h2cin Capitulo III

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 1

Métodos Matemáticos Aplicados a

Processos Químicos e Bioquímicos

Capítulo III : Equações Diferenciais

Ordinárias

DISCIPLINA

José Luiz de Medeiros e Ofélia Q.F. Araújo

Engenharia Química – UFRJ

jlm@eq.ufrj.br, ofelia@eq.ufrj.brTel. 21-2562-7535

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 2

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

1. Definições

EDOnaçãodiferenciadeordemMaior:Ordem

...y,y,y,xcom.EqOrdinárialDiferenciaEquação:EDO

procuradamatemáticalaçãoRe:)x(y

,...2,1k,dx

yd:y

dependenteVariável:y

teindependenVariável:x

)2()1(

k

k)k(

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 3

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

1. Definições

Linearidade - EDO de O(n) é Linear quando tem a forma :

)x(Ry)x(Py)x(P 0)k(

n

1k

k

A EDO Linear abaixo, tem a seguinte Propriedade :

)x(R)y,...,y,y,x(g )n()1(

)y,...,y,y,x(g)y,...,y,y,x(g

)yy,...,yy,yy,x(g

)n(B

)1(BB

)n(A

)1(AA

)n(B

)n(A

)1(B

)1(ABA

Coeficientes da EDO Linear

dependem apenas da Variável

Independente

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 4

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

1. Definições

Linearidade - EDO de O(n) é Linear quando tem a forma :

)x(Ry)x(Py)x(P 0)k(

n

1k

k

A EDO Linear abaixo, tem a seguinte Propriedade :

)x(R)y,...,y,y,x(g )n()1(

)y,...,y,y,x(g)y,...,y,y,x(g

)yy,...,yy,yy,x(g

)n(B

)1(BB

)n(A

)1(AA

)n(B

)n(A

)1(B

)1(ABA

Coeficientes da EDO Linear

dependem apenas da Variável

Independente

2x2x

7xxexpxyxy2y

2

32)1()2(

É Não Linear

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Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

1. Definições

SOLUÇÕES

Solução Geral (SG) : Solução da EDO com constantes

arbitrárias

Solução Particular (SP) : Solução obtida da SG fixando-se

valor para constantes arbitrárias

Solução Singular (SS) : Solução que não pode ser obtida

da SG por atribuição às constantes

arbitrárias

Solução Completa (SC) : SG que produz qualquer solução

da EDO pela atribuição adequada

de valor às constantes arbitrárias

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 6

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

2. EDO Linear de Ordem 1

)x(Ry)x(Py)x(P 0)1(

1

Dividindo-se por P1(x) (0) e redefinindo-se termos :

)x(qy)x(py )1(

)x(P/)x(R)x(q

)x(P/)x(P)x(p

1

10

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Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

2. EDO Linear de Ordem 1

Resolução)x(qy)x(py )1(

Multiplica-se a EDO por um fator a especificar F(x) :

)x(q)x(Fy)x(F)x(py)x(F )1(

Escolhe-se F(x) tal que

dx)x(pexp)x(F

dx)x(p))x(Fln(dx)x(p)x(F

)x(dF)x(F)x(p

dx

)x(dF

Assim a Eq. (1), escreve-se

1

)x(q)x(F)x(yFdx

d)x(q)x(F

dx

)x(dFyy)x(F )1(

)x(F)x(pdx

)x(dF

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Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

2. EDO Linear de Ordem 1

Resolução)x(qy)x(py )1(

dx)x(q)x(FCte)x(yF)x(q)x(F)x(yFdx

d

dx)x(q)x(F)x(F

1)x(F/Ctey

dx)x(pexp)x(F

F(x) é o Fator de Integração da EDO

1b

1c

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Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

2. EDO Linear de Ordem 1

Exemplo 3.1

)x(qy)x(py )1(

x)1( eyy

dxeeCey

dx)x(Q)x(F)x(F

1)x(F/Cy

x2xx

xx edxexp)x(Fe)x(q,1)x(p

2

eCey

xx

Resolver a EDO abaixo :

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Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1

procuradamatemáticalaçãoRe:)x(y

dx

yd:y

sdependenteiáveisvarde1xnVetor:

y

y

y

teindependenVariável:x

)1(

n

1

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Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1

)x(qy)x(py )1( EDO Linear de Ordem 1

)x(qy)x(py)1(

Sistema EDOs Lineares de Ordem 1

1xn:)x(q,nxn:)x(p,1xn:

y

y

y

n

1

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Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1

)x(qy)x(py )1( EDO Linear de Ordem 1

)x(qy)x(py)1(

Sistema EDOs Lineares de Ordem 1

1xn:)x(q,nxn:)x(p,1xn:

y

y

y

n

1

Para resolução é necessário generalizar a função exponencial

ordinária ex para o contexto matricial. Definimos, portanto, a

Operação Matricial conhecida como Exponencial Matricial.

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 13

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1

...A!4

1A

!3

1A

!2

1AI)Aexp(

432

Define-se a Exponencial Matricial para qualquer matriz

quadrada A (seja esta singular ou não), tamanho n x n, pela série

infinita de potencias inteiras da matriz A abaixo :

nxnMatrizes:)Aexp(,A

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Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1

Propriedades da Exponencial Matricial

A)Aexp(A...A!4

1A

!3

1A

!2

1AI

...A!4

1A

!3

1A

!2

1AA

...A!4

1A

!3

1A

!2

1AIA)Aexp(A

432

5432

432

Teorema 3.1 comutam)Aexp(eA:1P

A)Aexp()Aexp(A

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Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1

Propriedades da Exponencial Matricial

11432

321

43211

A)Aexp(A...A!4

1A

!3

1A

!2

1AI

...A!4

1A

!3

1A

!2

1IA

...A!4

1A

!3

1A

!2

1AIA)Aexp(A

Teorema 3.1b comutam)Aexp(eA:b1P1

11A)Aexp()Aexp(A

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Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1

Propriedades da Exponencial Matricial

kk432

4k3k2k1kk

432kk

A)Aexp(A...A!4

1A

!3

1A

!2

1AI

...A!4

1A

!3

1A

!2

1AA

...A!4

1A

!3

1A

!2

1AIA)Aexp(A

Teorema 3.1c comutam)Aexp(e)Ik(A:c1Pk

kkA)Aexp()Aexp(A

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Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1

...A!4

1A

!3

1A

!2

1AI)Aexp(é

...A!4

1A

!3

1A

!2

1AI)Aexp(deInversa:2P

432

432

Propriedades da Exponencial Matricial

Teorema 3.2

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Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1

I

...A!5

1

...A!4

1A

!4

1

...A!3!2

1A

!3

1A

!3

1

...A!3!2

1A

!2!2

1A

!2

1A

!2

1

...A!4

1A

!3

1A

!2

1AA

...A!5

1A

!4

1A

!3

1A

!2

1AI

...A!4

1A

!3

1A

!2

1AI..A

!4

1A

!3

1A

!2

1AI)Aexp()Aexp(

5

54

543

5432

5432

5432

432432

)Aexp()Aexp(1

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Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1

