SF 1/11/2007 - 44

MotivaMotivaçção: Visualizaão: Visualizaçção de superfão de superfííciescies

SegmentaSegmentaçção ão (contornos)(contornos)

–– primitivas primitivas RenderingRendering

–– mapeamento p/ 2Dmapeamento p/ 2D

SF 1/11/2007 - 45

OperadorOperador ProjeProjeççãoão

95 80 80 8095 90 90 105

150 20 100 130220 150 160 150

95 80 80 8095 90 90 105

150 20 100 130220 150 160 150

95 80 80 8095 90 90 105

150 20 100 130220 150 160 150

95 80 80 8095 90 90 105

150 20 100 130220 150 160 150

95 80 80 8095 90 90 105

150 20 100 130220 150 160 150

12 7 6 203 90 90 105

15 20 100 1302 150 160 150

95 80 80 8095 90 90 105

150 20 100 130220 150 160 150

∑−

=

=1

0),,(

N

zxy zyxfg

objeto 3D

Tela de projeção

SF 1/11/2007 - 46

OperadorOperador MIPMIP

95 80 80 8095 90 90 105

150 20 100 130220 150 160 150

95 80 80 8095 90 90 105

150 20 100 130220 150 160 150

95 80 80 8095 90 90 105

150 20 100 130220 150 160 150

95 80 80 8095 90 90 105

150 20 100 130220 150 160 150

95 80 80 8095 90 90 105

150 20 100 130220 150 160 150

12 7 6 203 90 90 105

15 20 100 1302 150 160 150

95 80 80 8095 90 90 105

150 20 100 130220 150 160 150

}y)(x, para ),,({max zyxfg zxy =

objeto 3D

Tela de projeção

SF 1/11/2007 - 47

95 80 80 8095 90 90 105

150 20 100 130220 150 160 150

casoscasos obloblííquosquos

95 80 80 8095 90 90 105

150 20 100 130220 150 160 150

95 80 80 8095 90 90 105

150 20 100 130220 150 160 150

95 80 80 8095 90 90 105

150 20 100 130220 150 160 150

95 80 80 8095 90 90 105

150 20 100 130220 150 160 150

95 80 80 8095 90 90 105

150 20 100 130220 150 160 150

12 7 6 203 8 9 17

15 14 10 132 22 15 150

objeto 3DTela de projeção

basta considerar as intersecções•soma ponderada (Radon)•maior valor (MIP)

SF 1/11/2007 - 48

ExemplosExemplos

diferendiferenççaa de de imagensimagensmméédiadiaprojeprojeççãoãoMIP: maximum intensity projectionMIP: maximum intensity projection

SF 1/11/2007 - 49

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– Compressão, transformadas geométricas, segmentação, filtragem, PACS, visualização, tomografia

Conceitos básicos de proc. imagens– pixel/voxel, resolução espacial, discretização, faixa

dinâmica, resolução temporal– Medidas de qualidade em imagens– histograma e segmentação por threshold– sistemas lineares– visualização– Convolução e operadores– Transformadas de Fourier– interpolação

SF 1/11/2007 - 50

OperadoresOperadores

SF 1/11/2007 - 51

ConvoluConvoluççãoão 2D2D

95 80 80 8095 90 90 105

150 20 100 130220 150 160 150

*1

0 1 01 -4 1

00=> -75

∑ ∑ −−==m n

njmihnmfMN

hfjig ),().,(1*),(

SF 1/11/2007 - 52

-1 0 1-1-1

00

11

-1 0 1-2-1

00

21

-1 -1 -101

01

01

-1 -2 -101

02

01

Sobel∂

∂

∂∂

f x yx

f x yy

( , )

( , )

GradienteGradiente

∇ = +f x y f x yx

u f x yy

ux y( , ) ( , ) ( , )∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

f x yx

f i f i

f i f i f i

f i f i f i

f x yx

f i f i

x i

x i

( , ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( , ) ( ) ( )

=

=

= + − −

+ =+ +

− =− +

=+ − −

12

12

12

12

12

12

1 12

i-1 i i+1-1 0 1

SF 1/11/2007 - 53

Algoritmo p/ Laplaciano em x?Algoritmo p/ Laplaciano em x?

∂∂

∂∂

f x yx

f i f i

f i f i f i

f i f i f i

f x yx

f i f i

x i

x i

( , ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( , ) ( ) ( )

=

=

= + − −

+ =+ +

− =− +

=+ − −

12

12

12

12

12

12

1 12

∇ = +22

2

2

2f x y f x yx

f x yy

( , ) ( , ) ( , )∂∂

∂∂

SF 1/11/2007 - 54

SobelSobel, , LaplaceLaplace,...,...

LaplaceLaplace

Sobel f x y f x yx

f x yy

( ( , ) ) ( ( , ) ) ( ( , ) )= +∂

∂∂

∂2 2

∇ = +22

2

2

2f x y f x yx

f x yy

( , ) ( , ) ( , )∂∂

∂∂

∂∂

∂∂∂∂

∂∂

∂∂

2

2 12

12

11 2 1

f x yx

fx

xfx

fx

f i f if i f i f i

ii i

( , ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

= = −

− − + +

+ −

= ( ( + ) - ( ) ) - ( f ( i ) - f ( i - 1 ) ) =

i-1 i i+11 -2 11

0 1 01 -4 1

00

))cos(1(2)(

)2()( 1

wTwH

zzzH

−−=

+−= −

SF 1/11/2007 - 55

Laplaciano da Gaussiana (Laplaciano da Gaussiana (LoGLoG))

EdgeEdge detector detector Gauss=>Gauss=>SmoothSmoothLaplaceLaplace=>Zero =>Zero crossingcrossing

),(*),(),(

)2

exp(),(

2

2

22

yxfyxGaussyxg

yxyxGauss

∇=

+−=

σ

LoG(x)

SF 1/11/2007 - 56

ExemplosExemplos de de operadoresoperadores

ExemplosExemplos no no ImageJImageJconvoluconvoluççãoãogradientegradienterealcerealce de de bordasbordasLaplacianoLaplacianobordasbordas

SF 1/11/2007 - 57

Plano Plano dada aula de aula de hojehoje

Fundamentos de Imagens Digitais 2D e 3DMotivação: preparatório p/ as próximas aulas

– Compressão, transformadas geométricas, segmentação, filtragem, PACS, visualização, tomografia

Conceitos básicos de proc. imagens– pixel/voxel, resolução espacial, discretização, faixa

dinâmica, resolução temporal– Medidas de qualidade em imagens– histograma e segmentação por threshold– sistemas lineares– visualização– Convolução– Transformadas de Fourier– interpolação

SF 1/11/2007 - 58

f(t)f(t) F(w)F(w)

TransformadasTransformadas no dom. freq.no dom. freq.

SF 1/11/2007 - 59

TransfTransf. de Fourier, DFT,FFT. de Fourier, DFT,FFT

y

x

F(u,v)F

f(x,y)

D i r e t a

F u v f x y j u x v y d x d y

I n v e r s a

f x y F u v j u x v y d u d v

:

( , ) ( , ) . e x p ( ( ) ) . .

:

( , ) ( , ) . e x p ( ( ) ) . .

= − +

= +

− ∞

− ∞

∫ ∫

∫ ∫

2

2

π

π

Contínuo

DiscretoF u v

MNf x y j u x

Mv y

N

f x y F u v j u xM

v yN

y

N

x

M

v

N

u

M

( , ) ( , ) . exp ( ( . ) )

( , ) ( , ) . exp ( ( . ) )

= − +

= +

=

−

=

−

=

−

=

−

∑∑

∑∑

1 2

2

0

1

0

1

0

1

0

1

π

π

F-1

SF 1/11/2007 - 60

Propriedades da Propriedades da TransfTransf.Fourier.Fourier

ConvoluConvoluççãoãoh*f h*f G=H.FG=H.Fgg FF--11 GG

CorrelaCorrelaççãoãof o gf o g F* . GF* . G

Densidade espectral de potênciaDensidade espectral de potência

SeparabilidadeSeparabilidadeTranslaTranslaççãoão

f(xf(x--x0) x0) F(u).F(u).expexp((--j2j2ππ.u.x0/N).u.x0/N)EscalaEscala

a.f(a.f(bxbx)) a/|b|.F(u/b)a/|b|.F(u/b)

f x g x f u g x u d u( ) ( ) * ( ) . ( ) .o = +∫− ∞

∞

P u v Fourier R x yP u v F u v G u v

P u v F u v F u v F u v

fg fg

fg

ff

( , ) ( ( , ) )( , ) * ( , ) . ( , )

( , ) * ( , ) . ( , ) ( , )