]20.2.Teorvia[LIsAutovetorentemAqdo)Aexp(Fatoração:3P

1kk13121312112

11n21n1n21

n21

PPAPPPPPPAPPPPPPA

PPPPP),...,(DiagPPPA

AdeosNormalizadsAutovetorePPPP

1432

14131211

432

P...!4

1

!3

1

!2

1IP)Aexp(

...P!4

1PP

!3

1PP

!2

1PPPPP

...A!4

1A

!3

1A

!2

1AI)Aexp(

1P)exp(P)Aexp(

Teorema 3.3

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Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1

]24.2.Teor[SimétricaAqdo)Aexp(Fatoração:4P

TkkT3T2T3T2TT2

TTn21n1n21

T1n21

PPAPPPPPPAPPPPPPA

PPPPP),...,(DiagPPPA

PPentãoSimétricaAdeosNormalizadsAutovetorePPPP

T432

T4T3T2TT

432

P...!4

1

!3

1

!2

1IP)Aexp(

...P!4

1PP

!3

1PP

!2

1PPPPP

...A!4

1A

!3

1A

!2

1AI)Aexp(

TP)exp(P)Aexp(

Teorema 3.4

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Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1

A)Aexp()Aexp(A)Aexp(dx

dcomutam)x(A

dx

d)x(Ae)x(ASe:5P

Teorema 3.5

...AAAAAAA!3

1AAAA

!2

1A))x(Aexp(

dx

d

...)x(A!4

1)x(A

!3

1)x(A

!2

1)x(AI))x(Aexp(

22

432

:comutam)x(Ae)x(AQuando

A...A!3

1A

!2

1AI...A

!3

1A

!2

1AIA))x(Aexp(

dx

d

...AA!3

1AA

!2

1AAA))x(Aexp(

dx

d

3232

32

A))x(Aexp())x(Aexp(A))x(Aexp(dx

d

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Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1

N

1m

nm

N

1n

mnN

1n

mn

N

1m

mn

N

1m

mm

N

1n

nn

N

1n

nn

N

1n

nn

2

1n221nn

2

)x(g)x(gKAA)x(g)x(gKAA

)x(gK)x(gKAA)x(gKA)x(gK)x(A

)x(g)x(gKAAAA)x(gKA)x(gK)x(A

nxKAAAAnxKAxK)x(A

xKAAAAKAxK)x(A

:comutam)x(Ae)x(AondeMatriciaisCasosdeExemplos

A))x(Aexp())x(Aexp(A))x(Aexp(dx

dvalecasosestesPara

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Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1

Comando Matlab para calcular Exponencial Matricial de

matriz A :

)A(mexp

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 24

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1

)x(qy)x(py)1(

1xn)x(q,nxn)x(p,

y

y

y

n

1

De posse do conceito de Exponencial Matricial, voltamos a

considerar a Solução do Sistema de EDOs Lineares de O(1) :

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 25

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1

)x(qy)x(py)1(

Pré-multiplica-se o sistema pela matriz n x n a especificar F(x) :

)x(q)x(Fy)x(p)x(Fy)x(F)1(

Escolhe-se F(x) tal que

dx)x(pe)x(pentredadecomutabiliSob

)x(F)x(p)x(p)x(F)x(Fdx

d

dx)x(pexp)x(F)x(p)x(F)x(Fdx

dAssim, com Teor. 3.5 :

Voltando na EDO :

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 26

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1

)x(q)x(Fy)x(p)x(Fy)x(F)1(

Ou ainda :

)x(q)x(Fy)x(Fdx

d)x(q)x(Fy)x(F

dx

dy)x(F

)1(

dx)x(q)x(FFCFydx)x(q)x(FCy)x(F11

dx)x(q)x(FFCFy11 dx)x(pexp)x(F

dx)x(q.dx)x(pexpdx)x(pexpC.dx)x(pexpy

3

2

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Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1

tetanconsU)x(q,tetanconsA)x(p

Caso Particular CP1 para Sistema de EDOs Lineares :

UyAy)1(

)x(qy)x(py)1(

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Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1

Aplicando Eq. (3) com U)x(q,A)x(p

dx)x(q.dx)x(pexpdx)x(pexpC.dx)x(pexpy

UyAy)1(

dxU.xAexpxAexpC.xAexpy

xAexpdx)x(pexpxAdx)x(p

U.dxxAexpxAexpC.xAexpy

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Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1

UyAy)1(

U.dxxAexpxAexpC.xAexpy

Fazendo a integral nesta expressão com a série da Exponencial :

)xAexp(IA...A!5

xA

!4

xA

!3

xA

!2

xxIdx)xAexp(

dx...A!4

xA

!3

xA

!2

xxAIdx)xAexp(

145

34

232

44

33

22

)xAexp(IAA)xAexp(Idx)xAexp(11

U.AIxAexpC.xAexpy1

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Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1

UyAy)1(

U.AIxAexpC.xAexp)x(y1

4

Solução do Caso Particular CP1 de Sistema de EDOs Lineares

tetanconsU)x(q,tetanconsA)x(p )x(qy)x(py)1(

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 31

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1

U.AIxAexpC.xAexp)x(y1

4

Solução do Caso Particular CP1 de Sistema de EDOs Lineares

tetanconsU)x(q,tetanconsA)x(p )x(qy)x(py)1(

Sob Condição Inicial

U.AIxAexpy.xAexp)x(y1

0

4b

0y)0x(y

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 32

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1

n1 PPP.)normaliz(LIsAutovetorentemA

tetanconsU)x(q,tetanconsA)x(p

Caso Particular CP1b para Sistema de EDOs Lineares :

UyAy)1(

)x(qy)x(py)1(

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 33

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1

Solução do Caso Particular CP1b diretamente com Eq. (4)

adicionando-se a Fatoração seguinte e o Teor. 3.3 :

11

PxPxAPPA 1P)xexp(P)xAexp(

DiagonalemsAutovalore:

Colunasem.NormalizAuvetores:PPP

n

1

n1

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 34

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1

UyAy)1(

U.AIxAexpC.xAexpy1

Solução do Caso Particular CP1b :

)x(qy)x(py)1(

11

P)xexp(P)xAexp(,PPA

tetanconsU)x(q,tetanconsA)x(p

U.PPPIxexpPC.PxexpPy1111

U.PIxexpPC.PxexpPy111

4

5

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 35

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1

Solução do Caso Particular CP1b :

)x(qy)x(py)1(

11

P)xexp(P)xAexp(,PPA

tetanconsU)x(q,tetanconsA)x(p

U.PIxexpPC.PxexpPy111

5

Sob Condição Inicial 0

y)0x(y

U.PIxexpPy.PxexpPy11

0

1 5b

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 36

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1

T1n1 PPPPPsAutovetorenSimétricaA

tetanconsU)x(q,tetanconsA)x(p

Caso Particular CP1c para Sistema de EDOs Lineares :

UyAy)1(

)x(qy)x(py)1(

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 37

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1

Solução do Caso Particular CP1c diretamente com Eq. (4)

adicionando-se a Fatoração de matrizes simétricas e o Teor. 3.4 :

TTT

PxPxAPPAAA TP)xexp(P)xAexp(

DiagonalemsAutovalore:

PP

Colunasem.NormalizAuvetores:PPP

n

1

1T

n1

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 38

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1

UyAy)1(

U.AIxAexpC.xAexpy1

Solução do Caso Particular CP1c :

)x(qy)x(py)1(

TT

P)xexp(P)xAexp(,PPA

tetanconsU)x(q,simétricaA)x(p

4

U.PIxexpPC.PxexpPyT1T

6

Vantagem sobre CP1 e CP1b : Não é Necessário Inverter Matriz !