=

=

= =2

SF 1/11/2007 - 61

A A ttéécnicacnica::DividirDividir a a imagemimagem em em blocosblocos de 8x8 de 8x8 ppííxelsxelsAplicarAplicar a DCT em a DCT em cadacada blocobloco (em (em zigzig--zagzag))CortarCortar osos coeficientescoeficientes parapara as as componentescomponentesabaixoabaixo de um de um certocerto limitelimiteArmazenarArmazenar a a sséérierie de de coeficientescoeficientes inteirosinteirosusandousando LZWLZW

Compressão de ImagensTransformada do Cosseno (JPEG)

SF 1/11/2007 - 62

ver ver transf.ppttransf.ppt

SF 1/11/2007 - 63

RestauraRestauraççãoão e e filtragemfiltragem

SF 1/11/2007 - 64

Filtros digitais: SIPSFFiltros digitais: SIPSF

Filtragem no Filtragem no domdomíínono do espado espaçço (o (ConvoluConvoluççãoão))

ExemplosExemplosCaracterCaracteríísticas do filtro?sticas do filtro?

Filtragem no domFiltragem no domíínio da nio da frequenciafrequencia (DFT)(DFT)

g x y h x x y y f x y d x d y( ' , ' ) ( ' , ' ) . ( , ) . .= − −∫ ∫

g (x’,y’) = (h * f ) (x’,y’)

g h i m j n f m nijn

N

m

M

= − −=

−

=

−

∑∑ ( , ) . ( , )0

1

0

1

SF 1/11/2007 - 65

ExemploExemplo de de filtrosfiltros

FFT => FFT => espectroespectroFiltroFiltro passapassa--bandabanda

SF 1/11/2007 - 66

Plano Plano dada aula de aula de hojehoje

Fundamentos de Imagens Digitais 2D e 3DMotivação: preparatório p/ as próximas aulas

– Compressão, transformadas geométricas, segmentação, filtragem, PACS, visualização, tomografia

Conceitos básicos de proc. imagens– pixel/voxel, resolução espacial, discretização, faixa

dinâmica, resolução temporal– Medidas de qualidade em imagens– histograma e segmentação por threshold– sistemas lineares– visualização– Convolução– Transformadas de Fourier– interpolação

SF 1/11/2007 - 67

InterpolaInterpolaççãoão

x1 x2x

).()(1

12

121 xx

xxyyyy −

−−

+=y1

y2

y

6 82 4

SF 1/11/2007 - 68

TransformaTransformaççõesões geomgeoméétricastricas

P1 P2

P3 P4

Q1

Q2

).()(

)2(

).()()1(

334

343

112

121

xxxxII

IQI

xxxxIIIQI

−−−

+=

−−−

+=

Q(x,y)

).()1()2()1()( 112

yyyyQIQIQIQI −

−−

+=

SF 1/11/2007 - 69

SF 1/11/2007 - 70

MotivaMotivaçção: fusãoão: fusão

ConjugaConjugaçção de imagens ão de imagens para melhorar a para melhorar a sensitividadesensitividade e e sensibilidadesensibilidade diagndiagnóóstica stica (fusão)(fusão)AlinhamentoAlinhamento de de imagensimagens3D3D

EstudoEstudo multimulti--modal (CT, modal (CT, MRI, SPECT, ..) MRI, SPECT, ..) quantitativaquantitativaAumentoAumento dada sensitividadesensitividade e e dada especificidadeespecificidadediagndiagnóósticastica

SF 1/11/2007 - 71

95 80 80 8095 90 90 105

150 20 100 130220 150 160 150

95 80 80 8095 90 90 105

150 20 100 130220 150 160 150

95 80 80 8095 90 90 105

150 20 100 130220 150 160 150

95 80 80 8095 90 90 105

150 20 100 130220 150 160 150

95 80 80 8095 90 90 105

150 20 100 130220 150 160 150

12 7 6 203 8 9 17

15 14 10 132 22 15 150

TranslaTranslaççãoão

95 80 80 8095 90 90 105

150 20 100 130220 150 160 150

95 80 80 8095 90 90 105

150 20 100 130220 150 160 150

95 80 80 8095 90 90 105

150 20 100 130220 150 160 150

95 80 80 8095 90 90 105

150 20 100 130220 150 160 150

95 80 80 8095 90 90 105

150 20 100 130220 150 160 150

12 7 6 203 8 9 17

15 14 10 132 22 15 150 x

y

z

SF 1/11/2007 - 72

TranslaTranslaççãoão

=

1

.

1000100010001

11

1

1

0

0

0

2

2

2

zyx

zyx

zyx

),,(),,(),,(),,(

),,(),,(),,(

020202222

111222

222000111

21

zzyyxxfzyxgzyxfzyxg

zyxzyxzyxPtranslacaoP

−−−==

=+=>+

x

P1

P2

f(x1,y1,z1)

g(x2,y2,z2)

SF 1/11/2007 - 73

95 80 80 8095 90 90 105

150 20 100 130220 150 160 150

95 80 80 8095 90 90 105

150 20 100 130220 150 160 150

95 80 80 8095 90 90 105

150 20 100 130220 150 160 150

95 80 80 8095 90 90 105

150 20 100 130220 150 160 150

95 80 80 8095 90 90 105

150 20 100 130220 150 160 150

12 7 6 203 8 9 17

15 14 10 132 22 15 150

EscalaEscala

95 80 80 8095 90 90 105

150 20 100 130220 150 160 150

95 80 80 8095 90 90 105

150 20 100 130220 150 160 150

95 80 80 8095 90 90 105

150 20 100 130220 150 160 150

95 80 80 8095 90 90 105

150 20 100 130220 150 160 150

95 80 80 8095 90 90 105

150 20 100 130220 150 160 150

12 7 6 203 8 9 17

15 14 10 132 22 15 150 x

y

z

SF 1/11/2007 - 74

EscalaEscala

=

1

.

1000000000000

11

1

1

2

2

2

zyx

SS

S

zyx

z

y

x

x

P1

P2

f(x1,y1,z1)

g(x2,y2,z2)

SF 1/11/2007 - 75

RotaRotaççãoão

95 80 80 8095 90 90 105

150 20 100 130220 150 160 150

95 80 80 8095 90 90 105

150 20 100 130220 150 160 150

95 80 80 8095 90 90 105

150 20 100 130220 150 160 150

95 80 80 8095 90 90 105

150 20 100 130220 150 160 150

95 80 80 8095 90 90 105

150 20 100 130220 150 160 150

12 7 6 203 8 9 17

15 14 10 132 22 15 150 x

y

z

SF 1/11/2007 - 76

RotaRotaççãoão

−=

1

.

10000)cos()(00)()cos(00001

1

1

1

zyx

sinsin

Rαααα

α

21 )],,([ ProtaçãoP =>γβα

x

P1

P2

f(x1,y1,z1)

g(x2,y2,z2)

−

=

1

.

10000)cos(0)(00100)(0)cos(

1

1

1

zyx

sin

sin

Rββ

ββ

β

−

=

1

.

1000010000)cos()(00)()cos(

1

1

1

zyx

sinsin

Rγγγγ

γ

SF 1/11/2007 - 77

TransformaTransformaççõesões geomgeoméétricastricas

Escalamento (S) e Rotação (R) em torno de um ponto genérico (P0)1) P/ rotação deve-se centrar em (P0) => translação T2) Rotação R3) Retorno da translação (T-1)4) Escala S

)(... 101

02 PTRTSP −=

P0

SF 1/11/2007 - 78

ExemplosExemplos prprááticosticos

rotarotaççãoãoslicesliceinterpolainterpolaççãoãorendering 3Drendering 3D

rotarotaççãoãoprojeprojeççãoãoopacidadeopacidade / / reflexãoreflexão / .../ ...

SF 1/11/2007 - 79

Tomografia AlgTomografia Algéébricabrica

f1

f3

f2

f4

Imagem f

4 9

76

Problema: f |

f1+ f2 =7

f3+ f4 =6

f1+ f3 =4

f2 + f4 =9

SF 1/11/2007 - 80

SoluSoluççõesões

3

1

4

5

2

2

5

4A . x = b

M equações com N incógnitas

Sistema indeterminado (infinitas soluções, rank < N)

Sistema inconsistente (M eq. Lin. Indep > N) => otimização

f1

f3

f2

f4

Imagem f

4 9

76

SF 1/11/2007 - 81

Algébrica: otimização (regularizada)

4 9Problema: f |

f1+ f2 =7

f3+ f4 =6

f1+ f3 =4

f2 + f4 =9

.5f1+ f3 +.5 f4 =5

.5f1+ f2 +.5 f4=8

f1

f3

f2

f4

Imagem f

76

8

5

SF 1/11/2007 - 82

SoluSoluçções (otimizada)ões (otimizada)

2.5

2.0

4.6

4.1

A . x = b

6 equações com 4 incógnitas

Sistema inconsistente (M eq. Lin. Indep > N) => otimização

f1

f3

f2

f4

Imagem

76

8

5

')'(

ˆ|ˆ.|min

1

2ˆ

AAAAbAx

bxAx

−+

+

=

=

−