U.PPPIxexpPC.PxexpPyT1TT

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 39

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1

Solução do Caso Particular CP1c :

)x(qy)x(py)1(

TT

P)xexp(P)xAexp(,PPA

tetanconsU)x(q,simétricaA)x(p

U.PIxexpPC.PxexpPyT1T

6

Sob Condição Inicial 0

y)0x(y

U.PIxexpPy.PxexpPyT1

0

T 6b

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 40

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1

1.0b,1.0a,b

b

y

y

a1

1a

dx

dydx

dy

2

1

2

1

Exemplo 3.2

Gerar o Plano de Fase do Sistema de 2 EDOs abaixo :

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 41

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1

1.0b,1.0a,b

b

y

y

a1

1a

dx

dydx

dy

2

1

2

1

Exemplo

Identificando A e U : Caso Particular CP1b

UyA

dx

dydx

dy

2

1

0b,0a,b

bU,

a1

1aA

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 42

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1

UyA

dx

dydx

dy

2

1

Processando a Solução Estacionária :

UAy

yU

y

yA

0

0 1

EE2

EE1

EE2

EE1

0891.0

1089.0

y

yEE2

EE1

a1

1a

1a

1A1.0b,1.0a,

b

bU,

a1

1aA

2

1

1a

1a

1a

b

b

b

a1

1a

1a

1

y

y22EE

2

EE1

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 43

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1

UyA

dx

dydx

dy

b

b

y

y

a1

1a

dx

dydx

dy

2

1

2

1

2

1

O Plano de Fase é obtido traçando-se diversas trajetórias

(y1(x),y2(x)) a partir de vários estados iniciais (y10 ,y20). Temos as

Fases : (i) Obter a Solução Geral; (ii) Aplicar condição inicial; e

(iii) Traçar as várias órbitas variando-se as condições iniciais.

Fase 1 : Obtendo Solução Geral Caso Particular CP1b

0b,0a,b

bU,

a1

1aA

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 44

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1

Fase 1 : Re-escrevendo Solução Geral Caso Particular CP1b

U.PIxexpPC.PxexpPy111

U.APIxexpPC.PxexpPy

U.PPPIxexpPC.PxexpPy

111

1111

U.AIPxexpPC.PxexpPy111

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Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1

Fase 2 : Aplicando Condição Inicial Caso Particular CP1b

U.AIPxexpPC.PxexpPy111

0y)0x(y

U.AIPxexpPy.PxexpPy11

0

1

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Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1

1

1bU,

a1

1aA

Fase 2 : Processando Solução com Condição Inicial

ia

ia01aa20

a1

1a

:sAutovalore

2

122

a1

1a

1a

1A:Inversa

2

1

U.AIPxexpPy.PxexpPy11

0

1

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Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1

22

222

2

11

111

1

2

1

P1

i

1

aX0X

a1

1a

P1

i

1

aX0X

a1

1a

ia

iasAutovetore

Fase 2 : Processando Solução com Condição Inicial

2/12/i

2/12/i

i1

i1

i2

1P

11

iiP

1 Não Nec. Normalizar

Por quê ?

U.AIPxexpPy.PxexpPy11

0

1

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Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1

ia0

0ia

i0

0i)x(sen)axexp(

10

01)xcos()axexp()xexp(

2/12/i

2/12/iP,

11

iiP

1

ia0

0ia

1a

12

1

)x(isen)xcos(0

0)x(isen)xcos()axexp(

)ixexp(0

0)ixexp()axexp()xexp(

)ixexp()axexp(0

0)ixexp()axexp()xexp(

1a

ia0

01a

ia

ia

10

0ia

1

2

21

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 49

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1

ia0

0ia

i0

0i)x(sen)axexp(

10

01)xcos()axexp()xexp(

2/12/i

2/12/iP,

11

iiP

1

ia0

0ia

1a

12

1

2/i2/1

2/i2/1)x(sen)axexp(

2/12/i

2/12/i)xcos()axexp(P)xexp(

1

)xcos()x(sen

)x(sen)xcos()axexp(P)xexp(P

01

10)x(sen)axexp(I)xcos()axexp(P)xexp(P

1

1

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 50

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1

ia0

0ia

2/12/i

2/12/iP,

11

iiP

1

ia0

0ia

1a

12

1

)xcos()x(sen

)x(sen)xcos()axexp(P)xexp(P

1

1

1

a1

1aI

)xcos()x(sen

)x(sen)xcos()axexp(

1a

b

y)xcos()x(sen

)x(sen)xcos()axexp(y

2

0

U.AIPxexpPy.PxexpPy11

0

1

a1

1a

1a

1A

2

1

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 51

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1

1

1

a1

1aI

)xcos()x(sen

)x(sen)xcos()axexp(

1a

b

y)xcos()x(sen

)x(sen)xcos()axexp(y

2

0

Fase 2 : Solução com Condição Inicial - Trigonométrica

Fase 2 : Solução com Condição Inicial - Complexa

U.AIPxexpPy.PxexpPy11

0

1

ia0

0ia

2/12/i

2/12/iP,

11

iiP

1

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Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1

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3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1

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Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

3. Sistemas de EDOs Lineares de Ordem 1

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Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

4. EDO Linear de Ordem 2

EDO-2 Linear Geral Não Homogênea :

7)x(ry)x(qy)x(py )1()2(

Cuja Forma Homogênea é :

0y)x(qy)x(py )1()2( 8

Teorema 3.6

Seja intervalo (a,b) onde p(x), q(x), r(x) são contínuas. Seja

x0(a,b). Sejam y0 , y0(1) números. Então sobre (a,b) a EDO (7)

tem uma e somente uma solução y(x) tal que :

)1(00

)1(00 y)x(y,y)x(y

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 56

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

4. EDO Linear de Ordem 2

Se y1(x) e y2(x) são soluções da EDO-2 Homogênea, Eq. (8), então

y3(x) = C1 y1(x)+C2 y2(x) também é solução. Teorema 3.7

Logo y3(x) = C1 y1(x)+C2 y2(x) é solução da EDO-2 homogênea.

:)8(.Eqdaesquerdoladono)x(yC)x(yC)x(ydoSubstituin 22113

Demonstração

0

)0(C)0(C

)y)x(qy)x(py(C)y)x(qy)x(py(C

y)x(qCy)x(qCy)x(pCy)x(pCyCyC

y)x(qy)x(py

21

2)1(

2)2(

221)1(

1)2(

11

2211)1(

22)1(

11)2(

22)2(

11

3)1(

3)2(

3

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 57

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

4. EDO Linear de Ordem 2

Se y1(x) e y2(x) são soluções da EDO-2 Linear Homogênea, Eq. (8),

para as quais W(y1,y2) 0, então qualquer outra solução y3(x)

pode ser escrita como y3(x) = C1 y1(x)+C2 y2(x). Teorema 3.8

Sejam a EDO-2 Linear Homogênea abaixo e duas soluções y1(x),

y2(x), com W(y1(x), y2(x)) 0. Seja y3(x),uma terceira solução da

EDO-2 homogênea. Podemos escrever:

)x(y)x(y

)x(y)x(y))x(y),x(y(Wé)x(ye)x(ydewronskianoO )1(

2)1(

1

212121

Demonstração

).x(y),x(y),x(ypara0y)x(qy)x(py 321)1()2(

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Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

4. EDO Linear de Ordem 2

Teorema 3.8

0y)x(qy)x(py

0y)x(qy)x(py

0y)x(qy)x(py

3)1(

3)2(

3

2)1(

2)2(

2

1)1(

1)2(

1

Trata-se de um SQH com Solução Não Trivial

0

0

0

)x(q

)x(p

1

yyy

yyy

yyy

3)1(

3)2(

3

2)1(

2)2(

2

1)1(

1)2(

1

0

)x(q

)x(p

1

como,0

)x(q

)x(p

1

D 0

yyy

yyy

yyy

D

3)1(

3)2(

3

2)1(

2)2(

2

1)1(

1)2(

1

2)D(Posto3)D(Posto20)x(y)x(y

)x(y)x(ymas )1(

2)1(

1

21

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 59

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

4. EDO Linear de Ordem 2

Teorema 3.8

0

yyy

yyy

yyy

D

3)1(

3)2(

3

2)1(

2)2(

2

1)1(

1)2(

1

:Logo

LIsão2e1linhas.e.i0)x(y)x(y

)x(y)x(ypois3serpodesóLDlinhaA )1(

2)1(

1

21

LDlinha1temD

LIlinhas2temD2)D(Posto

2)1(

2)2(

221)1(

1)2(

113)1(

3)2(

3 yyyCyyyCyyy

)x(yC)x(yC)x(y 22113

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 60

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

4. EDO Linear de Ordem 2

Se y1(x) e y2(x) são soluções da EDO-2 Linear Homogênea, Eq. (8),

para as quais W(y1,y2) 0, então qualquer outra solução y3(x)

pode ser escrita como y3(x) = C1 y1(x)+C2 y2(x). Teorema 3.8

Para o Teor. 3.8 valer, são necessárias 2 soluções y1(x) e y2(x) LI,

i.e., com W(y1,y2) 0. O Teor. não cita como obtê-las, mas é claro

ao dizer que o número máximo de soluções LI é 2.

Observações

O Teor. 3.8 expressa que a Solução Completa (SC) da EDO-2

Linear Homogênea, Eq. (8), é obtida como Combinação Linear de

2 soluções y1(x) e y2(x) LI, i.e., com W(y1,y2) 0. A solução SC é :

)x(yC)x(yC)x(y 2211H Sol. Completa da EDO-2 Lin. Hom.

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 61

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

4. EDO Linear de Ordem 2

Seja y1(x) solução da EDO-2 Linear Homogênea, Eq. (8). Então

uma segunda solução y2(x), LI de y1(x), i.e. com W(y1,y2) 0, pode

ser obtida com y2(x) = (x)y1(x). Teorema 3.9

Seja a segunda solução, escrita como y2(x) = (x)y1(x). Assim :

Demonstração

dx.)x(y

dx).x(pexp)x(onde

21

)x(y)x()x(y)x(2)x(y)x()x(y

)x(y)x()x(y)x()x(y

)x(y)x()x(y

)2(1

)1(1

)1(1

)2()2(2

)1(11

)1()1(2

12

Forçando y2(x) e derivadas a satisfazer EDO-2 Lin. Homogênea :

0y)x(qy)x(py 2)1(

2)2(

2

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 62

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

4. EDO Linear de Ordem 2

Teorema 3.9

0)x(y)x()x(qyy)x(pyy2y 1)1(

11)1()2(

1)1(

1)1(

1)2(

0yy)x(py2y)x(qy)x(py)x( 1)2(

1)1(

1)1(

1)1(

1)2(

1

0y)x(qy)x(py:EDOàatende)x(yComo 1)1(

1)2(

11

0)x(py

y2

1

)1(1)1()2(

0)x(p

y

y2

dx

d

1

)1(1)1(

)1(

dx).x(p)yln(2expdx)x(p

y

y2ln 1

)1(

1

)1(1)1(

21

)1(

y

dx).x(pexp

dx.

y

dx).x(pexp

21

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 63

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

4. EDO Linear de Ordem 2

Teorema 3.9

dx.

y

dx).x(pexp)x(),x(y).x()x(y

21

12

A segunda solução, será escrita, portanto, como :

É possível provar que y2(x) é LI de y1(x), isto é W(y2(x), y1(x))0.

Basta aplicar substituição direta em W(y2(x), y1(x)) com Eq. (9) ao

escrever y2(x) (Ver Lista de Exercícios 3).

9

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 64

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

4. EDO Linear de Ordem 2

Seja yP(x) solução particular da EDO-2 Linear Não-Homogênea,

Eq. (7). Sejam y2(x) e y1(x) soluções da EDO-2 Linear

Homogênea, Eq. (8), com W(y1,y2) 0.

Então a Solução Completa da EDO-2 Linear Não-Homogênea, Eq.

(7), escreve-se C1 y1(x)+C2 y2(x) + yP(x). Teorema 3.10

Demonstração

)x(ry)x(qy)x(py:.Hom.N.L2EDOda.solé)x(y

0y)x(qy)x(py:.H.L2EDOdaSC)x(yC)x(yC)x(y

P)1(

P)2(

PP

H)1(

H)2(

H2211H

Subtraindo-se as duas últimas EDOs não Homogêneas, Tem-se :

)x(ry)x(qy)x(py:.Hom.N.L2EDOda.Solé)x(y)1()2(

0)yy)(x(q)yy)(x(p)yy( P)1(

P)2(

P

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 65

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

4. EDO Linear de Ordem 2

Teorema 3.10

Portanto y-yP é solução da EDO2 Linear Homogênea. Como a

Solução Completa da EDO2 L.H. é dada por yH , tem-se

0)yy)(x(q)yy)(x(p)yy( P)1(

P)2(

P

)x(yC)x(yC)x(yyy 2211HP

)x(yC)x(yCyy 2211P

Ou seja, qualquer solução da EDO2 Linear Não-Homogênea,

escreve-se nos termos da Eq. (10), a qual expressa, portanto, a

Solução Completa da EDO-2 Linear Não-Homogênea.

10

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 66

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

4. EDO Linear de Ordem 2

Seja yP(x) solução particular da EDO-2 Linear Não-Homogênea,

Eq. (7). Sejam y2(x) e y1(x) soluções da EDO-2 Linear

Homogênea, Eq. (8), com W(y1,y2) 0.

Então a Solução Completa da EDO-2 Linear Não-Homogênea, Eq.

(7), escreve-se C1 y1(x)+C2 y2(x) + yP(x). Teorema 3.10

Observação

O Teor. 3.10, formaliza que se obtém a Sol. Completa de EDO-2

Linear Não-Homogênea, com as etapas seguintes :

(1) Obter Sol. Completa da EDO-2 Linear Homogênea (yH(x))

(2) Obter Sol. Particular da EDO-2 Linear Não-Hom., (yP(x))

(3) Compor a Sol. Completa da EDO-2 Linear Não-Homogênea

y(x) = yP(x) + yH(x) ou y(x) = yP(x) + C1 y1(x)+C2 y2(x)

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 67

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

5. EDO Linear de Ordem 2 com Coeficientes Constantes

EDO-2 Linear Coef. Ctes. Não Homogênea :

11.)constc,b()x(rcybyy )1()2(

Cuja Forma Homogênea é :

0cybyy )1()2( 12

Pelo Teor. 3.8 deverá haver duas soluções LI para compor a

Solução Completa da forma homogênea, Eq. (12).

A Eq. (12) sugere que sejam tentadas soluções do tipo :

)xexp(y

Cabe a pergunta : Para que valores de a função y(x) = ex é

solução. Para responder, substituir y(x) = ex na Eq. (12).

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 68

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

5. EDO Linear de Ordem 2 com Coeficientes Constantes

13

)0e(0cb0ceebe x2xxx2

0cb2

A Eq. (12) é a Equação Característica da EDO-2 C.C.Hom. para

os valores de permitidos na solução ex. Por ser de grau 2,

admitirá sempre duas raízes pelo Teor.Fund. da Álgebra. Com

estas raízes 1 e 2 , a Eq. (13) escreve-se:

0))(( 21

x2

x1

21 e)x(y,e)x(y

Levando às Soluções Candidatas da EDO-2 Homogênea, Eq. (12):

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 69

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

5. EDO Linear de Ordem 2 com Coeficientes Constantes

0cb2 x

2x

121 e)x(y,e)x(y

Aplicando o teste do Wronskiano para verificar se são LI :

)se(0ee)(ee

ee))x(y),x(y(W

)x(y)x(y

)x(y)x(y))x(y),x(y(W

12xx

12x2

x1

xx

21

)1(2

)1(1

2121

21

21

21

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 70

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

5. EDO Linear de Ordem 2 com Coeficientes Constantes

x2

x1

21 e)x(y,e)x(y

Casos para S.C. da EDO-2 C.C.H.

x2

x1H

x2

x1

2121

21

21

eCeC)x(y

LIsãoe)x(y,e)x(y

,,

1

x2

x1H

21 eCeC)x(y

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 71

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

5. EDO Linear de Ordem 2 com Coeficientes Constantes

x2

x1

21 e)x(y,e)x(y

Casos para S.C. da EDO-2 C.C.H.

.real)x(ypois.Conj.ComplxiBAC,iBAC

eCeCeeCeC)x(y

LIsãoee)x(y,ee)x(y

.conj.complxiba,iba,,

H21

ibx2

ibx1

axx2

x1H

x)iba(x2

x)iba(x1

2121

21

21

2

))bx(isen)bx)(cos(iBA())bx(isen)bx)(cos(iBA(e)x(y axH

)bx(Bsen2)bxcos(A2e)x(y axH

)bx(senBe)bxcos(Ae)x(y axaxH

Após Redefinir-se as Constantes Arbitrárias Reais A e B :

)bx(sene)x(y

)bxcos(e)x(y

ax2

ax1

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 72

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

5. EDO Linear de Ordem 2 com Coeficientes Constantes

).x(ypara9.3.TeorUsar.e)x(y.solaapenasTemos

)repetidarealraiz(

2x.

1

21

3

x2

x1

21 e)x(y,e)x(y

Casos para S.C. da EDO-2 C.C.H.

dx.

y

dx).x(pexp)x(),x(y).x()x(y

21

12

0yy2y:EDO020)( 2)1()2(222

Devido à raiz dupla a Eq. característica tem a forma :

2)x(p0y)x(qy)x(py)1()2(

xdxdx.

)x2exp(

dx2exp)x(

)x.exp(x)x(y2

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 73

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

5. EDO Linear de Ordem 2 com Coeficientes Constantes

)repetidarealraiz(21 3

x2

x1

21 e)x(y,e)x(y

Casos para S.C. da EDO-2 C.C.H.

)x.exp(xC)x.exp(C)x(y

)x.exp(x)x(y),x.exp()x(y

21H

21

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 74

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

5. EDO Linear de Ordem 2 com Coeficientes Constantes

Os 3 Casos definem as possibilidades para a Solução Completa

(SC) da EDO-2 com Coeficientes Constantes Homogênea :

)x(yC)x(yC)x(y 2211H

Resta ainda a obtenção da Solução Particular (SP) da EDO-2

com Coeficientes Constantes Não-Homogênea :

.)constc,b()x(rcybyy )1()2( 11

Para obter SP da EDO-2 C.C.N.H. existe um punhado de

métodos particulares (ex. Método de Coeficientes a Determinar)

e apenas um método geral. Este último é conhecido como Método

de Variação de Parâmetros (MVP). A próxima seção é dedicada

ao MVP, pois este é aplicável à EDO Linear Geral.

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 75

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

5. EDO Linear de Ordem 2 com Coeficientes Constantes

Após a obtenção da Solução Particular, yP(x) , da EDO-2 de

Ceoficientes Constantes e Não-Homogênea, Eq. (11),

.)constc,b()x(rcybyy )1()2( 11

Tem-se a sua Solução Completa :

)x(y)x(yC)x(yC)x(y P2211

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 76

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

6. Método de Variação de Parâmetros com EDO Linear

O Método de Variação de Parâmetros (MVP) é um recurso útil

para obter Soluções Particulares de EDOs Lineares (qualquer

ordem) Não-Homogêneas. O MVP aplica-se a EDOs da forma:

N

1n

nnHN321 )x(yC)x(y)x(y),...,x(y),x(y),x(y

Os requisitos para aplicação do MVP são:

(1) A EDO é Linear e Não-Homogênea

(2) A Sol. Completa da EDO Homogênea foi obtida (yH(x)), i.e.

tem-se a Base de Soluções da EDO Lin. Homogênea (N é a ordem

da EDO):

)x(Ry)x(Py)x(P 0)k(

N

1k

k

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 77

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

6. Método de Variação de Parâmetros com EDO Linear

MVP para obter SP de EDO-2 Linear Não-Homogênea :

1: Disponível a Base de Soluções da EDO-2 Homogênea

)x(ry)x(qy)x(py )1()2( 7

)x(yC)x(yC)x(y)x(y),x(y 2211H21

2: Forma proposta pelo MVP para a SP (U1(x) e U2(x) a obter)

)x(y).x(U)x(y).x(U)x(y).x(U)x(y).x(U)x(y

)x(y).x(U)x(y).x(U)x(y

2)1(

21)1(

1)1(

22)1(

11)1(

P

2211P

3: Necessárias 2 Condições para obter U1(x) e U2(x). São elas

)y.Uy.Uy(0y.Uy.U)1(

22)1(

11)1(

P2)1(

21)1(

1

)2EDO()x(ry)x(qy)x(py P)1(

P)2(

P

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 78

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

6. Método de Variação de Parâmetros com EDO Linear

4: Derivadas da SP com 2 e 3

)1(2

)1(2

)1(1

)1(1

)2(22

)2(11

)2(P

)1(22

)1(11

)1(P2

)1(21

)1(1

y.Uy.Uy.Uy.Uy

y.Uy.Uy0y.Uy.U

)x(ryUyU

y)x(qy)x(pyUy)x(qy)x(pyU

)x(ry)x(qy)x(py

)1(2

)1(2

)1(1

)1(1

2)1(

2)2(

221)1(

1)2(

11

P)1(

P)2(

P

5: Aplicando 4 em 3b para montar a restrição 2 a resolver

)x(ry)x(qy)x(py P)1(

P)2(

P )x(ryUyU)1(

2)1(

2)1(

1)1(

1

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 79

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

6. Método de Variação de Parâmetros com EDO Linear

0y.Uy.U 2)1(

21)1(

1

6: Reunindo restrições finais a resolver com 3a e 5 :

)x(ryUyU)1(

2)1(

2)1(

1)1(

1

7: Restrições 6 sob forma matricial para funções incógnitas

)x(r

0

U

U

yy

yy

)1(2

)1(1

)1(2

)1(1

21

2

1

)1(2

)1(1

21

U

U

U,

yy

yy

)x(W

)x(r

0U)x(W

)1(

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 80

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

6. Método de Variação de Parâmetros com EDO Linear

8: Como Wronskiano W(y1 , y2) 0, a inversão abaixo é possível

dx.

)x(r

0

yy

yy

)x(U

)x(U

U

1

)1(2

)1(1

21

2

1

)x(r

0)x(WU

)x(r

0U)x(W

1)1()1(

dx.

)x(r

0)x(W)x(UdxU)x(U

1)1(

9: Com integração imprópria

10: Expressão Final do MVP

)x(y).x(U)x(y).x(U)x(y 2211P

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 81

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

6. Método de Variação de Parâmetros com EDO Linear

dx.

)x(r

0

yy

yy

)x(U

)x(U

U

1

)1(2

)1(1

21

2

1

11: Abrindo a inversa da expressão Final do MVP

1)1(

1

2)1(

2)1(

12)1(

21

1

)1(2

)1(1

21

yy

yy

yyyy

1

yy

yy

dx.)x(r

0

yy

yy

yyyy

1

U

U

1)1(

1

2)1(

2)1(

12)1(

212

1

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 82

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

6. Método de Variação de Parâmetros com EDO Linear

12: Afinal, o final do MVP para SP de EDO-2 Lin. Não-Homog.

)x(y).x(U)x(y).x(U)x(y 2211P

dxyyyy

y).x(rU

dxyyyy

y).x(rU

)1(12

)1(21

12

)1(12

)1(21

21

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 83

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

6. Método de Variação de Parâmetros com EDO Linear

Obter a Solução Completa da EDO-2 Linear e Não-Homogênea:

Exemplo 3.3xx)1()2( exeyy2y

2: Solução da EDO-2 Homogênea : Coeficientes Constantes

x2

x1H

x2

x1

212)1()2(

xe.Ce.C)x(yxe)x(y,e)x(y

)duplaraiz(10120yy2y

1: Identificando Termos da EDO-2

.)Hom.N.Const.Coefde2EDO(exe)x(r,1)x(q,2)x(p xx

3: Wronskiano para montar MVP

0eexee

xee

yy

yy

)x(W x2

xxx

xx

)1(2

)1(1

21

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 84

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

6. Método de Variação de Parâmetros com EDO Linear

4: Implementando MVP

dx)x(W

y).x(rdx

yyyy

y).x(rU

dx)x(W

y).x(rdx

yyyy

y).x(rU

1)1(

12)1(

21

12

2)1(

12)1(

21

21

xx exe)x(r

x2

x1 xe)x(y,e)x(y

x2e)x(W

x2

xdx)1x(dx

e

)exe(eU

3

x

2

xdx)xx(dx

e

)xee(xeU

2

x2

xxx

2

322

x2

xxx

1

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 85

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

6. Método de Variação de Parâmetros com EDO Linear

4: Implementando MVP

x2

x32

P2211P xe.x2

xe.

3

x

2

x)x(y)x(y).x(U)x(y).x(U)x(y

xx exe)x(r

x2

x1 xe)x(y,e)x(y

x2e)x(W

2

ex

6

ex)x(y

x2x3

P

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 86

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

6. Método de Variação de Parâmetros com EDO Linear

5: Solução Completa da EDO-2 C.C. Não-Homogênea

2

ex

6

exxeCeC)x(y

y)x(yC)x(yC)x(y

x2x3x

2x

1

P2211

Exemplo 3.3

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 87

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

6. Método de Variação de Parâmetros com EDO Linear

Obter a Solução Completa da EDO-2 Linear e Não-Homogênea:

Exemplo 3.4)x(tgyy )2(

2: Solução da EDO-2 Homogênea : Coeficientes Constantes

)x(sen.C)xcos(.C)x(y)x(sen)x(y),xcos()x(y

)1b,0a.conjcomplx(i,i010yy

21H21

212)2(

1: Identificando Termos da EDO-2

.)Hom.N.Const.Coefde2EDO()x(tg)x(r,1)x(q,0)x(p

3: Wronskiano para montar MVP

1)x(sen)x(cos)xcos()x(sen

)x(sen)xcos(

yy

yy

)x(W 22

)1(2

)1(1

21

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 88

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

6. Método de Variação de Parâmetros com EDO Linear

)x(tg)x(r

1)x(W

4: Implementando MVP

dx)x(W

y).x(rdx

yyyy

y).x(rU

dx)x(W

y).x(rdx

yyyy

y).x(rU

1)1(

12)1(

21

12

2)1(

12)1(

21

21

)x(sen)x(y

)xcos()x(y

2

1

)xcos(dx)x(sendx)xcos().x(tgU

dx).xcos(dx)xcos(

1dx

)xcos(

)x(sendx)x(sen).x(tgU

2

2

1

)xcos(U

)x(tg)xsec(ln)x(sendx)xsec()x(senU

2

1

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 89

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

6. Método de Variação de Parâmetros com EDO Linear

)x(tg)x(r

1)x(W

4: Implementando MVP

)x(sen)x(y

)xcos()x(y

2

1

)x(sen).xcos()xcos(.)x(tg)xsec(ln)x(sen)x(y

)x(y).x(U)x(y).x(U)x(y

P

2211P

)x(tg)xsec(ln).xcos()x(yP

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 90

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

6. Método de Variação de Parâmetros com EDO Linear

5: Solução Completa da EDO-2 C.C. Não-Homogênea

)x(tg)xsec(ln).xcos()x(sen.C)xcos(.C)x(y

y)x(yC)x(yC)x(y

21

P2211

Exemplo 3.4

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 91

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

6. Método de Variação de Parâmetros com EDO Linear

MVP para obter SP de EDO Linear Ordem N Não-Homogênea :

1: Disponível a Base de Soluções da EDO O(N) Homogênea

1N

0n

)n(n

)N(

0)1(

1)1N(

1N)N(

)x(ry)x(py

)x(ry)x(py)x(p...y)x(py 12

)x(yC...)x(yC)x(yC)x(y)x(y),...,x(y),x(y NN2211HN21

2: Forma proposta pelo MVP para a SP (U1(x)...UN(x) a obter)

N

1n

nnP )x(y)x(U)x(y

0y)x(py1N

0n

)n(n

)N(

13

14

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 92

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

6. Método de Variação de Parâmetros com EDO Linear

3: Necessárias N Condições para U1(x) , U2(x) ... UN(x). Última é a

EDO-N, Eq. (12), em yP(x). 1as N-1 simplificam yP(1),yP

(2)...yP(N-1) .

N

1n

)1N(nn

)1N(P

N

1n

)2N(n

)1(n

N

1n

)3(nn

)3(P

N

1n

)2(n

)1(n

N

1n

)2(nn

)2(P

N

1n

)1(n

)1(n

N

1n

)1(nn

)1(P

N

1n

n)1(

n

)x(y)x(Uy0)x(y)x(U

)x(y)x(Uy0)x(y)x(U

)x(y)x(Uy0)x(y)x(U

)x(y)x(Uy0)x(y)x(U

)x(ry)x(py1N

0n

)n(Pn

)N(P

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 93

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

6. Método de Variação de Parâmetros com EDO Linear

4: Aplicando N-1 1as Condições na última, EDO-N, Eq. (12) :

N

1n

n0n

N

1n

)1(n1n

N

1n

)1N(n1Nn

N

1n

)1N(n

)1(n

N

1n

)N(nn

)x(ry)x(pUy)x(pU...y)x(pU

yUyU

5: Como yn(x) (n=1...N) atendem EDO-N Homogênea, Eq. (13),

esta última condição torna-se:

)x(ry)x(py)x(p...y)x(pyUyU

ou

N

1n

n0)1(

n1)1N(

n1N)N(

nn

N

1n

)1N(n

)1(n

)x(ryUN

1n

)1N(n

)1(n

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 94

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

6. Método de Variação de Parâmetros com EDO Linear

6: As N Condições para U1(x) , U2(x) ... UN(x) são, portanto,

0yU

0yU

0yU

N

1n

)2N(n

)1(n

N

1n

)1(n

)1(n

N

1n

n)1(

n

)x(ryUN

1n

)1N(n

)1(n

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 95

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

6. Método de Variação de Parâmetros com EDO Linear

7: As N Condições para U1(x) , U2(x) ... UN(x) em modo matricial :

)x(r

0

0

0

U

U

U

U

yyyy

yyyy

yyyy

yyyy

)1(N

)1(3

)1(2

)1(1

)1N(N

)1N(3

)1N(2

)1N(1

)2(N

)2(3

)2(2

)2(1

)1(N

)1(3

)1(2

)1(1

N321

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 96

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

6. Método de Variação de Parâmetros com EDO Linear

8: Reconhecendo a matriz do Wronskiano e vetores U(x), U(x)(1)

N

3

2

1

)1(N

)1(3

)1(2

)1(1

)1(

)1N(N

)1N(3

)1N(2

)1N(1

)2(N

)2(3

)2(2

)2(1

)1(N

)1(3

)1(2

)1(1

N321

U

U

U

U

U,

U

U

U

U

U

yyyy

yyyy

yyyy

yyyy

)x(W

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 97

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

6. Método de Variação de Parâmetros com EDO Linear

9: Resolução das N Condições para U1(x) , U2(x) ... UN(x) :

)x(r

0

0

0

)x(WU

)x(r

0

0

0

U)x(W1)1()1(

dx.

)x(r

0

0

0

)x(WU1

Inversão

Integração

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 98

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

6. Método de Variação de Parâmetros com EDO Linear

10: Obtendo-se yP(x) pelo MVP para EDO Linear de Ordem N

dx.

)x(r

0

0

0

)x(WU1

)x(y)x(U)x(y TP

)x(y

)x(y

)x(y

)x(y

)x(y,

)x(U

)x(U

)x(U

)x(U

)x(U

N

3

2

1

N

3

2

1

N

1n

nnP )x(y)x(U)x(y

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 99

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

7. EDO Linear de Ordem N > 2 com Coeficientes Constantes

Resolução da EDO Linear Ordem N Não-Homogênea Geral, Eq.

(12), Vem da devida generalização dos teoremas anteriores de

EDO-2 Linear.

1: Disponível a Base de Soluções da EDO O(N) Homogênea :

1N

0n

)n(n

)N(

0)1(

1)1N(

1N)N(

)x(ry)x(py

)x(ry)x(py)x(p...y)x(py

12

)x(yC...)x(yC)x(yC)x(y)x(y),...,x(y),x(y NN2211HN21

0y)x(py1N

0n

)n(n

)N(

13

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 100

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

7. EDO Linear de Ordem N > 2 com Coeficientes Constantes

2: Soluções da EDO O(N) Hom. geram Sol. Completa somente se

o Teste do Wronskiano é atendido :

0

yyyy

yyyy

yyyy

yyyy

WW

)1N(N

)1N(3

)1N(2

)1N(1

)2(N

)2(3

)2(2

)2(1

)1(N

)1(3

)1(2

)1(1

N321

3: O Teste do Wronskiano viabiliza obter Solução Particular da

EDO-N Não-Hom. com MVP (utiliza matriz Wronskiana) :

N

1n

nnP )x(y)x(U)x(y

dx.

)x(r

0

0

)x(WU1

14

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 101

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

7. EDO Linear de Ordem N > 2 com Coeficientes Constantes

4: A Solução Completa da EDO-N Linear Não Hom. é garantida

pela generalização do Teor. 3.10 a seguir:

N

1n

nn

N

1n

nn

PH

)x(y)x(U)x(yC)x(y

)x(y)x(y)x(y

Seja yP(x) solução particular da EDO-N Linear Não-Homogênea,

Eq. (12). Sejam y1(x), y2(x), ..., yN(x) Base de Soluções da EDO-N

Linear Homogênea, Eq. (13), com W(y1 ,y2 ,..., yN) 0. Então a

Solução Completa da EDO-N Linear Não-Homogênea, Eq. (12),

escreve-se C1 y1(x)+C2 y2(x) +...+ CN yN(x) + yP(x). Teorema 3.11

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 102

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

7. EDO Linear de Ordem N > 2 com Coeficientes Constantes

Particularizamos a EDO-N Linear Não Homogênea ao caso de

Coeficientes Constantes, Eq. (15) :

1N

0n

)n(n

)N(

1N100)1(

1)1N(

1N)N(

)x(ryby

.constb,...,b,b,)x(rybyb...yby

Iniciamos pela resolução da EDO-N Coef. Const. Homogênea :

1N

0n

)n(n

)N(

0)1(

1)1N(

1N)N(

0yby

0ybyb...yby

15

16

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 103

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

7. EDO Linear de Ordem N > 2 com Coeficientes Constantes

A resolução da EDO-N Coef. Const. Hom. vem com a proposta

)xexp()x(y

17

0)xexp(.bb...b 011N

1NN

Substituindo na EDO-N Coef. Const. Homogênea, Eq. (16),

Resulta a Equação Característica da EDO-N C.C. Hom., Eq. (17),

0bb...b 011N

1NN

Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, o polinômio de grau N da

Eq. (17), sempre terá N raízes :

N321 ,...,,,

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 104

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

7. EDO Linear de Ordem N > 2 com Coeficientes Constantes

)xexp()x(y nn

Os valores complexos de raízes ocorrerão em pares conjugados.

Os casos de raízes repetidas, reais ou complexas (estas sempre em

pares conjugados), deverão acarretar sucessivas multiplicações

por x (x na primeira repetição, x2 na segunda repetição, etc) das

funções exp(x) para garantir a natureza LI dos membros da Base

de Soluções da EDO-N C.C. Homogênea.

Como no caso de Ordem 2, valores distintos de raízes corresponderão automaticamente a soluções LI conforme:

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 105

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

7. EDO Linear de Ordem N > 2 com Coeficientes Constantes

)xexp(x)x(y),xexp()x(y

)bx(sen)axexp(x)x(y),bxcos()axexp(x)x(y

)bx(sen)axexp()x(y),bxcos()axexp()x(y

)xexp(x)x(y),xexp(x)x(y),xexp()x(y

)xexp()x(y

D10D9

87

65

B2

4B3B2

A1

Exemplo : N=10 e as seguintes raízes da Eq. Carac., Eq. (17) :

iba,iba

,,,,,,,,,,,

212121

CC

DBADDCCCCBBBA

Base Sols. da EDO-N C.C.Hom.

Sol. Completa EDO-N C.C. Hom.

x10

x9

ax8

ax7

ax6

ax5

x24

x3

x2

x1H

DD

BBBA

xeCeC)bx(senxeC)bxcos(xeC)bx(seneC

)bxcos(eCexCxeCeCeC)x(y

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 106

Obter a Solução Completa da EDO C.C. Não-Homogênea:

Exemplo 3.5)x2(seny16y8y )2()4(

2: Raízes da Eq. Característica

)x2(xsenC)x2cos(xC)x2(senC)x2cos(C)x(y

)x2(xsen)x(y),x2cos(x)x(y

)x2(sen)x(y),x2cos()x(y

4321H

43

21

1: Resolvendo EDO C.C. Homogênea

3: Base de Soluções e S.C. da EDO C.C. Homogênea :

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

7. EDO Linear de Ordem N > 2 com Coeficientes Constantes

0y16y8y )2()4(

)dupla(i20)4(0168 2224

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 107

4: Montando S.P. via MVP

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

7. EDO Linear de Ordem N > 2 com Coeficientes Constantes

)x2cos(x8)x2(sen12)x2(xsen8)x2cos(12)x2cos(8)x2(sen8

)x2(xsen4)x2cos(4)x2cos(x4)x2(sen4)x2(sen4)x2cos(4

)x2cos(x2)x2(sen)x2(xsen2)x2cos()x2cos(2)x2(sen2

)x2(xsen)x2cos(x)x2(sen)x2cos(

W

dx.

)x2(sen

0

0

0

Wdx.

)x(r

0

0

0

W

U

U

U

U

11

4

3

2

1

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 108

5: Inversa de W via Matriz de Cofatores Transposta

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

7. EDO Linear de Ordem N > 2 com Coeficientes Constantes

4

1

4321

T

T

4

T

3

T

2

T

1

1

W

)x(r

)x(r

0

0

0

W

W

1

W

1W

Necessário calcular apenas os cofatores da linha 4 de W

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 109

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

7. EDO Linear de Ordem N > 2 com Coeficientes Constantes

)x2(sen8

)x2cos(x4)x2(sen4)x2(sen4)x2cos(4

)x2(xsen2)x2cos()x2cos(2)x2(sen2

)x2cos(x)x2(sen)x2cos(

)x2cos(8

)x2(xsen4)x2cos(4)x2(sen4)x2cos(4

)x2cos(x2)x2(sen)x2cos(2)x2(sen2

)x2(xsen)x2(sen)x2cos(

)x2(xsen8)x2cos(4

)x2(xsen4)x2cos(4)x2cos(x4)x2(sen4)x2cos(4

)x2cos(x2)x2(sen)x2(xsen2)x2cos()x2(sen2

)x2(xsen)x2cos(x)x2cos(

)x2cos(x8)x2(sen4

)x2(xsen4)x2cos(4)x2cos(x4)x2(sen4)x2(sen4

)x2cos(x2)x2(sen)x2(xsen2)x2cos()x2cos(2

)x2(xsen)x2cos(x)x2(sen

44

43

42

41

44

434241

4444434342424141

))x2cos(x8)x2(sen12(

))x2(xsen8)x2cos(12()x2cos(8)x2(sen8W

WWWWW

64W

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 110

6: Operando MVP

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

7. EDO Linear de Ordem N > 2 com Coeficientes Constantes

)x2(sen8

)x2cos(8

)x2(xsen8)x2cos(4

)x2cos(x8)x2(sen4

64

)x2(sen

W

)x(r

)x(r

0

0

0

W4

1

)x2(sen8,)x2cos(8

)x2(xsen8)x2cos(4),x2cos(x8)x2(sen4

4443

4241

16

)x4cos(116

)x4(sen16

))x4cos(1(x

32

)x4(sen16

)x4(xsen

32

)x4cos(1

8

)x2(sen

8

)x2cos()x2(sen16

)x2(xsen2)x2cos()x2(sen

16

)x2cos()x2(xsen2)x2(sen

)x(r

0

0

0

W

2

2

2

1

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 111

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

7. EDO Linear de Ordem N > 2 com Coeficientes Constantes

64

)x4(sen

16

x64

)x4cos(64

)x4(xsen

256

)x4cos(3

32

x

64

)x4cos(x

256

)x4(sen3

32

x

64

)x4(sen

16

x64

)x4cos(64

)x4(xsen

256

)x4cos(

32

x

128

)x4cos(

256

)x4(sen

64

)x4cos(x

128

)x4(sen

32

x

U

dx16

)x4cos(1

dx16

)x4(sen

dx16

))x4cos(1(xdx

32

)x4(sen

dx16

)x4(xsendx

32

)x4cos(1

dx

)x(r

0

0

0

WU

22

1

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 112

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

7. EDO Linear de Ordem N > 2 com Coeficientes Constantes

)x2(xsen64

)x4(sen

16

x)x2cos(x

64

)x4cos(

)x2(sen64

)x4(xsen

256

)x4cos(3

32

x)x2cos(

64

)x4cos(x

256

)x4(sen3

32

xy

64

)x4(sen

16

x64

)x4cos(64

)x4(xsen

256

)x4cos(3

32

x

64

)x4cos(x

256

)x4(sen3

32

x

U

2

P

2

)x2(sen256

3)x2(sen

32

x)x2cos(

32

xy

2

P )x2(sen32

xy

2

P

Por quê ?

J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 113

Solução Completa da EDO C.C. Não-Homogênea:

Exemplo 3.5)x2(seny16y8y )2()4(

)x2(xsenC)x2cos(xC

)x2(senC)x2cos(C)x(y

43

21

Cap. III : Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

7. EDO Linear de Ordem N > 2 com Coeficientes Constantes

)x2(sen32

x2